能带理论例题与习题.pdf

04_能带理论_例题与习题 4.2 写出一维近自由电子近似写出一维近自由电子近似，第第n个能带个能带（n=1,2,3）中中 简约波矢简约波矢 的零级波函数的零级波函数 一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数 第第n个零级波函数个零级波函数 04_能带理论_例题与习题 第一个能带第一个能带 x a i e L 2 1 04_能带理论_例题与习题 第二个能带第二个能带 x a i e L 2 3 1 第三个能带第三个能带 x a i e L 2 5 1 04_能带理论_例题与习题 4.3 电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数 且且a=4b， 是常数是常数。 1) 画出此势能曲线画出此势能曲线，并计算势能的平均值；并计算势能的平均值； 2) 用近自由电子模型用近自由电子模型 计算晶体的第一个和第二个带隙宽度计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 04_能带理论_例题与习题 04_能带理论_例题与习题 势能的平均值势能的平均值 04_能带理论_例题与习题 势能的平均值势能的平均值 令令 2 2 96 a Vm 04_能带理论_例题与习题 近自由电子近似近自由电子近似 势能函数的第势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 04_能带理论_例题与习题 22 3 8mb 22 2VEg 22 2 mb 11 2VEg 04_能带理论_例题与习题 补充习题补充习题 一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理一维周期势场中电子的波函数满足布洛赫定理 如果晶格常数为如果晶格常数为a ,电子的波函数为电子的波函数为 求电子在这些态中的波矢求电子在这些态中的波矢 04_能带理论_例题与习题 根据布洛赫定根据布洛赫定 理理 一维情形布洛赫定理一维情形布洛赫定理 1) 电子的波函数电子的波函数 a k 电子的波矢电子的波矢 04_能带理论_例题与习题 2) 电子的波函数电子的波函数 a k 2 电子的波矢电子的波矢 04_能带理论_例题与习题 3) 电子的波函数电子的波函数 a k 电子的波矢电子的波矢 04_能带理论_例题与习题 4) 电子的波函数电子的波函数 0k电子的波矢电子的波矢 04_能带理论_例题与习题 4.4 用紧束缚近似求出面心立方用紧束缚近似求出面心立方 晶格和体心立方晶格晶格和体心立方晶格s态原子态原子 能级相对应的能带函数能级相对应的能带函数 面心立方晶格面心立方晶格 s态原子能级相对应的能带函数态原子能级相对应的能带函数 04_能带理论_例题与习题 任选取一个格点为原点任选取一个格点为原点 O 最近邻格点有最近邻格点有12个个 s原子态波函数具有球对称性原子态波函数具有球对称性 04_能带理论_例题与习题 12个最邻近格点的位置个最邻近格点的位置 O 04_能带理论_例题与习题 0 1 ( ) 4(coscoscoscoscoscos) 222222 s s yy xxzz E kJ k ak a k ak ak ak a J 类似的表示共有类似的表示共有12项项 04_能带理论_例题与习题 对于体心立方格子对于体心立方格子 任选取一个格点为原点任选取一个格点为原点 有有8个最邻近格点个最邻近格点 O 04_能带理论_例题与习题 类似的表示共有类似的表示共有8项项 01 111 ( )8cos()cos()cos() 222 s sxyz E kJJk ak ak a 04_能带理论_例题与习题 s态原子能级相对应的能带函数态原子能级相对应的能带函数 4.7 一维单原子链一维单原子链，原子间距原子间距a，总长度为总长度为 1) 用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子 s 态能级相对应的能带函数态能级相对应的能带函数 2) 求出其能带密度函数求出其能带密度函数 的表达式的表达式 3) 如每个原子如每个原子 s 态中只有一个电子态中只有一个电子, 计算计算 T=0K 的费密能级的费密能级 和和 处的能态密度处的能态密度 04_能带理论_例题与习题 任选一个格点为原点任选一个格点为原点 两个最近邻格点两个最近邻格点: kaJJkE s s cos2)( 10 能带密度函数能带密度函数的计算的计算 04_能带理论_例题与习题 04_能带理论_例题与习题 一维格子一维格子_波矢为波矢为 具有相同的能量具有相同的能量 电子自旋有电子自旋有2种取向种取向_dk 区间的状态数区间的状态数 04_能带理论_例题与习题 22 10 2 ( ) ( ) 4( ) s s s dZN N E dE k JE kJ 能带密度能带密度 T=0K的费密能级的费密能级 总的电子数总的电子数 其中其中 04_能带理论_例题与习题 0 0Fs EJT=0K的费密能级的费密能级 1 ( ) N N E J 能态密度能态密度 04_能带理论_例题与习题 由于能带的交叠，能带由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带2中中 而在能带而在能带1中形成空穴，讨论中形成空穴，讨论 时的费密能级时的费密能级 其中其中 为能带为能带1的带顶的带顶， 为能带为能带2的带底的带底 4.9 半金属交叠的能带半金属交叠的能带 04_能带理论_例题与习题 半金属的能带半金属的能带1和能带和能带2 能带能带1的能态密度的能态密度 04_能带理论_例题与习题 3/2 1 111 22 22 ( )()(0)( ) (2 ) Vm N EEE k 同理能带同理能带2的能态密度的能态密度 3/2 2 2220 22 22 ( )()( )() (2 ) Vm NEE kE k 04_能带理论_例题与习题 如果不发生能带重合如果不发生能带重合_电子刚好填满一个能带电子刚好填满一个能带 能带交叠能带交叠_能带能带1中的电子填充到能带中的电子填充到能带2中中_满足满足 04_能带理论_例题与习题 0 11220 12 (0)() F m Em E k E mm 0 20 ()0.075 F EE keV 04_能带理论_例题与习题 4.12 设有二维正方晶格设有二维正方晶格，晶体势场晶体势场 用近自由电子近似的微扰论用近自由电子近似的微扰论 近似求出在布里渊顶角近似求出在布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙 晶体布里渊顶角晶体布里渊顶角处的能隙处的能隙 近自由电子近似近自由电子近似_势能函数的第势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 a Gi dUe a nV n 0 2 )( 1 )( 04_能带理论_例题与习题 晶体势场晶体势场 )(),( 2211 2222 21 a i a i a i a i eeeeUU ) 2 cos() 2 cos(4),(y a x a UyxU 04_能带理论_例题与习题 布里渊顶角布里渊顶角 代入代入 04_能带理论_例题与习题 UEg2 1 布里渊顶角布里渊顶角 处的能隙处的能隙 04_能带理论_例题与习题 给定能量给定能量 方程在波矢方程在波矢k空间表示的是一个圆空间表示的是一个圆 k 空间空间 单位面积内的状态数单位面积内的状态数 *补充习题补充习题 限制在边长为限制在边长为L的正方形中的的正方形中的N个电子个电子 1）求能态密度求能态密度 2）求二维系统在绝对零度时的费米能量求二维系统在绝对零度时的费米能量 电子的能量电子的能量 04_能带理论_例题与习题 半径半径 的圆内的状态数的圆内的状态数 能态密度能态密度 2 2 )( mL EN 能量能量 之间的状态数之间的状态数 04_能带理论_例题与习题 2 2 )( mL EN 能量能量 电子的数目电子的数目 绝对零度时的费米能量绝对零度时的费米能量 2 2 0 mL N EF 04_能带理论_例题与习题 *补充习题补充习题 电子的能量为电子的能量为 求能态密度求能态密