一元一次方程应用题复习题.doc

怎样检验？可检查方程是否符合题意。把解得的x的值代入原方程列方程解应用题的解题步骤是怎样的？讨论后得出：弄清题意，(审题：已知什么条件，求什么问题？)找出未知数，并用x表示；找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；解方程；检验，写出答案。.解应用题是我们初中数学必不可少的一个环节，也是考查学习对数学知识掌握与应用的一个重要方式。因此，应用题在数学教学过程中是一个不可忽视的问题，那么，怎样才能培养初中学生列方程解应用题的解题思维，提高学生应用题解题能力呢？第一、培养学生的文字理解能力。具有较强的文字理解能力是学生解应用题的一个基本条件。首先，要对学生进行关键性词语的引导，从而让他们养成一个良好的思维落脚点的习惯，比如“比”，“多”，“倍”等等；其次，要加强对学生专业用语的透识，保障整个解题思维不受文字的约束，比如“相向而行”，“同向而行”等等。从而使整个理解认识水平上升到一个新的高度。第二、加强学生信息整理能力。通过对应用题文字的理解与疏通，紧接着就是对收集得来的数据进行整理，把零碎的数学知识系统化、科学化，形成一个整体思维，从而为分析解决应用题提供了客观上的理论依据。第三、培养学生巧设未知数的能力。在列方程解应用题中设未知数也是一个重要的环节，怎样来设未知数，它直接关系到解应用题方便与否。并且仅靠已知量和要求量很难找到他们之间的内在联系，而考虑增设未知数的方法，可化难为易。第四、加强学生解应用题的步骤性。在列方程解应用题中，思维的逻辑性是必不可少的，使思维一环扣一环，既达到理清思路，又达到简洁快速的目的。首先，浏览全文，知道本应用题设题的基本方向和解题基本思路；其次，根据全文浏览巧设未知数，提高解题的效率；第三，返回题目，仔细阅读，并辅以画图等方式进行总结、整理信息，把实际问题转化为数学问题，形成总体思维；第四，找出等量关系式。根据对信息的系统化，找出题中所隐含的数学等量关系式，为列出方程作好辅垫；最后列出方程，解方程就是一件容易的事情。总之，列方程解应用题是初中数学的一个重点，又是一个难点，培养初中学生列方程解应用题的解题思维是一个持久的事情，当然方法也有多式多样的，主要还是我们自己去探索，发现其中的规律，但是，老师的引导作用却是非常重要的。初中列方程解应用题的教学中应注意的问题一、方程应用题在初中数学中既是重点、又是难点其所以是重点是由于：1可以初步解决一些现实生活中的问题；2培养分析问题和解决问题的能力；3为学物理、化学等其它学科服务其所以是难点有下列两方面的原因：1布列方程并不像解方程那样有法可循，对于同一个题，由于思路不一样，可以列出不同的方程，一步考虑不到或考虑不周，就会陷于困境由于客观实际的内容是如此丰富多采，反映在数量关系上又是那样的多种多样，企图用一个公式或法则去解决它是不可能的，这就要求我们对具体问题作具体分析，这对初学者来说比较困难另一方面，譬如说，我们做几何题常常有这样的经验，一道题想了半天，想不出来，但经别人一指点就恍然大悟，可是，往往是自己想出来的收效大，而经别人指点做出来的收效就较小列方程解应用题也有类似情况，这就决定了难教处在于启发学生思维的火候到底掌握到什么程度过火了，等于解一道题给学生看，学生充其量会解这道题，而通过教学，学生在能力上没提高多少反之，如果启发不到，卡在那里，也得不到收效2列方程解应用题要善于分析实际问题中已知与未知，找出它们之间的关系，从而列出方程但是要使学生有中肯的分析，就必须要熟悉生活，可是应用题里所涉及到的一些东西，有时学生是不熟悉的，这也增加了我们教学的困难对于重点，我们要保证足够的教学时间；对于难点，要作教学法上的处理这里仅指出一点，就是要及早作准都课本在这方面作了很好的反应表现为在列代数式时，几乎所有的问题都与后面的问题相呼应，如果在列代数式时，把列代数式的难点突破了，那么后面列方程时可把重点放在等量关系上了二、列方程解应用题的步骤所谓列方程(组)解应用题，就是先把实际问题翻译转化为方程(组)，再经过解方程(组)而使实际问题获得解决在这个过程中列方程是关键，它揭示了已知数和未知数的内在联系而为解决实际问题创造了条件列方程解应用题包括下面几个步骤：(一)理解题意(审题)理解题意是列方程的第一步，如果题都读不懂，列方程就无从谈起审题应注意：1明确题中哪些是已知的，哪些是未知的，已知量与未知量之间有什么关系：这些关系是直接给出的呢(如和、差、倍、分)？还是由物理、化学定律给出的(如st ；溶质=溶液浓度)？是由生产实际给出的呢(如锻压等积变换问题)？还是由常识给出的(如一去、一回所走距离一样)？2如果所求的未知量不只一个，那么它们之间有什么关系？审题是很重要的一步，如果仔细审题有时连方程都不必列就可找出答案例如“一桶油连桶共重8公斤，油用去一半后，连桶还重4.5公斤，原有油多少公斤？”仔细审题后发现，一桶油连桶重8公斤，半桶油连桶重4.5公斤，那么半桶油是8-4.53.5公斤，一桶油是7公斤(二)未知数的选择(选元)根据第一步的分析，从各个未知数里选出一个未知数，这个未知数必须和已知数、其他未知数的关系比较多，而且用它来表示其他未知数和布列方程比较方便，把它作为“元”，一般用宇母x来表示为了区别于一般未知数，我们把确定为“元”的未知数称为未知元选择未知元是布列方程过程中非常重要的一环，如果等式中不含有未知元，则就不成其为方程了可见，未知元不仅是探求的目的，也是分析问题的核心同时所选择的未知元还关系到所列方程的简与繁，因此，在布列方程时，应正确地选择未知元未知元的选择通常有两种方法，一种叫直接设元法，就是指实际问题中要求什么数，就选它为未知元，在多数情况下都是采用直接设元法另一种叫间接设元法，它不是直接将问题中所求的数设为未知元，而是根据题意选定和几个未知数都有密切关系的未知数作为未知元，使解题简便下面我们通过例题来讨论未知元的选择问题例1 一个正方形的边长增加4厘米，面积就比原来的面积多96平方厘米，求原来正方形的边长解 设原来正方形的边长为x厘米，则原来正方形的面积为x2平方厘米；后来的边长为x4厘米，面积为(x+4)2平方厘米根据题意，列方程(x+4)2x2+96解得： x10(厘米)答：原来正方形的边长为10厘米例2 有个两位数，个位数字比十位数字大2，此数与数字和的乘积是280，求此数解 设个位数字为x，则十位数字为x-2，则10(x-2)+x(x-2)+x280解之，x5，则此数为35答：这个数是35在例2中，如果用直接设元法，按照问题要求，设所求的这个数，那么布列方程就比较困难，也不容易解如这样来解：这样列出方程由此可见，未必所求即所设就容易，还要具体问题具体分析(三)代数式的组成在上一步中，我们已经看出，一旦选定了未知元，那么其他的未知数应该用它表示出来，即将实际问题中的要求的数(或被选定的未知元)和别的未知数之间的关系用代数式表示出来，这也就是将实际问题中的数量关系译成代数式我们在上面指出过，如果在代数式教学中，对列代数式有相当训练，那么这里就不会感到太困难了在组成代数式的过程中，往往用到一些基本的数量关系，如果对这些数量关系比较熟悉，建立代数式就比较容易，在解应用题中常用的数量关系有：3单价、数量、总价之间有基本关系：总价=单价数量4完成任务数=计划数+增产数，或 完成任务数=计划数-减产数， 7混合物的质量=混合物中各种物质的质量和，8含药量=浓度总量，其中， 溶液质量=溶剂质量+溶质质量9船在静水中的速度=顺流速度-水流速度 =逆流速度+水流速度故得10几何中的数量关系：如面积公式、体积公式、弧长公式、直角三角形的勾股定理等还有其他力学公式、电学公式等(四)方程的建立方程的建立是列方程解应用题中的关键一步，根据等量关系，将表示“等量”的两个含有未知元的代数式用等号连结起来，就是所列的方程列方程的关键在于如何寻找等量关系寻找等量关系，可以从“关联词”(和、差、倍、分问题)或“不变量”入手，所谓不变量就是上面所说的数量关系至于“关联词”的重要性，我们可通过下面几个例题来说明例3 某厂今年十月份生产机器205台，这比去年十月份产量的2倍还多15台，这个厂去年十月份生产机器多少台？这题的关联词是：比去年十月份产量的2倍还多15台的“多”字等量关系是：今年十月份生产的机器205台=去年十月份产量的2倍+15台例4 甲、乙两人骑自行车，同时从相距65公里的两地相向而行，2小时后相遇，已知甲比乙每小时多走2.5公里，求乙每小时走多少公里这题的关联词是：相向而行，2小时后相遇的“相遇”，即两人在2小时中所走路程的和等于原来相距的距离等量关系是：甲2小时所走的路程+乙2小时所走的路程= 65(公里)。例5 一件工作，由甲单独做20小时完成，由乙单独做12小 时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，剩下部分需几小时完成。这题的关联词是：剩下的部分由甲、乙合做中的“剩下”与“合做”等量关系是：甲、乙各自工效的和=甲、乙合做剩下部分工作的工效在布列方程时，到底如何来分析数量关系呢？一般地说，可用“综合法”与“分析法”来进行分析所谓“综合法”是从已知到未知。即先假定题中某一未知数为已知，用字母x来表示，再看这个数与其他已知数、未知数的关系，从而列出两个代数式，最后找出这两个代数式的相等关系，即列出方程这种方法是常用的方法，课本中的“分析”就是用的这种方法例6 一艘轮船在两个码头之间航行，顺航需4小时，逆航需5小时，已知水1小时流2公里，求两个码头间的距离现用综合法分析如下：设题中一个未知数为已知，用字母x表示，这里设静速为每小时x公里，再看这个数与其它已知数和未知数的关系：顺航：(x+2)公里/小时，顺航需4小时，所以顺航航程：4(x+2)公里 (1)逆航：(x-2)公里/小时，逆航需5小时，所以逆航航程：5(x-2)公里 (2)最后找出这两个代数式相等的关系：本题(1)、(2)表示同一个量(两码头间的距离)4(x2)5(x-2)这种方法虽然是经常用的方法，但有一个缺点，即有些题中，适宜的未知元往往是隐晦的，一时不易从题中直接发现，例如本例，你怎么想到设静速为x公里/小时？因为很自然地最先发现的未知数就是两个码头间的距离，于是设它为x公里这样按综合法，顺流速度为每小时算术中流水问题与和差问题的公式，即 于是得出方程如果学生对和差问题的公式不熟悉的话，那么按上述思想来列方程就落空了这就是用综合法来分析，若遇到适宜的未知元比较隐晦时，分析起来就比较困难，或列出的方程有时较繁另一种分析方法就是分析法所谓分析法就是从未知到已知具体地说，先找出题中最明显的两个性质相同的量的相等关系，然后再找这两个量分别与其它已知数、未知数的关系，如此一直推到最后只剩一个未知数为止，这样就假定这个未知数为未知元，然后再代回上式的各种关系中，即得两个相等的代数式，由此列出方程这种列方程的步骤，在形式上与证几何题一样，它能使学生的思维进一步地系统起来，使应用题中错综复杂的关系逐步明朗化我们试用分析法来分析上题：故设静速为x公里/小时，4(x+2)5(x-2)从未知开始，逐步分析，一直达到应用题中全部已知数为止(从这里也可以看出，设什么为x较好)，最后回到原问题列出方程在分析问题的时候，有时为了帮助发现数量关系，还可以采用一些辅助的方法，如表格法、线示法、图示法等在布列方程时，由于设元方法不同，导致方程形式的不同，但问题的答案是不变的有时虽然设元的方法相同，但由于利用不同的等量关系，所列方程也可不同下面我们通过例子来说明这个问题例7 某厂赶制一批配件，生产了250个后，经改进技术使生产效率提高到原来的2倍，现在生产300个的时间比原来生产250个的时间还少10小时，问原来每小时生产配件多少个？分析 这是一个工程问题，有基本关系式：工作效率工作时间=总工作量这里有两种工作状态：一种是改进技术前，只知道工作量为250个，工作效率和工作时间都不知道；另一种是改进技术后，也只知道工作量300个，工作效率和工作时间也不知道，所以本题共有四个未知数但是，这两种工作状态并不是孤立的，根据题意它们的工作效率和工作时间有着下面的关系：改进技术前的工作效率工作时间=250， (1)改进技术后的工作效率工作时间=300， (2)改进技术后的工作效率=2改进技术前的工作效率， (3)改进技术后做300个的工作时间+10=改进技术前做250个的工作时间 (4)解法1 设改进技术前的工作效率为x(个数/小时)，则改进技术前解法2 如解法1所设，且由关系(4)知，改进技术前的工作时间-10=改进技术后的工作时间，利用关系式(2)可列出方程解法3 如解法1所设，利用关系式(1)、(4)可列出方程解法4 设改进技术前的工作时间为x(小时)，那么，改进技术前 根据关系式(4)可列出方程当然，还可以有许多种列方程的方法，这里不再一一列举了最后必须指出，列方程时要注意单位应向学生明确：(1)选择字母表示未知数时，应另附单位，而且复名数应化成单名数(2)组成方程时，两边只问数值相等，不必写出单位但是相等的条件是由于量的关系，所以两边所表示的量的单位