（应用数学专业论文）不连续型左定微分算子的谱问题.pdf

中文摘要 本文主要研究不连续型左定微分算子的谱问题 全文共分为四章 第一章为前言，首先介绍前面学者所做的一些工作及其所得的结果，然后介 绍本文所要研究的问题和所得出的结论 第二章主要研究如下不连续型微分方程的左定谱问题， ， i 一( 硝7 ) 7 ( t ) + ( q y ) ( t ) = a ( 叫! ，) ( t ) + ( ，) ) ，t p ， y ( o + ) = ( e + k ) y ( o 一) ， ia y ( a ) + b y ( b ) = 0 通过对不连续点处的条件和边界条件的分析来构造合适的h i b e r t 空间，从而得 到自伴算子的一些谮陛质 第三章主要考虑如下的离散s t u r m - l i o u v i l l e 问题， 其边值条件是 一v ( z 。) + q n x n = ) 叫。z n ，亿【1 ，】， ( 篡) = k ( ：) 其中k 是2 2 阶正定矩阵，u n 可以变号，系数一1 可以为零在这些条件的 限制下，我们给出此问题的谱分布情况 第四章为结束语，总括全文的工作 关键词：不连续型微分方程；差分算子；左定问题；自伴算子；谱理论； 特征值；特征函数 a b s t r a c t i 一( p ) ( t ) + ( q y ) ( t ) = a ( 伽可) ( t ) + ( t t j ，) ( t ) ，t 口， y ( a + ) = ( e + k ) y ( o ) ， 【a y ( a ) + b y ( b ) = 0 。 w i t ht h eb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n 篡卜 w h e r eki sas y m m e t r i ca n dp o s i t i v ed e f i n i t e2 2m a t r i x ，u nc a nc h a n g es i g na n dt h e c o e f f i c i e n t 砌一1i sa l l o w e dt ob e0 u n d e rt h e s ec o n d i t i o n s ，w ew i l lg i v et h ee x i s t e n c e a n dd i s t r i b u t i o no ft h ee i g e n v a l u e so f t h i sp r o b l e m a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：d i s c o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；d i f f e r e n c eo p e r a t o r ；l e f td e f i n i t e p r o b l e m ；s e l f - a d j o i n to p e r a t o r ；s p e c t r a lt h e o r y ；e i g e n v a l u e ；e i g e n f u n c t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：闺啼 签字日期； 枷口7 年月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 匀坼 签字日期：矽叩年占月7 日 导师签名：i 拥走 签字日期山d 7 年月7 日 l 第一章前言 第一章前言 在有限区间上的常型s t u r m - l i o u v i l l e 问题， 一( 刚7 ) 7 ) + ( q u ) ( t ) = 入( 叫可) ( t ) ，t 【a ，6 ， 当y 满足可分离型边值条件时，通过构造合适的h i l b e r t 空间，其左定问题 的谱理论已有了较好的结果 a m k r a l l 在文 3 1 3 中研究了当y 满足混合型 边值条件时，微分算子的左定问题的谱理论另外，6 u 酏在文【9 】中讨论 了边值问题 f 三( z ) = p o ( t ) x ( n ) + + p n ( t ) x = ，( t ) ，鼠， 五( z ) = 叠( p ) 一( e + 鼠) 圣( p f ) = a i ，i = 1 ，p ， 【u ( x ) = 订未( q ) + 圣( 卢) = 7 ， 其中，d e t ( e + b i ) 0 ，b i 是n 佗阶矩阵，m ，是m n 阶矩阵， r a u k ( mn ) = m ，圣( t ) = ( z ( t ) z ( n 一1 ( t ) ) 1 ，t 吼在文中，作者定 义了相应的g r e e n 公式，给出了g r e e n 函数以及特征值和相应特征函数的相 关性质受文 3 】， 4 】与【9 】的启发，本文研究了以下左定问题的谱理论， i 一( p 可7 ) 7 ( ) + ( q y ) ( t ) = a ( 伽毫，) ( ) + ( 叫，) ( t ) ，t 0 ， y ( o + ) = ( e + k ) y ( o 一) ， i a y ( a ) + b y ( b ) = 0 。 当不连续点0 所满足的条件中的系数矩阵k 和边值条件中的系数矩阵a ，b 满足适当的条件时，可以得到上述算子为自伴算子的充要条件，并通过构 造合适的h i l b e r t 空间的内积，得到日1 空间中的自伴算子的谱理论 对于左定的微分算子谱问题，在2 0 世纪8 0 年代就受到了c b e n n e w i t z ， w n e v e r i t t ，f v a t k i n s o n 与p b i n d i n g 等数学家的关注，他们主要集中研 究微分算子的自伴结构，算子特征值及其特征函数的相关性质a m k r a l l 在1 9 9 5 年发表两篇文章 3 与【4 】，主要研究了h a m i l t o n 算子左定时的自伴域 结构，并且得到特征函数展开定理另一方面，关于离散h a m i l t o n 系统的谱 问题，许多学者都已经做了大量的研究比较有名的是，在文【1 0 】中f v a t k i n s o n 研究了方程 一v ( p n z n ) + q n x n = a w 。z n ，n 【1 ，】， 1 第一章前言 其边值条件是 x o = 0 x n + i + h x n2 0 在文中，f v a t k i n s o n 给出了上述问题的特征值分布情况a j i r a r i 在文 1 1 】 中，推广了f v a t k i n s o n 的工作，研究了上述方程在边值条件是 = 篙兰。 时的特征值情况，其中u n 0 ，p n - i 0 ，n 【1 ，卅许多学者对差分算子的谱 的研究都有很浓的兴趣。例如f v a t k i n s o n 在文【1 0 】中，c d a h l b r a n d t 与 a p e t e r s o n 在文 1 2 】中，m b o h n e r 在文【13 】中，y s h i ，s c h e n 在文f 1 4 】中都 对这方面做了研究对一般的离散h a m i l t o n 系统，m b o h n e r 在文【1 3 】中， 利用h a m i l t o n 系统的伴随基。研究了特征值的存在性和分布情况在权函 数为正的假设条件下，r p a g a r w a , l ，m b o h n e r 与p j y w o n g 在文 1 5 】中给 出了特征值的分布情况和比较定理 m b o h n e r ，rh i l s c h e r 在文【1 6 】中给出 了线性离散h a m i l t o n 系统的特征值的孤立性和有界性，另外，还有非常重 要的线性离散h a m i l t o n 系统的结论，如解的振动性，m b o h n e r ，o d o g l 多，w k r a t z 在文【17 】中，l e r b e ，a p e t e r s o n 与s h s a k e r 在文【1 8 中，w k r a t z 在 文【1 9 】中，s c h e n ，l e r b e 在文【2 0 】中都做了研究但是对于左定差分算子 并没有任何特征值分析的结论 本文研究了离散s t u r m - l i o u v i l l e 问题，其中权函数可以变号，系数 p 护1 可以为零对于左定问题，a m k r a l l 在文章【3 】与【5 】5 中，q k o n g ，h w u 与a z e t t l 在文 2 1 中，当多个参数满足一定的条件时。通过构造适当的 h i l b e r t 空间，研究了连续左定算子的谱理论本文受文章【3 】与 5 】的启发， 主要研究了左定边值问题 - v 0 ) 。z n ) - kq n x 。= a u 。z t l ，n 【1 ， ， 其边值条件是 ( 篡卜( ：) 的谱问题其中k 是2 2 阶的正定矩阵，可以变号，系数p n 一1 可以为 零利用a m k r a l l 在文【3 】中的方法，m b o h n e r ，r h i l s c h e r 在文【1 3 中的 2 第一章前言 结论，得到了上述问题的谱分布情况本文的所得结果推广了f v a t k i n s o n 的文章【1 0 】与a j i r a r i 的文章 1 1 】在左定条件下的结论 3 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 2 1 引言 在有限区间上的常型s t u r m - l i o u v i l l e 问题， 一( 刀7 ) 7 ( t ) + ( q y ) ( t ) = 入( 伽剪) ) ，t 【a ，6 】， 当y 满足可分离型边值条件时，通过构造合适的h i l b e r t 空间，其左定问题 的谱理论已有了较好的结果例如，e v e r i t t 在文【8 1 中，b e n n e w i t z 与e v e r i t t 在文【7 】中，k r a l l 在文【6 1 中都相继作了研究其中边界条件可分离对定义 适当的i - i i l b e r t 内积很重要 a m k r a l l 在文【3 】中通过对混合型边值条件的 系数矩阵的分析，构造了适当的h 丑b e r t 空间，从而得到了微分算子的左定 问题的谱理论另外，0 u 酏在文 9 】中讨论了边值问题 il ( x ) = p o ( 功z ( n ) + + ( t ) z = ，( t ) ，t 巩， 五 ) = 圣( p ) 一( e + b i ) 圣( 口f ) = a i ，i = 1 ，p ， i 【厂( z ) = 订盒( q ) + 圣( p ) = 7 ， 其中，d e t ( e + b i ) 0 ，b i 是r , x 7 , 阶矩阵，m ，n 是m 扎阶矩阵，r 趿k ( mn ) = m ，童( t ) = ( z ( t ) z ( n - i ( t ) ) 1 ，t 既在文中，作者定义了相应的g r e e n 公式，给出了g r e e n 函数以及特征值和相应特征函数的相关性质受文【3 】， 4 】 与【9 的启发，本文研究了以下左定问题的谱理论， i 一( 硝7 ) 7 ( t ) + ( q y ) ( t ) = a ( t ，可) ) + ( ，) ( t ) ，t 毋， y ( e + ) = ( e 十k ) y ( o 一) ， l a y ( a ) + b y ( b ) = 0 当微分方程带有不连续项时，这时的结论又是什么样的，这将是本文 的主要工作之一下面先来介绍一下本章需要用到的一些基础知识 2 2 基础知识 本节首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理对于这些概 4 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 念和结果，请参考文献【1 】 【2 】 【2 2 】与 2 3 】 考虑边值问题 蹿茹篡k ， 偿1 ， 【兄2 ( u ) 三p 1u ( 6 ) + f 1 2 p ( b ) u 7 ( 6 ) = ，7 2 其中z j 兰【口，6 j ，而p ，q ，g ，q t ，厩，啦满足如下条件( s ) ： p ( z ) c 1 ( j ) ，q ，g c ( j ) 均为实数，且 p ( 习 o ( z 了) ，a + 口； 0 ，所+ 鹾 0 这一问题通常称作s t u n n 边值问题特别，若夕( z ) 三0 ，臻= 0 ，则相应的 边值问题 l u = 0 ，r l ( u ) = r 2 ( u ) = 0 ( 2 2 ) 称为s t u r m 齐次边值问题 定理2 1设t 1 ( z ) ，u 2 ( x ) 是齐次方程l u = 0 之任一基本解组，则边值问 题( 2 1 ) 存在唯一解的充要条件是 = l 冗r 2 1 ( u 砌l ；曰r 2 “( 抛u 2 ；f 。 )l 。 或齐次边值问题( 2 2 ) 仅有零解 接下来说一下边值问题的g r e e n 函数 引理2 1在条件( s ) 满足的情况下，若齐次边值问题( 2 2 ) 仅有零解， 则必存在两个函数缸( z ) ，口( z ) ，它们满足条件 ( 1 ) 仳( z ) ，v ( x ) c 2 ( j ) ，j = 陋，h i ； ( 2 ) l u ( x ) = 0 ，r l ( u ) = 0 ； ( 3 ) l v ( x ) = 0 ，r 2 ( v ) = 0 ； ( 4 ) 仳与u 线性无关； ( 5 ) p ( z ) ( t l t 7 7 一t ，) = 1 5 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 证明：设u l ( z ) ，u 2 ( x ) 是方程l u = 0 之一基本解组显然，函数 = u l ( z ) r l ( u 2 ) 一u 2 ( x ) r l ( u , ) ， 毫，= 让l ( z ) r 2 ( u 2 ) 一z 坦扛) 冗2 ( 牡1 ) ， 它们满足条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 又因齐次问题仅有零解，故由定理2 1 知r l ( 钍2 ) 与r l ( u 1 ) 必不同时为零；而u l ( x ) 与u 2 ( x ) 是线性无关的，因此u 不恒等于0 ， 同理t 7 也不恒等于0 今往证。乱，移是线性无关的假如不然，则必存在常数c 0 使可= c u ， 但已知u 满足( 2 ) ，故 r 1 ( t i ) = c r l ( u ) = 0 又飓( t ，) = 0 这与齐次问题( 2 2 ) 仅有零解矛盾( 注意定理2 1 ) 最后由 b ( z ) ( 让勺一u t ，) 】= v l u u l v = 0 ，从而p ( z ) ( 移一 u v 7 ) = c ( 常数) 但p ( z ) 0 且 ( u 勺一t 口7 ) 0 ( 因为它恰好是u ，t ，的w r o n s k y 行列式) ，于是c 0 ；从而“c ，口 满足所有的条件( 1 ) 一( 5 ) 引理得证 以下，设j = a ，6 】，q 代表平面( z ，) 上的正方形n z ，b ，而q 1 代表 三角形o z b ，q 2 代表三角形a z b 定理2 2 在条件( s ) 之下，若其次边值问题( 2 2 ) 仅有零解，则必存在 唯一的具备下列性质的函数g ( x ，) ： ( 1 ) g ( z ，亭) 在q 上有定义且连续； ( 2 ) 在q 1 ，q 2 上有连续的偏导数q ，g 龆； ( 3 ) 对固定的专zg ( x ， ) 满足l g ( x ，亭) = 0 ，当z 喜且z j 时； r i ( g ) = r 2 ( g ) = 0 ，当( o ，6 ) 时； ( 4 ) 在正方形q 的对角线上即z = 时有第一类间断点，它的跃度等于 l i p ，即 倪( + o ，) 一岛 - o , ) 2 南，( 。，6 ) 证明：设u ( z ) ，钌( z ) 是满足引理2 1 要求的两个函数今利用函数t t ，口具 体构造一个满足定理要求的函数g ( x ，) 首先为使g 具备性质( 3 ) 中的l g ( x ，) = o ( x ) ，则它必具有形式 g ( z ，) ： a l ( ) t ( z ) + b l ( ) t ，( z ) 口z ， ( 2 3 ) ia 2 ( ) u ( z ) + b 2 f f ) v ( z ) ，毒 z b ， 6 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 其中a ( ) ，b t ( ) ( i = 1 ，2 ) 是待定的系数 其次，为使g 具备性质( 3 ) 中的尼( g ) = 0 ( i = 1 ，2 ) ，必须有 r i ( g ) 三a i ( ) r i ( u ) + b i ( ) r i ( v ) = o ； 惑( g ) 三a 2 ( 等) r 2 ( u ) + 玩( f ) 兄( 秽) = 0 由引理2 1 ，r l ( 仳) = 0 ，r 2 ( v ) = 0 ；于是由定理2 1 有r l ( v ) 0 ，r 2 ( u ) 0 ，从而 必须有 b 1 ( ) = 0 ，a 2 ( ) = 0 ， 即 g ( z ，) ： a l ( 荨) 乱( z ) ， 口z 毒， ib 2 ( ) t ，( z ) ， z b 进一步，为使g 具备性质( 1 ) 和( 4 ) ，则a l ( ) 与b 2 ( ) 必须满足 a 1 ) u 嬉) 一b 2 ( 亭) 移( ) = 0 ， a 1 ( 洲( ) 一b 2 ( 洲( ) = 一南 由此可唯一确定出 州沪可箦蒜= 哦) ， 眯) = 可筹叫a 因为让和可满足引理2 1 的条件( 5 ) 总之 g ( z ，) ： 可( ) t 正( z ) ， n z 毒， ( 2 4 ) 【乱( ) 秽( z ) ， o ) ，y ( e 士) = 3 n 士秒p + 九) 接下来考虑具有如下形式的实边值问题 【a y ( a ) + b y ( 6 ) ：o e ：= ( ：；) ，k ：= ( 急：笔) ，a ：= ( ：兰：) ，b ：= ( 乏：) 这里 = ( ：) ，是a 的共轭转置 一 = ( 乏罗岁) j y ，) ：二十( 乏p 罗) ，iy ，) ： = cz + c 咿+ ，z 。p 一，z + 。，z ，c 6 ，- 3 000 iiy(o+：；) 塑三蔓已二堡童堡巡查堡盟垄壅堂堕望 设ek e 。是2 2 阶矩阵使得( e 刍- k e ) 与( c a 三) 非奇异 。令以= 召十k = 一e 瓦n ，豆，k ，互童，c ，d 二是2 2 阶矩阵并且 满i ! 一 ( 鬻) ( ：k ) = - j 三) ， ( 参b 否* + ) ( c ad b ) = - j ；) 把上式代入g r e e n 公式得到下面的式子 一 2 u z ( a + ) + n z ( o 一) j m y ( o + ) + n y ( o 一) 】 + 心z ( 秽+ ) + 露z p 一) 】 h y ( o 十) + 时拶) 】 + 阻z ( 。) + b z ( 6 ) r l a y ( 口) + b y ( 6 ) 】+ i s z ( n ) + 西z ( 6 ) ri c y ( 口) + d l ，( 6 ) 】 一定誓2 9 西+ 21 7 日：z ，p z 7 在【n ，伊) u ( o ，6 】上绝对连续， b z ( o + ) + k z ( o ) 】0 ， 5 z c a ) + 西z ( 6 ) 】= o ，l z 日一 定义2 1 0 令l y = l y , 2 = l z , yed ，z 西t 其中p 是l 的伴随算子 。定理2 6 定义2 1 0 是正确的，三在日中的伴随是己，厶在日中的伴 随是l ，证明： l 的伴随的形式是口，由g r e e n 公式知，西被包含在三的伴随 的定义域里 反过来，同样由g r e e n 公式知，由于h y ( o + ) 十k l ，p 一) ，c y ( n ) + d y ( b ) 是 任意的三的伴随的定义域里的任一元素都在伊里证毕 由g r e e n 公式知， x n ( o + ) + y p 一) = 0 ，五瑟( 口+ ) + 帮z 一) ；芒， 1 3 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 h y ( 8 + ) + k y ( o 一) = 町，h z ( o + ) + 露z ( p 一) = 0 ， a y ( a ) + b y ( b ) = 0 ，a z ( a ) + b z ( b ) = 妒， c y ( a ) + d y ( b ) = 妒，c z ( a ) + d z ( b ) 】= 0 其中，r l ，屯妒是任意的 由此可以解得y ( o + ) ，y ( e 一) ，z ( o + ) ，z ( o 一) ，y ( 口) ，y ( ，z ( 8 ) ，z ( 6 ) ， y ( o + ) = j 青卵，z ( 9 + ) = 一j m + ， y ( e 一) = 一，k + r l ，z ( o 一) = j n ， y ( a ) = j c 妒，z ( a ) = 一j 西， y ( b ) = 一j d + 妒，z ( b ) = j b + 如果z d ，则由m z ( o + ) + z ( p 一) = 0 得m j m 4 = ，即( e + k ) ，( e + k ) = j 由a z ( a ) + b z ( b ) = 0 得a j a = b j b 同样。如果m j m = ，a j a = b j b 4 ，可以得到z d 那么l 是自 伴的 从而可以得到下面的定理 定理2 7工自伴的充分必要条件是( e + k 。) j 陋+ k ) = za 肌+ = b j b 4 i 一( 列7 ) 7 ) + ( q 可) ( t ) = ( t j ，) ( t ) ，t 0 ， y ( 矿) = ( e + k ) y ( 8 一) ， i a y ( a ) + b y ( b ) = 0 = 二黧筹嚣咖篡墨【一责b 圣 ) e 圣一1 ( s ) e ， 口t h 1 = c f a - + d 彬懈肼( 即 ，) 丑( 嬲) + ( 獭m ) t 2 ( 裟) ， 其中七，z 。，( - a 1 26 l b 2 2 2 - a 2 2 ) 非奇异，乃与疋正定 | h l = c 卜e 彬删出+ ( 即 旷，) 五( 嬲) + 刍2 ( - - a l l a l 2 - 1 - 6 1 1 6 1 2 ) ( - - a 1 2 y 。) + 6 1 2 y ( 6 ) ) ( 一。1 2 z ( 口) + 6 1 2 z ( 6 ) ) ， 其中- - a l l a l 2 - i - b l l b l 2 _ 0 , k 1 2 0 , t 1 正定，( - - 一口a 毖1 2b 1 2 ) ：i 扦异但非零 日，= c z 9 一+ r ：，q w 歹+ q y - 5 ) d t + ( 乏c 护+ ，乏c 8 一，) 五( 蚤 ；二；) ， 其中k 1 2 0 , t ii t 定，( - - a 1 2 乏) 是零矩阵 h 1 = c 卜e 彬，+ ( 弛闱6 ，) 噩( ：曷) + 击( 1 + 七2 2 ) + ) + ( 1 + 2 ) ( p 一) m 矿) + ( 1 + k 2 ) z ( p 一) 】， 其中后1 2 ：o ，七2 2 一1 ，乃正定，f 一虮2 一0 2 2 y ( o 一) = 0 ，( 1 + 后2 2 ) z ( 9 + ) 一z ( o 一) = 0 乏2 2 ) 非奇异，矽，z 满足c 1 + 七2 。，可c p + ，一 h 1 = ( 厂+ 口彬) + 刍( 1 + 七2 2 ) + ) + ( 1 + 乜2 ) 秒( p 一) m 矿) + ( 1 + 乜2 ) z ( 口一j 】 + 孑1 ( 一口1 1 口1 2 + 6 1 1 6 1 2 ) ( - 口1 2 y ( 。) + 6 1 2 可( b ) ) ( - a 1 2 z ( 口) + 6 1 2 z ( 6 ) ) ， 2 1 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 其中口1 1 n 1 2 + b n 6 1 2 o ，七1 2 = o ，南2 2 一1 ，矩阵f 一町27 1 21 奇异但非零， - - a 2 2d 2 2 耖，z 满足( 1 + k 2 2 ) y ( e + ) 一y ( o 一) = 0 ，( 1 + k 2 2 ) z ( e + ) 一z p 一) = 0 ，b 1 2 y ( a ) + a 1 2 y ( b ) = 0 ，b 1 2 z ( a ) + a 1 2 z ( b ) = 0 日l = ( + ) o 可7 + g 谚) ，口 j o + + - ( 1 + k 2 2 ) 陟( p + ) + ( 1 + 也2 ) 剪( p 一) 】k ( 口+ ) + ( 1 + 乜2 ) z p 一) 】， 其中七1 2 ：o ，乜2 一1 ，矩阵f 一口1 2 6 1 2 - - a 2 26 2 2 y ( o 一) = 0 ，( 1 + 现) 孑( p + ) 一z ( e 一) = 0 ) 是零矩阵，z 满足c + z z ，剪c 矿，一 q 铆州卜e 埘扎卅( 孙阔6 ，) 疋( ， 其中忌1 2 ：o ，忌2 2 ：一1 ，矩阵f n 1 2 ： 1 21 非奇异，t 2 正定 1 - - a 2 2 幼 h i = ( z 旷+ e ) 歹+ g 纠 + 刍( 一口1 l 口1 2 + 6 1 1 6 1 2 ) ( - - a 1 2 y ( 口) + 6 1 2 y ( 6 ) ) ( 一口1 2 z ( 口) + 6 1 2 2 ( 6 ) ) ， 其中一口1 1 口1 2 + b l l 6 1 2 o ，七1 2 = o ，后2 2 = 一1 ，矩阵( 一口1 2 ：1 21 奇异但非零， f - - a 2 2 切 秒，z 满足b 1 2 y ( a ) + a 1 2 y ( b ) = 0 ，b 1 2 z ( a ) + a 1 2 z ( b ) = 0 舻( 厂+ e 删扎吼 其中岛t z = 。，七。= 一，矩阵( 一- - 口l a 2 2 2 笔) 是零矩阵 d 2 2 定义2 1 1 令h i l b e r t 空间h 1 的内积由上面九个式子来给出 令 j c i = y h 1 ：y ，p a c ( a ，口) u ( p ，h i ) ，y ( p + ) = ( e + k ) y ( o 一) ， a y ( a ) + b y ( b ) = 0 ，l y = ( 一，) ，+ q y ) h 1 定义算子为t ，：hv t ，6 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 定理2 1 0定义在d 上的算子l 有下界，由e 来确定 证明： h - - - - - 日1 e 日 由上式知 0 定理2 1 1 l “存在，可以由g r e e n 函数g ( ，8 ) 给出s l 一1 9 ( t ) = f a b g ( t ，s ) ，( 8 ) u ( s ) d s ， 且l 一1 有界 证明：令l y = g ，那么l 1 9 = y 又 胃e 日， 不等式左边应用s c h w a r t z 不等式得 l l 工- l g1 1 日 i | 91 1 日 接下来讨论日，空间中的算子三的一些类似结论 定理2 1 2三是对称的 证明：证由d i r i c h l e t 公式知 日= 日1 西，z h 1 可设2 西，用厶代z ，于是有 日= 日1 同样， 日= 日1 那么知三是对称的 第二章不连续型微分方程的左定谱问题 定理2 1 3 三一1 存在且有界 证明：可以用定理2 9 中的g r e e n 函数来解三一l y = g 由d i r i c h l e t 公式知 胃= 日1 等式左边应用s c h w a r t z 不等式得 j | 一1 夕i l 备，| l 夕i i h ( ) i l91 1 日( 三) 2 l l9j 1 日- 因此 i i 1 1 0 ( 3 3 ) 且u n 0 ，vn 1 ，】天是谱参数k 是2 2 阶正定矩阵区间陋，6 1 代表整 数集 n ) ：因为在【0 ，n 上p 竹 0 ，q n 0 ，在【1 ，m 上u n 变号，所以( 3 1 ) 一( 3 2 ) 称为左定问题 方程( 3 1 ) 也能够写作 一 ：z n ) + q n x f i + l = 地二z 礼+ 1 ，n 【o ，n 一1 】u 互 其中 戎= p n ，口：= q n + l ，以= u ，i + 1 关于离散h a m i l t o n 系统的谱问题，许多学者都已经做了大量的研究 比较有名的是，在文【1 0 中f v a t k i n s o n 研究了方程( 3 1 ) ，其边值条件是 t 0 = 0 ，x n + i + h x n = 0 ( 3 4 ) f v a t k i n s o n 给出了问题( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的特征值分布情况a j i r a r i 在文【1 1 中，推广了f v a t k i n s o n 的工作，研究了问题( 3 1 ) 在边值条件是 zcxo+。一hx七lz=o：,。 c 3 5 ， 第三章左定差分算子的谱理论