（凝聚态物理专业论文）介观体系中量子输运和量子混沌的模拟研究.pdf

摘要 随着半导体技术的迅猛发展，半导体器件的尺寸越来越小，已经由原来的宏观 尺度进入了介观尺度，因此研究介观体系中的量子输运性质就显得尤为重要：并且， 在研究介观体系的量子输运过程中，人们还发现了量子混沌现象。对介观体系中的量 子输运与量子混沌的研究将有助于半导体技术的进一步发展。本文在前人研究的基础 上，对介观体系中的量子输运与量子混沌作了进一步的数值计算研究。全文共分如下 六章。， 第一章：介绍了介观体系的一些基本概念；给出了电导计算的l a n d a u e r - b i i t t i k e r 公式以及利用散射矩阵求透射系数的方法，还介绍了介观体系中弹道声子输运过程以 及热导的研究；介绍了经典混沌系统中的量子力学表现之一，疤痕波函数，回顾了介 观体系中量子疤痕态的研究。 第二章：利用散射矩阵的方法，我们研究双弯曲量子波导中的声学声子的透射系 数和热导。结果表明，由于受到双弯曲波导的中间腔体的散射作用，声子的透射系数 呈现很强的共振透射峰，其位置和峰宽决定于中间腔体的尺寸。由于声子受到散射， 因此热导随着温度的增加先会降低，在达到一个极小值以后再增加。另外，对多个双 弯曲波导串联情况的研究表明，在单个双弯曲波导上增加一个双弯曲波导会进一步抑 制声子的透射，从而使得声子的透射出现一个频率隙；继续增加双弯曲波导的数目不 会改变这个频率隙的位置和尺寸，只会在高于频率隙的频率范围内增加共振透射峰的 数目。 第三章：利用s u ( 2 ) 部分相干态的方法，并且将测量扰动看成j 一型杂质，我们 解析地研究二维开口正方形台球中测量扰动对疤痕波函数的影响，计算得到的波函数 几率密度分布结果与文献报道的实验结果符合得很好。计算结果表明，如果杂质处在 两条周期轨道的交点上，那么原本在其中一条周期轨道上加强的疤痕波函数会被杂质 部分散射到另一条周期轨道上；如果杂质处在某些特殊位置，疤痕波函数会去相干而 成为闭合正方形台球的对应本征态，这同样可以理解成疤痕波函数被部分散射到了另 外的周期轨道上。 第四章：利用散射矩阵的方法，我们研究开口正方形声子腔中的声子声学波的空 间分布情况。首次发现了在开口正方形声子腔中，声子声学波也会出现疤痕现象。与 开口量子点中电子的疤痕波函数形成原因相似，声子疤痕态的形成也是因为低温下声 子的输运是弹道输运，进入声予腔中的声子也只能激发很少一些动量相近的闭合声子 国 腔的本征态，这些本征态相干叠加形成了声子疤痕态。 第五章：我们研究椭圆形量子台球和非同心圆环形量子台球中的本征值问题。 利用保角变换的方法，椭圆形边界问题和非同心圆环边界问题都可变为同心圆环边界 问题。由于所研究问骶的内禀对称性，求出的能谱中，相邻能级之间会出现交叉或反 交叉的特性。为了深入理解系统的电子本征态，我们还计算了椭圆形台球中电子的 b o h m 量子轨迹。从量子轨迹中发现，对于某些态，在波函数节点区域可出现量子旋 涡。由于b o h m 量子轨迹在同一时刻不能交叉的特性，在旋涡区域会出现量子轨迹的 重组现象，利用这种现象可以容易地确定节点区域。 第六章：总结全文。 a b s t r a c t s e m i c o n d u c t o rd e v i c e sa r ed o w n s i z i n gd u et ot h er a p i da d v a n c e m e n t si ns e m i c o n d u c t o r t e c h n o l o g y i th a sr e a c h e dt h em e s o s c o p i cs c a l en o w a d a y sb u tr a t h e rt h a nt h em a c r os c a l e t h es t l l d yo ft h eq u a n t u mt r a n s p o r ti nm e s o s c o p i cs y s t e mb e c o m e st h e nv e r yi m p o r t a n t f u r - t h e r m o r e ，p h e n o m e n ao f t h eq u a n t u mc h a o sh a sb e e nf o u n db ys u c has 缸d y i n v e s t i g a t i o n so n t h eq u a n t u m t r a n s p o r ta n dt h eq u a n t u mc h a o si nm e s o s c o p i cs y s t e ma r eh e l p f u lt ot h ef l l r t h e r d e v e l o p m e n to fs e m i c o n d u c t o rt e c h n o l o g y t h i st h e s i s ，b a s e do nt h er e s e a r c hr e s u l t st h a th a v e a l r e a d yb e e na c h i e v e di np a s t ，s t u d i e sn u m e r i c a l l yt h eq u a n t u mt r a n s p o r ta n dt h eq u a n t u m c h a o si nm e s o s c o p i cs y s t e m i tc o n s i s t so f t h ef o l l o w i n gs i xc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h eb a s i cc o n c e p t so f m e s o s c o p i cs y s t e ma r ei n t r o d u c e d i ti se x p l a i n e d t h el a n d a u e r - b i i t t i k e rf o r m a l i s mf o rc a l c u l a t i n gt h ec o n d u c t a n c ea n dt h es c a t t e r i n gm a t r i x m e t h o df o rc a l c u l a t i n gt h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t i na d d i t i o n , t h er e s e a r c h e so nb a l l i s t i c p h o n o na n dt h et h e r m a lc o n d u c t a n c ea r er e v i e w e d t h es c a r r i n gw a v ef u n c t i o n ，ak i n do f q u a n t u m b e h a v i o ri nc l a s s i c a lc h a o t i cs y s t e m s ，i si n t r o d u c e d ；t h es t u d yo f q u a n t u m s c a r r i n gi n m e s o s c o p i cs y s t e mi sr e v i e w e d i nc h a p t e rt w o ，b yu s i n gt h es c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o d ，w ei n v e s t i g a t et h et r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n to f a c o u s t i cp h o n o na n dt h et h e r m a lc o n d u c t a n c ei nad o u b l e - b e n dw a v e g u i d es t r u c t u r e t h ec a l c u l a t i o nr e s u l t ss h o wm a lt h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t sh a v es t r o n gr e s o n a n c e s d u et os c a t t e r i n gi nt h em i d s e c t i o no fad o u b l e - b e n ds t r u c t u r e ；t h ep o s i t i o na n dt h ew i d t ho f t h er e s o n a n c ep e a k sa r ed e t e r m i n e db yt h ed i m e n s i o n so ft h em i d s e c t i o no fas t r u c t u r e d u e t os u c hs c a t t e r i n go fp h o n o nt h et h e r m a lc o n d u c t a n c ed e c r e a s e sw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h e t e m p e r a t u r ef i r s t ，t h e ni n c r e a s e sa f t e rr e a c h e sam i n i m u m f u r t h e r m o r e ，t h ei n v e s t i g a t i o no n t h em u l t i p l ed o u b l e b e n ds t r u c t u r e si ns e r i e si n d i c a t e st h a t ，t h ef i r s ta d d i t i o n a ld o u b l e - b e n d s t r u c t u r es u p p r e s s e st h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n ta n df o r m st h e nt h ef r e q u e n c yg a p ；f u r t h e ra ( 1 - d i t i o n a ld o u b l e b e n ds t r u c t u r e sh a v en oe f f e c to nt h eg a pp o s i t i o na n dw i d t h ，b u tc a l li n c r e a s e f i l en u m b e ro f t h er e s o n a n c ep e a k sa tt h e 丘e q u e n c y j u s ta b o v et h eg a pr e g i o n i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n gt h em e t h o dw i t hs u ( 2 ) p a r t i a l l yc o h e r e n ts t a t e s ，w ea n a l y t i c a l l ys t u d yt h ei n f l u e n c e so f t h ep r o b ep e r t u r b a t i o no nt h es c a r r e dw a v ef u n c t i o ni na 2 do p e d s q u a r eb i l l i a r db yt r e a t i n gt h ep r o b ep e r t u r b a t i o na sa6 - f u n c t i o nt y p ei m p u r i t y t b ec a l c u l a t e dp r o b a b i h t yd e n s i t i e sa g r e ew e l lw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sr e p o r t e d t h ec a l c u l a t i o n i n d i c a t e st h a t ，w h e nt h e & i m p u r i t yi sl o c a t e da tt h ei n t e r s e c to ft w op e r i o d i co r b i t s ，t h ew a v e f u n c t i o no r i g i n a l l ys c a r r e dm a i n l yo no n eo ft h e s et w op e r i o d i co r b i t sw i l lb es c a t t e r e dp a r - t i a l l yo n t oa n o t h e ro r b i t ；b u ti nt h ec a s et h a tt h ei m p u r i t yi sl o c a t e da ts o m es p e c i a lp o i n t s ，t h e s c a r r e dw a v ef u n c t i o nc a l lb ed e c o h e r e n ta n dt ob et h ee i g e n s t a t eo f t h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e d s q u a r eb i l l i a r d t h i sc a n a l s ob ec o n s i d e r e da st h es c a r r e dw a v ef u n c t i o ni sp a r t i a l l ys c a t t e r e d o n t oo t h e rp e r i o d i co r b i t s i nc h a p t e rf o u r , b yu s i n gt h es c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o d , w es t u d yt h et h es p a t i a ld i s t r i b u t i o no f t h ea c o u s t i cp h o n o ni no p e ns q u a r ep h o n o nc a v i t y i ti sf o u n df o rt h ef i r s tt i m et h ev c a v e s c a r r i n go ft h ea c o u s t i cp h o n o ni ns u c hac a v i t y s i m i l a rt ot h ew a v es c a r r i n go fe l e c t r o n si n a l lo p e ns q u a r eq u a n t u md o t ，t h er e a s o nf o rt h ew a v e s c a r r i n go f a c o u s f i cp h o r i o ni sd u et ot h e b a l l i s t i ct r a n s m i s s i o na tl o wt e m p e r a t u r e t h ei n j e c t e dp h o n o ni n t ot h ep h o n o nc a v i t yc a n o n l y t oe x c i t eaf e we i g e n s t a t e so f c l o s e dc a v i t yw h o s em o m e n t u m c o m p o n e n t sc l o s e l ym a t c h t h e c o h e r e n ts u p e r p o s i t i o no f t h e s es t a t e sg i v e sr i s et ot h ew a v ef u n c t i o ns c a r f i n g i nc h a p t e rf i v e ，t h ee i g e n v a l u ep r o b l e m si na ne l l i p t i cb i l l i a r da n dn o n c o n c e n t r i cb i l - l i a r da r es t u d i e d u s i n gac o n f o r m a lm a p p i n gm e t h o d ，t h ee l l i p t i cb o u n d a r yp r o b l e ma n dt h e n o n - c o n c e n t r i cc i r c l eb o u n d a r yp r o b l e mc a l lb et r a n s f o r m e di n t oac o n c e n t r i ct o m sb o u n d a r y e i g e n v a l u ep r o b l e m t h ee n e r g yl e v e ls p e c t r as h o wt h ep r o p e r t i e so f c r o s s i n go ra n t i c r o s s i n g b e t w e e nt h en e a r b yl e v e l sb yt h ei n h e r e n ts y m m e t r yo f t h ep r o b l e m t od e e p l yu n d e r s t a n dt h e p r o p e r t i e so f t h ee i g e n s t a t eo fa ne l e c t r o ni ns u c hs y s t e m ，t h eb o h m q u a n t u mt r a j e c t o r i e so f e l e c t r o n sa r ea l s oa n a l y z e df o ra ne l l i p t i cb i l l i a r d f r o mt h eb o h mq u a n t u mt r a j e c t o r i e sc a l c u l a t e d ，t h eq u a n t u mv o r t i c e sa r o u n dt h en o d a lr e g i o na r ef o u n di ns o m ec e r t a i ns t a t e s w ea l s o f o u n dt h er e c o m b i n a t i o no ft h eq u a n t u mt r a j e c t o r i e si nv o r t e x 砖垂o nd u et ot h en o n - c r o s s i n g p r o p e r t yo f b o h mq u a n t u mt r a j e c t o r i e s ，f r o mw h i c ht h en o d a lr e g i o nc a l lb ee a s i l yc o n f i r m e d c h a p t e rs i xi st h es u m m a r yo f t h et h e s i s 第一章 绪论 1 1 介观体系的基本概念 介观体系顾名思义是指尺寸介于微观和宏观之间的一种体系【1 】。介观物体比原子 这样的微观物体大得多，却比宏观物体小。界定物体的尺度是宏观还是介观是根据相 关的电子的三个特征长度：( 1 ) 与动能有关的德布罗意波长；( 2 ) 平均自由程( 电 子在初始动量损耗之前所行走的距离) ；( 3 ) 相位驰豫长度( 电子在初始相位改变 之前所行走的距离) 。当物体尺寸大于这三个量时，该物体就属于宏观的。但是这三 个特征长度对于不同的材料是不一样的，而且温度、磁场等对其都有很大的影响，因 此，从小到几个纳米到大到上百个微米都曾观察到介观输运现象。本节主要是介绍介 观体系的一些基本概念【l ，2 。 1 1 1 二维电子气 介观导体的实验工作大部分都是在g a a s a 1 g a a s 异质结上完成的，因为在g a a s 和a i g a a s 的界面上会形成一个很薄的二维导电层。为了理解这个导电层的形成原 因，我们来考察当两种材料刚刚接触时，导带和价带沿着z 方向的排布。如图1 1 ( a ) 所示，宽带隙的a 1 g a a s 层中的费米能级高于窄带隙g a a s 层中的费米能级，因此电子 将从n 型a 1 g a a s 中溢出而在其中形成施主正电荷。这种电荷空间分布所产生的静电 势使得能级发生如图1 1 r b ) 所示的弯曲。达到电荷平衡后，费米能级处处相等。因此 在g a a s 和a i c m a s 的界面处，费米能级处于导带内，电子密度在界面处会加强而形成 一个薄的导带层，这个导带层就被称为二维电子气( 2 一d e g ) 。二维电子气的典型载 流子浓度范围为2 1 0 “- - 2 1 0 1 2 e m 2 ，实验上可以通过将负偏压加在沉积于两个不 同半导体层表面上的金属门上来降低载流子浓度。这种二维电子气结构在实际应用中 常常被用来制作成场效应晶体管 3 ，4 】。 2国 置= lq k 。 e r 一 匕： 图1 1n - 型a i g a a s 和本征g a a s 的交界面上的导带和价带的分布，( a ) 和( b ) 分别对应于电荷 转移发生前后的情形。f 1 迁移率 g a a s 中的二维电子气可以实现非常低的散射几率。在低温下，通过载流子迁 移率，可以对由杂质和缺陷限制的动量弛豫时间进行直接测量。在载流子平衡条件 下，电子随机运动而不形成电流，当外加电场e 时，如图1 2 所示，沿着力e e 的 方向电子会出现个漂移速度。在定态时，电子由外场获得动量的速率严格等于电 子由于散射作用损失动量的速率：( d p 删散射= d p 叫外场。所以，m v d = e e ， 或，v d = e r , 。e m ，其中是动量弛豫时间。载流子迁移率定义为漂移速度与电场强 度的比值： p = 面z l d = 鲁 ( 1 1 1 )p2 面2 i t 1 。1 1 j 载流子的迁移率可以通过霍尔效应进行测量。一旦迁移率已知，就可以通过方程 ( 1 1 1 ) 求得电子的动量弛豫时间。在厚度为一1 0n m ，载流子浓度为1 0 1 2 c m 2 的g a a s 层中，二维电子气的载流子迁移率高于如6c m 2 v s 。 有效质量方程 半导体中导带内电子或者是价带内的空穴都对电导有贡献。然而，大多数的实验 显示，在介观导体中，导带内的电子定向移动是电导的主要原因。电子在导带内的运 国第一章绪论 3 _ 7 t v k k 。 图1 2 由于电场的存在，电子除了随机运动之外，还存在一个漂移速度。 i 】 动可以用下述方程描述， b + t ( i h v + e a ) 2 佃( r ) 卜( r ) = 删咄 ( 1 1 2 ) 其中u ( r ) 是空问电荷等引起的势能，a 是矢势，m 是电子的有效质量。上式称为单带 有效质量方程。在方程中没有包含在原子尺度上周期变化的晶格势，晶格势的作用是 通过有效质量m 引入的，m 被看成是不随坐标变化的常数。而能带的不连续最也 是通过将e 看成是空间坐标的函数的方式而包含在内的。 由方程( 1 1 2 ) 求出的波函数并不是真实的波函数，而是在原子尺度上没有突 变的光滑函数。这可以由均质的半导体看出，这时，u ( r ) = 0 ，a = 0 和匠一常 数，满足方程( 1 1 2 ) 的波函数是平面波，田( r ) = e x p i i 【r 1 ，而不是b l o c h 波，皿( r ) = u kr ) e x p i k r ，这是由于方程中没有引入晶格势。但是对于低场情况下的g a a s a 1 g a a s 异质结中的导带电子，单带有效质量方程( 1 _ 1 2 ) 式通常都是正确的。 子带 如图1 1 ) 所示的二维电子气，电子在。一y 平面内可以自由运动，在z 方向上 则受到势能u ( z ) 的限制。在没有磁场存在的情况下，该结构中电子的波函数可以写 成，( r ) = ( z ) e x p ( i k 。z ) e x p ( i 掣) ，色散关系为：e = 及+ + 舻( 磋+ 磅) 2 m 。 下标n 用来表示对应于不同波函数九( z ) 和截止能量e 。的不同予带。通常在低温和低 的载流子密度情况下，只有最低的n 一1 的子带被占据。因此，我们可以忽略：一方向 的影响，导体变成在。一y 平面内的二维系统。我们将用下式来替代方程( 1 1 2 ) ： + u ( z ，) m ( z ，) = e 田( 。，) ， ( 1 1 3 ) 掣 + p 昏 +b = 歇中其 4 1 1 2 特征长度 德布罗意波长 费米波矢k f 与电子密度的平方根成正比，对应的费米波长则为 a ，= 2 7 r k s = 瓜 ( 1 1 4 ) 如果电子密度是5 l o l ! c m 2 ，则费米波长大约为3 5r a m a 德布罗意波长是介观体系的 特征长度之，然而在低温下，电流主要由能量接近费米能级的电子提供，因此费米 波长就是相应的特征。 平均自由程 电子在理想晶体中运动就好比自由电子在真空中运动，只是这时的质量由有效 质量来表征。任意对理想晶体的破坏，例如杂质、晶格振动( 声子) 或者其它的电 子的存在都会导致电子从一个态散射到另外一个态，从而导致动量的变化。动量弛 豫时间与碰撞时间有关，它们之间的关系为，1 一q 。丁c ，其中因子 ( o p 2 内，横向模式的数目m 不发生变化，则 ，：军m 垫趔辛g 。：下2 e 2 m ， ( 1 _ 2 6 ) ne n 1 2国 因此接触电阻( 弹道波导的电阻) 为 g ：- 1 = 虹半= 南“警 ( 1 z 7 ) 可以看出，接触电阻与横向模式的数目成反比关系。单模式导体的电阻为z1 2 9k q ， 当然不能够被忽略! 我们通常研究的是宽导体，其中具有上千个横向模式，因此接触电阻很小而不被 注意。要计算横向模式的数目m ( e ) ，我们需要知道不同模式的截止能量e n ，正如第 1 1 3 节所述，截止能量具体决定于约束势能u ( y ) 和磁场。然而对于宽导体，在零场 情况下，约束势能的具体形式并不重要，我们可以简单的利用周期性边界条件来确定 横向模式的数目，这样b 允许值的间隔为2 7 r w ，每个对应于一个横向模式。当 能量为e f ( = h = k ；2 m ) 时，只有一， k f 的模式才是导通的。所以导通模式 的数目为 m ：i a t 业1 ：n 黑1 ( 1 2 t 8 ) l “jl ，z j 其中i n t ) 表示小于z 的最大整数。假设费米波长为3 0n n 2 ，那么1 5 岬宽的场效应 晶体管的模式数目近似为1 0 0 0 ，因此接触电阻大约为1 2 5q 。 g a t ev o l t a g e 、，) 图1 8 量子点接触的量子化电导。【2 】 接触电阻可队利用点接触进行直接测量。1 9 8 8 年分别有两个组独立地进行了实验 测量【2 1 2 2 ( 图1 8 ) 。当门电压矿增大，也就是点接触的宽度减小时，电导出现台 阶状离散减小，每个电导台阶的高度为2 e 2 危。这点可以由方程( 1 2 6 ) 得到，因为m 是整数，它表示点接触的费米能以下子带或者说是横向模式的个数。虽然点接触的宽 度是持续变化的，但是横向模式的变化却是离散的。当导体尺寸是波长的上千倍时， 电导的这种离散性是不明显的，原因是由于w 很小的变化就会使得m 变化很多。 图t 8 不仅说明存在接触电阻或称为界面电阻，还说明在处理窄导体时，横向模 式是真实存在的。类似于电磁波导，窄导体可以看成是“电子波导”，其中的电流由离 国第章绪论 散数目的横向模式决定( 就象电磁波导中的t e l o 和t e l l 模式) ，接触电阻与横向模 式的数嗽反比。 1 2 2l a n d a u e r - b i i t t i k e r 公式 l a n d a u e r 公式 大块导体的电导满足欧姆定律，g = 盯w 儿，但是当导体尺寸变小时，电导有两 个修正。第一个就是不依赖于样品长度l 的界面电阻：第二个就是电导不是随着样品 宽度线性减小，而是依赖于导体中的横向模式的数目，随着宽度的减小呈现台阶状 减小。l a n d a u e r 公式包含了这两个特性，这也就是本节要推导的：g = m t 2 e 2 h 。因 子t 表示一个电子由导体的一端进入而从另一端输出的平均概率。如果透射几率为1 ，那么l a n d a u e r 公式就是弹道导体包含了接触电阻的电导表达式( 见公式( 1 2 6 ) ) 。 图1 9 透射几率为t 的导体通过两根导线连接两个触点。假设是在零温情况下，那么两根导 线中的入射电子的能量分布函数是台阶函数。表示如。 1 】 对于如图1 9 所示的导体，假设两根导线都是弹道导体，每根导线中都有m 个 横向模式，t 表示一个电子由导线1 进入而由导线2 输出的平均几率。我们假设电子 由导体进入触点是无反射的，那么导线1 中的+ 态完全由来自左边触点的电子所占 据，因此这些态的电化学势能为卢1 。同理，导线2 中的一k 态完全由来自右边触点的 电子所占据，因此这些态的电化学势能为比。 零温时，只有能量处在“1 和肛2 之间的电子对电流有贡献，由导线l 流入的电流 为s t = ( 2 e h ) m ( # l 一肚2 ) 。由导线2 流出的电流则是由导线l 流入的电流乘上透射几 1 4 率t ：口= ( 2 e h ) m t ( # 1 一p 2 ) 。剩余的电流都被反射回触点1 ： i f = ( 2 e h ) m ( 1 一r ) ( p 1 一t l 2 ) ： ( 1 2 9 ) 则净电流为 = 硭一百= 劈= ( 2 e h ) m t ( # l 一肛2 ) ( 1 2 1 0 ) 所以电导等于 g = 声= 警舰( 1 2 1 1 ， 注意，这里的t 表示一个电子由导线1 进入而由导线2 输出的平均几率。在实际计算 中，l a n d a u e r 公式常常表示成 2 ： g ：等2 圣n 矗：百2 e 2 妻，批。l 。三警聊t ，( 1 2 1 2 ) 其中咒= ：! ：! ：。i t 。 2 用由模式n 透射到模式m 的透射几率幅的矩阵形式表示。 b i i t f i k e r 公式 方程( 1 2 1 1 ) 和( 1 2 1 2 ) 适用于两个触点的情形。1 9 8 5 之后的许多介观实验都是用 微型霍尔电桥来实现的，也就是四端测量方法，这时导体连接有四个触点，l a n d a u e r 公式不再适用。对于这种情形，b i i t t i k e r 2 3 】从l a n d a u e r 公式出发解决了该问题。他发 现，因为电流触点与电压触点没有定性的区别，所以可以将两终端线性响应公式 f = 争( 纩曲 简单地扩展成对所有终端( 用p 和g 来表示) 的电流求和 耳= 警( - 。呻一t p q z q ) ， 利用v = p e ，方程可以改写成 其中 ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) 厶= ( g 。k 一k ) i ( 1 2 1 5 a ) g n 一2 e 2 币 o p q 2 百。p q n 2 1 5 b ) 下标中的箭头用来说明电子是由第二个下标所表示的触点传输到第一个下标所表示的 触点。以下将省略下标中的箭头。 国第一章绪论 1 5 为了保证当各触点的势能相等时电流为零，方程( 1 2 1 5 ) 中的参数g 应该满足下 列求和规则： 这样方程( 1 2 1 5 ) 可以等价的写成 = g 南 口p = ( k k ) 另外电导参数g 还满足下列关系式，其中b 表示磁场 1 2 3 电子束的准直 g 归】+ b ；【g 。】一b ( 1 2 1 6 ) ( 1 2 1 7 ) ( 1 2 ，1 8 ) 量子点接触可用来于二维电子气体中发射一准直电子束，准直是指发射电子柬角 分布的窄化。本节主要讨论逐渐收缩的点接触的准直效应，亦称喇叭口准直【2 ，2 4 】。这 个效应首先由b e e n a k k e r 2 5 】提出用来解释w h a r a m ( 2 2 】关于两个对着的点接触的电阻比 单个点接触电阻的和小很多的实验观察。 二游6 一 t w r n i n 图1 1 0 准直效应的示意图。( a ) 陡峭颈缩情况。( b ) 喇p a r e 状颈缩情况。虚线轨迹以大于接受 入射角的角度口入射则会被反射。【2 】 由于准直是经典力学的概念，在这里，我们利用准经典的方法来讨论f 2 t 2 5 1 。准经 典情况下，准直效应的产生是由于通道宽度和横向动量危。的绝对值的乘积是绝 热不变的，即如果点接触区域内的静电势足够平滑，那么从点接触的入口到出口，量 s = i 1 w 都近似为常数。如图1 1 0 所示，准直效应将点接触的接受入射角的大小由 原来的_ 7 r 减小到2 a 一，电子如果以大子。的角度入射将被反射。反之，所有的电 子的出射角都满足d 凸：。，即出射电子形成了一束张角为2 凸缸a x 的准直束。 为了得到准直效应的解析表达式，如图1 1 0 所示，我们采用三个参数：w j - m 、伉，m 。 和e 来描述点接触的势能形状。在势垒高度为最高值e c 处，点接触宽度最小，等于 巩此处 岛i 、( 2 m h 2 ) ( e 一及) w ，m m ( 1 2 1 9 ) 1 6国 而在点接触的出口处，由于势垒高度为零。宽度达到极大值w m 。，这时 岛三抓丽丽s i na 。耽。( 1 2 2 0 ) 由于是绝热输运，这就要求研= 岛，所以 m a x a r c s i n ，_ 1 ；，三压器( 1 2 2 1 ) 绝热近似情况下，入射电子角分布p ( 。) 与c o s o r 成正比，但是在士。处会突然截 断。 p ( ) ：fi - s c o s 【0 如果q a x c s i n f 一1 ： 其他。 由于时间反演的对称性，出射电子也具有相同的角分布。对于陡峭颈缩情况，横向动 量的守恒性决定了准直效应的产生，直接就可以得到方程( 1 2 2 2 ) 。 1 2 4 透射系数的计算 根据方程( 1 2 1 1 ) 和( 1 2 1 2 ) 可以看出，如需求通过介观导体的电导的话，主要是 要求出电子通过导体的透射系数即透射几率幅的模平方。许多对一维横向超晶格中的 弹道输运现象的研究是利用传输矩阵的方法 2 6 - 3 1 】。至于怎样使用传输矩阵计算二维量 子波导的电导问题，s h e n g 3 2 作了较为详尽的研究。但是对于强调制的系统，例如大 尺寸的开口量子点，传输矩阵具有数值计算不稳定的缺点，其原因是，在计算过程中 为了保持完备性，除了考虑输运模式以外，还必须计及耗散模式，这就造成了指数增 长和指数衰减的波函数同时存在，从而导致计算的迅速发散【”，1 6 ，3 3 】。对于传输矩阵遇 到的困难，可以通过散射矩阵方法来解决。k o l l 7 1 ，b a n d y o p a d h y a y 1 8 】和t a m u r a 19 】都 使用了散射矩阵的方法对准一维的情况进行了研究，之后x u 1 5 】首先使用散射矩阵的 方法研究了二维反量子点阵( q u a n t u ma n t i d o ta r r a y s ) 问题。s h e n g 对如何将散射矩阵 方法用于二维介观体系作了详尽的研究，本节主要是参考s h e n g t l 6 】的工作。 基本公式 对于二维薛定谔方程 卫2 m * ( 孬0 2 + 嘉) 删删m 如川卜沪眺砒( 1 2 2 3 ) 其中m + 是电子的有效质量，阢( z ，掣) 是横向约束势能，巩。( 卫，可) 是外场，e 是二维电 子气的费米能量。 国第一章绪论1 7 图1 1 l 沿纵向方向将二维量子波导分割成许多横向小块以便研究。 1 6 对于具有复杂几何形状的普通波导结构，如图1 1 l 所示，常常将它分割成许多均 匀小块以便计算，因此，波导中任意位置处的波函数都可以写成是相应小块中横向模 式的线性叠加。对于m 小块中的任意位置窖，我们可以将波函数展开成如下形式： 壬( z ，f ) = 0 。e 让和+ 6 n e 一咖) 簖( ) ； ( 1 2 2 4 ) n = l ( 啊，? ，一，m m ) 7 = c 。( 妒? ，妒孑，妒戮) 7 妒? 0 ) = 2 y 甄ms i n ( n r y d 。) ， n 2 2 5 ) n 2 2 6 ) 其中是第m 小块的宽度，m 是用来计算的横向模式的数目，c 。是m 维矩 阵，馏是第竹模式的纵向波矢。为了简便起见，我们假设是硬壁约束，即波导内部约 束为零，其外则为无穷大。 虽然在触点上只需要考虑输运模式【3 4 1 ，但是在波导中，耗散模式对于电子输运 是很重要的，因此在计算中必须计及一定数目的耗散模式。因此，m 。既包含输运模 式又包含耗散模式，它可以由婿来确定。求解下面的本征值问题，从而得到c 。和 埒。 丑孑( c 量) 耐= e 一舻( 婿) 2 2 m + ( c 鲁) 戚； j = l 叼= z m 谬( 们 一丽h 2 万0 2 + ( g ) 修( 掣) 曲 r 1 2 2 7 ) f 1 2 2 8 ) 其中 必须取得足够大以保证婿( 1 7 , d ，m ) 的收敛性。由 维矩阵c 麓求得 m 。维矩阵c 。，当存在外场时，c 。不是单位矩阵【” ，而当没有外场存在时，上面的 公式就可以简化为：婿= 、压丽啊7 i r 面孑石：泸，c 。也成为单位矩阵。 1 8 在波导中，z 处的波函数可以表示成2 n ( x ) 维列矢量i ( x ) a ( x ) = a + ( 卫) ，a 一( 。) 】t ； a + ( z ) = 【1 e t 1 t ，0 2 e t b 2 ，o 。e i k 。 t ； a 一( z ) = 【b l e 叫m ，6 2 e 一址，k e _ m 】r f 1 2 2 9 ) ( 1 2 3 0 ) ( 1 2 3 1 ) 其中a + ( z ) 和a 一( 茁) 分别表示右行波与左行波的通量。如果z 处在入射导线中，由 于右行波是从导线出来，而左行波则是进入导线的，因此a + ( z ) = a 4 ( z ) ，a 一( z ) = a o 知) 。对出射导线可以进行类似讨论。 对两个不同的位置z 1 z 2 ，列矢a ( x 1 ) 与a ( x 2 ) 之间的关系可以用散射矩阵表 示成 ， 雠a t ( x 。1 ) ) l - s ( 酬雠外 ( 1 2 3 2 ) 其中s ( z 1 ，z 2 ) 是( ( z ，) + n ( x 2 ) ) 维散射矩阵。如果z 1 和z 2 之间是均匀的，那么 n ( x 1 ) = n ( x 2 ) = n ，对应的散射矩阵为 毗。q z ) = 睇i ， ( 1 - 2 3 3 ) 其中p 是维对角矩阵，对角元为r 。= e i ( 。一。t ) 。 我们注意到，在散射矩阵公式中，只出现了分h 缸部分，而在传输矩阵公式 中，e 诅m 缸和e - i k m s x 都必须考虑，对于耗散模式，如果m 或者是妇很大，那么e k 妇 会很小，而e h 缸则会很大，从而会发散，这样对于传输矩阵就会出现数值计算的困 扰，但是散射矩阵方法则没有。 对三个不同的位置，。1 z 2 。3 ，设散射矩阵s ( x 1 ，。2 ) 和s ( x 2 ，z 3 ) 已经求得 s c 茁，z 。，= 7 1 差 ，s c z 。，z a ，= t 2 毳 那么x 1 和x 3 之间的散射矩阵为 1 9 】 s c $ ，z 。，= s c z ，。z ，。s c z 。，。s ，= r 1 2 差： ， t 1 22 屯( 1 一r ：r 2 ) 一1 t l ； 其中， 。i2三q一r2哗一-1磊t,jr12r l t l r 2 ( 1 。) 一。t l ； = + 一r i ”2 厂1； r i 2 = r ；+ t 2 r i ( 1 一r 2 r i ) 一1 艺 ( 1 2 3 4 a ) (