（光学专业论文）量子门操作与量子纠缠.pdf

2 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 摘要 在量子信息科学中。有两个基本的概念：量子门操作和量子态。量子门操作 是描述量子态演化的幺正算子。量子计算机被认为有比经典计算机更强的计算和 模拟能力，一次量子计算的过程可以看作是一系，基本的量子门操作作用在一个 标准的初态上，然后进行一次标准的测量。量子态中最重要的是纠缠态。纠缠态 不仅可以用来检验量子力学基础，还是处理量子信息最重要的一种资源，有许多 有趣的应用，例如大家所熟知的量子隐形传态、密集编码和密钥分发。量子门操 作与纠缠态有紧密的联系：量子门操作能产生或增加量子纠缠，而且纠缠态也可 以用来构造量子门操作。 在这篇论文中我们主要研究量子门操作的构造、量子门操作与量子纠缠之间 的相互转化阻及纠缠态的应用包括： 1 量子门操作的构造。 在两比特门操作的构造中，我们引进了两个新的概念：镜像门和超控制门。 镜像门描述了两个门操作之间的一种关系。我们提出了一个关于镜像门的定理， 通过这个定理我们可以证明c n o t 门操作和d c n o t 门操作有相同的门构造能 力，我们还可以证明在单比特门操作的辅助下只有所谓的b 门才有两次使用就 能构造任意的两比特门操作的能力。超控制门是一类特殊的门操作，三次使用任 何超控制门就可以构造出任意的两比特门操作。 我们给出了两比特门构造的一个必要条件。在单比特门操作可以任意使用的 情况下，我们想知道是否有可能一次使用门操作u 和以就可以构造出门操作 玑。这个问题还没有得到解决，但我们给出了这种构造的一个必要条件。 我们也讨论了一个固态量子计算方案中的门构造问题。这个计算方案基于可 控的海森堡交换作用和一个全局的磁场。与已有的方案相比我们的方案有其自身 的优点。 2 量子门操作产生纠缠的能力。 量子门操作作用在初态上之后，得到的末态的纠缠可能是增加了的。假定单 比特门操作可以任意使用，我们计算了任意两比特门操作作用在一个纠缠为c 0 的初态上得到的末态纠缠的最大值。我们的结果能够用来讨论如何最大化末态与 初态纠缠的差以及如何利用一个给定的两比特相互作用来有效地产生纠缠。 3 利用纠缠态产生量子门操作。 量子纠缠能够用来产生非定域的门操作和远程的门操作。利用纠缠来产生非 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 定域的门操作对分布式量子计算特别重要。我们讨论了利用纠缠态来实现非定域 的受控旋转门操作。我们用两比特纠缠纯态在空间分开的两个量子比特上实现受 控旋转门操作。我们得到的成功几率在参数的一些取值范围中是晟高的。定性的 讲，我们得到的成功几率是纠缠的增函数同时也是旋转角度的减函数。当使用的 纠缠态向最大纠缠态或旋转角度向零靠近的时候，我们得到的成功几率向1 0 0 靠近。 4 利用纠缠态进行确定性的远程态制备。 远程态制各可以认为是一种量子态传输方案。我们得到了许多利用共享的纠 缠以及最少经典通信量就可以确定性制备的量子态的集合，并且证明我们找到了 最少经典通信量就可以确定性制备的所有量子比特态的集合。进一步地我们证明 了利用共享的非晟大纠缠纯态和有限的经典通信就可以确定性的远程制备任意 的量子态，而 用非最大纠缠态的隐形传态方案只能以一定的几率成功。 关键词：量子门操作，量子计算，纠缠态，远程态制备。 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a c t i nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e t h e r ea r et w ob a s i cc o n c e p t i o n s ：q u a n t u mg a t e o p e r a t i o na n dq u a n t u ms t a t e q u a n t u mg a t e sa g eu n i t a r yo p e r a t i o n su s e dt od e s c r i b e t h ee v o l u t i o no fq u a n t t t ms t a t e s q u a n m mc o m p u t e r sa r eb e l i e v e dt ob em o r e p o w e r f u lt h a nc l a s s i c a lc o m p u t e r si nc o m p u t a t i o na n ds i m u l a t i o n , a n dq u a n t u m c o m p u t a t i o no a n b er e g a r d e da sa p r o c e s st h a tas e r i e so fb a s i cq u a t u mg a t e sa p p l yt o as t a n d a r di n i t i a ls l a t ea n dt h e nas t a n d a r dm e a s u r e m e n tf o l l o w s e n t a n g l e ds t a t ei st h e m o s ti m p o r t a n tq u a n t u ms t a t e i tc a nn o to n l yb e u s e dt oe x a m i n et h eb a s i so f q u m r u mm e c h a n i c s b u ta l s oh a sm a n yi n t e r e s t i n g a p p l i c a t i o n s ，s u c h a st h e w e l l - k n o w nq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，d e n s ec o d i n ga n dk e yd i s t r i b u t i o n q u a n t u mg a t e o p e r a t i o na n de n t a n g l e ds t a t eh a v eac l o s er e l a t i o n ：o nt h eo n eh a n d , q u a n t u mg a t ec a l l g e n e r a t eo ri n c r e a s ee n t a n g l e m e n t , o nt h eo t h e rh a n d ，e n t a n g l e ds t a t ec a nb eu s e dt o c o n s t r u c tq u a n t u mg a t eo p e r a t i o n h lt h i sd i s s e r t a t i o nw em a i n l yf o c u so nt h ec o n s t r u c t i o no fq u a n t u mg a t e s t h e c o n v e r s i o nb e t w e e nq u a n t u mg a t e sa n de n l a n # e m e n la n dt h ea p p l i c a t i o no f e n t a n g l e ds t a t e s t h ew o r ki sl i s t e d f a l l o w s ： 1 t h ec o n s t r u c t i o no f q u a n t a mg a t e s w ei n t r o d u c et w on e wc e r i s e p t i o n so l lt w o q u b i tg a t ec o n s t r u c t i o n ：m i r r o rg a t e a n ds u p e r - c o n t r o l l e dg a t e m i r r o rg a t eg i y e sar e l a t i o nb e t w e e nt w og a t e s at h e o r e m o nm i r r o rg a t ei sp r e s e n t e dt h r o u g hw h i c hw ec a r tp r o v et h a tc n o ta n dd c n o t g a t e sh a v et h es eg a t ec o n s t r u c t i o na b i l i t ya n dt h a to n l yt h es p e e i mbg a t eh a st h e a b i l i t yt h a tt w oa p p l i c a t i o n sc a nc o n s t r u c ta n yt w o q u b i tg a t ew h e ns i n g l e - q u b i tg a t e s f i r ea v a i l a b l e s u p e r - c o n t r o l l e dg a t ei sak i n do fs p e c i a lg a t e sf l h a tt h r e ea p p l i c a t i o n s c a nc o n s t r u c ta n yt w o q u b i tg a t e w e g i v ean e c e s s a r yc o n d i t i o no nt w o - q u b i tg a t ec o n s t r u c t i o n w h e ns i n g l e q u b i t g a t e sa r ca v a i l a b l e , w ew a n tt ok n o w w h e t h e ri ti sp o s s i b l et oc o n s l r u e tt h eg a t e w i t ho n l yo n ea p p l i c a t i o no ft h eg i v e ng a t e su i a n d t h eq u e s t i o ni sn o t r e s o l v e db u tw ep r e s e n t e dac o n d i t i o nt h a ts h o u l db es a t i s f i e dw h e nt h ec o n s t r u c t i o n i sp o s s i b l e w ea l s od i s c u s st h eg a t ec o n s t r u c t i o ni nas o l i ds t a t eq u a n r m lc o m p u t a t i o n p r o t o c o lw h i c h l 1 s e sc o n t r o l l a b l eh e i s e n b e r ge x c h a n g ei n t e r a c t i o n sa n dag l o b a l m a g n e t i cf i e l d c o m p a r e dt ot h ek n o w np r o t o c o l s ，o u l p r o t o c o lh a ss o l n ga d v a n t a g e s 2 e n t a n g l e m e n tg e n e r a t i o np o w e ro f q u a n t u mg a t e s e n t a n g l e m e n tm a yb ei n c r e a s e dw h e naq u a n t u mg a t ea p p l i e st oa l li n i t i a ls t a t e w h e n s i n g l e q u b i tg a t e s a r ea v a i l a b l e w ec a l c u l a t et h ea c h i e v a b l em a x i m a l 2 0 0 7 盘 中国科学技术天学博： 学位论立 e n t a n g l a n e n tw h e nat w o - q u b i tg a t ei sa p p l i e dt oa l li n i t i a ls t a t ew i t he n t a n g l e m e n tc 0 0 i 盯r e s u l tc a nb eu s e dt od i s c u s sh o wt om a x i m i z et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ef i n i a l a n dt h ei n i t i a le n t a n g l e m e n ta n dh o wt og e n e r a t e de n t a n g l e m e n to p t i m a l l yu s i n ga g i v e i lt w o q u b i ti n t e r a c t i o n 3 g a t ec o n s t r u c t i o n 啪i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n t e n t a n g l e m e n tc & nb eu s e dt oc o n s t r u c tn o n - 1 0 c a la n dr e m o t eq u a n t u mg a t e s u s i n ge n t a n g l e m e n tt oc o n s t r i c tn o n 1 0 e a lq u a n t u mg a t ei sc r u e i j df o rd i s l r i b u t a d q u a n t u mc o m p u m f i o n i m p l e m e n t a t i o no fc o n t r o l l e dr o t a t i o n su s i n ge n t a n g l e m e n ti s c o n s i d e r e d w el 塔eag e n e r a lt w o - q u b i tp u r es t a t et oi m p l e m e n tc o n t r o l l e dr o t a t i o n s e l lt w o s e p a r a t eq n b i t s n ep r o b a b i l i t yo ft h es u c c e s sw e a c h i e v ei sh i g h e rt h a nt h e k n o w nr e s u l t si ns o m ep a r a m e t e r r e g j o n s q u a l i t a t i v e l yt h ep r e b a b i l i t yo f t h es u e e e $ s w ea c h i e v ei s i n c r e a s i n gf u n c t i o no f t h ee n t a n g l e m e n ta n dad e c r e a s i n gf u n c t i o no f t h ec o n t r o l l e d - r o t a t i o na n g l e ，a n dt h ep r o b a b i l i t yo fs i 1 c c e s sw i l la p p r o a c ht h eu n i t w h e nt h ee n t a n g l e ds t a t ea p p r o a c h e sab e l ls t a t eo rt h ec o n t r o l l e d - r o t a t i o na n g l e a p p r o a c h e sz e r o 4 f a i t t f f l j lr e m o t es t a t ep r e p a r a t i a nu s i n ge n t a n g l e m e n t r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o nc a nb er e g a r d e da sak i n do fs t a t et r a n s m i s s i o n w e p r e s e n tm a n ye n s e m b l e so fs t a t e st h a tc 邪b er e m o t e l yp r e p a r e db yu s i n gm i n i m u m c l a s s i c a lb i t sf r o ma l i c et ob o ba n dt h e i rp r e v i o u s l ys h a l e de n t a n g l e ds t a t ea n dp r o v e t h a tw eh a v ef o m a da nt h ee j l 湖b 】e si nt w o - d i m e n s i o n a lc a s e f u r t h e r m o r ew es h o w t h a ta n yp u r eq u a n t u ms t a t ee a r lb er e m o t e l ya n df a i t h f u l l yp r e p a r e db yu s i n gf i n i r e c l a s s i c a lb i t sf r o ma l i c et ob o ba n dt h e i rp r e v i o u s l ys h a r e dn o n m a x i m a l l ye n t a n g l e d s t a t et h o u g h1 1 0f a i t h f u lq u a n t u mt e l e p o r t a t i a np r o t o c o l sc a nb ea c h i e v e db yu s i n ga n o t m m x i m a l l ye n t a n g l e ds l a t e k e yw o r d s ：q u a n t u mg a t e ，q u a n t u mc o m p u t a t i o n , e n t a n g l e ds t a t e , a n dr e m o t es t a t e p r e p a r a t i o n 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：吖喝勇 岬年严月中日 2 7 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章量子信息处理的基本知识 量子力学应用到信息领域，开创了量子信息学这门新兴交叉学科。量子纠缠 和量子门操作是处理量子信息的有用资源。这一章将介绍量子纠缠和量子门操作 的一些基本知识，它们在后面的章节中会多次提到。 1 1 量子信息科学简介 诞生于二十世纪初的量子理论使我们对自然界的认识程度得到极大的提高。 量子理论在物理学和化学的许多领域有重要的应用，它应用到信息领域就开创了 量子信息这门学科。量子信息科学是- f 3 交叉学科，它涉及到物理学、计算机科 学和信息科学，它主要包括量子计算和量子通信两部分。量子信息科学的出现有 一定的必然性，它在上世纪九十年代引起重视并逐步发展起来。 经典计算机目前得到了广泛的应用。经典计算机就是我们日常生活中说的计 算机，“经典”二字是相对“量子”而言的。经典计算机的核心部分是中央处理 器( c p t o ，目前它的制造依赖于半导体工艺。摩尔定理认为半导体芯片上集成的 晶体管数目每两年将翻一番1 。摩尔定理实际上是一个经验的预测，在很多年它 与实际情况大致相符。摩尔定理说明单位芯片上晶体管的集成密度将越来越高， 经典计算机的运算速度将越来越快。晶体管的集成密度越来越高将至少带来两个 问题。首先是散热的问题。l a n d a u e r 原理告诉我们每攘除一个比特的信息，经典 计算机都要向环境散发一定的热量，而擦除信息是经典计算机里常用的一种操作 犁。另外，为了追求晶体管的集成度，处理器厂商采用了越来越先进的技术，目 前已开始采用6 5 r i m 的制造工艺，量子效应将很快显示出来，摩尔定理的预言持 续的时间将不会很长。量子计算机建立在量子力学的基础之上，它刚好能够克服 上面的两个经典计算机将面临的问题，而且它有比经典计算机更强的计算和模拟 能力。虽然量子计算机有很诱人的前景，但是制造出适用的量子计算机也有它自 身的困难，主要是实际系统的消相干比较严重。 相对论是二十世纪初诞生的另- - i 3 伟大理论。它的基本观点之一就是信号的 传播速度不会超过光速。但是按照量子理论，空问分开很远的粒子问可以存在特 殊的关联，这让人们思考是否有可能利用量子效应进行超光速通信。这个问题归 结到是否有可能对一个未知的量子态进行克隆。1 9 8 2 年，w o o t t e r s 和z u r e k 指出 对未知的量子态不可能进行精确的克隆4 。不可克隆定理是量子密码安全性的基 2 0 0 7 年 中国科学技术夫学博j p 学位论文 础。量子密码己接近适用，目前有三家公司提供商业的量子密码系统5 。 量子信息科学中用量子态表示信息。量子信息的度量、储存、传输以及处理 都是研究的内容。用量子态来表示信息会带来什么结果是量子信息科学要回答的 主要问题。量子态满足叠加原理，从而导致纠缠态的存在。量子纠缠态是量子信 息处理中的重要资源，比方说纠缠态可以作为一种传送量子信息的特殊通道，利 用这种通道传送量子态可以不用物理地传送量子系统6 。封闭系统量子态的演化 用幺正算子来描述。本论文中的量子门操作就是幺正算子，它是处理量子信息的 工具。 本论文主要研究量子门操作的构造、量子门操作与量子纠缠之何的相互转化 以及纠缠态的应用。在第二章我们讨论量子门操作的构造。在第三和第四章我们 讨论量子门操作与量子纠缠的相互转化。在第五章我们讨论利用纠缠态进行确定 性的远程态制各，远程态制备实际上是量子信息的一种传输过程。 1 2 基本概念和定义 这一节做一些概念的说明，对这些概念并没有展开讨论，有些甚至只是给出 了在一些特殊情况下的说明或计算方法，这是因为这些简单的说明就能够帮助理 解本论文中的内容。 g t - 螨( q u b i t ) 抽象的两态量子系统称为量子比特7 。 计算基( m p u t a “o n 曲lb a s i s ) 假定目o ) ，1 1 ) 是描述单量子比特的一正交基， 则量子态i ) i ) ，= o ，i 组成多量子比特的一正交基，称为计算基。两 量子比特的计算基为 i o ) l o ) ，i o ) p ) ，1 1 ) 1 0 ) ，酬1 ) 。 魔幻基( m a g i cb s s i s ) 如下的四个两量子比特态组成的基称为魔幻基8 ： h ) = 去( i o ) 1 0 ) 一1 ) ) ，l 中：) = 去( i o ) l o ) + | 1 ) | 1 ) ) “ ”? ( 1 1 ) 。老( | 0 ) 】1 ) + 1 1 ) i o ) ) ，2 西1 ( 1 0 ) 1 1 ) 一1 1 ) l o ) ) 计算基用魔幻基表达出来就是 i o ) 1 0 ) 2 击( 一和) + ，i o ) 1 1 ) 2 壶( 一和，) + ( 1 2 ) 1 1 ) 1 0 ) 2 疆i ( 一一i 。) ) ，i i ) 1 1 ) 5 去( 扣t ) + f o ：) ) ( 1 3 ) 假设 l 甲) = 嘞 f ) l 力= t l 中，) ( 1 4 ) 2 0 0 7 正 中国科学技术大学博士学位论文 则有 = 亨( 啦+ 6 2 ) ，c h = 每( f 以+ 6 | ) ， ( 1 5 ) v zv z q o = 苦( 慨一以) ，q - = 苦( - j 6 1 + 6 2 ) ， ( 1 6 ) 、，z z 岛。西- - i 一吼如。万1 + 吼 ( 1 7 ) 岛2 万- - l ( ”, 7 1 。) ，缸2 老( * q o ) ( 18 ) 门操作( g a t eo p e r a t i o n ) 作用在量子态上的幺正操作称为门操作。如不特殊 说明，本论文中的门操作的行列式都设定为1 ，即讨论的都是特殊幺正操作。量 子门操作有时候简称量子门。 纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e ) 多粒子纯态如果不能写成单粒子纯态的直积，就说 这个态是纠缠态。例如魔幻基中的四个态都是纠缠态。 熵纠鬃 ( e n t r o p y ) 它是对两体纯态纠缠程度的一个度量7 。设一口是纯态 i 掣。) 的密度算子，a 系统的约化密度算子为一= t r b ( ) a 态i l 王，。) 的熵纠缠 为 s ( i v 。) ) = 一t r ( p al o g p a ) ( 1 9 ) 对两量子比特纯态而言，熵纠缠在0 和1 之间取值，取值越大表示纠缠程度越高。 式( 1 1 ) 中的态都有最大熵纠缠。 并发纠缠( c o n c u r r e n c e ) 它也是纠缠的一个度量8 。将一个两量子比特态在魔 幻基下展开i t 壬r 。) = 钆f 吼) ，其并发纠缠为c a 掣。) ) 爿霹i 。如果将两量子 比特态j 甲。) 在计算基下展开j 壬，。) = 吒j f ) l 力，则其并发纠缠的表达式为 o 1 0 c ( i v 。) ) = 2 in 0 0 q - a o ， = 2 1 0 e t ( a ) l ( 1 ，io ) 这里的4 是系数矩阵。并发纠缠的取值也在0 和l 之间。并发纠缠的严格定义在 这里并没有给出，具体的可以参考相关文献。这里只是给出了对两量子比特纯态 如何计算并发纠缠的两个公式。 局域幺正等价关系两个多体量子态如果仅通过单体幺正操作就可互相转 化，他们就是局域幺正等价的，它们的纠缠结构相同。两个多体量子门操作如果 仅通过单体门操作就可以相互转化，他们也是局域幺正等价的，它们产生纠缠的 能力相同。 优于关系( m 幻。血a 妇o n ) 7 设簟= “，) 和y = 幻，) 是两个d 维实矢 2 0 0 7 年中国科学控术大学博i 学位论文 4 量。将x 和y 的元素按降序重新排列得到两个新的矢量= ( 0 ，一：1 和 ，= ( 并，以) ，向下的箭头表示元素按降序排列，即对，：x ：。当 i 砖2 砖，k = l ，d l ( 1 1 1 ) j l。l 且# = 一时，称x 优于yr 记作x 卜y 或y o i ( 1 1 2 ) 有时也将它们记成q ，吧或x ，x z 。有时候我们把单位算子l 记为o o ，即 = i o ) ( o h l ) ( 1 | ( 1 1 3 ) 1 3 量子比特的几何描述 单量子比特纯态在计算基 j o ) ，f 1 ) 下可以写成 l y ) = 口i o ) + 卢1 1 ) ，l a l 2 + i 卢1 2 = l ， ( 1 1 4 ) 这里的口和口是复数，考虑到量子态的总相位没有可观测的意义可以将( 1 1 4 ) 重 新写成 i v ) ；c o s 导i o ) + 口* s i n ； 1 ) ，护s o ，一】，妒e o ，2 口) ( 1 ，1 5 ) 这样就可以将态l 、王r ) 与单位球面上的点( 1 ，0 ，p ) ( 球坐标) 对应起来，得到一个几 何的形象描述。 单量子比特的密度矩阵可以由三个泡利算子和单位算子，= i o ) ( o 卜1 1 ) ( 1 l 的 线性组合描写： p ：堡坚辈；生娑 ( 1 1 6 ) 由t r ( 矿) s l 可知if l ( 1 ，等号对纯态成立。这样就将尸与单位球内的矢量 f = 弘z ) ( 直角坐标) 对应了起来。作用在户上的幺正操作可以改变它所对应 的矢量的方向，但不改变矢量的长度。 式( 1 1 5 ) 中描述的量子态的密度矩阵为p = 寺( ，+ x o x + y o y + 2 t ) ，其中 ，= 甲i l k v ) = s i n o e o s 妒, ( 1 1 7 ) y = ( t q i 甲) = s i n o s i n q ， ( 1 1 8 ) 2 0 0 7 燕 中嗣科学技术丈学博士学位论文 ：= ( 1 l ，i 吒i 甲) = c o s a ( 1 1 9 ) 1 4 两体纯态的s c h m i d t 分解 s c h m i d t 分解是量子信息处理中常用的一个方法 s e l m a i d t 分解定理的内容表述如下7 ； s c h m i d t 分解假定i 甲) 是符合系统a b 的量子态 一基h ) 和系统b 的正交归一基l ) 使得 它可以帮助简化分析。 则存在系统a 的正交归 l v ) = 丑i ) l 如) ， zo 露= 1 ( 1 2 0 ) 系数 称为s e h m i d t 系数，非零系数五的数目称为$ e h r a i d t 数，它在局域操作和 经典通信下不会增加。 这个定理可以通过构造法证明。如果系统a 和b 都是量子比特，态f 甲) 可 以在计算基下展开 j 甲) = 吩i j ) f 肛 o - 2 1 ) 根据矩阵的单值分解分解定理( s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n ) ，系数矩阵口可以写 成a ；u d v ，这里的i t , v 是幺正矩阵，d 是对角矩阵且对角元非负。式( 1 ，2 1 ) 可以 改写成 i v ) = 。，差i 。如) 2 荟如l 1 i f ) j l 丢i i - o0 i 叫 ( 1 2 2 ) i r、r、 _ ，肚；o o、 l 卜 定义 ) = l f ) ，i 如) ；l ，) ， = 奴。则 ) 和l 如) 分别是a 和b 满足 正交归一化条件的基。式( i 2 2 ) 可以重新写成 f l 壬，) = 丑i ) 1 ) ( 1 2 3 ) 这就证明了两量子比特情况下的s c h m i d t 定理，高维情况下的证明如此类似。如 果系统a 和b 的维数不同，可以先把维数小的系统进行形式上的维数扩充，使 得它们的维数相同。 从s c h m i d t 分解式( 1 2 0 ) 可以看出，系统a 的约化密度算子 办= 砰 ) ( “ ( i 2 4 ) 从而可以算得态i 甲) 的熵纠缠为 s ( i v 。) ) = 一膏l 0 9 4 2 ( 1 2 5 ) 2 0 0 7 隹 中国科学技术大学博士学位论文 6 这是s c h m i d t 分解的一个应用。另外，从式( i 2 3 ) 可以得出态l i l ，) 的并发纠缠为 c ( i v 。) ) = 2 丑五 ( 1 2 6 ) 1 5 两体门操作的s c h m i d t 分解 两体门操作可以像两体纯态那样进行类似的分解9 。首先介绍算子的 h i l b e r t - s e h m i d t 内积。假定算子p 和q 是两个d x d 的算子，它们的内积定义为 ( q , p ) = t r ( q p ) 。有了内积的概念后就可以在d d 的算子空间定义正交归一化 的算子基( 岛) ，即( q ，g ) ；岛。任何d d 的算子可以由这些基算子线性表示。 单量子比特操作的一个算子基为 ，j ，只司s ，互，叫厄r 压，z 压 。 设 q 和 b 分别是作用在系统a 和b 上算子基，则作用在符合系统a b 上的算子q 可以写成 q = c ，固皿， ( 1 如 ，i 系数矩阵盯有单值分解m = u s v ，于是上式可以写成 q = 咯q o b ( 1 2 8 ) 州 定义4 = e ，马= 皿，和岛= 勘，则作用在系统a b 上的算子q 可以写 j 女 成 q = 与4 固马 ( 1 2 9 ) ， 式( 1 ，2 9 ) 就是算子q 的s e h m i d t 分解形式。 常见的受控非门( c n o t ) 的s c h m i d t 分解为 c n o t = 压l o ) ( o l o ，+ 以i l 固j ( 1 3 0 ) 交换门( s w a p ) 的分解为 s w a p = ，o f + j o j 十y 4 y 。+ z “0 z 差 ( 1 3 1 ) 算子的s c h m i d t 分解可以告诉我们一些关于算子结构的知识，对算子进行类 似对纠缠态的讨论。 1 6 单量子比特门的分解 作用在单量子比特上的门操作相对简单，而且可以给出几何化的描述。前面 讲过，单量子比特的密度算子p 和三维空间的矢量，对应，密度算子的变化可以 用这个矢量的变化来描述。单比特门操作对密度算子p 的作用相当于对矢量，做 2 0 0 7 年中国科学技术大学牌士擘位论文 一个旋转。 设i = ( 以，h 。，吃) 是三维空间的一个单位实矢量。如果一个单量子比特门 异( 目) 对p 的作用相当于对p 所对应的f 绕轴i 旋转角度占，则门操作b ( 疗) 可 以写成 砷净。扣( 匐l - i s i n ( ；) + n y o y + q ) n ，刁 当i 分别取x , y ，z 轴正方向时，由式( 1 3 2 ) 就可以得到绕这些特殊的轴旋转的门操 作丑( 护) ，局p ) ，足p ) 。任何一个单比特门操作都可以写成式( 1 3 2 ) 的形式。 单量子比特门操作可以进行z y z 分解7 。z y z 分解定理说，对任意的单量 子比特门( ，存在适当的实数a ，芦，y ，占使得 u = p “匙( 卢) 母( ，) 疋( j ) ( 1 3 3 ) 具体的证明可以参考文献7 。类似地有z x z 、y z y 等分解。 绕轴i 旋转角度目的门操作马( 口) 可以进行如下的分解 岛( 口) = k 尼( 印1 ， ( 1 ，3 4 ) 这里的以是一个与i 有关系的单比特门操作，我们将在第二章介绍交换类门的 构造能力时用到这个分解，并不用到具体的巩的表达式。式( 1 3 4 ) 将单比特门操 作与绕z 轴的旋转联系了起来。 1 7 两比特门操作的正则分解 两个不同的门操作可能是局域幺正等价的，正则分解( c a n o n i c a l d e c o m p o s i t i o n ) 将告诉我们如何计算一个两比特门操作在局域幺正等价关系下的 不变量1 0 , 1 1 , 1 2 , ”。若不考虑一个总的相位，确定一个两比特门操作需要1 5 个实参 数。正则分解告诉我们只有三个独立的实参数在局域幺正变化下是不变的。 正则分解任意的两比特门操作以。唯一的与如下某个门操作局域幺正等价 r 】1 一 ( 啦，吃，) = 唧 f q e o q ，等q 到i ( 1 3 5 ) ， lj lj 1 换句话说，u 。可以写成如下的形式 u a = ( 以o ) ( o ) ， ( 1 3 6 ) 这里的虬，都是单比特门操作，而且是唯一的。满足式( 1 3 5 ) 中系数 关系的也( q ，吩) 称为两比特门操作的正则形式，任何两比特门操作都有唯一 的正则形式。 2 0 0 7 越 中国科学技术太学博士学位论文 8 用符号“i ；, u ”表示局域幺正等价关系。几个常见的门操作与如下的巩局域 幺正等价： c n o r 竺b 。) ( 1 ，) 。c n o r 竺，o ) ( 1 ，s ) s 删，竺悖詈，书 n ， 叽囟= ( o ，0 ，0 ) ( 14 0 ) = 詈，0 j 0 4 t ) 式( 1 ，4 0 ) 中的以和k 是任意的单比特门操作，式( 1 4 1 ) 中的是下一章要提到的 b 门。 正则分解的证明可以参考文献”，1 ，”。这里要介绍的是如何利用正则分解来 判断两个门操作是否局域幺正等价或如何计算一个门操作对应的u 的表达式中 舶三个实参数口。这些讨论在下一章中会用到。 首先说明两个事实：( 1 ) 魔幻基( 1 1 ) 中的四个态是以( a ，q ) 的本征态， 蜴j 中，) = e 4 l 。，) ，j = l ，2 ，3 ，4 ，一的表达式如下 = 一q + + 钙( 1 4 2 ) 也= + 瞄6 b + c b( 1 4 3 ) = + 十屹一c b( 1 ，卿 五= q 嘞一钙( 1 ，4 5 ) 这事实说明玑在魔幻基下的表示是一个对角矩阵。( 2 ) 两个单量子比特门的 直积在魔幻基下的表示矩阵是实数矩阵( 这里说的单比特门是指特殊幺正变换， 即它们的行列式都为1 ) 。这个事实说明直积门操作在魔幻基下的表示矩阵的转 置就是自己的逆矩阵。 正则分解告诉我们任意的两比特门操作以。可以写成式( 1 3 6 ) 1 孵式，现在 把这个表达式应用到门操作在魔幻基下的表示矩阵上，可以得到 = ( q o ) f ( 只。岛) ( 14 6 ) 这里的【0 是u a 。在魔幻基下的表示矩阵，q o 仇，只。晶是相对应的直积门操 作的表示矩阵，f 是以在魔幻基下的表示矩阵，是个对角阵，即 f = d i a g e 嵋, ，p “，口“j ( 1 4 7 ) 2 0 0 7 生 中国科学挂术大学博士学位论文 用嵋表示e 0 的转置矩阵，则 膨= = ( 只o b ) 1f 2 ( 只。尼) ( i 4 s ) 这里用到了上面谈到的事实( 2 ) ，而且从事实( 2 ) 可以得知( 只。晶y 是( 只。岛) 的逆矩阵通过求解矩阵m 的本征值就可以求出 从而得到系数qa 为了求矩 阵m 的本征值先计算它的特征多项式 d e t ( 一 卵= 一t r c 卵，+ 毒 n 2 ( 膨) 一t r ( m 2 ) ，2 一t r ( m ) s + 1 ( 1 4 9 ) 由上述特征多项式可以看出t r ( 吖) 和 t r 2 ( m ) 一t r ( m 2 ) 决定了矩阵m 的本征 值，这些本征值在局域幺正变换下是不变的，可以定义两个局域幺正变化不变量 为 q s 掣，g ；掣竽螋 s 。， 两个门操作如果局域幺正等价，则它们的不变量相同1 3 。门操作巩( o i ，) 的 不变量为 g i = c o s 2 ( 2 a 1 ) c o s 2 ( z a 2 ) c o s 2 ( 2 ) 一s m 2 ( 2 a 1 ) s i n 2 ( 2 a 2 ) s i n 2 ( 2 ) + f 知4 ) 3 i i l ( 锄) 。i 。( 4 吒) 1 。5 1 g 2 = 4 c o s 2 ( 2 q ) c 。s 2 ( 2 ) c o s 2 ( 2 吩) 一4 s i n 2 ( 2 口) s i n 2 ( 2 ) s i n 2 ( 2 吩) n5 2 1 - c o s ( 4 a 1 ) c o s ( 4 a 2 ) c o s ( 4 0 q ) 、 前面讲过c n o t 门与( x 4 ，o o ) 局域幺正等价，因此c n o t 门的不变量为 g 1 = o ，g 2 = 1 。在第二章我们将计算两个门的不变量来判断它们是否是局域幺正 等价的。 下面我们讲如何从式( 1 4 8 ) r p 的矩阵m 的本征值来计算两比特门操作乩。的 正则形式( q ，嘞，钙) 。我们只讲计算的步骤，具体的分析可以参考文献1 2 。设 矩阵m 的四个本征值为* ，而，屯和，它们的模都为1 。从每个本征值我们可 以得到唯一的位于区间( 詈，孚的相位最满足以f f i e z s , ；1 ，4 。因为m 的 四个本征值的乘积为1 ，所以瓯是z 的整数倍。我们定义整数， 月= ( 墨+ 最+ 品+ 瓯) 石 ( 1 5 3 ) 这样定义的整数n 是非负的，n 的可能取值为0 ，1 ，2 ，3 。我们可以从四个相位 置得到四个新的相位，具体过程是这样的： s ，岛，墨，蜀) 中最大的n 个数要减去 。剩下的( 4 一h 1 个数不变。我们将按上述方