（应用数学专业论文）一类复杂网络的控制与同步研究.pdf

学位论文版权使用授权书 | | i rj rli iii ir i l lifi riil y 18 9 4 6 6 0 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密回。 学位论文作者签名： 车麦式 y lf 年6 月7 日 指导教师签名： v | 年6 月7 日 一类复杂网络的控制与同步研究 s t u d y o nc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so f c o m p l e xn e t w o r k 砘争， 专业名称应用数学 作者姓名卓斌 2 0 1 1 年6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来复杂网络已受到科学界和工程界各个领域的广泛关注，随着计算机技 术和网络理论高速发展，复杂网络己成为一个新的研究热点。在现实生活中存在 着大最的复杂网络，女n i n t e m e t 、万维网、新陈代谢网、社会网、能源供应网络、 交通网、信息网、金融网等等，这些网络与我们的日常生活密切相关。研究复杂 网络的最终目的是了解网络的结构对发生在网络上的动力学行为的影响，其中同 步是复杂网络上一种常见的动力学行为，也是理解各种协调现象的理论基础。通 过对复杂网络同步的研究，一方面我们可以更好地理解网络结构对同步能力的影 响，另一方面我们可以提高同步有益网络的同步能力或降低同步有害网络的同步 能力。因此，复杂网络同步的研究具有较大的理论意义和应用价值。 本文采用理论分析结合数值模拟的方法对复杂网络及其同步性能进行了研 究，首先简单介绍本课题的研究背景、意义、现状及主要内容，同时介绍了复杂 动态网络的相关概念，分析了近年来国内外关于复杂动态网络同步问题的相关研 究结果，接着研究了一类复杂动态网络同步的判据，基于李雅普若夫稳定理论， 应用线性矩阵不等式得到了延迟动态网络系统指数同步的判据，通过数值模拟验 证了理论分析的正确性和所得判据的有效性；进一步基于李雅普诺夫稳定性理 论，应用牵拉控制实现了一类带有延迟耦合复杂动态网络的局部渐近稳定控制， 应用线性矩阵不等式经过严密的数学推导得到了这类时滞复杂动态网络渐近稳 定的条件，通过对具体复杂网络中部分节点施加控制实现了整个网络到平衡点的 牵拉控制，同时数值模拟验证了理论分析的正确性；最后，研究了一类具有耦合 延迟的复杂动态网络的牵拉同步，基于李雅普诺夫稳定性理论，应用牵拉控制方 法实现了一类带有延迟耦合复杂动态网络的全局渐近稳定控制，对具体复杂网络 中部分节点施加控制实现了整个网络到平衡点的牵拉控制，数值模拟验证了理论 分析的正确性。 关键词：复杂网络，自适应控制，同步，l y a p u n o v 函数，时滞 一类复杂网络的控制与同步研究 u 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o m p l e xn e t w o r kh a sc a u s e dac o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nt h es t u d yo fs c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g ，w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea n dn e t w o r kt h e o r y , w h i c hb e c o m e san e wr e s e a r c h i n gf o c u si nr e c e n ty e a r s b e c a u s eal o to fc o m p l e x n e t w o r k se x i s ti no u rd a i l yl i f e ，s u c ha si n t e r n e t ，w w w , m e t a b o l i cn e t w o r k ，s o c i a l n e t w o r k ，e n e r g y s u p p l y i n gn e t w o r k ，t r a n s p o r t a t i o nn e t w o r k ，i n f o r m a t i o nn e t w o r k ，a n d f i n a n c en e t w o r ka n ds oo n ，a l lo ft h o s ea r eg r e a t l ya s s o c i a t e dw i t hd a i l yl i f e t h e u l t i m a t e g o a lo fs t u d y i n gc o m p l e xn e t w o r k si st ou n d e r s t a n dh o wt o p o l o g i c a l p r o p e r t i e sa f f e c tt h ed y n a m i c a lp r o c e s s e st a k i n gp l a c eo nt h e m ，a n ds y n c h r o n i z a t i o ni s ac o m m o nd y n a m i c a lb e h a v i o ri nc o m p l e xn e t w o r k s ，i sa l s ot h eb a s et ou n d e r s t a n d h a r m o n i o u s p h e n o m e n o n a c c o r d i n g r e s e a r c ho fs y n c h r o n i z a t i o no n c o m p l e x n e t w o r k s ，o nt h eo n es i d e ，w ec a nu n d e r s t a n dt o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s a f f e c t s y n c h r o n i z a t i o no nt h e m ，o nt h eo t h e rh a n d ，w ec a ne n h a n c et h es y n c h r o n o u sa b i l i t y o fn e t w o r k sw h e ns y n c h r o n i z a t i o ni sa d v a n t a g e d ，r e d u c et h es y n c h r o n o u sa b i l i t yo f n e t w o r k sw h e n s y n c h r o n i z a t i o n i s d i s a d v a n t a g e d t h e r e f o r e ，r e s e a r c h i n g o n s y n c h r o n i z a t i o no nc o m p l e xn e t w o r k sp r o v i d e dw i t hg r e a tt h e o r ys e n s ea n d a p p l i c a t i o nv a l u e i nt h i sp a p e r ，w eu s e dt h e o r ya n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o dt os t u d y s y n c h r o n i z a t i o no nc o m p l e xn e t w o r k s f i r s t l y ，t h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c e ，c u r r e n t s i t u a t i o na n dc o n t e n to ft h er e s e a r c ha r ei n t r o d u c e db r i e f l y , a tt h es a m et i m et h e c o n c e p t i o n so fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r ka r ei n t r o d u c e d c o r r e l a t i v er e s e a r c h i n g o u t c o m e sr e c e n t l ya th o m ea n da b r o a dc o n c e r n i n gs y n c h r o n o u si s s u e sa b o u t c o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r kh a v eb e e na n a l y z e d s e c o n d l y ，s y n c h r o n i z a t i o nc r i t e r i o no fac l a s s o fc o m p l e xn e t w o r ki ss t u d i e d o nt h eb a s i so fl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , e x p o n e n t i a l s y n c h r o n i z a t i o nc r i t e r i o n so ft i m e - d e l a yd y n a m i c a ln e t w o r ka r ed e r i v e dv i aa d o p t i n g t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt ov a l i d a t et h e a c c u r a c yo ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n de f f e c t i v e n e s so fc r i t e r i o n so b t a i n e di nt h e p a p e r t h i r d l y ，o nt h eb a s i so fl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , l o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y c o n t r o lo fac l a s so fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r kw i t hc o u p l i n gd e l a yi sa c h i e v e db y p i n n i n gc o n t r o l l e r s t h r o u g hr i g o r o u s m a t h e m a t i c a ld e r i v a t i o n ，t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i t yc o n d i t i o n so fs u c hc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r kw i t hc o u p l i n gd e l a ya r e o b t a i n e di nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) t h ew h o l en e t w o r kc a nb e i ! i 一类复杂网络的控制与同步研究 p i n n e dt oi t se q u i l i b r i u mv i ap l a c i n gp i n n i n g ( ：o n t r o lo np a r to fn o d e so fas p e c i f i c c o m p l e xn e t w o r k ，a tt h es a m et i m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt ov a l i d a t et h e a c c u r a c yo ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s l a s t l y , p i n n i n gs y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so f c o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r kw i t hc o u p l i n gd e l a yi sr e s e a r c h e d o nt h eb a s i so f l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , l o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yc o n t r o lo fac l a s so fc o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r kw i t hc o u p l i n gd e l a yi sa c h i e v e db yp i n n i n gc o n t r o l l e r s t h ew h o l e n e t w o r kc a nb ep i n n e dt oi t se q u i l i b r i u mv i ap l a c i n gp i n n i n gc o n t r o lo np a r to fn o d e s o fas p e c i f i cc o m p l e xn e t w o r k ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eg i v e nt o v a l i d a t et h e a c c u r a c yo ft h et h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；a d a p t i v ec o n t r o l ；s y n c h r o n i z a t i o n ；l y a p u n o vf u n c t i o n 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论。1 1 1 研究背景及意义1 1 2 研究现状2 1 3 本文结构与主要研究内容3 第二章复杂网络同步问题的有关理论和相关结果。5 2 1 稳定性相关概念与理论5 2 1 1 稳定性概念。5 2 1 2 l y a p u n o v 函数5 2 1 3 线性矩阵不等式( l 】m i ) 6 2 2 复杂网络的基本理论7 一2 互1 复杂网络的概述7 - 一 。 2 2 2 基本概念9 2 3 复杂网络的基本模型1 1 2 3 1 规则网络一1 1 2 3 2 随机网络1 2 2 3 3 小世界网络1 2 2 3 4 无标度网络1 4 2 4 复杂网络同步的定义与研究方法1 4 2 4 1 复杂网络同步的定义1 4 2 4 2 复杂网络同步的研究方法1 5 第三章一类复杂网络同步判据的研究1 8 3 1 网络模型1 8 3 2 复杂动力网络同步分析1 9 3 2 1 复杂延迟动态网络时滞无关的稳定分析1 9 3 2 2 复杂延迟动态网络时滞有关的稳定分析2 2 3 3 数值模拟2 5 3 4 本章小结2 7 第四章一类带有耦合延迟的复杂动态网络的牵拉控制2 8 4 1 网络模型2 8 v 一类复杂网络的控制与同步研究 4 2 控制动态网络的同步2 9 4 3 数值模拟3 3 4 4 本章小节3 6 第五章基于克罗内克积的复杂动态网络的牵拉同步。3 7 5 1 网络模型。3 7 5 2 控制器的设计及网络同步。3 8 5 3 数值模拟一4 0 5 4 本章小结4 1 第六章结束语4 2 参考文献4 4 j l i 谢4 ； 攻读硕士学位期间论文发表情况4 9 复杂网络自1 9 6 0 年由e r d 6 s 和r e n y i ( e r ) 作为一种随机网络拓扑结构研究以 来，一直受到人们的关注n q l 。上世纪9 0 年代由w a t t s 和s t r o g a t z ( w s ) 提出的小 世界网络模型h 5 3 ， b a r a b a s i 和a l b e r t ( b a ) 提出的规模自由网络模型陋- 引，为复杂 网络模型的研究揭开了新的篇章，为复杂网络新的一轮研究建立了坚实的基础。 到目前为止，复杂网络的研究在不同领域已经取得了重大进展：对因特网、万维 网、电力网、神经网络、交通网、经济网、科研合作网、人际关联网等几十个实 际网络进行了统计分析，得到了几项标志网络拓扑结构特征的最重要统计性质： 顶点度分布律、聚类系数和平均路径长度；发现了大部分实际网络显示无标度性 质的幂律顶点度分布，称为“无标度网 ；同时有大部分显示相当小的、基本上 与网的大小无关的平均路径长度，称为“小世界网”；提出了一大批网络演化模 型以便探讨小世界网或无标度网的拓扑结构的发展形成机制。1 9 9 8 年以后提出 的模型大部分都包括：“完全规则演化部分 和“完全随机演化部分”，与传统的 完全规则或完全随机的模型比较，这种位于规则与随机之间的模型也许可以说是 具有划时代的意义，许多模型在不同程度上成功地再现了许多实际网络的部分统 计性质，并能够显示产生这些性质的核心动力学机制。 随着科学技术的发展，人们的生产、生活对网络运行的安全性、可靠性提出 了更高的要求。比如说，通讯网络的鲁棒性、交通网络的拥塞控制、以及互联网 的信息流的稳定性等等都是备受关注的热点问题。众所周知，相继故障不仅在电 力网络中可能出现，而且在通信网络、交通网络、经济全球化网络以及生物网络 中都有类似的现象，它们都面临着由于局部故障而导致整个网络崩溃的巨大风 险，并且由于不同网络之间联系的不断加强，发生在一个网络中的故障还会蔓延 一类复杂网络的控制与同步研究 到其它网络。2 0 0 0 年5 月4 日，“爱虫”病毒在互联网上大肆传播，一天之内造成 全球经济损失十多亿美元，令人愤慨。更令人震惊的是2 0 0 3 年8 月1 8 日北美突然 大停电，就是复杂电力网络的一系列级联反应，导致整个电力系统土崩瓦解，美 国和加拿大北部部分地区一夜问陷入一片黑暗之中，经济损失和社会影响十分严 重因此如何控制网络、保障网络安全运行就显得尤为重要。 随着小世界效应和无标度特性的发现，最近几年来，其中一个倍受关注的问 题就是复杂网络的同步现象。同步是自然界中常见的一种群体行为现象，是一种 非常普遍而重要的非线性现象。同步现象广泛存在于生活中，人们已观测到的现 象诸如夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同时发光、大脑中神经网络的同步阳1 、剧 场中观众鼓掌逐渐整齐旧1 等都是同步现象发生的结果。有些同步是有益的，如能 够促进调和振子的生成、实现保密通讯、促进组织管理高效、协调的运行等，哪 么我们就实现或加强这种同步，否则就消除或削弱这种现象的发生，因为并非所 有的同步都是有益的。以互联网为例，互联网上的路由器，每一个路由器都要周 期性的发布路由消息，尽管各个路由器都是自己来决定它什么时候发布路由消息 的，但是研究人员发现不同路由器所发送的路由消息，最终会达到同步现象，也 就是大家要么同时发布路由消息，要么同时不发布，这显然是导致网络拥塞的不 利行为。对于这种有害的同步，我们就弱化直至消灭它。 1 2 研究现状 近年来，对复杂网络的同步研究取得了一定的进展。国际上，1 9 9 9 年w a t t s 对相振子在小世界网络中的同步进行了研究n 0 | ；l a g of e r n a n d e z 等人于2 0 0 0 年 对神经网络的同步进行了研究口；r e s t r e p o 等人利用主稳定函数方法研究网络上 节点动力系统不完全相同时的同步情况，他们发现在某些参数值下，系统会出现 不同步的爆发，形成斑图；m o r e n o 和p a c h e c o 采用k u r a m o t o 模型研究了无标度 网络上振子之间的耦合，实现全局相同步的条件以及系统的动力学特征；此外还 有g u a r d i o l a 等人研究了脉冲耦合振子系统的同步规律，尤其是拓扑结构的不规 则性和网络同步之间的相互影响。我国学者对于复杂网络同步也给出了一些出色 的结果，汪小帆和陈关荣给出了一个一般的复杂动力网络模型，并研究了具有小 世界和无尺度特性的网络模型的同步与控制问题伯，1 2 1 3 ；吕金虎和陈关荣n5 1 6 1 基 于这个模型引入了一个时变动力网络模型并研究了它的同步问题；吕金虎对复杂 2 江苏大学硕士学位论文 动力网络的数学模型与同步准则进行了研究，给出了几个网络同步的充分和充分 必要条件n 5 1 ；文献【1 8 】和【1 9 】研究了小世界网络模型上带时滞的振子和藕合映像 格子的同步问题蒋品群和汪秉宏等研究了确定性小世界网络的超混沌同步问题。 另外，c h e n 和z h o u 啪1 等研究了一般的带藕合时滞的神经网络模型的鲁棒同步问 题。迄今为止，对动力网络控制同步的研究主要基于线性反馈控制技术，如文献 【2 1 1 ) j 2 2 2 将反馈控制应用到了无尺度网络的部分节点上，并研究了对于不同动 力节点上网络系统的控制同步稳定效果；文献f 2 3 1 研究了不确定的复杂动态网 络的同步问题。 截止目前，复杂网络的同步研究经历了以下几个主要阶段：网络上动力系统 同步的稳定性分析；复杂网络上动力系统同步的特点；复杂网络的结构特征量与 网络同步能力之间的关系；提高网络同步能力的方法；复杂网络同步的应用。当 然在该领域发展的过程中各个方面会有一些交叉和重叠，但总的研究进程就沿着 感性认识、现象分析、理论证明、实际应用这样一个脉络发展下来的。复杂网络 同步研究取得了不少有意义的成果，但是还有许多问题没有彻底解决，仍然需要 我们进一步的学习、研究。 1 3 本文结构与主要研究内容 本文主要研究了复杂网络的控制与同步问题。论文内容总体上分为五章。 第一章为绪论，总结了复杂网络的主要研究背景及意义，简要阐述了复杂 网络的研究现状。 第二章介绍了本论文中涉及的一些相关概念及理论，并介绍与分析了几类 典型的复杂动态研究网络同步问题的研究成果。 第三章研究了一类复杂动态网络同步的判据，基于李雅普若夫稳定理论，应 用线性矩阵不等式得到了延迟动态网络系统指数同步的判据，通过数值模拟验证 了理论分析的正确性和所得判据的有效性。 第四章基于李雅普诺夫稳定性理论，应用牵拉控制实现了一类带有延迟耦合 复杂动态网络的局部渐近稳定控制，应用线性矩阵不等式经过严密的数学推导得 到了这类时滞复杂动态网络渐近稳定的条件。通过对具体复杂网络中部分节点施 加控制实现了整个网络到平衡点的牵拉控制，同时数值模拟验证了理论分析的正 确性。 3 一类复杂网络的控制与同步研究 第章研究了一类具有耦合延迟的复杂动态网络的牵拉同步。以克罗内克积 乘法为主要的工具，施加通过一定的数值计算得到的控制器，经过严密的数学推 导得到了这类复杂延迟动态网络渐近稳定的条件，同时对具体复杂网络中部分节 点施力控制实现了整个网络到平衡点的牵拉控制，数值模拟验证了理论分析的正 确性。 笫六章为本文的总结以及展望。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章复杂网络同步问题的有关理论和相关结果 2 1 稳定性相关概念与理论 2 1 1 稳定性概念硼 设微分方程 戈= ( ，x ) ，x ( t o - - - - x o ，x 尺”， ( 2 1 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x ( f ) = x ( f ，t o ，x o ) 的存在区间是( 一，+ o 。) ， 且厂( f ，0 ) = o 。 定义2 1 若对任意给定的占 o ，都能找到万= 万( 占，t o ) ，使得当i l 工。ij t o + t 时，x ( t ，t o ，) 0 0 ， 、则： ( 1 ) 若对所有的x e ，矿g ) 0 ，则方程( 2 2 ) 的0 解是稳定的。 ( 2 ) 若对所有的z e ，v ( x 1 0 ，则方程( 2 2 ) 的0 解是不稳定的。 此定理中的函数y g ) 称为l y a p u n o v 函数。寻找和建立这样的函数y g ) ，实际上 需要高度的技巧。l y a p u n o v 和他的后继者已经提供了一些建立l y a p u n o v 函数的 方法，他们可以成功的解决许多具体问题，常用的方法有：类比法、能量函数法、 变量分离法、变梯度法、广义能量法、首次积分线性组合和加权法等。 2 1 3 线性矩阵不等式( l m i ) 一个线性矩阵不等式就是具有形式 f ( 石) = 岛+ 葺互+ + k 毛 0( 2 3 ) 的一个表达式。其中毛，是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 3 ) 的决 策变量，x = ( 五，) r ”是有决策变量构成的向量，称为决策向量， e = 正7 r ”4 ，i = 0 ，1 ，m 是一组给定的实对称矩阵，式( 2 3 ) 中的不等号“ 指的是矩阵f ( z ) 是负定的，即对所有非零的向量v r ”，v r f ( x ) v 0 是滞后时 间，缈( f ) c 4 - a ，0 】是系统的初始条件。 定理2 3 对系统( 2 4 ) 式，如果存在对称正定矩阵p ，s r 删4 ，使得 la r p + ，p a ，+ s 饩l o ( 2 5 ) l鬈 一sj 一 一 则系统( 2 4 ) 式是渐进稳定的。 如果存在矩阵九的一个分解a = b d ，b n x md r “”，其中m = r a n k ( a d ) ， 显然m 刀。 定理2 4 对系统( 2 4 ) 式，如果存在对称正定矩阵p ，s r ”，使得 p 嚣肋竺i 似) 时，度为k 的节点实际是不存在的。因此这类网络也称为均匀网络。 近年来的大量研究表明，许多实际网络的度分布明显不同于p o i s s o n 分布。特别 地，许多网络的度分布可以用幂律形式p ( k ) o o k 一，来更好的描述，幂律分布曲线 比p o is s o n 指数分布曲线下降要缓慢得多。 2 3 复杂网络的基本模型 下面我们给出复杂网络的一些基本的模型，以便对复杂网络的结构有一个 整体的认识。 2 3 1 规则网络 有三种比梦煮用的规则网络分别是最近邻网络、全局耦合网络、星形网络。 ( 1 ) 最近邻网络 个节点围成一个环，其中每个节点都与它左右各k 2 个邻居节点相连( ，k 跫一个偶数) ，就形成了一个最近邻网络，是一个经常被研究的网络模型，通常 也称为格子。最近邻网络各个节点的度都是k ，从度分布的角度来说，最近邻网 络是一种完全均匀的网络。对较大的k 值，最近邻耦合网络的簇系数为 c ：3 ( k 纛- 2 ) 三，因此，这们的网络是高度聚类的。显然，当近邻网络的节点 4 ( ，k 一1 ) 4 数很大时，网络的平均距离也很大，当专0 0 时，平均距离也趋于无穷。所以 最近邻网络不具有小世界性质。图2 - 4 是一个= 1 0 ，k = 4 的最近邻网络。 么移摒氐 么袋携絮量 飞藩瓣憾恧 。n国魁j 垆7 图2 4n = 1 0 ，k = 4 的最近邻网络 图2 5n = 1 0 的全局耦合网络 ( 2 ) 全局耦合网络 全局耦合网络，也叫完全网络。在该网络中，每个节点都与其它所有的节点相 连，图2 - 5 是一个n = 1 0 的完全网络。完全网络所有节点的度都等于n 一1 ，也是一 一类复杂网络的控制与同步研究 个完全均匀的网络，完全网络的簇系数和平均距离都等于1 。该网络是一个稠密的 网络，一个有个节点的全局耦合网络，共有n ( n n 条边。然而大多数大型实际 网络都是很稀疏的，它们边数一般是的数量级而不是2 的数量级。 ( 3 ) 星形网络 图2 6 所示是一个星形网络，在该网络中，它有一个中心节点，其它所有的节 点都与这个中心节点相连，而非中心节点之间互不卡日连。当j0 0 时，星形网 ， 络的平均距离趋于常数2 ，但簇系数为0 。 踢巡 砀j姆 il