（凝聚态物理专业论文）具有fe4n结构的混自旋ising模型的理论研究.pdf

东北大学硕士学位论文 摘要 具有f e n 结构的混自旋i s i n g 模型的理论研究 摘要 飞速发展的高新技术促使新的和高性能的磁性材料不断出现。其中f e a 由于 其较大的饱和磁化强度，更低的矫顽力和较强的化学稳定性，被认为是制作高密 度磁记录磁头的理想材料，因而受到诸多关注 i s i n g 模型是近代统计物理学中研究相交问题的具有代表性的简单模型，利用 i s i n g 模型深入研究材料的磁性行为，无论从基础磁性物理还是从材料科学的观 点，都具有重要的学术价值。 目前针对具有f e n 结构的混自旋i s i n g 模型晶场作用下相变规律的研究还是 空自，本文采用平均场理论对晶场作用下具有f e 4 n 结构的混自旋i s i n g 模型的相 变问题进行了较系统的理论研究，通过对在不同晶场和不同相互作用的磁化曲线 的具体分析，得到了各种情况下相图，再演了晶场和相互作用对系统一级及二级 相变的影响。主要内容如下： 一、晶场值对系统一级相变、重入现象及二级相变的影响： 只有当晶场值接近基态相图中各态的临界值时，系统才会发生一级相变和重 入现象：否则系统中只存在二级相交。晶场作用的增强会阻碍系统发生一级相变 和重入现象，而有利于系统发生二级相变。 二、相互作用对系统一级相交、重入现象及二级相变的影响： l 、忽略f e ( n ) 原子之问的相互作用时( 即，：帆l - o ) ，晶场作用下的具有f e n 结构的混自旋i s i n g 模型的相交规律： 此时系统表现出来的相变规律十分丰富，既有一级有序一无序相变、一级有 序一有序相变、重入现象和二级相变，二级相变是普遍存在的对应基态相图中 斜线的两端的区域系统发生一级有序一无序相变和重入现象，而在斜线的右上方 狭窄区域内主要发生一级有序一无序相变。一级有序一有序相变发生在更狭窄的 晶场区域中，并且一级有序一有序相变存在的晶场区域是独立的，与二级相变所 对应的晶场区域不相邻 i i 壅些查兰塑主兰堡垒圭塑墨 2 、 f e o ) ，0 ( ) 之间相互作用较强( 即以p ，j t l ) 、j 电( 兀) 原子之问的相 互作用较强( 即，。他卜1 ) 、f e o ) 和f e ( n ) 之间相互作用相同( 即i ，。帆l - i ) 这 三种情况下具有f e 。n 结构的混自旋i s i n g 模型在有限温度下所表现出的相交规律： 随着f t ( n ) 原子之间的相互作用的逐渐增强，对应基态相图斜线右端发生重入 现象的区域转变成重入现象和一级有序一无序相变共存的区域，最后转变成在此 区域中只发生一级有序一无序相交：对应基态相图斜线左端区域，系统则始终发 生重入现象f e ( n ) 原子之间的相互作用增强还会扩大系统发生一级相变和重入现 象的晶场范围和温度范围。 三、经由理论推导可知，将具有f e ( n 结构的混自旋i s i n g 模型看作由四子格构 成的i s i n g 模型和由双子格构成的i s i n g 模型是等价的 关键词：f c n ；混自旋；l s i n g 模型；平均场理论；一级相变；基态；三相点；重入 现象；子格：晶场；相互作用 i i i 查些垄兰堡主! 堡笙查垒旦翌! 垒! ! t h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o no nt h em i x e d i s i n gm o d e l w i t h 刚s t r u c t u r e a b s t r a c t t h er a p i d d e v e l o p m e n to fh i g h a n dn e wt e c h n o l o g y u l g e sn e w - a n dh i g h - p e r f o r m a n c em a g n e t i cm a t e r i a la p p e a r su n c e a s i n g l y f e + ni sc o n s i d e r e dt h ei d e a l m a t e r i a lt om a k et h eh i g hd e n s i t ym a g n e t i cr e c o r d i n gh e a db c c a u s co fi t s b i g g e r s a t u r a t i o nm a g n e t i z a t i o n , l o w e rc o e r c i v ef o r c ea n ds t r o n g e rc h e m i c a ls t a b i f i t y , t h u s r e c e i v e sm a n ya t t e n t i o n i s i n gm o d e li sar e p r e s e n t a t i v ea n ds i m p l em o d e lf o rt h es t u d i e so fp h a s et r a n s i t i o ni n m o d e mt i m es o l i d s t a t ep h y s i c s u s i n gi s i n gm o d e lt or e s e a r c hm a g n e t i cb e h a v i o ro f m a g n e t i cm a t e r i a lh a st h ei m p o r t a n ta c a d e m i cv a l u er e g a r d l e s so ff o u n d a t i o nm a g n e t i c p h y s i c s0 1 m a t e r i a l ss c i e n c ev i e w p o i n t a tp r e s e n ti n v e s t i g a t i o no ft h ep h a s et r a n s i t i o np m p e r t i e ai nf e o ns t r u c t u r e l s i n g m o d e lw i t hc r y s t a lf i e l di st h eb l a n k i nt h i sp a p e r , t h et h e o r e t i ci n v e s t i g a t i o no fp h a s e t r a n s i t i o ni nf e 4 ns t r u c t u r ei s i n gm o d e lw i t hc r y s t a lf i e l da r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l y e m p l o y i n gm p x l - f i e l dt h e o r y t h r o u g ht h ee o n c t e t ea n a l y s i so fm a g n e t i z a t i o nc u r v e s u n d e rd i f f e r e n tc r y s t a lf i e l da n dd i f f e r e n ti n t e r a c ti nf e 4 ns t r u c t u r el s i n gm o d e l ，w e o b t a i np h a s ed i a g r a m so fd i f f e r e n ts i t u a t i o n t h ee f f e c t so fc r y s t a lf i e l da n di n t e r a c to n f i r s t - o r d e ra n ds e c o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o n sf e 4 ns t r u c t u r ei s i n gm o d e la r ec l a r i f i e d t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t h ee f f e c to f c r y s t a l f i e l do nf i g s t - o r d e r , r e e n t r a n t a n t p h e n o m e n a a n d s e e o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o ni nf c 小s t r u c t u r el s i n gm o d e l ： o n l yw h e nt h ev a l u eo fc r y s t a lf i e l di sc l o s et ot h ec r i t i c a lv a l u eo fe v e r ys t a t ei nt h e g r o u n d - s t a t ep h a s cd i a g r a m ，f i r s t - o r d e rp h a s et r a n s i t i o na n dr e e n t r a n t a n tp h e n o m e n a a p p e a ri nt h ef e 4 ns y s t e m ，o ro n l ys e c o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o na p p e a r si nt h es y s t e m t h ee n h a n c e m e n to fc r y s t a lf i e l dc a nh i n d e rt h e a p p e a r a n c eo ff i r s t - o r d e rp h a s e t r a n s i t i o na n dr e e n t r a n t a n tp h e n o m e n a , a n dm a k ef o rt h ea p p e a r a n c eo fs e c o n d - o r d e r p h a s et r a n s i t i o ni nt h es y s t e m 2 t h ee f f e c to fi n t e r a c tn of i r s t - o r d e r , r e e n t r a n t a n tp h e n o m e n aa n ds e e o n d - o r d e r 查些垄兰翌主兰竺丝墨垒呈! 型里 p h a s et r a n s i t i o ni nf e 4 ns t r 咖r ei s i n gm o d e l ： a w h e ni n t e m c tb c t w e z nf e f i i ) a t o m si sn e g l c c t c d ( j 2 p l l - o ) ，t h ep r o p e r t i e so f p h a s et r a n s i t i o n sw i t hc r y s t a lf i e l di nf e 4 ns t r u c t u r el s i n gm o d e la r c f o l l o w s ： t h es y s t e md i s p l a y se x t r e m e l yr i c hp r o p e r t i e so fp h a s et r a n s i t i o n s t h e r ea r ef i r s t o r d e r - o r d e rp h a s et r a l l s i t i o l , hr e e n t r a n t a n tp h e n o m e n aa n ds e c o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o n , a n ds e c o n d - o r d e rp h a s et r a n s i t i o n se x i s tu n i v e r s a l l y c o r r e s p o n d i n gt oa r e ao ft h et w o t e r m i n a lp o i n t so fo b l i q u el i n ef i r s to r d e r - d i s o r d e rp h a s et m n s i t l o n sa n dr e e n l r a n t a n t p h c n o m e n ao a n dw i t h i nn a l i t o wa r e ao ft h eo b l i q u el i n eu p - r i g h tp a r tm a i n l yf i r s t o r d e r - d i s o r d e rp h a s et r a n s i t i o n sa p p e m f i r s to r d c i - o r d 盯p h a 辩t r a n s i t i o n sm ：c u ri n n a r r o w e rc r y s t a lf i e l da r e a , a n dt h ea r e ao ff i r s to r d e r - o r d e rp h a s et r a n s i t i o a so c c u ri s i n d e p e n d e n t , w h i c ha r e ai s 耐a d j a c e n tt oc r y s t a lf i e l da r e ao fs c e o n d - o n l e rp h a s e t r a n s i t i o n b w h e ni n t e r a c tb e t w e e nn ja n df e n ) a t o m si ss t r o n g e r ( j i k i 1x i n t e r a c tb e t w e e nf e ( i i ) a t o n i ss t r o n g e r ( 阢卜1 ) i n t e r a c tb e t w e e nr a n d f e ( 1 l ja t o m s i ss a l n e u z ，i i - 1 ) , t h e p r o p e r t i e s o f p h a s e t r a n s i t i o n s o f f e d , s t r u c t u r e l s i n gm o d e l a tf i n i t et e m p e r a t u r ea r ea sf o l l o w s ： w i t ht h ei n t e r a c tb e t w e e nn ( 1 1 1a t o m ss t r e n g t h e ng r a d u a l l y , t h ea r e aw 砧c h m t r a n l a n lp h e n o m e n ao c c u rc o r r e s p o n d i n gt oo b l i q u el i n er i g h tp a r ti ng r o u n d s t a t e p h a s ed i a g r a m t r a n s f o r m si n t ot h ea r w h i c hr e e n t r a n t a n t p h e n o m e n aa n df i r s t o r d e r - d i s o r d e rp h a s et r a n s i t i o n sc o e x i s t ，f i n a l l yt r a n s f o r m si n t ot h ea r e aw h i c ho n l yf i r s t r u d e r - d i s o r d e rp h a s et r a n s i t i o n sa p p e a r i nt h ea r e ac o r r e s p o n d i n gt oo b f i q n el l n el e f t p a r ti ng r o n n d - s t a t ep h a s ed i a g r a m r e e n t r a n t a n t p h e n o m e n ao c c - - u r a l lt h et i m e e n h a n c e m e n to fi n t e m c tb e t w e e nf e i ) a t o m sc a ne x p a n dc r y s t a lf i e l dr a n g eo f f i r s t - o r d e rp h a s et r a n s i t i o n s ，r e e n t r a n t a n tp h e n o m e n aa n dt e m p e r a t u r er a n g e 3 v i at h e o r yd e r i v a t i o nw ec a no b t a i nt h a tf e a ns t r u c t u r ei s i n gm o d e lw h e nl o o k e d u p o nb e i n gc o m p o s e do ff o u rl a t t i c e si se q u a lt ow h e nl o o k e du p o nb e i n gc o m p o s e d o f t w ol a t t i c e s k e yw o r d ：r e , n ；m i x e ds p i n ；i s i n gm o d e l ；m e a of i e l dt h e o r y ；f i r s t - o r d c rp h a s e t r a n s i t i o n ；g r o u n ds t a t e ；t r i c d t i c a lp o i n t ；r e e n t r a n t a n tp h e n o m e n a ；l a t t i c e ；c r y s t a lf i e l d ； i n t e r e a t - v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：许星九 日 期：加1 7 j 彳 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 学位论文作者签名：片呈九 日 期：) t 即1 肜 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为 同意。 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 1 磁性的起源和分类 第1 章绪论 物质的磁性是指物质能激发磁场、并在外磁场中受到作用力的性质，是物质 的一种固有属性，几乎所有物质或多或少都具有磁性。早在三千多年前，人们就 已经发现了物质的磁性。我国古代人民对物质磁性的认识曾有过重要的贡献，我 国古代四大发明之一的指南针便是磁的一种应用。丹麦物理学家奥斯特( h a n s c l u i s t i a no , m t m ) 在1 8 2 0 年发现了电流的磁效应：紧接着，法国物理学家安培( a n d r 6m a r i ea m p e r e ) 通过实验和理论分析，阐明了载流线圈所产生的磁场，以及电流 线圈问相互作用着的磁力，后来安培提出物质磁性的分子电流假说，把磁现象归 结为单一的电流的作用；1 8 3 1 年，英国科学家法拉第( m i c h a e if a r a d a y ) 发现了电磁 感应定律；英国的物理学家麦克斯韦( j a m e sc l a r km a x w e l l ) 建立了严密而完整的电 磁场理论【l 】作为近代物质磁性研究的先驱居q 4 ( c u r i e ) 深入考察了抗磁性和顺磁性 与温度的关系，建立了居里定律1 9 0 5 年朗之万( l 丑n g c v i n ) 将经典统计力学应用到 具有一定大小的原子磁矩系统，推导出居里定律。1 9 0 7 年外斯( p i e r r ew e i s s ) 提出了 铁磁体内部存在分子场和磁畴的假设。上世纪二十年代量子力学发展起来，人们 了解到磁性的本质是一种量子效应，与物质的微观结构及微观粒子的运动规律有 着深刻的联系 1 1 1 磁性的起源 宏观物质的磁性是组成物质的基本粒子磁性的集体反映，组成物质的最小单 元是原子( 或离子) ，原子( 或离子) 由原子核和电子组成，原子( 或离子) 磁矩 是由原子核的磁矩、电子轨道磁矩和电子自旋磁矩组成的由于原子核的磁矩通 常是电子磁矩的1 1 8 3 6 ，一般可忽略不计，认为原子磁矩由电子的运动效应来决 定因此，一个原子( 或离子) 磁矩主要由电子的自旋磁矩和电子轨道磁矩两部 分构成。由量子力学规律可知，一个基态的光谱项符号m 1 工，的原子( 或离子) 磁 矩满足： 1 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 p j g j 、p ，+ 1 加j ( 1 i ) 如一- 9 2 7 4 x 1 0 “a m 2 ( 1 2 ) 其中j 为总角动量量子数，h 为玻尔( b o h r ) 磁子，g ，为朗德( l a n d e ) 因子g j 与自旋量子数s 、轨道量子数l 和总角动量量子数，之间有如下关系 沪t + 虫芝胖 “3 ， 有些原子( 或离子) 的外层电子属于满壳层结构，因此总角动量量子数j o ， 这种原子( 或离子) 的磁矩p ，- 0 。比如，王k ，胁+ 等。 大多数支壳层不满的原子( 或离子) ，由于总的角动量量子数j - 0 ，这种原 子( 或离子) 具有磁矩，我们称这种磁矩为原子( 或离子) 的固有磁矩如c e a * ， n “，g 缸“等都具有固有磁矩。 在磁性材料中，单个原子( 或离子) 是否具有磁矩并不重要，重要的是由原 子( 或离子) 构成的整体一固体的磁性行为1 2 l 。 1 1 2 磁性的分类 磁化率是表征在外磁场作用下磁体磁性强弱的物理量，用z 表示。定义为： z 一m ( 1 4 ) z 。h l4 ， 其中，m 为磁化强度，h 为外磁场强度。 将物质置于磁场中，物质就会被磁化，成为磁体。但是磁体的磁性质有很大 的不同。根据磁化率的宏观特点，物质磁性可分为抗磁性、顺磁性、铁磁性、反 铁磁性、亚铁磁性等等1 3 1 1 抗磁性 宏观特性：具有抗磁性的固体在没有外场时不具有磁性，其磁化率z 是数值 甚小的负数( z 一1 0 4 ) 微观机理：构成这类磁性材料的离子没有固有磁矩。当存在外场时，作轨道 运动的电子受磁场的作用，会产生拉莫尔( l a r m o r ) 进动，由拉莫尔进动而引起 2 查苎垄兰堡主兰竺笙查苎! 兰! 丝 附加的磁矩感生磁矩感生磁矩对外磁场的这种响应，总是趋于减小外磁场， 因此其磁化率z ( 0 ，且它的绝对值很小 2 顾磁性 宏观特性：具有顺磁性的固体在没有外场时也不具有磁性，有外场时具有较 小的磁性，其磁化率z 是数值较小的正数( z - , 1 0 4 1 0 ) 。一般顺磁性的物质磁 化率z 遵从居里( c u r i e ) 定律，即 z i c t ( 1 5 ) 其中c 为居里常数，f 为绝对温度，实际上只有一小部分物质遵从这一定律大部 分顺磁性的物质服从居里一外斯定律，即 z - c ( t 一乙) ( 1 6 ) 其中l 为临界温度，称为顺磁居里温度 微观机理：很多由具有固有磁矩的原子或离子( 如稀土元素的离子) 构成的 固体材料呈现顺磁性。这种材料在无外场时各原子或离子的固有磁矩无规则捧列。 其磁矩的平均效果为零，对外不显磁性有外场存在时，其固有磁矩沿外场方向 规则捧列，因而具有和外场方向相同的磁矩。随温度升高，热运动会阻碍磁矩的 这种有序捧列，从而使磁化率随温度升高而逐渐降低 3 铁磁性、反铁磁性、亚铁磁性 t t t t t t t t 普磁嘉观篓芸雾：茎时三耋孚誓二：三 lilij|li 发磁化。随温度的升高，这种自发磁化的 。 磁有序性将逐渐减弱，当超过某一温度疋m 。 震土三曩鬟：伫i 急鲥 时，自发的磁有序性将完全消失，显示顺 磁性，此时磁化率遵从居里嘞斯定律 flfiflfl 以铁为代表的许多铁族元素及其化合物构 illjljii 成的材料，其磁化率z 仃) 多符合这个规图1 2 反铁磁体的基态 律，因此称其为铁磁材料。尼尔( h e e l ) f i g 1 2o “m d 咖。o f 8 。洫”“g 嘣 在e 世纪四十年代，研究了一娄具有双子格结构铁磁材料，当温度高于居里温度 3 查些苎芏塑主至堡堡查 一 苎! 主竺笙 时，这类材料遵从居里一外斯定律；当温度 篙鬻篡：冕妻liljl j ll 同，则为铁磁性；若两个子格磁矩方向相反 i上ll i上 且相等，则为反铁磁性；若两个子格磁矩方 图1 3 亚铁磁体的基态 向相反但不相等，则为亚铁磁性 f i g1 3g m u n d8 3 k o f f e r r i m a g n e t 微观机理：这种磁性材料的离子都具有固有磁矩，离子自旋问的特殊相互作 用( 交换作用) 是在这些材料中形成自发磁化的根本原因，不同的自旋值及不同 的相互作用决定了铁磁材料对外显示不同的磁性特点。 1 1 3 亚铁磁性的特点 具有反铁磁性、铁磁性、亚铁磁性的磁性材料称为铁磁性材料。它们的应用 十分广泛，对其机理的研究具有十分重要的作用 具有亚铁磁性的物质在临界温度砟以上自旋无规则取向，而在疋以下形成反 平行排列。但与反铁磁情况不同，两种子格位上的磁矩大小不相等，因而出现了 净磁化强度。这一点与铁磁体相似，但通常铁磁体是金属，而亚铁磁体是非金属。 另一个与铁磁体的重要差别是：大多数亚铁磁体在疋以上很大范围内的磁化率与 温度关系并不遵循c u r i e - w e i s s 定律，仅当r 2 t , 后，z 。1 的温度依赖性才渐近的 趋于线形m ，如图1 4 所示。 迤 - - k ( a )( b ) 图1 4 铁磁性和亚铁磁性的磁化率及磁化强度随温度的变化关系 f i g1 4s u s c e p t i b i l i t ya n dm a g n e t i z a t i o na g a i n s tt e m p e r a t u r eo f f e r r o m a g n e t i s ma n d f e r r i m a g n e t i s m 4 查苎查兰塑圭兰堡垒圭墨! 主竺丝 具有亚铁磁结构的典型氧化物就是铁氧体，在两组或多组亚晶格位置上磁性 离子具有大小不等的磁矩，虽作反平行排列，却呈现净的磁矩铁氧体的典型晶 体结构，有立方的尖晶石( s p i n e l ) 型( 如图1 5 ) 与石榴石( g a r n e t ) 型及六角的 磁铅石( m a g n e t o p l u m b i t e ) 型1 3 i 。 州m 0 2 - f 矿 m e 2 + 图1 5 尖晶石铁氧体( f e j 0 4 ) 的磁结构 f i g1 5m a g n e t i cs t r u c t n r eo f s p i n e lf e n i m a g n e t i s m ( 啪) 磁铁矿( m a g n e t i t e ) 是人类最早发现的磁铁，但它不是铁磁体，而是亚铁磁 体，中子衍射证实了其结构属于反型尖晶石型，即磁矩按( f e 3 + ) ( f c p 饥“) b 0 4 的方式分布。由于a ，b 位上自旋排列是反平行的，故a ，b 位上r 的磁矩相互 抵消，因而净磁矩由b 位上的f e 2 + 提供唧 本文所研究的f c 4 n 系统就是属于亚铁磁体。 随着量子力学的发展，人们逐渐了解到磁性的本质是一种量子效应，与物质 结构和微观粒子的运动规律有深刻的联系产生铁磁性的基本原因从量子力学的 原理分析是由于晶格近邻原子的电子问存在交换相互作用交换作用的基本原理 是由于电子轨道运动的自旋耦合。电子自旋问的相互交换作用使邻近各电子的自 旋方向趋向平行或反平行排列，这由两种捧列方式的能量决定，这两种轨道能量 的差值为交换积分，。交换能可写成【i ： 日。一一艺厶墨s j ( 1 7 ) 5 查苎查兰堡主兰堡丝查苎! 主! 堕 此即海森堡交换作用模型。其中墨和j ，分别代表第f 格点和第，格点的原子的总自 旋算符， 为第i 格点和第，格点问的交换积分。求和为对晶体所有最近邻原子对 求和。 对于铁磁系统，自旋交换积分j ，0 ，基态时格点白旋平行排列：对于反铁磁 或亚铁磁系统，自旋交换积分j e j - j 2 z 阳 o b 严b 概0 皿- 严b ) e 砒l d g 皿一t 工e x 小b ( 2 2 2 ) 下面，我们来计算卢g o ( h 。) + 卢日一h 。，o 一膨 东北欠学硕士学位论文第2 章具有晶场的i ：e n 系统i s i n g 模型平均场理论的相关应用 络o ( t - o ) 4 - 卢 o 一膨 - o j 母6 _ 届h o o4 - i n p o ，o + ， o 一卢 o 一膨 o 一m4 - l n p 由式( 2 2 2 ) 及式( 2 2 3 ) 可以写为： t ；a o ( t - o ) + 卢 o 一芦g - 一# t - + ， - + a e x p ( a ) l g 4 - ( 口e x p 和) 。 ( 2 2 4 ) 由式( 2 1 3 ) ，上式为： 卢g + 卢c 1 4 一爿_ o 一卢g - ( 口c x p ( 口) ， ( 2 2 5 ) 由式( 2 1 3 ) ，l 一 一1 一e x p ( 4 ) ) 一0 ，所以： # 6 0 ( - t 。) + 卢h h o o - p o - , a e x p ( a ) + l - e x o ( a ) 一( 口e x p ( 4 ) + 1 - e x p ( a p ( 2 2 6 ) 下面，我们再来分析表达式a c x p ( a ) + 1 - e x p ( a ) 分析函数“p 扛) ，由e x p o ) 一“p o ) 0 知，既出) 是凹函数，即垤，有： e x p ( x ) 苫“p ( ) + o - x , ) e x p ( ) 一e x p ( x o ) + o - x o ) e x p ( x o ) 。取聋- 0 ，有： 1 2 c x p ( x o ) 一而“￥o ，即；奶e o ，有：x o e x p ( z o ) + 1 - e x p ( x o ) o 。所以式( 2 2 6 ) 右边的a e x p 0 ) + 1 一e x p o 卜0 ，即： 卢g d o ，o ) + 声h - h o o 一卢8 0 ( 2 2 7 ) 也就是： 卢g 户6 j ( h o ) + 声 o ( 2 2 8 ) 注意到以上的推导对于两个哈密顿量h 和抒。是对称的，对式( 2 2 8 ) 交换h 和风，我们得到：鹏眠) 膨+ ( 2 2 9 ) 由式( 2 2 8 ) 和式( 2 2 9 ) 戎们知道，系统的自由能介于眠( h 。) + 岁ch h e ) 。 1 9 查兰垄兰塑! 竺笙查墨! 兰墨查苎望竺! ! ：! 墨丝! ! ! ! ! 堡型竺望墨垒竺塑墨生望 和卢g 。( o ) + 户 ( 2 3 0 ) 下面分别求解g o 饵。) - 一去l n z 。及c h h o ，。的具体表达式 由式( 2 7 ) 、( 2 3 ) 可得； g ( h o ) - - 砉i n z o _ i p 胁既小矾) - - 万1 胁懿“萃+ h o 卢) ) 一吾k m x 巾；) 一万1 胁巾莩) 一n 邻1 2 “嵋鲍) s 啦- 一) 也懿嵋鲍) c o 唯- 一) ) 一等0 2 c x i 舡d , ) c o s h ( f l ( j ：训- + ) ) ) ( 2 3 1 ) 由式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 可德； h 一风，。，善。? j ? 一j z 善5 7 一见；) 2 一见军心) 2 一( - j ? 。罩f j 声” 。莩5 7 一j - z “掣 。莩5 7 以萃o ，) 2 d 一军( s ) - 。 2 0 东北走学硕士学位论文第2 章具有晶场的f e n 系统is i n g 模型平均场理论的相关应用 即： h 一日。，。t 三，ts 。；s ? 一言，：钿t ，。莩s ? 一j i ，- t f ，。军s ? + j l z n s 5 。；s ；+ j z z ”s o ；s l + j l z u s 卜n ；砖 o 。( 1 。j t z , sn 珥_ m a r e s + l j 阢3 孚m a m b + 扣雎等2 ) 一譬d z 。+ 3 ，。) i ，l a r a b + 3 i ：z 。细，) 2 ) ( 2 3 2 ) 由式( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 、( 2 3 2 ) ，自由能可表示为： g 荔l i l ( 2 c x 啦届叱) 嘟啦觚) + 2 叫；届吃) c o s 畦一) ) 一等l n ( 1 + 2 c x 阮) c o s 帅：枘+ ，m ) ) ) + 鲁+ 3 。钆) i ，l a r e s + 3 j ：z 。伽，) 2 ) 。 则每个格点的自由能为： g 2 面g 万1 l i ( z 眈嵋届叱) c o s 啦朋) + 2 c x & o a ) c o s 啦- ) ) 一面3 l n ( z + 2 “阮) 。o s 咖( ，：枘+ ，- 矾j j j + ：。+ 3 j ，z 。) l ，l a r e s + 3 i ：z 。伽) 2 ) ( 2 3 3 ) 2 3 有限温度二级相变的理论公式 在平均场理论下，当给定不同的初值b 。，肼) 时，由式( 2 5 ) 、( 2 6 ) 及( 2 3 3 ) 组成的方程组通常有几组解 m 。，朋。) ，只有使每个格点的自由能( 2 3 3 ) 最小化的 那组解才是稳定解，所以关于有限温度相变的细节研究只能采用数值解法然而 某些有限温度相变特征我们还是可以采用解析法来处理，比如说二级相交线和三 相点。 连续相变的特征是物质有序程度及与之相伴随的物质对称性的变化通常在 临界温度乙以下的楣，对称性较低，有序度较高，序参量孵非零；临界温度露以 2 1 查些垄兰堡主! 堡垒墨堑! 兰墨查苎望竺! ! ! ! 墨丝! ! ! ! ! 堡型竺望墨垒竺塑墨壁旦 上的相，对称性较高，有序度较低，序参量啊为零。随着温度的降低，序参量在 临界点连续地从零到非零。 与研究有序一有序相变不同，由于在有序相到顺磁相的相变( 二级有序一无 序相变) 附近，系统的序参量磁矩m 。，用。) 很小，因此能得到自由能的解析表达式， 于是可用朗道的连续相变理论的方法来解析确定二级