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波动率服从有限m a r k o v 链的亚式期权定价 摘要 2 0 世纪7 0 年代以来，现代金融衍生工具的兴起与迅猛发展是全球金融领 域发生的最引人注目的变革。期权作为金融衍生工具的核心，成为理论界研究 的重点和热点。期权理论研究的重点之一在于如何对期权进行定价。 亚式期权是当今金融衍生产品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。其到 期收益不仅与期权到期日的标的资产价格有关，而且还依赖期权合同期内标的 资产在某段时间内或整个合同期内的平均价格。由于亚式期权是路径相关的期 权，因此避免了投机者在接近到期日，通过操纵标的资产价格来牟取暴利的可 能。 传统的期权定价都是假设波动率为固定常数，而这与实际不太相符。根据 实际，人们建立了多种随机的波动率模型，如随机波动率模型( s v 模型) ， g a r c h 模型等。这些波动率模型下巫式期权的定价非常复杂，往往得不到解析 解，数值解也很困难。针对这种情况，本文试图建立种比较简单的随机波动 率模型一一波动率服从有限马氏链的模型。这种模型一方面与实际中波动率是 随机的相一致，另一方面避免了一般随机波动率模型所带来的定价困难。 本文主要进行了以下两方面的工作：1 给出波动率服从有限连续参数马氏 链模型下的连续几何平均亚式期权定价。2 针对连续参数马氏链模型在实际中 往往无法操作，又给出了波动率为离散参数马氏链的模型，得到与连续参数模 型类似的离散几何平均亚式期权价格，并且给出一个数值算例。 关键词：亚式期权，m a r k o v 链， 波动率， 期权定价 a s i a no p t i o n p r i c i n gw i t hs t o c h a s t i cv o l a t i l i t yf o l l o w i n g af i n i t e m a r k o vc h a i n a b s t r a c t s i n c e1 9 7 0 s ，t h er i s eo fm o d e mf i n a n c i a ld e r i v a t i v e si so n eo ft h em o s td r a m a t i c c h a n g e so c c u r r i n gi nt h eg l o b a lf i n a n c i a lf i e l d a st h ec o r eo ft h ef i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ， o p t i o nh a sb e c a m et h ee m p h a s i sa n dh o t s p o tw h i c ht h et h e o r i s t sr e s e a r c h a n do n eo ft h e t h e o r e t i c a lr e s e a r c h e so f t h eo p t i o nh a sf o c u s e dp r i m a r i l yo nh o wt op r i c eo p t i o n s a s i a no p t i o ni so n eo ft h em o s ta c t i v ee x o t i co p t i o n si nt h ef i n a n c i a ld e r i v a t i v e s m a r k e t i t st e r m i n a lp a y o f fi sn o to n l yc o n n e c t e dw i mt h ep r i c eo fu n d e r l y i n ga s s e to nt h e e x p i r a t i o nd a t e ，b u ta l s od e p e n d so na v e r a g ep r i c eo v e rap a r to rt h ew h o l eo f t h el i f eo f t h e o p t i o n s f o rt h ep r i c eo fa s i a no p t i o n sl i e so ni t sa v e r a g ep r i c e ，s oi tc a na v o i dt h e p o s s i b i l i t yo ft h ei n v e s t o rm a n i p u l a t et h ep r i c en e a rt h ee n do fp e r i o dt og e ts u d d e nh u g e p r o f i t i nt r a d i t i o n a lo p t i o np r i c i n gm e t h o dt h ev o l a t i l i t yi sa s s u m e da sac o n s t a n t ，b u tt h i si s c o n t r a d i c t e dt ot h ef a c t a c c o r d i n gt op r a c t i c e ，m a n ym o d e l sf o rs t o c h a s t i cv o l a t i l i t yw e r e p r e s e n t e d ，s u c ha ss t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l ( s - - vm o d e l ) ，g a r c hm o d e l h o w e v e rt h e p r i c i n gu s i n gt h e s ev o l a t i l i t ym o d e l sa r ev e r yc o m p l e x ，a n dw eu s u a l l yc a n n o tg e ti t s e x a c t l ys o l u t i o n ，e v e nn u m e r i c a ls o l u t i o n a i m e da tt h i sc a s e ，t h i sp a p e rt r yt oc o n s t r u c ta s i m p l es t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l 一v o l a t i l i t yf o l l o w i n gaf i n i t em a r k o vc h a i n o no n eh a n d t h i sm o d e la c t si na c c o r dw i t ht h es t o c h a s t i co fv o l a t i l i t y , o nt h eo t h e rh a n da v o i d st h e p r i c i n gd i f f i c u l t yo f c o m m o nw a y s n l i sp a p e rc o n s i s t si nt w of o l l o w i n gw o r k s ：1 t h ep r i c i n go fc o n t i n u o u sa v e r a g e a s i a no p t i o ni nt h em o d e lw h i c hv o l a t i l i t yf o l l o w i n gaf m i t cc o n t i n u o u sp a r a m e t e rm a r k o v c h a i ni sp u t ；2 a i m e da tt h ec o m p l e xp r i c i n go fa s i a no p t i o ni nc o n t i n u o u sp a r a m e t e r m a r k o vc h a i nm o d e l ，s ow ec o n s i d e rt h em o d e lw h i c hv o l a t i l i t yf o l l o w i n gaf m i t ed i s c r e t e p a r a m e t e rm a r k o vc h a i n ，a n dw eg e tt h ep r i c eo fd i s c r e t ea v e r a g ea s i a no p t i o ni nd i s c r e t e p a r a m e t e rm a r k o vc h a i nm o d e lw h i c hi ss i m i l a rt ot h ep r i c ei nc o n t i n u o u sp a r a m e t e rm o d e l a n d f i n a l l yan u m e r i c a lc a s ei nd i s c r e t ep a r a m e t e rm o d e li sp u t k e y w o r d s ：a s i a no p t i o n ：m a r k o vc h a i n ：v o l a t i l i t y ：o p t i o n sp r i c i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 盒月b 王些盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位做作者签名：冈饪勇 签字日期：加年f 月引日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金日b 王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权佥a b 王些塞堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 闶饪老 导师签名 声哆缮 签字日期：加6 6 年，月弓f 日 签字日期矽，萨期；日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 致谢 值此硕士论文完成之际，我衷心感谢我的导师枉雪樵教授的悉心指导。在整个论 文的撰写过程中无不渗透着导师的孜孜不倦的关心和教诲。杜老师严谨的治学态度， 开阔的思路以及对问题独特的见解，给我留下了深刻的印象，使我受益终身。在此， 谨向杜老师呈上我最最诚挚的谢意! 在论文撰写过程中，曾与我的同学和朋友多次讨论论文中的些问题。他们所提 出的宝贵建议使得此学位论文的结构和内容更趋完善，特此郑重致谢! 最后，把我深深的谢意和最美好的祝福献给我的父母亲人，祝他们永远健康快乐! 作者：闰桂芳 2 0 0 6 年5 月 第一章绪论 随着金融行业的蓬勃发展，金融市场呈现出前所未有的高度不确定性与高 风险性，特别是这几年金融衍生工具给国际金融业造成巨大冲击，促使学术界 和实业界开始考虑如何正确评估衍生产品的风险性，如何加强对资产投资组合 的风险管理，这些客观要求使得人们对金融衍生产品的研究更加重视。其中衍 生产品的定价是当今金融数学研究的热点问题之一，这也是本文的主要内容。 本章首先介绍金融衍生工具的基本特征与主要功能，然后，介绍本文的结 构安排与主要工作。 1 1 金融衍生工具的基本特征 近三十年，金融活动在给投资者带来高收益的同时，也蕴涵着日益显著的 高风险，给投资者带来了巨大的损失。尤其是最近几年以来，这种高风险引发 的金融危机频繁发生，其所带来的损失都是亘古罕见的。因此促使学术界和实 业界开始考虑如何正确评估金融风险和加强风险管理，这些客观要求使得金融 学的研究受到了国际学术界的重大关注，而金融学研究的对象之一就是金融衍 生产品或称金融衍生工具。金融衍生工具是为了解决现货市场上的不确定性而 产生的。所有的金融衍生工具几乎都有一个共同的特点，就是在今天就将今后 的价格予以确定，这样不确定性就变成确定性了。也就是说金融衍生工具可以 确定未定价格。常见的金融衍生产品有，远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) ，期货 ( f u t u r e s ) ，期权( o p t i o n ) ，互换( s w a p s ) 四种基本衍生工具和由它们通过变 化、组合、合成再衍生出来的一些变形体。它们具有以下特点【l 】： 1 它本身并不具有价值，但其价格随其它工具价格的变化而变化。衍生金 融产品即衍生于原生商品( u n d e r l y i n gc o m m o d i t i e s ) 或称标的物，其价值自然 受标的物价格变动的影响。因为它的价格是基础商品价格变动的函数，故可以 用来规避、转移风险。然而，也正因为如此，潜在着巨大的市场风险，即价格 波动带来的风险，衍生金融产品较传统金融工具对价格变动更为敏感，波幅也 比传统市场大，所以风险系数加大了。 2 具有财务杠杆作用。衍生产品交易要求的初始净投资很少( 甚至可以没 有，如远期交易) ，而初始净投资通常表现为少量的保证金，保证金相对于它的 交易金额来说是非常小的，参与者只需动用少量的资金( 甚至不用资金，仅凭 信用) 即可进行数额巨大的交易，往往能取得以小博大的效果。当然从负面效 果来说，保证金“四两拔千斤”的杠杆作用也把市场风险成倍地放大了。加上 衍生金融工具在未来结算，传统的会计报表无法加以批露，这也增加了它的不 确定性，注定了它是高风险、高收益的交易。 3 产品特性复杂。“火箭科学家”( r o c k e ts c i e n t i s t s ，开发衍生产品的金融工 程师的别称) 把标的商品、利率、汇率、期限、合约规定等予以分解、复合出 来的金融衍生产品，不但外行无从理解，就是专业人士也经常无法掌握其全部 特性。近年来一系列金融衍生产品灾难产生的一个重要原因，就是因为对金融 衍生产品的特性缺乏深层了解，无法对交易过程进行有效的监督和管理，运作 风险在所难免。 4 产品设计颇具灵活性。金融衍生产品种类繁多，还可以根据客户的需要， 在时间、金额、杠杆比率、价格、风险级别等方面为其度身定造。这也成为衍 生金融工具与标的金融工具相比最具吸引力的特性之一。 1 2 金融衍生工具的主要功能 国际上金融衍生产品种类繁多，活跃的金融创新活动接连不断地推出新的 衍生产品。金融衍生工具之所以在短短的时间内获得迅猛发展，除了得益于客 观经济环境的需要外，也是由它自身所特有的功能所决定的。具体来说，衍生 金融工具有如下主要功能u , 5 3 1 ： 1 规避风险功能 市场上的投资者面临着众多的风险源( 不确定性) ，这些风险源会对投资者 的未来收益产生影响，并进而影响投资者的效用。由于这些风险源对不同的投 资者未来收益的影响程度不同，对于一个投资者而言很糟糕的风险对于另一个 投资者却可能影响不大，甚至是好的结果。而且不同的投资者对风险的承受能 力不同，有的投资者愿意冒一定的风险去获取较高的收益，而有的投资者则只 希望赚取确定的收益，不愿过多承担风险，这样就产生了分离风险的客观需求。 衍生金融工具的出现，提供了新的风险管理手段。它能将市场经济中分散 在社会经济每个角落的市场风险、信用风险、操作风险等等，集中在期货、期 权、远期、互换等衍生金融市场上，将风险进行集中、冲销或重新分配，从而 能更好地满足不同投资者的不同需求，使其能根据各种风险的大小和自己的偏 好更有效地配置资金。所以衍生产品可以实现对风险的有效分担，提高市场主 体的效用，促进市场的完善。 2 价格发现功能 由于衍生金融工具交易特别是场内交易集中了四面八方众多的交易者，所 有的参与者集中到交易所，使寻找交易对象和决定价格的信息成本大大降低。 交易者在信息收集和价格动向分析的基础上，通过公开竟价的方式达成买卖协 议，协议价格能够充分反映出交易者对市场价格的预期，也能在相当程度上体 现出未来的价格走势，这就是价格发现。同时，衍生金融工具的出现增加了不 同金融工具市场和不同国家之间的联系，促使了各种形式的套利行为，从而有 利于减弱市场的不完善性，加强市场的竞争，缩小金融工具的买卖价差，消除 或修正某些市场或金融工具的不正确定价。 2 3 营利功能 创立衍生金融工具的本意是为规避风险者提供一种避险的金融工具，但是 衍生金融工具交易也为投机者创造了条件：金融衍生工具交易的杠杆作用可使 投机者以较小的资金获得较大的利润( 当然也可能是较大的亏损) 。套取无风险 利润是另一种投资类型。所谓无风险利润，就是指不需要承担风险的利润。不 同的市场之间有时会由于市场缺陷而出现一些暂时性的失横，交易者利用这些 失横状态，在精确计算的基础上通过构造系列交易，就可获得这种无风险的 利润。 4 减少定价偏误和增加信息揭示 资产定价是金融学的一个核心课题，资产定价是否合理，即定价偏误是否 存在以及定价偏误的大小如何也是市场是否完善的一个重要标志。一个完全的 市场是一个不存在定价偏误的市场，也是一个不存在套利机会的市场。市场上 的证券产品越多，市场上复制某种资产的途径就越多，整个市场越接近无套利， 该资产的价格就越可能接近准确价格。因此衍生产品的开发和引入，可以有效 地减少市场上的定价偏误，促进市场的完善。 信息不对称是市场不完全的一个重要原因，并对投资者的投资决策产生很 大的影响，导致一些无效行为和现象的发生。尽可能降低信息不对称的程度， 通过各种机制最大限度地促进各种信息的揭示，对减少市场摩擦、促进市场完 善具有积极的意义。金融产品( 其中很大一部分是衍生产品) 的开发则是实现 该目标的一个重要的市场手段。因为具有不同风险收益特征的金融产品实际上 代表着发行者的不同信息，可以有效地帮助投资者了解企业的性质和风险收益 状况，促使市场的信息揭示，从而能有效地降低企业和投资者之间的信息不对 称程度以及由此引起的代理成本，促使市场的完善。 1 1 3 本文的结构安排与主要工作 论文共分四章完成，具体安排如下：第一章是绪论，介绍了金融衍生工具 的基本特征与主要功能；第二章将主要介绍作为金融衍生工具之一的期权的基 本概念以及期权定价理论的发展；第三章，引入相关的随机过程、随机分析知 识：第四章根据波动率的不确定性建立波动率服从有限m a r k o v 链的波动率模 型，对该模型下的亚式期权进行定价，并且给出数值算例。 第二章期权的性质与理论 据史料记载，早在古希腊时代，就产生了具有期权性质的开发橄榄油交易。 1 7 世纪初在荷兰，后期在英国也出现了期权交易。到1 8 世纪、1 9 世纪，美国 和欧洲的农产品期权交易已相当流行。早期的期权交易由于条件的限制，几乎 都在场外交易，交易量很小，金融期权的交易量也很少。直到1 9 7 3 年4 月2 6 日全世界第一个集中性的期权市场一一芝加哥期权交易所( c b o e ) 引入标准 合约并设立清算所，从此开始了集中性的场内期权交易，期权交易和期权市场 获得了前所未有的发展，新的交易所不断创建，新的期权合约不断推出。进入 2 0 世纪8 0 年代后期，各种期权新品种也陆续在各交易所上市，交易量继续上 升，期权的发展进入了成熟阶段。 2 1 期权的定义与分类 期权( o p t i o n ) 是一种选择权，期权的买方( b u y e r ，多头) 向卖方( w r i t e r , 空头) 支付一定数额的期权费( p r e m i u m ) 后，就获得了这种权利，即拥有在 一定时间内以一定的价格( 执行价格) 出售或购买一定数量的标的物( 实物商 品、证券或期货合约) 的权利。期权的买方行使权利时，卖方必须按期权台约 规定的内容履行义务。相反，买方可以放弃行使权利，此时买方只有损失期权 费；同时，卖方则赚取期权费。总之，期权的买方拥有执行期权的权利，无执 行的义务；而期权的卖方只有履行期权的义务。 作为当今金融市场上最受欢迎的衍生工具之一，期权具有以下几个方面的 重要作用： 第一，期权向需要避险的投资者提供了一个类似于保险的单向套期保值工 具，尤其是对于那些持有复杂的投资组合的投资者而言，他们可以通过交易与 他们的投资组合有关的期权来调整其投资的风险和收益特征，实现最优的风险 管理。 第二，对于那些希望对标的资产价格的涨跌进行投机的投资者来说，期权 是一个较好的替代品。一般情况下期权价格都低于标的资产价格，使得期权投 机所需的资金较少，有助于降低交易成本。 第三，同时期权的波动性又大于标的资产价格的波动性，因此投资者在期 权上的每个投资可以得到更大的价格运动变化，具有杠杆作用。 第四，期权还可以帮助投资者规避现货市场上的一些交易限制( 如严格的 卖空条件) ，实现相应的交易。 为了清楚地理解期权这一金融工具，首先需要深刻领会与期权有关的几个 基本概念，理清期权交易中的相关权利义务关系，下面介绍一些期权的相关概 念 1 ，5 3 1 ： 4 1 期权费。期权的价格叫做期权费。期权费是由买方付给卖方的期权价格。 对于期权买方来说，为了换取期权赋予买方一定的权利，他必须支付一笔期权 费给期权卖方；对于期权的卖方，他卖出期权而承担了必须履行期权合约的义 务，为此他收取一笔费用作为报酬。无论期权是否履约，期权的卖方均保留期 权费。由于期权费是由买方负担的，是买方在出现最不利的变动时所承担的最 高损失金额，因此期权费也称保险金。期权费的重要意义在于将期权买方可能 遭受的最大损失控制在期权费的范围内。在期权交易中，期权费视期权种类、 期限、标的资产价格的波动程度不同而有所不同，它的计算和确定称为期权定 价，是期权交易中最重要和最复杂的问题，s c h o l e s 和m e r t o n 正是因此而获得 了1 9 9 7 年度的诺贝尔经济学奖。 2 执行价格( s t r i k ep r i c eo re x e r c i s ep r i c e ) ，又称履约价格、敲定价格，即 期权的买方行使权利时事先规定的标的物买卖价格。显然，执行价格一经确定， 期权买方就必须根据执行价格和标的资产实际市场价格的相对高低来决定是否 行使期权，由此衍生了期权交易中常用的内在价值、实值、虚值和平值等概念。 3 合约到期日( m a t u r i t yd a t e0 1 e x p i r a t i o nd a t e ) 。这是期权合约中另一个交 易要素。期权买方只能在合约所规定的时间内行使其权利，一旦超过期限仍未 执行即意味着自愿放弃这一权利。按期权买方执行期权的时限划分，期权可基 本分为欧式期权和美式期权。前者买方只能在期权到期日才能执行期权，而美 式期权则允许买方在期权到期前的任何时间执行期权。显然，在其它条件( 标 的资产、执行价格和到期时间) 都相同的情况下，由于美式期权的持有者除了 拥有欧式期权的所以权利之外，还拥有一个在到期前随时执行期权的权利，其 价值肯定不能小于对应的欧式期权的价值。 由于金融机构本身及客户的需求，各种各样的期权被创造出来，基于期权 市场的纷繁芜杂，有必要将期权按照一定的标准进行归类，这将有利于我们对 期权的总体把握。 1 按期权的权利来划分，主要有看涨期权和看跌期权以及双向期权三种。 ( 1 ) 看涨期权( c a l lo p t i o n ) ，是指期权买方有权在规定的有效期限内以某 一确定的执行价格购买某一特定数量的标的资产，但不负有必须买进的义务。 一旦买方决定履行期权而买进标的物，期权的卖方有出售的义务。当期权买方 预期标的物价格会超出执行价格时，就会买进看涨期权。 ( 2 ) 看跌期权( p u to p t i o n ) ，是指期权买方有权在规定的有效期限内以某 一确定的执行价格卖出某一特定数量的标的资产，但不负有必须卖出的义务。 一旦买方决定履行期权而出售该标的物，期权的卖方有买进的义务。当期权买 方预期标的物价格会低于执行价格时，就会买进看跌期权。 ( 3 ) 双向期权( d o u b l eo p t i o n ) ，是指期权买方既有权在规定的有效期限 内以某一确定的执行价格购买某一特定数量的标的资产，又有权在规定的有效 期限内以某一确定的执行价格卖出某一特定数量的标的资产。 2 按期权的执行时间来划分，可分为欧式期权和美式期权两种。 ( 1 ) 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) ，是指只有在合约到期日才被允许执行 的期权。欧式期权的特征和性质比较容易分析，因而期权的研究都是以欧式期 权为起点的。 ( 2 ) 美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) ，是指可以在成立后有效期内任何一天 被执行的期权。 要注意的是，欧式期权和美式期权的区别只在期权的执行期不同，与地理 位置无关，在美洲有欧式期权交易，在欧洲也有美式期权交易。 3 按有无内涵价值来划分，可分为平值期权、实值期权和虚值期权三种。 ( 1 ) 平值( a t - t h e m o n e y ) 期权：期权在其标的物的价格等于其执行价格 时是平值的。 ( 2 ) 实值( i n t h e m o n e y ) 期权：期权在其标的物的价格高于其执行价格 时是实值的。 ( 3 ) 虚值( o u t - t h e m o n e y ) 期权：期权在其标的物的价格低于其执行价格 时是虚值的。 4 按照标的资产类型的不同，期权可分为股票期权、利率期权、货币期权、 黄金期权、商品期权、期货期权等。 5 从期权产品结构设计上来看，可分为标准期权( v a n i l l ao p t i o n s ) 和奇异 期权( e x o t i co p t i o n s ) 。前面所介绍的欧式和美式期权都属于标准期权，在产品 结构上更为复杂的期权通常叫奇异期权。从奇异期权的设计和开发看，主要有 以下几种思路：对现有的标准期权和其它一些金融资产加以分拆和组合得到； 标的资产价格的变化路径对期权也有影响；期权价值受到多个变量如多个标的 资产价格变化的影响；多阶期权，即期权价值和损益状况取决于另一个( 些) 期权的价值。常见的奇异期权有障碍期权、亚式期权、回望期权、复合期权等。 奇异期权通常是场外交易，往往是金融机构根据客户的具体需求开发出来的， 其灵活性和多样性是常规期权所不能比拟的，相应地，它的定价和保值往往也 更加困难。 2 2 期权定价基础 期权作为一种衍生证券，它的价格决定于标的资产价格的变化。由于标的 资产是一种风险资产，因此它的价格变化是随机的。由此产生的期权的价格变 化必然也是随机的。由于客户的需要是千变万化的，因此金融机构为此设计出 的金融产品一一期权也是多种多样的，每一种期权的标的和条款也各不相同， 所以每一种期权都需要定价。期权的价格变化是随机的，很难从市场交易中直 接反映，因此期权定价一直是金融实践和金融数学中的一个重要课题。 6 ( 一) 期权价格的构成 期权的价格主要由内涵价值和时间价值两部分构成。 1 内涵价值( i n t r i n s i cv a l u e ) ，又称履约价值( e x e r c i s ev a l u e ) ，指期权本身 具有的价值，也是履行期权合约时所能获得的利润。它反映了期权执行价格与 标的物市价之间的变动关系。 按照有无内涵价值，期权可分为平值期权、实值期权和虚值期权三种。对 于看涨期权，若期权的执行价格低于其标的物的市场价格时，则期权的买方就 有可能行使权利，因为此时期权具有获得利润的可能，这时它具有内涵价值， 这种期权称为实值期权。反之，若该期权的执行价格高于其标的物的市场价格 时，看涨期权的买方将放弃行使权利，因为此时履约无利可图，这种期权称为 虚值期权。若期权的执行价格等于其标的物的市场价格时，该期权称为平值期 权。对于看跌期权，情况正好相反。对于任何一种期权，只有当其处于实值状 态时，才有内涵价值，处于平值或虚值状态时，其内涵价值为零。 2 时间价值( t i m ev a l u e ) ，又称外在价值，是指期权买方随着时间的延续 和标的物价格的变动有可能使期权增值时，买入这一期权所付出的相应的期权 费金额。时间价值通常不易直接计算，因此，它一般是用实际的期权价格减去 该期权的内在价值而求得的。 在现实的金融期权交易中，期权价格从动态上看，期权的时间价值有一个 变化规律：伴随期权合约剩余有效期缩短而衰减。直到到期日时，时间价值为 零，期权费反映的只是内涵价值部分。发生衰减的原因也很简单，对于期权的 买方而言，有效期越长，市场情况发生有利于其的变化的可能性也就越大，获 利的机会也就越多，他愿意付出的时间价值也就越长，由于买方都是在有利于 自己而不利于卖方的时候才会提出履约，所以买方承担的风险较大，收取的时 间价值也就越高。伴随合约剩余有效期的缩短，买卖双方获利的机会在减小， 承担的风险也在逐步减少，时间价值也将逐步减少。一旦期满未曾实施，该期 权也就完全丧失了时间价值。 一般来说，当期权处于平值状态时，时间价值达到最大。因为对实值期权 来说，若其内涵价值较大，则此期权随时间的推移而继续扩大其内涵价值的前 景已不大，故其时间价值不大。反之，若是虚值较大的期权，则在将来履行该 期权时转化为实值的可能性也很小，则期权的时间价值亦很小。 ( 二) 影响期权价格的主要因素 1 期权的执行价格与其标的物市场价格之问的关系。期权的执行价格与其 对应标的物市场价格之间的关系，决定一种期权是处于平值状态、实值状态或 虚值状态，从而决定其是否具有内涵价值。对实值期权而言，执行价格与标的 物价格差额越大，期权内涵价值越高，表示执行畲约所能实现的利润越大，从 而期权费要求必然也越高。 2 期权合约的有效期限。它是指距离期权合约到期日剩余时间的长短。在 其它因素不变的情况下，期权有效期越长，则无论是空头期权还是多头期权， 执行的可能性越大，期权价格就越高，其时间价值也就越大。期权的时间价值 与期权合约的有效期成正比，并随着期权到期日的日益临近而逐步衰减，而在 到期日时，时间价值为零。 3 标的资产价格的波动性( v o l a t i l i t y ) 。标的资产价格的波动增加了使期权 向实值方向移动的可能性，这会使期权卖方所承担的风险增加，因此期权的期 权费也相应增加。价格趋势出现逆转的可能性越大，期权买方也就更乐于接受 期权卖方所提出的更高的期权价格。价格变动幅度越大，期权的价格也越高。 当然，在期权定价中，标的物价格的波动性还是一个未知数，它只能通过人们 对未来的价格波动程度的估计而求得。较常用的估计方法是利用过去所观察到 的标的物价格波动( 称为历史波动率) 的资料来估计或通过将已知的各数代入期 权定价模型而推算求得( 称为隐含波动率) 。 4 无风险利率( i n t e r e s tr a t e ) 。这是购买期权的机会成本。投资者在付出期 权的价格即期权费的时候，是以现金的形式支付的，所以也必须考虑其现金无 法做其它用途的损失，即要考虑他购买期权的机会成本。在看涨期权中，利率 越高，机会成本越大，要求期权的收益率越高，所以与期权费呈正向关系。在 看跌期权中，情况正好相反。 5 股票分红率( d i v i d e n dy i e l d ) 。由于股利支付后，股票价格会下降，因而 看涨期权的期权费会下降，而看跌期权的期权费会上升。 6 标的资产的收益。在执行价格一定时，标的资产的收益会影响标的资产 的价格，而其价格又必然影响金融期权的内在价值，从而影响金融期权的价格。 一般地，标的资产的收益率越高，看涨期权的价格越低，看跌期权的价格越高。 ( 三) 期权价格的无套利关系 套利是一种不需要现金投入却有某种获利的可能，而且没有损失风险的交 易策略。套利包括瞬间进入两个或多个市场进行交易，以锁定一个无风险的收 益。只要套利机会存在，套利者就会不断地交易使得交割调整到套利机会消失。 在功能完备的资本市场上，套利机会不会无限地存在。从经济学的角度来看， 套利机会的存在就意味着经济处于不均衡状态中。交易者的不断交易使得价格 波动到经济达到新的平衡，从而套利机会消失。因此，我们说在均衡的市场中， 不存在套利机会。这就是无套利均衡分析。 假设：k 为执行价格；s 为期权标的物的期初现值；c 为看涨期权的期权 费；尸为看跌期权的期权费；，为无风险的连续复利；r 为期权期限。 1 欧式看涨期权的套利关系【1 ，2 0 】( 类似可讨论看跌期权的套利关系) ( 1 ) 边界。在任何情况下，期权的价值不会为负值，并且不会超过标的资产的 价格，即：c 0 ，s c ，如果看涨期权的价值超过标的资产的价值，就会有套 利机会出现。这种情况下，买标的资产并卖出看涨期权，在期初就会有净现金 流入。如果看涨期权执行了，交割标的资产并按执行价格收入现金；如果不执 行，就保留标的资产。在任何一种情况下，未来的现金流都是非负的。为了避 免套利机会，就必须有s c 。 为推导出欧式看涨期权下界，考虑如下两个组合： 组合a ：一份欧式看涨期权加上金额为k e ”仃。) 的现金 组合b ：以单位标的资产 在组合a 中，若现金按无风险利率投资，则在t 时刻将变为足，即等于执行价 格。此时多头要不要执行期权，取决于t 时刻标的资产价格爵是否大于世。若 s t k ，则执行期权，组合a 的价值为品：若簖s k ，则不执行期权，组合a 的价值为k 。因此，在t 时刻，组合a 的价值为m a x ( s t ，茁) 。而在t 时刻，组 合b 的价值为品，m a x ( s ，k ) 昌，因此，在t 时刻组合a 的价值也应大于等于 组合b ，即c - i - k e ”口。o s ，又由期权的价值一定为正，得到无收益资产欧式 看涨期权价格的下界为c m a x ( s k e ”( 。“，o ) ( 2 ) 执行价格。在其他条件相同的情况下： 第一，看涨期权的价值是执行价格的递减函数。 即c ( 墨) c ( 岛)若 墨 ( 2 4 2 ) 第二，这两种期权价值之差不超过其执行价格之差。 即如一k c ( 墨) 一c ( )若马 墨 ( 2 4 3 ) 第三，三个执行价格不同的期权( 墨 疋 墨) ， c ( k ) 镰k 3 ，- 一k 墨2 ，c ( r 04 - 百k 2 - i k j ) c ( 恐) ( 2 4 4 ) ( 3 ) 到期时间。在其他条件相同的情况下，期限较长的看涨期权的价值不低于 期限较短的看涨期权的价值。 即c ( f 2 ) c ( )若t 2 ( 2 4 5 ) 若c ( f 2 ) 0 ，就卖出该期权，结清头寸并 且获利。如果c 。( t d m a x s - k ，0 0 ，有z ( s + f ) 一z ( j ) n ( o ，c 2 t ) ： 则称随机过程 z ( f ) ，t 0 ) 是参数为c 2 ( c 0 ) 的b r o w n ( 布朗) 运动或w i e n e r ( 维 纳) 过程。 当c = 1 时，称 z ( f ) ，t 0 为标准维纳过程，由上面定义可得z ( t ) 一n ( o ，t ) 。以下 我们仅讨论标准维纳过程的情形，记之为 矿o ) ，r 0 ，它在，时刻的概率密度函数为： 、ix 2 工( x ) 2 了 2 z te x p ( 一万)、， z f 维纳过程作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个 最基本，最简单同时又是最重要的过程。许多其它的过程常常可以看作是它的 范函或某种意义下的推广。它又是迄今了解得最清楚，性质最丰富多彩的随机 过程之一。今天，维纳过程及其推广已广泛地出现在许多纯科学领域中，如物 理，经济，通讯理论，生物，管理等。在经济领域描述价格变动、利率变动、 汇率变动、债券价格变动和衍生资产变动行为的金融模型大都采用维纳过程。 在性质3 ) 中，若令时间间隔f = s t 趋于无穷小，记为微分出，记 d w ( t ) 一w ( s ) - w ( t ) ，则有维纳过程的微分表示d w ( t ) = p 妇，其中8 是服从标准 正态分布n ( o ，1 ) 的变量。由维纳过程的性质显然有e ( d 缈( 嘞= o ，v a r ( d w ( t ) ) = d t ， 迸一步可得e d l v ( t ) 2 = d t ，v a r d w ( t ) 2 = 0 ，这个式子说明了虽然维纳过程是一 个随机过程，a v e ( t ) 本身是不可测的，但其平方却完全可测，即( d 矿( 0 ) 2 = d t 。 定义3 1 3 设 矽( f ) ，t 0 ) 为标准维纳过程，记z ( d = + ( ，) ，为常数，称 z 0 ) ，t 0 是带漂移系数为的维纳过程。 由维纳过程定义可得，x ( t ) n ( p t ，t ) 。 将带漂移得维纳过程的定义写成微分形式，得d x ( t ) = p d t + d w ( t ) 。一般地，有 如下推广：d x ( t ) = i z d t + c r d w ( t ) 。若扩散系数盯与漂移系数不是常数，而是t 与 x ( t ) 的函数，那么有如下更一般的随机微分方程： d x ( t ) = ( r 0 ) ，t ) d t + 盯( r ( r ) ，t ) d w ( t ) 通常人们用随机微分方程解释股票价格( s ) 的相对变化规律，方程为 u 。o t = 础+ a d w ( t ) ，称该方程为几何布朗运动方程，并称墨服从几何布朗运动。 6 f 对于标的资产价格变化满足几何布朗运动方程的不同类型的衍生工具的定价， 只要给予适当的边界条件，通过求解b s 方程，便可得到衍生工具的定价模 型。 假设：设随机过程 g ( t ，们，r 0 ，对t 0 满足以下条件： ( 1 ) g ( t ，w ) 关于 0 ，列o 可测； ( 2 ) v t 0 ，9 0 ，- ) 关于巧可测，即v x e r ，( w ：g ( t ，w ) s x ) e f ： ( 3 ) e ( g ( t ，w ) ) 2 t i t - 0 ，f ，j e s ；p , j = l ，f s 。 j e s 定义称矩阵a = ( ) n s 为随机矩阵，若嘞0 ，f ，s ，且对v i e s ，有 嘞= l 。 e s 显然，p = ( 风) 是一随机矩阵a 记以( 咒) = p ( 以= f ) ，厅( ) = ( 乃( 胛) ，乃) ，乃( n ) ，) ，万( 行) 表示以时刻以的概 率分别向量，称 川( o ) ，i e s ) 为马氏链的初始分布。我们有，一个马氏链的特性 完全由它的一步转移概率矩阵p 及初始分别向量万( 0 ) 决定。 类似可以证明任意玎个时刻的联合分别也完全由万( o ) 及p 决定。 其次，有以下定理： 定理3 2 2 万0 + 1 ) = 7 r ( 功p 万( ”) = x ( o ) p ” ( 3 2 3 ) 其中p 是尸的珂次幂。 ( 3 2 3 ) 表明任一时刻分布由万( 0 ) 及完全p 决定。 这些事实表明，马氏链 以，n o ) 的概率性质完全