（计算数学专业论文）sinc方法在紧支信号重构中的应用.pdf

丫ll111llft8ll111hllllll5itffll9lllltt3ll 丫18115 9 3 保密2 年 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o t o n 西iu n i v e r s i t yi nc o n f o r m i t yw i t ht h er e q u i r e m e n t sf o r t h ed e g r e eo fm a s t e ro fs c i e n c e s i n cm e t h o di nr e c o n s t r u c t i o no f c o m p a c t l y s u p p o r t e df u n c t i o n s c h o o l d e p a r t m e n t ：s c h o o lo fm a t h e m a t i c s d i s c i p l i n e ：m a t h e m a t i c s m a j o r ： c o m p u t a t i o n a lm a t h c a n d i d a t e ：j i a w e if a n g s u p e r v i s o r ：p r o f x i o n g h u aw u d e c e m b e r , 2 0 0 6 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 摘要 在实际生活中信号的重构，信号的压缩表示具有十分重要的应用。经典的 信号重构方法基于理想的低通滤波器来实现。这在实际应用中常会遇到如下的 两类困难，首先日常生活中的信号都是紧支的，也就是说日常所碰到的信号都 有起始与结束的时间。而根据经典方法的要求，信号必须是无限支集的。其次 理想低通滤波器是物理不可实现的，原因很简单，它的时域表示也是无限紧支 的。因此，经典方法的价值更多的表现在理论上，而不能直接用到实践中去。 为了解决以上的问题，工程上使用了加窗的方法来解决非紧支与非理想的低通 滤波器的问题。同时为了进一步提高方法的效率，从传统的f o u r i e r 分析发展 而来的小波方法被广泛的应用到了信号处理的各个方面，大大提高了信号处理 的效果。此时仍然有一些问题没有解决。首先如何选取预滤波的频率。其次当 信号表示是由某种间接的形式给出，如，微分方程形式。小波在解决此类问题 时效果并不是最好的。 所以我们选择利用经典f o u r i e r 方法的一个直接推广s i n c 方法，通过加入 指数变换以及边界处理，来解决无限支集信号与紧支信号之间的矛盾，同时利 用s i n c 方法数值求解微分方程的能力，给出由h i l b e r t 变换重构原始信号的例 子。 最后，关于进一步工作的方向进行了简要的讨论，希望通过加入区域分裂的 方法进一步降低s i n c 方法系数矩阵的复杂度，提高信号重构的信噪比。 关键词：s i n c 方法，信号重构，指数变换，边界处理 a b s t r a c t h lr e a ll i f e ，t h er e c o n s t r u c t i o na n dt h ec o m p r e s s i o no ft h es i g n a l a r ev e r y i m p o r t a n t t h et y p i c a lm e t h o dt o r e c o n s t r u c ts i g n a li sb a s e do nt h ei d e a ll o w - p a s s f i l t e r i ns p i t eo ft h eb e a u t i f u lf o r mo ft h et y p i c a lm e t h o d ，i tr e q u i r e st h es g n a lt ob e p r o c e s s e d i sn o tc o m p a c t l ys u p p o r t e d w h a t sm o r et h ei d e a ll o w - p a s sf i l t e rc a n n o tb e r e a l i z e di nf a c t s os o m ei m p l e m e n t sa r eu s e dt oi m p r o v ei t i t i se v i d e n tt h a tt o r e p l a c et h ei d e a lf i l t e rb yam o r er e a l i s t i c o n ei sag o o di d e a a n dt h er i s eo ft h e w a v e l e t sh a sp r o m o t e dt h es i g n a lp r o c e s s i n gr a p i d l y b u tt h e r e a r es t i l ls o m ef l a w s e x i s t f i r s tar e p l a c e df i l t e rm a k e sn op r o m i s eo f t h ec o n v e r g er a t e s e c o n dw a v e l e t s m e m o di sn o tt h eb e s to n ew h e nt h es i g n a li sg i v e ni n t h ef o r mo fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s oh e r e1w o u l d l i k et oi n t r o d u c et h es i n cm e t h o dt os o l v et h e m s i n cm t h o di sad i r e c td e r i v a t yo ff o u r i e ra n a l y s i s 。b ya d d i n ga ne x p o n e n t i a l t 啪s f o r ma n dab o u n d a r yp r o c e s s ，w ec a nc o p ew i t ht h ed e l i m m ab e t w e e nt h e c o m p a c t l ys u p p o r t e ds i g n a la n dt h ei n f i n i t es u p p o r t e do n e a n ds i n em e t h o dh a sa g r e a ta d v a n t a g ew h e ni t i su s e dt os o l v et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h e n c ew em a y r e c o n s t r u c tt h es i g n a lf r o mt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n se a s i l y h e r e a ne x a m p l e i n v o l v e dh i l b e r tt r a n s f o r mi sc o n s i d e r e d i nt h ef i n a l i t y , t h ep r o b l e m sr e q u i r i n gf u r t h e rs t u d i e sa r ed i s c u s s e d i ts e e m st o g e tm o r ee f f i c i n c yw h e n t h ed i s t r i c tm e t h o di sa d d e d k e yw o r d s ：s i n em e t h o d ，s i g n a lr e c o n s t r u c t i o n ，e x p o n e n t i a lt r a n s f o r m s ，b o u n d a r y p r o c e s s i l 目录 目录 第1 章引言1 第2 章经典信号重构方法1 2 1p a l e y - w i e n e r 空间2 2 2 一般采样定理的推广3 2 3 经典w s k 方法的不足6 第3 章s i n c 方法7 3 1 加窗法7 3 2s i n c 方法简介1 l 3 3 变换的构造1 3 3 4 小波变换1 4 3 4 1 小波简介1 4 3 4 2 多分辨率分析1 5 3 4 3 框架理论1 7 3 4 4s i n c 方法与小波1 9 3 5 带边界处理的s i n c 方法2 2 第4 章数值试验2 2 第5 章s i n c 方法在逆h i l b e r t 变换中的应用2 9 第6 章结论与展望3 4 6 1 结论3 4 6 2 进一步工作的方向3 5 致谢3 6 i i i 目录 参考文献3 7 个人简历在读期间发表的学术论文与研究成果4 1 i v 第1 章引言 1 1 概述 第1 章引言 信号的复原以及重构历来是信号处理领域十分重要的一个课题，从现代眼光来看这个 问题可以整体视作知识表示问题的一个方面。即如何用最节省的方式来纪录信号的所有特 征，进而从这些特征重构原始信号。这其中包括无损的重构与有损的重构两种方式。一个 简单的例子：利用数码相机拍摄的照片的基本格式是无压缩的r a w 格式，因此需要很大的 存储空间才能满足实际应用。如果引入图像压缩的技术，我们能很方便的用极小的代价减 少所需的存储空间。也许有人认为随着硬件技术的不断提高，所谓的压缩技术最终将会被 市场淘汰。但实际的情况是：硬件的提高永远赶不上信息的增速来得快。而更重要的原因 在于，从众多的信息中得到真正有用的信息，而不是简单的储存它们才是最重要的。另一 个例子则是有关信号去噪。在带噪声的信道上传递信息，不可避免的给信号带来了多余的 噪声，当然这也可能来自终端的系统噪音。编码理论发展了一系列的纠错码方法来抑制噪 声带来的影响。但如果信息在传递之前就已经被污染了，又该怎么办呢? 从以上的两个例子中不难看出，当前最需要关注的是用多种方式来表示知识，然后选 取对于不同实际问题最适宜的表示方法。那么所谓的知识表示，其实质就是关于知识在不 同基下所对应的不同特征的表示。从数学的角度来看，根据不同的要求就可看作是一 个同归，分类或者是密度估计问题。即是已知某概率密度函数在某些点上的采样值，通过 将这些值投射到不同的特征空间上，我们希望找到一个宜于实现且十分接近于原始密度的 新的密度函数。当然针对回归，分类以及密度估计已经发展出了许多行之有效的方法。因 此本文只针对经典信号重构方法在处理有限持续信号方面的不足，以及目前流行的小波方 法在处理某些以间接形式出现的信号方面的不足，提出用s i n e 方法来替代原先经典的w s k 方法。之所以这样做，首先它们是一脉相承的，同样都是基于f o u r i e r 分析。而且s i n e 方法 在处理边界有奇性问题时要优于一股的方法。这就使得s i n c 方法在处理有限持续信号时， 无论它是以直接的时域表示出现，还是以某种微积分方程的形式出现，都能取得良好的效 果。此外我们还针对非紧支的信号，提出预先进行一次边界处理，这样任何有限持续信号 都能直接为s i n e 方法所处理。本文的另一个贡献在于把s i n e 方法与h i l b e r t 逆变换结合并引 进双指数变换，使得重构原始信号效果得到了极大的改进。 本文的结构入下，首先在第二章介绍经典的w s k 定理，第三章我们引入s i n e 方法，介 绍s i n e 方法的基本结构，性质以及一些基本的方法，如窗函数法与小波方法。第四章给出 一些具体的数值例子。第五章叙述s i n e 方法在h i l b e r t 逆变换中的作用。工作的总结与展望 则安排在第六章。 第2 章经典信号重构方法 第1 章引言 2 1p a i e y - w i e n e r 空间 为了处理现实生活中出现的连续时间信号，我们必须寻找它的一个离散样本的替代， 并希望这一离散的替代品能保留原始信号的所有信息。大约在1 8 4 1 年这一采样方法首先在 数学上以内插公式的形式为数学家们所发现。其后采样定理的思想分别由w h i t t a c k e r 1 ， s h a n n o n 2 ，k o t e l n i k o v 3 在各自的领域再次发现。因此采样定理亦被称为w s k 定理。 定义2 1f o u r i e r 变换 设厂f ( 尺) ，则其f o u r i e r 变换记为： 知) = ，( xe - 甜出 ( 2 1 ) 定义2 2s i n c 函数 跗一= 繁等 ( 2 2 ) 定义2 3 ： 设kcr ，是一个紧集，则p a l e y - w i e n e r 空间p ( k ) 由如下函数组成 m ) = 去c 厕研 ( 2 3 ) 其中，当t 仨k 时，h o = o 且，夕( f ) e ( r ) 。 特别对于6 0 ，将p ( - b ，6 】) 简记为p ( b ) 。 鉴于卷积运算在整个信号处理中的作用，现介绍一个卷积运算在p a l e y w i e n e r 空间上 的性质 定理2 1设f p w ( k ) ，g ( 尺) ，则f ，g 的卷积 ( 厂g ) ( f ) = 亡( “) g ( 卜“) 幽 ( 2 4 ) 也属于p w ( k 1 。 当节点是等距分布的时候很容易由p a l e y w i e n e r 空间的结构找出重构的方法，特别 即使在有噪音的情况下仍能稳定地工作。 不妨把空间定为p ( 一去专 ) ，那么易得s i n c 函数s j 1 1 ) ( 工) 就是这个空间的再生核。 因此有 定理2 2 ( w s k ) ：设厂f ( 耽厂尸渺( - 去 ) ，则 2 第2 章经典信号重构方法 巾) = f ( k h ) s i n c ( k ，办) ( r ) ( 2 5 ) t = “ 定理2 2 说明对于一个频域有限的信号，即带限信号，我们只要知道它在等间距点k h 上的值，就能将原信号完全重构出来。当然这里等间距的要求不是必然的，实际上只要记 录下采样时刻在平均意义下满足条件即可。 为了获得更好的稳定性，降低数值计算对噪音的敏感性，我们还可以将采样率从原来 的临界采样率( 1 l pn a q u i s t 采样率) 詈提高到旁t 。h 办) 。我们有如下超采样定理。的临界采样率 采样率) i 提高到了 0 r i e s z 核 3 ，a ( 盯) = 1 2 1 ( - ，一6 n l 珂2 i ：；：6 i 刀7 圭i n i 以l i 兰。j a c k s o n - d e l av a l l e ep o n s s i n 4 ，a ( 疗) = c 。s 了7 n r o g o s i n s k i 核 这样就可以得到一些核的显式表达式，如 瓣脚洲) 带 亿2 。， j 是第一类b e s s e l 函数。 s ( x ) = 詈( s i n c ( 4 ) ) 4 亿2 2 ， 当然有很多核是没有显式表达式的，如 ，( 彩) = 去詈c o t 詈 r d 核 2 ，如) = 面1 ( 一t a n 2 詈) 5 第2 章经典信号重构方法 2 3 经典w s k 方法的不足 以上讨论了一般的采样核的定义以及构造方法，这些方法虽然十分简便但由于它们全 都基于傅立叶分析，因此注定在实际中是很难实现，即使如定理2 2 说明的那样对于一个 频域有限的信号，我们只要知道它在等间距点k h 上的值，就能将原信号完全重构出来。另 一方面，从信号滤波的角度来看，采样过程实际是一个低通滤波的实现过程，在这里s i n c 函数扮演了理想低通滤波器时域响应的角色。之所以称之为理想的是由于，在频域上s i n e 函数表现的是幅值响应为l 的低通滤波器，而在时域上是非紧支的，而且实际上它在时域 的衰减相当慢。因此在物理上是不可实现的。所以为了构造有实用价值的采样过程，只能 寄希望于带限信号能够拥有相对较快的时域衰减能力。但下面的定理说明一个带限信号在 时域上不能很快衰减。 定理2 5 ( p a l e y - w i e n e r 5 ) 设( j ) 是p ( r ) 上的非负函数，若e ( r ) 上存在厂( j ) 使得： ( 1 ) i ( 工) l = ( 了) ，口e ( 2 ) 夕( ，) = o ，t o 口息，其充要条件为 e 氅够 佃 ( 2 2 3 ) 如果信号在时域上不是很快的衰减，那么当我们将区域外的信号直接截断的话很可能 最终导致整个插值算法不收敛。为了解决这个问题，我们必须把问题域扩大，将那些在频 域上也急速衰减的信号包括进来，在新的域上考虑这个问题。 首先我们知道，信号在频域的衰减性与信号在时域的可微性有关，也就是说，信号越 光滑，则其在频域上的衰减性也更好。同样的信号在频域上越光滑，则其在时域上也就衰 减得越快。因此我们引入新的空间，w ( 月) 。这里w ( r ) = j l 夕g ( r ) 于是我们将信号的内插问题转到新空间w ( j r ) 上( 根据h a r d y 的定理此空间非空) ，此 时s i n c 函数已经不再是这一空间的再生核了，不过依据函数空间的性质，我们仍然可以估 计出由于频域无限所造成的混叠误差。 定理2 6 ( a l i a s i n g 6 ) 若s u p 矿3 卜彳，彳】， i o i 则一舌他) s i n 毗， ) ( 恃拶) 出 眨2 4 li = l再k 6 第3 章s i n c 方法 第3 章s in c 方法 s i n c 方法的研究最初是由w h i t n e y 和他的学生f s t e n g e r 开展的，在9 0 年代出版的 计算数学专著( n o n u n i f o r ms a m p li n g 7 中s i n c 方法只是作为一个新兴的方法而没有 受到过多的关注，只给出了几篇参考文献而已，直到9 0 年代中后期，f s t e n g e r ，及其博 士l u n d 分别出版了有关s i n c 方法的著作后，本方法才受到了多方面的关注。同在犹它大 学执教的j a m e sp k e e n e r 在其著作p r i n c i p l e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ： t r a n s f o r m a t i o na n da p p r o x i m a t i o n 8 中特辟专门的章节介绍s i n c 方法。s i n c 方法的 特点在于：对于边界处的奇性尤其是边界层的处理效果很好，而且即使在边界上带有奇性， s i n c 方法仍能给出指数收敛的结果。 s i n c 方法就其本源来说，可看作上一节论述的采样定理的一个十分自然的推广。因为 前已述及理想低通滤波器的时域响应即为s i n c 函数。而s i n c 方法的意义对于信号处理来 说在于，将一般的采样定理由无限域推广到了有限域。正如上节分析的那样，依据采样定 理我们有 厂( f ) = f ( k * h ) s i n c ( k ， ) ( f ) ( 3 1 ) i = 1 于是要做到在物理上可实现的信号采样，就要求 ( f ) = s c k + h ) s i n c ( k ，j i i ) ( f ) = s ( k + h ) s i n c ( k ，厅) ( ，) ( 3 2 ) t = k = m 因此必须把采样域限定为一个有限域，这时只有两种可能。即：要么信号是紧支的， 或者理想低通滤波器的时域响应是有限的。 显然s i n c 函数本身不是紧支的，而且连快速衰减也谈不上。同时时限信号本身不满足 采样定理的要求。于是一个解决的方案就是直接将有限域映射到无限域上去，即： 厂( j ) = 厂( 妒( 肋) ) s ( ， ) ( 1 ( x ) ) ( 3 3 ) = 1 关于s i n c 方法的一般性介绍暂时放下，我们先来看一下工程上的一些改进方法再回过 头来做一番比较。 3 1 加窗法 工程上为了实现上述采样过程，采取了用有限冲激响应的滤波器来代替理想的低通滤 波器，即通过给理想的低通滤波器施加不同的窗函数来获得有限冲激响应的滤波器，这类 方法被称为加窗法。 7 第3 章s i n c 方法 3 i 1 常有的窗函数 1 ，矩形窗： 国( ，z ) = i ，0 ，z n i i 2 n “巾 2 一旦n - i l 一l 3 ，h a n n i n g 窗： 4 ，h a m m i n g 窗： m ，* c o s ( 是) ，o n n - 1 m ) = 0 5 4 - 0 4 6 c o s ( 器) ，0 n n - i 5 。b l a c k m a n 窗： m ) = 0 4 2 - 0 5 c o s ( 器) 一( 篙) ，0 n n - 1 它们在时域以及频域的响应如下： 图3 1 窗函数的时域响应 8 l 一 竿一 一 0 ) 的带域，即 第3 章s i n c 方法 岛； z c ii l m 小：d ) 又，对于o s l ，记岛( 占) 为： 岛( ) = z e c i i r o z i ，l h z i d o f ) 并记h 1 ( 岛) 为岛上的h a r d y 空间。 于是由下述定理说明，当原信号在实轴上指数衰减时，其截断误差亦呈指数衰减 定理3 1 ( s t e n g e r 9 ) 设存在正数口，p ，d ，函数厂满足如下条件 1 ，。h 1 【仍) 2 ，在实轴上指数衰减，即 l ( x ) ls 口e x p ( 一，v x er 则有 k ) 一n，州x ) l c ； o x p s u p f ( j h ) s ( j e x p 七d 川1 ( 3 6 ) l 厂( x ) 一， ) ( x ) i c x一( 万d ) 托l ( 3 6 j + l，= 一nl 其中c 为一常数， 取胁啦 大约在2 0 0 3 年的时候日本数学家s u g i h a r a 推广了指数变化，使用所谓的双指数变化 以取得更好的收敛结果，即定理3 2 。 定理3 2 ( s u g i h a r a 1 0 ) 设存在正数口，屈，d ，信号厂满足如下条件 1 ，f 。( 仍) 2 ，f 在实轴上双指数衰减，即 i 厂( 工1 _ a e x p - f l e x p r l 工i ) ) 垤r ，则有 三黑旧一砉他州肋) 眇唧- ，r d y n l ( 3 7 ) 其中c 为一常数，i i 取作 = i o g ( z 而d y 广n f 1 ) 考虑时域有限问题，不妨设有限区域为口 b 1 ，为了利用上述定理首先将有限区域映到 1 2 整个实轴上去，即寻找一适当 ：( 哪，+ ) 一( a b ) ， l i m ( 善) = 口， l i m y ( f ) = b f + 一f 呻+ 则在整个实轴上，可作如下逼近： 厂( x ) ( y ( 乃) ) s ( ，厅) ( y 一( x ) ) ，a x ab ( 3 8 ) j = 一n 有了以上的准备，其截断误差的收敛性由下述定理给出 定理3 3 ( s u g i h a r a ) 假设存在一个适当的映射z = 缈( f ) ，使得变换后的信号，舻皓) ) 满足定理3 中的条件， 则有如下的误差估计成立 阳。i 矿砉= - n 咖) ) ) ( - l ( 圳卜 p l - , o g ( - 嘶7 r d z n s u p l ：( c n -raymn l丽 ( 3 9 ) x ) 一厂( 缈( ，厅) ) s ( ， ) ( 。1 ( x ) ) 卜x e x p i1 0 2 f 万咖两l ( 3 9 ) 口 膏 6 l ，l v o 、7 厂，j 其中c 为一常数， 取作办= l o g ( _ z d 历) 广 n f 1 ) 3 3 变换的构造 s t e n g e r 在他的“s u m m a r yo fs i n cn u m e r i c a lm e t h o d s ” 9 中列举了以下8 种变换： 1 ， 当r = ( o ，1 ) 对于眼形域( e y e s h a p e dr e g i o n ) d = ：c ：i a r g 巩l z ) d 可取变 妒( z ) = l o g e z ( 1 - z ) ( 3 1 0 ) 2 ，当i = z c ：z = e i o , u 护 v ) ，d = 卜c ：i ( v - “) 2 + 鹕 ( z ”) ( e i v - - z ) d ) 可取变换如下： 伊( z ) = ，( v 一“) 2 + l o g ( z p m ) ( e ， - z ) ( 3 1 1 ) 3 ， 当所逼近函数在原点处有奇性( 或在无穷远处是多项式衰减) ， r = ( o ，) ，d = z c ：l i n g ( z ) l d ) ，则取变换： 1 3 r = 尼。= z o c ：i 缸g z + ( + z 2 ) 啦 l 0 是尺度因子，b 是位移。 尺度因子a 的作用是对基本小波进行伸缩。a 越大，越宽，反之a 越小，越窄，或者 等价的说从时域观点看，改变a 就改变小波变换的时域频率。这是因为小波函数矽( f ) 一般 是一段持续时间较短的振荡波形。对于确定的( 口，b ) ，由小波变换的内积定义，w t ( a ，b ) 反映了信号) 在基函数以，) = 击“等卜的投影。由于九( ，) 在f = 6 附近的有v 口 n 限持续性和死( ，) 的振荡性，w r ( a ，6 ) 反映两重特性，一方面，它仅反映了f = 6 附近x ( f ) 的性质；另一方面它也具有抽取x ( f ) 在f = b 附近的某一频率成分( 正比于i a ) 的能力。 3 4 2 多分辨率分析 多分辨率分析的思想来自于计算机视觉理论。从机器视觉的角度而言，单纯从灰度信 息理解一幅图像中的物体是很困难的，更重要的是图像中灰度的局部变化。为了能够较好 的理解一个物体，刻画这种局部变化的尺度应该与物体的大小适配。然而在一般的图像中， 需要理解的各种结构拥有不同的大小，因此不可能预先给定一个最佳的分辨率来描述它们。 为解决这一难题，在计算机视觉中采用了不同的分辨率下处理图像中不同信息的方法，将 1 5 第3 章s i n e 方法 图像在各种分辨率下的细节提取出来，得到一个拥有不同分辨率的图像细节序列。这种多 分辨率的表示提供了一种图像信息监督的分层描述，在不同的分辨率下，特性的细节刻画 了不同尺度的物理结构。在粗分辨率的情况下提供了对图像结构( s t r u c t u r e ) 的描述，而 在细分辨率下则对图像的纹理( t e x t u r e ) 提供了描述。关于分辨率的层次划分，考虑到计 算和推导的方便以及人眼的视觉特性，一般采用倍频程划分，即分辨率取值为2 ，。 在m a l l a t 之前，实现多分辨率分解图像的方法是b u r r 和g r o w l e y 提出的金字塔分解 算法。对这种算法的深入研究表明，不同分辨率下的细节数据时相关的，然而很难确切知 道这是由于图像细节在不同分辨率下的相似性还是这种表示自身的冗余造成的。金字塔算 法的另一个缺点是没有空间的方向选择性，这与人眼的视觉特性不符，也不适合于纹理识 别等需要方向选择性的应用。针对这些缺点，m a l l a t 对信号的逼近和细节的抽取进行了深 入的研究，发现在不同分辨率下对信号的逼近可以通过对rlr “l 中一稠密空间序列的投 、， 影来实现，而且得到的信号细节刚好是按一小波基的展开。由此出发他提出了多分辨率分 析的理论。利用多分辨率分析的方法我们可将一个粗糙表面分解开，在高频与低频两个空 间上进行处理。 定义3 3 ：设 0 傅是空间f ( r ) 的一个闭子空间列， 0 ，。z 被称为p ( 尺) 的一个多分辨分 析，如果 0 间满足以下四个条件： 1 ，一致单调性 2 ，渐进完全性 3 ，伸缩规则性 4 ，正交基存在性 巧c 巧+ l ，j z q 巧= o ，旦巧= e ( r ) ，e z，e z ( x ) 巧jf ( 2 x ) 巧+ l ，z 存在( x ) v o ，使得 妒( x 一露) ) t 。z 是的一组标准正交基。 下面给出多分辨率分析的一些常用性质： 足理3 4 设 巧) 斥z 是由尺度函数缈( x ) 生成的多分辨率分析，则对任意，e z ，函数集 k t ( x ) = 2 么妒( 2 x 一| j ) l ( 3 2 1 ) 是巧的一组标准正交基。 定理3 5 ( 平移不变性) 1 r 第3 章s i n c 方法 多分辨率分析的逼近空间中的任葸函数平移后1 7 ，在此至同中，即 厂( x ) 巧厂( x + 刀2 一) 巧 ( 3 2 2 ) 定理3 6 ( 尺度方程) 设 0 斌是由尺度函数9 ( j ) 生成的多分辨率分析，则成立下述尺度方程： 伊( x ) = 压魄缈( 2 x 一尼) ( 3 2 3 ) 其中 仇= 芝j 缈( x 切( 2 x 一七) 出 有了以上的准备，我们就能从一个多分辨分析中诱导出一组小波函数( 当然这并不是 构造小波函数唯一的也不是最好的方法，不过本文将止步于此，详细内容可参考 d a u b e c h i e s 1 2 ，c o b e n 1 3 ) 。从一个多分辨分析中我们已获得了一族函数空间 巧 ，e z 。 一般的逼近都是在 巧 俺z 上进行讨论的，当- ，专时巧也不断逼近问题域。与此不同 的是，为了得到更高效的逼近，我们考虑如下的空间分解 - = 巧o 即将原本嵌套的空间写成直和的形式，有 巧+ l = v oo o o 这样通过不断增加细节，最终也能逼近问题域所在空间。与前一种方式不同的是，这 种分解结构更利丁发现所需要添加的细节，由此便可以得到一种稀疏的表示方式，且更适 应t - 自适应的进行逼近。 3 4 3 框架理论 框架理论最早是由d u f f i n ，s c h a e f f e r 1 4 在由非正则样本重构带限信号时提出来的。 当f 的傅立叶变换的支集包含在卜z t ，z t 】中时，我们有 ，( 乙) = ；( 巾) ，吩( ，- 厶) ) ( 3 2 4 ) 其中 1 7 此即前面导出的s h a n n o n 采样定理。 为了建立一般性的重构条件， 九 。r 的内积完全重构。 定义3 4 序列 九) 。e r 是h i l b e r t 任意的日，有 彳0 当a ：曰时，此框架称为紧框架。 上述定义给出了算子u 的能量等价性： v ，z r ，巧m = ( ，丸) 定理3 7 设 九 。r 为框架，其界为a 、b 。由 无= u + u 1 丸 定义的对偶框架满足 v s s * , 吉1 1 s l l 2 善眦) 鹇2 和 f = o u s ：e s ，织) 无= ( 厂，无) 丸 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 这里给出一个非正则采样下的框架，它可以看作是s h a n n o n 采样定理在非正则采样点 上的一个版本。 定理3 8 ( 6 r o c h e n i g 1 5 ) 若规厶2 佃，熙一= 啪，且最大采样距离满足 则 万= s u p i t n + l - t n i r e z 再卜小z 1 8 第3 章s i n c 方法 是一个框架，其框架界为，a ( 1 - j t ) ，b ( 1 + a r ) 另外，由框架的定义，它可能是冗余的。当框架向量规范化后，冗余度由a ，b 度量。 且若 九 。；r 线形无关，则可知框架成为规范正交基，当且仅当a = l = b 。 也许在有些人看来，冗余度的出现不仅带来了不必要的计算，而且形式上不够简洁。 但其实冗余度对于信号重构极为有益。钱世谔打了这样一个比方来说明冗余的优点：他说： “我喜欢把所有的电话号码记在一本本子上便于查找，而我的妻子则将号码记在纸片上贴 得到处都是。可是有天我把号码本弄丢了，这下一个号码也找不回来了，如果按照妻子 的方法保存号码，那即使丢了两张纸，大部分号码仍然保留会下来。”可见冗余性对于在 噪声信道上传播信号是很有用的。 为了后面比较两种方法的优劣，这里再介绍一下小波的局部聚焦能力 小波分析与一般傅立叶分析的最大不同在于，后者所能处理的是函数在整个实轴上所 表现出来的正则性，而小波分析的优点在于它所擅长的是考察函数在某一个局部的正则性。 首先给出函数f 的一致l i p s c h i t z 正则性与其傅立叶变换的渐进衰减性之间的关系。 定理3 9函数f 有界且在r 上是一致l i p s c h i t z 口的，如果 e i 夕( 嘶+ 如 口阶消失矩的小波： 于是 t k b ( t ) d t = 0 ，( o k o 使得 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) v ( 妒) 【口，6 】尺+ ，i 町( ”) l 么s 口+ 圭( 3 3 4 ) 1 9 反之，设，有界且对某个口 以 l i p s c h i t z 口的。 定理3 1 1 设厂r ( r ) ，在v v 咖舢+ 胁一目s 叫( 1 + l 孚) 组3 5 ， 反之，设口 以为非整数，且存在a ， l i x l _ l ( 5 4 ) 这一族函数构成了【1 ，l 】上的一组完备的基。 此时它们的h i l b e r t 变换同时也构成了在【- 1 ，l 】上紧支的函数的h i l b e r t 变换的一组基。 由于这一组基在边界上是不连续的，因此难免会产生g i b b s 现象，而且对于边界上存在奇 性的信号也难于处理。而s i n e 方法则能很好的克服信号在边界上存在的奇性，因此这里选 择用s i n e 函数来代替文献 1 6 q b 的正弦形式的波形来求解逆h i l b e r t 变换。 定义5 2 ： 馋，垒妻骂糌 ， 2 9 第5 章 下面的定理将确保我们在逼近任意一个有限持续信号的h i l b e r t 变换时能得到足够的 精度。 定理5 1 1 9 】 设厂h 1 ( d ) ，则对工r 有， 以及 小) 垒等一弘m ( 5 6 ) 舯w 川全l 劁i x - t 出 占( x ) l 三；j e - 五a i a 丽h + 1 ( 厂，。，工) ( 5 7 ) 在文献【9 中s t e n g e r 曾指出当我们使用缸( ，) 来逼近一个函数的h i l b 瞰变换时，需 要引入一个相对误差来控制逼近的精度。但是在实际的数值实验中我们发现，当我们使用 类似于双指数变换这样的变换来处理有限持续信号时，这一相对误差是没有必要的。很少 的儿项“( j ) 就足以给出很高的数值精度了。 定理5 2 9 】 浏“刮幻持雄既酏馋伪舣3 棚阱删祧轴碳脯灿使 得对任意的x r ，有： i 等睁一蓦胞m x ，i 洲p 七训必辑8 ， 其中，= 9 ( ) 现在我们就可以从一个信号的h i l b e r t 交换在某个区间上的值来找出它的有限持续的 原始信号。由于时域有限信号( f ) 非紧支，( f ) = o t 仨【口，b 1 ，所以根据定理3 1 2 可取变换如下 g ( f ) = ，( f ) 一等加) 一而b - t 巾) ( 5 9 ) = 言( 厂( 肛等他) 一喾巾) ) 似) + 等e ( 咎。击+ 辔暑卜 将其写作矩阵格式： h ( i ，) = f ( 之_ 1 ) “( z - - 1 ) p l ( g 一- 1 ) p 2 ( z - n 一- ) f - ( z + 1 ) o ( z + 1 ) p l ( z + i ) n ( z + 1 ) 么= 弦廿2 f ( z 。) = 【( z - ) ，s ( z ) ，( 口) ，( 6 ) r b + 舰 b a b m b a 一乃一口 b a m 一口 b a ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) ( 5 1 1 ) 即h ( i ，s ) * a o ，) + v ( z ) = h f ( z t ) ( 5 1 2 ) 这里为了获得边界上的函数值，我们在方程中额外增加了两个节点z 一和z 州。那 么通过求解方程( 2 ) 就可以得到原信号在s i n c 节点上的值，此时再通过s i n c 函数的内插 公式： ，( x ) 厂( ( 办) ) s ( ， ) ( 杪。1 ( x ) ) ，口x 6 ( 5 1 3 ) j = 一n 就能重构原信号了。 这里我们给出两个数值例子。其中分别使用了2 * n + l ，n 2 个节点，定义误差为 q = m 警i 厂( 鼍) 一驴( 而) i ( 5 1 4 ) 以及i m se r r o r 龟2 3 l ( 5 1 5 ) 它们 例1 厂( j ) 变换 表5 1 绝对误差 n5 1 02 0 h 0 0 0 2 38 8 5 2 0 e - 43 8 9 0 5 e - 4 表5 2r m s 误差 n51 02 0 d e s b t2 7 3 3 0 e - 4 1 8 9 3 6 e _ 4 8 1 3 3 9 e 5 m e t h o di n 1 6 】0 1 8 7 90 1 9 6 40 1 4 0 8 图5 12 0 节点时原始信号与拟合信号 3 2 第5 章s i n e 方法在h i l b e r t 逆变换中的应用 - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ - _ _ - - - - _ - _ - _ - _ - - _ _ _ _ _ 一 图5 - 24 0 节点时原始信号与拟合信号 x 一 图5 - 3 绝对误差 然后我们在原始信号中加入噪声来测试本方法抗噪声的能力。在有噪声加入之后，s i n e 方法的表现有所卜- 降，原因很简单，由于系数矩阵的条件数较高，右端项的小扰动对这个 的求解还是影响挺大的，在这里我们试用了标准的t i k h o n o v 正则化方法，g u o & r e n a u t 1 7 】 的r t l s e i g 方法，以及s i m a ，e ta l 1 8 1 r t l s q e p 方法，效果都没有大的改善，似乎该在 其他方面动些脑筋。 图5 _ 4 受污染信号的复原 3 3 第6 章结论与展望 例2 ，饰，y ) = s i l l 7 脬刁y ( 五y ) x 1 0 ，l i o 】 在本例中，我们考察一个非紧支的二维信号，所以我们预先增加了边界部分的处理。 表5 3 给出了此二维信号重构的数值结果，可以看出利用少量节点就能得到较高的数值精 度。不过限于系数矩阵的高条件数，要进一步提高精