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曲阜师范大学硕士学位论文 带利息率且相依情形下的破产概率 摘要 风险理论研究的核心问题是破产概率，热点问题就有对保险公司的破产概率的估计， 以及对有限时间破产概率的考虑经典模型都是假定不存在利息率的影响，但是实际经济 环境下利息率是保险公司必须考虑的一个重要因素本文分别讨论了常利率环境下，索赔 额的分布属于重尾分布的情况下，有限时间的破产概率问题以及破产概率的尾渐近问题 第一章、介绍了风险理论、保险及保险精算的基本背景 第二章、介绍了重尾分布的概念、几类重要的分布族及这几类分布族之间的关系，重 点介绍了所要研究的带利息力的风险模型的表达式为 u ( z ) = u e a t - f j o 咭e 6 ( 一可) c ( d y ) 一te a ( t - 掣) s ( d y ) ，t 。 第三章，研究了索赔额负相关时带利息力p o i s s o n 风险模型的破产概率得到了索赔 额负相关并且服从相同的分布f cn7 9 时，有限时间内破产概率的一致渐近表达式为 帅，t ，一t 挚m 第四章、考虑了在索赔额分布f n 口族的场合下，且满足我们给定的一个假设 条件的的情况下的有限时间破产概率的渐近问题，得到了有限时间破产概率的渐进表达 式为 妒6 ( 让，t ) 一p ( z l e 。v u ) d m ( y ) 推广了以往带利息力更新风险模型的有限时间破产概率问题的结果 第五章、研究了索赔额服从的分布f cn7 9 族并且为负相关的，用不同与前面的 方法得到了破产概率的尾渐近表达式 妒( u ) 一- f ( u e 乳) d m t 关键词常利息，负相关，风险模型，渐近表达式，破产概率，重尾分布 a b s t r a c t t h ec o r eq u e s t i o no ft h er u i nt h e o r yi st h er u i np r o b a b i l i t y o n eh o tq u e s t i o ni st h e e s t i m a t ef o rt h ep r o b a b i l i t yo fr u i n ，t h eo t h e ri st h ea s y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt h ep r o b a b i l i t y o fr u i nw i t h i nf i n i t et i m ew a so b t a i n e d t h ec l a s s i c a lm o d e li su s u a l l yi n v e s t i g a t e dw i t h o u t t h ee f f e c to ft h ei n t e r e s tf o r c e ，b u tt h ei n t e r e s tf o r c ei sa ni m p o r t a n tf a c t o rf o rt h ei n s u r a n c e c o m p a n yi na c t u a le c o n o m i ce n v i r o n m e n t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t e t h ef i n i t et i m e r u i np r o b a b i l i t ya n dt h ea s y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt h er u i np r o b a b i l i t yo ft h er e n e w a lm o d e l w i t hi n t e r e s tf o r c e i nt h i sm o d e lt h ec l a i ms i z e sf o r mas e q u e n c eo fi d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d r a n d o mv a r i a b l e sw i t hh e a v yt a i l e dd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c et h ec o n t e x to fr i s kt h e o r y , i n s u r a n c ea n di n s u r a n c ea c t u a r y c h a p t e r2 i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fh e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n ，s e v e r a li m p o r t a n td i s t r i b u t i o ng r o u pa n dt h er e l a t i o na m o n go ft h e m f u r t h e r m o r e ，i n t r o d u c et h ei n e q u a l i t yo f t h er i s km o d e 】谢t hc o n s t a n ti n t e r e s t ) = u e a t + 0 2 毋扣们刚沪z t e 6 ( * - v ) s ( 刚舵。 c h a p t e r3 s t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yo fap o i s s o nr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s ta n d t h ec l a i m sn e g a t i v ed e p e n d e n t w h e nt h ec l a i m sa r en e g a t i v ed e p e n d e n ta n do b e yt h e i d e n t i c a ld i s t r i b u t i o nf cn 口，w eo b t a i nt h ea s y m p t o t i ce x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t y i nf i n i t et i m e 帅，t ，一t 掣m c h a p t e r4 c o n s i d e rt h er u i np r o b a b i l i t yf o ra r i s km o d e lw i t hi n t e r e s tw h e nt h ec l a i m s a r ed e p e n d e n t w es t u d yt h ea s y m p t o t i cp r o b l e mo ff i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yu n d e ra s p e c i a lc o n d i t i o n 砒( 札，t ) 一f 0 t p ( x l e - 6 u ) d m ( y ) w ee x t e n dt h ef o r m e rs t u d yo ft h i sp r o b l e m c h a p t e r5 s t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yf o rt h er i s km o d e lw h e nt h ec l a i m so b e yt h e s a m ed i s t r i b u t i o nf c n 口，f u r t h e r m o r e ，t h ec l a i m sa r en e g a t i v ed e p e n d e n t w eu s e a d i f f e r e n tm e t h o da n do b t a i nt h ea s y m p t o t i ce x p r e s s i o n 帅) 一z 。f 沁1 咖 曲阜师范大学硕士学位论文 k e y w o r d s c o n s t a n ti n t e r e s t ，n e g a t i v ed e p e n d e n t ，r i s km o d e l ，a s y m p t o t i ce x p r e s - s i o n ，r u i np r o b a b i l i t y , h e a v yt a i l e dd i s t r i b u t i o n n 1 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文带利息率且相依情形下的破产概率，是本 人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论 文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承 担 作者签名：曼i f 晓堵日期：力汐9 、干 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 带利息率且相依情形下的破产概率系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在 导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研 究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论 文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表 论文的全部或部分内容 作者签名：交i l 晓绪日期：伽。仁予 导师签名：7 醐。砷、姒 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章引言 风险理论是精算数学的一门分支学科风险理论的一个重要课题就是研究保险公司 有多大可能面临破产，即破产概率问题破产概率已经成为评估保险公司偿付能力的重 要指标，是保险公司控制风险的定量标准，同时破产理论及相关问题的研究能为保险公 司的经营决策者提供一个非常有用的预警手段，因而具有重要的意义 1 1 风险理论 风险理论就是用随机过程的方法来描述保险实务中收取保费、支付索赔的过程理论， 它是经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论保险公司作为经营风险的 金融企业，它的建立是为了减轻某些意外事故产生的影响，其经营机制是保险公司以一 定量的保险费向被保险人出售有某些保障功能的保单，在保单的有效期内如果产生相关 的意外或毁坏，保险公司将按保单的规定向被保险人支付赔偿金风险对于保险公司来 说意味着损失或盈利，因而，合理控制风险对于保险公司的生存和发展来说至关重要保 险公司一方面必须采取各种措旌增加保单数额，稳定风险波动，另一方面合理地制定保 险费率，科学的预测未来的风险和收益，也是保险业务必不可少的稳定经营手段因此， 有必要从理论上进行科学的分析，确保保险公司的稳定运作风险理论就是研究保险公 司破产及与破产有关的一些问题 1 2 保险精算与保险 精算是利用数理模型来估计和分析未来的不确定事件即风险产生的影响它的概念 是很难界定的，一般的说法是，利用数学、经济学、数理统计、人寿险、非人寿险、人口 学、养老基金、投资等理论，对金融、投资等行业中的风险问题进行数量化分析，使未来 价值的可能性数量化精算学最早起源于人寿保险中的保费计算，1 6 9 3 年，英国天文学 家哈雷根据德国布勒斯市居民的死亡资料，编制了世界上第一个生命表，至今已有三百 多年的历史而目前国际上普遍认为，精算学已不仅限于寿险，它在非寿险中也有很大 的发展，同时在投资领域、银行系统等金融部门也是活跃的一部分所以，抽象地说，精 算学是定量地研究未来的随机事件对目前财政状况的影响，进而制定科学合理的经营策 略保险精算一般由寿险精算与非寿险精算或意外精算组成这是依据各自的研究对象来 划分的，两者即有共同之处( 风险理论) 也有不同之处( 损失分布的性质和研究方法) 非 寿险精算风险理论与经营稳定性分析理论是决策者对风险进行定量的分析和预测的一般 理论它可以用于许多涉及风险分析和决策的领域 1 第一章引言 保险是风险处理的一种特殊形式通过它，一组人( 被保险人) 将风险转移给另一 组人( 保险人) 以集合损失资料，这样，就可以用统计方法来预测损失，并用所有风险转 移者缴纳的资金来支付损失作为个经济机构，保险不仅包括风险转移，而且包括风险 共担和风险降低共但就是在一个团体内分担总的损失在一个大的团体内共担，有助于 降低风险通过把一组事务结合起来置于统一的管理之下，从而可以对被保险人必须承担 的总损失进行比较准确的预测，保险就完成了降低风险的功能因此，通过交纳一定的保 费，风险产生的损失也就被共担了并且这一团体所面临的总体风险也降低了通过保险 机制，被保险人将各种风险转移给了整个团体，以较少的支出避免潜在的、巨大且不确定 的损失 1 3 破产论 在保险数学，也称为精算数学的范畴内，破产论是风险理论的核心内容现代风险 理论的发展甚至在一般的随机过程理论形成之前就开始了，上世纪初，l u n d b e r g 提出来 了聚合风险理论，其核心就是一个模拟保险公司经营状况的随机模型一经典风险模型 但是经典风险模型没有考虑公司经营规模及经营状况的变化没有考虑不同险种顾客索赔 到来的本质区别，也没有考虑公司实际上的多险种经营和新险种开发，因此应用受到很 大局限经典风险模型的局限性本质上与p o i s s i o n 过程的平稳性及保费率c 恒定的假 设相关联a n d e r s e n 和t h o n i n ，a m m e t e r ，a s m u s s c n 等人先后对经典风险模型做了多 方面的拓广：a m m e t e r 首次用c o x 点过程来描述顾客索赔到来，建立了c o x 风险模型 a s m u s s e n 考虑了强度a ( t ) 为m 状态马氏过程的c o x 模型，给出了c r a m m e r - l u n d b e r g 近似s p a r r ea n d e r s e n 用更新方程来描述顾客索赔到来，首次建立了更新模型，并由此 导出了l u n d b e r g 不等式 但是，不管是经典风险模型本身，还是它的这些拓广模型，描述顾客到来的点过程 均为简单点过程，即在同一时刻至多有一个顾客索赔到来但是，实际上我们经常会遇到 在同一时刻有两个以上的顾客要求索赔的情形戚懿针对该情形把经典风险模型中一般 的复合p o s s i o n 点过程推广到广义p o s s i o n 点过程，建立了广义复合p o s s i o n 模型戚懿等 针对经典风险模型，研究了当保费按公司的盈余进行适当调整时，如何求破产概率的问 题近几年来，在航天航空、汽车事故以及火灾等险种的经营领域，大额索赔出现的频次 越来越多，单次理赔支付的理赔额越来越大，以往的理赔额服从尾指数分布的假设与这 类险种的实际情况不相符合因此，对重尾分布模型的研究已成为近年来风险理论研究的 热点经典模型研究的是“小索赔额”情形的破产理论，一个很强的约束条件是要求调节 系数存在如果调节系数不存在，则更新论证和鞅方法都不再有效对于“大索赔额”的情 2 曲阜师范大学硕士学位论文 形，确切地说是对于索赔额服从重尾分布的情形，有关破产理论的研究必须找到新的数学 工具e m b r e c h t s 和v e r a v e r b e k e 研究了更新模型的破产概率问题，并且得到了在重尾索 赔额情形下破产概率的一个尾等价式，这个结果可以看做是对l u n d b e r g - c r a m e r 模型相 应结果的拓广另外，在索赔额服从重尾分布的情况下，对于延迟更新过程，e m b r e c h t s - v e r a v e r b e k e 的尾概率渐近等价公式仍然成立e m b r e c h t s 和k l u p p e l b e r g 等在这方面展 开了较为系统的研究2 0 0 2 年，唐启鹤研究了重尾索赔下关于破产概率的一个等价式之 后，孔繁超等研究了更新风险模型和延迟更新风险模型中的破产概率，在假定个体索赔 分布是重尾的前提下，得到了与经典模型相一致的破产概率的一个尾等价关系江涛，陈 宜清研究了平稳更新模型下生存概率的一个局部等价式，将唐启鹤在索赔额为重尾分布 场合建立的关于c r a m e r l u n d b e r g 模型生存概率的局部等价公式推广到平稳更新场合 3 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 风险模型介绍 设索赔额 ，n 1 ) 为同分布的非负的随机变量序列，具有共同的分布f 和有 限的期望，索赔到来的时间间隔( 既，n 1 ) 为独立同分布的非负随机变量序列，且与索 n 赔额序列相互独立记= o k ，为索赔时刻在时间段【0 ，t 】中到来的索赔次数记为 k = l n ( t ) = s u p n 1 ：o ns 味t 0 显然 0 为保险公司的初始储备金 该模型称为有利息力的更新模型，特别地，当n ( t ) 是参数为a 的齐次p o i s s o n 过 程时，相应的模型称为有利息力的p o i s s o n 模型 对于这个有利息力的更新模型，破产时刻定义为 7 ( u ) = i n f s 0 ：u ( s ) o l u ( o ) = u ) ， 则在有限时间t 内的破产概率定义为 妒( u ，t ) = p ( 丁( u ) t )( 2 1 2 ) 对任意0 t 0 都成立， 也就是说距母函数不存在，则称它的分布是重尾的由于这一概念所包括的情形很大，目 前也无法在整个重尾族上得到满意的结论所以在实际的研究工作中，人们总是从它的 一小部分即子族上着手来研究得出良好的性质，然后再逐步扩大它成立的范围下面列举 一些常见的子族： 族： 设f 是以【0 ，0 0 ) 为支撑的分布，如果对任何z 0 ，都有l i m ! 菩筹= 1 ，则称f n + o o1 山， 属于族，记为f c 上述定义等价于其中的极限式对某个f 0 成立 移族： 设f 是以【o ，o o ) 为支撑的分布，如果对任何0 c 1 ，都有熙s u p 帮 。， 则称f 属于口族，记为f d 上述定义等价于其中的极限式对某个0 0 ，都有l i m 与；署= z 1 、4 ， 可，则称f 属于冗一a 族，记为f 死一口 e r v ( - a ，一卢) 族： 设f 是以【0 ，( 3 0 ) 为支撑的分布，如果对某个0 a p 1 ， 都有可一卢1 骧磐f 甍磬h 翌罂pi y ( 万z y ) y ，或者等价地对任何o 0 且与序列 ，n 1 - 独立； ( 3 ) 时间区间 0 ，1 】中索赔次数n ( t ) = s u p n 1 ：死) ，( t 0 ) 为一更新计数 过程，= o i ； t = 1 ( ) ( 4 ) 损失过程为s ( t ) = 磊一c t ，t o ； i = 1 如果( 2 ) 中的时间间隔是独立同分布的指数分布，则为经典风险模型，即c r a m e r l u n d b e r g 模型 6 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章索赔额负相关时带利息力风险模型的破产概率 3 1 背景知识 在本章中，我们假定索赔额【k ，n 1 ) 为同分布负相关的非负的随机变量序列， 考虑在更新风险模型( 2 1 1 ) 中当索赔额服从的分布属于cnd 族的情况下的有限时间 破产概率 已有数篇文章论证了如下的结果：对于有利息力的p o i s s o n 模型，当f c n d 时， 对任何的0 x l ， z 。) np ( x k z 七) k = l 注1当x _ o 。时，对于非负函数 口( z ) 一6 ( z ) ；如果l i m s u p 器1 ，就记为 z - - - 4 0 0 a ( x ) 乏6 ( z ) n ( z ) a ( x ) 与6 ( z ) ，如果z l 。i m 。器 焉6 ( z ) ；如果l i 。m 。i 。n f 器 = 1 ，就记为 1 ，就记为 引理3 2 1 令( x 七，1 k n ) - 为一列n d 随机变量且具有共同的分布函数f 如 果f cn 口，则对任意的0 z ) 七= 1 a ，6 】竹一致成立，即 l i m s u p z + 兰堡【n ，6 】住 证明：由d 的性质，得到 p ( ，壹c 七玲0 k = l p ( 耋c k x k l a p ( z ) 南= ep ( c k x k x ) 尸( c k x k z ) 一 k = l 一1 i = 0 1 i z ) 一尸( q 托 z ，b x j k = l l s t j n 尸( c k x k 。) 一 七= 1 一尸( c 七x 七 z ) k = l p ( c i x i x ，勺x j z 1 p ( c i 五 z ) p ( b x j z ) 1 t j t l 7 1 这样就证明了对一c n 【a ，6 】n ，p ( k = l z ) 仡 c k x k x ) 兰ep ( c 知x k z ) 一致成立 8 k = 1 曲阜师范大学硕士学位论文 另一方面，对任意固定的数l 0 ，有 f n p ( c k x k k z z i = l zl 七= 1 l ) ) + p + 尸 ( c i x i z l ) ， 喜尸( c 知拖一l ) + 薹p ( 萎c 知鼍 l ，勺玛 元x 1 1k z ) ( n s z _ o 。) c 后拖 击，勺 罢)扎一l n x x k 9 p ( c k x k 、 l 一、l一、 z z n 1k 乃 眩 吻 。n：l z瓦 七 c 。胁 。u 触 。n m z _ l 老 一 x z 。随 等 、， l o 一 兰 件h 、， z n 1 x p p 、， 1 n 随 、l ， z n l x6 i 第三章索赔额负相关时带利息力风险模型的破产概率 7 1 n 所以我们得到尸( 钆虬 x ) s p ( c k x k z ) ，对鱼f a ，6 】“一致成立 k - - 1k - - 1 从而，就得到了引理3 2 1 成立 引理3 2 2 令 x 詹，1 k n ) 为一列n d 随机变量且具有共同的分布函数 f ， o k ，1 k 礼 为另一列正的随机变量序列，并且与( x k ，1 k n ) 独立，满 足p ( a o k b ) = 1 ，0 0 ，存在x o = x o ( e ) 0 ，对任意的x x o ，有 尸( c k x k z ) 1 一e 独f l ，。百塑一一( 口，6 】“曼j p ( 吼x k z ) 因而有： p ( 喜o k x 知 x ) = e 妊= 1l f i 尸( c k x k z ) s u p 1 壁旦一1 + c n 川”f ( c 话拖 z ) k = l 如) = 埘。p 睁硒郴，一 = 卜棚小 = 。p 睁扎 z 卜“钆 ， n 尸( c k x k z ) 。 k = 1 ：1p ( c k x k z ) ，c n ) p ( c k x k z ) d f o ，口。( c 1 ，一，c 。) k = l 喜尸c 巩托 z ，= 喜厶印缈p ( 喜c 七托 z ) d 研一c h 一，甜 所以，对任意的z2z o 有： ( 1 一g ) p ( o k x k z ) 南= 1 o k x k z ) ( 1 + ) p ( o k x k z ) k = l 1 0 口z 七 x 七 凸v n 脚 p o：- 厂如 l】寻 贿巳并 n 随 ，- l 、 p 曲阜师范大学硕士学位论文 从而证明了引理3 2 2 引理3 2 3 1 6 1 令 ，n 1 ) 为u n d 具有共同的分布f d 且期望为0 则对任 意一个固定的1 0 与c = c ( - r ) ，不等式 p ( ，k 壹= ia z ) c n f c z ， 对所有的z ，y 礼，n = 1 ，2 ，成立 引理3 2 4 设 ( ) ，t o ) 为p o i s s o n 过程，来到时刻序列为 o r k ，k 1 ) 在 给定n ( t ) = 扎的条件下，与随机变量序列( t 巩，t 巩，n ) 具有相同的分布，其中 ( 阢，巩，。) 为( 0 ，1 ) 上礼个均匀分布的独立随机变量仉，u 。的顺序统计量 证明：已知当m ，i = 1 ，2 ，n ，都在( 0 ，t ) 上均匀分布，顺序统计量k 1 ) ，k 2 ) ，k n ) 的联合密度函数是 ，( 即) ，m ) ，一，可( 。) ) = 芸，o 即) 即) 可( 。) 现在我们来计算给定n ( t ) = n 时，盯l ，的条件密度函数设0 t t t 2 t 。+ 1 = t ，且取h i 充分小使得t i + h t t 件1 ，i = 1 ，2 ，n ，则 p t i & t i 十h i ，i = 1 ，2 ，nn ( t ) = 佗】i p t i ，t i + h i ，i = 1 ，2 ，n ， 0 ，m p n ( t ) = 川 a h l e m 1 a k e - a h n e a ( 。一 1 一 2 h ) e - a t ( a ) “n ! = 芸h k k 因此 p t i & t i + h i ，i = 1 ，2 ，扎in ( t ) = n ) h l h 2 h n 礼! t n 令h _ 0 ，我们得到l ，0 2 ，盯n 在已知的条件下的条件密度为 作( 1 ) 。) 一心n ) ) = 筹，o 幻) 七) ) 因而引理得证 容易说明对于非齐次的p o i s s o n 过程仍有类似的结论 1 1 第三章索赔额负相关时带利息力风险模型的破产概率 3 3 本章结论 定理3 3 1 我们考虑模型( 2 1 1 ) 为非齐次的复合泊松过程，即 ( t ) ，t o ) 为参数 为a 的p o i s s o n 过程，索赔列 ，礼1 ) 为n d 的，具有共同的分布f cn 口，则有 限时间的破产概率为 龇t ，一r 掣妞 证明：可6 ( ) 表示本文模型中的折现后盈余过程，则有 础) _ e 础呲阳+ t ：2 e-6掣c(dy)0一t ：0 e 嘞 玩( ) = e 。魄( ) = u + 一e 一s ( 咖) j0 p 一昏e 砌t 舵。 显然，对每个t ( 0 ，t i ，都有 为方便令 n ( t ) ，t n ( t ) 一氘e 。吼 e 。哪 ) 时ze 。叼 们一喜施e 。 ( 3 3 1 ) 则叉( ) 表示到时刻t 为止折现后的总索赔额所以有限时间内的破产概率即为 咖( u ，t ) = p ( e “。u ( t ) 札) 1 2 缸 一 ex 旧随 = 又 曲阜师范大学硕士学位论文 所以有 p ( x ( t ) u ) = pi 虬一 t i n ( t ) = 扎lp 【j v ( ? ) _ 扎】 = pi x k e - 6 t n ) u l p i n ( t ) = n 】 = ( 。 u p c t ，= n ， 其中，y 为大于e x l 的常数对于l 2 ，我们有对s 0 l 2 p ( j 7 v ( 丁) u y ) e - 型v ”e e y ( 即 则l 2 以指数的速度减到0 对于己1 ，因为 p ( e 一6 t e - , t u c 如) 1 ) = 1 ，髟= 1 ，2 ，钆 所以由引理3 2 3 ，我们有 尸酗e 圻叫p 酗 q _ p l(址瓯)u-nexllk=lj j pl ( 托一e x k ) 乱( 1 一e x l 7 ) i 3 3 r n 1 ( 3 ) c 1 n f ( u ( 1 一e x l ，y ) ) u i ll 一，n 刁 p 【( t ) = n 】 p x k e - 6 t 叽) u 尸 ( 丁) = n 】 l n u 7k = l l u ， ( k 1 ) ! ( 礼一岛) 1 2 。点，7 舻旧吆取矿打” k - - - 1l s n 乱】砒l u d u = t 掣妣 所以，我们得到 下面对于 产1 ( 1 - - u ) 卜) p i n ( 丁) = 叫 岳uk-i(1一u)础如k ( 一1 ) ! ( 几一七) ! 帅，t ) 焉t 了- f ( y ) 咖 妒ac u ，t ，p ( 警，吒e 一曲ko t e 呐，咖) | ( t 1 令g 为x k e 。盯( 七) 的分布，因为f cn7 9 ，从而容易得到g c 七= 1 1 4 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 由控制收敛定理及c 族的定义可得到 因而有 l i m z + f = ，l i m ，【0 ，o o ) z 。 = 1 p ( 酗e 砌+ 0 p 【- i n ( t ) k = l 一 p i 托e “ ul ii d 尸 f o re - 6 y c ( d y ) 1 】 纵蜩) 乏丁孕妇 我们综合式( 3 3 5 ) 与( 3 3 6 ) 知定理得证 ( 3 3 6 ) 第四章索赔额相关情形下带利息力风险模型的破产概率 第四章索赔额相关情形下带利息力风险模型的破产概率 4 1 背景知识 在本章中，我们假定索赔额 x 。，n 1 ) 为不独立但是同分布非负的随机变量序列， 考虑在更新风险模型( 2 1 1 ) 中当索赔额服从的分布属于f np 族且满足我们给定 的一个假设条件的情况下的有限时间破产概率的渐近问题 又前面一章我们知道：对于有利息力的p o i s s o n 模型，当f n 口时，对任何的 0 0 ，有 咖( u ，t ) 一p ( x l e 刊v u ) d m ( y ) 4 2 若干定义及定理 假设【7 】令m ，k ，为随机变量，且分布函数分别为r ，r ，定义在【0 ，o 。) 假设 存在充分大x 0 的使得对任意j = 2 ，式子 哗亳掣t _ 。( 1 )尸( s f 一1 z 一) 。、 对所有的t x 0 ，x 】一致成立，其中岛= 圪 知= 1 引理4 2 1 设 ( ) ，t o ) 为一更新过程，则第礼个更新发生的时刻的分布就 是g 自身的礼次卷积，记作g 礼以表示对应的更新函数则有m ( t ) = g 。( t ) n = l 引理4 2 2 设( 虬，1 七仇) 是一列独立同分布的随机变量序列，具有共同分布 f 且f s 以，1 k 礼】- 为一列正的随机变量序列，满足对某个0 z 】 七= lk - - l 引理4 2 3 吲令h ，蚝为随机变量，且分布分别为日，r ，定义在 0 ，o o ) 如果 f k c n 口，并且满足假设条件，则有p ( & $ ) 一p ( z ( 。) z ) 一瓦( z ) 七= 1 引理4 2 4 【8 】如果f d ，则对任意的 1 fz u = o ( f ) ) ，其中，y f 定义为 f = ，y ( x ) = i n f ( - l o g r ( ! ，) l o g y ：y 1 】 引理4 2 5 【9 1 设x ( 佗) ，n 1 为独立同分布的非负随机变量序列，具有有限的数学 n 期望p = e x l ，记& = 置，则对任意的u 0 和z 0 ，有p ( & z ) n p ( x z i - - 1 i ) + ( 警) ” 4 3 本章结论 定理4 3 1 设在模型( 2 1 1 ) 中， ( ) ，t o 是一般更新过程，m ( t ) 为其更新函数，并且 x 七，k 1 ) ， ( t ) ，t o t 和 c ( ) ，t o t 之间相互独立如果f c n z ) ，且( z e 。* ) 的分布为r ( 惫= 1 ，2 ) 满足假设条件，则对每个t 0 ，有 砒( u ，丁) 一f i r ( x l e - b y u ) d m ( y ) 证明：以- g b ( t ) 表示本文模型中的折现后盈余过程，则有 础) = e - b t u b ( t 一+ z o te - b y c ) 一j f o te - b u s 湎细+ 0 te - b y c 湎) 一誉舻饥舵。 显然，对每个t ( 0 ，t ，都有 n ( t ) ，t n ( t ) 一喜e 砌吣e “哪( ) ze 呐q 蚓一善。“， ( 4 3 1 ) 为了表示方便，令 表示到时刻t 为止折现后的总索赔额所以有限时间内的破产概率即为 砒( u ，t ) = p ( e 础u ( t ) 缸+ e 。g ( y ) d 拶i ， 、七= 一u ， 取定正整数有； 妒a c 乱，丁，尸( 警x 七e 一6 叮 扎) p ( x ( t ) u ) = 尸i 虬e 一 u l n ( t ) = 礼i 尸【( r ) = 叫 = f 妻+ 壹 p 壹x k e - 6 a k u l n ( t ) = n lpin(t)ln=l n = n + 1 ik = l = 叫 = i + l p = = 叫 j ：= 1 1 ( u ，t ，n ) + 厶( 乱，t ，) 由于 x 七，k 1 】与更新过程( ( ) ，o ) 之间相互独立，所以对任何佗1 ，在给 定 ( ) = n ) 的条件下，索赔额序列 妊，1 k n ) 与来到时刻序列 盯知，1 k 佗】- 相互独立，从而得到分布函数仍然属于cn 口族又在满足假设的条件下有引理( 4 2 3 ) 成立，即有 成立于是 i i ( u ，l n ) p x k e 。叮* u l n ( t ) = n p g ( t ) = 叫 p x 七e 一曲 札，n ( t ) = n 】 1 8 n胁n黼l脚 i | 曲阜师范大学硕士学位论文 从而 lim。olimo。mn 曼 _ 。o “_ o 。i ； 1 1 ( u ，t ，n ) = l i ml i m u 。 p x l e - 6 a l 乱，印 住= 1k - - 1 t 】 o o p x z e 一6 们 u ，叽t 】 l = l p x k e 。盯 钍，n ( t ) = 佗】 2 l i m 篑5 - l i m 专磊i 石 = 撬 n = 1 t l p x k e “口k 七= 1 u ，n ( t ) = 钆】 p i x i e - 6 a z = 1 u ，o l t 】 ( 4 3 3 ) 第佗个索赔在时刻t 或之前发生当且仅当到时刻t 已发生的索赔数目至少是n ，也 就是 ( ) 佗) 营 吐 所以 p x k e “盯。 乱，( 丁) = n 】 n = 1k = 1 = p x k e 嘞 钍，( r ) = 礼】 知= 1n = k = p x k e 砌 仳，( 丁) k - - 1 k 】 = p x k e 一饥 “m t 】 k = l 从而( 4 3 3 ) 式的右端就恒等于1 而我们又有 p 阻e 砌* 牡，纸叫 k - - 1 一x l e - 6 y u 删夕) = 一础呐 缸) d 匹g 南( 可) 】 k - - 1 = z t p ( x l e - 6 y u ) d i n ( 办 1 9 川 i | 、， f ， 珏 巧 e 老 p n 随 = 第四章索赔额相关情形下带利息力风险模型的破产概率 即得l i 。m 。l 。i m 。石尸( 。i 。1 。( u 一。, t ，, n 。) 丽2 l 下面再来讨论如( u ，t ，) 厶( u ，l n ) 。 rn 1 = pi 虬e 。 u l n ( t ) = o l p 【( t ) = 扎】 n - - - - n + 1l k = lj o o r 佗1 s pi 虬 u l n ( t ) = nlp i n ( t ) = 他】 n = n + ll k = lj o o 厂n - 1 = pi u l p 【( 丁) = n 】 又因为f cn 口，对口 矗1 ，由引理4 2 4 知对充分大的u 有u 一口f ( x ) 再由d 族的定义，有- - q i l l ) c ( 口) f ( u ) ( 其中c ( v ) 表示只与u 有关的常数) ，结合引理 4 2 5 因而对充分大的u 并且对v 1 有 所以 1 2 ( u ，n ) u 】 鲫i x 州竿 c ( 口) n f ( 乱) + c ( v ) n ”y ( u ) c ( v ) m o p ( x e 打u ) ( n + n v ) c ( v ) m o p ( x e 6 t u )l n p ( n ( t ) = 钆) + n v p ( n