（运筹学与控制论专业论文）用随机过程及最优控制理论研究带投资的风险模型.pdf

硕士学位论文 摘要 本文基于经典风险模型及各类推广风险模型的基础上，考虑将多余资本用于 投资以提高保险公司的偿付能力降低破产概率，由此建立了带有投资的更符合实 际的新模型。 对于这类带有投资的新模型我们主要从以下几方面进行研究： 首先我们对于这种模型研究了不同分布下的破产概率：1 考虑保费到达和索 赔服从离散的复合泊松分布的情形，建立了带投资和干扰的双复合泊松模型，并 对该模型的性质进行了讨论，得到了其盈利过程的平稳增量性和盈余过程的数字 特征；获得了最终破产概率的l u n d b e r g 不等式及破产概率的一般表达式。特别的， 我们还通过数值模拟阐述了破产概率上界分别随投资额、保费额、理赔额的变动 情况。更加清晰的反映出各变量和破产概率之间的变化关系，具有很好的理论意 义。2 考虑保费到达和索赔服从复合负二项分布的模型。在这一部分我们又分两 层进行研究，先研究了单险种带投资和干扰的复合负二项分布模型，又研究了双 险种带投资和干扰的复合负二项分布模型。并分别对它们的性质进行了讨论，得 到了其盈利过程的平稳增量性和盈余过程的数字特征；获得了最终破产概率的 l u n d b e r g 不等式及破产概率的一般表达式。 其次，我们研究了考虑效用函数和折现因素下的滤过过程风险模型。对于该 模型不仅考虑到投资因素，而且还加入了效用理论和折现因子，这是在其他论文 中很少出现的。在这一部分内容中，主要采用鞅论方法，得出破产概率的上界。 对于这种滤过过程的研究更具有实际意义。 最后，我们对模型的投资方式进行了改进。考虑投资不仅包括无风险投资， 还有一部分可以用来进行风险投资。通过这种改进将证券市场及理论引入到风险 理论中来，从而更符合金融市场的发展方向，具有很好的实际意义。在这一部分， 主要应用了随机控制理论中的最优控制方法，建立了该模型的h j b 方程，从而可 以进一步找到该模型的最优投资策略，使得破产概率最小化。 关键词：风险模型；破产概率；l u n d b e r g 不等式；效用理论；鞅；l t o 公式；h j b 方程 考虑投资的几种风险模型的研究 a b s t r a c t t h i st h e s i si sb a s e du p o nt h ec l a s s i cr i s km o d e la n dt h ee x t e n d e dr i s km o d e l s b y t a k i n gt h es u 叩1 u sc a p i t a lb e i n gi n v e s t c dt oe i l l l a n c et h ei n s u r a n c ep a y m e n tl e v e l i n t 0 a c c o u n ti ni n s u r a n c eb u s i n e s s ，at y p eo fn e wa n dp f a c t i c a lr i s km o d e lw a sp r o p o s e d f o rt h i st y p eo fn e wm o d e l sw i t hi n v e s t m e n t ，w es t u d yi tm a i n l y 行o mt h e s ew a y s ： f i r s t ，w es t u d yt h i sk i n do fm o d e l sr u i np r o b a b i l i t i e sw i t hd i f 托r e n td i s t r i b u t i o n s 1 c o n s i d e r i n gt h ep r e m i 啪sa n dt h ec l a i m sf o l l o wt h ec o m p o u n dd i s c r e t ep o i s s o n d i s t “b u t i o ni nt h i sr i s km o d e l ，ad o u b l ec o m p o u n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o nr i s km o d e l w i t hi n v e s t m e n ta n di n t e r f e r ew a sf o u n d e d a f t c ra n a l y z i n gm ep t o p o s e dm o d e l ，t h e s t a t i o n a r y - i n c r e m e n tp r o p e r t i e so ft h ep r o f i tp r o c e s sa n dt h es t a t i s t i c a lc h a r a c t e ro ft h e r i s kp r o c e s sw e r eo b t a i n e d a n dt h ef 0 衄u l ao ft h eu l t i m a t em i np r o b a b i l i t ya n di t s l u n d b e r gi n e q u a l i t yw e r ea l s od e r i v e d e s p e c i a l l yf o rt h ef i r s tr i s km o d e lt h ev a r i o u s t r e n d so ft h eu p p e rb o u n do fr u i np r o b a b i l i t yw e r es i m u l a t e da n a l y t i c a l l ya l o n gw i t h t h ec h a n g i n go ft h ei n v e s t m e n t ，p r e m i u ms i z ea n dc l a i ms i z e t h i sc l e a r l yr e f l e c t e d t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ev a r i o u sa n dt h er u i np r o b a b i l i t y t h ef e s u l t sh a v et h e i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e 2 c o n s i d e r i n gt h ep r e m i u m sa n dt h ec l a i m s f o l l o wt h e c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o ni nt h i sr i s km o d e l i nt h i sp a r t ，w es t u d y c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a lr i s km o d e lf o rs i n g l et y p e i n s u r a n c ew i t hi n v e s t m e n ta n d i n t e r f e r e ，t h e na n a l y z ed o u b l et y p e i n s u r a n c ef o fs a m ec o n d i t i o n s ，g e t t i n gt h es i m i l a r c o n c l u s i o n st ot h ea l b o v e s e c o n d l y ，c o n s i d e r i n gt h er i s km o d e lw i t ht h eu t i l i t yt h e o r ya n dt h ed i s c o u n t f a c t o r ，i ti sm o r es e n s i b l et os t u d yt h i sr i s km o d e l t h a tb en a m e dt h ef i l t e rr i s km o d e l i nt h i sm o d e lw ec o n s i d e rn o to n l yt h ei n v e s t m e n tb u ta l s ot h eu t i l i t yt h e o r ya n dt h e d i s c o u n tf a c t o r t h i sh a r d l ye m e r g e di nt h eo t h e rt h e s e s t h eu p p e r - b o u n d so f 九l i n p r o b 百b i l i t ya r eo b t a i n e db yt h em a r t i n g a l em e t h o d l a s t l y ，t h em o d eo ft h ei n v e s t m e n tw a si m p r o v e d t h ei n v e s t m e n ti n c l u d e sn o t o n l yt h er i s k l e s sa s s e t ，b u ta l s ot h er i s k ya s s e t b yt h ei m p r o v e m e n t ，t h es t o c km a r k e t t h e o r yw a si n t r o d u c e di n t ot h er i s km e o r y i ti sm o r ep r a c t i c a l l ya c c o r d i n gw i t ht h e d e v e l o p m e n to ft h ef i n a n c e 1 nt h i sp a r t ，u s i n gt h eo p t i m a lc o n t r o lo ft h es t o c h a s t i c c o n t r o l t h e o r y w es e tu pt h eh j b 如n c t i o no ft h i s “n do fr i s km o d e l w ec a no b t a i nt h e 0 p t i m a ls t r a t e g yo fi n v e s t m e n ti no r d e rt om a k et h em i np r o b a b i l i t yb e i n gl e a s t k e yw o r d ：r i s km o d e l ；r u i np r o b a b i l i t y ； l u n d b e 唱i n e q u a l i t y ；u t i l i t yt h e o r y ； m a r t i n g a l e ； i t of o m u l a ；h j be q u a t i o n i l 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者躲即姑 。日期诱年石月5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中 国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：别诘 刷帷氧煳 f 日期：衫年 日期：b 孑年 只5 日 月日 j 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 风险理论及其起源 1 1 1 风险理论 风险理论是对保险业所面临的各种风险进行数理分析的理论，而风险模型则 是经营者或决策者对各种金融或保险风险进行定量分析和预测的重要工具。科学 的分析保险公司未来的保费收入和可能发生的理赔额，以及估计保险公司的破产 概率及其相关的控制问题等，都是十分重要的研究课题。根据风险的上述定义， 风险是体现在潜在损失和发生不同程度损失的概率分布之上的，或者说风险是由 潜在损失分布体现出来的。只有清楚了风险的损失分布状况，才有可能正确度量 该风险的大小。风险理论的主要内容包括：损失分布理论；总体风险模型理论； 破产理论和效用理论及其应用等。 破产理论作为风险理论中的一部分，一向都颇受关注。在风险理论中，破产 概率( 与其相对应的是生存概率或称为生存函数) 是一个主要的研究问题。破产概 率表示一个风险企业破产风险的大小，它是对风险的一种数字度量。人们当然是 希望破产概率越小越好，这就需要找出估计破产概率的方法。一般来讲，找出破 产概率精确的并且方便计算的解析表达式( 极特殊的情况除外) 是相当困难的，这 就迫使我们去研究破产概率的性质、寻找破产概率的界。从实用观点来讲，足够 精确的破产概率上、下界具有一定的实际意义。直观上看，当公司初始资金较大 时，其破产概率应相对变小。反之，则其破产概率应相对变大。但如果无论初始 资金有多大，公司的破产概率都很大，那么就不应该选择这样的风险投资。所以 有很多学者这样来描述风险理论，称风险理论主要处理保险事务中的随机风险模 型，讨论其在有限时间内的生存概率以及最终破产概率等问题。 1 1 2 风险理论的起源 风险理论的来源是多方面的，其中最主要和最自然的来源是数学在保险业中 的应用需求。风险理论首先来源于有关寿命表和人寿保险理论的研究。在风险理 论的发展过程中，早期对其做出重大贡献的有e d m u dh a l l a y 和d a n i e lb e m o u l l i 。前 者构造了世界上第一个寿命表，后者提出了极大效用原理作为决策法则的思想。 在2 0 世纪，h a r a l dc r a m e r 和f i l i pl u n d b e r g 建立了风险理论与一般随机过程理论研 究之间的关系，将近代数学理论工具引入到风险理论的研究中，为研究风险理论 提供了强有力的数学工具和方法，从而使风险理论的发展焕发出极大的生命力， 考虑投资的几种风险模型的研究 极大地促进和推动了风险理论的发展【l 2 】。 现代风险理论的起源至少可以追溯到早期有关更新过程、人口统计、寿命表 和人寿保险理论的研究，特别是寿命表和风险理论的关系最为密切。现代风险理 论中使用的一些术语和研究的问题( 如生存函数、临危函数等) 就是直接来源于寿 命表理论。在历史上，至少有三个应用领域与风险理论有密切关系。它们是：( 1 ) 排队论。首先考虑一固定时间区间内的服务次数问题导出了泊松分布( p o i s s o n s d i s t r i b u t i o n ) ，随后的工作是进一步研究有一般的输入和服务分布的排队系统。( 2 ) 群体增长理论。这一理论可以作为古典寿命表理论和风险理论之间的桥梁。( 3 ) 可 靠性理论。它的一个典型问题是串联和并联系统的寿命分布分析与计算，寿命表 理论所用的概念和术语在其中仍起着重要的作用【3 】。实质上，上述三个领域是紧密 相联的，它们也都和风险理论有关，同时它们也对风险理论的发展和应用起到了 重要作用。引导风险模型一种基本现象和问题是“记数计算发生在某一区 间或区域中的事件个数。在计数问题的历史中，首先应提到法国著名的数学家泊 松( p o i s s o n ) 在18 3 7 年出版的著作。他从二项分布出发，通过极限过程首次推导出 在理论和应用上都很重要的泊松分布。这一分布也是风险模型中的一个最重要的 基本概率分布。后来，人们在生态学和其它领域的某些问题的研究中发现对计数 观测所得到的经验分布常常与泊松分布有较大的偏差。g r e e n w o o d 和y u l e ( 1 9 2 0 ) 在 泊松分布的基础上，通过对分布参数的随机化导出了负二项分布【4 】。第二次世界大 战期间及其战后，随机过程理论及应用取得了巨大进展，从而也推动了风险理论 的发展。瑞典工程师p a l m ( 1 9 4 3 ) 在排队论方面有关交通问题的研究中，首先使用了 “点过程”这一术语，并系统地描述为泊松过程的一种推广更新过程【5 】。前 苏联数学家k h i n c h i n ( 1 9 5 5 ，1 9 5 6 ) 在p a l m 的工作基础上，从多方面推广了其结果并 使整个理论在数学上更为严格和完备【6 8 】。k h i n c h i n 的工作使得更多的数学家以及 其它领域的工作者对这一领域发生了浓厚的兴趣。在这以后的一二十年间，随机 点过程的理论和应用两方面都取得了长足的发展，从而也大大促进了风险理论的 发展。n e y m a n 和s c o t t ( 1 9 5 6 ，1 9 6 3 ，1 9 7 2 ) 的一个重要贡献是在研究生态学、天文学和 其它领域的某些问题时引入了“簇生过程”，并由此推导出一类新的离散分布【9 以1 1 c o x 和l e w i s ( 1 9 6 6 ，1 9 7 2 ) 在他们的有关著作中除了对点过程的理论和统计分析的若 干重要方面作了较系统的阐述之外，还清楚地指出了随机点过程的广泛应用【1 2 ，i3 1 。 1 2 风险理论的发展历程及现状 风险理论的研究源予瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文【1 4 1 ， 至今已有近百年的历史。风险理论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论 上的兴趣。l u n d b e r g 在论文中首次提出了一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程。 不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准。它的严格化是以h a r a l dc r 锄e r 2 硕士学位论文 为首的瑞典学派完成的，c r a m e r 在完善l u n d b e r g 的数学工作中发挥了重要的作用。 是c r 锄e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上【1 5 ，1 6 】，与之同时，c r 锄e r 也发展了严格的随机过程理论，并为精算师处理绝大多数实际的保险问题提供了 主要的分析工具。现已公认l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作为经典风险理论的基本定理， 即l u n d b e r g c r 锄e r 经典破产模型。 被用来研究的随机风险模型依时间可以分为连续时间模型和离散时间模型。 下面我们就按这两种类型介绍一下风险模型的发展和研究方向。 对于离散时间模型的研究大都集中在完全离散复合二项风险模型上，例如 g e r b e r 【1 7 1 和s h i u 【1 8 1 以不同的定义方式考虑该模型下的最终破产概率，w i l l m o t 【1 9 】 则是利用概率母函数给出该模型下有限时间内生存概率的清晰表达式，并揭示其 与索赔为混合p o i s s o n 分布时的复合p o i s s o n 模型破产概率之间的联系。d i c k s o n 【2 0 】 用离散时间模型去逼近连续时间模型下的许多相应结果同时以几何索赔量的复合 二项风险模型为例讨论破产相关问题。p i c a r d 和l e f e v r e l 2 l 】用多项式推广a p p e l l 结构 得到任意算术索赔分布下破产时刻的各阶矩性质。成世学和伍彪【2 2 】研究了生存到 固定时刻n ( n o ) 并且在此时刻盈余为某数x ( x 0 ) 的概率。他们都用相对简单的方 法得到了许多漂亮的结果，这些离散时间下的结果不仅有自己独立的意义，而且 为我们提供了对连续时间模型中类似结果更好的理解。 对于连续时间的破产问题，复合p o i s s o n 模型是被研究最多的风险模型，有较 多的结果。l u n d b e r g 和c r 锄e r 研究这一课题得到了众所周知的l u n d b e r g 不等式及 c r 锄e r - l u n d b e r g 近似公式。s e a l ( 1 9 7 2 ) 通过对复合p o i s s o n 分布的两次积分，将有限 时间内破产概率表示为初始盈余与时间两个变量的函数。g r a n d e l lj 用多种方法探 讨了破产概率的求法和近似求法。人们又从数学的角度发现，破产前盈余以及破 产时赤字在破产问题中同样扮演了极其重要的角色。因此f e l l e r ，g o r d o n ，w i l l m o t 等着力于关于破产概率、破产前盈余以及破产时赤字分布的分析。在 g e r b e r e t a 1 ( 1 9 8 7 ) 和d u f r e s n ea n dg e r b e r ( 1 9 8 8 ) 中，他们的研究集中在破产概率及 ，破产前盈余的分布函数，那时考虑的个体索赔量是指数分布的组合或g a m m a 分布 的组合。d i c k s o n ( 19 9 2 ) ，d i c k s o na n d 、a t e r s ( 19 9 2 ) ，d i c k s o na n dd o sr e i s ( 19 9 6 ) ， w i l l m o ta n d “n ( 1 9 9 8 ) 和s c h m i d l i ( 1 9 9 9 ) ，讨论了破产前盈余的分布、破产时赤字分 布的分析性质及其之间的关系。d i c k s o na n dw a t e r s ( 1 9 9 1 ) 和d i c k s o ne ta 1 ( 1 9 9 5 ) 研 究当个体索赔量为完全离散情况下，这些分布的回归计算。破产时刻的矩性质在 d e l b a e n ( 1 9 9 0 ) 和p i c a r da n dl e f e v r e 【2 1 】中被讨论，也可以在g e r b e r 的第九章第三部分 中找到。但是在许多情况下，这些分布的显式解并不存在，因此对分布的证明仍 然很困难。各种各样的方法被用来研究这些分布的概率性质，包括更新理论、鞅 论等，取得了许多突破性的结果。g e r b e ra n ds h i u 【2 3 ，2 4 】考虑包括破产概率、破产前 盈余以及破产时赤字的贴现罚函数的期望，研究这三个随机变量的联合分布。他 3 考虑投资的几种风险模型的研究 们指出，这个期望作为关于初值的函数，是某个( 缺陷) 更新方程的解。“na n d w i l l m o t ( 1 9 9 9 ) 对于解缺陷更新方程提供了不同的手段。在这种方法下，若考虑复 合几何的尾部，那么缺陷更新方程的解是明确的。w i l l m o ta n dl i n 【2 5 】则利用这一 工具并以索赔分布为指数或指数与e r l a n g s 分布混合为例得到破产概率、破产前盈 余以及破产时赤字二者的联合及边缘分布。 1 3 风险理论的研究方法 在应用风险理论研究不同应用领域的实际问题时，人们根据具体问题的要求 和特点采用了不同的研究方法。这些方法主要分为两大类。 一类方法是从矩的观点出发，目的主要是基于由观测数据估计得到各种不同 的矩函数作模型拟合。这样母泛函、l a p l a c e 变换和矩密度自然成为有力的研究工 具。r a m a k r i s h n a n ( 1 9 5 0 ) 为了研究随机点过程的高阶相依性而引入了矩密度的概念 并考察了它们的性质【2 6 】。后来，r a m a k i i i s h n a n ，j a n o s s y s r i n i v a s a n ，m o y a l ，w e s t c o t t 和m a c c h i 等人在这一方面进一步作了许多工作。 另一类方法是从随机强度出发描述过程模型。概略地讲，随机强度反映了在 任一固定时刻，当已给过程的历史信息时，过程在未来时刻发生新的事件的可能 性。q u e n o u i l l e ( 1 9 4 9 ) 引入了重泊松过程( 也称为c o x 过程) ，这是具有随机强度的一 类特殊点过程【2 7 1 。1 9 7 5 年，s n y d e r 给出了许多具有这种随机强度的随机点过程的 例子【2 8 1 。b r e m a u d ( 1 9 7 2 ，1 9 7 4 ，1 9 8 1 ) 利用现代随机过程的一般理论( 特别是近代鞅论) 对过程的随机强度作了系统而严格的描述【2 9 。1 1 ，从而使风险理论的研究以及它的 应用和统计分析的研究进入了一个新的阶段。 随着随机强度的引入和在实时预测及控制方面的强烈需求，人们从对过程的 “静态描述过渡到“动态描述”。也就是说，我们要研究动态的过程，与系统 过程相联系的分布可以随时间而改变。在研究实际系统时，需要我们在任一时刻 都可以根据这一时刻以前的历史信息对系统过程作出某种预测和有效的控制。于 是，现代鞅论自然成为最有效的数学工具。a a l e n ( 1 9 7 5 ，1 9 7 8 ) ，j a c o b s e n ( 1 9 8 2 ) 和 k a 玎( 1 9 8 6 ) 等人利用现代鞅论和随机强度理论对随机过程的统计推断和预测作出了 卓有成效的工作f 3 2 琊1 。这些工作成果展示了现代鞅论的强大威力。 目前风险理论研究的主要方向是在古典风险模型的基础上进行推广，研究更 为合理、实用的风险模型。下面我们先简单介绍一下古典风险模型。 令“0 ，c o ，f 0 ，给定概率空间( q ，f ，p ) ，有 ，( f ) u ( f ) = “+ c 卜五， ( 1 1 ) 七宣l 其中 u ( f ) ，f o j 表示t 时刻保险公司的盈余额( t h es u r p l u s ) ，它是一个随机过程 称为盈余过程，记u ( o ) = “是保险公司的初始资本，c 表示平均保险费率( t h er i s k 4 硕十学位论文 p r e m i u mr a t e ) ，c t 是在时间区间 o ，t 】内保险公司收到的总保险费( t h eg r o s so fr i s k p r e m i u m s ) ； 五，七1 是随机变量序列，它表示第后次发生索赔时的索赔额，( f ) 是一个计数过程，表示在时间区间 o ，t 】内发生的索赔次数。 对( 1 1 ) 式再作如下的基本假定： 1 ( f ) 是强度为旯的齐次泊松计数过程，而且( 0 ) = 0 。 2 五，七1 ) 是一个独立、同分布的非负随机变量序列，其数学期望为，分 布函数为f ( x ) 。 3 ( f ) 与 五 相互独立。 4 c 舡。 这时，我们就称( 1 1 ) 式为风险理论中的古典风险模型( t h ec 1 a s s i c a lr i s k m o d e l l 【3 6 】。 在风险理论中一个重要问题是研究破产概率，也就是盈余过程 u ( f ) ，f o 在某 时刻小于零的概率，写成数学表达式即为甲 ) = 尸 丁 ) ，其中丁= 时p o i u ( f ) 0 ) 为破产时刻。 l i i- l 图1 1 盈余过程的一个图例 在对破产理论的研究中，无论是最初建立的经典风险模型还是大量研究者推 广后的模型，在一般的情形下，要找到破产概率甲似) 的明确表达式都是非常困难 的，所以寻找破产概率甲) 的上界不等式是众多概率研究者研究的核心问题。在 经典风险模型中得出了l u n d b e r g 不等式： 甲似) e 一置。 其中r 称为l u n d b e r g 指数，有时也称为调节系数。我们知道了调节系数r ，就知 道了破产概率的上界。因此，在保险和再保险中，对于调节系数r 的计算是非常重 要的。调节系数r 也是保险和再保险中的衡量安全目标的重要指标。 当前对于风险模型的研究方向有： 在基本模型的推广方面： 考虑投资的几种风险模型的研究 ( 1 ) 把利息及通货膨胀考虑进去，例如参考文献【3 7 ，3 8 】 ( 2 ) 对基本模型加上扩散干扰因素，如文章【3 9 。 ( 3 ) 将p o i s s o n 过程推广至c o x 或r e n e w a l 过程 对风险模型，一般都考虑以下问题： ( 1 ) 破产概率以及绝对破产概率。 ( 2 ) 破产前、破产后的盈余以及破产时间三者的联合分布。 ( 3 ) 首中时、末离时问题。 ( 4 ) 林德伯格指数的计算与比较。 在处理风险模型时所用的基本方法有：鞅方法、更新理论及随机游动方法、 随机微分方程、逼近方法等。 1 4 随机控制理论的发展及其国内外现状 现代控制理论的奠基人是美国科学家维纳( n w i e n e r ，18 9 4 1 9 6 4 ) 。自从二十世 纪五十年代以来，由于计算机、航空、航天等技术的飞速发展，控制理论得到了 广泛的应用，同时其本身也获得了很大的发展。它主要包括：线性系统理论，最 优控制，自适应控制等。 在对实际控制问题的研究中，由于某些不确定因素的干扰，影响控制系统的 随机因素时有发生。于是，随机控制理论得到了应用和发展。同时随机控制理论 的发展与随机过程理论的发展是密切相关的 随机过程论产生于2 0 世纪初期。是为适应物理学、生物学通信与控制管理科 学等方面的需要而逐步发展起来的。最初在布朗运动，电话信息量和电子管的散 粒效应，噪声等问题的研究中取得了成果。1 9 31 年，科尔莫哥洛夫奠定了随机过 程的数学理论，1 9 5 3 年杜布的著作s t o c h a s t i cp r o c e s s 论述了随机过程的数学理论， 19 51 年伊藤发表了o ns t o c h a s t i cd i f i f e r e n t i a le q u a t i o n ( m e m a m e r m a t h s o c 4 ，l9 5l ， 1 5 1 ) 一文，使得对随机微分方程的研究受到了广泛重视，并渗透到很多领域，为 随机控制的发展提供了理论基础。 在控制论方面，1 9 5 6 年庞德里亚金提出的极大值原理，1 9 5 7 年贝尔曼提出的 动态规划原理以及卡尔曼提出的滤波理论，标志着现代控制理论的产生，这些理 论与随机控制直接有关随机控制主要包括：最小方差控制，滤波，随机最优控 制。目前滤波向非线性方向发展，随机最优控制向分布参数系统方向发展。目前 解决最优控制的方法主要有三种，即：古典变分法，庞德里亚金的极大值( 极小值) 原理，贝尔曼的动态规划原理。 随机最优控制是随机控制理论的一重要分支，主要是求一状态反馈，使目标 达到最优。该状态反馈称为最优控制策略。随机最优控制的研究主要基于贝尔曼 动态规划原理。r e b e l l m a n 在其著作d y n a m i c a lp r o g r a m m i n g ( 1 9 5 7 ) 中把动态规划 6 硕士学位论文 原理表述如下： a no p t i m a lp o l i c yh a st h ep r o p e r t yt h a tw h a t e v e rt h ei n i t i a lc o n d i t i o n s a r e ，t h e r e m a i n i n gd e c i s i o nm u s tc o n s t i t u t ea no p t i m a lp 0 1 i c yw i t hr e g a r dt ot h es t a t er e s u l t i n g f r o mt h ef i r s td e c i s i o n 即一个最优策略具有这样的性质：不管初始状态或策略如何，相对于初始策 略产生的状态来说，其后的策略必须构成最优策略。概括为，每个最优策略只能 由最优子策略组成由此通常得到b e l l m a n 动态规划方程，而这个方程在很多情形下 不可解，一般地需要借助以下两种方法： 1 解变分不等式方法，由a b e n s o u s s a na n dj l l i o n s 提出，通常是求一个控 制区间，再给出相应的最优控制策略。它常用于一维问题，侧重于随机分析。 2 粘性解方法，由m gc r a n d a l la n dp l l i o n s 在研究随机控制问题时提出的， 其中的方法不只对随机控制的研究起到推动作用，也对微分方程的研究起到巨大 的推动作用【4 0 1 。这种方法侧重于方程，也适用于多维问题，在金融数学的研究中 常常用到。 1 5 本文的研究意义和内容 本学位论文致力于研究几种带有投资回报的风险过程下的破产理论。主要研 究了考虑投资的带干扰的复合泊松分布的风险模型，带投资和干扰的离散型单险 种复合负二项分布模型，带投资和干扰的离散型双险种复合负二项分布模型，将 效用理论应用到风险模型中并考虑折现因素的滤过过程风险模型，以及带有风险 投资和无风险投资的新模型。通过对这五种模型的分析，分别得出了相应模型下 的破产概率及l u n d b e r g 不等式，或满足相应条件的h j b 方程。 本论文的主要贡献在于对经典风险模型及一些推广风险模型的保费收入和理 赔进行了进一步的更新和完善，同时将投资回报作为重要的一部分考虑进风险模 型使得改进后的模型更符合实际生活，应用范围更广泛。特别是对考虑投资的带 干扰的连续型复合泊松分布的风险模型，利用m a t l a b 软件做出了该模型的数值 模拟。 根据以上内容，本论文的结构安排如下： 第l 章绪论，主要介绍风险理论及其发展，现在风险理论的研究方向以及风 险理论的研究方法等。最后说明本论文的研究意义和内容。 第2 章考虑了保费收取率随机变化且含通货膨胀等随机干扰因素的影响，同 时又将多余资本用于投资以提高保险公司的偿付能力的基础上建立 了一个更为实际的新模型。并对新模型的性质进行了讨论；得到了其 盈利过程的平稳增量性和盈余过程的数字特征；获得了最终破产概率 的l u n d b e r g 不等式及破产概率的一般表达式；最后通过数值模拟阐述 7 考虑投资的几种风险模犁的研究 第3 章 第4 章 第5 章 第6 章 了破产概率上界分别随投资额、保费额、理赔额的变动情况。 建立了保费收入和理赔收入都为复合负二项分布，同时又考虑到投资 和干扰的单险种及双险种风险模型。并分别对这两种模型的性质进行 研究，得到它们的破产概率及l u n d b e r g 不等式。 引入效用理论和折现因子，建立了滤过过程风险模型。通过鞅论方法 得到带投资同时考虑折现因素的滤过过程风险模型的破产概率的上 界，使得风险模型更与实际相符。 将投资分为风险投资和无风险投资，运用随机控制理论及随机最优控 制方法，得出带有风险投资和无风险投资的双复合泊松分布模型的最 优投资比例所满足的h j b 方程。 结论与展望，给出本论文结论以及对今后研究的展望。 硕十学位论文 第2 章带投资和干扰的双复合p o is s o n 模型 经典风险模型的结果为破产理论的发展奠定了基础，但是由于经典风险模型 本身有着许多缺陷，对保费收入的描述不够合理，理赔到达过程的描述有待于改 进，于是很多研究人员对经典风险模型进行了推广，本章基于一些推广的模型【4 1 ，4 2 】 的基础上进行进一步的推广和完善。 2 1 现有的风险模型 1 经典风险模型中，保险公司的盈余过程尺( 以) = “+ 册一s ( 疗) ，其中甜为初始 准备金，c 为保费收入，s ( ，1 ) 为总理赔额，保险公司按照单位时间常数速率取得 保费。 2 由于通货膨胀和利率因素，有人在经典风险模型中加入了干扰项，通常是 标准布朗运动，使得模型和实际生活更接近了。 “1 u o ) = “+ d 一五+ 仃彬 七= i 3 在经典风险模型中，假定保险公司按照单位时间常速率收取保费。事实上， 不同的保单，所收取的保费往往不一样，而是一个随机变量。考虑到这一情况对风 险模型进行了如下推广： | v “) u ( f ) = “+ 孝( 国) f - 五 七= l 其中，孝( 国) 是一随机变量，其他都于经典风险模型相同。 2 2 模型的建立 本章对经典风险模型作了更为深入的改进和推广，我们既考虑了保费收取率 随机变化且含通货膨胀等随机干扰因素的影响，同时又考虑将多余资本用于投资 以提高保险公司的偿付能力，由此建立一个将多余资本用于投资的随机保费率下 带干扰的更为实际的新模型。随后对新模型的性质进行了讨论，得到了其盈利过 程的平稳增量性和盈余过程的数字特征；对其破产概率的研究，获得了最终破产 概率的l u n d b e r g 不等式及其一般表达式；最后通过数值模拟阐述了破产概率上界 分别随投资额、保费额、理赔额的变动情况，获得了有意义的结论。以下我们先 给出新模型的数学定义。 在某概率空间( q ，f ，一上，设保险公司的盈余过程为： 9 考虑投资的几种风险模型的研究 r ( 疗) = ( “一f ) + f ( 1 + ， ，) + i 一五+ 仃 f # l七= l 模型中尺( ，z ) 表示第，l 期末保险公司的盈余。其中： 1 ) “是保险公司初始资本，f 反映根据初始资本金的大小及单位时间内预测 赔款额大小而设定用于投资的基金，j 是单位时间的投资收益率。 2 ) 肘( 刀) 表示时间段( o ，以】内保险公司签订的保单数，服从参数为玎 的p o i s s o n 分布。 3 ) ( ，1 ) 表示时间段( o ，甩】内的赔付总次数，服从参数为疗五的p o i s s o n 分布。 4 ) 睨，刀o 是离散的b r o w n i a n 运动，且e ( 呢) = o ，d ( 呢) = 以，当血很小时。 5 ) k 表示第f 次保费额；五表示第七次赔付额。 z ) 三。与 五) ：。都为取值于 ( o ，o o ) 的独立同分布随机变量序列。假定e ( z ) = 以，e ( ) = 鸬。且 k ：， 五 ：。， m ( 以) 己， ( 疗) ) 二。， 呒，刀o ) 是相互独立的。 2 3 带投资和干扰的双复合p ois s o n 模型的基本性质 定理2 3 1 盈利过程 s ( 玎) = ，矿+ 一五+ 仃呢，刀= l ，2 ， 具有平稳独立 l f = l七= i j 增量性。 证明：令o ，l i o ， 如鸬一 朋 以及破产时刻丁= i n f 刀1 k ( 刀) o ，曲线g ( ，) 是凸的 又由于g ( o ) = 一乃一 研l 】+ 五研五】_ 一巧一丑，+ 五鸬 o ，r o ，由全条件期望公式得： e p 一放o = e e 一庸o l r 以 p ( 丁 丁时，可将r ( ，1 ) 表示成 尺( 刀) = r ( r ) + r ( 以) 一r ( r ) = 尺( 丁) + 乃( 刀一丁) + ( 】，( 刀) 一】r ( 丁) ) 一( z ( 以) 一z ( r ) ) + 口( 形一孵) 并且对给定的r ，】r ( 刀) 一】，( 丁) ，z ( 疗) 一z ( 丁) ，呢一孵是相互独立的，且 y ( 以) 一】，( r ) ，z ( n ) 一z ( r ) 是分别服从a ( 万一丁) ，五( 刀一丁) 的复合泊松分布。从而根 据上述关系和引理2 4 1 的结论，( 2 1 ) 式右端的第一项可变为 e p 州帕p 刀i 尸( r 刀) = 吐p 州矿唧( 一田( ，一丁) 一r ( y ( 刀) 一y ( r ) ) + ，( z ( 刀) 一z ( 丁) ) 一，仃( 呢一孵) ) i 丁 刀 p ( r 以) = e e 一晴r p 一吲p r i r 刀 尸( r 露) = e p 一，足r j ”r “，l 丁 刀 尸( 丁 刀) 于是( 2 1 ) 式可转化为 e 一“e 馏( r ) = e p 一埔r ”r m