（运筹学与控制论专业论文）完全离散的多项分布风险模型.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 经典风险模型是一类描述保险公司风险经营过程的基本数学模型。本文将完 全离散的复合二项分布风险模型和三项分布风险模型推广为离散的多项分布风险 模型，因此能够更客观地描述保险公司的风险经营过程。 第一章介绍了风险模型的研究背景、当今的一些主要研究成果和主要研究方 向，以及本文的研究内容。 第二章建立了离散的多项分布风险模型。文中我们沿用s h i u 2 】关于破产时刻 的定义，在调节系数存在的条件下，利用离散更新方程的一个极限定理得到了一 类泛函的渐进解。 第三章对于充分大的初始盈余，给出了破产概率、破产前的瞬时盈余和破产 时赤字的概率规律的渐进解。这些结果的形式比较简单，易于在工程上进行数值 计算。 第四章总结了本文的研究内容，指出了本文有待扩展的方面，作为今后的研 究方向。 关键词：破产概率，调节系数，渐进解，更新方程 上海大学硕士学位论文2 a b s t r a c t c l a s s i c a lr i s km o d e ld e s c r i b e st h em o s tc o m m o no p e r a t i o np r o c e s so fa ni n s u r a n c e c o m p a n y t h ec l a s s i c a lb i n o m i a ld i s t r i b u t i o no fd i s c r e t er i s km o d e la n dt h et r i n o m i a l d i s t r i b u t i o no fd i s c r e t er i s km o d e lw e r ee x t e n d e dt ot h em u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s k m o d e l i tc a l lm e e tw i t ht h er e a lo a s e sw e l l i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do fr i s kt h e o r y , t h em a i n r e s u l t sa r r i v e d ，t h em a i np o t e n t i a la d v a n c ea n dt h em a i nc o n t e n to ft h et h e s i s i ns e c o n dc h a p t e r , w ed e v e l o pt h em u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e li nd i s c r e t e s e t t i n g t h ed e f i n i t i o no fs h i ua b o u tt h er u i nt i m ei sa d o p t e di n t h i sp a p e r u n d e rt h e a s s u m p t i o nf o re x i s t e n c eo ft h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t , t h ea s y m p t o t i cf o r m u l af o ra k i n do ff u n c t i o n a la n a l y s i sa r eg a i n e db ym e a n so fad i s c r e t ek e yr e n e w a ll i m i tt h e o r e m i nt h i r dc h a p t e r , t h ea s y m p t o t i cf o r m u l a ef o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y , t h e p r o b a b i l i t yo fs u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i na r eg i v e nf o r s u f f i c i e n t l yl a r g ei n i t i a ls u r p l u s t h ef o r mo ft h er e s u l ti ss i m p l ea n di ti sh e l p f u lf o rt h e n u m e r i c a lc a l c u l a t i n gi ne n g i n e e r i n g f i n a l l y , w ed i s c u s sa b o u tt h et h e s i sa n ds u m m a r i z es o m ep o i n t st h a tc o u l db e t a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o nf o r f u r t h e rs t u d y k e yw o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y , a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，a s y m p t o t i cf o r m u l a , r e n e w a l t h e o r y 2 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或 撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：燃日期：z ! ! 堡：2 ：y 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期： 7 一矿钐7 ，留 上海大学硕上学位论文 第一章前言 1 1l u n d b e r g - c r a m 6 r 的经典风险模型 破产论是风险理论的核心内容，它的研究现已公认源于瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文【l 】。同时在这篇论文中l u n d b e r g 首次提出了 一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程。不过l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的 严格标准。随后以c r a m 6 r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作建立在了坚实的数 学基础之上。同时c r a m 6 r 也发展了严格的随机过程理论。l u n d b e r g 和c r a m 6 r 被 公认为经典风险理论的奠基人。经典风险模型是最为简单，也是研究得最为透彻 的风险模型。 本节给出l t m d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型的严格表述：设保险公司在时刻t 的盈余( s u r p l u s ) 由下式给出 a r ( o 【，( f ) = u + c t - x k ，t o ( 1 1 ) k = i 其中”= u ( o ) 是初始资本，c 表示保险公司单位时间内征收的保险费率， 以( 七1 ) 表示第k 次索赔额，( f ) 则表示到时刻t 为止一共发生的索赔次数。 此模型的第一个基本假定是独立性假定： 假定l ( 独立性假定) 设 五；齑1 ) 是恒正的、独立同分布的随机变量序列， 其分布函数为f ( 曲，数学期望为。 n ( t ) ：t 0 ) 是以兄( a 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； x i ；七1 ) 与 n ( t ) ：t 0 ) 相互独立，以下恒记 “ s ( f ) = 以，v x o k = l ( 1 2 ) s ( f ) 表示到时刻t 为止的索赔总额( a g g r e g a t ec l a i m ) 。由模型的独立性假定可以知 i 厶 】巨： 研s ( f ) 】_ 研( f ) 】研x l 】= 弛 对于保险公司，为了保证经营运作的安全，故而要求 上海大学硕上学位论文 0 0 ，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 。 由于p o i s s o n 过程具有齐次独立增量。并考虑到模型的独立性假定， 易知 c t s ( t ) ：t 0 ) 也是其次独立增量过程。由强大数定律，可以得到 l i m u ( f ) = 4 - o o ，乱s 上式表明如果保险公司能够持续经营的话，它将变得越来越富有。但是这不 能排除在某一瞬时盈余出现负值( u ( t ) 0 ) ，这时保险公司发生“破产。以t 记保险公司首次破产时刻，简称破产时刻( r u i nt i m e ) ，即令 t = i n f t ：u ( t ) 0 ) ，i n f = ( 1 4 ) l u n d b e r g 与c r a m t r 研究的是保险公司最终的破产概率： w ( u ) = p r t ( o ) = “) ，v u 0 ( 1 5 ) 以下简称甲似) 为破产概率( r u i np r o b a b i l i t y ) 。破产概率显然可以作为衡量保 险公司偿付能力的一个数量指标。l u n d b e r g 与c r a m 6 r 的研究结果的直观意义可 以表述为：当初始准备金u 充分大时，保险公司在经营“小索赔 的保险业务时， 破产是不易发生的。关于。小索赔 ，有如下假定： 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 设个体索赔x 的矩母函数( m o m e n t g e n e r a t i n gf u n c t i o n ) m x ( ，) = e e r 】= r e = d f ( 工) = l + ，r ( 1 一f ( 工) ) 出 ( 1 6 ) 在包含原点的某个领域内存在；此外，要求下述方程 m 工( ，) = l + 导， ( 1 7 ) 有正根。 由于肘x ( ，) 在其收敛域内是严格意义下的递增凸函数，故若( 1 7 ) 有正根，则 必是唯一的。我们以r 记( 1 7 ) 的唯一正根，并称它为调节系数( a d j u s t m e n t 上海大学硕士学位论文 c o e f f i c i e n t ) 。由( 1 6 ) 式和( 1 7 ) 式可知调节系数r 满足下述等式： 鲁f 矿【l - 肌) 协_ 1 ( 1 8 ) 注意到 。 詈r 卜即，出= 昙= 南 即知非负函数备l 一，( 工) 】，工o 不是一个概率密度函数，但若令 厂( x ) = p 妇导【1 一，( 工) 】，坛o 由( 1 8 ) 式即知f ( x ) 为一概率密度函数，这也就解释了调节系数r 的由来。 定理1 ( l u n d b e r g - c r a m 6 r 1 a , 4 1 ) 在假定i - - 3 成立的条件下，则有如下结 论： = 而1 ； ( dl u n d b e r g 不等式：甲似) e - r uv u 0 ； l u n d b e r g - c r a m 6 r 近似：存在常数c ，使得 甲 ) c e - h “专0 0 。 定理的结论告诉我们：初始盈余为0 时，破产概率甲( o ) 的确切解仅依赖于 相对安全负载秒，而和个体索赔额分布的具体形式无关。结论( d 、( 参解释了： 若初始盈余足够大，保险公司在经营“小索赔 的情形下，破产是不容易发 牛的。 1 2 完全离散的复合二项分布风险模型 我们先简单介绍一下完全离散的复合二项分布风险模型，在此基础上在第二 章中将其推广为离散的多项分布风险模型。 对于任意一个时间单位t ，规定在时间区间( 一1 ) t ，r t t 】中，只可能出现两种情 况：或有一次索赔发生，或没有索赔发生。不失一般性，以下不妨取t = l 。故我 们可以用六= l 表示在时间区间( 伽一1 ) ，聆】中有一次索赔发生，磊= o 表示无索赔发 生。假定磊，彘，六为独立同分布的随机变量序列，且有 上海大学硕士学位论文 在上述假定下，可令 p r ( 孝。= 1 ) = p p r ( 六= o ) = 1 - p0 p _ 1 p ( n ) = 1 一p ( n ) ，v n 0 t u = 可以】 0 0 其中，假定个体索赔额x 与各x 。同分布，且假定e s 。】 0 ，易见掣( 1 + 9 ) ：1 。故保险公司在时 p , u 刻n 的盈余可表示为 上海人学硕士学位论文 u 。= “+ 刀一s 。，以= 0 , i ，2 其中，豁= u o 为初始盈余，并假定材仅取非负整数值。 为 再记 设x 为仅取正整数的随机变量， p ( n ) ：甩i ) 是其分布列，则x 的母函数定义 容易验证有 g x ( s ) = 耶x 】= p ( n ) s 4v l 厂l - 1 q ( j ) = ( 刀) s 4 ) ：掣，v 帕 l s 。 若设是仅取非负整数值的随机变量，且与 以：疗i ) 独立，它的母函数记为 g ( s ) 。记 w = x l + x 2 + + x ( 若n = 0 ，约定形= 0 ) 则不难验证复合随机变量矿的母函数为 g 矿( s ) = e l s 甲】= g ( g x ( s ) ) f l 了l - 式可知墨的母函数即为 s i s 焉】= p g x ( j ) + l p 若记k = s 。- i ，则调节系数s 可定义为下式不大于i 的最大正根： 1 3 风险模型研究内容的扩展 研s 吒】_ i 最初破产论研究的问题【8 , 9 1 大都集中在最终破产概率 y ( “) = p r t o op ( o ) - u ，v u 0 上海人学硕士学位论文 也有研究有限时间内的破产概率： 甲( “；f ) = p r t fp ( o ) = “) ，v u 0 g e r b e r 等人随后又引入了另外两个描述保险公司破产情形的随机变量： x = u ( t - ) - ) 亏y = p ( d i = 一u ( r ) 其中x 表示破产前瞬时盈余( s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ) ，y 表示破产时 赤字( d e f i c i to f r a i n ) 。这样，下列两式： f ( “；x ) = p ( u ( t - ) 五丁 o o l u ( o ) = “) g ( ”；y ) = 尸( 【厂( d - y ；t 1 ) 是以p ( o p 0 ，使得( f ) 0 ) 。 s u n d t 和t e u g e l s l 3 2 , 3 3 】运用更新技巧对此类问题进行了系统的研究，得到了破 产概率所满足的积分方程。y a n g 和z h a n g 3 4 3 习用类似的方法研究了破产前瞬间盈 上海大学硕上学位论文 余的分布、破产时赤字的分布及两者的联合分布，也得到了相应的结果。吴荣和 杜勇宏在带利息的更新风险模型下，将问题转化为离散情形，再利用马尔科夫 链的性质，也得到了破产概率的表达式。 5 重尾分布的风险模型 经典破产论研究的是关于“小索赔”情形的破产论，一个很强的约束条件就 是要求调节系数只存在。如果调节系数不存在，则更新技巧和鞅方法都无法奏效。 而这种调节系数不存在即“大索赔 情形，在火险、风暴险和洪水险等灾难性保 险中广泛存在，从而显得非常重要。在这方面，e m b r e c h t sp ，k l f i p p e l b e r yc ，m i k o s c h t 等【3 3 8 1 运用亚指数分布对一系列重尾分布类的理论展开了系统的研究王汉 兴等3 明推广了更新技巧，运用更新不等式对此情况下的破产概率的收敛速度做了 估计 1 5 本文研究内容 本文是对完全离散的二项分布风险模型和三项分布风险模型3 1 1 的一个推广。 在第二章中，我们给出完全离散的多项分布风险模型玑= “+ n - s ，行= o ，1 ，2 其 中 啦t 也(h)玎a( s 。= x + x j 2 + + ， ( n 0 ，r l ( 0 ) = r 2 ( 0 ) = = 7 7 。( o ) = s o = 0 ) “= v ( o ) ，每单位时间内收取1 个单位保费，x j ”表示第i 个x 似类个体索赔额， r h o ) ( 七= 1 , 2 ，掰) 表示到时刻n ，共发生的x 类索赔的次数。文中说明了调节 系数s 的存在，并介绍了更新方程的一个极限定理，并导出了关于g 的一类泛函 5 c ，( “；g ) = 研g ( u r 。) ；丁 m i 。假定x ；1 ( f = 1 , 2 ，耽) 是独 立同分布的随机变量序列，并假定x o 与z j ”同分布。记： p l ( 七) = p r x 1 = 七) ，v 后l ( p l ( o ) = 0 ) 最( n ) = p ( 七) ，v n l 假( o ) = o ) k = l p l ( 刀) = 1 一鼻( 刀) ，v 刀0 朋= 研x m 】- 印。( 刀) = 耳( 行) m 2 和p r x 】 2 = 七) = o ，v 七 m 2 。假定x j 2 ( f = 1 , 2 ，n ) 是 独立同分布的随机变量序列，并假定x 2 与x j 2 同分布。则记： p 2 ( 七) = p r x 2 = 膏) ，v 七l ( p 2 ( 0 ) = 0 ) 昱( 万) = p 2 ( 七) ，v n l 假( o ) = o ) p 2 ( n ) = 1 一( 以) ，v n 0 ：= 研x 2 ) 】= 印：( 刀) = 巧( 力) m 啊和p r x j 一= 七) = o , v k m 用。假定x ；脚( i = 1 , 2 ，万) 上海大学硕士学位论文 是独立同分布的随机变量序列，并假定x 艉与x ；脚同分布。则记： p 。( 七) = p r x ”= 七) ，v k l ( p 脚( 0 ) = 0 ) 己( n ) = p ，( 后) ，v n l 眩( o ) = o ) p _ 仰) = 1 一己( 行) ，v 尢0 。= 研x m 】= z n p ( 刀) = 巧( 刀) s = o n - o 到时刻n ，保险公司一共支付的索赔额记为 ，丛 也( )( n ) 最2 善墨1 + 善x ；2 一蕃叫， ( 2 2 ) q 0 ，r i ( o ) = r 2 ( 0 ) = 。= r l 。( 0 ) = s o = 0 ) 其中，仇( 刀) ( 江1 , 2 ，朋) 表示到时刻n ，共发生的x o 类索赔的次数，r h ( ，1 ) ， 刀：( 行) ，( 疗) 服从的联合分布满足( 2 1 ) 式。 此外，保险公司在每一时间区间的起始时刻收取1 个货币单位的保费，这样 保险公司在时刻n 的盈余u 。可表示为 u = ”+ 刀一s 。，刀= 0 , 1 ，2 ( 2 3 ) 在这里，“= u o 表示初始盈余。在模型中，我们假定u 仅取非负整数。为便于讨 论，以下我们记匕= 最一刀，v n 1 ，则u = “一圪。我们假定在设定保费时考虑了 安全负荷，即有研s i 】= p l “+ p 2 2 + 。+ 一 0 。 p l l + p 2 a 2 + + p 辨所 在本文中我们沿用s h i u 2 1 关于破产时刻的定义，即令破产时刻t 为： t = i n f n ：砜 o ) ，( i n f # = ) ( 2 4 ) 对保险公司而言，重要的是这样几个风险变量：破产前的瞬时盈余u r 一，破产时 的赤字i u r i ，以及最终导致破产的索赔额u r 一+ i u r i + l 。本文讨论的是与这些变 上海大学硕士学位论文 量有关的概率律，具体有 y ) = p r t a o l u o = “】 厂( “；砷= p r t o o ；u r 一= 4 v o = “】，( z o ) 伊( ”；j ，) = p r t o ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 在上述定义中，v ( u ) 表示在初始盈余为u 的条件下，保险公司最终破产的概 率；厂( ”；工) 表示在初始盈余为u 的条件下，保险公司破产前- n 的盈余为x 的概 率；矽( “；y ) 表示在初始盈余为u 的条件下，保险公司破产时的赤字大于等于y 的 概率。 2 2 调节系数 先引入母函数的定义和若干符号。 p ，) ：刀1 ) 为x 1 的分布列，x 1 的母函 数定义为 g i ( j ) = n s 】= p 。( 以) j 4 ( 2 8 ) p 2 ( 刀) ：刀1 ) 为x 2 的分布列，x 2 的母函数定义为 g 2 ( j ) = 研j 一】= p 2 ( 刀) s 4 ( 2 9 ) 以( 刀) ：刀1 ) 为x ”的分布列，x 一的母函数定义为 g 。( s ) = 耶 】= p 。( 刀) s ” ( 2 1 0 ) 记 q 。( s ) = - ( 以) j “ q ：( s ) = z ( 甩) s 4 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 上海大学硕士学位论文 q 。( s ) = 。( 刀) j 4 n = o ( 2 1 3 ) 容易验证q l ( s ) ，q ：o ) ，绋( s ) 分别与g ( s ) ，g ：( j ) ，g 。( s ) 满足 以下关系 以下我们推导( 2 1 4 ) 式： q 。( j ) = - ( 甩) s ” n = o = 1 - p i ( n ) l s i “ 厶 q i ( j ) = 百1 - g l ( s ) q 2 ( j ) = 1 1 - j g 2 ( _ s ) = 掣 ：11一窆p。(七)主s一1一s 智怠 = 五1 一扣尼，篙1l j 智“一一s l j 1 一g i ( j ) = ：_ - _ _ - _ 二_ _ _ _ 一 l s ( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 两式的推导与( 2 1 4 ) 1 拘推导完全类似。 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 、，p 。捌 打 s 。脚 一矿 。脚 = 上海大学硕士学位论文 根据复合随机变量母函数的关系式【1 3 1 ，我们得到 e s 焉】= p l g l0 ) + p 2 g 2 0 ) + + p 。g 。0 ) + p 。+ l( 2 1 7 ) 定义l 调节系数s 为( 2 18 ) 式不等于1 的最大正根 研j 嵋】- 1 由巧= 墨- 1 ，易知( 2 1 8 ) 与下式等价 p l g l ( s ) + p 2 g 2 ( s ) + + p 脚g ( s ) + p 。+ l = 8 由( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 可知 q l ( s ) ( s 一1 ) = g i ( s ) 一1 q 2 ( s ) ( s 一1 ) = g 2 ( j ) 一1 瓯( s ) ( s 1 ) = g 。( s ) 一l 综合( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 及( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) ，可得： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) e p i l ( 刀) + p 2 2 ( 甩) + + p 。，研) 】s 。= l ( 2 2 3 ) n = 0 事实上，将( 2 2 0 ) 乘以p i 加上( 2 2 1 ) 乘以p 2 加上加上( 2 2 2 ) 乘以p 。便有 p l l ) s 4 ( s - i ) + p ：2 ( 以) s ”( s 1 ) + + p 。伽) s “( s 1 ) n = 0 n = 0n = 0 = p l g i ( s ) + p 2 g 2 ( s ) + + p 辩g i ( j ) 一p l p 2bb e f o i o p 。 由( 2 1 9 ) 可知p i g l ( s ) + p 2 g 2 ( j ) + 。+ p g ( s ) = s - p + l ，代入上式可得： p 。妻。( 刀) s 一( s 1 ) + p 2 艺：( 刀) s 一( s 一1 ) + 。+ p 。至。( ，1 ) s 一( s 一1 ) n = on = on = o = s p 。“一p l p 2 一一p 。 = s l 等式两边消去公因式( s 1 ) ，便得到( 2 2 3 ) 式。 我们记 则有 f ( n ) = p ip i ( 刀) + p 2p 2 ( n ) + + p p 。( 万) ，刀0 ( 2 2 4 ) 上海人学硕上学位论文 厂( 刀) = 【p 。- ( 玎) + p ：( 以) + + p 。( 行) 】 l ( 2 2 5 ) = on = o ( 2 2 5 ) 式表明 f ( n ) ：刀0 ) 不是一个概率分布，但若将f ( n ) 修正为f = f ( n ) s “， 由( 2 2 3 ) 式可知 厂( 刀) = 1 n = o 可见矿。o ) ：以0 ) 可构成一个概率分布。从( 2 2 3 ) 式可以看出，调节系数s 的存在 与个体索赔变量x ( n ，x 孙，x ( “的尾概率性状无关，在接下的讨论中我 们恒假定调节系数存在。 2 3 离散更新方程 本文的推导将用到离散更新方程的一个极限定理，下面我们先简述相关内容。 先介绍非周期序列的概念。 定义2 设p ( 刀) ：刀0 ) 是一个非负序列，若存在大于1 的最大正整数d ，使 得b ( n ) = 0 ，当刀蒯( 七1 ) 时，则称p ( 甩) ：万0 ) 为周期的，周期为d ；否则，我 们称p ( 刀) ：刀0 ) 是非周期的。 一般形式的离散更新方程如下所述： g ( 刀) = g ( n - i ) f ( i ) + a ( n ) ，刀o( 2 2 6 ) 其中，矿o ) ) ， 口伽) ) 为非负序列，且 厂= ，( 露) l ，口= 口( 露) ( 2 2 7 ) n = on - - - o 另外，当f = 1 时，( 2 2 6 ) 式称为正则离散更新方程：当厂 1 时，( 2 2 6 ) 式称为瑕疵 离散更新方程。 下面给出一个关于离散更新方程( 2 2 6 ) 能j 极限定理 定理 l 设矿( 刀) ：刀0 ) 为非周期序列，满足方程 上海大学硕士学位论文 g ( 甩) = e g ( n - i ) f ( i ) + a ( n ) ，n o ；且条件( 2 2 7 ) 成立，记名= 矿( 刀) ，那么 ( 1 若厂 u - i - z g ( 七) p l 【1 一只( 七+ 1 ) 】+ p 2 【l 一最( 七+ 1 ) 】+ + p 。【l 一己( 七+ 1 ) 】) ( 2 3 2 ) 对( 2 2 8 ) 式两端从0 到u - l 求和即得： ”一l h lk + l”一l 吵( j | ；g ) = p 。 - 9 ( k + 1 - x ；g ) p i ( 工) + p g ( 七) 【l 一墨( 七+ 1 ) 】 k f o k f f i ox f f i lk - - - o u - ik + lh l + z p 2 i u ( k + l - x ；g ) p 2 ( 石) + p 2 9 ( 唧一最( 七+ 1 ) 】+ k f f i oj = i k f f i o u - ik + lu - iu - - l + e p 。弘( k + 1 - x ；g ) p 。( 石) + p 脚g ( 帅一己( 七+ 1 ) 】+ p 朋+ l 少仕+ l ；g ) k = o # lk f ot ，0 将上式写成： 上海大学硕士学位论文 hhk + lu - i y ( o ；g ) + 少( 七；g ) 一y ；g ) = e p ly ( k + 1 - x ；g ) p l ( 工) + p l g ( k ) 1 - p l ( k + 1 ) 1 k f f i lt + l = i r = ik - o ”k + lu - i + p 2 y ( k + 1 - x ；g ) p 2 ( x ) + p 2 9 ( 钟一只( | j + 1 ) 】+ -t + lu - 1u - i + p 。y ( 七+ 1 一薯g ) p 。( 工) + p 。g ( 七) 【l 一只( 七+ 1 ) 】+ z p 肘+ i 缈( 七+ l ；g ) i + l = lx f f i lk = o k = o 即 4 “iu - l y ( o ；g ) + 少( 七；g ) 一以；g ) = p i ( 七一工；g ) p i ( z ) + z p l g ( k ) 1 - p t ( k + 1 ) t = i i = i 】lk f f i o h七”一i + z p 2 f ，( 七一x ；g p 2 ( 曲+ p 2 9 ( | i ) 1 一最( | j + 1 ) 】+ 七h ln + e p 。矿( k - x ；g ) p ，( 工) + p 。g ( 堋一只估+ 1 ) 】+ e p ，+ i 缈( 七；g ) i = ix = lk = 0t 。l 整理得： 少( “；g ) 一y ( o ；g ) = ( 1 - p 。+ i ) y ( 七；g ) hk p 。e p l ( z ) y ( 七一工；g ) “七 一p 2 p 2 ( x ) 弘t ( k - x ；g ) - 七 一p 。p ，( 石) 少( 七一础，) u - i - e g ( 七) ( p l 【1 一日( 七+ 1 ) 】+ p 2 【1 一只( 七+ 1 ) 】+ + p 。 1 一只( 七+ 1 ) 】) 七置o 由于p ，( 0 ) = o ( i = 1 , 2 ，m ) ，故上式中的两重求和的下限可以自0 开始， 杪( “；g ) 一缈( o ；g ) = ( 1 - p ，+ 1 ) 少( 七；g ) 、jg x 一七 ，ly、， x ，- 、p 。脚 。胤 p 一 上海大学硕士学位论文 “k p ：p 2 ( x ) i u ( k - x ；g ) - u 一p 。p 。( 石) y ( 七一石；g ) k = lx = o u - i - e g ( 七) p l 【l 一只( 七+ 1 ) 】+ p 2 【l b ( 七+ 1 ) 】+ + p 。【l 一己( 七+ 1 ) 】) 再交换求和顺序可得： ( 2 3 3 ) hih p 。p ( x ) y ( j | 一五g ) = 一p 。e 一- ，) y ( ；g ) ( 2 3 4 ) k = lx = o ，= o uih p ：p 2 ( j ) y ( 七一x ；g ) = 一p 2 p 2 ( u - j ) w ( j ；g ) ( 2 3 5 ) u七“ 一p 。p 。( 功y ( 七一五g ) = - p 。z p , ( u - j ) t p ( j ；g ) ( 2 3 6 ) 事实上，作变换j = 七一工，有 ”上 一p 。p 。( 工) 少( 七一z ；g ) k = lz - - - o = - p 。p 。( 工) 少( 七一墨g ) x - - ok = x = - p p 。( k - y ) ( ；g ) 七一1 0 x + j m j r = - p 。p 。( k - j ) z ( ；g ) l j = o1 - - - 0 = - p 。( ；g ) 一- ，) 1 = o 与( 2 3 4 ) 式的推导完全类似，可得到( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 式，然后将( 2 3 4 ) 式、( 2 3 5 ) 式和 ( 2 3 6 ) 式代入( 2 3 3 ) 式即得 上海大学硕士学位论文 少( “；g ) 一y ( o ；g ) = ( 1 - p 。) ( 七；g ) 一p 。y ( _ ，；g ) 墨似一) 一p 2 l f ( j ；g ) p 2 ( u - j ) - h p 。5 u u ；g ) p ( u - j ) u - i - e g ( 七) p l 1 一只( 七+ 1 ) 】+ p 2 【l 一最( 七+ 1 ) 】+ + p 。【l 一己( 七+ 1 ) 】) 然后整理为 y ( ；g ) 一y ( o ；g ) = - p l y ( o ；g ) 弓( ”) 一p 2 y ( 0 ；g ) 最( u ) 一一p 。y ( 0 ；g ) 己( “) + p 1 9 ( j ；g ) 1 - p l ( u - j ) j = l + p 2 少( j ；g ) 1 - p 2 ( u 一川+ + p 1 9 ( j ；g ) 1 - p l ( u - j ) u - i - e g ( 七) p l 1 - p l ( k + 1 ) + p 2 【1 一b ( 七+ 1 ) 】+ + p 。【1 一只( 七+ 1 ) 】) 变换求和指标，令t = “- j ，立得： y ( “；g ) 一y ( o ；g ) = y ( o ；g ) 【一p l 墨( “) - p 2 b ( “) 一一p 。已( “) 】 u - i + i f ( u - t ；g ) p l 1 - p i ( t ) + p 2 【l b ( f ) 】+ + p 。 1 - p r o ( t ) t = o u - i - y , g ( 七) p l 1 一日( 七+ 1 ) 】+ p 2 1 一另( 七+ 1 ) 】+ + p 。【1 一巴( 七+ 1 ) 】) k = o 于是( 2 3 2 ) 式得证。 ( 二) 接着用( 2 3 2 ) 式推导关于( o ；g ) 的显式公式( 2 2 9 ) 式 上海大学硕士学位论文 注意到 l i r a 沙( “；g ) = 0 ( 2 3 7 ) 事实上，若令l l g l i = s u p g ( x ) 上海大学硕士学位论文 - e g ( 七) p l 1 - p l ( k + 1 ) + p 2 【l 一最( 七十1 ) 】+ + ，啊【l 一己( 七+ 1 ) 】) k = o 将( 2 2 9 ) 式代入上式得 少( ”；g ) = e g ( 七) 劬l 【1 一只( 七+ 1 ) + p 2 【l 一最( 七+ 1 ) 】+ + p 。【1 一只( j | + 1 ) 】) + y 一f ；g ) p 1 1 一只( f ) 】+ 夕2 【l 一最( f ) 】+ + 夕。【l 一( r ) ) u - i - z g ( 七) p l 【1 一只( 后+ 1 ) 】+ p 2 【l 一最( 七+ 1 ) 】+ + p 。【l 一只( 七+ 1 ) 】 = 5 f ，一f ；g ) p l 【l - p i ( t ) + p 2 【l 一足o ) 】+ + p 。【1 一只o ) 】) + g ( 七) p i 【l 一只( 七+ 1 ) 】+ p 2 【l 一只( 七+ 1 ) 】+ + 办 1 一只( 七+ 1 ) 】 k f f i u 即得( 2 3 0 ) 式。 ( 四) 最后来推导( “；g ) 的渐进解。 首先注意到( 2 2 4 ) 式所记 厂( 万) = p ip l ( 刀) + p 2 p 2 ( 以) + + p p 一( 刀) ，n 0 同时，记 口( “) = g ( 七) p l 【l 日( 七+ 1 ) 】+ p 2 【1 一只( 七+ 1 ) 】+ + p 。【l 一己( 七+ 1 ) 】) 由此可将( 2 3 0 ) 式简记为 由( 2 2 5 ) 式知 缈( “；g ) = 少( “一七；g ) ，( 七) + 口( “) ( 2 4 1 ) 饨) l t = o 所以( 2 4 1 ) 式为一瑕疵离散更新方程。为推导 f ，( “；g ) 的渐进