（计算数学专业论文）两类改进的有限元方法的研究与应用.pdf

摘要 本文在研究偏微分方程数值解法时，采用了两种新型的有限元方法，一种是交替方向 有限元法，其基本思想是：将交替方向与g a l e r k i n 方法相结合，通过算子分裂技术，把高 维问题转化为一系列低维问题，交替地沿各空间变量的方向进行求解经降维后的问题， 求解简便，存储更省，大大降低了问题的复杂性，而且还具有有限元方法高精度的特点 此外，由于该方法良好的并行特性，更能适合在现代的大型超级计算机上进行并行计算， 是多维问题数值解的经济有效的方法至今仍是求解高维问题的主要方法之一另一种是 经济型差分一流线扩散法，它是在f d s d 方法上发展而来的，f d s d 方法的基本点是在 时间方向作差分离散，在空间方向采用s d 方法经济型差分一流线扩散法的离散格式 与f d s d 相似，但仅将对流项的检验函数取为v + 5 d n v v ，即仅施加一个沿流场方向的人 工粘性项这样，既保持了s d 方法的基本特性，又使计算复杂性大大降低 双曲型积分一微分方程是偏微分方程研究领域的一个重要分支在流体力学，量子 力学，资源勘探，遥感技术以及人口模型等领域都相继出现了大量的此类方程 s o b o l e v 方程也来源于许多物理过程，如流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气迁移问题，不 同介质间的热传导以及波的色散等问题由于这两类方程都具有明显的物理背景，不论从 理论分析还是从数值分析上都有必要全面深入地研究 首先本文介绍了所研究问题的实际背景，发展历史及现状然后，对一类带记忆的双 曲型积分一微分方程提出了一种全离散交替方向有限元格式，从理论上证明了该格式的 收敛性，并得到了日1 - 模误差估计，从而为数值求解该方程提供了一种可行的方法本 文针对s o b o l e v 方程提出了一种经济型差分一流线扩散法，分析了该方法的稳定性和收敛 性，有效地简化了计算过程，并得到了日1 一模误差估计最后回顾了本文的主要内容， 并对文章所涉及的方面作了展望 关键词：积分一微分方程，交替方向有限元方法，s o b o l e v 方程，经济型差分一流线 扩散法，人工粘性项 a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，t w on e wm e t h o d sa r ep r e s e n t e dw h e nir e s e a r c ht h en u m e r i c a ls o l u - t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o n ei sa l t e r a t i n gd i r e c t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h e b a s i ci d e ai sc o m b i n i n gt h ea l t e r n a t i n gm e t h o dw i t ht h eg a l e r k i nm e t h o d ，c h a n g et h eh i g h d i m e n s i o n a lp r o b l e mi n t oas e r i e so fl o w - d i m e n s i o n a lp r o b l e m sb yt h eo p e r a t o rs p l i t t i n g t e c h n i q u e t h ep r o b l e mc a nb es o l v e ds i m p l y , n e e dl e s ss t o r a g e ，s ow eg r e a t l yr e d u c et h e c o m p l e x i t y i na d d i t i o n ，b e c a u s et h i sm e t h o dh a sg o o dp a r a l l e lp r o p e r t i e s ，b e t t e rf i tt h el a r g e s c a l es u p e r c o m p u t e r ，i ti so n eo ft h em a i nw a y st os o l v et h eh i g h d i m e n s i o n a lp r o b l e m s t h e o t h e ro n ei se c o n o m i c a lf i n i t ed i f f f e r e n c e s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o dw h i c hi sd e v e l o p p e d f r o mf d s dm e t h o d t h eb a s i cp o i n to ff d s dm e t h o di su s i n gd i f f e r e n c ed i s c r e t eo nt h e d i r e c t i o no ft i m e ，s dm e t h o di ns p a c ed i r e c t i o n t h em e t h o dw h i c hw eu s e di ss i m i l a rt o f d s d ，b u to n l yi m p o s ea na r t i f i c i a lv i s c o s i t ya l o n gt h ef l o wf i e l d i nt h i sw a y , w ek e e pt h e b a s i cc h a r a c t e r i s t i c so fs dm e t h o d ，a l s o ，g r e a t l yr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y t h e t w om e t h o dw eu s e d b o t hh a v eb e t t e rs t a b i l i t y , l e s ss t o r a g ea n dc a l c u l a t i o nt h a ns o m eo t h e r m e t h o d s h y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ea ni m p o r t a n tb r a n c ho fp a r t i a ld i f f e r e n - t i a le q u a t i o n s i nf l u i dd y n a m i c s ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，r e s o u r c e se x p l o r a t i o n ，r e m o t es e n s i n g t e c h n o l o g ya sw e l la sp o p u l a t i o nm o d e l ，m a n yt h e s ee q u a t i o n sh a v ea p p e a r e d s o b o l e ve q u a - t i o ni sa l s od e r i v e df r o mal a g e rn u m b e ro fp h y s i c a lm o d e l s ，s u c ha sf l u i di n f i l t r a t et h r o u g h t h ec r a c k s ，m o i s t u r et r a n s f e ri ns o i l ，h e a tc o n d u c t i o n ，w a v ed i s p e r s i o na n ds oo n b e c a u s et h e t w ot y p e so fe q u a t i o n sh a v ec l e a rp h y s i c a lb a c k g r o u n d ，w en e e di n - d e p t hs t u d yf r o mt h e t h e o r e t i a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a la n a l y s i s f i r s to fa l l ，t h ea c t u a lb a c k g r o u n d ，t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ep r e s e n ts i t u a t i o na r ei n - t r o d u c e d s e c o n d l y , af u l l - d i s c r e t ea l t e r a t i n gd i r e c t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o di sp r e s e n t e d f o rac l a s so fh y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h et h e o c r a t i c a la n a l y s i ss h o wt h a t t h es c h e m ei sc o n v e r g e n c e ，t h eo p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t e si nh 1 一n o r mi so b t a i n e d t h e e c o n o m i c a lf i n i t ed i f f e r e n c e - s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o di sp r e s e n t e df o rl i n e a rs o b o l e v i i i e q u a t i o na n dt h ep a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ee x a m i n et h es t a b i l i t ya n d c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h em e t h o d t h ee r r o re s t i m a t ei n l 2n o r mi so b t a i n e d a t l a s t ，t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sr e v i e w e d ，a n dt h ef o r e c a s ti sm a d e k e y w o r d s ：i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a l t e r a t i n gd i r e c t i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， s o b o l e ve q u a t i o n ，t h ee c o n o m i c a lf i n i t ed i f f e r e n c e s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，a r t i f i c i a l v i s c o s i t y i v 独创性声明和论文使用授权说明 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名： 蕉盘2 甚日期：婴2 ：笸。皇 签名：丛避2 出日期：婴2 ：厶望 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：查! 娃! 基 导师签名：丝魁! 妻日期：型哩：笸! # 3 9 第一章绪论 1 1研究背景 第一章绪论 众所周知，现代科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述从十 九世纪以来，人们一直用它来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著成效 但绝大部分微分方程( 特别是偏微分方程) 定解问题的解不能以适用的解析形式来表示， 这就产生了理论与实际的矛盾为了解决上述矛盾，许多研究人员进行了数值解研究，这 就促使微分方程的数值方法成为一门学科，它不仅是数学学科，而且是很多其他学科领域 的一种重要研究手段和方法【1 | 特别是随着电子计算机的出现和发展，这门学科得到了前 所未有的发展和应用时至今日，微分方程数值方法主要有有限差分法和有限元方法，另 外还出现了边界元、混合有限元、谱方法、有限体积法等其中，有限元方法是求解各种 微分方程的一种重要的数值方法，它本身有着有限差分法无法比拟的优越性 有限元离散化的思想早在2 0 世纪4 0 年代初就已经被提出( r c o u r a n t ，1 9 4 3 ) ，并于5 0 年代被西方的工程师采用，用于求解简单的结构问题它作为一种系统的数值方法，则是 在6 0 年代中期，以冯康先生为代表的中国学者与西方学者独立并行完成的 2 - 3 】有限元方 法是用简单方法解决复杂问题的范例，主要有以下三大特点：( i ) 从数学物理的变分问题 出发，而不是从微分方程出发，因此是从问题的整体描述而不是从问题的局部描述出发； ( i i ) 对所考虑问题的区域( 以二维情形为例) 作三角形( 或其他简单多边形) 剖分，而不是 仅仅作矩形剖分； ( i i i ) 用剖分区域上的简单函数( 例如分片多项式) 去逼近原问题的解， 而不是只在剖分节点上的数值逼近有限元方法的基本过程可以归纳为： ( 1 ) 把问题转化为变分形式， ( 2 ) 选定单元的形状，对求解区域进行剖分， 一维情形下的单元是小区间，二维情形下的重要单元有两种：四边形( 矩形、任意凸 四边形) 和三角形， ( 3 ) 构造基函数和单元形状函数， ( 4 ) 形成有限元方程， ( 5 ) 提供有限元方程的有效解法， ( 6 ) 对近似解进行误差分析 1 两类改进的有限元方法的研究与应用 p e a c e m a n ，d o u g l a s 等人于1 9 5 5 年提出差分格式的交替方向法，关于其构造可以参阅 文献4 - 5 随后d o u g l a s ，d u p o n t 于1 9 7 2 年又提出了有限元格式的交替方向法，并给出 了基本的理论分析【6 1 ，随后，交替方向有限元方法被广泛应用和推广，这方面的工作已有 很多，如d e n d y , f a i r w e t h e r 引，h a y e s 8 - 9 】等，分别将该方法推广到边界平行于坐标轴的多 边形区域和一类更一般的非矩形曲边区域有限元交替方向法基本思想是：将交替方向与 g a l e r k i n 方法相结合，通过算子分裂技术，把高维问题转化为一系列低维问题，交替地沿 各空间变量的方向进行求解经降维后的问题，求解简便，存储更省，大大降低了问题的 复杂性，而且还具有有限元方法高精度的特点此外，由于该方法良好的并行特性，更能 适合在现代的大型超级计算机上进行并行计算，是多维问题数值解的经济有效的方法至 今仍是求解高维问题的主要方法之一 双曲型积分一微分方程是偏微分方程研究领域的一个重要分支在流体力学，量子 力学，资源勘探，遥感技术以及人口模型等领域都相继出现了大量的双曲型积分一微分 方程，由于这类方程具有明显的物理背景，因而得到广大数学工作者和工程技术人员的普 遍关注和重视，不论从理论分析还是从数值分析上都有必要全面深入地研究本文首次采 用了一种全离散交替方向有限元格式研究了带记忆的双曲型积分一微分方程的初边值问 题，从理论上证明了该格式的收敛性，并得到了日1 一模误差估计因此本文的研究有很 重要的意义 差分流线扩散法( 简称f d s d 方法) 的基本点是对时间方向作差分离散，在空间方向 采用s d 方法虽然比s d 方法在计算量上有所降低，但因每一项都增加了一个因施加人 工粘性项而引进的附加项，计算量还是比较大的为进一步减少f d s d 方法的计算量， 文献 i 0 - i i 】又提出了经济型的差分流线扩散法( 简称e f d s d ) ，其离散格式与f d s d 相 似，但仅将对流项的检验函数取为v + 6 d v v ，即仅施加一个沿流场方向的人工粘性项 这样，既保持了流线法( 简称s d 方法) 的基本特性，又使计算复杂性大大降低 s o b o l e v 方程来源于许多物理过程，如流体穿过裂缝岩石的渗透理论【1 2 l ，土壤中湿气 迁移问题【1 3 】，不同介质间的热传导【1 4 】，以及波的色散等问题，因此，不论从理论分析 还是从数值分析上都有必要全面深入地研究本文根据s o b o l e v 方程的特点，采用了经济 型差分一流线扩散法研究了其初边值问题，建立其e f d s d 格式，虽然只施加了一个沿 流场方向的人工粘性项，但得到了比较好的结果且使计算复杂性大大降低文章还研讨了 该格式的可行性及其理论机理 2 第一章绪论 全文分为四个部分：第一章绪论，阐述了二，三章内容的研究背景及发展现状，并且 给出了理解本文所需的预备知识；第二章用交替方向有限元方法研究了带记忆的双曲型积 分一微分方程的初边值问题，得到了日1 一模误差估计；第三章用经济型差分一流线扩散 法研究了s o b o l e v 方程，分析了该方法的稳定性和收敛性，减少了计算量，并得到了日1 一 模误差估计；第四章结论，对本文涉及的课题进行总结，并得出今后的研究方向 1 2 预备知识 记函数v 的q 阶广义导数为d q v ，用w m , p ( s2 ) 表示通常的s o b o l e v 空间，其范数记 为i i | i 仇，p ，定义为： m 嘶) = 哪胪 刍，1 p i a l s m 删晰。( q ) _ 俐岬，旷眺m a x m 1 d n 训0 , o o ，q ，p 2 m ，p ( q ) 中的半范数定义如下： i v b n = 渺啪胛) 砉，1 p o o 1 a l = m i u i m ，n = 磐a xi i d q v i i 0 ，o 。，q ，p = ( 3 0 1 ( x i = = i 当p = 2 时，s o b o l e v 空1 ；- 1w m ，2 ( f 1 ) 记作h m ( q ) ，其范数记为i i 定义1 2 1 【1 5 】空间l 2 ( q ) 上的内积和范数分别定义如下： ( u ， ) = 上u 刊z ， u ，v l 2 ( q ) ， 乱i i ： ( 乱乱) ) 互1 ，u l 2 ( q ) 定义1 2 2 【1 5 】定义s o b o l e v 空i ；- 1h 1 ( q ) 的子空间9 1 ( q ) 为： 明( q ) = 驯u ，d v l 2 ( q ) ，v t r = o ) ， 其中r 表示区域q 的边界 3 定义1 2 3 1 6 设日是一个b a n a c h 空间，且它的范数记为”i i h ，若口：【0 ，卅_ 日 是勒贝格可测的，则定义如下范数： i l v l l 卿t ；h ，= ( 0 2i l v ( ，t ) 1 1 2 j t ) 5 ， i i v l l l 。o ( o ，t ；日) = s u pi i v ( ，t ) 1 1 其中护( o ，t ；h ) = v ： 0 ，t 】_ h ：i i v l l l p ( o ，t ；日) 0 ，有 v o , i l p 1 1 u 1 1 定理1 2 6 【1 7 】( 插值逼近定理) 设s hc 硪， 厶：h 7n 硪一鼠，若u h rn 础，则 有 i i i h v 一 l i + h l l l u v u i | c h i l v l l r 定理1 2 7 【1 7 】( 迹定理) 设q 为有界区域，边界f 分片光滑，则存在常数c ，使得 叫b r ) c l l u l l l ， v u h 1 ( q ) 定理1 2 8 1 1 5 】( e 一不等式) 设a 和b 为实数，则对任意的e 0 ，有 m i 群+ 丢铲 由此，特别地有 i ( u , v ) l i i u i u i i i l 训1 2 + 1 1 1 u | 1 2 定理1 2 9 【1 8 】( 连续形式的g r o n w a l l 不等式) 设连续函数叩( 亡) ( n t 6 ) 满足 l 叩( ) i p + q i 7 7 ( 丁) i d 丁，n 6 ， 第一章绪论 其中q ，p 为非负常数，则 7 7 ( t ) l b e n ( 一引，a t b 定理1 2 1 0 1 8 】( 离散形式的g r o n w a l l 不等式) 设q ，p 0 是任意常数，序列 ) 其中h 0 是步长，则 佗= k ，k + 1 ，n h z i e a t ( + a k h m o ) ，礼k ，n h t ， 其中= m a x ( i 伽i ，i 叩i ) ，| r l k l i ) 定理1 2 1 1 1 0 】( 推广的离散g r o n w a l l 不等式) 设广，g 竹，h 竹为定义在 上的非负离散网格函数，h n 非减，如果对n 1 ，有广+ g 竹h n + p 。0 ( = ao ) ，则 5 = 1 尸+ 圹h n e x p ( ep 。) j = _ 1 ，2 ，) n 一1 风厂8 ，其中 8 - - - - 1 定理1 2 1 2 【1 9 1 ( h o l d e r 不等式) 若1 p ，g ，；1 + 昙= 1 ，厂酽( q ) , g el q ( q ) ， 则f ，g l 1 ( q ) ，且 f g i l l - ( q ) i i i l l 一( n ) i i g l l l 。( q ) 定理1 2 1 3 1 9 ( s c h w a r z 不等式) 当p = q = 2 时h o l d e r 不等式为 厂g i l l ( n ) i i i l l 。( n ) i i g l l l z ( q ) 定理1 2 1 4 2 0 ( g r e e n 积分公式) v u ，u h 1 ( q ) ， 上也反 如= 一上魏乱u 如+ z q 乱u - 忱d 盯，i = 1 ，2 ，n 由上述基本g r e e n 积分公式可以推导出下面一系列g r e e n 积分公式： v u h 2 ( q ) ，v h 1 ( q ) ， r a d u g r a d v d x = - 上a u v d x + n 考刊口 5 一 z，q +8 一 足 满 两类改进的有限元方法的研究与应用 v u ，v h 2 ( q ) ， 6 f ( u a v - a u v ) 出= z n ( 钍乱v w v 乱札) d 盯 第二章带记忆的双曲型积分一微分方程的交替方向有限元格式 第二章带记忆的双曲型积分一微分方程的交替方向有限元方法 交替方向有限元法的基本思想是：将交替方向与g a l e r k i n 方法相结合，通过算子分 裂技术，把高维问题转化为一系列低维问题，交替地沿各空间变量的方向进行求解经降 维后的问题，求解简便，存储更省，大大降低了问题的复杂性，而且还具有有限元方法高 精度的特点此外，由于该方法良好的并行特性，更能适合在现代的大型超级计算机上进 行并行计算，是多维问题数值解的经济有效的方法 双曲型积分一微分方程在流体力学，量子力学，资源勘探，遥感技术以及人口模型等 领域都相继大量出现，由于这类方程具有明显的物理背景，不论从理论分析还是从数值分 析上都有必要全面深入地研究目前，许多人都带着不同的研究工具涉足这一比较新的领 域，使得这一方面的研究不断丰富【2 1 1 ，文献 2 2 2 4 】考虑了双曲型积分一微分方程的初 值问题和初值问题整体光滑解的存在性和唯一性带记忆的双曲型积分一微分方程具有时 间积分项( v o l t e r r a 项) ，特别是在描述刚体材料热传导及粘弹性体压缩等实际问题中有 广泛的应用【2 引若采用传统方法求解，工作量很大交替方向的有限元方法是在交替方向 法和有限元方法的基础上提出的，两种方法的结合使它在微分方程的求解中具有了很大的 应用价值因此，本章采用全离散交替方向有限元方法及r i t z v o l t e r r a 椭圆投影来研究该 方程，从理论上证明了该格式的收敛性，并得到了日1 一模误差估计 2 1 带记忆的双曲型积分一微分方程的交替方向有限元格式 考虑如下带记忆的双曲型积分微分方程的初边值问题： 钆一v n ( 删) v u + o 6 ( ，s ，乱( 即) ) v 札( 即) d s ) = ，( z u ) ， ( z ，亡) q ( o ，卅，( 2 - 1 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u t ( x ，0 ) = u l ( x ) ，x q ， u ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) a q 0 ，t 】 其中x = ( x l ，z 2 ) ，q 是兄2 中的具有光滑边界的有界区域，由参考文献 8 】的理论分析可设 q 为矩形区域，不妨设q = 0 ，1 】 0 ，1 】a , b ，f ，钆o ，u l 为已知函数，设j = 【0 ，t 】，对任意 的( x ，u ) qxr ，我们对上述问题作如下假设： 7 两类改进的有限元方法的研究与应用 ( i ) 存在正常数g ，g ，使得：0 c o a ( x ，u ) c 1 ( i i ) a ，b ，f 均为有界函数，并具有本文论证所需的各阶有界偏导数 ( i i i ) u ，钆t l o 。( 了；h 7 + 1nw l , o 。) ，u 托l 2 ( ，；h 7 + 1 ) nl o o ( ，；l o o ) ，u l 2 ( zh 1 ) 在x l ，x 2 方向上分别对区间j ，= 0 ，l 】，厶= 0 ，1 】作拟一致剖分，分别得到剖分寸= ，i ) 兰，砖= ) 当，其中j t = x l , i - - i ，x l , i ，= x 2 , j - - 1z 2 ，j 】，则= 砰砖构成q 的一个矩形剖分设寸的网参为 。( 6 = 1 ，2 ) ，令h = m a x h 1 ，h 2 ) ，并设0 h h o 1 记 s 2 = v l v h g ( 厶) nc f f , ) ，v x ，；b + 1 ( 厶i ) ，v l l i 寸 ， 蹬= v l v 础( 厶) nc ( 丘) ， k 只+ ( 场) ，v 场世) 其中r 为非负整数只+ t ( i ) 为区域i 上次数r + 1 的多项式集合定义瓯= 钟。罐，即 为上的双r + 1 次张量积空间，由文献【1 7 ，2 6 】知，对任意的矽h 7 + 1n 硪，口鼠， 满足下面的逼近性质及逆估计： 旌一秒i i + h l l v ( 咖一 ) 吣c h 件1 1 1 1 1 r + l ， v l l l 一c h i l v l l ，i i v l l - c h i l v l l 下面考虑r i t z v o l t e r r a 椭圆投影：求面瓯，t 0 ，卅，满足； ( 。( u ) v ( 让一面) ，v 口) + ( o 6 ( 亡，s ，u ( z ，s ) ) v ( u 一面) d s , v v ) = 。， 由文献【2 6 】知上面所定义的r i t z v o l t e r r a 椭圆投影满足： 对任意的u h 件1r 3h o ，冠瓯， v v 鼠 ( 2 - 2 ) u 一面| j + i i ( u 一面) t | j + l i ( u 一面) t tj | + j i ( u 一位) 谢l l c h 7 ， w l l o ，o 。+ i i w , l l o ，。+ i i w 1 l o ，。+ i , 匠1 1 0 ，。+ l i 面, 1 1 0 ，。+ l i 也乱i i o ，。+ i i 西僦i i o ，o 。c 将区间 0 ，卅分成个相等的子区间：0 = t 1 t 一l 如= t ， 记 8 亡礼+ l 一如= t ，t n = n a t ，u n = u ( t n ) ， 圣“= 西( z ，t n ) ，- 厂( 垂n )= f ( x ，t n ，圣n ) ， ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 第二章带记忆的双曲型积分一微分方程的交替方向有限元格式 d 垂n = 本文假定a t = 0 ( 九) 圣n + l 面n a t 伊币n 垂n + 1 2 中n + m n 一1 2 利用g r e e n 积分公式( 参见定理【1 2 1 4 】) 可得到方程( 2 - 1 ) 的变分形式为： ( u mv ) +( q ( z ，u ) v u + o 6 ( 亡，s ，u ( z ，s ) ) v u d s , v v ) = ( ，( z ，亡，乱) ，u ) ， v v 日8 ( q ) ，t 0 ，卅 ( u ( x ，o ) ，u ) = ( u o ，u ) ，( u t ( x ，o ) ，u ) = ( u l ，u ) ，讹础( q ) 定义( 2 5 ) 的交替方向有限元格式为： 对n = 1 ，n 一1 ，求u n + 1 瓯，使 u n + l 一2 u n + u n 一1 k 腊( a 去t e + 入2 亡2fi 之- ，u )+ 入( v ( u n + 1 2 u n + u n 一1 ) ，v v ) ( u n + 1 2 u n + u n - 1 ) ， ( 2 - 5 ) 旦o x z o x 2 、+ ( n ( u 竹) v u n , v v ) ( 2 - 6 ) 6 ( k 坛) v u ，v 口) ， v v 瓯 格式( 2 - 6 ) 中初值u o 取为u o ( z ) 的投影， u 1 的取法满足下式： ( u 1 一u o ，u ) + a t ( v ( u 1 一u o ) ，v v ) + ( 芒) 4f o x l ( 9 x 2( u 1 一o ) ， = ( w ，v ) + a t ( v w ，v u ) + ( 亡 其中 似= ( 赛) 。汁互1 ( 、0 2 u 、。腊 设 q p ( x 1 ) ) 筌。为踯的基底， 陬( z 。) ) 竺。为黠的基底， 设u = 钆k ( 亡) q p ( z ，) 反( z 。) ，令v = q t ( z ) 岛( z z ) 并记 “k = 6 q ；( z 。) n 肛( z 。) d z 。， 铲小涵胤瑚峨 瓯 0 2 v a z l a z 2 = 6 筹等炳， 忙d 差差玩 ( 2 7 ) 9 竹：l ，一 一 、i， u 、l ， n u ，l，j ，f k 两类改进的有限元方法的研究与应用 则( 2 - 6 ) x ( 亡) 2 可以写成； ( q p + 入( 亡) 2 吼) ( 仍k + a ( ) 2 呓k ) ( 2 铝k 一铭i 1 ) 一( n ( 铊k ) v ( o l o r p 凤) ，v ( q i 岛) ) ( 酽 + ( 厂( 目戤q p 风) ，q t 岛) ( 亡) 2 一( ( a t b n v ( 钆k q p 风) ) ，v ( q i 岛) ) ( ) 2 “k、工正k ( 2 - 8 ) 记上式右端为霸，则上式可改写为： ( 钆+ a ( 亡) 2 ) 搿1 = ， ( 仍k + 入( 亡) 2 嘭k ) 口z 毒1 = 错1 上面第一个方程仅在z 1 方向上求解，歹= 1 ，2 ，m 2 ，第二个方程仅在x 2 方向上求解， i = 1 ，2 ，尬易知上面两个方程的系数矩阵均对称正定，因而其解存在唯一 2 2 误差估计 易知 记r n= u n 一面n ，n = u n 一面n ，贝0u n u n = n r l n 刚1 1 = 0 ，憎1 1 1 + i i d t d l c a t 由( 2 - 2 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 可得误差方程为： 1 0 c 1 + 1 - 、2 & 一，+ & - 1 + 入2 ( ) 2 ( ， o x l o x 2 + 入( v ( f n + 1 2 竹+ c - 1 ) ，v ) 妒+ 1 咄州) ，彘 = 7 n + l - - 2 叩n - - g n - 1 a t ) 2 ，u ) 十( ，( u 礼) 一，( u n ) ，u ) ：= =- ，l + 一irif ，。i ri ? i 7j l 。八。7 八”7 + ( n ( 札n ) v 矿一a ( u n ) v u n ，v )a ( v ( 包扎+ 1 2 面几+ 矗n + 1 ) ，v u ) ( 2 - 9 ) + k n 肛 口 j 嘭 2 幻 ，fk 入+ k b= ，、l， 鳃 2 幻 ，jl 入 + p 已 ，i 、 k p k 肛 | l 第二章带记忆的双曲型积分一微分方程的交替方向有限元格式 a 2 ( ) 2 ( ， lo x l o x 2( 面n + 1 2 r e n + 也n 一1 ) + ( 小( t n , 8 , u ( 叩) ) v 删s 地 7 t t , o z l o x 2) + ( 仳嚣 u 竹+ 1 2 u n 上u n l ( z x t ) 2 6 ( k 屯扩) v u ，v u ) t = 1 记q = i i 鬻i i l 。+ 1 ，取t ， 满足c ( 亡) 九一q ，由( 2 9 ) 和逆估计可知： d o i l l o 。c h 一1l i d t o | i c a t h 一1 q ， 做归纳假定： m a x 一，ij d t 0 nn n i i l 一q ， 一2 。 则显然有，m ，a x 。i i d t u nf l l 一2 q 0 n n 一2 。 ” 在( 2 一1 0 ) 中取检验函数 = 几+ 1 一n 一1 = 亡( 竺：丢 竺+ 竺二i ! ) = 亡( 也n - 1 + d t n ) ， 下面对( 2 1 0 ) 式两端逐项进行误差估计： z 1 + z 6 ：( 7 7 竹+ l 一2 7 7 n + 7 7 竹一1 ( a t ) 2 + u 嚣一 u n + 1 2 u n 上u 几一1 ( a t ) 2 = ( a 2 矿+ u 磊一0 2 u 札，a t ( d t 竹一1 + 也n ) ) c a t ( ( a t ) 4 + i i a 2 矿1 1 2 + ij d , n i l 2 + i i 也“一11 1 2 ) 因为_ 厂满足l i p s c h i t z 条件且各阶偏导数有界，所以有 乞= ( f ( u 几) 一f ( u n ) ，肼1 一加1 ) = ( f ( u n ) 一f ( u ”) ，a t ( d t p + 矾p - 1 ) ) ，荨n + 1 一n 一1 ) c a t ( 1 i e n i l 2 + l i 矿1 1 2 + i i 也n l l 2 + i i 以仃一11 1 2 ) 磊= ( a ( u n ) v 扩一a ( u n ) v u 佗，v ( p + 1 一p - 1 ) ) = ( ( n ( “竹) 一a ( u n ) ) v 俨，v ( 1 一( a ( u n ) v p ，v ( p + 1 一n - - 1 ) ) 7 ( 1 ) 7 ( 2 ) z , 3- i - z , 3 r 1 ) ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) 1 1 两类改进的有限元方法的研究与应用 n l n ：= 1 n 一1 tf j ：一 n = 1( ( n ( u n ) 一n ( u n ) ) v 矿，v d t p ) n 1 + t ( ( n ( u n ) 一n ( 沪) ) v 铲，v d c p 一1 ) = q 1 + q 2 q 。：n - 1 a t ( ( n ( 乱n ) 一n ( u n ) ) v 百n ，v 竺二芸 )q = ( ( n ( 乱n ) 一n ( u n ) ) v 铲，v 等) 2 三( ( n ( u 卜。( ) v 妃v p l ) 一薹 ( ( n ( 让n ) 一n ( u n ) ) v 矿，v n ) = ( ( n ( u n - 1 ) 一。( u 一1 ) ) v 画一1 ，v ) 一( ( n ( 饥1 ) 一n ( 1 ) ) v 五1 ，v 1 ) 一( ( n ( “叶1 ) 一a ( u 什1 ) ) v 西蚪1 一( a ( u n ) 一o ( u n ) ) v 7 2 n , v 1 ) = ( ( 。( u n - 1 ) 一n ( u 一1 ) ) v u n - 1 , v ) 一( ( n ( 钆1 ) 一n ( u 1 ) ) v 面1 ，v 1 ) 础董( 鲨生坐芸坐生型v 矿- + v 面n + 1 一v 面几 a t ( n ( 乱n ) 一n ( u 竹) ) ，v 1 ) 利用中值定理和s 一不等式( 参见定理【1 2 8 】) 可以得到下面的估计： ( ( 。( u n - , ) 一。( u 一1 ) ) v u n - 1 , v f ) 一( ( n ( u 1 ) 一。( u 1 ) ) v 面1 ，v f l ) e i 睡旧+ c l l u 一1 一u 一1 l i + c ( 1 l 1 旧+ i i 矿1 1 2 ) = e 畸+ c 忖一1 + a t 一2 c a tf z n = 1 也p ) i l + c ( 1 2 + 1 1 , 7 1 1 2 ) ( i i 也n i l 2 + i l 也矿1 1 2 ) + e i k 旧+ c ( 1 l 1 幅+ i i7 7 1 1 1 2 ) 并且由多元函数中值定理及假定条件可得： 1 2 n 一2 亡f j ：一 l r l = 1 + a ( u 1 ) 一o ( 沙“)a ( u n ) - t - a ( u n ) v 豆n + 1 一v 面n a t a t ( n ( u n ) 一n ( u 扎) ) ，v p l ) v 矗- + i ( 2 1 4 ) ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) 第二章带记忆的双曲型积分一微分方程的交替方向有限元格式 所以， 一2 c a t ( 1 1 , t c 几1 1 2 + i i 也矿| | 2 + f 悟n i l 2 + i i 矿i 2 + i i 刑1 惦+ l l 矿+ 11 1 2 ) ( 2 1 7 ) n = 1 q e i i f l l ；+ c ( j l f l l i ；+ i l 叩1 | 1 2 ) + c a t n - - - - 1 ( i j d t f n | | 2 + | i d t 7 7 几i | 2( 2 1 8 ) + i k