（光学专业论文）基于压电性能的石英晶体声学性质研究.pdf

摘要 摘要 声光技术是6 0 年代初激光器问世后兴起的一门边缘科学和实用技术。由于 石英晶体本身良好的物理性质，使其在现代声光技术的发展中一直都占有重要的 地位。本文基于压电性能对石英晶体声学性质进行了系统的讨论和研究。 首先，本文对重要物理参数进行系统的研究与推导：解释并且推导石英晶体 压电效应和反压电效应；推导并证明压电系数矩阵的相互转换关系；推导并证睨 压电性能对石英晶体其它物理性能的影响；剩用坐标转换的方法推导出石英磊体 的劲度系数矩阵、压电系数矩阵、绝对介电系数矩阵的形式。 其次，本文讨论了石英晶体在体波声光器件中的应用：利用本征体波晶体声 学基本方程计算三个坐标平面压电修正前后静倒速度益线，并且利用压电增劲体 波晶体声学基本方程系统的计算了相应的机电耦合系数。根据最佳切割方向的选 取条件，结合计算数据，褥到石英晶体作为体波声光器件的换能器时，分别激发 级波和切变波的最佳切割方向。 最后，本文讨论了石英晶体在表面波声光器件中的应用：从本征表面波晶体 声学基本方程和边界条件方程入手，对退耦平面进行求解，计算压电修正前后的 表面波倒速度。然爱通过对压电增韵表面波晶体声学基本方程的求解，得到石英 晶体作为表面波声光器件基底时的最佳切割方向。 本论文的研究和讨论对石英晶体在实际的生产制造工艺技术中的应用以及 石英晶体理论研究方藤都提供了重要的理论指导和科学依据。 关键试番英晶体，压电效应、声体波、声表面波 北京工业大理学硕士学位论文 a b s t r a c t a c o u s t o - o p t i ct e c h n o l o g ys p r a n gu pa tt h eb e g i n n i n go f19 6 0 s ，a f t e rn a i s s a n c eo f t h el a s e r a sh a v i n go u t s t a n d i n gp h y s i c a lc h a r a c t e r s ，q u a r t zm a t e r i a li sp l a y i n ga n i m p o r t a n tr o l e i nm o d e ma c o u s t o o p t i ct e c h n o l o g yd e v e l o p m e n ta l lt h et i m e ，n l e p a p e rm a k e sas y s t e m i cr e s e a r c ha n ds t u d y o nt h ea c o u s t i cp r o p e r t yo fq u a r t zm a t e r i a l b a s eo ni t sp i e z o e l e c t r i cc h a r a c t e r f i r s t l y , m a k et h es y s t e m i ca n dt h e o r e t i ci n v e s t i g a t i o no fk e yp h y s i c a lp a r a m e t e r e x p l a i na n de d u c et h ep i e z o e l e c t r i ce f f e c t e d u c ea n dp r o v et h ee x c h a n g er e l a t i o n s h i p a m o n gd i f f e r e n tp i e z o e l e c t r i cm a t r i x e d u c ea n dp r o v et h ec h a n g eo no t h e rp h y s i c a l p a r a m e t e r so fq u a r t zm a t e r i a li n f l u e n c e db yp i e z o e l e c t r i ce f f e c t e d u c et h em a t r i x f o r m so fe l a s t i cs t i f f n e s sc o e f f i c i e n t , p i e z o e l e c t r i cc o e f f i c i e n ta n dp e r m i t t i v i t yo ft h e q u a r t za c c o r d i n gt oi t sc r y s t a ls y m m e t r yu s i n gc o o r d i n a t ec o n v e r s i o np r i n c i p l e s e c o n d l y , f o c u s0 1 1t h ea p p l i c a t i o no fq u a r t zi nb u l k - a c o u s t i c - w a v e ( b a 聊 a c o u s t o - o p t i cd e v i c e ( a o d ) c a l c u l a t ec u r v e so fa c o u s t i cr e c i p r o c a lv e l o c i t yb e f o r e a n da f t e rc o n s i d e r i n go ft h ep i e z o e l e c t r i ce f f e c ti nt h r e ec o o r d i n a t ep l a n e s ，u s i n gt h e b a s i cb a wa c o u s t i ce q u a t i o no ft h eq u a r t zc r y s t a l e l e c t r o m e c h a n i c a l c o u p l i n g c o e f f i c i e n t so ft h r e ea c o u s t i cw a v em o d e si nt h et h r e ec o o r d i n a t ep l a n e so ft h eq u a r t z a l ec a l c u l a t e ds y s t e m a t i c a l l y t h e nd e t e r m i n et h eo p t i m u mc u td i r e c t i o no ft h eq u a r t z c r y s t a l ，a sat r a n s d u c e ro ft h eb a wa o d ，f o rl o n g i t u d i n a lw a v ea n ds h e a rw a v e r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , f o c u so nt h ea p p l i c a t i o no fq u a r t zi ns u r f a c e a c o u s t i c - w a v e ( s a w ) a o d u s i n gt h es a wa c o u s t i ce q u a t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o ne q u a t i o n so ft h eq u a r t z c r y s t a l ，c a l c u l a t ec u r v e so fa c o u s t i cr e c i p r o c a lv e l o c i t yb e f o r ea n da f t e rc o n s i d e r i n go f t h ep i e z o e l e c t r i ce f f e c ti nt h ed e c o u p l i n gp l a n e t h e nd e t e r m i n et h eo p t i m u mc u t d i r e c t i o no ft h eq u a r t zc r y s t a l ，a sab a s eo ft h es a wa o d k e y w o r d ：q u a r t zc r y s t a l ，p i e z o e l e c t r i ce f f e c t , b u l k - a c o u s t i c - w a v e ，s u r f a c e a c o u s t i c - 、a v e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 躲婢嗍掣：l 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论支。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲鹕镪导师躲日期训j 7 。小 绪论 第1 章绪论 1 1 声光技术的研究动态 声光技术是6 0 年代初激光器问世后兴起的一门边缘科学和实用技术。由声 光互作用原理形成的器件，广义上可分为声光调制器、声光偏转器、声光滤波器。 声光器件的特点：体小量轻，驱动功率小、衍射效率高、调制度深、长期稳 定性好、时间带宽积大、易于与计算机兼容和自动化控制，是一种理想的军民兼 用的光电子器件【l 。5 1 。 声光技术的作用和地位：在激光发射、接收、传输控制及各种光信息处理中， 声光器件的作用是对激光束的相位、频率、振幅或强度进行调制，忠实地完成电、 声、光信息的传递和转换；可随机改变激光束的传播方向，实现对光束的快速选 频、分光、扫描。其地位是现代光、机、电一体化的高、精、尖精密系统、设备、 仪器信息处理的心脏，在相关的军事系统和民用系统中具有举足轻重的位置。 自1 8 1 6 年发现弹光效应以来，1 9 3 2 年美国d e b y e - s e a r s 及法国l u c a sb i q u a r d 完成了声光衍射的实验论证，1 9 4 8 年b a gu r a n t h 和r a o 得到了声光布喇格衍射 实验结果。然而，由于当时受到科学技术的限制，声光器件没有多少应用价值。 6 0 年代初激光器的诞生重新推动了声光技术的开展。3 0 多年来，仅美国就有1 0 多个公司一直从事该领域与的研究与应用工作，其中较为有名的有：i s m e t 、 h a r r i s 、a n d e r s o n 、i n a r d 、i n t r a a c t i o n 、c r y s t a lt e c h n o l o g y 、b r o m r o s 等。此外， 日本、俄罗斯、法国、加拿大等国也具有一定的研制水平。 声光调制器的品种繁多，工作频率从4 0 一- 8 0 0 m h z 均有产品。具有代表性的 各种档次如：i s o m e r 公司1 2 1 1 型，工作频率1 0 0 m h z ，衍射效率 8 0 ，光学透 过率 9 7 ，调制带宽 1 0 m h z 。i n t m a e t i o n 公司a o m l 2 5 b ，工作频率1 2 5 m h z ， 消光比 1 0 0 0 ：1 ，上升时间1 6 n s 。c r y s t a lt e c h n o l o g y 公司3 1 0 0 型，工作频率 1 1 0 m h z ，上升时间1 7 n s ，重复率1 0 m h z ：3 2 0 0 型工作频率2 0 0 m h z ，上升时间 8 n s ，衍射效率 6 0 ；3 5 0 0 型工作频率5 0 0 m h z ，上升时间最小4 n s ，视频调制 带宽最大为1 2 5m 】- - i z ，效率6 5 。阵列式声光调制器，m c 4 0 0 系列信道数为3 2 ， 光学范围4 8 8 6 3 3 n m ，衍射效率3 0 - - 一5 0 ，信道隔离 ，3 0 d b 。用于激光锁模 的声光锁模器，典型产品如：i n t r a a c t i o n 公司的m l 5 0 q 和m l l 0 0 q ，中心频率 北京工业大理学硕士学位论文 为5 0 - - - 1 0 0 m h z ，衍射效率5 0 。声光q 开关主要应用大功率激光器的测距机、 加工机等，工作效率不允许做得太高，普遍为2 4 - - - 5 0 m h z ，但透过率必须 9 9 ， 衍射效率1 0 6 k t m 时约4 0 ，如a o s 一- 2 4 4 系列、a q s 2 4 7 系列、5 1 0 0 系列等。 声光偏转器主要介质材料是：t e 0 2 、p b m 0 0 4 、l i n b 0 3 、g a p 等晶体，6 0 - - - 7 0 年 代中期的水平大概为：中心频率6 0 - - - 8 0 m h z ，2 d b 带宽3 0 一- , 5 0 m h z ，峰值衍射 效率 7 0 ，渡越时间5 - - - 8 0 i _ t s ，分辨点数4 0 0 - - 4 0 0 0 ，扫描速率2 0 - - - 4 0 k h z 。 如i n t r a a c t i o n 公司a d m l5 0 系列，c r y s t a lt e c h n o l o g y 公司4 0 5 0 型和4 0 7 5 型。 7 0 年代后期以来，围绕着雷达警戒接收机用声光频谱分析仪，大容量声光偏转 器进展迅猛，成果累累。研制水平为：1 9 8 1 - - - , 1 9 8 3 年l i n b 0 3 高频偏转器中心频 率1 g 1 4 _ z ，带宽o 5 g h z ，孔径时间0 6 - - - 5 邺，时间带宽积1 5 0 - - - 1 0 0 0 。美国c r y s t a l t e c h n o l o g y 公司的4 1 0 0 系列。1 9 8 4 年声光偏转器中心频率达到1 0 - - 2 0 g h z ， 带宽0 5 - - - 1 0 g h z ，衍射效率 4 0 w ，孔径时间o 1 0 5 p s ，时间带宽积3 0 0 - - - 1 0 0 0 。如4 1 5 0 0 系列、4 2 0 0 0 系列，并已能批量生产。1 9 8 7 年，i c p o u c o t 等人 报道了带宽 2 0 g h z 的布喇格器件，到了1 9 8 8 年，i c c h a n g 给出了中心频率 4 2 g i - i z ，带宽 2 0 g h z ，衍射效率1 0 0 w 实验结果。同年，d p e n u n u r i 从生产 工艺研究的角度报道了采用l i n b 0 3 换能器等离子刻蚀技术制作带宽达到2 3 g h z 的高频声光布喇格器件，使声光技术进入了最高水平睁1 2 1 。 1 2 声光器件简介 1 体波声光器件 体波声光器件的结构如图1 1 【1 1 所示，它主要由三个部分组成，即声光介质 声与光相互作用的“公共场所”；压电换能器将信号转换为超声信号并 与光相互作用的“变换器 ；驱动电子线路信号收与发的射频功率源。 2 r li 夥 i i o ， l f 、彳 篡掬 声光介r l 一： 妄! ! 墼堡蔓垄 眨 人口号i 光惆利t t - 1 1 驱动线奠 图1 1 体波声光器件结构 f i g u r e1 1s 仃u c t l 】r eo f t h eb a wa o d 其工作原理简述为：驱动源将射频功率信号输入到换能器，换能器将电子信 号转换成超声信号并传输到声光介质中。介质因受机械应力波作用引起弹光效应 而改变折射率，形成超声光栅。激光束入射到介质内发生与声的相互作用而改变 传输方向，产生衍射。当信号随时间变化的交为流量时光载波的强度受到调制； 当信号随相位或频率变化时，光载波产生频移而偏转、选频、分光【9 。1 0 】。 2 表面波声光器件 声表面波是一种只能在固体表面传播的弹性声波，其能量大部分集中在表 面以下深度约为几个波长的范围内。 叉指换能器( i n t e r d i g i t a lt r a n s d u c e r , i d t ) 的设计是声表面波器件设计的关键， 下面以声表面波滤波器为例进行说明。声表面波滤波器的基本结构是在具有压电 特性的压电基片材料抛光面上制作两个叉指换能器，它采用半导体集成电路平面 工艺，在压电基片的表面蒸镀一定厚度的铝膜，把设计好的两个叉指换能器的掩 膜图案利用光刻方法沉积在基片表面，分别作为输入换能器和输出换能器。 输出换能器 图1 - 2 表面波声光器件结构 f i g u r e1 - 2s u u e t u r eo f t h es a wa o d 叉指换能器的工作原理是：当基体左端的换能器( 输入换能器) 的两个端子 北京工业大理学硕士学位论文 加上时变电压激励时，在压电介质内产生时变电场，由于基体是压电介质，这个 时变电场通过压电效应在基体内激发相应的弹性声场，就把输入的电信号转变成 声信号，形成沿基体表面传播的声表面波，然后基体右端的换能器( 输出换能器) 后又将到达的声信号转变为电信号输出。换能器构造见图1 - 2 1 2 2 e q 。 1 3 声光技术的应用及发展趋势 声光技术的发展自激光技术问世以来已有3 0 多年的历程，至今仍处于蓬勃 发展的阶段。体波声光器件中心频率6 0 g h z ，带宽 3 g h z 的目标在美国已拟定 开发实施中，其生命力之一就是该技术在电子站情报搜集、雷达警戒、卫星遥感 等军事应用的优越性。8 0 年代中期全光纤新型声光器件的开发，拓宽了声光技 术的应用领域，为光纤陀螺、水听器、延迟线等光纤传感器在国防系统得实用化 提供了先进的可靠手段。声光技术在民用方面的应用己为世人所瞩目，获得了显 著的经济效益，激光打字机、图文照排机、电子分色机、激光加工机、可调光谱 仪、超短脉冲激光器等，直接采用声光技术的设备、仪器，世界年销售量达数十 万台以上。在军事方面的应用，除了上述列举的几个方面外，军事光纤通讯、时 域反射计、激光对抗机、红外外差合成雷达、兵团大屏幕显示以及光计算机等系 统，如今采用声光技术亦屡见不鲜【2 7 。3 1 1 。 开发频率更高，带宽更宽的声光布喇格器件，用以满足现代电子对抗的需 要。对以形成中心频率 1 g h z 的声光期间，衍射效率和串音是两个互为矛盾的 参数。为了提高接收机的灵明度，对衍射效率的指标希望高一些，由此声光非线 性效应即交叉调制和互调制构成的串音也会增加，影响到接收机的动态范围。为 此，改进器件的设计，特别是相位阵列的换能器结构设计，改善对输入信号的线 性调频和加权技术已成为工程系统中迫切解决的问题。同时，努力发掘新的声光 材料，提高声光优值，减少高频损耗，开发中心频率6 0 g h z ，带宽 3 0 g h z 的 工作，在美国已列入研究计划【3 1 3 5 】。 全光纤新型声光器件的开发，使之用于光纤传感系统中。由于光纤传感器 能对稳定、压力、电场、电压、电流等6 0 多种物理量和化学量进行高灵敏度精 确测量，引起了各国的重视，特别是光纤脱落、水听器、延迟线等器件军方尤为 注目。用现有分离式体波声光器件完成各种试验虽然很成功，但由于不能构成全 系统的封闭，机械稳定性差，插入损耗大，而且在大带宽条件下工作，光的耦合 4 绪论 相当困难。8 0 年代中期，美国科学家率先提出了在光纤上制作声光器件，以解 决在光纤通道内直接对导光波调制的设想。美国斯坦福大学1 9 8 8 年首次报道了 全光纤声光频移器，声光相位调制器的研究结果，推动了这一声光技术新领域的 开发，许多原来从事集成光学、光纤和光纤传感器的公司、单位已经转向开发全 光纤声光器件。预测本世纪这一趋势将会更加蓬勃的得以发展和广泛应用 3 6 4 1 1 。 1 4 本论文研究的内容及意义 首先，本文将引入压电修正劲度系数的概念，并且利用石英的压电系数和介 电不渗透系数计算石英晶体的压电修正劲度系数。 其次，本文将利用m a t l a b 数学软件系统计算石英晶体3 个坐标平面内的本 征体波、压电修正本征体波倒速度曲线，并通过计算3 个坐标平面内的机电耦合 系数，确定体波声光器件石英换能器最佳切割方向。 最后，系统计算石英晶体退耦面内的本征声表面波倒速度曲线，并通过计算 退耦面内的机电耦合系数，确定表面波声光器件石英基底最佳切割方向。 1 5 本章小结 声光技术的发展自激光技术问世以来已有3 0 多年的历程，至今仍处于蓬勃 发展的阶段。 本文将会着重于石英晶体压电性能的基础声学性质研究，对使用石英晶体作 为体波声光器件的换能器和表面波声光器件的基底都具有指导性意义。 北京工业大理学硕士学位论文 第2 章石英晶体的物理性质 石英晶体之所以能够成为重要的声光介质，原因就在于它拥有独特的物理结 构和对称性1 3 3 l 。本章就重点研究一下石英晶体的物理性质，先从结构入手，然后 根据物理结构进一步说明其对称性质。 2 1 石英晶体的结构和对称要素 1 、石英晶体的结构 石英晶体属于三方晶系，3 2 晶类1 3 5 6 1 。下面对它的这种归类方式做进一步 的解释说明。 ( 1 ) 晶胞参数 晶体内部所有阵点在空间按一定规则排布，其中由阵点组成的最小空间结构 称之为晶胞，晶胞一般为平行六面体结构。晶胞的晶轴设为a 、b 、c 。晶胞参数 包括轴单位和轴角这两个概念。轴单位是指晶胞组成的平行六面体的三个棱长 口o 、6 0 、c o 。轴角则是指晶轴a 、b 、c 相互之间的夹角口、夙y o 本论文所研究 的石英晶体的轴单位a o = b o = 印，同时轴角口= = ，9 0 0 ，这种棱长相等但是不 互相垂直的晶胞结构就属于三方晶系。图示可参见图2 1 。 图2 - 1 石英晶体的晶胞 f i g u r e2 - 1t h ec e l lo f q u a r t zc r y s t a l 现在要在石英晶胞上建立物理坐标系，建立后的效果如图2 2 所示，具体建 立方法为：以晶胞较长的体对角线为z 轴，体对角线中点设定为物理坐标原点。 6 第2 章石英晶体的物理性质 ! m m ： mm。皇曼曼曼皇曼曼皇曼! 曼曼曼! 曼! 皇曼鼍皇曼曼皇曼鼍鼍皇皇曼皇曼皇寡曼皇曼皇曼蔓曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼蔓曼曼曼! 曼曼皇曼曼皇舅 现在俯视z 轴，使z 轴在俯视面内成为一个点，则该俯视面即为砂轴所在平面。 因为石英晶体晶胞的空间几何结构为一个边长相等的平行六面体，具有八个阵 点。则晶胞在俯视图中，除去两个投影重合的阵点外，其它六个阵点的投影在 砂轴所在平面内均匀的成圆周分部，如图2 3 所示，图中将源自不同平面的阵点 的投影用不同的图样标记。接下来设y 轴为过六个不重合的阵点投影中任意一个 投影的射线，而z 轴只要与少轴垂直即可，由几何关系可知，所建立的z 轴应是 与其相邻的两个阵点投影连线的垂直平分线。 x 图2 2 石英晶体晶胞的物理坐标系 f i 母珊2 - 2p h y s i c a lc o o r d i n a t ei nt h ec e l l o fq u a r t zc r y s t a l 2 、石英晶体的对称要素 ( 1 ) 光轴( 一个) ：z 轴，三度轴 图2 - 3 石英晶体晶胞中z 、y 轴的选取 f i g u r e2 - 3s e l e c to fxa x i sa n dya x i si nt h e c e l lo f t h eq u a r t zc r y s t a l 当且仅当晶胞以z 为轴，旋转1 2 0 。后，与旋转前的空间结构完全重合。以 阵点a 为例，使它以z 为轴旋转1 2 0 。，将旋转到口，点，而a 与a 点都属于同一 空间截面，旋转后晶胞空间位置及形状不会发生变化。由此，称z 轴为光轴，且 为三度轴，即为3 2 晶类中3 的含义。该操作的空间及俯视面示意图可参见图2 - 4 。 7 北京工业大理学硕士学位论文 图2 - 4 石英晶体的三度旋转轴( z 轴) f i g u r e2 - 4t h r e e f o l dr o t a t i o na x i so fq u a r t zc r y s t a l ( za x i s ) ( 2 ) 等同对称轴( 三个) ：a 、b 、c ，为二度轴 当晶胞以x 轴为对称轴旋转1 8 0 。后，与旋转操作前的空间结构完全重合。 对称操作的空间和平面示意图可参见图2 - 5 。故与工轴等同的a 、b 、c 轴都是石 英晶胞的二度轴，可参见图2 - 6 。 a0 一l 心 一- 7 弋_ 图2 - 5 石英晶体的二度旋转轴( x 轴) f i g u r e2 - 5t w o f o l dr o t a t i o n a x i so ft h eq u a r t zc r y s t a l ( xa x i s ) ab c 图2 - 6 石英晶体的a 、b 、c 轴 f i g u r e2 - 6a ，b ，ca x i s0 ft h eq u a r t zc r y s t a l 8 第2 覃石英晶体的物理性质 mm mml l 皇曼皇曼曼曼曼曼曼皇曼皇曼曼曼曼曼! 曼曼! 曼曼曼曼曼皇量曼曼舅曼曼曼曼皇! 曼曼曼曼量曼曼曼! 曼曼量曼 在以上分析中注意到，口、6 、c 轴在晶胞中所处的位置与在晶胞上建立的物 理坐标系中的x 轴相吻合，即在俯视面内，它们都是与其相邻的两个阵点投影连 线的垂直平分线。所以可以得出，工轴是石英晶胞的二度轴，也就是3 2 晶类中2 的含义。 ( 2 3 ) 坐标变换 因为x 为其二度轴，即对其进行以x 为轴旋转1 8 0 。操作后，仍与原来重合。 也就是说，如果对c 矩阵进行以工为轴逆时针旋转1 8 0 。操作的坐标变换，其经 过变换后的矩阵应该与变换前的矩阵完全相等。在晶体物理学中，三阶方阵a 和由a 进一步构造的六阶方阵m 都称为坐标变换矩阵，根据需要进行坐标变换 的矩阵形式的不同来选用彳或m 来对其进行变换。坐标变换的目的就是为了充 分利用晶体的对称性，使原矩阵形式得到简化，从而方便以后的研究和计算。 首先，先来构造坐标变换矩阵彳和m 。 坐标变换矩阵a 的生成规则口3 ： h a l z a l ，、l a = l 口2 l 口2 2 口2 3l ( 2 - 1 ) i 口3 。口3 2口3 3j 其中： a j ：第f 个新轴与第j f 个旧轴夹角的余弦 由彳构造矩阵地m 的生成规则为： m = 彳中各元素同一行 彳中各元素的平方 余下两元素之积2 彳中各元素同一列删去彳中各元素所在行 余下两元素之积和列余下的叉积和 ( 2 - 2 ) 这样，就可以利用矩阵彳和竹对不同阶数的系数矩阵进行坐标变换了。利 用石英晶体的对称性质，利用坐标变换矩阵彳和肘可以得到描述石英晶体各物 理性质矩阵的具体简化形式。 2 2 石英晶体的力学与介电性质 9 北京工业大理学硕士学位论文 1 、劲度与顺度系数 在对晶体性质的描述中有两个常用的参数，丁和s ，分别表示晶体产生的形变 和被施加的力，并且均为6 1 阶矩阵。显然，这一组参数存在着相互转化的关系， 可用如下公式表示3 1 ： 弘岱 ( 2 - 3 ) s 爿丁 ( 2 - 4 ) 其中， 系数c 和名分别被称为劲度系数和顺度系数，均为6 6 阶矩阵。由以上两 公式容易推知，c = 万1 ，即劲度系数和顺度系数互为逆矩阵。 下面计算石英晶体的劲度系数矩阵c 的具体形式，由于石英晶体的对称性， 该矩阵为6 6 阶的对称方阵，即： c2 q 3q 4 缸 c 3 3岛4 锄钆 c 3 5c 4 5 q 6 因为c 为六阶方阵，所以选取m 对其变换，且变换前后矩阵相等。 m c m = c 00 000 1o000 0l0oo 0010o 0 0010 o 0001 q 3 c 3 3 c 3 4 c 3 5 c 3 6 ( 2 - 5 ) 10 o o00 o1o 000 o 01o00 0 0 0100 o0 0010 00 000一l 利用线性代数中，左乘初等矩阵进行行变换，右乘初等矩阵进行列变换的性 质很快便能得到： i o 6 6 6 6 6 6印彩印跏跏酗 5 5 5 ， 5 6西勿白臼仍彩 2 2 3 4 5 6q乞龟乞吃乞钆钆 印彩跏跏彩印 5 5 ， 5 5 6 所以白“岛彩印伽印甜彩跏印彩印劬彩彩 l 2 3 4 5 6向白向西向白 第2 章石英晶体的物理性质 篁曼! 皇曼量! 曼曼蔓曼曼曼曼曼! 曼曼曼曼皇曼鼍i _ m lm _ _- - - - 皇曼曼皇! 曼! 曼曼葛 即： c = 得到： q l c 1 2 c 1 3 c 1 4 。c 1 5 。c 1 6 q 5 c 2 5 c 3 s c 4 5 c 5 5 白6 c 1 3 c u c 3 3 c 3 4 。c 3 5 。岛6 q 4 c 2 4 c 3 4 c 4 4 。气5 c 4 6 。q 5 。c 2 5 。c 3 s 。c 4 5 c 5 5 c 5 6 。q 6 。c 2 6 。c 3 6 。c 4 6 c l1 2 口1 l ，c 1 2 = c 1 2 ，c 1 3 = c 1 3 ，c 1 4 = c 1 4 ，q 1 2 q l ，c 2 2 2 c 2 2 ，c 2 3 = c 2 3 ，c 2 4 - - - - c 2 4 ，c 3 3 2 句3 ， c 3 4 = c 3 4 ，c 4 4 2 d ，c 5 5 = c 5 5 ，c 5 6 - - c 5 6 ，c 6 6 = c 6 6 ； c 1 5 2 。c 1 5 ，c 1 6 。c 1 6 ，c 2 5 2 q 5 ，c 2 6 2 c 2 6 ，c 3 5 2 c 3 5 ，c 3 6 2 c 3 6 ， “5 2 。“5 ，“6 2 。c 4 6 可见，c 1 5 、c 1 6 、q 5 、c 2 6 、c 3 5 、c 3 6 、“5 、的值均为零。 所以，劲度系数矩阵c 简化为： c 2 又因为z 为其三度轴，即对其进行以z 为轴旋转1 2 0 度操作后，仍与原来重 可以得到相应的坐标变换矩阵，为： l l 钆廊彩彩彬跏形 5 5 5 5 i ，q乞勺气；都彩彬彬筋筋 印伽印阱彩廊 3 3 3 4 ” m印劬印聊影影印彩印劬彩彩 地 翘 m ，哩 馕印彩印劬彩彩 l 2 3 4 比 印印印印都都 印彩印跏跏搿印彩印细彩踟 3 3 3 4 5 6q 乞巳q 巳气 2 2 3 4 5 6气乞乞乞乞乞 l 2 3 4 5 6白磊a臼所白 0 0 0 0 o o o o 4 4 4 4 钆q o 0 3 3 3 4 钆0 0 龟0 0 l 2 3 4 龟吼0 o 北京工业大理学硕士学位论文 有： a = 一三笪o 22 一鱼一三o 22 o o1 继而构造m 矩阵： m = 1 _ 4 3 - 4 0 3 4 1 _ - 4 o 000 00o 100 压 2 压 2 o ooo 一三一鱼o ：z2 ooo 鱼一!o 鱼一笪ooo一! 再次利用公式2 - 5 - m c 府= c 注意到c 为对称方阵，所以可以仅对方阵右上角进行计算， c - - = ( 4 1 - - c 1 1 q - 三c ，2 ) i 1 + c i lc ，2 + 三c 娩) 詈+ ；c 酌； 钆= ( 1 c 1 1 t - 扣寻+ i 1 啦+ 扣石1 一百3 ； 13 c 1 32 - c 1 3 + c 2 3 ； 铂= c 扣号训抄知； = c 扣知鱼2 + 蚝4 = o ； = ( 1 c n + 知笪2 (扣i 3 勉) 笪2 + 笪4 驴。； 1 2 第2 章石英晶体的物理性质 皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼鼍曼皇- 一 ； ； 一i ；i 一一i j m 皇 饧= ( 三c t + 丢c 2 ) i 3 + 、i 3c - 矿丢q 2 ) + 三c s 6 ； 31 q 3 2 i c l 3 + 石c 2 3 。 q 4 = ( 三c 4 + 百iq 4 c 圭，- 詈c s s ； q 5 = ( i 3c 1 4 + i 1q 4 )拿筚：o ； 24 。 晚6 = i 3c l l + 百1 牝) 笪2 - 百3c 1 2 + i 1 勉) 笪2 笪4 c 6 6 = c 3 3 2 c 3 3 ： 1 c 3 4 2 。互c 3 4 。 铲笪2 铀= 。； c 3 6 - - - - 0 ； 13 c 4 4 2 百铂+ 4 c 5 5 。 栌等铂+笪4 = 。： = x 插c - 4 + - 压v c 2 r v 压仍s = 。； 31 c 5 5 2 孑c 4 4 + i ； 331 白6 2 c 1 4 - 百q 4 + 百c 5 6 ； 州知- 括y 钆) 解方程可得： c 2 2 2 c z l ： c 知等勉， 1 + c 6 6 ； 4压丁石丁 北京工业大理学硕士学位论文 c 2 32c 1 3 ： c 2 42 。c 5 62 。c 1 4 ； c 3 32c 3 3 ： c 3 4 = 0 ； c 5 52c 4 4 ： 整理后，得到石英晶体劲度系数矩阵c 的最终形式： c l iq 2c 1 3 q 2c l lc 1 3 c 1 3c 1 3c 3 3 q 4 - q 4 0 0o0 000 c 1 4 00 一c 1 4 00 0oo c 4 4 00 0 ( 2 4 4q 4 0 c 1 4 c 6 6 通过查阅石英晶体物理参数表啪3 ，可知，其中： c l l = 8 6 7 4 x1 0 l on m 2 c 1 2 = 0 6 9 9 x1 0 1 0n m 2 c 】3 - 1 1 9 1 1 0 1 0n m 2 c 1 4 = 1 7 9 1 1 0 1 0n m 2 c 3 3 = 1 0 7 2 x1 0 l on m 2 c 4 4 = 5 7 9 4 x1 0 l on m 2 c 6 6 = 3 9 8 7 5 x1 0 l on m 2 2 、介电与介电不渗透系数 ( 2 - 6 ) 对于电位移矢量d 和电场强度e ，它们分别是3 1 和1x3 阶矩阵，有以下 公式： d = s e ( 2 - 7 ) e = ；o ( 2 8 ) 其中， 占和分别为介电系数和介电不渗透系数，均为3 3 阶矩阵，并且易知屿 互逆。 1 4 第2 章石英晶体的物理性质 下面计算石英晶体介电系数矩阵的具体形式，它为对称方阵。设为： g 供兰 根据介电系数矩阵的形式，利用坐标变换矩阵a 来推导。即： 彳s a = 占 由于z 为其二度轴， ，l0 a = l0 1 i l o 0 得到： 6 1 1 = q l ，6 2 22 ，e 2 3 2 6 2 3 ，岛3 2 6 3 3 ， q 2 2 6 1 2 ，q 3 2 一毛3 由此， q 2 - - 8 1 3 = o 介电矩阵变为： f = 睢0 曼 z 为其三度轴，有： 1 5 ( 2 - 9 ) 、 0 0 1 、 0 o o 0 o 0 1 0 0 3 3 3气乞毛 2 2 3气乇龟 q q q，。_、，、 o o o o q o 1 0 o j，。一 = 3 3 3气岛毛 2 2 3气如乞 l 2 3q 毛q ，_ = 、，、吒吒 1 1 北京工业大理学硕士学位论文 a = 一三笪o 22 一鱼一! o 22 001 由2 - 9 式：占：彳s j ：占 占= 一! 鱼o 22 一鱼一三o 22 00】 计算矩阵右上角，得到： 1 3 毛- 早百8 h + i - 铲等”鱼4 铲。 铲孚铲。， 8 2 2 = 署”三锄2 iq - + 百锄 1 乞，- 一五， 解方程得到：毛1 = 8 2 2 ，s 2 3 = 0 由此得到介电系数矩阵： 占= 睢0 兰0 占= i q 。 l 【o o 岛，j 1 6 1 2 压 2 o ( 2 - 1 0 ) o 0 毛o 0 ，。- 第2 苹石买晶体的物理性质 通过查阅石英晶体物理参数表啪1 ，可知，其中： q 1 = 3 9 9 7 x1 0 。1 2f m q 3 = 4 1 0 3 x1 0 。1 2f m 下面一节将看到以上两组力学量和电学量在一定条件下是存在相互转化的 关系的，而这个引起转化的条件就是压电和反压电效应。 2 3 石英晶体白锰电性质 1 、压电效应简介 羼 p 1 1 ) 1 7 北京工业大理学硕士学位论文 ( 2 ) 各压电、反压电系数间的关系 借助以上两组公式，以及c 和占为对称矩阵的性质，可以推导出组内任意两 个系数间的关系。 1 ) p 与d ，每与矿的关系 由压电效应表达式d = e s ，d = d t , 容易得到e s = d t 。 再由( 2 3 ) 式，得到： e = d c ( 2 - 1 3 ) 百= 葫= c 孑( 2 1 4 ) 由于c = 2 。1 得到： d = 花 ( 2 - 1 5 ) 2 ) p 与h ，蚕与石的关系 由压电效应表达式d = e s ，e = h s 和( 2 - 7 ) 式，得到：- p = c h ( 2 - 1 6 ) 舌：石占( 2 1 7 ) 因为占= 一1 得到： h = 爸p 3 ) p 与g ，否与喜的关系 由压电效应表达式d = e s ，e g 丁和( 2 - 3 ) ，( 2 - 7 ) 式，得到： e s = 6 9 t = 6 9 c s 进而得到： e = e g c 龟= c 誊 因为：占= 一，c = 2 。1 得n - ( 2 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 2 0 ) 第2 章石英晶体的物理性质 雷= 兄印 ( 2 - 2 1 ) 4 ) d 与h 的关系 由压电效应表达式d = 刀， d = 6 h 2 , a ：九毳 因为：s = ，c 爿1 得到： h = c d p 5 ) d 与g 的关系 由压电效应表达式d = 刀， d = 6 9 d = 季占 e = h s 和( 2 3 ) ，( 2 - 7 ) 式，得到： e = g r 和( 2 - 7 ) 式。得到： ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) 因为s = - 1 得到： 季= d 夕 ( 2 2 7 ) 6 ) h 与g 的关系： 由压电效应表达式e = h s ，e = g 丁和( 2 3 ) 式，得到： h = g c( 2 - 2 8 ) h = 喀( 2 - 2 9 ) 因为c = 2 。1 得到： 雷= 2 h ( 2 3 0 ) 通过上述推导，得出了系数之间相互转化的关系，能够很便捷的从己知的系 数矩阵出发，计算出想得到的未知的系数矩阵。在下面的计算中就会用到这种方 法。 下面计算石英晶体压电系数矩阵的具体形式，因为口的矩阵形式为3 x6 阶 1 9 北京工业大理学硕士学位论文 矩阵，利用彳矩阵和m 矩阵进行推导，即： a e m = e( 2 3 1 ) 同样，由于x 为其二度轴，可得坐标变换矩阵彳及由a 构造的矩阵m a = 1o 01 00 1o 01 00 0 0 00 o 0 e = 彳e m = e ，1 l e = 10 l ( d 000 oo0 ooo 1oo 010 o01 0o 一10 01 fq lq 2q 3巳4q 5龟6 l 乞l p 2 2e 2 4乞5p 拍 l e l e 3 2e 3 3e 3 4e 3 5e 3 6 有： r ，巳l 白2 q 3e 1 4一巳5一q 6 l e 2 l 一屹一一p 2 4 e 2 5p 2 6 l 一巳l 一乞2一白3一p 弘吃5p 3 6 得到： 1o 0 o00 010 oo0 o010oo o 0 010o o o 0 o一10 0 00001 fq lq 2巳3巳4白5e 1 6 2 ie 2 1e 2 2 e 2 5e 2 6 , e 3 1e 3 2e 3 3e 3 4e 3 5e 3 6 e 1 1 = e n ，q 22 q 2 ，e 1 32 e 1 3 ，q 4 5 e 1 4 ，e 2 52 e 2 5 乞62 e 2 6 ，e 3 5 2 e 3 5 ，e 3 62 e 3 6 ， q 52 - 巳5 ，巳6 2 一q 6 ，e 2 1 2 - e 2 1 ，e 2 22 - e 2 2 ，e 2 32 e 2 3 ，e 2 42 - ，e 3 12 。岛l ， 吃2 2 e 3 2 ，e 3 3 2 - e 3 3 ，e 3 4 2 。 由此，可知白5 _ q 6 = e 2 1 - - - e 2 2 = e 2 3 = e 2 4 - - e 3 l = e 3 2 - - e 3 3 - - - - e 3 4 = o 从而， 0 0 一 o 0 1 0 o o e2 第2 章石英晶体的物理性质 f e l l q 2e