（外国哲学专业论文）哲学与数学史视域中的极限思想探析.pdf

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7 ) 的实无穷观和亚里士多德( 约公元前 3 8 4 - 3 2 2 ) 的潜无穷观分别成为了数学实无穷论者和潜无穷论者的主要依据。实 无穷、潜无穷两种无穷观对于极限思想的形成发挥了至关重要的作用，极限思想 在这两种无穷思想的往复更迭中发展的日趋完善。 微积分的建立极大地推进了极限思想的发展。牛顿( n e w t o n ，1 6 4 2 1 7 2 7 ) 、莱 布尼兹( l e i b n i z ，1 6 4 6 _ 1 7 1 6 ) 以无穷思想为据，从不同的角度运用了极限的思想和 方法创立了微积分，虽然他们的工作过多地依赖于直观，缺乏严密的逻辑基础， 但在他们开创出的新的数学领地上极限的思想和方法展现出了勃勃生机，他们的 努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础。 在微积分广泛应用的同时，对微积分的基础无穷小概念的解释不明确， 受到多方面的怀疑和批评，特别是来自英国克罗因的大主教、哲学家贝克莱 山东大学硕士学位论文 ( b e r k e l e y ，1 6 8 5 1 7 5 3 ) 的抨击，促使数学家们掀起了微积分乃至整个分析的 严格化运动。分析的严密化是从马克劳林( m a c l a u r i n ，1 6 9 8 一1 7 4 6 ) 、柯西 ( c a u c h y ，1 7 8 9 一1 8 5 7 ) 、阿贝尔( a b e l ，1 8 0 2 1 8 2 9 ) 、波尔查诺( b o l z a n o ，1 7 8 1 1 8 4 8 ) 和狄利克雷的工作开始，而由德国数学家魏尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s s ， 1 8 1 5 1 8 9 7 ) 进一步发展完成的。魏尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，定量 地刻画了变量的变化趋势，排除了以前极限概念中的直观痕迹，为极限思想在数 学科学中赢得了合法的席位，也为微积分提供了严格的理论基础。 极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新 的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想蕴涵的丰富的辩证 法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。借助极限思想， 人们由有限认识了无限，由“不变”认识了“变”，由直线形认识了曲线形，由 量变认识了质变，由近似认识了精确。极限理论的建立，使数学摆脱了许多与无 穷有关的悖论的困扰，对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解 决问题的能力都有极好的促进作用。 2 关键词：极限思想；悖论；无穷；微积分；辩证法 山东大学硕士学位论文 a bs t r a c t 舡ak 砌o f p l l i l o s o p h i c a la n dm a t h e i i l a t i c a li d e 鸟m e 如e l o p m 雠o f 龇l i r i l i t i d e ah 嬲u n d e 玛0 1 1 et t l r 优s t a g 髓础r y o ，d e v e l o p m e n t 锄di m p r o v e m e n t t h e r ei ss 0 m u c he 仃o r tw h i c hp h i l o s o p h e r 锄dm a m e m a t i c i 锄sh a db e e i lm 描n gf o ri i lt l l el o n ga n d t o r t u o u se v o l u t i o n a lp m c 嚣s ，w i t l l l es t l i n eo fh u m 蛆s w i s d o m t h ef o m 觚o no ft l l e l i i i l i tl l l e 0 叮p r 0 v i d c sn o to n l yam c 0 巧b a s i sf o rc a l c u l u sb u ta l s 0as t r o n gt 0 0 1f o r b m n a 璐t 0r e c o 孕l i z et h ei i l f i l l i t e i ti sa ni l i l p o r t a n ti d e ao fm o d e mm a t h s ，w 虹c hr e v e a l s t l l ed i 懋删f e a t u r 鼯b e t w n l l i g h e rm a ：t h s a n de l e m 伽t a r ym a t i l sf 而mt h e m 甜l ( ，d o l o g ) ，i tw m h a v ec e n a i nt l l c o r e t i c a ls i 印i f i c 锄c ef o ro u r 吼d e r s t a i l d i n go ft h e h i s t o 巧o fm 抽e m a t i c s 锄ds 伽舱p r o b l e n l so f t h em a t l l e m 撕c a lp h i l o s o p h y ，i f 、c l a r i 矽 m ed e v e i o p 删s k e l 咖o fm el i i n i ti d e a 觚dr e v 鼢lt h ec o f eo f t l l el i i n i ti d e aa n di t s i 衄e rr e l a t i o 璐h i p 诚廿lp h j l o s o p h y z e n o ，a na n c i e n tg r e e kp h n o s o p h e r ，p r o p o s e d f o l l rf 锄o u s p a r a d o x e sf o r l e 胁血gh i sb e l i e fi n 也em i 础eo f 也e 丘f n l 咖b c t h e s ep a m d o x 骼w e r e p l l i l o s o p l l i c a lp r o p o s i t i o 璐，b u tt l l e ye v o k e dp c o p l et 0r 妫r c h l e l i i i l i ti d e ao f m a l e m a t i c s ，a l l df h e yw e r e 也ek e yd y n 锄i c s 、) l ，：h i c hp r o d u c e db yv a r i a b l em a t h 锄a t i c s 1 kc y c l o t 0 i n i c0 fl i u b mi nc 扯m 柚d “m e 吐1 0 do fc x 删0 n 、j l 舡c hp r o p o s e db y 蛳h o ni n a n c i e n tg l 优c ea n di m p r 0 v e db y e q u 髂i ne ua n dd 吖e l o p e db y a r c h i m e d e 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的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一 规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心 内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将 具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解 决问题的能力都有极好的促进作用。 5 山东大学硕士学位论文 一、极限思想发展的分期 极限理论是当代数学基础必不可少的基础理论。极限思想作为一种哲学和数 学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其发展可分为以下三个时期： ( 一) 极限思想的萌芽时期 远在两千多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可 回避地孕育在其中了。 在我国，著名的庄子天下篇一书中有言：“一尺之棰，日取其半，万 世不竭。一墨家著作墨子经下中的也有“非半弗，则不动，说在端。一的论 述，经说下解释道：“非，半。进前取也，前则中无为半，犹端也。前后取， 则端中也。必半，毋与非半，不可也。”从中可体现出我国早期对物质的无限可分 性与连续性已有相当深刻的认识，虽然这些认识更多地属于哲学，但已反映出极 限思想的萌芽。 将无穷思想创造性地运用到数学中，当属我国魏晋时期的数学家刘微。刘徽 在注释九章算术时创立了有名的“割圆术 ，他提出用增加圆内接正多边形的 边数来逼近圆，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。一可见刘徽对无穷的认识已相当深刻，对极限的观念 和方法已经有了直观基础上的应用。正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽 率，他一直算到1 9 2 边形时，得到1 5 7 5 0 3 1 4 ，之后又算到3 0 7 2 边形时得 到兀3 9 2 7 1 2 5 0 3 1 4 1 6 。到公元5 世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲 之( 4 2 卜5 0 0 ) 在其失传的缀术中( 据数学史家考证) ，同样运用“割圆术一 算到2 4 5 7 6 边形得到： 3 1 4 1 5 9 2 6 兀 1 ) 倍，则可得到一个以1 n 为公比的几何级数，显然这是一个收敛 级数，其和是一个有限的常数，因而阿基里斯跑完这段距离自然就追上乌龟了。飞 矢刀问题是微积分中的导数问题，可以求得每一物体在任一瞬间的速度和加速度， 当然“飞矢”不动不能成立；“运动场 问题可以在无穷集合理论中找到答案，因 为在无穷集合里“部分可以等于整体”。 参阅周述崎：数学思想和数学哲学) ，中国人民大学出版社，1 9 9 3 年，第5 7 舶页 山东大学硕士学位论文 极限思想与微积分 极限思想的发展与微积分的建立紧密相联。1 6 世纪的欧洲由于资本主义的兴 起，生产力得到很大的提高，也推动了科学技术的发展，对运动与变化的研究已 变成自然科学的中心问题。微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主 要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动距离为 时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度，反过来，已知物体的加速度为 时间的函数，求速度和距离；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问 题，这个问题的重要性来源于好几个方面，有几何方面的，也有光学方面的需求； 第三类是，求函数最大值和最小值，例如求行星离开太阳的最远和最近距离；第 四类是，求曲线长，例如行星在已知时期中沿轨道运动的路程；曲线围成的面积； 曲面围成的体积；物体重心等。以常量为主要研究对象的古典数学己不能满足社 会发展的需求，因而科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变 量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。在1 7 世纪 上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求描述和研究运动、变化过程的新的数 学思想和新的数学工具。 ( 一) 微积分的孕育 1 7 世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近。 德国天文学家、数学家开普勒在( k e p l e r ，1 5 7 卜1 6 3 0 ) 1 6 1 5 年发表的 ，山东大学出版社，2 0 0 6 年，第2 8 5 、2 8 6 页 参阅( 美) 乩克莱因：古今数学思想第2 册，北京大学数学系数学史翻译组翻译，上海科学技术出版社， 1 9 7 9 年，第5 7 页。 同上书，第5 3 、5 4 页。 同上书，第5 2 页。 1 5 山东大学硕士学位论文 沃利斯( w a l l i s ，1 6 1 6 1 7 0 3 ) 是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微 积分贡献最突出的数学家。在其著作无穷的算术中，提出了函数的极限的算 术概念：它是被函数逼近的数，使得这个数和函数之间的差能够小于任一指定的 数，并且当过程无限地继续下去，差最终将消失。他的论述是不严密的，但包含 了正确的思想。 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，为微积分的创立积 累了大量的资料，但其方法缺乏足够的一般性，虽然有人注意到这些问题之间的 某些联系，例如巴罗就把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来，但遗憾 的是，他的这种联系完全是以几何形式表述的，没有人将这些联系作为一般规律 明确提出来，对它的重要性没有深刻的认识，更没有展开一般性的讨论。所以所 有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。因此，需要有人将在 特殊问题中以建立起来的东西中的普遍性以更高的高度综合为统一的理论。这普 遍性的东西就是由牛顿、莱布尼兹来提供的。 ( 二) 牛顿的工作 牛顿1 6 4 2 年生于英格兰乌尔斯托帕的一个小村庄里。1 6 6 5 年，牛顿刚结束他 的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡躲避瘟疫的两 年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的 发现等都是牛顿在这两年完成的。 关于微积分，牛顿总结和发展了前人的思想，建立起了成熟的方法。虽然在 学生时期向他的老师巴罗学了很多，但在代数和微分方面，它更受沃立斯的影响 更深，他说无穷的算术引导他在分析中有所发现。 1 6 6 9 年牛顿在他的朋友中散发了题为运用无穷多项方程的分析学( 简称 第2 册，北京大学数学系数学史翻译组翻译，上海科学技术出版社， 1 9 7 9 年，第1 0 4 页 山东大学硕士学位论文 且证明了面积用无穷小面积的和来表示，进而证明了这样的和能通过由求变化率 的逆过程得到。牛顿将和的极限用反微分得到，就是我们今天所说的微积分基本 定理。在这本书中，牛顿对微积分的探讨，用了可以说是无穷小的方法，瞬是无 限小的量，不可分的量，或者是微元。他的研究中包含了微积分的主要运算，但 在逻辑上是不清楚的，尤其是没有解释为什么要从计算中排出涉及瞬的幂的项， 在书中他说他的方法“与其说是精确的证明，不如说是简短的说明。 他的贡 献在于简化了运算，而不是阐明了概念。 在写于1 6 7 1 年但直到1 7 3 6 年才出版的书流数法和无穷级数( 简称流 数法) 中，牛顿给他的思想做出了第二种更广泛而且更明确的说明。他说他认 为变量是由点、线和面的连续运动产生的，而不是他在早期论文中所说的无穷小 元素的静止的集合。他把连续运动作为其系统的基础，他可能认为这个概念已经 具有充分的说服力了，通过直觉就能清楚地了解。他把变量叫做流( f l u e n t ) ，变 量的变化率叫做流数( f l u x i o n ) 。在：流数法中，牛顿更清楚地表述了微积分 的基本问题：已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系，以及反过来的 问题：已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系。圆在流数法和 分析学中使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论 证基础，所不同的是流数法以动力学连续变化的观点代替了分析学的静 力学不可分量法，而在严密性上没有进展。但他强调了无穷级数的用处，并开始 考虑需要极限了，他指出应在比中考虑流数。 在写于1 6 7 6 年，发表于1 7 0 4 年的第三篇微积分论文 求曲边形的面积中， 牛顿对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，他数他已放弃了微元或无穷小 量，并提出了最初和最后比的方法。牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法， 他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略。在这里，我认为数学的量并不是 由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。一 在此基础上牛顿定义了 流数概念，继而认为：“流数可以任意接近于尽可能小的等间隔内产生的流量的 参阅( 美】也克莱因：古今数学思想： 第2 册，北京大学数学系数学史翻译组翻译，上海科学技术出版社， 1 9 7 9 年，第7 l 页。 同上书，第7 2 页。 同上书，第7 4 页。 1 7 山东大学硕士学位论文 增量，确切地说，它们构成最初增量的最初比。舛并借助于几何解释把流数理解 为增量消逝时获得的最后比。从他的论证过程中可以看出，牛顿的所谓“最初和最后 比方法相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，可谓极限方法的先导。 牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1 6 8 7 年，牛顿出版了他的 第一本包括他的微积分的巨著自然哲学的数学原理，也是牛顿微积分学说的 最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直 到1 8 世纪初才在朋友的再三催促下才相继发表。在这本书中，只要涉及到微积分 的基本概念，即流数或者我们说的导数，牛顿就做出几种陈述，他舍弃了无穷小 量或者最后的不可分量而用了“消失的可分量，即能够无穷地缩小的量。牛顿 说：“量在其中消失的最后比，严格说来，不是最后量的比，而是无限减少的这 些量的比所趋近的极限，而它与这个极限之差虽然能比任何给出的差更小，但是 在这些量无限缩小以前既不能够越过也不能达到这个极限。一 在牛顿微积分学说的发展过程中，我们看到牛顿始终不渝地努力改进、完善 自己的微积分学说，经过2 0 年左右的时间，他的微积分从以无穷小为基础，转变 为以极限为基础。但由于时代或认识的问题，牛顿始终没能给出无穷小和极限的 严格定义，但瑕不掩瑜，他将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有 机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。 ( 三) 莱布尼茨的工作 在建立微积分中和牛顿并列在一起的还有德国的博学巨人莱布尼茨，莱布尼 茨是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力 学、光学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面都做出了重要的贡 献，他还是数理逻辑的创始人。莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考， 尤其是特征三角形的研究。1 6 8 4 年，莱布尼茨整理、概括自己1 6 7 3 年以来微积分 研究的成果，发表了第一篇微分学论文 一种求极大值与极小值以及求切线的新 方法( 简称新方法) ，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂 与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。 ( 美) - i 克莱因： 古今数学思想) 第2 册，北京大学数学系数学史翻译组，上海科学技术出版社， 1 9 7 9 年，第7 6 页 山东大学硕士学位论文 1 6 8 6 年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文潜在的几何与分析不可分和 无限，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包 含积分符号，并给出了摆线方程。莱布尼茨当时把微积分称为“无穷小算法”。 他建立的微积分也是以无穷小为基础的。在他的工作中，对产生微积分的主要问 一l 题之一切线的求法，是以两个微分比，即半为基础的，而出、咖分别是曲 d x 线上两个距离为“无穷小”的点的横坐标之差和纵坐标之差，可见出、咖是无穷 小量。但他对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他把无穷小 微分作为有限的确定的量，有时又作为无穷小舍去。由于缺少严密的定义，莱布 尼茨经常求助于类比来说明其无穷小微分的性质，他说可以把一个量的微分与这 个量本身的关系，想象为类似于一个质点与地球的关系，地球的半径与宇宙的半 径的关系。在另一个地方他又说，就象对于握在手中的球一样，地球是无穷大一 样，恒星之间的距离相对于这个小球来说就是双重无穷大。由于其微分运算法获 得极大成功，尽管他似乎对其逻辑合理性也抱有很大的怀疑，但他对无穷小概念 的运用坚信不移。 综上我们看到，莱布尼茨与牛顿建立微积分的着重点不同，使用的术语也不 一致，牛顿是物理方向，中心概念是速度之类的，完全是从考虑变化率出发来解 决面积和体积问题的，对于他来说，微分是基础。在其早期著作里使用无穷小概 念，后来却否认它，试图将流数概念在极限基础上；莱布尼茨是哲学方向的，着 眼于物质的最终的微粒，这些微粒莱布尼茨称为单子，他重点考虑的是用反微分 计算的和，他对于无穷小概念的运用坚信不疑。他主张不应该被过于小心翼翼的 心里牵着鼻子走而拒绝发明的结果。由于二人的传统和趣味不同，表现在观点和 方法上也不同。科学家牛顿，在速度的观点中找到了在他看来很满意的基础；哲 学家莱布尼茨也许既是一位科学家，也是一位神学家，他更倾向于在与单子思想 对应的微分里寻找基础。 就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色， 牛顿是经验的、具体的和谨慎的，而莱布尼茨是富于想象的、喜欢推广的而且是 大胆的。但二者的功绩是相当的。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他 们的功绩主要在于：1 、总结出了统一的方法，微分法和积分法；2 、确立了微分 1 9 山东大学硕士学位论文 法和积分法互为逆运算的关系。但确也存在着许多的不足，主要表现在数学思想 上的不严密：过于直观，强调形式的计算；没有清楚的无穷小、无穷大、导数、 微分、积分等概念；级数求和的任意性；符号使用的不严格；没有考虑连续性就 进行微分；没有考虑导数及积分的存在性：以及可否展成幂级数等等。 1 8 世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题，而忽视了基础的建立， 甚至有些人就对基础问题的讨论不感兴趣。尽管这一学说从一开始就受到多方面 的怀疑和批评，但如达朗贝尔所说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础 打得更加牢固”。更有许多人认为所谓的严密化就是烦琐。牛顿的支持者们继续 谈论最初比和最后比，莱布尼茨的追随者仍然使用无穷小的非零量，许多数学家 基本上为古希腊的几何所束缚，因而微积分基础的严密化工作在1 8 世纪未能完成， 进而完整的极限理论也未能问世。 综上所述，众多数学家在解决问题时都不同程度地使用了无穷小，进而是极 限的思想和方法，但都没有给出明确的定义，包括被誉为微积分的创始人牛顿和 莱布尼兹，他们在创立微积分的过程中也没有给出无穷小和极限的数学定义。但 这些丝毫也无损于这些科学伟人的历史功绩，因为任何科学理论的创立，都不是 某个数学家凭空臆想出来的，而是社会发展的需要。从认识论的角度看，人的认 识规律是由具体到抽象，那么人类对极限理论的认识和发展也不应例外。 数学发展中一直贯穿着应用上清楚与逻辑上严格的矛盾。比较注意实用的数 学家创立和应用着一些数学理论，而比较注意严密的数学家则提出批评，修正和 完善着数学的理论。数学正是在这两方面取得协调一致，矛盾不断解决的过程得 以不断的丰富和发展的。数学中不乏这样的例证。微积分的发展、极限理论的建 立也是这样。 山东大学硕士学位论文 四、极限思想与贝克莱的诘难 ( 一) 贝克莱的诘难 微积分出现以后，逐渐显示出它非凡的威力，过去很多初等数学束手无策的 问题得到迎刃而解，。恩格斯曾指出：“只有微积分才能使自然科学有可能用数学 来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。 在微积分得到广泛应用的同时， 新结论以及新分支也纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家， 包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯、欧拉等人的努力，微积分理 论获得了空前丰富。因而数学史上把这一时期称为发明的世纪。 经过数学发明的1 8 世纪后，数学大厦扩大了，盖得更高了，而却没有补充基 础强度。尤其是微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基 础一无穷小概念在运用中时而为零、时而非零的解释不清，不严密的工作导致谬 误越来越多，出现了逻辑上的困境。事实上，这一学说从一开始就受到多方面的 怀疑和批评，但它被微积分应用中惊人的成功所赢得的震耳掌声暂时掩盖了。不 谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。最令人震撼的抨击来自英国克罗因的 大主教贝克莱。 1 7 3 4 年贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的小册子分析 学者，或致一位不信神数学家的论文，其中审查现代分析学的对象、原则及推断 是否比之宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或更为推理明显。贝克莱以前曾 经在他的视觉新论中攻击过牛顿的宇宙论，不过，促使他在分析学者里 提出非难的主要动机，既是为了给神学提供辩解，也是为了抨击新分析的倡导者， 责难该学科不牢固的基础。他认为当时的数学家以归纳代替了演绎，没有为他们 的方法提供合法性证明。贝克莱集中攻击了微积分中关于无限小量的混乱假设， 他攻击牛顿无穷小量运用中既不是有限量，也不是无限小，又不是零而带来的逻 辑混乱，他指责牛顿首先给x 一个增量，然后又让增量是零，这违背了背反律，所 恩格斯：自然辩证法 ，人民出版社，1 9 7 1 年，第2 4 9 页 2 1 山东大学硕士学位论文 得的流数实际上是o o 。他的许多批评切中要害，客观上揭露了早期微积分的逻 辑缺陷，引起了当时不少数学家的恐慌。这也就是数学发展史上的“第二次危机”。 微积分在逻辑上的混乱还表现在当时对无穷级数的“和”的理解上，对于无 穷级数的“和”数学家们习惯地把有限项相加的运算规则照搬到无穷级数中去， 尽管解决了一些问题，但有时又能得出一些可疑的或者完全荒谬的结果。例如对 于级数l + 卜1 + 卜1 当就引起了极大的争论，如果把级数改写成( 卜1 ) + ( 卜1 ) + ( 卜1 ) + ，就好像很明显其和应为o 。可是，如果把级数写成卜( 卜1 ) 一( 卜1 ) 一( 卜1 ) ，它的和又好像很明显应该是1 然而，如把原级数的和极为s 话，则有s = 卜s ， 从而又得到s = 土。问题归结，无疑就是应建立明确的无穷级数的“和”的概念及其 2 运算法则。而无穷级数“和 的概念，同无穷小量一样，都是要正确地用“无穷来 反映运动、变化过程，这也正是微积分的理论基础所要解决的问题。 贝克莱激烈攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积 分缺乏牢固的理论基础，尽管牛顿一直在努力，但因历史的局限性，始终没能摆 脱极限概念中的混乱。因此，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需 要，而且有着认识论上的重大意义。 微积分基础不严密的问题，不单是受到贝克莱的指责，数学界自己也看到了 这方面的问题。挪威青年数学家阿贝尔1 8 2 6 在给c h r i s t o f f e rh a n s t e e n 教授的 一封信中就说到“人们确实在分析中发现了惊人的含糊不清，这样一个完全没有 计划和体系的分析，竟有那么多的人研究过它，真是奇怪。最坏的是，从来没有 严格地对待过分析。在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站的住脚的方式 证明的。人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是 这种方法只导致了极少几个所谓的悖论。力回。阿贝尔非常重视数学严密性的工作， 他说“数学中最重要的事情也就是那些具有最小基础的事情。一，在这个思想基 础上，阿贝尔研究了发散级数的求和法( 现在成为阿贝尔求和法) 。 美) m 克莱因： 古今数学思想第4 册，北京大学数学系敦学史翻译组，上海科学技术出版社， 1 9 8 2 年，第l 页。 同上书，第3 5 页。 山东大学硕士学位论文 ( 二) 分析的严格化 多方面的批评和攻击激起了数学家们为建立微积分的严格基础而努力，从而 掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。在许多人从事的分析的积极重建中， 都是基于实数系可靠的基础上的。分析的严密化是从马克劳林、柯西、阿贝尔、 波尔查诺和狄利克雷的工作开始，到魏尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中 间经历了半个多世纪，基本上解决了微积分学的矛盾，为数学分析奠定了一个严格 的基础。 事实上，在1 8 世纪已有许多数学家做了这方面的努力，他们力图避开极限而 将微积分基础归结为几何或代数，例如，为了回击贝克莱，马克劳林在他的流 数论中试图建立微积分的严密性，他根据希腊几何和穷竭法( 特别是阿基米德 的穷竭法) 建立流数学说。他喜欢并熟练地使用几何，他也劝别人用几何而忽视 分析，但终因1 8 世纪分析发展中日益增长的复杂性而破灭；欧拉则拒绝把几何作 为微积分的基础，试图把微积分的基础归于代数；拉格朗日也承认微积分可以在 极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数，并由此给出我们现 在称为的拉哥朗日中值定理；他们的工作在不同程度上都推进了极限理论的进展， 但均未获得最后的成功。达朗贝尔( a l e m b e r t ，1 7 1 7 一1 7 8 3 ) 定性地给出过极限的定 义“一个变量趋近于一个固定值，趋近的程度小于任何给定量。”它接近于极限 的正确定义，为微积分的严格化提供了合理内核。然而，由于这些人的工作没有 摆脱对几何直观的依赖，使得此项工作没能在1 9 世纪以前完成。 微积分理论基础的问题，历时3 0 0 来年，许多人都曾尝试解决，均未能如愿。 究其原因，当数学的研究对象从常量扩展到变量，受历史的局限和认识的局限， 人们对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏足够的了解，对变量数学特有的 规律还不十分清楚，归根结底是对有限和无限的对立统一关系认识还不明确。 微积分的严格化工作到1 9 世纪初已开始见成效。捷克数学家波尔查诺成为为 微积分提供更加严密的基本概念的先驱，他1 8 1 7 年发表的论文纯粹分析证明， 其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定