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厶拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 摘要 分离性是拓扑学中的一个基本的概念具有各种不同分离性的拓扑空间，不 仅从理论上形成不同的空间类，同时，因具有其它应用学科的应用背景而倍受关 注本文分别研究了l 拓扑学和i - f u z z y 拓扑学的分离性在l 拓扑学中，本 文引入了称之为次分离的分离性公理，包括次乃，次锡，次正；，次乃和次乃 分离性公理等在- f u z z y 拓扑学中，本文建立了次正和次乃分离度公理 文章共由三部分组成 第一部分是引言介绍了拓扑空间分离性的产生背景，d 拓扑学和i - f u z z y 拓扑学的分离性研究进展情况，并给出了本文主要研究的问题 第二部分是关于l 拓扑空间的次分离性公理的研究本文提出了厶拓扑 空间的次丑，次而，次五；，次死和次蜀分离性等，证明了这些分离性公理具 有预期好的性质，如：具有遗传性和可乘性，是l o w e n 意义下。厶好的推广”， 且在次卫空间中分子网收敛在定意义下唯一等此外，文中还讨论了次分离 性公理与文献中其它分离性公理之间的关系 第三部分是关于- f u z z y 拓扑空间的次分离度公理的研究本文引入了，- f u z z y 拓扑空间的次乃和次乃分离度公理，证明了新的分离度公理也具有遗传 性，可乘性和分子网收敛唯一等好的性质另外，文中还初步讨论了次分离度公 理与其它分离度公理之间的关系 关键词：厶拓扑，- f u z z y 拓扑，次分离公理，- f u z z y 重域系 s u b - s e p a r a t i o na x i o m si nl t o p o l o g i c a ls p a c e s a n d - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s a b s t r a c t s e p a r a t i o ni sa l le s s e n t i a ln o t i o ni nt o p o l o g y t h et o p o l o g i c a ls p a c e sw i t h i n a l l yk i n d so fd i f f e r e n ts e p a r a t i o nn o to n l yf o r md i f f e r e n ts p a c e sc l a s s e st h e o r e t - i c a l l y , a tt h es a m et i m e ，i ti sb u ta l s oa t t e n db yt h er e l e v a n t8 u b j e c t so ft o p o l o g y b e c a t v s eo fi t sc o r r e l a t i v ea p p l i a t i o nt oo t h e rs u b j e c t s t h ea i mo ft h i sp a p e r i st os t u d yt h es e p a r a t i o ni nl - t o p o l o g ya n d - f u z z yt o p o l o g y , r e s p e c t i v e l y i n l - t o p o l o g y , w ei n t r o d u c et h es u b - s e p a r a t i o na x i o m si n c l u d i n gs u b 一丑，s u b - t 2 ， s u b - t 2 ；，s u b - t sa n d s u b - t 4 i n - f u z z yt o p o l o g y ，w ee s t a b l i s hs u b - t 1a n ds u b - t 2 a x i o m s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： t h ef i r s ts e c t i o ni sp r e f a c e t h ea u t h o ri n t r o d u c e sb a c k g r o u n do fs e p a r a t i o n a x i o m si nt o p o l o g ya n dt h ed e v e l o p m e n to fs e p a r a t i o na x i o m si nl - t o p o l o g ya n d l f u z 巧t o p o l o o 舒- ，a n dg i v e st h ep r o b l e m st ob es o l v e d t h es e c o n ds e c t i o ni sa b o u ts u b - s e p a r a t i o na x i o m si nl - t o p o l o g i c a ls p a c e s w ei n t r o d u c et h es u b - s e p a r a t i o na x i o m si n c l u d i n gs u b - ，s u b - t 2 ，s u b 一正5 ，s u b - t 3a n ds u b - t 4 a n ds o m en i c ep r o p e r t i e so fs u b - s e p a r a t i o na x i o m sa r ep r o v e d f o re x a m p l e ，t h e ya r eh e r e d i t a r ya n dp r o d u c ti n v a r i a n t ，。l - g o o de x t e n s i o n ”i n l o w e n ss e n s e ，a n dt h el i m i to fm o l e c u l a rn e t si ss o l eu n d e rac e r t a i nc o n d i t i o n f o rt h es u b - t 2s p a c e i na d d i t i o n ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h es u b - s e p a r a t i o na x i o m s d e f i n e di nt h ep a p e ra n do t h e rs e p a r a t i o na x i o m si sa l s od i s c u s s e d t h et h i r ds e c t i o ni sa b o u ts u b - s e p a r a t i o na x i o m si ni - f i l z wt o p o l o g i c a l s p a c e s n e ws u b - 丑a n ds u b - t 2a x i o m sa r ei n t r o d u c e di n - f u z z yt o p o l o g i c a l s p a c e s s o m ep r o p e r t i e so ft h en e ws e p a r a t i o na x i o m sa r ei n v e s t i g a t e d f o re x - 3 a l n p l e ，t h e y , a r eh e r e d i t a r ya n dp r o d u c ti n v a r i a n t ，a n dt h el i m i to fm o l e c u l a rn e t s i ss o l e i na d d i t i o n ，w ea l s oe s t a b h s h e dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h es u b - s e p a r a t i o n a x i o m sd e f i n e di nt h ep a p e ra n do t h e rs e p a r a t i o na 撕o m s k e yw o r d s i l - t o p o l o g y ，- f u z z yt o p o l o g y ，s u b s e p a r a t i o na x i o m s ， - f u z z yq u a s i - c o i n c i d e n t 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 (2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 ， 示谢意 学位论文作者签名：差翠菱签字日期：卿7 年岁月冲日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者签名：羞翠芙 签字日期：如0 7 年5 月斗日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字：方建b 日 导师签字： 力j 互豇h 签字嗍跏0 1 钳脚旷 电话： 邮编 引言 1 拓扑空间中分离性的产生背景 分离性是拓扑学中一个基本的概念，它来源于对拓扑学本身的更深入研究的 需要比如：把一个空问嵌入到紧h a u s d o r f f 空间中去，这一类特殊问题的解决 就涉及到了分离性众所周知，在一般拓扑学中，个拓扑空间，就是被赋予一 个满足三条开集公理的拓扑结构的论域，其它拓扑学中的一切问题的研究都是以 拓扑结构为基础，为了研究问题的需要，我们必须对拓扑加一些条件，使之加了 条件的拓扑空闯仍能具有大多数较好的性质，如；欧氏空闽，度量空间等_ 般 拓扑中的许多深刻的结果都是就具有某种分离性的拓扑空间得出的，如：t i e t z e 扩张定理，嵌入定理及u r y s o h n 度量化引理等我们知道，度量空间是类实用 的拓扑空间而在考虑一般拓扑空间可以度量化或拓扑空间嵌入到度量空间的嵌 入问题时，简明而实用的条件正是拓扑空间具有t 3 分离性 2 l - 拓扑空间中分离性的简单回顾 模糊拓扑( 即f l l z z y 拓扑) 的概念是由c l c h a n g ( 1 】在1 9 6 8 年以z a d e h 的f u z z y 集理论 2 】为基础提出的，这标志着模糊拓扑的产生后经ja g o g u e n 将值域i = 【o ，l 】推广到具有逆序对合对应的完全分配格，而提出了一拓扑，即早 期曾被称作l - f u z z y 拓扑或- f u z z y 拓扑，详见专著 3 1 或【4 】在厶拓扑的发展 的初期，很多学者认为l 拓扑就是一般拓扑简单的推广但是，人们很快发现 l 拓扑要比一般拓扑复杂得多c k y o n g 是第个发现d 拓扑与一般拓扑 重大差异的人他率先在【5 】中引入了f u z z y 点的概念。然而并未成功因此，国 外自1 9 7 5 年以后的一段时间里发表的文章大都回避f u z z y 点的概念，而进行结 构式讨论1 9 7 7 年。刘应明在分析了c k ，w o n g 的f u z z y 点及其邻域系统理论 的弊病和修改了f u z z y 点及其对于一个f u z z y 集的从属关系之后，首次打破了传 统的属于关系和邻域方法，创造性地引入了。重于”这一新的f u z z y 点和f u z z y 集的从属关系，给出了。重域”概念，从而为l 拓扑的点式处理打开了大门 l 拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 1 9 7 9 年王国俊提出了分子，远域和序同态的概念，为l 拓扑的进一步开展开辟 了广阔的天地此后，许多学者特别是我国的学者运用这些工具作了大量有意义 的工作，获得了许多重要的成果特别地，对一拓扑空问中的分离性的研究做 了大量的工作 分离性是拓扑学中很重要的一部分内容，很多学者在这方面作了研究 6 - 3 l 】 在l 一拓扑中，许多学者从不同的角度提出了很多种不同的分离性公理1 9 8 3 年 刘应明在文献【2 0 】中提出了次分离性公理，并证明了此分离性可以被分离性 较低的l - 单位区间j ( l ) 所具有1 9 8 8 年王国俊在文【3 l 中系统介绍了三套分离 公理，一套是从t 1 ，而直到乃和五的分离性；一套是强化了观( f _ 1 ，2 ，3 ，4 ) 的分离性；还有一套包含式的分离公理耳0 = 3 ，3 ，4 ) 随后，尤飞在 2 9 】中提 出了死 及踢 分离性，谷敏强和赵彬引入了层分离性公理【i i 】1 9 9 5 年， k u b i a k 在文【1 7 j 中引入了l 五与k u b i a k - t 2 分离性公理2 0 0 6 年，史福贵在 文【2 7 】中提出了厶乃，l - u r y s o t m 和l - c o m p l e t e l yh a u s d o r f f 分离性公理，并证 明了这些分离性公理可以被i ( l ) 所具有另外，还有一些学者的很多文章也都 涉及到了分离性问题 3 - f u z z y 拓扑空间中分离性的简单回顾 伴随着_ 拓扑学研究的深入展开，许多学者尝试进一步拓广三拓扑空间的 框架，如：前苏联学者a p s s s t a k ，印度的k c c h a t t o p a d h v a y 和r n h a z r a ， 还有我国的应明生教授等1 9 8 5 年，s s s t a k 首次提出了广义模糊空间的概念 【3 础1 9 8 6 年，a b a d a r d 在i f s a ( 国际模糊系统会议) 上提出了s m o o t h 一拓扑 空间【3 3 】；1 9 9 1 年，我国的应明生教授提出了以模糊逻辑为基础的b i f u z z y 拓扑 【3 4 1 ；1 9 9 2 年，k c c h a t t o p a d h y a ) 和r n h a z r a 引入了开的程度( g r a d a t i o n o fo p e n n e s s ) 的概念 3 5 ，这些学者分别于不同的国家在没有注意到彼此工作的 情况下提出了同样意义的模糊拓扑的概念可见，这种新拓扑提出的意义和重要 性是不容置疑的后来，刘应服，罗懋康，u h 6 h l e 和s e r o d a b a u g h 等研究 者一致将其称为- f u z z y 拓扑 i - f u z z y 拓扑空间的分离性也是许多学者研究的热门课题1 9 9 3 年，沈继忠 2 厶拓扑空间和i - f u z z y 拓扑空间的次分离公理 提出了f u z z i b i n g 拓扑空间的正( i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 分离公理f 2 6j _ 随后，f h k h e d r ， f m z a y m a 和o r s a y e d 在文 1 5 】中引入了f u z z i 鲫n g 拓扑空间的一种新的 分离公理2 0 0 1 年，m k e 1 一g a y y a r ，e e k e r r e ，a a r a m m a n 在文【3 6 】 中讨论了- f u z z y 拓扑空间的分离性，同年，张倩生和沈继忠在文【3 l 】中介绍了 i - f u z z y 拓扑中z ( 待0 1 ，2 ，3 ，4 ) 分离公理，并且给出了它们的一些等价命题值 得提出的是以上众位学者提出的这些分离公理只涉及了分明点，没有关于f u z z y 点讨论2 0 0 6 年，岳跃利和方进明在文【3 0 】提出了一套适用于f u z z y 点的分离 公理，包括次孔，乃和咒分离度本文将继续沿用次分离性的思想，讨论基于 f u z z y 点的- f u z z y 拓扑空间的分离公理 4 本文主要研究的内容 本文分别研究了l 拓扑空间和i - f u z z y 拓扑空间的分离性首先，在l 拓 扑空间中，基于刘应明提出的次蜀分离性的思想，本文引入了称之为次分离的 分离性公理，包括次丑，次乃，次正；，次瓦和次乃分离性等分离性公理，并 研究了这些分离性公理的等价刻画及其性质其次，在- f u z z y 拓扑空间中，基 于岳跃利和方进明提出的次乃分离度的思想，本文建立了次丑和次乃分离度 公理，并研究了这些分离度公理具有良好的性质，如：遗传性，可乘性等部分 结果已经在模糊系统与数学发表 3 第一章l 一拓扑空间的次分离性公理 在一般拓扑学中，很多深刻的结果都是就具有某种分离性的拓扑空间得出 的对于l 拓扑空间而言，情况也是这样基于刘应明提出的次分离性的思 想，在本章中我们将引入并系统地介绍l 一拓扑空间的次五，次疋，次正；，次乃 和次乃分离性等，并证明这些分离性公理具有预期好的性质，如；具有遗传性 和可乘性，是l o w e n 意义下。l 好的推广”，且在次丑空间中分子网收敛在一 定意义下唯一等此外，文中还将初步讨论次分离性公理与文献中其它分离性公 理之间的关系 1 1 预备知识 在研究厶拓扑空间的分离性之前，我们有必要介绍文中的记号或符号表 示，并且对l 拓扑空间的一些基本知识作简单的回顾我们先介绍本文的一般 记号 文中l 是带有逆序对合7 的完全分配格，用t 和上分别表示的最大元与最 小元设a l ，如果a 上且对l 中的任意元n 与p ，当aso t v 卢时有a o 或a 卢，则称a 是l 中的分子( 见文 3 】) 用m ( l ) 记l 的全部分子之集设x 是非空集合，x 上的上广集全体记作l y ，即l y = a i a 是x 到l 的映射 用 t x 和上i y 分别表示的最大元与最小元l x 中的分子m ( l 。) = 以iz x ，a ，( ) ) ，其中z a l x 使得x x ( x ) = a ( a l ) ，当x y 时，z ( ) = 上 设，：x ，y 是映射，本文用厂+ ：l x 一工7 表示，诱导的z a d e h 型函 数，其逆映射记作，：l y 一厂和，分别定义为： va l x ，vy ，1 ( a ) ( f ) = v a ( z ) iz x ，( z ) = y ) v b l r ，v z x ，一( b ) ( z ) = b ( ，( z ) ) 下面我们对厶拓扑空间的一些预备知识作简单的回顾 5 厶拓扑空间和l - f u z z y 拓扑空间的次分离公理 厶拓扑是定义在沦域上，且满足有限交和任意并运算封闭的l 集族不难 看出，它的逻辑基础为二值逻辑具体定义为： 定义1 1 1 i s 设l 是f 格，x 是非空集合，j l x 如果 ( 1 ) 上x ，t x 6 ，即，6 含有的最小元与最大元； ( 2 ) a ，b 6 = ( a a b 6 ) ，即，6 对有限交运算封闭； ( 3 ) v t t ，a t d 辛va t j ，即，j 对任意并运算封闭， t t 则称6 为x 上的l 拓扑，称( ，6 ) 为厶拓扑空间特别地，当j = 【0 ，1 】 时，称( 【o ，l 】。，d ) 为f u z z y 拓扑空问或l 拓扑空间y a l x ，a 的内部和闭 包分别定义为：a 。= v w jlu 一) 和a 一= b ia b ) 1 9 7 9 年，我国学者王国俊提出。远域”的概念，它适用于更广泛的不具有逆 序对合对应的完全分配格作为本文利用远域研究问题的基础，我们引用如下； 定义1 1 2 设( l x ，j ) 是厶拓扑空间，。 ，( 三y ) ，a ，( 即a 为闭 集) 如果x x 掣a ，则称月为。 的闭远域设b 泸，如果以有闭远域a 使 b a ，则称b 为飘的远域，分子。 的一切远域和一切闭远域之集分别记作 日( z ) 和叩一( z ) 定义1 1 3 设( x ，j ) 是厶拓扑空间，v a l x ，p ，如果z x ，当 a ( x ) 上时a ( x ) g p ( z ) ，则称p 为a 的闭远域，这时如果q 尸，则称q 为 a 的远域a 的一切远域和一切闭远域之集分别记为q ( a ) 和q 一( a ) 在本文还将涉及到扩张，准分明的和分子网收敛的概念，它们的具体定义分 别为： 定义1 1 4 设l ，是x 的非空子集，a l y ，令a + l x 定义如下： 比x ，州加 刖功一“ l 上，z 乒y 称小为 在三y 中的扩张 定义1 1 1 5 设a 是x 上的l 一集，如果存在a m ( l ) 使a ( x ) 上当且 仅当a ( z ) a ，比x ，则称a 是准分明的 6 l 拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 定义1 1 6 设( l x ，是l - 拓扑空间，e m ( l x ) ，s = 5 | ( n ) ，n d 是 l x 中的分子网，d 是定向集，如果v p ( e ) ，s 最终不在p 中，则称e 为s 的极限点，或s 收敛于e ，记作s e s 的切极限点之并记作l i m s 本文的主要目的是研究厶拓扑空间的分离性，现将本文中用到的与l 拓 扑空间分离性有关的定义或定理列举如下： 定义1 1 7 1 2 q 如果对x 中的任二不同的分明点z 与y ，存在a m ( l ) 使 得有p r i - ( z x ) 满足y x p 或有q r - ( 倾) 满足z q ，则称( ，为次 而空间 定义1 1 8 1 6 1 设( l y ，6 ) 是l 拓扑空间，如果对m ( l x ) 中的任二不同的分 子z a 与批，当z y 时，有p q 一( z ) 和q t 1 - ( 靴) 使得尸o v 驴= t x ， 则称( l 。y ，6 ) 为正；空问或l - u r y s o h n ( 原称为l - f u z z t 巩) 空间 定义1 1 9 1 3 1 设( l x ，j ) 是上广拓扑空间 ( 1 ) 如果对m ( l 。) 中的任二不同的分子。 与妇，当z g 鲰时，存在 p r i - ( 以) 使蛳s p ，则称( l 。，6 ) 为噩空间 ( 2 ) 如果对m ( l x ) 中的任二不同的分子以与鲰，当z y 时，有 p r - ( 以) 和p r l - ( 雏) 满足p v q = t x ，则称( ，6 ) 为正或h a u s d o r f f 空间 ( 3 ) 如果对x 上的任意非零准分明闭集4 和瓢m ( l x ) ，当xgs u p p a 时，有p r i - ( z ) 和q r - ( x a ) 使p v q = t x ，则称( l 。，6 ) 为正则空间 称丑的正则空间为b 空间 ( 4 ) 如果对x 上的任意非零准分明闭集a 和b ，当s u p p a ns u p p b = 0 时，有p 1 1 - 队a ) 和q 7 7 - ( a b ) 使p v q = t x ，则称( l x ，d ) 为正规空间 称正的正规空间为五空间 注1 1 1 0 1 3 , 2 9 1 正( i = 1 ，2 ，2 ；，3 ，4 ) 分离性是l 好的推广 定义1 1 1 1 1 1 】称一拓扑空间( l 。y ，6 ) 是层蜀的，如果v a m ( l ) ， ( x ，( o p ( d ) ) ) 是兀空间其中学( 6 ) = ( 。挈( a ) la ，学( a ) = z x l o t s ( z ) 类似可定义层正( = 1 ，2 ) ，层正则( 完全正则，正规) 及层 乃( 正 ，7 4 ) 分离性 7 厶拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 定义1 1 1 2 1 7 1 设( l x ，6 ) 是l 拓扑空间 ( 1 ) 如果对任意z ，y x ，当z y 时，存在阢v d 使得v ( x ) gu ( 9 ) 和v ( y ) g y ( z ) ，则称( l x ，6 ) 为l 丑空间 ( 2 ) 如果对任意。，y x ，当z y 时，存在以v 6 使得v ( x ) gu ( ) ， v ( v ) g v ( x ) 且u ，则称( l x ，j ) 为k u b i a k - t 2 空间 定义1 1 1 3 【2 q 设( l 。，6 ) 是l - 拓扑空间，如果对任意。，y x ，当x y 时，存在p 和q 5 使得口p ，q ( x ) g 尸( ) ，则称( ，j ) 为厶正空 间 1 2 次五和次乃分离性公理 首先我们引入次乃分离性的概念 定义1 2 1 设( 胪，j ) 是l 拓扑空间，如果对比，y x ，当z y 盹存 在a m ( l ) 使得有p 7 7 一( z ) 满足y a p 且q q 一( 玑) 满足z q ，则称 ( l x ，6 ) 为次孔空间 显然，丑空间是次正空间 由定义1 1 7 和定义1 2 1 很容易得到下面的定理 定理1 2 2 次五空间是次蜀空间，即，次t 1 兮次 关于次丑，我们有下面的刻画定理 定理1 2 3 设( ，j ) 是上广拓扑空间，下列各条等价： ( 1 ) ( l x ，6 ) 为次五空间 ( 2 ) v ( x ，y ) x x 满足x y ，存在a m ( l ) ，使得1 一( z a ) 1 1 - ( 弧) ， ( 3 ) v ( z ，y ) x x 满足x y ，存在a ，( ) ，使得z 叠姒一且 弧x a 一 证明 ( 1 ) 辛( 2 ) 设( l 。，5 ) 为次噩空间，则对v x ，y x ，当z y 时，存在a m ( l ) 使得有p 7 1 - ( z ) 满足y x p ，从而p 乒7 - ( 叭) ，即：t i - ( z ) v i - ( 姒) ( 2 ) 辛( 1 ) 假设( l 。y ，5 ) 不是次丑空间，则弘，y x ，当z y 时，v a 8 l 拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 ，( l ) ，有v p r - ( x 4 ) 使得y 4 9 p ，从而p 町一( 纵) ，即：q 一( z ) f 7 一( y 4 ) 另 方面v q r i - ( y 4 ) 使得x 4gq ，从而q r j - ( 2 7 4 ) ，即：r i - ( 纵) r - ( z ) 所以 7 - ( 2 7 4 ) = 7 - ( 虮) 此与已知矛盾f 故( 五爿，j ) 是次冗空间 ( 1 ) o ( 3 ) 设( ，6 ) 为次乃空间，则由( 2 ) 知，对v ( 2 7 ，y ) x x ，当z y 时，存在a ，( l ) ，使得7 j - ( x 4 ) r - ( 弧) 又因为( ，j ) 是次矸空间，所以 有p 7 i - ( 。 ) 满足y x p ，此时颤p ，所以o g 叭一同理可证：弧叠飘一 ( 3 ) 0 ( 1 ) 假设( l x ，d ) 不是次乃空间，则由( 2 ) 知，3 x ，y x ，当。y 时，姒肼( ) ，有r l - ( 2 7 4 ) = r i - ( f ) ，所以以y 4 一且弧s 以一事实 上，若上式不成立，即巩重纵一或弧gx 4 一则y 4 一7 1 - ( z ) = 7 1 - ( 纵) 或 以一r u ( 纵) = r l - ( z ) ，矛盾! 故原命题得证 例1 2 4l - 单位区问ic l ) 一般不是次噩空间，比如：l = i 时，l 单 位区间【0 ，l 】( ，) 就不是次丑空间事实上，取z ，y 【0 ，l l ( i ) 如下： 下证对任意a ( 0 ，l 】，v p q 一( z ) 有y x p 或v q ”一( f ) 有2 7 4gq 不失一般性。我们仅考虑形如e v l ：的闭远域p 和q 情形一t 当0 1 ，- 5 0 ，从而( 丘v 砭) ( g ) = 0 故 玑l ：v 聪，即，弧基p 情形二：当0 4 1 ，5 0 ，从而( 丘v 砭) ( ) = 0 故 y 丘v 磁，即，y x p ， 情形三：当0 5 1 ，s 1 ， 则称 重于b ，表示为a q b ，用，口表示。不重于” 方进明在文献【3 7 】中定义的如下 - f u z z y 重域系是本文研究局部问题的基 础 定义2 1 3 1 3 1 设( x ，r ) 为i - f u z z y 拓扑空间，z p t ( i x ) ，定义仉。：p ， f 如下； vu ，| y ，q 。( c ，) ： v z x q v 5 乃( x ，r ) 成立 例2 2 3 设x = z ，订，定义7 ：p - ，为； 一卅卜浮0 3 矩嬲a ( y i，联z ) ) 容易验证r 是x 上的- f u z z y 拓扑对任意a 而，可以计算得到t o ( 。 ，弧) = 0 3 ，五( 。 ，叭) = 0 2 因此，v x ，y x ，当z y 时，存在a 而使得 t o ( 以，姒) 五( z ，外) ，即s 一( x ，1 ) s 一五( x ，f ) 引理2 2 4 1 3 0 i 设( x ，r ) q ，则矗( z ，弧) = q m ( ( z ) ) a q 。( ( 玑) ) ， 定理2 2 5 设( x ，7 ) 是诱导的i - f u z z y 拓扑空间，即在x 上存在f u z z i f y i n g 拓扑f 使得7 - = ( f ) ，则s 一乃( x ，f ) = 置( x ，f ) 证明因为正( x ，7 i ) = 五( x ， ) ( 【3 0 】定理2 ，1 6 ) 和s 一置( x ，r ) 丑( x ，r ) ，所 以s 丑( x ，r ) 丑( x ，) 故只需证明s 五( x ，r ) 蜀( x ，) ，i e ， s 正( x ，r ) o ( x 一 g ) ) 托( x 一 z ) ) iz ，y x ，z 可) 设口 s - 丑( x ，r ) ，则任意x ，y x ，当z y 时，存在a ，0 使得口 丑( z ，纵) 又因为丑( 以，玑) = q 。( ( 七a ) ) a g 。( ( 玑) ) ，故n q ；。( ( 弧) ) 且 l 拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 o q 。( ( z ) 7 ) 由d q 。( ( 纵) ) 知，存在h p ，满足x n q hs ( 纵) 且 o r ( h ) = a ( 西( ) ) 令a = o 1 一 ( 日) ，则。a ，y 叠a 且a f ( a ) 虬( x 曲 ) 同理，由o l 印。，( ( z ) ) 知口 k ( x 一 z ) ) 因此，任意 z ，y x ，当z y 时，口 y x ( x 一 ) ) a 帆( x 一 z ) i e ，o t i ( x ，f ) 即 证得5 五( x ，7 - ) 丑( x ，f ) 故s n ( x ，r ) = t i ( x ，) 成立 设( y ir l y ) 是i - f u z z y 拓扑空问( x ，r ) 的子空间，文【3 0 l 中已证得下面的结 论：任意z ，鲰p t ( i x ) ，当z y 时，有硝( z ，札) = 邛( z ，钆) 因此，我们 很容易得到下面的定理： 定理2 2 6 次五分离度是遗传的，即：设( x ，r ) n ，y 是x 的子空间， 则s 丑( x ，丁) ss 一噩( k f l y ) 下面给出次五分离度可乘性的结论 定理2 2 7 设 ( 玛，口) b e j 是一族- f u z z y 拓扑空间，则 s 丑( 乃，勺) s 一丑( 兀码，n 勺) 当j ，( x j ，勺) 是满层空间时，有 j e jj j 八s - t - ( x j ，勺) = s n ( n 玛，勺) 证明设r i o 满足r s 一丑( ，勺) ，= ( ) j j 1 7 玛，y = ( y j ) e j 丌满足z y 故存在k j 使得r ( z ) r ( y ) 令兄( z ) = a , p k ( v ) = b ，则 a ，b x k 且a b 因为r as 一乃( 恐，弓) ，所以任意j j 有r s n ( ，乃) i e j 从而r 5 一丑( x ，) 由p 丑( 氟，) = v 五( 纵，6 ) ia ”可知，存在 a i o 有r t 1 ( 口 ，h ) 由引理2 2 4 知，r q h ( ( o ) ) a 仉、( ( h ) ) 因此， 存在e ，d i x - 分别满足以筘( a x ) 。，r 住( c f ) 和a ；、q ds ( h ) ，r 珏( d ) 容易验证，以g p ；- ( d ) s ( 纵) 。和弘q p ；- ( g ) ( z ) 。又因为 r 住( g ) ( 勺) 陋( e ) ) 刚| f ：( g ) ) q 。( ( $ - ) ) 和 i e j r 亿( 。) ( 马巧) ( 譬( 。) ) ( 贯( d ) ) s ( ( 7 ) ， 所以r q 口。( ( z ) 7 ) a q 。，( ( 叭) 7 ) 此即，存在a i o 满足r 7 1 ( x x ，y x ) l 拓扑空间和- f u z z y 拓扑空间的次分离公理 即，r v 正( 吼，纵) 故证得r 5 一乃( n 砀，n 勺) 由r 的任意性可知 ) , e l oj jj e j 人s 一丑( 乃，勺) 争正( 丌蜀，兀勺) | jj e j j 当任意j j ，( x j ，勺) 是满层空间时，( x j ，t j ) 与( 兀玛，兀弓) 的子空间 ( 玛( ) ，兀勺i 玛( f ) ) 同胚由定理2 2 6 和引理2 1 1 1 ，我们可以得到s 一丑( 兀玛，兀弓) s - t d 玛( g ) ，丌弓l 玛白) ) = s - t 1 ( 玛，勺) 2 3 次乃分离度 在本节中，我f r i l l 入- f u z z y 拓扑空间的次而分离度的概念，研究它的性 质，如：遗传性，可乘性等并讨论它与其它分离公理之间的关系 首先我们引入次乃分离度的概念 定义2 3 1 定义元谓词s - t 2 ：q 一，使得 v ( x ，f ) q s 一乃( x ，r ) = 八t v t 2 ( z ，玑) i 缸y x ，z 订 n e z o 其中正( 巩，鼽) =v( q 札( y ) aq 。( u ) ) ，则称s 一正为i - f u z z y 拓扑空间的 次乃分离度，其中v ( x ，f ) ，s b ( x ，丁- ) 表示( x ，r ) 具有次疋分离性的程度 容易验证，下面的推论成立 推论2 3 2 设( x ，r ) n ，则 ( 1 ) s 一毋( x ，r ) s 一乃( x ，r ) ；( 2 ) s 一码( x ，r ) t 2 ( x ，r ) 现在给出次死分离度遗传性的结论 定理2 3 3 次乃分离度是遗传的，即：设( x ，r ) q ，y 是x 的子空间， 则s 一卫( x ，r ) 5 一已( v r y ) 证明设。，y y 满足y ，t s - 正( x ，7 - ) 由s 一正( x ，r ) = v 磷( z ，y x ) 知，存在a i o 使得t 丁( f ，纵) ，又由疋的定义知，存在v p 满 足uav = o x ，使得t q l ( u ) ，t q 美( y ) 由次t 2 的定义知，仅需证明 l 拓扑空间和i - f u z z y 拓扑空间的次分离公理 q 乏( c 厂l y ) = q 丢( u ) ，q 羡( y i y ) = q 聂( y ) 事实上， 锐，( u l y ) =vr l y ( w ) =vvr ( g ) x x q w _ u y靠q w _ u i yg i i , = w =vr ( h 1 = q l ( u ) 2 q 5 r 同理可得，o 羡( v l y ) = q 美( y ) 故证得，存在a i o ，u l y ，y l y ，满足 ( 【，1 1 ，) ( y l y ) = 0 r ，使得t o ：a u l y ) ，t q 二( v l y ) 此即，t s 一死( r7 - l y ) 即证得，5 - 正( x ，f ) 乃( f l y ) 定理2 3 4 设( x ，7 ) 是诱导的i - f u z z y 拓扑空间，即在x 上存在f u z z i f , j d n g 拓扑使得丁= ”( f ) ，则5 一咒( x ，r ) = 7 2 ( x ，) 证明因为正f 墨r ) = 死( 五f ) ( f 3 0 l 定理2 1 6 ) 和5 - 正( 置r ) 正( 咒r ) ，所 以5 一正( x ，r ) 2 乃( x ，f ) 故仅需征明s 乃( x ，7 _ ) ( x ，f ) 设q 5 - 乃( x ，r ) ， 则任意z ，x 当z 时，存在a ，0 使得口 乃( 孤，弧) 由乃 的定义知，存在以v i 。y 满足uav = 0 x ，使得n o l ( u ) 且口 q 美( y ) 又由i - f u z z y 重域的定义知，存在彬h ，| y 分别满足纵g u ， a 丁( w ) = ( ) ) 和张g 日v ，o r ( 日) = ( 日) ) 设 a = 盯l 一 ( ) ，b = o 1 一 ( ) ，则容易验证$ a ，! b ，anb = 仍， 口 ( a ) = f ( 矿1 一 ( 日) ) 0 ( 4 ) 且o f ( b ) = ( 仃- 一 ( w 7 ) ) ( b ) 因 此，qs v ( 心( a ) ( b ) ) i 而x ，z = 正( x ，f )