（应用数学专业论文）不确定线性系统的鲁棒控制.pdf

不确定线性系统的鲁棒控制 李长涛 摘要控制系统中最关心的是系统的稳定性和性能众所周知，不确定性会 破坏系统的稳定性和性能，而不确定性在实际系统中又是不可避免的鲁棒控制 就是试图描述被控对象的不确定性，并在不确定性允许的扰动范围内综合其控制 器，使系统保持稳定性和鲁棒性能因此近年来，鲁棒控制理论一直是控制界研 究的热点问题并取得了相当丰硕的成果基于这样广泛的实际背景，不确定系统 鲁棒控制理论的研究既有重要的理论意义又有非常实际的工程意义本文研究对 象指的是线性不确定系统 不确定线性系统的鲁棒控制理论所研究的问题包括系统的鲁棒稳定性分析和 鲁棒控制器的设计两个方面在鲁棒稳定性分析方面要研究的是，当系统存在各 种不确定性及外加干扰时，系统性能变化的分析，包括系统的动态性能和稳定性 等；而鲁棒控制器的设计是指采用什么控制结构和何种设计方法可保证系统具有 更强的鲁棒性，如何处理系统存在的不确定性和外加干扰的影响目前一般将鲁 棒控制的研究方法分为两类；一类是以分析系统鲁棒性特别是系统稳定性为基础 的不确定性系统分析和设计；二是以某种性能指标优化为设计依据的控制理论， 诸如o 。控制理论，保性能控制理论等 本文主要讨论了不确定线性系统具有闭环极点约束的保性能控制问题，基于 现在流行的l m i 方法给出了反馈控制器存在的条件以及设计方法同时还研究 了不确定线性系统具有多个变时滞系统模型的指数稳定性问题利用l m i 法给 出了系统的指数稳定及鲁棒指数稳定的条件和无记忆状态反馈控制器设计方法 本文中得到的主要结论有： ( 1 ) 主要研究闭环系统的极点约束在一个给定的圆盘中的不确定线性系统的 保性能问题，研究设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统对所有允许的不确定 性稳定，且使得闭环性能指标值不超过某个确定的上界基于线性矩阵不等式处 理方法给出状态反馈控制器存在的充要条件，并利用线性矩阵不等式的解给出了 保性能控制器的设计方法 ( 2 ) 在前一个问题的基础上，由于状态向量的不可观性，考虑设计动态输出 反馈控制器使得闭环系统对所有允许的不确定性稳定，且使得闭环性能指标值不 超过某个确定的上界基于线性矩阵不等式处理方法给出动态输出反馈控制器存 在的充要条件，并利用线性矩阵不等式的解给出了保性能控制器的设计方法 ( 3 ) 讨论了不确定线性系统具有多个变时滞系统模型的指数稳定性问题利 用l m i 方法给出了系统的指数稳定及鲁棒指数稳定的条件和无记忆状态反馈控 制器设计方法 关键词：不确定线性系统；保性能控制；指数稳定；线性矩阵不等 式；反馈控制器 i i r o b u s tc o n t r o lo ft h eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m l ic h a n g t a o a b s t r a c t 。i h es t a b i l i t ya n dt h ep e r f o r m a n c ea r ec o n c e r n e dm o s ti nt h ec o n t r o l s y s t e m s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eu n c e r t a i n t y , w h i c hi si n e v i t a b l ei np r a c t i c a l s y s t e m s ，c a nd e s t r o yt h es y s t e m s s t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c e i no r d e rt om a i n t a i n t h es y s t e m ss t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c e ，t h er o b u s tc o n t r o la t t e m p t st od e s c r i b e t h eo b j e c t su n c e r t a i n t ya n ds y n t h e s i z ei t sc o n t r o l l e rw i t h i nt h ep e r t u r b a t i o ns c o p e p e r m i t t e db yt h eu n c e r t a i n t y t h e r e f o r e ，i nr e c e n ty e a r s ，t h er o b u s tc o n t r o lt h e o r y h a sb e e nw i d e l yc o n c e r n e da n dal o to f e x c e l l e n tr e s u l t sh a v eb e e ng o ti nc o n t r o lf i e l d g i v e nt h i s ，t h er e s e a r c ho fr o b u s tc o n t r o lt h e o r yh a sb o t hi m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n d p r e t t yp r a c t i c a lp r o j e c ts i g n i f i c a n c e t h eo b j e c t ss t u d i e di nt h i sa r t i c l ea r et h el i n e a r u n c e r t a i n t ys y s t e m s t h ep r o b l e m si nt h er o b u s tc o n t r o lt h e o r yo ft h eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m si n - c l u d eb o t ht h er o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i sa n dt h ed e s i g no fr o b u s tc o n t r o l l e r a st o t h ed e s i g no ft h er o b u s tc o n t r o l l e r ，i tr e f e r st od e c i d ew h a tk i n do fc o n t r o ls t r u c t u r e a n dd e s i g nm e t h o dt ou s e ，s oa st og u a r a n t e et h es y s t e m sm o r es t r o n g e rr o b u s t n e s s a n dd e a lw i t ht h ei n f l u e n c eo ft h es y s t e m su n c e r t a i n t ya n dd i s t u r b a n c e a tp r e s e n t ， t h er o b u s tc o n t r o lr e s e a r c ht e c h n i q u ei sg e n e r a l l yd i v i d e di n t ot w ok i n d s ：o n ei st h e u n c e r t a i ns y s t e ma n a l y s i sa n dd e s i g nb a s e do nt h es y s t e m sr o b u s t n e s s ，e s p e c i a l l y t h es y s t e m ss t a b i l i t y t h eo t h e ri st h ec o n t r o lt h e o r y , w h i c hi sd e s i g n e da c c o r d i n g t ot h eo p t i m i z a t i o no fs o m ek i n d so fp e r f o r m a n c ei n d e x ，s u c ha s 比c o n t r o lt h e o r y a n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lt h e o r y t h i sa r t i c l em a i n l yd e a l sw i t ht h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nl i n e a r s y s t e m sw i t hc l o s e d - l o o pp o l ec o n s t r a i n s t h ec o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo ft h ef e e d - b a c kc o n t r o l l e ra n di t sd e s i g nm e t h o da r ep r o p o s e db a s e do nt h ep r e s e n tp o p u l a r l m im e t h o d w h a t sm o r e ，t h ec o n d i t i o n so ft h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dt h er o - b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e - v a r y i n g d e l a y sa n dt h en o n m e m o r ys t a t ef e e d b a c kd e s i g nt e c h n i q u ea r eg i v e nb a s e do nt h e l m im e t h o d t h em a i nc o n c l u s i o n si nt h i sp a p e ra r e ： ( 1 ) t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m sw i t hc l o s e d l o o p p o l ec o n s t r a i n so nag i v e nd i s ki sd i s c u s s e d as t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r ，w h i c hm a k e s i i i t h ec l o s e d - l o o ps y s t e m st ob es t a b i l i t yf o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e sa n dt h ec l o s e d - l o o pp e r f o r m a n c ei n d e xn om o r et h a ns o m eg i v e nu p p e rb o u n d ，i sd e s i g n e d t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo ft h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri 8 g i v e nb yu s i n gl m i b a s e do nt h es o l u t i o no fl m i ，t h ed e s i g nm e t h o do fg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o h e ri so b t a i n e d ( 2 ) o nt h ep r e v i o u sc o n c l u s i o n ，s i n c et h es t a t ev e c t o ri sn o to b s e r v a b l e ，t h e a r t i c l ea t t e m p t st od e s i g nt h ed y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r ，w h i c hm a k e st h e c l o s o d - l o o ps y s t e m st ob es t a b i l i t yf o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e sa n dt h ec l o s e d - l o o pp e r f o r m a n c ei n d e xn om o r et h a ns o m eg i v e nu p p e rb o u n d t h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ee x i s t e n c eo ft h ed y n a m i co u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e ri s g i v e nb yu s i n gl m i b a s e do nt h es o l u t i o no fl m i ，t h ed e s i g nm e t h o do fg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o l l e ri so b t a i n e d ( 3 ) t h ec o n d i t i o n so ft h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dt h er o b u s te x p o n e n t i a ls t a - b i l i t yo ft h eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dt h e n o n - m e m o r ys t a t ef e e d b a c kd e s i g nt e c h n i q u ea r eg i v e nb a s e do nt h el m im e t h o d k e y w o r d s ：u n c e r t a i nf i n e a rs y s t e m ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；e x p o n e n t i a ls t y - b i l i t y ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ；f e e d b a c kc o n t r o l l e r i v c r r + r ”n r n 0 j a 一1 a r x 0 x o x y x ， a m 。( a ) i i a i d e t ( a ) t r a c e ( a ) r 启( s ) d i a g * 主要符号表 复数域 实数域 所有大于零的实数 所有m n 阶实矩阵的全体 所有n 个实分量列向量的全体 适当维数的零矩阵 适当维数的单位矩阵 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a 的转置 矩阵x 是正定矩阵 矩阵x 是半正定矩阵 x y 0 x y 0 矩阵a 的最大特征值 矩阵a 的谱范数l i a i i = v a m a x ( a t a ) 矩阵中关于主对角线对称的部分 矩阵a 的行列式 矩阵a 的迹 复数8 的实部 对角矩阵 s u p l l lj 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：丝 吼牡 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：辑日期：牡 前言 近年来，随着工业的发展，自动控制的应用越来越广泛，已经形成了以计算 机为管理控制中心。依靠网络为依托的大规模自动控制系统，实现了高复杂性的 工业控制体系这种控制模式使得控制范围大幅度增加，控制精度大幅度提高，极 大的节省了人力，提高了工业生产的效率控制技术已经广泛的融入到人们的日 常生活中，不断的提高了人们日常生活器械的自动化程度，丰富和提高了人们的 生活水平在高尖端技术中，控制理论同样得到充分的应用，例如在海洋工程领 域航空航天领域和空间探索中，控制理论的研究更是得到充分的重视，发挥着 极其重要的作用 在控制领域中，各种生产过程、生产设备、运输系统以及其它众多的被控对 象的动态特性一般都很难用精确的数学模型进行描述，有时即使能够被控对象的 精确数学模型，但由于过于复杂，利用现有的控制设计手段也难以实现，因此不 得不进行简化此外，随着工作条件环境变化，控制系统中元器件老化或损坏， 被控对象本身的特性也会随之发生变化众多因素导致所建立的数学模型和实际 的被控对象不可避免的存在误差和不确定性自然的，人们希望有一种控制系统 分析和设计方法，能按照已经掌握的被控对象的数学模型以及有关模型不确定性 的某些信息来指导控制系统的分析和设计，使得闭环系统稳定基于这种指导思 想导致了鲁棒控制问题的产生和发展，并逐渐成为控制理论界和工程应用界的研 究重点 对实际系统来说，仅能保证系统的鲁棒稳定性往往是不够的，在保证系统稳 定的同时一般还要求系统的动态响应满足一定的性能指标因此，对满足一定性 能约束的不确定系统的控制问题的研究将更加具有实际意义线性二次型性能指 标能够反映系统的许多性能要求，而且线性二次型最优控制器设计方法一直是最 优控制的核心内容之一，但该方法也有一个明显的缺点，就是它要求有一个精确 的数学模型，如果系统模型的参数存在摄动，即使是微小的摄动，根据名义系统 模型综合得到的最优控制器，也往往不能够保证闭环系统具有期望的性能，甚至 连闭环系统的稳定性都难以保证而且，如果一味追求缺点目标的最小值，会导 致所得结论过于保守，且破坏了系统性能的鲁棒性，注意点集中在考虑闭环系统 最大稳定性的问题上，忽视了性能和控制作用的相互关系，因而不可避免的导致 了高范数增益问题因此，对一个具有不确定参数的系统和一个给定的二次型性 能指标，最优控制器的设计是困难的 c h a n g 和p e n g 在文献 1 】中提出了解决这个问题的方法，即所谓的保成本控 1 制方法其主要思想是对具有参数不确定的系统。设计一个反馈控制器，使得闭 环不确定系统不仅是鲁棒稳定的，而且对所有允许的不确定性，一个给定的二次 型性能指标值不超过某个确定的上界，这个界被称为成本保成本控制与鲁棒控 制、 k 控制、最优控制等有密切的联系现代控制理论、最优化方法和统计数 学等构成了保成本控制的理论基础3 0 年来，人们对保成本控制倾注了巨大的 热情，已经取得了许多有意义的成果，并且其研究成果已经贯穿控制系统的各个 领域，线性连续不确定系统、离散不确定系统、时滞系统、不确定2 d 系统以及不 确定非线性系统等保成本控制也称为保性能控制，本文中主要用保性能控制 在时间域中研究参数不确定系统的保成本控制问题的主要理论基础是l y a - p u n o v 稳定性理论，早期的一种处理方法是r i c c a t i 方程方法随着线性矩阵不等 式( l m i ) 处理方法的不断发展和完善，保成本控制问题的处理方法正在向l m i 方 法过渡由于l m i 的优良性质和以及解法的突破，使其成为一个强有力的工具， 在控制系统分析和设计方面得到了广泛的应用 本文在第二章中就是利用l m i 方法给一类具有闭环极点约束的不确定线性 系统的设计了状态反馈保性能控制器以及满阶的输出反馈保性能控制器 由于变量的测量、物质及信号的传递等因素的存在，时间滞后现象普遍存在 于海洋工程，电子、机械、金属、化工、生命科学及经济与管理等各种、实际系 统中但在通常情况下，系统中的时滞对系统的影响非常的显著，这时就要充分 考虑时滞对系统的影响时滞的存在往往可以使系统的性能指标下降，甚至可以 造成系统的不稳定因此，对于时滞系统的研究具有较强的理论和实践意义 本文在第三章研究了一类具有时变时滞的系统的指数稳定性问题，基于李亚 普诺夫稳定性理论，通过构造新的李亚普诺夫函数，利用线性矩阵不等式方法给 出了系统的鲁棒指数稳定条件和无记忆状态反馈控制器设计方案，所得结论以 线性矩阵不等式形式给出，仿真结果表明了该方法的有效性 2 第一章绪论 1 1鲁棒控制的主要研究方法 在实际系统中，由于各种不可避免的因素，将出现一些不确定参数在研究控 制系统时所遇到的不确定因素主要包括；( 1 ) 结构不确定性或者参数不确定性； ( 2 ) 非结构不确定性或非结构摄动；( 3 ) 混合不确定性当考虑系统的这些不确定 性时，使得闭环系统同时具有稳定性和鲁棒性能问题，在理论和应用两主要方面 都具有十分重要的意义和价值在本文中，主要考虑具有范数有界的参数不确定 性 现代数学、控制理论和计算机技术的迅速发展为不确定系统的研究提供了强 有力的工具近几十年来，许多专家，学者作了大量的工作，对具有参数不确定 摄动和具有时滞的鲁棒控制问题进行了广泛的研究，鲁棒控制理论取得了令人瞩 目的发展，并已逐步形成具有代表性的两个主要研究方面。即；研究系统传递函 数的频率域方法和研究系统状态方程矩阵族的时域方法 基于输入输出传递函数描述的频率域方法是最早发展起来的控制方法对于 单输入单输出系统，根据b o d e 图或者n y q u i s t 图可以设计出既有良好动态性能又 有一定稳定度的控制系统，它是鲁棒控制频率域方法的基础而现代鲁棒控制理 论的建立和发展很大程度上可以归功于6 0 年代所提出的两个重要的结论，一个 是z a m e s 于1 9 6 3 年在文献f 4 7 】中提出的小增益原理，另一个是k a l m a n 子1 9 6 4 年在文献【4 8 】中证明了单输入单输出系统线性二次型最优状态反馈控制器，它具 有很好的鲁棒性 上世纪5 0 年代后期，空间技术的发展和计算机技术的普及对控制理论的发 展产生了深刻的影响，这种影响促使控制理论由经典控制理论向现代控制理论转 变以微分方程描述为基础的时域( 状态空间法) 的引入，使得人们能够第一次 比较容易的解决线性多变量的问题p o n t r y a g i n 极大值原理、b e l l m a n 的动态规 划和k a l m a n 滤波理论奠定了现代控制的理论基础 鲁棒控制理论的时域方法是鲁棒控制理论研究领域中最为活跃的一个分支， 内容十分丰富如t 时域鲁棒性分析和时域鲁棒镇定本文中主要采用的就是鲁 3 棒控制理论的时域方法 在鲁棒控制理论时域方法中广泛应用到l y a p u n o v 方法，它是由苏联数学家 l y a p u n o v 于1 9 8 2 年在他的巨著“运动稳定性的一般问题”中创立了处理稳定性问 题的两种方法t 第一种方法要利用微分方程的级数解，在它之后没有得到大的发 展；而第二种方法则巧妙的利用一个与微分方程相联系的所谓的l y a p u n o v 函数 来直接判定解的稳定性，因此又称为直接法它在许多实际问题中得到了成功的 应用l y a p u n o v 方法的优点主要体现在两个方面t 其一是方法统一，几乎所有问 题最后都可以转化为一个类r i c c a t i 方程的求解；其二是处理范围广泛，不管是参 数摄动还是时变时滞系统，都可以处理，这是其他方法做不到的因此l y a p u n o v 方法在工业实际中有着广阔的应用前景 虽然r i c c a t i 方程是广为使用的有力的工具，但是在求解一些特定问题时会有 不足，特别是求解那些具有附加约束问题，例如控制增益形式有结构约束、增益大 小有限和成本函数值的上界有最小约束时等近来b o y d 等在文献 1 4 】中提出在 系统中出现的问题可以转化为属于一组问题的线性矩阵不等式( l m i ) 形式，因此 不但可以通过内点法得到全局解，还可以轻松地处理不同类型的附加线性约束问 题 e s f a h a n i 等在文献f 4 6 1 中把其结果推广，使b o y d 等的结论成为其研究结论 的一个特例由于l m i 的优良性质和解法的突破，使其成为一个强有力的工具， 在控制系统分析和设计方面得到了广泛的应用( 可见文献【1 7 ，1 8 ，2 3 ，2 4 ，2 7 ，2 8 ，3 0 】) 也正是由于l m i 的引入，使得过去不太容易做到的事，利用l m i 则较容易实现 研究者发现许多控制问题均可描述为l m i 问题，例如多参数混合灵敏度问题、 多目标优化问题、混合仍耽。控制问题、保性能控制问题等 因此在本文中主要是采用l m i 方法来研究各类问题 1 2不确定系统的鲁棒保性能控制及发展现状 不确定连续系统的保成本控制问题已基本趋于成熟但是有效的系统分析和 综合方法并不多见，理论分析和实例验证表明，在不确定性范数有界假设条件下， 利用不等式放大技术而得到的结论，使得已有的不确定系统保成本控制设计方法 存在一定的保守性，有的还比较严重 4 近年来，随着不确定型系统鲁棒控制研究所取得的进展，不确定系统的保成 本控制问题又得到了广泛的研究，在连续系统和离散系统领域内都取得了很大的 进展( 如文献陋7 】) 但在实际系统控制问题中，为了达到满意的控制效果，不仅要 使得控制系统具有好的稳定性能，同时也要使控制系统的动态性能满足一定的要 求，诸如尽可能短的调节时间，小的超调等这些过渡过程性能的要求可以通过 将闭环系统的极点配置在复平面上的特定区域中来达到为此结合闭环系统动态 性能的考虑，在第二章中研究将闭环系统的极点约束在一个圆盘中的不确定系统 保性能控制问题事实上，这是一个多目标的控制问题，可以将各种性能指标要 求用一个线性矩阵不等式来刻画进而采用一个单一的l y a p u n o v 矩阵将各个线性 矩阵不等式统一成为一个线性矩阵不等式系统，显然这样的处理具有很大的保守 性这里将利用圆盘的特性将圆盘的极点约束和保性能要求有机地结合在一起， 导出该问题的解 本文在第二章中就是利用l m i 方法给一类具有闭环极点约束的不确定线性 系统的设计了状态反馈保性能控制器以及满阶的输出反馈保性能控制器 1 3时滞线性系统的指数稳定性及发展现状 近年来，不确定时滞系统的稳定性分析与控制问题引起了人们的极大关注( 可 见文献【1 5 - 1 9 ，2 5 ，2 9 ，4 5 】) x i a 和j i a 在文献f 2 0 】中研究了状态时滞的不确定系统的鲁棒控制问题x u 等在文献【2 1 】中改进了时滞依赖的稳定性标准，m a g d i s 等在文献【2 2 】中通过坐 标变化给出了设计时滞依赖的控制器的新方法，然而他们大都仅研究系统的渐近 稳定性在文献【2 3 】中m o n d i 6 和k h a r i t o n o v 针对一类线性时滞系统，通过构造 新的l y a p u n o v 函数，以线性矩阵不等式形式给出系统的指数稳定条件，并在此基 础上研究了中立时滞系统的指数镇定条件( 见文献【2 4 】) ，姜和徐在文献 2 6 】中针 对带有状态时滞的不确定线性时滞系统，基于l y a p u n o v 稳定性理论，给出了系 统鲁捧指数稳定的条件文献【3 5 - 4 1 】提出了多时滞系统的指数稳定性问题，但是 他们都是考虑的状态时滞是时不变的情况，而且他们采用的是矩阵的范数及测度 的方法，而且他们没有考虑不确定性因素的影响，s i l v i u - l u l i a nn i c u l e s c u ，c a r l o s 5 e d es o u z a ，l u cd u g a r d ，a n dj e a n - m i c h e ld i o n 在文献 4 2 中考虑了多个时变 时滞的情况，而且也考虑了范数有界的不确定性的影响，但是他们采用的是矩阵 测度和范数的方法，而且他们是事先假定系统矩阵是h u r w i t z 稳定的，具有一定 的保守性f e n g l ir e n 和j i n d ec a o 在文献【3 7 】中虽然利用l m i 研究了指数稳 定的问题，他们也是没有考虑时变的时滞的影响，而且也没有考虑具有范数有界 的不确定性的影响 因此在本文中，主要利用l m i 方法来考虑具有时变时滞的不确定性线性系 统的的鲁棒指数稳定性问题 1 4本论文的主要工作及结构安排 本文主要研究了不确定线性系统具有闭环极点约束的保性能控制问题，基于 现在流行的l m i 方法给出了反馈控制器存在的条件以及设计方法同时还讨论了 不确定线性系统具有多个变时滞系统模型的指数稳定性问题利用l m i 方法给 出了系统的指数稳定及鲁棒指数稳定的条件和无记忆状态反馈控制器设计方法 本文的结构安排如下： 第一章绪论：简单介绍了鲁棒控制的研究方法，保性能控制和指数稳定的 发展以及研究现状 第二章具有闭环极点约束的不确定线性系统的保性能控制，首先给出了状 态反馈控制器存在的条件以及设计方法，然后又给出了满阶的动态输出反馈控制 器存在的条件以及设计方法 第三章具有时变时滞线性系统的指数稳定性分析，利用l m i 方法给出了系 统的指数稳定及鲁棒指数稳定的条件和无记忆状态反馈控制器设计方法 6 第二章具有闭环极点约束的不确定线性系统的保性能控制 2 1问题的陈述和准备 具有范数有界的时变参数不确定性系统的鲁棒镇定问题已得到了广泛的研 究取得了许多有意义的结果，但是对一个实际控制系统，仅仅具有稳定性是不够 的，还必须考虑其他的一些性能线性二次型最优控制理论揭示了一个适当的二 次型性能指标反映系统的许多性能要求，但线性二次型最优控制理论时建立在被 控制对象的一个精确数学模型上，其结果对模型参数不确定性的鲁棒性很差为 此c h a n g 和p e n g 在文献【1 】中提出了不确定系统的保性能控制问题，其主要思 想是对具有参数不确定的系统，设计一个控制器，使得闭环不确定系统不仅是鲁 棒稳定的，而且对所有允许的不确定性，一个给定的二次型性能指标值不超过某 个确定的上界 近年来，随着不确定系统鲁棒稳定性和鲁棒性能控制问题的研究深入，不确 定系统保性能控制问题再次得到了人们的关注，并且已经取得了一系列的成果 ( 可见文献【2 - 7 】) 在实际系统控制问题中，为了达到满意的控制效果，不仅要使得 控制系统具有好的稳定性能，同时也要使控制系统的动态性能满足一定的要求， 诸如尽可能短的调节时间、小的超调等这些过渡过程性能的要求可以通过将闭 环系统的极点配置在复平面上的特定区域中来达到关于闭环系统的极点约束在 一个给定的圆盘中的不确定系统的鲁棒控制也已经取得了一系列的成就( 见文献 p 1 1 】) 文献【5 - 6 虽然对闭环系统的极点约束在一个给定的圆盘中的不确定系统 采用了状态反馈保性能控制，但是他们采用的是代数r i c c a t i 的方法，而且代数 r i c c a t i 的方法在求解过程中相对来说具有很大的困难，在本文中采用线性矩阵不 等式的方法来研究这一问题，特别是m a t l a b 推出了求解线性矩阵不等式问题 的l m i 工具箱从而使得求解和证明更加灵活和方便 考虑由以下状态方程描述的系统 峦( t ) = ( a + h f ( 5 ) e ) x ( t ) ( 2 1 1 ) 7 其中a ，日，e 是具有适当维数常数矩阵，f ( 5 ) 是一个反映模型参数不确定性的未 知矩阵，并且假定其满足f t ( 5 ) f ( 5 ) s ，且6 ，是酞中的紧集系统的性能 指标是 t ，= x t ( t ) q x ( t ) d t ， ( 2 1 2 ) 其中q = q r 0 是给定的正定矩阵 考虑复平面上中，5 - 在一o t + i 0 ，半径为r 的圆盘d ( o ，r ) ，圆盘d ( n ，r ) 总是位 于系统的稳定区域中因此，o 0 ，r 0 ，使得对所有满足，( 6 ) f ( 6 ) ，的不确定矩阵f ( 6 ) ， ( 一p + 一1 a + 日f 竺等+ 。d 7 7 ) 0 ，使得对所有满足f t ( 5 ) f ( 5 ) ，的不确定矩阵f ( 6 ) ， ( 一p 。1 + 翟吖v ) 。 ， 成立，那么称矩阵尸是系统( 2 1 1 ) 的一个二次d 一性能矩阵 以下引理揭示了二次d - 性能矩阵的作用和性质 引理2 1 1 1 5 1 若不确定系统( 2 1 1 ) 存在一个二次d 一性能矩阵p ，则该系统 是二次d 一稳定的，而且系统的性能指标满足。 jsz 吾( 曼p ) m ( 2 1 5 ) 反之，若不确定系统( 2 1 1 ) 是二次d 一稳定的，则该系统必定存在一个二次d 一性 能矩阵p 注2 1 1 由于( 2 1 5 ) 式给出的性能上界依赖于初始状态z o 为避免上界对 个别的初始状态的依赖，存在两种处理方法：一种是随机的处理方法，即假定x o 是一个满足e x o z n = i 的零均值的随即变量，通过考虑性能指标的期望值得 到了= e j ) e x o p x t = t r a c e ( p ) 另一种是确定性的方法；即假定系统的初 始状态是未知的，但是在集合a = x o r n ：跏= n ，矿t ，n 中，r 是一个 给定的矩阵这里，采用确定性的方法这样，相应的系统( 2 1 1 ) 的性能上界是 js 暑a 。( p p r ) ，其中) 、m a x ( a ) 表示矩阵a 的最大特征值 引理2 1 2 【13 】给定适当维数的矩阵kd ，e ，其中y 是对称的，则 y + d f ( j ) e - t - e t f t ( ( f ) d r 0 ， 使得 y + e d d t + e 一1 矿e 0 ( 2 1 7 ) 引理2 1 3 【1 4 1 ( 础u r 补引理) 对给定的对称矩阵s = ( 岛s l 。l 凳) ，其中岛， 是r r 维的以下三个条件是等价的 ( 1 ) s 0 ( 2 ) s n 0 ，如一观凫1 & 2 0 ( 3 ) 昆2 0 ，s n 一岛2 s 著 0 2 2状态反馈保性能控制器设计 ( j 警矧姐 仁扒， + ( 一p 。一+ = 等“v 7 ) 。， 亿。力 即 即 ( 一p 。1 ：群r 2 耳q e ) 妯 z 固 一r 2 p + ， 、 ( 一p 一1 一，a 。p + + a ，l 。q ) + ( 苫) f c ( 。e ) + ( 。e r f ( 5 ) t h r 0 ，使得 ( 一p 一1 一，a 。p + + a ，i 。q ) + s 一1 ( 苫) ( 日r 。) + e ( 吕) ( 。e ) 。， ( 2 2 5 ) 一a + a l 。q ) 一( 品) ( _ c - 1 i ) - 1 ( 。e ) 姐z q ( 一p 。+ ：e - 1 h h t 一户a p + _ a 产i q 一三0 ，) 0 ，v 使得 a + b y + q w _ r 2 w 0口h0 w 醢+ 妒磅0 f 妒 一8 l 00 一8 10 一r 一1 0 r w 0 0 0 一q 一1 0 ，w 0 ，v ，那么控制器u ( t ) = y w 。z ( t ) 即为所求 证明由定理2 2 2 和定义2 2 1 知对给定的圆盘d ( n ，r ) ，系统( 2 2 9 ) 存在 一个状态反馈保性能控制器当且仅当 ( jr 。：+ b 兰k + + a r i ) p h ，e ( 点1 11 0 r 2 kr k e ，2 k ) t ) 。，c z 。- e ， 一r 2 p + ( q + r ) o e ( 最+ t l，n，出 一，0 i 、 一l i 根据引理2 1 3 得到 p ( a + b k + n ，1 一r 2 p op hq e ( e 1 + 易k ) t 0r - - e l00 - - e l0 一兄一l 1 2 0 r ， 0 0 0 一q 一1 0 ，( 2 2 1 7 ) 对不等式( 2 2 1 7 ) 左右同时乘以d i a g p ，p - - 1 , i ，e - t i ，i ，n 可以得到 一p 一1a p 一1 + b k p 一1 + d p 一1 0e 一1 h00 - r 2 p 一1 1 1 0r p 一1 j f tr p 一1 一e 一1 j 0o0 一e 一1 ， o0 - j r 一r 一10 一q 一1 其中i i = ( 易p 以+ e 2 k p - 1 ) t ，在上面的不等式中令； 就可以得到 w = p 一1 ，v = k p 一1 ，p = s 一1 ， 一讳7a 7 + b y + n l 矿 _ r 2 w 0 z h w 峨+ v r 隧0 8 l0 一8 i 0 r 俨 0 0 r 一1 0 r w 0 0 0 一q 一1 证明完成 由上面的定理可知系统的性能上界为 t ，墨a m 。( r r 一1 r ) = ， 数值算例考虑如下形式的不确定的系统 圣( t ) = ( a + 日f ( d ) e 1 ) z ( t ) + ( b + h f ( d ) e 2 ) o ( 2 2 1 8 ) 0 为给定的加权矩阵对给定的圆盘d ( q ，r ) ，将考虑系统( 2 3 2 ) 的输出反馈二次d 一保性能控制问题，即设计一个输出反馈控制器，使得所导出 的闭环系统存在一个二次d - 保性能矩阵为此，考虑具有以下状态空间实现的 一个满阶输出反馈控制器z 圣( 七+ 1 ) = a 。金( 七) + 且：! ，( 七) ， t ( 七) = = c ：圣( 后) ，童( o ) = 0 ( 2 3 4 ) 将控制器( 2 3 4 ) 应用到系统( 2 3 2 ) 得到闭环系统 孟( 七