（计算数学专业论文）对流扩散问题的增量方法.pdf

中文摘要 本文主要讨论用增量的方法来解决对流扩散问题。 对于对流扩散问题，我们可以用中心差分进行离散化后得到一线性方程组， 对这个线性方程组可以用很经典的迭代法，也可以先对系数矩阵进行预条件然 后用迭代法求解。本文用的是另一种方法增量法，通过引进新的变量，把原 来的系统变成一个新的系统，相当于对以前的系统进行了预条件。 后面我们知道对流扩散问题用增量法后得到的矩阵是不对称的，所以在这 罩还提出了一种针对不对称问题的迭代法，比较了用这个迭代法和用g m r e s 方法迭代的优缺点，取得了满意的效果。 关键词：增量方法，预条件，极小残量法。 a b s t r a c t i nt h isp a p e r w ed is c u s st h ei n c r e m e n t a lu n k n o w n sm e t h o d sf o rs o l v ln g t h ec o n v e c t i o n d i f f u s i or m o d e lp r o b l e m w ec a no b t a i naljn e a rs y s t e mb yu s in gt h ec e n t r a id i f f e r e n c em e t h o d o nt h ep r o b l e m t os o l v et h es v s t e m w ec a nu s em a n ym e ，t h o d ss u c ha st h e c l a s s ic a li t e r a t i v em e t h o d ，o fp r e c o n d i t i o n i n gt h em a t t i xa n dt h e nu s i n g it e r a tiv em e t h o d s i no u ft e x t ，w eu s ea n o t h e rm e t h o d i n c r e m e n t a l u n k n o w n sm e t h o d ，b ya d d i n gs o m en e wu n k n o w n st oc h a n g et h es y s t e r nt oa n e ws y s t e m i ts e e m sl i k et ou s ep r e c o n d i t i o n i n g w ek n o wt h a ta f t e ru s i n gt h ei n c r e m e n t a lu n k n o w n sm e t h o dt h es y s t e mi s n o n s y m m e t r i c s oh e r eip r o p o s ean e wi t e r a t i v em e t h o df o rn o n s y m m e t r i c s y s t e r n a i s ow ec o m p a r et h i sm e t h o dw i t hg m r e sm e t h o da n do b t a i ng o o d r e s u l t k e y w o r d s ：i n c r e m e n t a lu n k n o w n s ，p r e c o n d i ti o n ，g m r e s i l 第一章引言 数值线性代数是科学与工程计算的核一h 而线性代数方程组的求解又是数值 线性代数研究的核心问题。所以研究线性代数方程组的求解问题便成为计算数学 的重要研究课题。对二f 给定的一线性系统，一般情况下主要有两大类求解的方法： 直接法和间接法。直接法主要有g a u s s 消去法 1 1 ，间接法是指通过迭代法来逼 近精确解，主要的迭代法有j a c o b i 迭代法，g a u s s s e i d e l 迭代法，g m r e s ，c g 等方法。 但是，在科学与： 程计算中，有些并不是直接给一线性系统，而是一些连续 的系统如偏微分方程，像弹性力学和流体动力学中的n a v i e r s t o k e s 方程、对流扩 散方程等。我们需要对系统进行离散化才能得到线性系统。在离散化的时候会出 现很多的未知量，如在( o ，1 ) ( o ，1 ) 上有1 0 2 41 个网格点是常有的事，但这时的系统 是非常巨大的。当这么多的变量产生的时候，把他们当作相同的方式处理是费时 的。这时从动态系统理论中有一些新的算法出现( 参 5 】， 6 】， 7 】， 8 ，【9 ) ， 增量方法就是其中之。他最早由t e m a m ，r 在 1 0 中提出。例如，当用两级差 分网格时，增量是由粗网格的点和细网格上不属于粗网格的点之间按某种关系的 一种差形成的新的变量。 本文主要是用增量方法来解决对流扩散问题，当然，有别的好的方法来解决 这个问题，然而我们认为相比较而言它和别的方法一样有效，而且它可以用来解 决更复杂的非线性问题。 在第二章中，简单的介绍一下增量方法以及用它来解决矩形区域中的d i r i c h l e t 问题，还给出了在能量方法下的最优估计。 在第三章中，给出了用增量方法来解决对流扩散问题，也是本文的主要内容。 我们对r o g e rt e m a m 在 2 1 中所作的工作进行了推广，并且给出了用增量方法后 矩阵的形式，事实上， 2 】中的算法和实例可作为我们算法的一个特例，即 w = ( 0 ，o ) 7 。 在第四章中，给出了一种不对称问题的迭代法极小残量多项式法，在后面 的数值试验部分用来解决第三章所产生的线性系统。 在第五章中，给出了一些数值实验的算例，得出结论。 第二章增量方法 1 增量方法简介 我们用d i r i c h l e t 问题为实例来介绍增量方法。 f 2 1 1 一a u2 厂i “q q = ( o ，1 ) 二 “l n = 0 先把矩形区域q 划分成2 n 等分，如下图所示： 表l ：n = 4 时区域的二级划分，( ) 为粗网格点，( 。) 为细网格点 我们用五点差分格式在网格 = 泰来离散化方程( 2 1 ) 可得： ( 2 “u 一“，l ，一“，+ l ，) + ( 2 “u 一“一i z l t , j + 1 ) = h2 f , ， ( 2 2 ) i j = 1 , 2 ，2 n 一1 ， “。= 0f 骑= 0 = s j 2 n 这里，= f ( i h ， ) ，“。是“在( f ， ) 的近似值。 我们再来考虑粗网格点2 h = i 1 ，根据它来引进增量只，如下 。 在粗网格点( 2 i h ，2 j h ) 上y 2 啦，= “2 2 ，f ，j = 1 ，n 一1 ； 在细网格点( 除去粗网格点) 上，我们把它们分成如下几类 表2 ： ( ，) ( 朋) ( 彤) 并在其上引进增量如下： 在( f v ) 类型的点上 ( 23 ) y ! 一川= ：“! 。+ 】一( “2 口，+ “汁：) ， i = 1 r 一1 ；j = o n ，n l 在( f h ) 类型的点上： 1 ( 24 ) y 2 h ，2 ，= h2 h ，2 ，一言( “2 啦，+ “2 ，+ 3 ，2 ，) ，i = 0 , 1 ，n l ；j = 1 ，一l 在( f c ) 类型的点上： 1 ( 25 ) y ! 川! ，+ l = “! 川，2 ，+ l 一( “2 口，+ “2 ，+ 22 + “- 2 ，+ 2 + “2 ，+ 22 + 2 ) ， f ，j = o , 1 ，a 一1 把f 22 ) 式“。，厂，按照字典的顺序排列得到线性方程组： ( 2 6 1j 玎= i j 是阶为( 2 m 一1 ) ：的对称正定的矩阵 如果把( 2 2 ) a ，按照粗网格点“。，细网格点“( ( f v ) 点，( f h ) 点，( f c ) 点) 的 顺序排列可得到线性方程组： f 2 7 1a u = b 其中“制小，且黼分黝= ： 爿是j 的重排列，也是对称正定的。 我们如果令玎= y 。，只，按照字典的顺序排列，定义s 为转换矩阵得到 r 2 8 1“= s 玎 那么( 2 7 ) 式可写为： ( 29 ) ，4 s 万= b 上式两边同时乘以s 7 得到 a f i - = b ， ( 2 1 0 )其中 万：s 1 a s玎：s 一1 ui ：s r b 很明显，i 仍然是对称正定的 而且s 有如下的形式： s = ( ：止夕) ，s = ( ：s 斥； 2 增量方法的能量估计 在 2 】中，作者对增量作了最优估计，得到如下的结果 r 21 1 1 v 一】 ! 。，+ j ，：0 ( 儿+ 由上面的结果可以看出，只，是很小的。这可以说明用增量方法是可行的，有效的。 眇 h 脚 第三章对流扩散问题的增量方法 1 w 为常数时的对流扩散问题 本文主要用增量方法来求解对流扩散问题 - 去“+ w v u = 0 “( o ，u ，。j ，u ( o ，y j2u f l ，y j = “( x ，i ) = 0 ： 用中心差分来离散化方程： ( 3 z ) ，万1c 万82 u + + ( w - 罢+ w z 务。 在这里先考虑较简单的情形，取w = ( 1 ，2 ) 离散化得到： ( 3 ，古垃等选+ 坠等丑，+ 造+ 警 ( 34 ) 4 ，_ ( i 争，( 1 + 譬) b ：+ l , ；- - ( 1 一脚u , j _ 1 - ( 1 + 腑k 川：。 这里 = 击，是“在( 2 腩，2 乃) 的近似。 = 0 “，o 2 1 ，i2 o ，】一2 2 n ；u o ，j = 0 ，= l 2 2 n ； 如果把“v 按照字典的顺序排列即”，”“刀“， 2 。“：，“：刀，“：。”“：。吐：，“：。：。一。 若记i 2 暖。一 ( ：。一m ，磁= ( i ! 。一。j f ：。，, i = 1 , 2 2 n - l 其中孑 a ，+ i = 爿。 4 一( 1 一肺) 一( 1 + 肺) 0 ( 1 一肺) 4 ，1 励、 一l l 一。：j o a 。= 0 ，当i i 一p 1 b = o 一( 1 - 嬖) 1 一砌 0 ： 0 = 1 2 2 ，一l 如我们以 = 专的网格作为粗网格点，且对 = 去网格上的点( 除去粗网格上的点) 按照第二章同样的方法分类为( f v ) 类型的点，( f h ) 类型的点，( f c ) 类型的点，那么 可将“。重新排列，按照“。，“，“。，“，的顺序且每一类按照字典的顺序排列。 “。为粗网格的点，为( f v ) 点，为( f h ) 点，“，为( f c ) 点 令“= f 35 、 “。 “u “ “， 得到 则爿 a u = 6 a 。a 。a da “ 4 。a ，a v a 矿 a h c a h 。ah h a q a k a i am a 口 p 面是每个分块矩阵形式 a 。 a m zy0 o。r ， 以= pn 山州 a ，。= 4 1 f 一1 ) x f 铲r a k = yo a = 4 1 ( 一1 1 x f xy o 其中a 。 其中 其中a 。= n 一1 h n 其中x = 其中x = 1 一励1 + 励0 01 一励1 + 励 l 一旦 o o1 一丝 1 + 励0 1 一励 1 一丝o o l + 丝o 0 1 + 励 1 一励 y = y = l + 丝0 0 y = 爿。：f 爿矿，。，其中爿。：f 1 一7 1 j 7 。 l oa ，, j l l l o 1 一励1 + 肋 l + 丝o o1 + 丝 1 一丝o 0 ”，一1 1 x 7 o k 爿 0 y z y 一一 a t e , a m 0 ag = 4 i n t 。n 同时，b = o 如 ( ) 其中鼻 o + 丝o + 肪 一励 f b 。 b 。= b h = 0 ，b 。= ； l b ，l 此时，引进增量： f v 类型的点( 2 i h ，( 2 j + 1 ) h ) f h 类型的点( 2 ( o h ，2 j h ) f c 类型的点 1 + 劢 1 一励 0 丝 o 2 = ：! ：l b = u 2 f 2 ，+ i = z 2 。, 2 1 1 一i 1 ( “2 曲+ d 2 t , 2 + 2 ) 订2 丑= “2 川，2 ，一去( “2 啦。+ “2 ，+ 2 乃) o ( ( 2 f + 1 ) h ，( 2 j + o h ) ：玩川= “2 m + l i 1 ( “2 啦j + “2 z + 2 , 2 j + b 2 i , 2 1 + 2 + “2 州，+ 2 ) f “。 再令玎： 竺 1 l “， 玎= s 叫“+ a b 可看出 ，这里转换矩阵记为s “为后面的方便 有上面的关系可得s = ( ；j 2 这罩得分块矩阵如下 l0 s l s 加0 s i ：0 o o o o ，0 o， 8 y _ 册 爿 中其 v、，+、， 谚。 以巩“乃 f s 川 o1 s ，= 1 ，其中s 川= 1 0s 川。m ， s = 0 x o x x xo x o 爿 x 还可得到6 的形式如下 a b = 勘。 6 。 钆 6 ， 其中x = 其中x = o 、 上 o 2 o一1 2 一三 4 一土 4 o o o 钆=。=。，。=：；ii，。一。,aby=：；!：。，。，一= l 一 2 o o 从e = s “+ a b 得“= s - u s a b 由a u = b 可导出 a s 孑= a s a b + b 记a = a s ，6 = a s a b 十b 有a 万= b 这时，我们得到了另外一个线性系统，很明显，这是不对称的。在第二章中两边乘 以s ，是为了保证对称性，在这里( 3 5 ) 两边并没有乘以s 7 ，通过数值试验发现这比 乘以s 7 要好。 2 w 为函数时的对流扩散问题 以上是我们用w = ( 1 2 ) 7 时的结果。下面来简单的介! g 一下当= ( w l ，v 2 ) 。时的结果 其中w l = 一8 ( x ! 一x ) ( 2 y 一1 ) ，w 2 = 8 ( 2 x 一1 ) ( y ! 一，) 出方f 7 ( 32 ) 离敞化i t j 搿： ，古c翌 塑 坠二+ 一2 u h = “f 卜l 一“ h 二 虬+ i ，一“ 2 h 型二竖二i ：o 2 h 这单的w l 。= w l ( i h ，h ) w 2 u = w 2 ( i h 、j h ) 化简后得： 4 u , 一( 1 - 等州。皿_ 【1 + 譬”_ 抄。卅譬w 2 。) 吖。r ( 1 + 了y h w 2 t , j h + = o 由它与( 3 4 ) 比较可以看出如果我们把上面矩阵a 中的 f - 譬换成i 一譬w i ，； i + 譬换成 i 一肋换成 i + 肋换成 l + 譬州。， l 一譬峨， l + 譬， 就可以得到此时的系数矩阵记为b ，但是要注意w l 。；f 【j w 2 。，中的f ，的取值 在髀换a 的时候，矩阵第一行种的w l 。和w 2 。中的f ，取i = 2 = 2 ：第二行取 i = 2 ，= 4 它是按照点的排列顺序的。 第四章不对称问题的极小残量多项式方法 1 问题的提出 对于不对称问题，ij _ 用基本的迭代法进行迭代，如g s 方法、s o r 方法等，但 般收敛速度缓慢。在这晕，我们考虑把刁i 对称问题化为对称问题，然后用对称问 题的钱量极小化方法求斛。极小残量方法主要是构造残量多项式使之侮某种范数下 达到极小。下面，先介绍对称问题的七搜小贱量力法。 2 对称问题的极小残量多项式方法 对于对称线性问题a x = b ，a r ”“，b r ”。在k r y l o v 子空间k 。 l ( a ，a b ) = s p a n a b 扩b 中找一x 。作为近似解，即有x 。= q 。( a ) b ，其中q 。是一个 n 1 ：欠的多项，日- 葫足条件q h ( o ) = 0 。r 足相应的残量多项式r 。= b a x 。= ( i a q 。( a ) j b = p 。( a ) b 。其中r j n ( ) = i 一1q 。( ) 。p 。是个n 次多项式且满足： p 。( 0 ) = 1 ，i ) 。7 ( 0 ) = o( 1 ) 定义4 1 兀。为最高次数不超过n 的多项式集。 n 0 。为n 。中满足条件( i ) 的最高次数不超过n 的多项式集。 | l ! j 自如下定理【3 1 ： 定理4 1 设 为定义在n 。xh 。的证半定对称的线性形式。若 是在 几，n 2 上的内积，且p 。满足( ， 2 p ：o ，v p 兀( 当n = 0 或i 时，p i 。= 1 ) 。 则p 。是 l ip ”： 一n l 溉在no 。上的唯解。 由p 。的性质知道，凡不满足三项递推，可表示如下： p 。i ( ) = p 。( ) 一p 。一l 2u 。一l ( ) 其中u 。( ) 为( n 一1 ) 次多项式，可以选择适当的u 。( x ) 满足上式，有如下定理 3 定理4 2 和 为定义在兀上的内积u 。43 是关于 的( j 一1 ) 次旷交多项，那么p 。和p 。，j 满足“，l = “一p h 2l 【h ，p h = 。 根据上面的定理，可以通过迭代来计算x ： 由p 叶i = p 。一p 。【凡2u 川引，可得q 川= q 。+ p 。一i un 1 1 4 1 f 斤以，只要给出 i f 交多项式列( u 。4 1 ，就可得x 。的递推关系： x 。，i = q 。( a ) b = ( q + l ( a ) + p ，l al l 。一l “3 ( a ) ) b ：x 。+ p 。一l au 。i 4 ( a ) b 其中pn _ l = p 。 2u h 吵。 关于f 卜交多项式有三项递推，有如下定理： 定理4 3 设 u 。，n o ；足关于 、) 的首项系数为1 的正交多项式序列。则对于 f 1 i 彳i ：l l ( x ) = xu 。【x ) 一a 。u 。( x ) 一0 uj ( x ) 其中a 。、p 。与x ，i 三天，u 一1 = 0 定义4 2定义内积为 = ( p ( a ) x ) 1a 。q ( a ) x ，“n 。这节的x = a + b 是要求 的最小二乘解。 根据心 町知上述定义的u 不是任意的，它有两点限制 ( 1 ) 若a 不定，则“必为偶数 ( ：占b 匹f e ( a ) ，0 此时必颈“ 若 二迭代中有以下定义： w = al l h ( a ) b a “vn i 2 a ”1w n 一1 r 。= p 。( a ) b j 导出f 嘶的算法 ：j ： 算法4 1 。i 2 0 ，r l = b v i = o ，v o = b w 。l2 0 ，”o2 a v o n = l r e p e h t bh = ( w 7 ha “wn 【) w nl 。一1 bm 1 v 。一i = v 。一l g 。i p 一j 2r l na “n l x 1 十i 。x n + pn 一1w n i r n + 12 r n p 。一1 aw n l a n i = w t nia “。1 w n 【 vn=vn l dn iv n 【一b 卅l v n 一2 n a w n 、i d 口1w n l pn j w n 一2 n = n + l u n t i l ( r 。7 $ r 。 ) 口 兑明：在上面的算法中，引进v 。目的是u 有可能为0 ，这时候计算p 。= r 7 。a w 。= r 7 。 a - 1 w 。时出现了a ，为了避免计算a 一，引进v 。= a 一w 。 3 不对称问题的极小残量多项式方法 对于不对称问题a x ：b ，ae r ，b r n ，可构造对称矩阵j ：fo 【彳1 及触胁，i 料舫程撩占等价于f 篇。 所以对 一求解方程a x = b ，只需求解j 譬= i ，取解的x 部分即可。 这样不对称问题的求解就可以转化为上述对称问题的求解。 由十。4 为不定的，故4 1 算法中的u 必须为偶数。 又若j ) r ( a ) ，! i ! | j 万r ( j ) ，此时必须“l 。 刳 所以对一h 述算法中的“有两点限制： ( 1 ) “必为偶数 ( 2 ) 若b r ( a ) ，贝0 此时必须u 若直接把算法4 1 中的f f 换为j ，b 换为万，则计算量可能很大。我们可令相应 的茹。2 ( 麓) ，巧= ( j i ；) ，吒= ( 委 ，把v 消去，则可把算法a 。，转化为如下的算法 算法4 2 x i 。0 f l l ：b ，r 1 2 2 0 v 一i2 0 ，v 2 一i = 0 ；v l o 。b ，v 2 n = 0 一i2 0 ，w 1 = o ：w 1 ：0w 2 n = a t b n = l r e p e a t b 。1 2 ( ( w 。一1 ) ( a a 。) ”7 2 w 1 ，l 十( 2 。一1 ) 1 ( a 1 a ) “7 2 w 2 。i ) 1 ” w 1 。l 2 w i n _ t b 。1 ，吒一l = w z 1 b 。一i v 1 ，l 2 v l n _ j bn i ，v 2 。一l = v 2 n _ i b 。i p 。一1 2 ( r 1 。) 7 ( a a 7 ) “化v ln _ l + ( r 2 。) 7 ( a a ) “7 2 v 2 。一l x n ，l = x n + p 。一l 。一】 ，i 2 r 1 。p 。l aw 2 n i f 2 ”l 2 r 2 n pn ia n l an i = 2 ( 1 h ) 7 ( a a ) “2a ”，【 v 1n 2 n l dn 】v n l 一0n 1 v 1 。2 扩。2 旷n l an lr 。一l 一8n 1 v 2 n 一2 w 1 n2 i w 2 n l an 1w l n 一1 bn 1 w 1n 一2 w 2 n = i r w l n l qn 1w 2 n ，l bn 】w 2 n 一2 n 2 n + 1 u n t i l ( ( r 1 。) 7 r 1 。+ ( r 2 。) 7 + r 2 。 占) 口 通过迭代几次后，不难发现序列 w 1 。) 、 w 2 。 交错为0 。有如下定理： 定理4 4 在算法4 2 中，1 。、w 2 n 序列交错为0 ，即n 为偶数时，w 1 。= 0 ，n 为奇数 时，w 2 。= o 。 定理4 5 在算法4 2 中，a 。= o ，r 2 。= o ，n = 0 ，l ，2 当n 为奇数时，v 1 = 0 ，n = l ，3 ，5 由上面的两个定理，算法4 2 可化为更为简单的形式 算法4 3 x l = 0 ，r l = b w l ：0 ，w o ：a 7 b v 一1 = 0 ，”o = b n = l r e p e a t d + | = ( ( w n - 1 ) 1 ( a t a ) “。2 w n - i ) “2 wn _ l = w i b “ v ，1 = v 。l 8 。1 p = ( r 。) ( a a l ) “2 v xn + i 2 x n4 - pn 1w n _ 1 r n + l = r 。一pn a w n w 。= a w h b * 1 w “ b 。= ( ( w 。) 7 ( a a 。) “2 w o ) ”2 v 。+ i = w n bn v n 1 w 。+ l = a k b 。w h u n t i l ( ( f 。) 1 $ r 。 0 ，在上面的算法中v 可以消去。 口 第五章数值试验 在数值试验部分，我们主要作了以下几个方面的比较： 1 比较矩阵a 和万= a s 的条件数 图一( w 为常数，卢= l o o ) 图二( w 为函数，= 1 0 0 ) 从上面的图中我们可以看出 c o n d ( a ) c i 2 ，n = 2 ，0 c l 1 c o n d ( a ) c 2 2 , 0 c2 1 所以，当n 较大时，万的条件数比爿的条件数要好；当较大时，效果不理想 a 的条件数比爿的条件数还要大。 2 比较用不同的方法迭代两个线性系统 ( 1 ) 矩阵a 用g m r e s 方法迭代( w 为常数) 矿型 81 63 2 1 4 1 ( 0 1 4 1 ) 81 ( 2 2 6 3 ) 1 5 6 ( 9 8 2 5 1 ) 5 4 3 ( 0 1 4 、8 0 ( 1 9 3 2 )1 5 5 ( 11 9 5 6 2 ) l o 3 8 ( 0 11 )7 5 ( 1 5 8 3 )1 4 7 ( 9 1 2 9 1 ) 1 0 0 7 3 ( 03 5 )7 9 ( 1 9 4 3 )1 3 0 ( 8 4 3 3 2 ) 1 0 0 0 2 1 7 ( 28 3 4 )2 9 1 ( 2 39 7 、2 3 5 ( 1 2 3 6 9 ) 1 0 0 0 0 2 2 5 ( 3 0 2 5 ) 9 17 ( 2 6 0 1 ) 1 2 1 1 ( 17 7 0 7 ) ( 2 ) 矩阵j 用g m r e s 方法迭代( w 为常数) 矿型 8 1 63 2 l 2 2 ( 0 0 6 )3 9 ( 0 6 8 1 17 3 ( 7 0 0 4 1 ) 5 2 6 ( 00 7 )4 0 ( 0 7 5 1 )7 3 ( 6 6 1 1 5 、 1 0 3 1 ( 01 5 1 ) 4 1 ( 0 7 0 1 ) 7 0 ( 6 8 6 5 9 ) 1 0 0 11 0 ( o 7 5 1 )1 19 ( 3 3 5 4 ) 9 8 ( 7 4 31 6 ) 1 0 0 0 2 2 5 ( 3 0 3 5 )4 8 7 ( 6 3 7 8 2 ) 5 6 1 ( 4 2 2 0 9 7 ) 1 0 0 0 0 2 2 5 ( 3 0 2 5 )9 6 0 ( 2 9 5 2 0 )2 8 7 4 ( 2 1 6 3 4 ) ( 3 ) 矩阵a 用g m r e s 方法迭代( w 为函数) 矿g 8 1 6 3 2 l 4 6 ( 0 1 5 、8 9 ( 2 3 8 3 ) 1 7 3 ( 1 0 8 6 4 7 ) 5 5 4 ( 0 0 2 )1 0 3 ( 3 1 3 4 ) 2 0 2 ( 1 1 5 1 3 5 ) 1 0 6 1 ( 0 2 4 ) 11 9 ( 4 0 9 6 ) 2 2 6 ( 1 2 5 9 8 1 ) 1 0 02 0 1r 2 4 0 4 ) 2 9 4 ( 2 3 0 9 4 )4 8 4 ( 3 4 1 4 1 1 ) 1 0 0 0 2 2 5 ( 2 9 8 4 )9 5 0 ( 2 9 7 18 8 )1 0 9 4 ( 7 7 1 7 0 1 6 ) 1 0 0 0 0 2 2 5 ( 2 9 8 5 )9 6 1 ( 2 8 0 2 0 3 )5 6 3 7 ( 3 9 7 6 3 ) ( 4 ) 矩阵万用g m r e s 方法迭代( w 为函数) 矿型 8i 63 2 1 2 4 ( 0 0 6 )4 3 ( 0 8 4 )8 0 ( 8 1 2 1 7 ) 5 2 6 ( 0 0 7 )4 7 ( 09 8 1 )9 0 ( 7 4 3 5 7 ) l o 2 9 ( 00 8 1 )5 3 ( 1 1 5 2 ) 1 0 lr 8 1 3 7 6 ) 1 0 0 1 7 2 ( 1 7 7 2 )1 7 3 ( 8 5 1 2 )2 1 9 ( 1 2 0 7 1 3 ) 1 0 0 0 2 2 5 ( 3 0 3 4 )9 2 2 ( 2 8 2 8 4 6 )9 6 7 ( 9 3 0 4 0 8 5 ) ( 5 ) 钳阵a 用不对称问题的极小多项式法方法迭代( w 为常数) 7 巡 8 1 63 2 118 6 ( 0 1 2 1 7 5 7 ( 3 0 7 4 )3 1 1 7 ( 6 85 9 9 ) 5 1 7 9 ( 01 1 )7 4 3 ( 30 3 5 )2 9 8 4 ( 6 5 1 9 3 ) 1 0i5 0 ( 0 0 8 ) 6 0 8 ( 24 5 4 )2 4 3 7 ( 5 3 1 9 6 ) 1 0 010 8 ( o 0 6 ) 2 0 7 ( 0 7 9 1 )6 0 7 ( 1 3 2 4 9 ) 10 0 0 2 1 2 ( 0 1 3 1 )4 0 6 ( 15 8 3 )6 5 2 ( 1 4 2 2 ) 1 0 0 0 0 1 9 8 ( 0 11 )8 4 0 ( 34 6 5 )1 3 0 4 ( 2 8 4 7 1 ) ( 6 ) 矩阵万用不对称问题的极小多项式法方法迭代( w 为常数) 矿型 81 63 2 l 7 1 ( 0 11 )2 0 6 ( 1 8 2 3 )7 0 1 ( 3 27 3 7 ) 5 6 9 ( 0 1 2 、1 8 6 ( 1 6 3 3 )6 7 3 ( 3 1 4 1 5 ) 1 0 6 4 ( 0 1 )1 5 2 ( 1 3 4 2 )5 4 2 ( 2 5 9 3 7 ) l o o 1 8 7 ( 0 2 6 1 )1 8 4 ( 1 5 7 3 )2 3 3 ( 1 1 1 3 6 ) 1 0 0 0 5 8 5 ( 0 8 3 1 ) 10 4 3 ( 9 2 9 3 ) 8 7 2 ( 4 1 7 5 ) 1 0 0 0 0 6 2 2 ( 0 9 11 ) 3 6 18 ( 3 2 0 7 7 ) 5 8 4 0 ( 2 7 9 7 5 2 ) ( 7 ) 矩阵a 用不对称问题的极小多项式法方法迭代( w 为函数) 矿型 81 63 2 1 1 9 7 ( 0 1l 、8 1 4 ( 3 3 9 5 )3 2 3 4 ( 7 0 5 9 2 ) 5 2 0 2 ( 0 11 )8 1 9 ( 3 4 7 5 )3 2 9 3 ( 7 2 6 9 5 ) l o 2 0 0 ( 0 1 2 1 )8 0 8 ( 3 2 8 5 ) 3 216 ( 6 9 7 8 6 ) 】o o 3 0 9 ( 0 ，j8 )8 9 7 ( 3 ，7 6 6 ) 17 2 9 ( 3 5 ，5 8 4 ) 1 0 0 0 4 2 0 ( 0 2 4 ) 1 7 2 9 ( 7 3 0 1 1 1 1 3 3 0 ( 2 5 0 6 3 ) 1 0 0 0 0 7 5 4 ( 0 4 2 1 )3 1 5 6 ( 1 3 7 9 )9 4 1 7 ( 2 0 6 1 5 6 ) ( 8 ) 矩阵万用不对称问题的极小多项式法方法迭代( w 为函数) 7 过 81 63 2 1 7 6 ( 0 1 )2 0 8 ( 1 8 2 2 )7 4 0 ( 3 4 3 0 9 ) 5 7 9 ( 0 1 1 ) 2 1 3 ( 1 8 3 3 )7 5 2 ( 3 5 2 5 4 ) 1 0 7 8 ( 0 11 )2 0 8 ( 1 8 2 0 )7 3 3 ( 3 4 0 0 9 ) 1 0 0 4 4 1 f o 6 2 1 )6 9 0 ) 6 0 9 8 )4 9 6 ( 2 3 0 0 3 ) 1 0 0 0 6 9 9 ( 1 0 1 2 )3 5 5 4 ( 3 07 8 4 )2 6 6 5 6 ( 1 2 3 7 6 、 1 0 0 0 0 1 2 3 7 ( 17 8 2 )6 4 4 2 ( 5 717 2 ) 2 3 0 6 2 ( 1 0 7 0 6 1 3 结论 从上面的图中我们可以得出如下的结论： i 由( 1 ) 与( 2 ) ，( 3 ) 与( 4 ) ，( 5 ) 与( 6 ) ，( 7 ) 与( 8 ) 的比较可以看出，当较小时( j i 1 0 0 0 ) 用g m r e s 或不对称m 题的极小多项式法进行迭代，a 甚至比a 的收敛速度要更慢。 2 由( 1 ) 与( 3 ) ，( 2 ) 与( 4 ) ，( 5 ) 与( 7 ) ，( 6 ) 与( 8 ) 的比较可以看出，w 为函数时比w 为常 数时迭代收敛速度要慢。 3 由( 1 ) 与( 5 ) ，( 2 ) 与( 6 ) ， ( 3 ) 与( 7 ) ，( 4 ) 与( 8 ) 的比较可以看出，用不对称问题的极小 多项式法对此问题进行迭代要比g m r e s 方法要快，迭代时间少。 4 由( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) n 7 - 以看出，用g m r e s 方法迭代时，越小，迭代的次数越 少：由( 5 ) 、( 6 ) 、( 7 ) 、( 8 ) 可以看出，用不对称问题的极小多项式法时，并非如此， 当在1 0 0 左右的时候，达到很小，当很大的时候，仍然很慢。 参考文献 1 曹志浩编著， ，复旦大学出版社( 1 9 9 6 ) 2 、m 1r l c h e r ta n dr o g e rt e m a m ：i i q c f e m e i q t a lu n k n o w n sf o rs o l v i n gp a r ti a l d i t t 、e r e n t i a le q l l a c jo l q s ，n u m e r m a t h 5 9 ，2 5 5 2 7 l ( 19 9 1 ) 3 b e r n df i s c h e r ，m a r t i nh a n k e ，a n dm a r l i sh o c h b r u c k ：an o t r eo nc o n j u g a t e g r a d ie n tt y p em e t h o d sf o ri n d e f ir l i t ea n d o ri 1 2 c o t q s i t e f i t l ir l e c - q 1 - s y s t e r n s n l t m e r i c a , la l g o t i t h m s1 1 ( 1 9 9 6 ) 1 8 1 一1 8 7 4 a x e l s s o r l ，0 ，1 3 a l k e r ，v a ：f ir l i t e e l e m er l ts o l u t i 0 1 30 f b o u n d a r yv a l u e p r o b l e l n ：t h e o r ya n dc o m p u t a t i o n n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s1 9 8 4 j f o i a s ，c ，m a n l e y ，0 ，t e m a m ，r ：s u r l in t , e 2 r a c t i o rd e s p e t i t s e tg r a n d s t o u r b i1 1 0 i l sd a r t sd e se c o u l e m e f l t st u r b u l e n t s c r a c a d s c p a r i s ，s e t i ei ，3 0 5 ， 4 9 7 - 5 0 0 ( 1 9 8 7 ) 6 f o i a s ，c ，m a n l e y ，0 ，t e