（计算数学专业论文）对流扩散问题的区域分裂特征差分方法.pdf

摘要 摘要 对流扩散方程是反映流体流动的一类基本方程，用特征差分格式求对流扩散 方程的数值解，不仅具有一定的计算稳定性，计算效率高等特点，更好地保持了 方程物理上的性质，在数值模拟中有着广泛的应用。近年来，随着高性能并行计 算机的飞速发展，人们更关注于可高效并行实施的算法研究。 针对对流扩散方程，本文将特征差分方法与区域分裂思想相结合，提出了区 域分裂型的特征差分方法。这些方法是无条件稳定的，并且能并行求解对流扩 散问题。本文的主要内容为：第一，对变系数对流扩散方程的第一边值问题提出 了点中心的区域分裂型特征格式，重点讨论了对应于线性插值、二次插值、三次 h e r m i t 保形插值情况下格式的稳定性和收敛性。第二，对第二边值问题提出了块 中心的区域分裂特征格式，在以上三种插值情况下，证明了所构造的并行格式的 收敛性和稳定性。数值实验证明了理论的正确性，并给出了并行加速比。 关键字：对流扩散方程，区域分裂，并行格式，特征差分格式，无条件稳定 a b s t r a c t a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o ni st h eg o v e r n i n ge q u a t i o n o ff l u i dd y n a m i c s e s p e c i a l l yw h e nc o n v e c t i o nd o m i n a t e sd i f f u s i o n ，i ti sn a t u r a lt os e e k n u m e r i c a lm e t h o d sf o rs u c hp r o b l e m st h a tr e f l e c tt h e i ra l m o s th y p e r b o l i cn a t u r e a u s e f u lm e t h o di sc o m b i n i n gt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sw i t hf i n i t ed i f f e r e n c et e c h n i q u e s i na d d i t i o n ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d si m p l e m e n t e do np a r a l l e lc o m p u t e r sa r e p a i dm o r ea t t e n t i o nf o rt h e i rh i g he f f i c i e n c y i nt h i sp a p e r , c o m b i n i n gc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o da n dd o m a i nd e c o m p o - s i t i o ni d e a ，w ec o n s t r u c tt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o np a r a l l e lc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c e s c h e m e sf o rt h e c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o ns u b j e c tt ot h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o na n dn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n t h e s es c h e m e s h a v eb e e np r o v e dt ob eu n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n dc a nb ep e r f o r m e d o np a r a l l e lc o m p u t e r s t h em a i nw o r ki nt h i sp a p e ri so r g a n i z e di n t ot w op a r t s t h ef i r s tp a r tm a i n l y c o n c e r n sa b o u tt h ep o i n t c e n t e r e dd o m a i nd e c o m p o s i t i o np a r a l l e ls c h e m ec o m b i n e d w i mc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c es c h e m et od i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s w ed i s c u s s e di t s s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ec o r r e s p o n d i n gt ol i n e a ri n t e r p o l a t i o n ，q u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o n a n dc u b i ch e r m i ts h a p e p r e s e r v i n gi n t e r p o l a t i o nr e s p e c t i v e l y t h es e c o n dp a r tf o c u s e so nt h eb l o c k c e n t e r e dd o m a i nd e c o m p o s i t i o np a r a l l e l s c h e m ec o n l b i n e dw i t hc h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c es c h e m et on e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yf b rt l l ec o n s t r u c t e ds c h e m ea p p l i e dt ot h ea b o v e t h r e ed i f f e r e n ti n t e r p o l a t i o n sa r ea l s op r o v e d n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e t h e o r e t i cr e s u l ti ss h a r pa n dt h es p e e d u pi sr e a s o n a b l e k e vw o r d s ：c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o n ，p a r a l l e ls c h e m e ， c h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c es c h e m e ，u n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：主j 营 p 落年 月弓d 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：参j 莓 w 3 年t - 月孑日 第一章引言 第一章引言 对流扩散方程由于在实际工程问题中有着广泛的应用而受到科研工作者的普 遍关注，特别是在流体流动和传热领域。对流扩散方程在计算流体力学领域里， 尤其是流动问题的数值模拟中扮演着非常重要的角色，因此，研究精确而稳定的 数值方法以求解对流扩散方程就显得尤为重要。从方程分类角度考虑，它属于抛 物型( 不定常情形) 或椭圆型( 定常情形) 方程。如果方程呈现对流占优性质，它 又呈现双曲方程的基本特性。因此构造一个能够反映其特征性质的数值方法有着 重要的理论和实际意义。 对于对流扩散方程的传统的差分离散格式，普遍有着精度低或计算不稳定的 缺陷，因此发展精度高且稳定性好的差分离散方法成为研究工作的必然选择。1 9 8 2 年，d o u g l a s 和r u s s e l l 1 9 】提出了特征差分法，此文为这一方向的研究奠定了重 要的基础。文中讨论了基于线性和二次插值的特征差分格式，尽管理论分析中其 近似解按离散l 2 模未达到最优阶误差估计，但特征线差分方法适合大时间步长 求解对流占优扩散问题，因其利用对流扩散问题的物理力学性质，可以有效的克 服数值振荡。该方法在能源数值模拟和n a v i e r - s t o k e s 方程的求解中得到了广泛的 应用，并得到了一定的发展。 在使用特征差分方法求解对流扩散方程的过程中，由于对对流项使用向后沿 特征线方向离散，特征线与网格的交点不一定为网格点，于是此点的值需用网格 点处的值进行插值得到，所以就需要特征差分方法与插值算法相结合。特征差分 方法也存在精度低或非物理振荡等缺点，成功与否，关键在于插值方式的选择。线 性插值可以避免数值振荡，却有较大的数值耗散，普通的二次l a g r a n g e 插值，可 以减少数值耗散，但有可能对边界层问题发生严重的数值振荡。近年来，为了改善 特征差分法中的插值误差精度，人们提出了各种不同的网格剖分和插值方法【2 0 ， 2 1 ，2 5 】，如：【2 2 】提出了双线性插值，可以有效的消除数值振荡，同时由于算法构 造的独特性，该算法还特别适合求解变系数的对流扩散方程。1 9 8 0 年，f n f r i t s c h 等人 2 6 ，2 7 提出了分段三次h e r m i t e 单调性插值，这种插值具有很好的保形性， 即可以保持数据点固有的“几何形状”，简称曲线保形，所以这种插值也称为保形 插值，保形插值在实验数据分析，数值逼近，计算机辅助几何设计中有广泛的应 第一章引言 用。【1 8 】将保形插值与特征差分法结合，得到较好的数值结果。对于一维，二维 非线性问题，在【3 3 ，3 4 】中也有相关讨论，王同科【2 4 】针对非线性对流扩散方程 提出了变网格特征差分方法。为解决数值振荡问题，由同顺提出了本质非振荡特 征差分方法 3 2 ，2 3 】。 随着高性能并行计算机的出现，并行差分算法也取得了很大发展。目前主要 有两大类用于求解抛物型方程的并行差分算法：交替分组算法和区域分裂算法。 最早由e v a n s 等人 2 ，3 】提出了求解热传导方程的交替分组a g e 格式，这种方法 能达到绝对稳定，但在格式构造上有一定的复杂度。随后，张宝琳等人【4 】提出了 交替分段显隐a s e i 格式，并应用到变系数情形 5 】。【1 4 】讨论了二维变系数情形 下交替分组并行格式的稳定性。研究表明，交替分组格式具有绝对稳定性，但并 行计算的加速比不易提高。另一方面，1 9 9 1 年，d a w s o n 等人 1 5 】最早提出了区 域分裂算法，推动了并行计算的进一步发展。该算法的主要思想是将求解区域分 成多个子区域，利用显格式求解子区域边界处的值，再利用隐格式并行的求解子 区域内部的值。格式构造相对简单，但往往难达到绝对稳定。热传导方程的区域 分裂算法已有许多工作【1 6 ，1 7 ，2 8 】。 为了在并行计算机上求解对流扩散方程，已有不少文章提出了并行差分格 式，主要集中于交替分组格式的构造。d j e v a n s 6 ，张宝琳【1 0 】等人提出了一类 a g e 和a g e i 格式，【7 _ 9 ，11 】都提出了各自的并行格式，不同之处在于对对流 项的离散方式不同。2 0 0 3 年，针对变系数对流扩散方程，王文洽【1 3 】利用第二 类s a u l y e v 型非对称格式和具有二阶精度的c r a n k n i c o l s o n 格式，构造了具有并 行本性的绝对稳定的交替分段c r a n k n i c o l s o n ( a s c n ) 方法，【1 2 】提出了相应的 a g e 方法，但这些并行格式都未考虑到对流扩散方程的物理力学性质。为解决这 个问题，本文将特征差分方法与区域分裂思想相结合构造区域分裂的特征差分格 式，这样既能并行计算，又能很好地保证方程的物理力学性质。 1 9 8 8 年，w e i s e r 和w h e e l e r 2 9 】提出了适合线性椭圆型和线性抛物型方程的 块中心的差分方法。1 9 9 1 年，王申林 3 0 ，3 l 】结合块中心和特征线差分的思想， 求解对流扩散方程，其共同特点为近似解按离散的l 2 模达到最优阶误差估计，解 的一阶导数的近似解达到超收敛误差估计，此格式能同时满足对真解和流向的逼 近，达到能量守恒。利用这种思想，针对n e u m m a n 边界条件，本文也给出了基于 块中心的区域分裂特征差分算法。 本文接下来的内容安排如下：第二章简要回顾特征差分格式，并介绍一些相 2 第一章引言 关引理。在第三章中，针对第一类边界条件的对流扩散方程，我们提出了基于点中 心的区域分裂特征差分格式。分别对一维常系数和变系数方程给出了相应的并行 格式，并理论证明了所构造格式的整体收敛阶和无条件稳定性。由于收敛阶与所 选取的插值方式有关，我们具体讨论了线性、二次和三次h e r m i t e 保形插值的情 形，结果证明线性插值为o ( hh - a t ) ，二次插值和h e r m i t e 插值均为o ( h 2 + a t ) 。 在第四章中，针对第二类边界条件的对流扩散方程，提出了基于块中心的区域分 裂特征差分格式。同样针对以上三种不同的插值方式讨论了格式的稳定性和收敛 性。数值实验验证了理论结果的正确性，加速比证明了此方法在并行机上的高效 可行性。 3 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1 特征差分格式介绍 我们对d i r i c h l e t 问题的特征差分格式的求解过程做简要回顾。考虑区域q = ( 0 ，l ) ( 0 ，邪上的一维线性对流扩散方程 c ( z 棚赛+ 6 ( z ，) 笔一瓦0 ( 。( z ，亡) 塞) = ，( z ，班。z z ，。t ( 2 1 1 ) u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 ，0 t t( 2 1 2 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，0 z l( 2 1 3 ) 令妒( z ，t ) = c 2 ( z ，亡) + 6 2 ( z ，亡) 】1 2 ，与算子c ( z ，亡) 窑+ 6 ( z ，亡) 笔相伴的特征方向 为丁= ( 糕，糕) ，沿丁的方向导数为： 0 c ( x ，t ) 0 6 ( z ，t ) 0 a 7 妒( z ，t ) o t 。妒( z ，t ) o x 于是方程( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 可化为 妒( x , t ) o 盯u 一未( m 是) = m 一，0 z “o t u ( o ，t ) = u ( z ，t ) = 0 ，0 t t u ( x ，0 ) = 咖( z ) ，0 z z 对网格区域q 进行剖分，取空间步长h = 号，x j = j h ，j 时间步长t = 斋，k = 佗t ，佗= o ，1 ，2 ，7 = 箬， 易= 一笔篙暑警，沿特征线方向做如下差商离散： 蝴州筹) 了吲酬器 4 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) = 0 ，1 ，2 ，j ，再取 特征线与前一层交于 ：c ( x j ，t n ) 廿u n - n - - 1 第二章预备知识 其中骘= 乱( 奶，t n 一1 ) 为讨论方便，记方程的差分解为 叼) ，真解在网格点上 的值为 哆) ，并引入以下记号： t 叼+ l = 击( 叼+ 1 一叼) ，6 叼= + 叼= 丢( 曙。一哆) j 一叼= 一叼= 矿1 n u n ) ，j 2 哆= + 一哆= 去( 曙。一2 u ；+ u n ) ( 1 ) 若a ( x ，亡) ，b ( x ，t ) ，c ( x ，t ) 都为常系数a ，b ，c ，则方程( 2 1 4 ) ( 2 1 6 ) 的差分格式 为： c 学：。+ a - u 7 + ，1 歹j - 1 , 0 几 ( 2 1 7 ) 叼= 叼= 0 ，0 n n ( 2 1 8 ) 叼= u o ( ) ，0 j j ( 2 ) 若为变系数情形，则方程( 2 1 4 ) ( 2 1 6 ) 的差分格式为： 亏+ 竺兰芝妄翌：6 一( 。6 u ) 了+ ，1 歹j - l , 0 n 叼= 叼= 0 ，0 礼n ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 叼= u o ( ) ，0 j j( 2 1 1 2 ) 其中 正( 。6 u ) 罗+ 1 = 丽1l i 。r ，n + + 羚1 。t j n + + 1 l 一叼+ 1 ) 一。a n 一+ 分l ( 。t t j n “一u ，n 一+ i ，l 。l 上式中n + + 丢l = n ( 巧+ j ，t n + 1 ) ，霹由网格节点处的近似值通过插值得到。 2 2 引理 本文讨论- i - - 种插值情况下相应格式的收敛性和稳定性，它们是线性插值、 二次插值、三次，h e m i t 保形插值。下面给出这三种插值的表现形式及插值逼近定 理。记= 一笔篙筹，j ，p 分别表示恒等算子和任意插值算子。 若曰采用线性插值得到，则有 叼= p ( 叼) = 呼l + ( 1 一) 叼= 叼一a j h ( a 一叼) 5 第二章预备知识 若叼采用二次插值得到，则有 留：p ( 叼) ：一生哩 边曙。+ ( 1 一) ( 1 + ) 叼+ 丝唑# 边哆。 ：哆+ 竿6 2 叼一譬( 6 叼+ 6 哆。) ( 2 2 1 ) 若霹采用三次h e n l l i t e 保形插值得到，则有 霹= p ( 叼) = ( 3 q 2 ，十二“3 j ) ( u 翌】一叼) + 叼一q ；( a j + 1 ) h 仇丑】+ ( q 3 f 十z “2 j 十“jj ，6 n f 其中m ，n 一1 ，嘴分别是差分解对孕1 ，哆处一阶导数的逼近。这里我们采用有 关文献【1 8 】中提出的单调保形逼近方式，即： 一若符号相l 司，则令 去= 互1 硒1 + 去) ，歹_ 1 ，2 一1两2 互砑+ 硒) ，7 21 ，2 ，j 一1 一若符号相反，则令m ? = 0 ，j = 1 ，2 ，j 一1 一另外，设m 子：型华，m 3 ：型翌尝 本文的证明过程中，需要用到以下引理 引理2 1r 线性插值逼近定理，j 9 ，) 若方程真解u ( x ) c 3 o ，纠，取均匀网格 剖分，则线性插值函数p ( x ) 满足下面逼近性质， i i ( ，一p ) u ( x ) l i k a t h 引理2 2f 二次插值逼近定理 1 9 1 ) 若方程真解u ( x ) c 4 o ，翻，取均匀网格 剖分，则线性插值函数p ( x ) 满足下面逼近性质， i i ( i p ) u ( x ) l i k a t h 2 引理2 3r 三次h e r m i t e 插值逼近定理，j 7 9 力若方程真解u ( x ) c 4 【o ，驯，取 均匀网格剖分，则线性插值函数p ( x ) 满足下面逼近性质， l i ( i p ) u ( x ) l i k a t h 3 引理2 4 ( y o u n g 不等式，j 7 j 设a ，b20 ，0 0 ，1 】，则下面不等式成立 a 9 8 1 一p o a + ( 1 一口) b 6 第三章点中心的区域分裂特征格式 第三章点中心的区域分裂特征格式 3 1 格式的建立 根据区域分裂法的思想，对某个正整数尼( 1 k j 一1 ) ，区域 0 ，z 】被分 割成两个子区域【o ，z 七】和扛知，f 】。针对问题( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 我们建立如下差分格式 ( 为方便讨论，取c = 1 ) ： = a a + a u 7 + 1 ，1 j j 一1 ，j 尼，0 n n ( 3 1 1 ) = 科a u - n + 。a t a + 一u l l 一2 叼+ 1 + 曙l + a a t a + 一曙1 ) ，0 n 叼= 叼= 0 ，0 扎n 田= 咖( 巧) ，0 j j ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 其中( 3 1 2 ) 司化为 叼+ 12r 干1 瓦孑 霹+ 口7 ( o l l + 。+ 一u l l + 曙1 + 。+ 一曙1 ) ( 3 1 5 ) 在每一时间层，我们可以先利用格式( 3 1 5 ) 计算曜+ 1 点的值，然后利用( 3 1 1 ) 格式同时计算 u 7 + 1 1 1 j 七一1 ) 和 叼“i k + 1 j j 一1 】，这种方法可 以应用到很多其他方程。 为了进行收敛性分析，引入以下记号，用l i 表示空间离散函数的l 2 模，对 离散函数 - 刍o ，_ ) 名o ，记( 让，u ) = 名ou j v y h 3 2 无条件稳定性和收敛性 为讨论区域分裂格式的无条件稳定性和收敛性，我们记髟n = u 7 一叼，芎= 7 篓础 九 一 + 傅 l i 2 u 静 危 + h 倒 = 2 u6忍 j ! 豆 = u 第三章点中心的区域分裂特征格式 尸 u ( ，t n ) 一u ( 奶，t n ) 】，因为 碍一叼= ( j p ) u ( 易，t n ) + p u ( z j ，t n ) 一u ( ，t n ) 】 对所有n 0 ，成立以下误差关系式 矿1 一写 a t e 矿1 一器 a t = 芎+ ( j p ) u ( 易，t n ) = a a + a 一哆十1 + 西+ 1 ，1 j j 一1 ，j k ，0 n n ( 3 2 1 ) = 萨a ( 程l + 。a t a + 一e 嚣一1 2 e 譬+ 1 + 吼1 + a a t a + a e 孙1 ) + 鳍+ 1 ，0 扎 e 子= e = 0 ，0 佗 n 并且由初始条件有 巧0 = 0 ，0 j j 若记截断误差分别为 鳄+ 1 1 1 j j l ，j 庇) 和夕矿1 簖+ 1 = 鲧+ 1 + 矿1 = 鳄“+ ( j p ) u ( 窑七，t n ) a t ( 1 一p ) u ( 奶，t 礼) a t ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) + 嚣( ，一p ) 【u ( 牙_ i c 一1 ，如) + 让( 牙南+ 1 ，k ) 】 ( 3 2 6 ) 只需重新推导鳍+ 1 。在点z 矿1 处，将( 3 2 2 ) t a y l o r 展开得到截断误差 鲧“= 一亡( 互1 + 等) 珏扰一( 6 + 警) 亡乱疵一( 虿b 2 + 从而我们得到 线性插值 二次插值 m a xi i q n | i = o ( a t + h ) n m a xi 妒i l = o ( a t + h 2 ) n 三次h e r m i t 插值m a x l i q n0 = o ( a t + h 2 ) n a b 2 a t h 2 ) k t u z z + o ( k t 2 + h 4 ) 对n 0 ，定义 w 7 + i - - e y + 1 l ：r 一= n 则有q = o ，鳄= 0 。由( 3 2 1 ) 和( 3 2 4 ) ，当n 一1 时成立下面等式 哆+ 1 = a a + 一e 罗+ 1 十够+ 11 j j 一1 ，j k ( 3 2 7 ) 8 第三章点中心的区域分裂特征格式 利用上式，对礼0 ，我们可将( 3 2 2 ) 化为 叫嚣+ 1 = a a + 一e 嚣+ 1 + g 嚣+ 1 一0 7 ( 啦l + a n + 1 ) + o r ( 叫嚣_ 14 - 叫舞1 一叫贮；一w 群：) ( 3 2 8 ) 对方程( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) 分别乘以叼+ 1 h 和叫r l h ，并将结果对j = 1 ，j 一1 求和，我们得到 j 一1，一1 w n + 1 1 1 2 = 口叼+ 1 + a e 罗+ 1 h + 叼+ 1 够+ 1 h o r 叫嚣+ 1 ( q 嚣一，+ g ；耳。) 九 j = lj = l + a r w 譬+ 1 ( w l l + w 。n + 1 一叫芒；一k n + - i - 1 1 、) i l t 因为边界满足w j + 1 = 叫j n + 1 = 0 ，由离散格林公式得： ，一1j 一1 叼+ 1 + 一哆+ 1 h = 一+ 叼+ 1 + 亏+ 1 h j = lj = o 一蕊1 ( 桫+ 1 肛l i s 矿i 1 2 ) 一百k t 将上式代入( 3 2 9 ) 并化简得： j 一1 | + 嵋+ 1 1 2 h j = o 州1 2 + 忐( 桫+ 1 俐2 ) + 丁a a t z - 1 i + 蚪2 危 + o r 叫嚣+ 1 ( 叫七n 一+ l l + 叫群：) 危 t ，一1 = 叼“矿1 h a r w r 嚣“( a n ，一。+ 识。) 九 j = l + a r w 2 + 1 ( w l l + w 。n + 1 ) 因为成立以下不等式关系 霎学+ 1 够+ 1 九g | l 叫n + 11 1 2 + 主i i 口n + 1 i | 2 一。r 训r 1 ( 船。+ 嘶。) 九e 雠1 2 h + 百a 2 r 2 ( i 啦。1 2 + i 嘶。跏 。7 叫嚣“( w l - + 嵋m 百a r i 叫七n + 1j 2 + 。r ( i w n1 2 + i 叫魏。m 9 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 第三章点中心的区域分裂特征格式 进而，( 3 2 1 0 ) 可写成 记 扩1 n 忐( 桫+ 1 俐2 ) 十a z 。x t 釜倒1 + 蚪2 危 + a r w 2 + 1 ( 叫2 二 + 叫w 七n + + 1 l ，、，i 6 扣矿2 + 瓦a 2 r 2 n i l 2 + 2 e w n + l i l 2 + 虿a r 雠n 邶i 九 + a r ( 1 叫l 1 1 2 + l 伽a 1 1 2 ) ( 3 2 1 1 ) q = 互i j - ii 嘣一妒1 1 2 + 叫烈叫搿+ 叫搿) 一荟1 恢+ 1 1 2 一( i 伽黜2 + 雠n + + 。1 1 2 ) 。j = o 。 ( 3 2 11 ) 转化成 ( 1 2 ) l l w 叶m i i + 忐 ( 慨11 1 2 一i i w 1 1 2 ) + a r h q + o r ( i 叫芒；1 2 + 1 w 。n + + 1 1 2 ) 扣矿2 + 瓦a 2 r 2 n 1 1 2 + a r ( i 叫趾。1 2 + i 叫孙。1 2 ) 忍( 3 2 1 2 ) 取e = 五1 ，不难验证q 是非负定的，上式化为 1 1 w 卅i i + 壶 2 ( 1 十2 a 2 7 2 ) ( 1 1 6 e n + 1 1 1 2 一1 1 6 矿1 1 2 ) + 2 n r ( 1 叫嚣二：1 2 + 1 w 。n 十+ 1 1 2 ) 危 m 。a xl l q n i l 2 + 2 a r ( 1 w l l l 2 + 1 w l l l 2 ) 危 ( 3 2 1 3 ) 下面我们要做的主要工作是针对不同的插值方式估计i 陋伊怦首先我们考虑线性 插值的情形。 勺_ - - , n = p 【札( ，t n ) 一u ( 易，t n ) 】= 亏一a h 6 e _ 1 6 芎= 6 亏一a h 6 2 亏 | | 6 矿0 1 1 5 e n0 + q 九i i 铲e n0 1 1 6 矿1 1 2 1 1 5 e n | | 2 + 0 1 2 h 2 咿矿0 2 将上述估计代入( 3 2 1 3 ) 1 1 w 州1 1 2 + 壶( 1 l 巧e n + l l l 2 一1 1 6 e n l l 2 ) + 2 。r ( i 叫瑚2 + h n + 1 | + 1 1 2 ) 九 2 ( 1 + 2 a 2 r 2 ) m 札a xi l q 礼1 1 2 + 2 a r ( 1 w l l l 2 + i 叫群1 1 2 ) 九 + 篆q 2 职n i l 2 + 1 1 w “1 1 2 + 警n i l 2 ) 1 0 ( 3 2 1 4 ) 第三章点中心的区域分裂特征格式 将上式对n = 1 ，n 一1 求和得 n 忡 = 2 + 2 a r ( i n 壶( 慨肛1 1 6 e 。1 1 2 ) 2 ( i + 2 a 2 r 2 ) ( n - 1 ) m 。a x l l q n i l 2 伽：一11 2 + i 叫_ ； + 11 2 ) 危+ 2 a b 2 k a t 由于1 1 6 百o l i = 0 ，从( 3 2 1 3 ) 得到 h 2 + a k ( n _ 1 ) 等警刈2 ( 3 2 1 5 ) 叫1 i j 2 + 瓦a 彬n2 。7 ( 雌1 1 2 + 峨1 m 2 ( 1 + 2 a 2 r 2 ) m n a x l l q ”3 2 1 6 ) 将上两式相加得 n ( 1 - 2 a b 2 k a t ) e 渤 叫n 剖a 渊2 2 n ( 1 + 2 a 2 r 2 ) m 礼a x i q n 1 1 2 + 。b 2 k ( n 一1 ) k t m 。a xi q nj 1 2 ( 3 2 1 7 ) 我们只要取a t 足够小，使得1 2 a b 2 a t 0 ，得到 6 e 1 1 2 c t m a x 咿| | 2 n 其中c 是与a ，r 有关的正常数。 对二次插值成立 芎= p u ( f ：j ，t n ) 一u ( 2 j ，t n ) 】= 哆+ 譬6 2 哆一a h 。勺+ 6 孕。) 呀= 巧e 孑+ t o f l h ( 6 _ 2 咯。一d 2 哆) 一警( 6 z 咯，+ 6 2 哆) 6 矿i | 1 1 5 e 竹0 + 2 a 圳6 2 e n 6 百 1 1 2 1 1 5 e n l l 2 + k a 2 h 2 咿e n l l 2 与线性插值完全相同的推导得到相同的结论。 对三次h e r m i t 插值成立 芎= 一( 3 q 2 + 2 a 3 ) j 孕l + e 孑一q 2 ( a + 1 ) 危( m 釜1 一m 乒1 ) + ( q 3 + 2 a 2 + a ) ( m 一嘴) l l 斟 第三章点中心的区域分裂特征格式 6 芎 = 一( 3 乜2 + 2 a 3 ) h 5 2 e l + 6 e 了一q 2 ( a + 1 ) 其中 时一哮。 + ( a 3 + 2 a 2 + a ，九t n t n 一午m n _ n ) 且不难发现 时= 砑2 5 u s 雨u j 翌1 ，叼= 罱巍 m 乡 ( 3 2 18 ) 可进一步化为 所以 略t 一呼-讯? 一嘴 hh芋ejn+l n 嘴一哼1 6 芎 = - ( 3 a 2 + 2 a 3 ) h 3 2 e 务l + 6 e 了一q 2 ( q + 1 ) h ( 5 2 e 罗+ 5 2 e 务1 ) + ( 口3 + 2 a 2 + a ) h ( 5 2 e 7 + 5 2 e 苒1 ) 1 1 6 矿0 i s e n i i + ( 3 + 1 5 a + l o a 2 ) a h l l 5 2 e n 6 矿1 1 2 i s e n l l 2 + k a 2 h 2 咿e n l l 2 类似可得到，当t n = o ，嘴= 0 时 6 矿1 1 2 j s e n i l 2 + k a 4 h 2 伊e n i | 2 将k a 4 h 2 替换( 3 2 1 4 ) 中的k a 2 h 2 即可得到类似结论。 3 3 1 格式的建立 3 3 变系数问题的推广 考虑区域q = ( 0 ，l ) ( 0 ，t 】上的一维线性对流扩散方程 瓦o u + 6 ( z ) 蕊o u 一未( 口( z ) 瓦o u ) u ( o ，t ) ( 3 2 1 8 ) = f ( x ，亡) ，0 z l ，0 t t ( 3 3 1 ) = u ( l ，t ) = 0 ，0 t t u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，0 z l 1 2 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 第三章点中心的区域分裂特征格式 其中系数满足a ( x ) b ( x ) b 1 ，a ( x ) 1 ，0 a o a ( x ) a 1 。令妒( z ) = 【1 + 6 2 ( z ) 】1 2 ，与算子赛+ 6 ( z ) 是相伴的特征方向为丁= ( 差碧，高) ，沿丁 的方向导数为： a 1 0 b ( x 10 一：= 一一一一 a 7 - 妒( z ) o t 。妒( z ) o x 于是方程( 3 3 1 ) ( 3 3 3 ) 可化为 妒( z ) 雾一瓦0 ( 。( z ) 塞) u ( o ，t ) u ( x ，0 ) f ( x ，亡) ，0 z l ，0 t t u ( i ，t ) = 0 ，0 t t u o ( x ) ，0 z l 对网格区域q 进行剖分，取空间步长h = l j , = j h ，j 时间步长亡：叫，亡n ：扎亡，扎：o ，1 ，2 ，r ：譬， 奶= 巧一6 ( ，t n ) a t ，沿特征线方向做如下差商离散： ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) = 0 ，1 ，2 ，j ，再取 特征线与前一层交于 俐鼢吲巧，澍= 掣u j 其中面? = 让( 易，t n - 1 ) 为讨论方便，我们记方程的差分解为 叼) ，真解在网格 点上的值为 u y ) ，并引入以下记号： a t 叼“2 忐( 叼+ 1 一叼) ，6 叼2 + 哆2 矿1u n 一吁) 巧一叼= 一叼= 乔j u j n 一唔。) ，5 2 叼= a + a 一叼= 嘉( 曙。一2 叼+ 唔。) 6 一( a s u ) y = 索b ( 曙一叼) 一a j 一( 叼一吁) 】 则对方程( 3 3 4 ) 一( 3 3 6 ) 建立如下差分格式，对某个正整数k ( 1 k j 一1 ) ( 为 方便讨论，取c ：1 ) ： 叼+ 1 一霹 r 叼+ 1 一印 1 r = 6 一( o j u ) 罗+ 1 + 学+ 1 ，1 j j 一1 ，j k ，0 佗 n ( 3 3 7 ) = 去( n 七+ ( 掰( 。j u ) 钟。+ 谚鲁。) 一( 。七+ + 。七一 ) 叼+ 1 + a k + ( 亡6 ( 0 6 u ) 锋1 + 谚玉1 ) + 。_ i c 一 ( a t s ( a 5 u ) ；一l + u 。n 一1 ) ) + 臂+ 1 ，0 佗n ( 3 3 8 ) u 3 = 吩= 0 ，0 n n 叼= 咖( 巧) ，0 j j 1 3 ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 第三章点中心的区域分裂特征格式 其中( 3 3 8 ) 可化为 叼“= 在每一时间层，我们可以先利用格式( 3 3 1 1 ) 计算叼+ 1 点的值，然后利用( 3 3 7 ) 格式同时计算 叼+ 1 1 1 j k 一1 ) 和 叼+ 1 i 尼+ 1 j j 一1 ) ，这种方法可以 应用到很多其他方程。 3 3 2 无条件稳定性和收敛性 为讨论区域分裂格式的无条件稳定性和收敛性，用l i 1 i 表示空间离散函数的 l 2 模，对离散函数 ) 嘉o ， 口a l - o ，记( 钆，u ) = 嘉ou j v j h 3 矿1 1 2 = j = o ，一1j 一1 l u ； 1 2 h ，1 1 6 乱“| j 2 = j + 哆j 2 h ，1 1 6 2 乱n ij 2 = i + 一哼j 2 h j = o 我们记哆= 哆一u 7 ，亏= p 【钍( ，t n ) 一u ( 易，k ) 】，因为 哼一叼= ( 一p ) u ( 1 2 j ，t n ) + p 【札( 劫，t n ) 一u ( 易，t n ) 】 对所有佗0 ，成立以下误差关系式 j = l = e 矾j + ( i p ) u ( 易，t n ) e + z 1i - - 一u ：6 一( 。6 e ) 罗+ 1 + 哆+ 1 ，1 歹j 一1 ，j 尼，。佗 ( 3 3 1 2 ) 芷a 二昱t = 丽1 ( n 七十( 。蝴。一( + 吣+ 。七+ ( 。雠， + a k 一 孕1 + 口七+ 珥1 ) + g 嚣+ 1 ，0 n n ( 3 3 1 3 ) e 3 = e = 0 ，0 几 n 并且由初始条件有 o = 0 ，0 j j 若记截断误差分别为 鳄+ 1 1 1 j j 一1 ，j k 和鲧+ 1 够+ 1 = 鳄+ 1 + ( i - _ p ) 厂u ( z 3 , t ) 1 4 ( 3 3 1 4 ) ( 3 3 1 5 ) 第三章点中心的区域分裂特征格式 q n + l = + 生卷型+ 可a k - 5 ( j _ p ) 札( x k - l ，t n ) + 警( ，- p ) u ( x k q - 1 , t n ) 只需重新推导鲧+ 1 ，在点n + 1 处，将( 3 3 1 3 ) t a y l o r 展开得到截断误差 乳o a k n + l = 瑙( 互1 + a k a t 仳川南+ 竿) 龇d 譬+ 警) t u x x q - o ( a t 2 + h 4 ) 从而我们得到 线性插值 m a xi i q n0 = o ( a t + h ) n 二次插值 m a x i i 矿| | = o ( a t + h 2 ) n 三次h e r m i t 插值m a xi 旧”i i = o ( a t + h 2 ) n 对几0 ，定义 。妒：t e n + l = n 则有峭= o ，鳄= 0 ，f h ( 3 3 1 2 ) 和( 3 3 1 5 ) ，当佗一1 时成立下面等式 哆+ 1 = 6 一( 0 6 e ) 7 + 1 + 蜉+ 1 ，1 j j 一1 ，j k ( 3 3 1 6 ) 利用上式，对n 0 ，我们可将( 3 3 1 3 ) 化为 6 一( 0 6 e ) 嚣+ 1 + 口嚣+ 1 一r ( o 七一g 卫1 + a k + q k n + 1 ) + r ( 。知一( 叫& 。一叫；) + a k + ( w r k + 。一叫群：) ) 对方程( 3 3 1 6 ) 和( 3 3 1 7 ) 分别乘以叼+ 1 h 和叫矿1 h ，并将结果对歹= 求和，我们得到 ( 3 3 1 7 ) 1 ，了一1 ，一1j 一1 w n + l i | 2 = 哆+ 1 6 一(