（应用数学专业论文）wrpp半群的若干研究.pdf

七鲁面 摘要 本学位论文研究了几类w r p p 半群，全文分为相对独立的四章 第一章，研究t c - w r p p 半群的平移壳，证明了：c - w r p p 半群的 平移壳仍然是c - w r p p 半群 第二章，研究逆w r p p 半群，获得了j 4 蒸_ w r p p 半群的一些结构 特征特别地，我们给出了关于c - w r p p 半群的一些重要性质另 外，研究了另一类称为基本i ! 造w p p 半群的逆w p p 半群，我们推广 t a d e q u a t e 半群的相关结果 第三章，研究了逆w p p 半群的平移壳问题，证明了：逆w p p 半群 的平移壳仍然是逆w p p 半群 第四章研究完全：w p p 半群，给出了完全w p p 半群的一些性 质特别地，研究了密码w p p 半群的结构问题，建立了密k - - - q w p p 半 群的c l i f f o r d 半格分解定理，我们推广了完全正则半群的相关结果 关键词：w r p p 半群c w r p p 半- 群；平移壳；逆w p p 半群；半格：完 f h a r p p 半群；密码w p p 半群 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，s o m es u b c l a s s e so fw r p p s e m i g r o u p s a r es t u d i e d t h et h e s i s i sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r 1 ，w ei n v e s t i g a t et h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fc - w r p ps e m i g r o u p ，i n p a r t i c u l a r , i ti sp r o v e dt h a tt h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fac - w r p ps e m i g r o u pi ss t i l l c 。w r p ps e m i g r o u p i nc h a p t e r2i sd e d i c a t e dt ot h es t u d yo fi n v e r s ew r p ps e m i g r o u p ，w e o b t a i ns o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fi n v e r s ew r p ps e m i g r o u p i np a r t i c u l a r , w e e s t a b l i s hs o m ec h a r a c t i z a t i o n sf o rc - w r p p s e m i g r o u p i na d d i t i o n , w ec h a r a c - t e r i z eas p e c i a lc a s e so fi n v e r s ew p ps e m i g r o u p ，n a m e df u n d a m e n t a li n v e r s e w p ps e m i g r o u p s ，w eg e n e r a l i z es o m er e s u l t so na d e q u a t es e m i g r o u p i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fi n v e r s ew p ps e m i - g r o u p ，i np a r t i c u l a r , i ti sp r o v e dt h a tt h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fa ni n v e r s ew p p s e m i g r o u p i ss t i l li n v e r s ew p p s e m i g r o u p t h ea i mo fc h a p t e r4i st os t u d yc o m p l e t e l yw p p s e m i g r o u p ，s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n sa r eo b t a i n e df o rc o m p l e t e l yw p ps e m i g r o u p i np a r t i c u l a r , w e i n v e s t i g a t ec r y p t i cw p ps e m i g r o u p sa n de s t a b l i s ht h ec l i f f o r ds e m i l a t t i c ed e - c o m p o s i t i o n s f o rc r y p t i cw p p s e m i g r o u p s ，w eg e n e r a l i z es o m e r e s u l t so nt o m o p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p k e y w o r d s ：w r p ps e m i g r o u p ；c w r p ps e m i g r o u p ；t r a n s l a t i o n a lh u l l ；i n v e r s e w r p ps e m i g r o u p ；s e m i l a t t i c e ；c o m p l e t e l yw p ps e m i g r o u p ；c r y p t i cw p ps e m i - g r o u p 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 c h a p t e r 1 t h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fac - w r p p s e m l g r o u p 1 1i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u l t l e tsb eas e m i g r o u p am a p p i n gao fsi n t oi t s e l fi sc a l l e da 够t r a n s l a t i o no f si j fa ( a b ) = ( a a ) bf o ra l la ，b 影am a p p i n gpo fsi n t oi t s e l fi sc a l l e dar i g h t t r a n s l a t i o no fs i f ( a b ) p = a ( b p ) f o ra l la ，b s al e f tt r a n s l a t i o na a n dar i g h t t r a n s l a t i o npo fsa r el i n k e di fa ( a b ) = ( a p ) bf o ra l la ，b s i nt h i sc a s e ，t h e l i n k e dp a i r ( a ，p ) i sc a l lab i t r a n s l a t i o no fs d e n o t e b yq ( s ) t h es e to fa l ll i n k e d p a i r so fs i ti sn o td i f f i c u l tt oc h e c kt h a tq ( s ) f o r m sas e m i g r o u pu n d e rt h e m u l t i p l i c a t i o n ( 入1 ，p 1 ) ( a 2 ，p 2 ) = ( 入l a 2 ，p l p 2 ) w ec a l lt h es e m i g r o u pu ( s ) t h e t r a n s l a t i o n a fh u l fo fs t r a n s l a t i o n a lh u l li sa ni m p o r t a n tc o n c e p ti nt h et h e o r yo fs e m i g r o u p s f o rt h er o l ep l a y e d b y t h et r a n s l a t i o n a lh u l li ng e n e r a lt h e o r yo fs e m i g r o u p ，t h e r e a d e rm a yc o n s u l tp e t r i c h 【1 5 1 t h e r ea r em a n ya u t h o r sh a v i n gb e e n s t u d y i n g t h et r a n s l a t i o n a lh u l l so f s e m i g r o u p s ( s e e , 【1 】，【6 】- 【9 】a n d 【1 4 1 ) t a n g 【1 9 】i n t r o d u c e dg r e e n s 木木一r e l a t i o n s ”a n d7 z ”，w h i c ha r ec o m o m o n g e n e r a l i z a t i o n so fu s u a lg r e e n 7 sr e l a t i o n s 冗a n dg r e e n s 扣r e l a t i o n s ，冗。as e m i g r o u ps i sc a l l e dac - w r p p s e m i g r o u p 【1 0 】i f ( 1 ) e a c h + - c l a s so f sc o n t a i n sa ni d e m p o t e n t ；a n d ( 2 ) t h ei d e m p o t e n t sa r ec e n t r a l r e f e r e n c e 【9 】t o l du st h a tt h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fac l i f f o r da b u n d a n t s e m i g r o u p ( s u c has e m i g r o u pi sa na b u n d a n ts e m i g r o u pw h o s ei d e m p o t e n t s a r ec e n t r a l ) i sac l i f f o r da b u n d a n ts e m i g r o u p c - w r p ps e m i g r o u p sa r ea n a l o g u e so fc l i f f o r da b u n d a n ts e m i g r o u p s ，i ti sn a t u r a l l ya s k e d ：w h e t h e ri st h e 江西师范大学硕士学位论文 t r a n s l a t i o n a lh u l lo fac - w r p ps e m i g r o u p ss t i l lac - w r p ps e m i g r o u p ? t h ea i m o ft h i sp a p e ri st og i v eap o s i t i v ea n s w e rt ot h i sq u e s t i o n w es h a l lp r o v et h e f o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1 1 1 t h et r a n s l a t i o n a lh u l l , f ac - w r p p s e m i g r o u p i sa c - w r p ps e m i g r o u p 1 2p r o o f so ft h e o r e m1 1 1 w e b e g i nb yl i s t i n gs o m e b a s i cr e s u l t sa n dn o t a t i o nf r o m 【11 】a n d 【1 9 1w h i c h w es h a l lu s ew i t h o u tf u r t h e rc o m m e n t s f o rc o n v e n i e n c e , w es h a l ld e n o t eb y a t h ei d e m p o t e n ti nt h ec ”一c l a s so fs c o n t a i n i n ga a n d ，i fn oo t h e rm e n t i o n s ， w e a l w a y sa s s u m es i sac w r p ps e m i g r o u pa n dei st h es e to f i d e m p o t e n t s o f s f o ras e m i g r o u pzw ed e f i n er e l a t i o n so nt g i v e nb y ：f o ra l la ，b s a n d 以”b 兮( 比，y t 1 ) ( ，a y ) 冗h ( k ，6 1 ) 冗 a m + b 专( 、口叠，y t 1 ) ( z 口，y a ) ch ( z 6 ，y b ) l e m m a1 2 1 【1 9 】( 1 ) i sa r i g h tc o n g r u e n c ea n d c + c “ ( 2 ) 冗i s af 泸c o n g r u e n c e a n d 冗冗+ 冗” l e m m a1 2 2 l e tsb ea c - w r p ps e m i g r o u p j f 入a n d y e s p pa n dp la r ek f tl y e s p r i g h t it r a n s l a t i o n sc f sw h o s e r e s t r i c t i o n so nt h es e tc li d e m p o t e n t s ( f sa r ee q u a l , t h e n ) = x r e s p p = p 1 1 p r o o f ：l e ta s b yt h ed e f i n i t i o no fc - w r p ps e m i g r o u p ，t h e na a + = a = a * a a n ds o a ( 口) = a ( n 4 a ) = ( a a + a = ( a a + a = a ( o ) ， t h u s 入= 弘s i m i l a r l y , p = 口 l e m m a1 2 3 l e tsb eac - w r p ps e m i g r o u p 矿( ，p i ) q ( s ) ，i = 1 ，2 ，t h e nt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s a y ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( a 1 ，p 1 ) = ( a 2 ，p 2 ) ( 2 ) 入l = 入2 ( 3 ) p l = p 2 2 p r o o f ：n o t et h a t ( 1 ) 号( 2 ) i sd u a lt o ( 1 ) 兮( 3 ) ，i ts u f f i c e st ov e r i f y ( 1 ) 兮( 2 ) ， b u t ( 1 ) 营( 2 ) i sc l e a r ，s ow en e e do n l yt os h o w ( 2 ) 兮( 3 ) n o w , a s s u m e 入l = 入2 t h e nf o ra n ye e ( s ) ，a l e = a 2 e t h i ss h o w st h a t ( a l e ) e = ( a 2 e ) e ， h e n c ee ( a l e ) = e ( a 2 e ) ，s ot h a t ( e p l ) e = ( e 砌) e ，t h e r e b ye p l = e ( e p l ) = ( e p l ) e = ( e 现) e = e ( e p 2 ) = e p 2s i n c et h ei d e m p o t e n t sa r ec e n t r a l ，t h u sp l = 伪，a sr e - q u i r e d 口 l e t ( 入，p ) q ( s ) a si n 【1 0 ，w ed e f i n e a p + = a ( a a + ) a n da * a = ( a a + ) a e v i d e n t l y , ”a n dp + a r eb o t ht r a n s f o r m so ns l e m m a1 2 4 l e t ( a ，p ) q ( s ) t h e n f o ra l le e ( 1 ) e p * = x * e e ( 2 ) ”e = ( 沁) p r o o f ：( 1 ) b e c a u s ee i si nt h ec e n t r a lo f 只w eh a v e a n d x * e = ( 入e ) + e = e ( 沁) + = e p ( 入e ) 2 = ( x e ) + e ( 入e ) + e = ( a e ) + ( a e ) e e = ( 入e ) + e = , v e e ( 2 ) n o t et h a tx e c ”( 入e ) + a n ds i n c ec ”i sar i g h tc o n g r u e n c eo ns ，w e h a v e ( a e ) c ”a e = ( a e ) e 料( a e ) + e = a * e ，h e n c eb yt h ed e f i n i t i o no fc - w r p p s e m i g r o u p ，( 入e ) + 入+ e = ( a e ) + a n d 入+ e ( a e ) + = x * e ，t h e r e b y ( h e ) + = ( 入e ) + 入+ e = 入e ( 入e ) + = 入es i n c ee i sc e n t r a l 口 l e m m a 1 2 5 ( a ，矿) q ( s ) p r o o f ：f o ra n y a ，b s ，b yt h ed e f i n i t i o no fc w r p ps e m i g r o u pa n ds i n c ee a r et h ec e n t r a lo fs w eh a v e ”( a b ) ( a ( a 6 ) ) + a b = ( 入( 0 6 ) ) a a b = ( a ( 口6 ) ) + a + a b ( a ( a b ) + a ) + a b = ( 入( ( 口6 ) + a + ) ) + a b = ( a ( 口+ ( 0 6 ) + ) ) 4 a b = ( a a + ( 口6 ) + ) + 0 6 ( a a + ) + ( 口6 ) + a b = ( a a + ) a b ( a b ) + = ( a a + ) + a b ( ”a ) b ， 3 江西师范大学硕士学位论文 a n dw h e n c ea i sal e f tt r a n s l a t i o no ns o nt h eo t h e rh a n d ，w eh a v e ( a b ) p * = a b ( a ( a b ) + ) = 口6 ( 入( ( n 6 ) 。扩) ) = 口6 ( ( 入6 ) ( 0 6 ) + ) = a b ( a b + ) + ( 0 6 ) 。= a b ( a b ) + ( a 扩) + = a b ( a b * ) = o ( b p + ) s ot h a tp + i sa r i g h tt r a n s l a t i o no n s i tr e m a i n st ov e r yt h a t 入a n dp + i sl i n k e d t h i sf o l l o w sf r o mt h ec a l c u l a - t i o n ： a ( a + b ) = o ( 入6 4 ) + b = a a + ( 入6 ) + b = a ( a b + ) + a b = a ( ( a b + ) 口) + b = a ( a ( a + b + ) ) b = n ( 入o + ) b * b = a ( a a + ) 4 砧 = ( a p ) 6 l e m m a1 2 6 ( a ，矿) e ( q ( s ) ) p r o o f ：b yl e m m a1 2 4 ， ( a + ) 2 e = 入( a + e ) = 入( a + e e ) = a + ( e 入+ e ) = ( 入e ) ( 入+ e ) = ( a * e ) 口 a n d e ( p + ) 2 = ( e p * ) p + = ( e ( e p + ) ) p + = ( e p + ) ( e p + ) = ( e p + ) ， w h e n c eb yl e m m a1 2 2 ，( 入+ ) 2 = 入a n d ( p 。) 2 = 矿，t h u s ( 入，矿) 2 = ( 入，p ) e ( q ( s ) ) 口 l e m m a 1 2 7 ( a ，p ) l + + ( 入，p + ) p r o o f ：b yt h ed e f i n i t i o no f + ，i ts u f f i c e st ov e r i f yt h a tf o ra l l ( 丸，p i ) a ( s ) w i t ht = 1 ，2 ， ( 木) ( 入，p ) ( 入1 ，j d l ) 冗( 入，j d ) ( a 2 ，p 2 ) 铮( 入+ ，p + ) ( 入l ，p 1 ) 7 宅( 入+ ，p + ) ( a 2 ，纯) f o re e ，b yl e m m a1 2 4a n ds i n c eei sc e n t r a l , w eh a v e 入入( e )= 入( ( 入+ e ) e ) = 入( e ( a + e ) ) = ( 入e ) ( 入+ e ) = ( 入e ) ( a e ) + = 入e 。 4 h e n c e b yl e m m a1 2 2 ，入a + = a ，t h u sb yl e m m a1 2 3 ，( 入入，p p * ) = ( a ，p ) ，s o t h a t ( 入，p ) ( 入，矿) = ( a ，p ) t h i ss h o w st h a t ( a + ，p 4 ) ( 入l ，p 1 ) 7 已( 入，p + ) ( 入2 ，p 2 ) 令( a ，p ) ( 入+ ，p ) ( 入l ，p 1 ) 冗( 入，d ( 入，p + ) ( 也，p 2 ) = ( a ，p ) ( a 1 ，p 1 ) t z ( a ，p ) ( a 2 ，砌) s i n c e 冗i sal e f tc o n g r u e n c e f i n a l l ) a s s u m e ( a ，p ) ( a l ，p 1 ) 冗( a ，p ) ( a 2 ，仡) n ( s ) s u c ht h a t t h e nt h e r ee x i s t s ( a s ，船) ，( a 4 ，p 4 ) ( 入，p ) ( a l ，p 1 ) = ( 入，p ) o x 2 ，晚) ( 入3 ，p a ) a n d ( a ，p ) ( 入2 ，p 2 ) = ( 入，p ) ( 入1 ，p 1 ) ( 入4 ，p 4 ) c o m p a r i n gc o m p o n e n t s ，w eh a v ep p l = p p 2 p aa n dp p 2 = p p l p 4 b yt h ep r i o r e q u a h t y , ( e p ) ( e p * ) p l = ( e p ) ( e p ) + p l = e p p l = e p p 2 p 3 = ( e p ) ( e p + ) p 2 p s ，w h i c h i m p l i e st h a t ( 木木) ( e 矿) p l = ( e p ) p l = ( e p ) ( e p 4 ) 肌冗( e p ) + ( e p + ) 化船= ( e p ) 晚p 3 s i n c ee p c ”( e p ) + t h ee q u a l i t y ( 木木) m e a n st h a te p + p l = ( e p * p 2 p 3 ) af o rs o m e a s 1 ，h e n c eb yl e m m a1 2 2 ，p * p l = p * p 2 p z p aa n d 矿助p 3 = p * p 1 p b , w h e r e p 。i st h ei n n e rr i g h tt r a n s l a t i o no nsd e t e r m i n e db y 劬t h u s b yl e m m a1 2 3 ， ( 入+ a l ，j d + p 1 ) = ( a + a 2 a 3 a a ，矿p 2 p 3 p 。) ，s ot h a t ( a ，p 4 ) ( a 1 ，p 1 ) = ( a 4 ，p ) ( a 2 ，比) 【( a 3 ，p 3 ) ( 入口，p 。) 】 s i m i l a r l y , ( a + ，矿) ( 入2 ，p 2 ) = ( 入，矿) ( 入l ，p 1 ) ( 入，) f o r s o m e ( x ，p ，) q ( s ) 1 t h e r e f o r e ( a 4 ，p + ) ( a l ，j 口1 ) 死( a + ，户+ ) ( a 2 ，p 2 ) n o ww eh a v ep r o v e dt h a tt h ei m p l i c a t i o n ( 木) i st r u e t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f 口 p r o o fo ft h e o r e m 1 1 1 ：b yl e m m a1 2 7 ，i tr e m a i n st ov e r i f yt h a te ( q ( s ) ) i si nt h ec e n t e ro fq ( s ) i f ( 入l ，p 1 ) e ( q ( s ) ) ，t h e n ( 入l ，p 1 ) = ( 入1 ，p 1 ) 2a n d b y c o m p a r i n gc o m p o n e n t s ，入1 = 入；，s ot h a tf o ra n ye e ， a l e = ( 入1 ) 2 e = a l ( a l e e ) = ( 入1 e ) ( 入l e ) = ( 入l e ) 2 e s i n c eei si nt h ec e n t e ro f s s i m i l a r l y 6e p le n o w l e t ( a ，1 9 ) q ( s ) c o m p u t e a a l e = a ( a l e e ) = 入( e a l e ) = ( 入e ) ( 入l e ) = ( a , e ) ( a e ) = ) l ( e a e ) = a l ( a e e ) = 入1 入e 5 江西师范大学硕士学位论文 a n d e p l p =( e e p l ) p = ( e p l e ) p = ( e p , ) ( e p ) = ( e p ) ( e p l ) ( e p e ) p l = ( e e p ) p l 2 e p p l b y t h el e m m a1 2 2 ，t h u sa a l = a l 入a n dp i p = p p l ，a n dw h e n c e ( 入，p ) ( 入l ，p 1 ) = ( 入1 ，j d l ) ( 入，p ) t h i sm e a n st h a te ( q ( s ) ) i si nt h ec e n t e ro fq ( s ) ，a sr e q u i r e d 口 6 c h a p t e r 2 i n v e r s ew p p s e m l g r o u p s 2 1i n t r o d u c t i o n t og e n e r a l i z eg t e e n 7 s , - r e l a t i o n s , t a n g 【1 9 】i n t r o d u c e ds o c a l l e dg r e e n 木木- r e l a t i o n s a n d 冗”a sf o l l o w s ： a n d + = ( o ，b ) ：( v x ，y s 1 ) a x t 沈y b x n b y ) 冗”= ( o ，b ) ：( v x ，y s 1 ) x a c y a 兮x b y b e v i d e n t l y , c ”i s ar i g h tc o n g r u e n c ea n d 冗”i sal e f tc o n g r u e n c e i ti sc l e a rt h a t c c + c ”a n d7 已7 已+ c 一冗料f o rc o n v e n i e n c e , w eu s ea + t od e n o t et h e t y p i c a li d e m p o t e n t sc + 4 - r e l a t e dt oaw h i l ea tt h o s e 冗- r e l a t e dt oa a l s o ，w e c a nd e f i n e 咒+ = c + n 冗”a n dd + + = v 冗”i f 苊+ i so n eo fg t e e n 7 s 料 m l a f i o n sc ”，冗”，爿a n d 口，w ed e n o t eb yk t h e 尼- c l a s so fs c o n t a i n i n g a a n d ，e ( s ) d e n o t e st h es e to fi d e m p o t e n t so fs a s e m i g r o u ps i sc a l l e dw e a kr i g h tp r i n c i p a lp r o j e c t i v e , i ns h o r t ，w r p p ，i f ( 1 ) e a c h 。- c l a s so fsc o n t a i n sa tl e a s to n ei d e m p o t e n t ；a n d ( 2 ) f o ra l lz sa n d f o re a c h 矿，x x = x d u a l l y , w e a k 蜘p r i n c 枷lp r o j e c t i v es e m i g r o u p ( w l p p ) c a n b ed e f i n e d a l s o ，si sc a l lw e a kp r i n c 枷ip r o j e c t i v e ( w p p ) i fsi sb o t hw l p pa n d w r p p r e g u l a rs e m i g r o u p sa n da b u n d a n ts e m i g r o u p sa r eb o t hw p p ( f o ra b u n - d a n ts e m i g r o u p s ，s e e 【5 1 ) t a n g 【1 9 】s t u d i e dw l p ps e m i g r o u p sw h o s ei d e m p o t e n t sa r ec e n t r a l a f t e rt h e n , t h e r ea r em a n ya u t h o r sh a v i n gb e e nr e s e a r c h i n g v a r i o u sk i n d so fw z p p ( w p p ) s e m i g r o u p s ( f o re x a m p l e ，【4 】，【1 2 ，【1 3 1 ，【1 7 1 ，【1 8 】 a n dt h e i rr e f e r e n c e s ) i n v e r s es e m i g r o u p sa r ed e f i n e da sr e g u l a rs e m i g r o u p si nw h i c hi d e m p o t e n t sf o r mas u b s e m i l a t t i c e t h i sc l a s so fi n v e r s es e m i g r o u p si sav e r yi m p o r t a n tt o p i ci nt h et h e o r yo fs e m i g r o u p s s u c hs e m i g r o u p sa r eg e n e r a l i z e d t os o m ec l a s s e so fg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s ，s u c ha s ：7 r 。i n v e r s es e m i - g r o u p s ，w h i c ha r ea n a l o g u e so fi n v e r s es e m i g r o u p si nt h et h e o r y o f7 r r e g u l a r s e m i g r o u p s ( s e e 【2 1 ) ，a n da d e q u a t es e m i g r o u p s ，w h i c ha r eg e n e r a l i z a t i o n so f i n v e r s es e m i g r o u p si nt h er a n g eo fa b u n d a n ts e m i g r o u p s ( s e e 【7 】) t h ea i mo f t h i sp a p e ri st oc o n s i d e ra na n a l o g u eo fi n v e r s es e m i g r o u p si nt h et h e o r yo f w r p ps e m i g r o u p s ，c a l l e di n v e r s ew r p ps e m i g r o u p s 2 2 c o n c e p t sa n d ba s i cp r o p e r t i e s d e f i n i t i o n2 2 1 a 【w l p p ；w r p p 】w p ps e m i g r o u psi sc a l l e da ni n v e r s e w l p p ； w r p p w p ps e m i g r o u p i ft h es e to fi d e m p o t e n t se ( s ) i sas e m i l a t t i c eu n d e rt h e m u l t i p l i c a t i o no fs f o ra ni n v e r s ew l p ps e m i g r o u ps ，s i n c ee ( s ) i sas e m i l a t t i c e , i te a s yt os e e t h a tt h es e tr e g ( s 1o fr e g u l a re l e m e n t so fsf o r m sas u b s e m i g r o u po fsf u r - t h e r m o r er e g ( s ) i sa ni n v e r s es u b s e m i g r o u po fs b a s e do nt h e s ea r g u m e n t s ， w e h a v e p r o p o s i t i o n2 2 2 us i si n v e r s e w l p p ；w r p p lw p p s e m i g r o u p , t h e nr e g ( s ) i sa n i n v e r s es u b s e m i g r o u pc fs l e m m a2 23e a c h + + - c l a s sc faw r p ps e m i g r o u pc o n t a i n sa tm o s tt i t l er e g u l a rc c l a s s p r o o f ：l e tsb eaw r p ps e m i g r o u pa n de ，e ( s ) n o w , w en e e do n l yt o s h o wt h a ti fe + f ，t h e ne f i n d e e d ，b yt h ed e f i n i t i o no fw r p ps e m i g r o u p s ， e = e a n d1 = e lt h e r e b ye c 。a sr e q u i r e d o b y l e m m a2 2 3 ，t h ef o l l o w i n gi si m m e d i a t e p r o p o s i t i o n2 2 4 l e tsb eaw r p ps e m i g r o u p t h e nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r e e q u i v a l e n t ： ( 1 ) si sa ni n v e r s ew r p ps e m i g r o u p 8 一一 曼生璺堕竺型里2 望里! 曼翌坚2 呈 一 _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - - _ _ _ - - _ - _ - 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