（理论物理专业论文）jacobi椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用.pdf

摘要 摘要 本文首先简要介绍了j a c o b i 椭圆函数及其性质，然后介绍了非线性发展方程的 j a c o b i 椭圆函数展开法和目前的一些演化和扩展情况，最后着重介绍本人对 j a c o b i 椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用方面所作的研究。具体概括起来 包括以下几个方面： 一、简要介绍j a c o b i 椭圆函数及其性质，从而阐述了用j a c o b i 椭圆函数求 解非线性发展方程的优越性。 二、介绍刘等人提出的j a c o b i 椭圆函数展开法及当前一些主要的扩展 双j a c o b i 椭圆函数展开法和f 展开法。 三、对行波变换进行归纳，提出了新的一般变换来求解非线性发展方程并 得到许多新的周期波解。 四、对j a c o b i 椭圆函数展开法进行改进和扩展，提出新的扩展的j a c o b i 椭 圆展开法来求解非线性发展方程并得到许多新的周期波解。 五、对椭圆方程进行讨论，提出新的函数变换并利用椭圆方程的解来求解 非线性发展方程，从而得到大量新的周期波解。 关键词：j a c o b i 椭圆函数非线性发展方程周期波解孤立波解 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i sf i r s t l yi n t r o d u c e dj a c u b ie l l i p t i cf u n c t i o na n di t sc h a r a c t e r s t h e n , j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n d e dm e t h o d sa n dt h es i t u a t i o no fi t se v o l u t i o na n d e x t e n d e d n e s sc u r r e n t l yo fs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sw e r ei n t r o d u c e d l a s t l yw e r e s e a r c h e dt h en e wm e t h o d so fs o l v i n gn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hj a c o b i e l l i p t i cf u n c t i o n i tb r i e f l yi n c l u d e ss e v e r a lf o l l o w i n ga s p e c t s ： f i r s t , j a c o b ie 1 1 i p t i cf u n c t i o nw c r ei n t r o d u c e da n ds o m eo fi t sm a i nc b a r a c t e 巧 w e r cd i s c u s s e ds i m p l y t h e r e b yi tw a se m p h a s i z e dt h a tt h ei m p o r t a n to fs o l v i n g n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n s e c o n d ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n d e dm e t h o d sp r o p o s e db yl i ue ta la n di t s e v o l u t i o na n de x t e n d e d n e s s c u r r e n t l yi n c l u d i n gd o u b l e j a e o b i e l l i p t i c f u n c t i o n e x p a n d e dm e t h o da n dfe x p a n d e dm e t h o do fs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sw e r e i n t r o d u c e d t h i r d ，t h en e wg e n e r a lf u n c t i o nt r a n s f o r mw a sp r o p o s e db yc o n d u d i n gt h e t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s ，s o m en e w r e s u l t sa r eo b t a i n e d f o u r t h , a tb a s i co f t h ei m p r o v e m e n to f j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n d e dm e t h o d , t h ee x t e n d e dj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n d e dm e t h o d sw a sp r o p o s e d f i n a l l y ah e wf u n c t i o nt r a n s f o r mw a sp r o p o s e dt os o l v en o l l l i n e a xe v o l u t i o n e q u a t i o n sw i t ht h eh e l po ft h es o l u t i o n so fe l l i p t i ce q u a t i o n , a n dm a n yn e wr e s u l t sa x e 0 b t a l n e d k e yw o r d s ： j a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o nn o n l i n e a r e v o l u t i o n e q u a t i o n s p e r i o d i cw a v es o l u t i o n ss o l i t a r yw a v es o l u t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得燃7 i 【害或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同s - 作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：屎阖特 签字日期： 弘一7 年期2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了勰安徽木学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权安麟以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以呆用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位篙荽茹硼械麓骅钟栅 学位论文作者签名：柔园特导师签名：韩家骅d 帚，j 日 工作单位 通讯地址 电话：13 8560 73 7 8 5 邮编：23 0 0 0 1 序言 惠 吉 ，j 日 随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问 题，越来越引起人们的关注，而且许多非线性辨别问题的研究最终可归为非线性 发展方程来描述，因而如何得到它们的精确解对研究相关的非线性问题非常重要 这也一直是数学和物理学研究的一个核心问题 线性与非线性的区别在于，从数学的角度来看，函数y 一甜+ 6 ，即变量的次 幂是一次，任何非一次的变量构成的函数都是非线性的，例如 y 1 甜2 + 缸4 - c ，) ，1s i n x ，y 。e x p x 等，从图像上看线性函数的图像是直线( 线性 的由来) ，而非线性函数的图像是曲线，线性可认为是非线性的一种特殊情况 在物理上，物理量是空间与时间的函数，物理之间的关系一般总是通过微分 方程来描述，如牛顿第二定律尸。a f ( x , t ) 以 那么对微分方程来说，线性微分方程是指微分方程中所有的变量及其各阶导 数的次幂是一次：反之，非线性微分方程其变量或它的任何阶的导数不是一次由 此看来线性微分方程也是非线性微分方程的特例，非线性微分方程反映了自然界 中最常见、最普遍规律 线性微分方程有一个显著的特点：它的解满足叠加原理；而非线性微分方程 如果知道它的两个解，则这两个解的线性叠加不一定是原微分方程的解。非线性 也是引起突变的原因，因为对线性微分方程来说，一个变量的微小变化不可能引 起另一个变量的突变；而非线性微分方程则不一样。如果决定天气情况的气压、 温度、湿度等物理量满足一系列非线性微分方程组，我们解出这些方程组就可以 预测天气情况，由于非线性的缘故，我们可以进行短期的天气预测，但由于初始 条件的微小变化可能引起的突变，因此使得长期的天气预测不可能实现。 在经典物理学中我们接触到的物理规律大多数都是通过线性微分方程来描 述的，如牛顿第二定律尸。型型，欧姆定律等，它们都可以精确求解。即使有 d f 些不是线性微分方程，我们一般也作似近处理，使之变为线性微分方程来求解， 例如研究单摆规律时，在摆角很小( 0s5 。) 的情况，我们就将认为s i n # ，0 从而 使非线性微分方程变为线性微分方程，求得其精确解。实际上，非线性现象才是 j a c o b i 椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用 自然界最普遍的现象，非线性才是自然界的本质，正是非线性才有自然界的丰富 多彩。 非线性问题错综复杂，处理起来相当棘手一般来说，线性系统是可解的， 其解满足叠加原理；而非线性系统是不可解的，其解不满足叠加原理尽管人们 为了获得良好而简单的理解，往往把非线性项，例如摩擦力、空气阻力等置于一 旁不管，对非线性问题进行强制性的线性处理，可实际上这是不恰当的，技术上 的成功，并不意味着对客观现象的真实描述，非线性的存在的确使得非线性复杂 难解，但也是线性系统不可媲美的近2 0 年来的科技发展表明，非线性问题已不 是物理学中的个别现象，它己渗透到力、热、声、电、光、原子物理和粒子物理 等物理学的各个领域，而且达到物理学及其相关学科的每一新进展几乎都与“非 线性”相关的程度，出现了非线性力学、分形物理学、混沌动力学、非线性电磁 学、非线性声学、非线性光学等一系列新兴物理学科 物理学中的非线性可以产生本质上全新的一些现象，物理学各领域的非线性 使非线性物理的研究无论是内容上还是方法上都充满着广阔的前景非线性物理 主要包括孤子理论、混沌理论、分形理论和耗散结构理论孤波是非线住物理研 究的热门课题之一 孤波首先是1 8 3 4 年英国科学家罗素( j s c o t tr u s s e l l ) 发现的但只是1 9 6 5 年 扎布斯基( n j z a b u s k y ) 和克鲁斯卡( m d k r u s k a l ) 求k d v 方程的数值解时发现 孤波相互作用后能保持各自波形速度不变的粒子性并称之为孤子以后，孤子 ( s o l i t o n ) 和孤波( s o l i t a r y w a v e ) 的概念才广泛应用于物理学的各个领域1 1 2 0 目前， 从流体力学、等离子体、光学、凝聚态物理、基本粒子物理乃至天体物理，到处 都发现有孤子存在的实验事实或物理机制 物理规律在一定近似下大都可以建立数学模型研究非线性物理中的孤波现 象，就必须求解描述物理学各领域相应规律的非线性方程( 组) ，包括非线性常微 分方程、非线性偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等 孤子问题在大量非线性物理中出现，用孤子理论可以研究流体力学、等离 子体物理、基本粒子物理和凝聚态物理等领域内各种新的理论和实验问题，以及 物质非线性作用下的运动规律等从数学方面看，已经发现一大类非线性发展方 程具有孤子解，并形成了一整套数学方法，目前孤子理论的研究已成为- - 1 3 新兴 2 序言 的应用数学物理学科 非线性物理的研究，特别是孤子理论的研究，已经有一大批非线性方程可以 求出其精确解这些方程主要有：b u r g e r s 方程、k d v ( k o r t e w e g d ev r i e s ) 方程、 非线性k l e i n - c o r d o n 方程、b o u s s i n e s q 方程、b d o ( b e n j a m i n d a v i s - o n o ) 方程 m k d v 方程、f i s h e r 方程、k d v b u r g e r s 方程、k d y - b u r g e r s - k u r a m o t o 方程、非 线性薛定愕( n l s ) 方程、z k ( z a k h a r o v k u z n e t s o v ) 方程、k p ( k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ) 方程等哆 非线性方程无统一的求解方法3 0 多年来，非线性数学物理的研究领域颇具 特色的新成就之一是创造了求非线性方程( 组) 精确解的各种精巧方法，例如：试 探函数法嘲、摄动法( 含级数展开法) “1 、特殊变换法( h o p f c o l e 变换、h i r o t a 双 线性算子法等) 旧、b a c k l u n d 变换法m 、d a r b o u x 变换法叫、函数变换法唾、截 断展开法，以及其它一些方法 1 5 1 - ( 2 t 1 随着计算机符号计算系统( 如m a t h e m a t i c a ，m a p l e 等) 系统的迅速发展，近 年来提出并发展的精确解法主要有：s i n e - c o s i n e 和s i n h - c o s h 展开方法嘲；齐 次平衡法及其推广随删；双曲函数展开方法及其各种推广m 4 删但这些方法只 能求得非线性方程的冲击波解和孤波解，不能求得非线性方程广义上的周期解 为解决这个问题，刘式适等人提出了j a c o b i 椭圆函数展开法甄嘲，该方法可 借助计算机代数系统得以实现，得到了广泛的推广和应用帆4 “删 本论文正是在这一研究背景下，对刘式适等人提出的j a c o b i 椭圆函数展开 法进一步改进和扩展，提出一些新的求解方法，并应用于非线性发展方程，求出 非线性发展方程大量新的周期波解，这些解在极限条件下，可以退化为相应的三 角函数解和双曲函数解本论文只讨论非线性发展方程的j a c o b i 椭圆函数解，对 其极限条件下的退化讨论从略 第一章j a c o b i 椭网函数简介 第一章j a c o b i 椭圆函数简介 j a c o b i 椭圆函数与三角函数相似，从第一类l e g e n d r e 椭圆积分的反演来讨 论比较直接易懂“ 1 1 l e g e n d r e 椭圆积分 第一类l e g e n d r e 椭圆积分为 “- 而1 ：。血：矿d 妒。厂面希， 其中0 mt 1 称为模数 m 卜f 击妒2 上面丢南旁， 称为第一类l e g e n d r e 完全椭圆积分 1 2j a c o b i 椭圆函数 ( 1 - 1 2 ) 从( 1 1 1 ) 式知，是t 和m 的函数，反过来也可以认为t 是“和小的函数， 即 t - s n 以，n ) 一$ i u s i n ， ( 1 2 1 ) 称为j a c o b i 椭圆正弦函数 扛7 。c n ( u ，m ) 翻“c o s 妒， ( 1 2 2 ) 称为j a c o b i 椭圆余弦函数 厮e 砌 ，朋) 。咖“正面，( 1 2 3 ) 称为第三种j a c o b i 椭圆函数 由( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 、( 1 2 3 ) 可以得到 肌2 “+ c n 2 u = 1 ，s n 2 “+ _ l ，1 2 d n 2 “_ 1 对( 1 1 1 ) 式取微商，得 譬瓶了面i 巧，一 a u 由此得 旦s n g ；册u a - n u 一 4 册 d u ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 第一章j a c o b i 椭圆函数简介 对( 1 2 4 ) 式取微商然后用( 1 2 6 ) 式，得 c n u - 一s n u d n u ，( 1 2 7 ) d u c n l g - 一肼2 $ n u c l l l t ( 1 2 8 ) d u 在较复杂的公式中常用格莱歇尔( g l a i s h e r ) 符号 。上，开叫土，n d u 。上，竺，s d u n s undu$cus a u 坐， - 一，开c w - 一l 一，- 一， _ $ n ucn“ttnu c 髓h a n u c d u 竺，“竺，d s “丝，d c 丝( 1 2 9 ) d n us刀“$nld c 打 从( 1 1 1 ) 式可以看出铆球是奇函数：册( 叫) s n u ；从定义( 1 2 2 ) 和 ( 1 2 4 ) 可以看出铆和咖“是偶函数：c n ( - - u ) 一册口，砌( 叫) 一d n u 1 3j a c o b i 椭圆函数的极限及周期性 由( 1 1 1 ) 、( 1 1 2 ) 、( 1 2 2 ) 、( 1 2 3 ) ) 式知 1 当模数胁一0 时，m 沏) 一等， 上 s r l u - s i n u ，c n u _ c o s u ，d n u _ 1 ；( 1 2 1 0 ) 2 当模数m 一1 时， f 沏) 一* ， s n u - t a n h u ，c i u _ s e e h u ，d n u _ s e c h u ( 1 2 1 1 ) 由此我们可以知道j a c o b i 椭圆函数包括了三角函数( 柳一0 ) 和双曲函数 ( m 一1 ) ，因而j a c o b i 椭圆函数有着更广泛的应用 j a c o b i 椭圆函数是周期函数，对于前面讨论的三类j a c o b i 椭圆函数，满足 如下周期性关系 s n ( u + 4 m ) 一肼h ， ( 1 2 1 2 ) c n + 4 m ) - c n u ， a n ( u + 2 m ) 一d n u 5 ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) 第二章j a c o b i 椭圆函数展开法 第二章j a c o b i 椭圆函数展开法 2 0 0 1 年，刘等人提出了j a c o b i 椭圆函数展开法m3 5 蚓，此方法的本质在于 对非线性发展方程的解做先验的假设，它可以表示成j a c o b i 椭圆函数的某种叠加 和组合该方法可借助计算机代数系统得以实现，得到了广泛的推广和应用近年 来j a c o b i 椭圆函数展开法已经成求解非线性发展方程的主要方法之一 2 1 用j a c o b i 椭圆函数求解非线性发展方程的一般步骤 非线性发展方程的一般形式可以写为 缸，“。，“，“。，。，”。a ) 一0 ，( 2 1 1 ) 式中的是关于变元“，“，u 。，球。，“。a 的多项式 引入变换 u ( x ，f ) 1 “佶) ， 宇1 工一c t ， 2 1 2 ) 其中c 是非零的待定常数。把( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 1 ) 式得到关于“( 亭) 的常微分方 程 f ( u ，h ，a ) - 0 ( 2 1 3 ) 假设上式具有某种j a c o b i 椭圆函数级数解的形式，然后利用非线性项和最高阶导 数项平衡来确定级数的项并代入上式解得系数就可以求出非线性发展方程的该 种j a c o b i 椭圆函数解 2 2 单j a c o b i 椭圆函数展开法 3 4 ，强3 6 】 设( 2 1 3 ) 式的形式解为 口( 宇) 一+ 罗a i ，佶) ， ( 2 2 1 ) 例 其中a 0 , a 。，a ，a 。是待定常数，正整数n 可由非线性项与最高阶导数项的齐次衡 确定，厂( 亭) 为j a e o b i 椭圆函数将( 2 2 1 ) 式代入方程( 2 1 3 ) ，方程( 2 1 3 ) 的 左端变成关于厂( 亭) 的多项式，令，( 亭) g7 ( 宇汕( 亭) ( f 一0 , 1 , 2 a ；，一o , 1 ；k o ，1 ) 苎三里! 竺! 望塑璺里苎墨互里l 一 ( ( 亭) ，g ( 亭) 为与，( 亭) 不同的j a c o b i 椭圆函数) 的各次幂项的系数为零，可得 口。，4 。， ，口和 的代数方程组。解这个方程组，即可求得口。，a ，a n 和善 考虑g a r d n e r 方程 “，+ ( a 射+ p u 2 弦，+ 。一0 ( 2 2 2 ) 把( 2 1 2 ) 式代入上式并积分一次可以得到 州+ 丢础2 + ；肛3 + 弘- c ， ( 2 2 3 ) 这里c 为积分常数考虑齐次平衡，上式解可被假定为 u ( d 一4 0 + 口1 f ( o ( 2 2 4 ) 把上式代入( 2 2 3 ) 式可以得到方程( 2 2 2 ) 如下几o i 解- ”一参序蠊一万1 f 彳硝 “：一一2 c t 1 6 匾芦d 亭，“2 2 1 芦 ”一茜j 一争亭码一万一r 2 舌 c 一茜+ c ，r - 丽1 2 t i c - a 2 c 豸+ c ，r 一丽1 2 t i c - a 2 ；亿z c l 茜+ c r - 丽a 2 - 1 2 t i c ( 2 2 7 ) ”寺净一茜+ c ，r 。赛舢一2 s ， ”寺伊缸舌丽1 2 f l c 丽- a 2 ；亿z ”旁莎鼬舌印= 焉磊c z 见 口 如一面 口 “a 一万 ，7 塑墨坞砖 卢 7 、障耐亭 、 卢 7 ，c 一鲁峨r 一面a 2 面- 1 2 丽t i c ；( 2 2 1 1 ) ，c = 器+ c ，y 一面a 2 i - 五1 2 t i 孬c ；( 2 2 1 2 ) ”寺居一器+ c ，r 一丽a ：- 1 丽2 t i c ： 2 1 3 ) a 一面 鼬，万a 2 + c ，r 一赢：( 2 2 1 4 ， j a c o b i 椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用 口 u l l 万 亭，c 一茜+ c ，r 一面a 2 i - 孬1 2 t i 面c ；( 2 2 1 5 ) 一寺伊鼬舌一丽a 2 - 1 两2 t i c 亿z 当埘一0 和m 一1 时时，以上各解可以退化为相应的三角函数解和双曲函数解 2 3 双j a c o b i 椭圆函数展开法h 钉 设u ( d - i 表示为，( 亭) 与占( 亭) 的二元有限幂级数 u ( o 一d ；，( 亭) + 峨，“( 亭) g ( 亭) + n 。， ( 2 3 1 ) 箭箭 其中。，4 ，a ，a n ，b i ，a ，6 是待定常数，( 亭) 和g ( 拿) 满足椭圆方程方程组： f - p 1 ，+ q 1 厂2 + ，1 ， 9 1 一p 2 9 4 + 口2 9 2 + r 2 ， ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 其中a ，口，l ，p ：，口：，2 是待选常数，适当选取这些常数的值，可使方程( 2 3 2 ) ， ( 2 3 3 ) 的解，( 亭) 和g ( d j a c o b i 椭圆函数将( 2 3 1 ) 式代入方程( 2 1 3 ) ， 利用( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 式可将方程( 2 1 3 ) 的左端变成关于，( 亭) 、g 皓) 的二多 项式，令，( 亭涫佶) ( i 一0 , 1 , 2 a ，j ，0 ，1 ) 的各次幂项的系数为零，可得 拉o ，口l ，a ，a n ，b i ，a ，以和c 的代数方程组解这个方程组，a o , a ，人，口，抚，a ，吒c 可由p ，口。，p ：，窜2 ，2 来表示，或直接由方程( 2 1 1 ) 的系数表示将这些结果代 入( 2 3 1 ) 可得方程( 2 1 1 ) 的周期波解 考虑b e n j a m i n b o n a - m a h o n i ( b b m ) 方程 “r + “；+ d 2 u ，+ p m 可_ 0 ， ( 2 3 4 ) 将( 2 1 2 ) 式代入方程( 2 3 4 ) 得 ( 1 一c 弦+ 鲫2 h 一c 砌1 0( 2 3 5 ) 考虑方程( 2 3 5 ) 中最高阶导数项。与具支配地位非线性项“2 “齐次平衡， 可确定( 2 3 1 ) 式中n 一1 ，于是方程( 2 3 4 ) 的解具有下列形式： 8 第二章j a c o b i 椭圆函数展开法 ( 亭) a 。+ 口，( 亭) + 6 1 9 ( 亭) ( 2 3 6 ) 下面分情况进行讨论 情形1 当取p lm m 2 ，鼋l 一一o + m 2 ) ，r 1 1 ：p 2 一一，”2 ，口2 - 2 m 2 1 ， r 2 - m 2 1 - m 2 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解 f s n s g - 翻亭 可得方程( 2 3 5 ) 具有如下形式解： “( 亭) 一a o + 口l 趴( 善) + b a c h 把( 2 3 8 ) 式代入方程( 2 3 5 ) 可得： 口。一。，口，一。，。- 二生；壁! 二，七2 - 赫 或 或 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ”。，b 1 = 0 , a l = 4 - j 罕一茄，亿s 埘 a o 一0 ，b li i a i 一 从而得出方程( 2 3 4 ) 周期波解： “l - 1 1 2 。 3 = 摇鬻咿哪；一、口( 1 + 川2 ) ” 蹰a(2m 帅) 一1 2 一圹7 j 篆兽- 1 ) 吣一1 a ( 2 ，l 2 卜“p ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) c t ) 4 - s n o c f ) 】( 2 3 1 4 ) 情形2 当取p 1 一m 2 ，g l = 2 m 2 1 ，= m “一1 - m 2 ；p 2 一一1 ，口2 。2 一m 2 ， r 2 一一m = 一( 1 一m 2 ) 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解： ，。? ! ( 2 3 1 5 ) g 一如亭 从而可解得： l a c o b i 椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用 ”压著； ( 2 3 1 6 ) h ，一鼯c n 。一c r ) d n o c r ) 】( 2 3 1 7 ) 情形3 当取p l 一州2 ，口1 一o + m 2 ) ，l - 1 ；p 2 - - 1 ，q 2 2 - 坍2 ，2 一州“ 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解： ，- s ，n ：， ( 2 3 1 8 ) g - d ，l 亭 从而可解得： ”+ 卷茜旧研牡洳。卅) 】汜。1 9 ) 情形4 当取p 1 1 ，9 1 一一o + m 2 ) ，r l 一肌2 ；p 2 一i ，q 2 - 2 - 埘2 r 2 一i - i r a 2 一所2 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解： ，- 1 5 1 ，( 2 3 2 0 ) g - o 亭 从而可解得： h ，。：麦 ；j j 号。s c z d ，： c z s z - ， s 一二；! ：j j 号甜c x c r ，； c z 。z z ， 驴腻旧牡甜饥( 2 3 2 3 ) 2 4f 展开法4 3 ，“1 考虑f 展开法，假设方程( 2 1 3 ) 具有如下形式解 “( 亭) q ，( 掌) + y b , “1 ( 亭) g 皓) + 口。， ( 2 4 1 ) 舌二“ 这里其中a o , a 。，a ，a , b l ，a ，b 。是待定常数，( 亭) 和g 皓) 满足椭圆方程方程 ( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) ，并且具有如下关系 9 2 一2 + ， ( 2 4 2 ) 第二章j a c o b i 椭圆函数展开法 将( 2 4 1 ) 式代入方程( 2 1 3 ) ，利用( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 式可将方程( 2 1 3 ) 的左端变成关于，( 亭) 、g ( 占) 的二元多项式，令，售) g7 ( 亭) ( i - 0 , 1 , 2 a ，z0 , 1 ) 的各次幂项的系数为零，可得4 。，口。，a ，a n ，b l ，a ，b n 和c 的代数方程组解这个方 程组，口。，4 。，a ，a n , b 。，a ，吒和c 可由p l , q ，r 1 ，p ：，q 2 ，r 2 来表示，或直接由方程 ( 2 1 1 ) 的系数表示将这些结果代入( 2 4 1 ) 可得方程( 2 1 1 ) 的周期波解 考虑如下k d v 方程 f + 6 u u ，伸。- 0 ， ( 2 4 3 ) 把行波变换( 2 1 2 ) 代如上式可得 一删+ 6 u u + h 。0 ( 2 4 4 ) 考虑齐次平衡，上式具有如下形式解 “( 亭) 一a _ l f 1 ( 亭) + 口1 ，( 宇) + 6 | g ( 亭) + 口2 厂一2 ( 宇) + 口2 f2 ( 亭) + 6 2 ，( 宇) g ( 亭) + 4 0 ( 2 4 5 ) 把( 2 4 5 ) 代入( 2 4 4 ) 并利用( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 式和( 2 4 2 ) 式，可以得到方 程( 2 4 3 ) 如下浓缩的j a c o b i 椭圆函数解 ，( 宇) 。三_ = j ；红一2 p 。fz ( 亭) ； ( 2 4 6 ) o ：( 宇) 三二磐一2 p 。，z ( 宇) 一铂，一z ( 亭) ； ( 2 4 7 ) o “，(亭)_3vps+lac-4lufiplf：佶)旦业f(og(亭) ( 2 4 8 ) o p 以上三组解中，j a c o b i 椭圆函数形如9 2 - 2 + ，的恒等式如下 c 2 亭一一$ 1 2 亭+ 1 ，d n 2 宇一一肌2 5 n 2 亭+ 1 ， 甜：亭! 亨材：亭+ 1 1 ， c d z 亭。( 所：一1 ) s d ：亭+ 1 ， m m d n 2 亭一m 2 c n 2 亭+ 1 一m 2 ， n d2 亭一m 2 s d 2 亭+ 1 ， ，堪2 宇一c 5 2 宇+ 1 ， n 5 2 亭一d s 2 亭+ r z l 2 ， d s 2 亭一c 5 2 宇+ 1 一，”2 ，肛c 2 亭一5 c 2 宇+ 1 ， d c 2 亭一( 1 一m2 ) n 0 2 亭4 1 2 ，d c 2 亭一o - m 2 ) s 0 2 亭+ 1 ( 2 4 9 ) ! ! 竺望堕婴里墼垄查塑韭丝壁垄垦查堡! 塑生旦 把( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 、( 1 2 3 ) 、( 1 2 9 ) 、( 2 4 9 ) 式代入( 2 4 6 ) 、( 2 4 7 ) 、 ( 2 4 8 ) 式就可以得到方程( 2 4 3 ) 的周期波解 1 2 第三章一般变换下j a e o b i 椭圆函数解 第三章一般变换下j a c o b i 椭圆函数解 本章利用文献【4 2 1 和【4 5 】的思想，首先将行波变换( 2 1 2 ) 式下j a c o b i 椭函 数展开法推广到范围更广泛的一般变换宇一h ( x ，f ) 下进行，并引进椭圆方程组 ( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) ，将椭圆函数展开法中不同的j a c o b i 椭圆函数对统一表示为椭 圆方程组的解，从而利用椭圆方程组的解构造出一类非线性方程丰富的准确周期 解【拍“7 1 这些解包括行波变换下所求得的周期解本章只考虑文献 4 2 中的双 j a c o b i 椭圆函数展开法 3 1 方法简述 对于非线性发展方程( 2 1 1 ) 式，引入变换 u ( x ，f ) 1 “佶) 亭- i l o ，f ) 把( 3 1 1 ) 式代入( 2 1 1 ) 式得到关于皓) 的常微分方程 ( 3 1 1 ) u ( u ，“，u 。，aj i l ，h x ，h 。，h 。，垣。，a ) - 0 ( 3 1 2 ) 设“皓) 可表示为，( 宇) 与g 皓) 的二元有限幂级数( 2 3 1 ) 式，其中a o , a 。，吒 是待定常数，偕) 和g 售) 满足椭圆方程方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 用类似双 j a c o b i 椭圆函数展开法的步骤可得方程( 2 1 1 ) 在一般变换下的周期波解 3 2 方法应用 3 2 1 k l e i n g o r d o n 方程 考虑如下形式的非线性k l e i n g o r d o n 方程： u 口一c 0 2 “。+ 倒一p u 3 * 0 ( 3 2 1 ) 将( 3 1 1 ) 式代入( 3 2 1 ) 式，可得 ( 等一c 22 扣。+ ( 一c ；事。) l l 。+ 叫一卢“3 ；0 ( 3 2 2 ) 考虑方程( 3 2 2 ) 中最高阶导数项u 1 与与具支配地位非线性项u 3 齐次平衡， 可确定( 2 3 1 ) 式中r 一1 ，于是方程( ( 3 2 2 ) 的解具有下列形式： ( 亭) 一a o + 4 l ，( 亭) + b i g ( 亭) ( 3 2 3 ) 将( 3 2 3 ) 式代入方程( 3 2 2 ) ，按照前面步骤，可得到方程( 3 2 2 ) 的周期波解 j a c o b i 椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用 下面分四种情形进行讨论 情，眵1 当p 1 一，n 2q l 一- ( 1 + m 2 ) ，一1 ；p 2 一一m 2 ，q 2 2 m 2 1 ， r 2 m + 2 - 1 一，1 2 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解( 2 3 7 ) 式，代入可得 ( 口一肛；一3 卢6 7 ) 口。一0 ， 【a 一3 | | b o ：- 3 p b ；一o + m 2 ) ( 一c 。2 ；，2 ) k 。- o ， 【口一3 f l a 2 一届b ：一( 酽一c 。2 ；，2 ) l b 。- 0 6 廓。4 l 钆- o ， ( 一c ：l 池- o ( 3 2 4 ) ( 言。一c ：亭。- o ， 3 卢 ? - b ? ) 口。一o ， 【一3 届口；+ 届砰+ 2 m 2 ( 酽一c 。2 彰2 ) 】吼- 0 ， 卜肛；+ 3 p b ? + 2 ，”2 ( 酽一c 0 2 ；，2 ) k 1 - 0 解此代数方程组可得 且亭满足 a o 一6 l - o , a l - 4 - 。一武；，0 ， a o + m 2 ) ( 髟一c 0 2 ) = 0 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 注意到( 3 2 6 ) 式为一波动方程，其通解为 亭= 啊( z + c o t ) + 1 l 2 ( x - - c o t ) ， ( 3 2 8 ) 其中m ，为任意二阶可微函数，将( 3 2 8 ) 式代入( 3 2 7 ) 式得一，w 2 所满足 的限制条件为 叫l 一南。 ( 3 2 9 从而可得方程( 3 2 2 ) 的精确周期解 u 1 5 【一( x + c o t ) + 1 l ，2 0 c o f ) 】( 3 2 1 0 ) 同理，由( 3 2 4 ) 式还可解得 2 。1 熹叫m o + c o t ) + w 2 0 - c o f ) 】，( 3 2 1 1 ) ”1 j 丽伽【掣l b + 协吖0 f ) j ，郴五儿 1 4 第三章一般变换下j a c o b i 椭固函数解 其中，为任意二阶可微函数，满足如下限制条件 叫峨- 一葡南； ( 3 卫1 2 ) 以及 ”鼯鹇， f 。埘【哪o + c o f ) + 0 一c o f ) ， ( 3 2 1 3 ) 其中，旺为任意二阶可微函数，满足如下限制条件 叫眨- 一南 ( 3 2 1 4 ) 下面情形2 ，情形3 ，情形4 采用类似情形1 的方法： 情形2 当i r p j 一历2 ，q 1 一- ( 1 + m 2 ) ，l - 1 ；p 2 - 一1 ，q 2 2 - m 2 ，2t m 2 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解( 2 3 1 8 ) 式，从而得到方程( 3 2 1 ) 的 精确周期解 ”j _ 州墨。+ c 加。吲) 】，( 3 2 1 5 ) 其中雹，叱为任意二阶可微函数，满足如下限制条件 叫峨- 一南； 以及 ( 3 2 1 6 ) “，- 鼯册【m ( x + c 。r ) + q ，2 ( x c 。f ) 】 i 西l 【一( x + c o t ) + l ，2 0 c o f ) 】) ， ( 3 2 1 7 ) 其中哪，为任意二阶可微函数，满足如下限制条件 叫叫t 一赤 ( 3 2 1 8 ) 情形3 当取p 1 - 嘲2 ，q l 一2 m 2 1 ， m ”一1 一r t l 2 ；p 2 一一1 ，q 2 。2 一m 2 ， ，2 一一聊- 一( 1 一m 2 ) 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解( 2 3 1 5 ) 式，从而 j a c o b i 椭圆函数在求解非线性发展方程中的应用 得到方程( 3 2 1 ) 的精确周期解 。- tm c n 【啊。+ c 。f ) + 也o c 一) 】s 。2册【啊( 一+ 。0 f ) + 甲2 一。一) 】 a n i q 1 ( 石+ c o t ) + l ，2 一c o f ) 】) ， ( 3 2 1 9 ) 其中q ，为任意二阶可微函数，满足如下限制条件 叫呱- 一赤 ( 3 2 2 0 ) 情形4 当取p 1 1 ，q l 一一( 1 + m 2 ) ，l - m 2 ；p 2 1 ，q 2 2 - m 2 ，2 - 1 一m 2 一m 2 时，椭圆方程组( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 有特解( 2 3 2 0 ) 式，从而得到方程( 3 2 1 ) 的精确周期解 “，1 埘隅 + c 一) + o - c o t ) ，( 3 2 2 1 ) ”丽万懈【掣- + c 一) 枷：b 喵z 2 1 ) 其中q ，为任意二阶可微函数，满足限制条件 ( 3 2 9 ) ，以及 口。一；写c s t _ c x + c ，+ q 乞c x c 。r 刀，c 。z z z ， 其中瞿，为任意二阶可微函数，满足限制条件( 3 2 1 6 ) 式，以及 “，一西【鼍( z + c ) + l 2 0 c 。r ) 】 c s w l ( z + c o t ) + q ，2 ( x c o f ) 】) ， ( 3 2 2 3 ) 其中瞿，为任意二阶可微函数，满足限制条件( 3 2 1 8 ) 式 3 2 2 k d v 方程 考虑k d v 方程 u r + u u ，+ h 一一0 ( 3 2 2 4 ) 把( 3 1 1 ) 式代入后得到 ( + 卢亭。弦+ 3 卢事。事。+ “h + 卢只3 “。= 0 ( 3 2 2 5 ) 按齐次平衡原则h - 2 ，显然方程( 3 2 2 5 ) 具有如下形式解 口( 芋) 一a o + 口。，( 亭) + 巩g ( 宇) + 4 2 ，2 ( 亭) + 6 2 ，( 宇) g ( 手) ( 3 2 2 6 ) 把( 3 2 2 6 ) 代入( 3 2 2 5 ) ，应用上述方法可得到方程( 3 2 2 4 ) 如下六类周期解： 第三章一般变换下j a c o b i 椭圆函数解 ”卿2 仁压b 嘲+ 篙笋卅c ， 峨_ 口2 后h - ( 口0 + 警肿c ，叫o + 叱_ 口：仁、南( 口0 + 气沙) ， 其中a o ：y a ：(