（凝聚态物理专业论文）二维声子晶体宽带隙和缺陷态的研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 声子晶体是在对电子在天然晶体和超晶格中的运动，以及电磁波 在光子晶体中传播的研究基础上提出的新概念。对声子晶体的研究有 着丰富的物理意义和广阔的应用前景。本文运用时域有限差分法 ( f d t d ) 对二维固液声子晶体进行了理论计算，研究了二组元、三 组元，以及它们的组合结构的带隙特征和缺陷对带隙的调节作用，具 体内容如下： 首先，把光子晶体研究中使用的时域有限差分法推广到声子晶体 研究中，在弹性波理论的基础上，系统地推导了二维声子晶体时域有 限差分法。 其次，研究了固液二组元正方形排列声子晶体完整体系和缺陷 体系的带结构，以及组分材料物性参数对带隙的影响。发现：声子晶 体最低带隙结构与组分材料物性参数及其填充率密切相关，基体的五 值和散射体与基体的密度比越大，最低带隙就越宽；若在声子晶体中 引入适当的点缺陷，原完整结构的最低带隙中可能出现缺陷态，缺陷 态的频率受缺陷柱的大小、位置、材料属性调节，并且这些缺陷态都 是局域化的。 再次，研究了三组元橡胶铁水包层体系的带结构，发现：包层 体系较铁水二组元体系更容易得到宽的低频带隙，且低频带隙宽度 与包层圆柱的填充率和包层的厚度密切相关，较大的填充率和较大的 包层厚度会导致较宽的低频带隙，这种变化主要体现为低频带隙的高 频边沿变化，而低频边沿变化很小；包层体系中引入空腔线缺陷后， 在原完整结构的最低带隙中会出现缺陷带，缺陷带的频率与线缺陷的 宽度密切相关，线缺陷越宽，缺陷带越大。 最后，研究了铁水、橡胶铁水的组合结构带隙，发现：组合 结构的带隙明显具有其分结构一二、三组元线缺陷体系各自带隙的 特征，可以同时不仅在低频区有宽带隙，而且在高频区也有宽带隙和 缺陷态。 关键词声子晶体，弹性声波，时域有限差分法，缺陷态，组合结构 中南大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t p h o n o n i cc r y s t a l 口c ) i san e wc o n c e p tw h i c hh a sb e e nb r o u g h t f o r w a r db a s e do nt h er e s e a r c ho fe l e c t r o n sm o v e m e n ti nc r y s t a ll a t t i c e a n do p t i c a lw a v ep r o p a g a t i o ni nt h ep h o t o n i cc r y s t a l p cr e s e a r c h i n gh a s af u n d a m e n t a lm e a n i n gi np h y s i c sa n dp o t e n t i a lv a l u e si na p p l i c a t i o n b y t h ef i n i t ed o m a i na n dt i m ed i f f e r e n c e m e t h o d ( f d t d ) ，t h eb a n d c h a r a c t e r i s t i c so f t w o d i m e n s i o n a l l i d o i q u i dp c sw i t ht w oc o m p o n e n t s , t h r e ec o m p o n e n t sa n dt h e i rc o m b i n e ds t r u c t u r e sh a v eb e e nc a l c u l a t e d , a n dt h ed e f e c ts t r u c t u r ea l s oh a v eb e e ni n v o l v e d t h e r ea r e 曲1 0 r cd e t a i l s a sf o u o w c d ： f i r s t l y , t h ef d t dm e t h o dw h i c h i su s u a l l yu s e di nt h er e s e a r c h i n go f p h o n o t i cc r y s t a l sh a sb e e ne x t e n d e di n t ot h es t u d yo fp h o n o n i cc r y s t a l s ， a n daf d t dm e t h o da b o u tp h o n o n i cc r y s t a l sw a sd e d u c e di nd e t a i l ，b a s e d o nt h ee l a s t i cw a v et h e o r y s e c o n d l y , t h eb a n ds t r u c t u r e sa n dd e f e c ts t a t e so ft w o - dp h o n o n i c c r y s t a l sw h i c hc o n s i s to fs o l i ds c a t t e r sd i s t r i b u t e di nl i q u i db a s ei ns q u a r e a r r a ym a t r i x ，h a v eb e e ni n v e s t i g a t e d ，a sw e l l 雒t h ei n f l u e n c e so fc e r t a i n s u b s t a n c ep r o p e r t i e so ft h ec o m p o n e n t s ，s u c ha sm a t e r i a ld e n s i t ya n d e l a s t i cc o n s t a n tc ta 1 i ti sf o u n d e dt h a tt h el o w e s tb a n dg a pi sc l o s e l y r e l a t e dw i t ht h es u b s t a n c ep r o p e r t i e so ft h ec o m p o n e n t sa n df i l l i n gr a t i o o f t h ei n s e r t e dr o d si nu n i tc e l l ，ab i g g e re l a s t i cp a r a m e t e r 九o f l i q u i db a s e a n dab i g g e rr a t i oo fd e n s i t yo fs c a t t e r i n gr o d st ot h a to fl i q u i db a s ew i l l i n t r o d u c eaw i d el o w e s tf r e q u e n c yb a n dg a p ，a n da l s o ，t h ed e f e c ti nt h e p e r i o d i cs t r u c t u r eo fp h o n o n i cc r y s t a l sw i l lb r i n go u ts o m ed e f e c ts t a t e s o rb a n d sw h i c ha r ea f f e c t e db yt h ed e f e c ts i z e ，p o s i t i o na n dt h es u b s t a n c e p r o p e r t i e s ，a n dt h e s ed e f e c ts t a t e sa r eu s u a lr e s t r i c t e d l yl o c a t e di nt h es i t e o f t h ed e f e c tr o d s t h i r d l y , t h e t h r e ec o m p o n e n t ss t r u c t u r e ，w i t ht h ee x a m p l eo f r u b b e r s t e e l w a t e rs y s t e m , h a sb e e na n a l y s e d r e s u l t ss h o wt h a tt h e r u b b e r s t e e l w a t e rs y s t e m , c o m p a r e dw i t ht h es t e e l w a t e rt w oc o m p o n e n t s s y s t e m , i se a s yt og e taw i d e rb a n dg a p ，w h i c hi sa f f e c t e db y t h et h i c k n e s s o ft h es o f tc o a t e dl a y e r , t h ef i l l i n gr a t i oo ft h ec o a t e dc y l i n e ra n dt h e w i d t ho ft h ed e f c c tl i n e ，ab i g g e rc o a t e dl a y e ra n df i l l i n gr a t i ow i l lr e a c ha w i d e rb a n dg a p ，a n daw i d e rd e f e c tl i n ew i l la l s or e s u l ti nab i g g e rd e f e c t 中南大学硕士学位论文a b s 豫a c t b a n di nt h eb a n gg a po f t h ep e r f e c ts t m c t u r e f i n a l l y , t h ec o m b i n e ds t r u c t u r eo fs t e e l w a t e ra n dr u b b e r s t e e l w a t e r h a sb e e nr e s e a r c h e d i ti sg r a t i f y i n gt h a tac o m b i n e db a n dg a pw i t ht h e b a n dg a p sc h a r a c t e r i s t i c so ft h ed e f e c ts t r u c t e ro fs t e e 脚a t e ra n d r u b b e r s t e a l w a t e r r e s p e c t i v e l y h a sb e e nf o u n d e d s o ，t h ec o m b i n e d s t r u c t u r eh a v en o t o n l y al o w g l f r e q u e n c yg a p ，b u ta l s oah i g h e r f r e q u e n c yg a pa n dt h ed e f e c ts t a t ei nt h eh i g h e rf r e q u e n c yg a p k e yw o r d sp h o n o n i c c r y s t a l ，e l a s t i c s o u n dw a v e , t h e f i n i t e d i f f c r e n e et i m e d o m a i n m e t h o d ( f d t d ) ，d e f e c ts t a t e , c o m b i n e d s t r u c t u r e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 粱袤守 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：鳖导师签名- 圭兰鳖日期：丑年月三日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 近年来，人们在复合材料领域的研究极其活跃，如光子晶体【l 棚，声 子晶体，随机介质1 1 0 - 1 3 等。所谓复合材料，就是由两种或两种以上介质 ( 包括真空) 组成的复合体，整体上它是非均匀的，然而每种组元的内 部又是均匀的，其中声予晶体是弹性参数里周期性变化的复合材料。对于声 子晶体的相关研究是在电子在天然晶体( 也称为传统晶体或电子晶体) 和超晶格 中运动，以及光波( 电磁波) 在光子晶体中传播这两个研究领域的基础之上提出 的新课题。类似于电子在周期性势场中会产生电子能带结构，以及光波在光子晶 体中会产生光子能带结构一样，声波或弹性波在声子晶体中也会产生声子带结 构，频率落在带隙内的声波或弹性波是不允许在声子晶体中传播的。不管是天然 晶体，还是人工制造的超晶格、光子晶体、声子晶体等，它们有许多共同的性质， 例如周期性、能带结构、缺陷引起的局域化现象等在最近十几年中，声 子晶体已经取得了很大的发展，同时由于声子晶体具有丰富的物理意义和广阔的 应用前景，对声子晶体的研究更加引起了各国研究机构人员的高度关注 1 2 光子晶体和声子晶体 1 2 1 光子晶体 光子晶体概念及其能带结构的提出是由j 0 h a ( 5 , e l 和y a b l o n o v i t l l c “7 , g l 两人分别 于1 9 8 7 年讨论周期性电介质结构对材料中光传播行为的影响时，意外发现光波 的色散曲线形成带状结构而提出的。与电子在具有周期性势场的半导体中运动会 产生电子能带和带隙的道理类似，光波( 电磁波) 在介电常数周期性变化的光子 晶体中传播时也会产生光子能带和光子带隙，当光的频率位于光予带隙范围内 时，它将不能在光子晶体中传播。光子禁带的出现主要依赖于光子晶体的结构、 介电常数之比以及拓扑构造等因素，一般来说，光子晶体的两种介电常数比越大， 入射光将被散射得越强烈，就越有可能出现光子禁带。当光子晶体内部原子的自 发辐射光子频率正好落在光予禁带中时，由于该频率光子的态数目为零，而自发 辐射的几率与光子态密度成正比，所以自发辐射几率为零，因此，光子晶体具有 抑制原子分子自发辐射的性质。如果在光子晶体中引入某种缺陷( 点缺陷，线缺 陷或面缺陷等) ，由于晶体原有的对称性的破坏，在光子晶体的带隙范围内就有 可能出现频率极窄的缺陷态，和缺陷态频率相同的光子将被局域在缺陷处，而一 中南大学硕士学位论文第一章绪论 旦光子频率偏离缺陷处光将迅速衰减，光子呈现出很强的a n d e r s o n 局域性 1 4 , 1 5 l 。 光子晶体有很广阔的应用前景，是当今世界范围内的一个研究热点，并且发 展得很快，例如，利用光子晶体的光子禁带性质，可以将其用作全反射镜和高发 射率的小型微波天线、光学双稳态器件、光开关器件、光限幅器件等；利用光子 带隙对原子、分子自发辐射的抑制作用，可以大大降低因自发跃迁而导致复合的 几率，人们设计制作出无阈值光子体激光器和光子晶体发光二极管；通过在光子 晶体中引入缺陷，使得光子禁带中产生频率极窄的缺陷态，从而制造高性能的光 子晶体光过滤器、单模光全反射镜和光子晶体光波导器等，这些可能的应用前景 引发了人们研究光子晶体的浓厚兴趣。 1 2 2 声子晶体 1 9 9 2 年，人们受到传统晶体( 也可称为电子晶体) 和光子晶体的启发，在对 弹性波在弹性参数呈周期性变化的结构中传播的研究中，明确提出了声子晶体 ( p h o n o n i cc r y s t a l s ) 概念及其能带结构【阍。与光子晶体的概念相类似，弹性，声 波在弹性常数周期性变化的声子晶体中传播时也会产生声子能带和声子带隙，当 声波的频率位于声子带隙范围内时，它将不能在声子晶体中传播。声子晶体有两 个主要特征，分别是：声子禁带和声子的安德森局域化，声子禁带与安德森局域 化密切相关，对研究缺陷( 点缺陷、线缺陷和面缺陷) 处的局域模式非常重要， 如利用点缺陷可以把声波俘获在某一个特定的位置，使其无法向外传播，这相当 于微腔；往声子晶体中引入某种线缺陷( 如l 型线缺陷) ，可以使处于禁带频率 范围内的声波沿该通道进行传播即所谓声波导。 弹性波是含有纵波和横波两种传播速度的全矢量波，在每个组元中具有三个 独立的弹性参数，即质量密度p 、纵波波速g 和横波波速c ，因此对声子晶体 的研究具有更丰富的物理内涵。可以通过对弹性参数在不同周期性结构的复合介 质中的传播及其能带结构的研究，有助于我们拓宽和加深对周期性复合介质物理 性质的理解，从而发现新现象、新规律和新的应用。 表格1 1 列出了存在能带结构的( 电子) 晶体、光子晶体和声予晶体的一些 性质的比较： 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 目前，关于声子晶体带隙形成的成熟机制有两种：布拉格散射机制和局域共 3 中南大学硕士学位论文第一章绪论 振机制，大多数声子带隙是由以上两种物理机制综合作用的结果，并且只有在一 定的条件下才能产生。 当布拉格散射起主导作用时，影响其带隙的因素有f 1 7 - 2 0 ： 乱两种物质的排列结构； b 两种物质的密度之比； c 物质的纵波波速与横波波速之比； d 散射体的填充率和散射体的拓扑结构。 这种布拉格带隙会在布里渊区边缘打开，带隙频率的数量级和c a 的数量级 相同，其中c 是波速，口是晶格常数。而且两种介质的密度比和速度比相比较，密 度比更有利于带隙的出现。一般来说，声子晶体中各组分材料的常数( 密度和弹 性常数) 相差越大，入射声波在晶体中的布拉格散射越强烈，就越容易产生带隙。 当局域共振起主导作用时，带隙主要与组元的密度，弹性模量以及体积的填 充率有关，随着填充率的增大带隙宽度也增大，与物质的排列结构是没有关系的， 除非共振单元的浓度特别大而使他们强烈的相互耦合【2 1 捌。这对研究引入无序起 了很大帮助，通过对包层物质的改变，可以实现从布拉格散射带隙到局域共振带 隙的转变。局域共振机制要求用较软较轻材料包裹着较重核，包裹层比核和基体 两种材料都软。最近，刘正酞等人在声子晶体中引入局域共振单元，制造出的晶 体中存在带隙，并且此晶体的晶格常数比相关波长小两个数量级，它使整个波的 反射在一个特定的可调整频率范围内，对于4 0 0 h z 频率的波，用一个两厘米厚的 这种材料就能阻隔。 到目前为止，关于声子晶体的研究主要集中在二维声子晶体中，对一维【2 4 捌 和三维【趋1 声子晶体研究的还很少。在二维声子晶体中，对固体固体 2 6 - 3 0 1 、液体 ( 气体) 液体( 气体) 3 t - 3 7 】，固体腋体( 气体) f 3 4 】等二组元复合介质中的带 结构都有研究，其中柱体的排列方式有正方形、三角形和六边形等多边形。所采 用的柱体横截面形状大部分是圆形的，也有个别是正方形的。具体对于固固体 系二维声子晶体而言，大弹性常数和密度的散射体在小弹性常数和密度的基体中 易形成声波禁带，组元材料弹性常数和密度差异越大，越容易产生完全禁带；对 于液液体系二维声子晶体，情况正好相反，低密度散射体植于高密度基体中， 易形成声波带隙。一般来说，对于密度小的散射体置于密度大的基体上，随填充 系数的增大，带隙先逐渐变宽，然后变窄，存在一个最佳值对应最大的带隙宽度： 对于密度大的散射体置于密度小的基体上，随填充系数的增大，带隙逐渐变宽， 并且在最大填充系数处到达最大值。 而对于三维周期性声子晶体带结构的研究，有固体固体 2 1 , 4 5 - 4 9 1 、固体液体 ( 气体) 、液体( 气体) ，液体( 气体) 【5 1 皿l ，并且大部分研究的是以面心立 4 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 方捧列的带结构。 1 3 声子晶体能带理论计算方法 在对声子晶体进行研究的时候，声子晶体带结构的计算是最重要的，它是设 计各种材料的依据，也是研究各种材料的重要指标。近十年来，声子晶体的理论 研究已取得了令人瞩目的进展，下面介绍几种比较常用的理论计算方法： ( 1 ) 时域有限差分法 时域有限差分法舢4 3 , 聃, 5 3 - 5 9 是一种直接在时域把波动方程离散为差分方程 进行求解的方法，是一种求解声子晶体禁带问题的数值方法。该方法可以模拟各 种复杂的周期结构，对介质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性问题均可 精确模拟，能区分空心掺杂物和实心掺杂物，还可以直接用来计算有限大小的声 子晶体在某一频率段的传播系数采用时域有限差分方法计算得到的声子晶体带 隙同采用多重散射法计算得到的声子晶体带隙有很好的一致性，并且其计算结果 同实验结果有直接可比较性，但在计算声子晶体的瞬时非线性响应问题时，需注 意其数值稳定性和收敛性。时域有限差分方法的缺点之一是计算耗时，因此所考 虑的系统不能太大，并且对于由弹性常数相差较大的材料所组成的系统，由于差 分方法本身的特点，将系统离散化时格点要求很多、很密；其缺点之二是无法由 这种方法直接定义反射率，而在一般的方法中通常会以能流守恒定律，即透射能 流加反射能流等于入射能流，作为对计算结果的检验。 ( 2 ) 平面波法 平面波法瞄6 州堤最常用的一种方法，将材料的密度和弹性常数在倒格矢空 间以平面波的形式展开为二维傅里叶序列然后求解波动方程得到色散关系的特 征值和特征波矢。平面波展开法在概念上简单明了，而在方法上又能给出物理意 义明显的结果。但是，平面波方法只能计算无限周期声子晶体的带结构，间接得 到禁带频率范围，而且当填充率很高或很低，或弹性常数比值很大时会出现收敛 性不好问题，尤其是在固，液、固气复合材料中，而在计算固圃、液( 气) 液 ( 气) 等结构的声子晶体时取得了相当的成功。该方法的计算量与平面波的波数 有很大关系。 ( 3 ) 多重散射法 多重散射法 2 3 , 6 1 脚侧引自电子频带结构计算中的k k r ( k o o r f i n g ak o l m r o s k o k e r ) 理论，非常适合于特殊形状( 比如固体球分散于流体中) 的声子晶体 计算这种材料的频带结构，通常的平面波法无法给出精确解。弹性波的多重散射 理论认为，晶体的频带结构取决于各球之间的弹性m i e 散射，通过计算来自其 他球的声波入射到单球表面的散射，就可解特征频率方程。多重散射理论还可以 5 中南大学硕士学位论文第一章绪论 计算散射物周期排列的有限板层结构中弹性波的反射和透射系数。 ( 4 ) 传递矩阵法 传递矩阵法就是将波动方程转化为传递矩阵方程形式，然后再求解本征值。 该方法假设晶体的同一层面上有相同的态和频率，用于研究层状结构的声子晶 体。传递矩阵表示一层与紧邻的另一层之间的声场关系，对某一特定的层，它可 定义为波速、密度、层厚、入射角和入射平面波频率等参数的函数。把每层的传 递矩阵相乘就得到多层结构的整个传递矩阵，这样最后一层的状态变量便能够和 第一层的变量联系起来。由于传递矩阵较小，传递矩阵法的计算量较平面波法的 计算量大幅度减少。 ( 5 ) 壳层法 壳层法就是求解无限晶体弹性场中的布洛赫波解，它适用于无重叠球形粒子 ( 密度和腊梅系数不同于基体) 周期性排列于基体介质中的情况。声子晶体的弹 性场由传播波和消散波组成。传播波是晶体中声波传播的常规模式；消散波并不 代表真正的波，而是当频率和衰减波矢一定的入射波入射到与给定晶体学 平面平行的晶体层上时，用来直接或间接评价反射和透射系数的数学量。壳层法 优于平面波法，因为使晶体材料中任意组分的腊梅系数随频率发生变化是很容易 的，而在平面波方法里就很困难。壳层法能够精确地计算出无限晶体的声予谱， 以及弹性波入射到有限厚度层状结构时的传播、反射和吸收系数。除以上方法外， 研究声予晶体声谱结构的其它方法有：原予轨道线形组合法、超元胞法、有限元 法等。 1 4 声子晶体的研究意义及应用前景 1 4 i 声子晶体的研究意义 声子晶体的研究是在传统晶体和光子晶体的基础上提出的新课题。既是对传 统晶体的延伸，同时又超越了传统晶体的概念。虽然研究弹性声波在层状( 一 维) 介质中的传播已有近七十年的历史，但是关于二维和三维声子晶体的研究还 仅仅是刚刚开始十年多，目前仅局限于理论和实验室阶段的初步工作。 对声子晶体的研究既有理论意义又有实际的应用前景。研究弹性声波在不 同的周期性结构的复合介质中的传播及其能带结构，可以使我们掌握不同材料的 组元及其结构对能带结构及带隙的影响，有助于我们拓宽和加深对周期性复合介 质物理性质的了解，发现一些新现象和新规律，而这些理论结果同时也具有很大 的实用价值。利用声子晶体的带隙特性和声子晶体中存在缺陷时声波的局域特 性，可以设计出声滤波器、声波导、声变送器以及震动控制、噪声控制等新型仪 6 中南大学硕士学位论文第一章绪论 器，具有广泛的应用前景。 我们知道噪声是一种环境公害，与工业。三废”一样都会影响和危害人体健 康。人耳能感受到的声音的频率在2 0 h z 到2 0 k i - i z 之间。在整个声音频谱上，这是 一个很低的频率区间，令人难以忍受的噪音也在这个区间上。如何有效地控制噪 声，是一项长期以来广大科技工作者急于解决的问题。一般根据噪声传播的具体 情况，分别在噪声源部位，噪声传播途径或噪声接收部位采取措施。传统的隔振 技术是在设备与基础之间采用弹性支承或弹性联接( 隔振器) 来实现的；而传统 的隔声技术，则通过做得很厚、很重、较软( 重和软可以减小声音在物体中的波 长，较好地阻隔声音，这就是著名的质量定律) 的材料来实现。但是这种传统的 隔振隔声技术在有些场合下不是很适用的根据声波( 弹性波) 在声子晶体中的 能带理论可知，当声波( 弹性波) 的频率处于禁带范围内时，声波( 弹性波) 及 振动是不允许通过的，我们可以设计和制造出来一种基于这种新思想和新理论的 一种全新的隔音隔振材料。将普通的、常见的材料通过一定的排列和组合在一起 就能隔离噪声和振动，而不需另加隔音或隔振设备，是这种材料的最大优点这 种材料既可以在噪声的传播途中隔离噪声，又可以在噪声源处控制噪声和振动， 可望在环保和建筑工业中得到广泛应用。并将首先在机场、公路及娱乐场所等噪 声污染严重的场所得到应用。 1 4 2 声子晶体的应用前景 声子晶体具有类似于半导体和光子晶体的禁带，它的潜在应用将和电子晶 体、光子晶体一样重要和丰富。声子晶体可用于控制多余噪声和振动的所有领域， 抑制或提高声源辐射率，显著提高各种器件和系统的性能，比如模式选择、能量 传播效率、传播的指向性、无衰减高反射镜等。 ( 1 ) 声学应用 声子晶体具有实际的应用价值，例如，我们可以设计出一种新的弹性波的滤 波器、波导器，以及给高精密的仪器设备提供一个无振动的环境等。用于声波导 和滤波器，用宽禁带滤波器( 对应于周期性固体结构的禁带) 或窄通带滤波器( 在 另一个周期性固体多层结构中引入缺陷) 可以禁止一定频率声波的传播，而在通 带频率增强它们的输出。声子晶体可以用于声纳、深度探测系统及医学超声成像 等领域，以发射和接收各种信号。其他的潜在应用有：声音( 噪声) 屏蔽、无吸 收反射镜、高品质单模谐振器、调制器、声频扬声器、吸热器和偏导器等。 ( 2 ) 振动控制 声子晶体为高精密机械( 纳米) 加工系统提供无振动环境，这样就有可能 为高精尖装备和仪器制造出关键性核心器件，达到其特殊的精度要求。声子晶体 7 中南大学硕士学位论文第一章绪论 能禁止一定频率范围内的振动，对减少各种探测和定位器件振动的负面影响有重 要意义，特别是在常规阻尼材料所不能发挥效能的范围的应用尤为引人注意，如 用于旋转设备的重型底座的减振、角接触轴承的轴承套、声学成像阵列背平面、 飞机发动机底座、电子设备底盘等。 1 5 本课题的研究来源和主要研究内容 自从1 9 9 2 年声子晶体概念提出至今，一直引起人们的广泛关注。目前，国内 声子晶体的研究还处于起步阶段，无论在理论、制备还是应用方面都需要更加深 入的探索，而国外也是仅有为数不多的几个课题组对声子晶体在研究。我们相信 有许多有价值的东西等待着我们去探究。 由于二维声子晶体在性能上优于一维声子晶体，同时比三维声子晶体更易于 制各。因此，我们把本文的课题重点放在二维固，液声子体系中。 本课题的研究主要包含下列几个方面的内容：( 1 ) 详细推导了声子晶体的二 维时域有限差分( f d t d ) 理论；( 2 ) 研究二组元固液声子晶体中组分材料物性 参数对带隙的影响，以及带隙中缺陷态的调节；( 3 ) 研究三组元橡胶铁水体系 的带隙情况；( 4 ) 研究二组元和三组元固，液组合结构的带隙情况 8 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的时域有限差分法理论 2 1 引言 第二章声子晶体的时域有限差分法理论 时域有限差分法首先是被应用在电磁学【7 1 】和光子晶体【7 2 l 等计算中，从基本 的时域m a x w e l l 方程出发，导出了时域有限差分方程，不借助于任何中间量和方 程，由于物理概念非常清晰明了，而且解也健全，该方法得到了广泛的应用。近 年来又被推广到弹性波、声子晶体的计算中【7 删。时域有限差分法原则上可处理 任何系统，如在计算带结构时，平面波展开法不能够处理固体流体组成的系统， 而时域有限差分法可以处理这种系统。但如果和其它方法相比，该方法有耗时的 劣势。在计算透射系数时，前人大量的工作显示了时域有限差分法是一个非常好 的计算方法。 2 2 弹性波波动方程 当弹性介质受到外力作用( 如受到突加外力) 时，并非在弹性介质中的所有 各部分都立即引起位移、应力和应变，而是在作用开始时，距外力作用处较远的 部分保持不受干扰。在外力作用开始后，在作用处产生变形，从而使该处质点产 生振动，这种振动，通过介质内质点间的相互作用而在介质内由近及远向外传播。 这种振动状态在弹性介质中的传播过程，称为弹性波 实际物体的特征及其受力后所表现的力学性能是相当复杂的，因而在理论分 析中往往抓住主要矛盾而忽略一些次要因素，并提出如下的假设1 7 3 | ： 一、物体是连续的。即假设整个物体被组成该物体的介质完全充满，而不留 下任何空隙。因此，反映物体特征的物理量，例如：质量密度、位移、应变和应 力等等都是连续变量，从而在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念。而 且变形后物体上的质点与变形前物体上的质点是一一对应的。实际上，所有的物 体都是由分子和原子组成的，分子之间是有空隙的；对于普通的固体来讲，整个 物体又是由许多结晶颗粒组成，因此，严格讲物体是不连续的，但由于我们所研 究的物体的尺寸远大于这些微粒尺寸。所以，物体连续性的假设，不会引起显著 的误差。 二、物体是线弹性的。实验表明，工程上用的大部分材料，在应力不大的情 况下都可以足够精确地认为是完全弹性的。材料力学的试验证明，韧性材料的物 体，在应力未达到屈服极限以前，是近似的完全弹性体；脆性材料的物体，在应 力超过比例极限以前，也是近似的完全弹性体，即应力和应变成正比，此即所谓 9 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的时域有限差分法理论 。线弹性” 三、物体是均匀的。假定整个物体是由同一材料组成的，其中的所有各部分 具有相同的物理性质，因而，物体的弹性系数等物理量不随位置而变化。 四、物体是各向同性的。即假定物体内每一点在所有方向上物理性质是相同 的。 满足上述四个假设的物体称为理想弹性介质。在理想弹性介质的情况下，假 设弹性介质刚开始时处于自然状态，并且介质中各点的位移是微小的，则弹性介 质中的动力学问题可以归纳为下列十五个基本方程： ( 1 ) 运动微分方程： 誓+ 鲁+ 誓+ 擘= p 窘 弘埘 叙办如 卉2 、7 鲁+ 等+ 誓+ p y = p 雾 t 2 舶， 缸 a ， 如舻 ”。 等+ 鲁+ 鲁+ p z = p 窘 c 2 山， 缸 却如西2 、7 或 a 2 “ o v , i4 - 醴| 2p 毒( 2 - 1 d ) ( 2 ) 几何方程 巳= i o u，m = i o w + i o v ( 2 - 2 a ) 巳。瓦2 面+ 瓦 ：妻k ：罢+ i o w ( 2 - 2 b ) 勺2 哥k 2 瓦+ 面 毛= i o w= 兰+ 罢( 2 - 2 c ) 毛。瓦岛2 瓦+ 瓦 或 白2 似u + “，) ( 2 - 2 d ) ( 3 ) 物理方程 ( a ) 用应变表示应力的关系式： o ；= a e t + 2 雌xf = w 悼 q 3 a ) 巳= 五q + 2 , u e yk = ，。 ( 2 - 3 b ) l o 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的时域有限差分法理论 o z = 五只+ 2 厣： f f = l a y f 螂= j + 2 j 坼 或 o q = 沁o t + 2 a s ， 仃h = ( 3 z + 2 , u ) ( b ) 用应力表示应变的关系式： = 刍【吒一啊+ 吒) 】如= 垫 勺= 圭 哆一虹+ 吒) 】k = 垫# 毛= 扣一帆螺) 1 驴掣 伊：! l ! 堕o e 或 勺= 刍 ( 1 + 唧一吼岛】 l 一2 v 力2 1 r ( 2 - 3 c ) 上述式( 2 1 ) 、( 2 - 2 ) 和( 2 3 ) 等1 5 个方程可以以用来求解1 5 个未知函数，即三 个位移分量( ”，1 ，w ) 、六个应变分量( 巳，占，毛，) 和六个应力分量 ( o x ，盯，吒，r ，f 。，) 。因此，这十五个方程称为以直角坐标表示的弹性动力 学的基本方程。这十五个方程是可以综合简化的，因为在这些方程中，并非每个 方程都包括所有的未知函数，所以，可以将其中的一部分未知函数选作“基本未 知函数”，先将它们求出，然后再由此求出其它的未知函数，而得到问题的全部 解答。这样就形成了以应力为“基本未知函数”的所谓应力解法和以位移为“基 本函数”的所谓位移解法。 在弹性波问题中，我们常采用位移法。这种方法是取点的位移为基本的未知 量，从几何方程( 应变位移) 和物理方程( 应力应变) 中消去应交，这样从十 二个方程中去掉六个方程，得到表示应力位移关系的六个新方程。将新方程代 入运动微分方程，得到以位移表示的运动微分方程，即为弹性波波动方程。具体 d e 呵 a b c d a b 3 3 0 4 4 4 4 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 中南大学硕士学位论文 第二章声子晶体的时域有限差分法理论 推导如下： 由于在剪应力中f ，2 f ，k = f 。，勺= 再将( 2 - 3 ) 式代入( 2 1 ) 中可得： 式( 2 6 ) 中： 哮+ 和誓+ c 骞+ 雾，+ c 雾+ 舄+ = p 雾g 一回 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 礞+ 笙掣+ c 辜+ 雾+ 窘，+ = p 百0 2 u o t g 四四吖御。院。 整理( 2 - 9 ) 得： + 肋鼍+ c 辜+ 雾+ 害，+ 邓o 西2 u ： 因为式佗- l o ) q a ： b = 6 xa e 占y4 8 = = 妻+ 詈+ 西o w = v 。u( 2 1 1 ) 器+ 萨0 2 u + 窘= v 2 材丽+ 萨+ 万- v 勺 ( 2 - 1 2 ) 将( 2 - 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 代x , ( 2 1 0 ) 中得。 q + ) 丢( v ) + 2 + 从= p 鲁o t ( 2 1 3 ) 饼 。 同理可得： ( 名训嘉u ) + 胛2 = p 窘 ( 2 - 1 4 ) c v讲 m + 朋昙u ) + 胛2 w + 膨= p 窘 ( 2 1 5 ) a z甜 综合( 2 1 3 ) 、( 2 - 1 4 ) 、( 2 - 1 5 ) 得： ( a + ) v ( v u ) + 胛2 u + 磷= p 萨c q 2 u ( 2 - 1 6 ) 1 2 a 一知 。吖k o 气 卫缸 卜 = 鱼砂 与o ( ，= a嚣造 。1 旦知岛 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的时域有限差分法理论 式( 2 - 1 6 ) 中的x 是单兀所受的体力，很明显在这里早兀所叟的体力为零，所以式 ( 2 1 6 ) 可以化为： m 训v h ) + 胛2 h = p 窘 ( 2 1 7 ) 式( 2 - 1 7 ) 中； v 2 u = v ( v u ) - v v x u( 2 - 1 8 ) 将式( 2 - 1 8 ) 代入式( 2 1 7 ) 中得： ( a + ) v u ) + “v ( v n ) - v x v x u 】= p 窘 ( 2 - 1 9 ) ( 脚胪( v u ) 一x v n = p 窘( 2 - 2 0 ) 因为 u ( r ，o = e - “u ( r ) ( 2 - 2 1 ) 所以 p 窘一肿2 e - u ( r ) 一舯2 u ( 2 2 2 ) 将式( 2 - 2 2 ) 代入式( 2 - 2 0 ) q h 得 ( 五+ 2 ) v ( v u ) 一，| v x v x u + p a ，2 u = 0 ( 2 - 2 3 ) 即式( 2 - 2 3 ) 是对于各向同性介质而言时的弹性波的波动方程。 下面将式( 2 - 2 3 ) 化为直角坐标情况下的形式： v 一( 昙，晏，昙) ，“，扭= ) ：竽+ 竽+ 芒( 2 - 2 4 ) 盘卯也dxo y忽 v u ，= c 丢，杀，乏x 警+ 等+ 警，靠卵也盘卵 应 = 尝+ 豢+ 篆，t2 丙+ 丽+ 瓦) 1 + c 篙+ 茜+ 器， + ( 丽+ 万+ 丽) j + c 篆+ 篆+ 簧 k+ 卜一+ 一+ _ l、苏昆西如a 2 z 7 中南大学硕士学位论文 接下来求v x v x u v x u = 第二章声子晶体的时域有限差分法理论 ( 2 2 5 ) = ( 等一芒) i 一( 芒一笃j + ( 譬一警) k ( 2 - 2 0 卵 出血宓疵 卵 v v u = + c 篆一等+ 器一等，+ 【丽一万+ 瓦一可) j + c 篆一等+ 器一等坶+ ( 丽一可+ 丽一可) k 1 4 k 笙如a 一如 a 一砂 a 一知 笙砂 a 一彻 + a 一砂 + a 一缸笙锄a 一如 ) 卫砂唾旦 = = a 一勿j 旦协 a f 矿 k a一如一砂 ， ， 笙，旦砂等 ， ， 笪如篆 。 ac苦”砂 等等堂如，渺 箬争争等喜卫钯卫秒丝纰 等考尝争丝缸等学生砂 争睦喂 吖 一 + = 中南大学硕士学位论文 第二章声子晶体的时域有限差分法理论 = t 赢0t 百o u + 等一学+ 等黔唔+ 等一c 等+ 等坷 + g a - e 材- g - + 万。1 4 y ) _ ( 等+ 争】= 瓦0c 瓦0 u i 一筹) ( 2 - 2 7 ) 将( 2 - 2 5 ) 、( 2 - 2 碘入式( 2 2 3 ) 中得； 似+ 和) 三冬) 一昙( 婺一婺) + 胛2 如o ( 2 - 2 8 ) 盘l 盘t功c f 珊l珊 五毒爱) + 瓦0c 面0 u i + 筹+ 艘2 拈。 ( 2 一z 9 ) 所以 等= 去岳q 筹，+ 毒阻c 筹+ 筹m g - s 式中u ( r ，f ) 是位移矢量，i , l = 而y ，：，2 ( r ) 茅f l j u ( r ) 是腊梅系数，p ( r ) 是介质的质量 密度。它们与纵波波速q 与横波波速c ，的关系为： 缴黼q - j 学( 2 - 3 1 a ) 横波波速c ，：捂( 2 - 3 1 b ) 2 3 弹性波波动方程的时域有限差分展开理论 2 3 1 有限差分法 设函数厂，其独立变量席一很小的增量缸= h ，则相应地该函数，b ) 的 增量为： 鲈= ，( x + ) 一，( 而( 2 3 2 ) 它称为函数，的一阶差分，它与微分不同，因是有限的差，故称为有限差分。 而一阶差分4 厂除以增量h 的商，即一阶差商 笔：f ( x + h ) - f ( h ) ( 2 - 3 3 ) xh 它接近于一阶导数霉。 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的时域有限差分法理论 一阶差分仍是独立变量x 的函数，类似地，按式( 2 3 2 ) 计算一阶差分的差分， 就得到二阶差分2 ，( 功 显然，只要上述增量| i l 很小，差分v 与微分矽之间的差异将很小。一阶导 数 阳= 罢= 姗警 是无限小的微分矽= l i m a f ( x ) 除以无限小微分出= l i m 缸的商，应用差分， 它可以近似地表示为： 堑。笠盟：f ( x + h ) - f ( x ) 出缸h ( 向前差分) ( 2 - 3 5 ) 即有限小的差分a f ( x ) 除以有限小的差分厶的商，被称为差两i 司理，一阶导数也 可近似地表达为： a f 一。她：f ( x ) - f ( x - h )( 向后差分)( 2 3 6 ) d xa xh 或者 af一。螋：f(x+h)百-f一(x-h)(中心差分)(2-37)d x a x 2 a 它们对于一阶导数的逼近度可通过泰勒公式的展开式得知。 由泰勒公式，其近似表达式可写成： m + j | i ) = ，+ i d f ( x ) + 五1 2 1 d 2 f r