（理论物理专业论文）玻色爱因斯坦凝聚的孤子动力学.pdfVIP

玻色爱因斯坦凝聚的孤子动力学 捅要 玻色爱因斯坦凝聚是近几年来物理学：家的一个研究热点。本文 主要从描述玻色爱因斯坦凝聚的g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程出发，运 用f - 展开法以及h i r o t a 方法，得到解析的多孤子解，从而来研究玻 色爱因斯坦凝聚的孤子动力学问题，侧重讨论了f e s h b a c h 共振附近孤 子的演化过程。主要内容如下： 论文的第一部分从外囚禁势的角度出发。外部条件对玻色爱因 斯坦凝聚物质的宏观行为的影响非常大，主要表现在外囚禁势。外 势有许多形式：简谐外势、光晶格外势、椭圆函数外势、双阱外势 以及含时线性外势等等。本文着重讨论了含时线性外势下的b e c 模 型。基于f 函数展开法，得到了该模型的一系歹l j j a c o b i a n 椭圆函数 解。同时，我们在得到解析解的基础上，特别讨论了含时线性势 为k 耐= z f ( t ) = z m g + hc o s ( u l t ) 的特殊情况。当f ( t ) 为常数 时，该模型描述的是在线性非均匀等离子中的朗缪尔波或电磁波。 论文的第二部分从散射长度的角度出发。原子问相互作用极大地影 响了b e c 的性质，包括静态性质，例如凝聚体的尺寸、形状等等，还 包括动力学性质，譬如集体激发谱、孤立子以及涡旋等等。实验上和理 论上都证明了利用f e s h b a c h 共振，可以改变散射长度，包括大小以及 符号的改变，即 a s ( t ) = o o 。 1 + z ( b o 一日 ) ) 】，( o 1 ) 其中o 。o 表示远离共振点的散射长度，表征共振宽度，b 0 是磁场的 共振值。基于该研究背景，在本文的第二部分，我们来讨论散射长度 随时间变化的b e c 的孤子动力学问题。首先将三维的玻色爱因斯坦凝 聚模型进行降维处理，得到准一维玻色爱因斯坦凝聚的模型。然后通 过一些变换，将用来描述一维玻色爱因斯坦凝聚的g p 方程变换成标准 的薛定谔方程，并且利用t t i r o t a 双线性方法得到散射长度随时间变化 的b e c 的多孤子解。最后，我们讨论了实验中的几种随时间变化形式 的散射长度的b e c 的多孤子动力学行为性质，并且结合最新的实验， 研究f e s h b a c h 共振附近孤子的演化过程。 关键词：玻色爱因斯坦凝聚，孤子，f e s h b 部血共振，g r o s s - p i t a e v s k i i 方程 】1 t h ed y n a m i c so fs o l i t o n si nb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e s a b s t r a c t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ( b e c ) i st h eh o tt o p i co fp h y s i c sr e s e a r c hi nr e c e n cy e a r s b a s e do nf - e x p a n s i o nm e t h o da n dh i r o t am e t h o d ，w ei n v e s t i g a t et h eg r o s 争p i t a e v s k i i e q u a t i o n ，w h i c hd e s c r i b e st h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s a n dw eo b t a i nt h ee x a c tm u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n s t h e nw ed i s c u s st h ed y n a m i c so fs o l i t o n si nb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s e s p e c i a l l yw ed i s c u s st h ee v o l u t i o no fs o l i t o n sn e a rf e s h b a c hr e s o n a 4 1 c e 。t h ep a p e ri s o r g a n i z e da sf o l l o w s ： p a r tis t a r t sf r o me x t e r n a lt r a p p i n gp o t e n t i a lt h em a c r o s c o p i cb e h a v i o ro fb e c m a t t e ri sh i g h l ys e n s i t i v et oe x t e r n a lc o n d i t i o n s ，a jp r i m a r i l yt ot h ee x t e r n a lt r a p - p i n gp o t e n t i a l t h ee x t e r n a lp o t e n t i a lh a sm a n yf o r m s ，s u c ha sh a r m o n i co s c i l l a t o r p o t e n t i a l ，o p t i c a ll a t t i c ep o t e n t i a l ，e l l i p t i cf u n c t i o np o t e n t i a l ，d o u b l ew e l lp o t e n t i a l ，a n d s oo n i nt h ep a r tio f t h i sp a p e r ，b o s e e i n s t e i ns o l i t o ns o l u t i o n so ft h en o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t ht i m e _ d e p e n d e n tl i n e a rp o l e n t i a la r ec o n s i d e r e d b a s e do n t h ef e x p a n s i o nm e t h o d ，w ep r e s e n tan u m b e ro fj a c o b i a ne l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ， p a r t i c u l a re a s e so ft h e s es o l u t i o n s ，w h e r et h ee l l i p t i cf u n c t i o nm o d u l u se q u a l s1a n d0 ， a r ev a r i o u sl o c a l i z e ds o l u t i o n sa n dt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s ，r e s p e c t i v e l y s p e c i a l l y , f o r k m = z f ( t ) = z m g + h e o s ( w l t ) ，w ed i s c u s s e dt h eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s t r a p p e di nt h ec o u p l i n ge x t e r n a lf i e l dw i t hc o n s i d e r i n gt h ee f f e c to fg r a v i t y ；f o rf ( t ) = c o n s t a n t ，i td e s c r i b e st h ew a v e ( l a n g m u i ro re l e c t r o x n a g n e t i c ) i nal i n e a r l yi n h o m o g e n e o u sp l a s m aw i t hc u b i cn o n l i n e a r l y p a r ti ib e g i n sw i t hs c a t t e r i n gl e n g t h t h ei n t e r a t o m i ci n t e r a c t i o n sg r e a t l ya f f e c t aw i d ev a r i e t yo fb e c p r o p e r t i e s ，i n c l u d i n gs t a t i cp r o p e r t i e s ，s u c ha st h es i z e ，s h a p e a n ds t a b i l i t yo ft h ec o n d e n s a t e ，a n dd y n a m i cp r o p e r t i e s ，l i k et h ec o l l e c t i v ee x c i t a t i o n s p e c t r u ma n ds o l i t o na n dv o r t e xb e h a v i o r t h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a ls t u d i e sh a v e d e m o n s t r a t e dt h a tv a r i a t i o no ft h es w a v es c a t t e r i n gl e n g t ha 日f o rb o s e 龇l df e r m ig a s e s ， i n c l u d i n gap o s s i b i l i t yt oc h a n g ei t ss i g n ，c a i lb ea c h i e v e db yu s i n gt h ef e s h b a c hr e s o l v n a n c e ，钆0 ) = 口【1 + ( t 3 0 8 ( ) ) 】，w h e r e “o 。i s t h e o l 一r e s o n a n ts c a t t e r i n g l e n g t h ，a n d c h a r a c t e r i z e st h ew i d t ho ft h er e s o n a n c e 躺af u n c t i o no fb ( t ) u n d e rt h i sr e s e a r c h b a c k g r o u n d ，w ei n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so fs o l i t o n si nb e cw i t ha n yt i m es c a t t e r i n g l e n g t h h e r ei st h r e es t e p s ：f i r s t l y w er e d u c et h eg “) s s p i t a e v s k i ie q u a t i o ni n t o1 d n o n l i n e a rs e h r f d i n g e re q u a t i o n ( n l s e ) s e c o n d l y ，u s i n gs o m et r a n s f o r m a t i o n ，w em a k e t h e1 dn l s eb e c o m et h es t a n d a r dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ，w h i c hh a sm u l t i - s o l i t o ns o l u t i o a s f i n a l l y , w ed i s c u s st h ed y n a m i c so fs o l i t o n si nb e cw i t ha n yt i m e s c a t t e r i n gf e n g t h i ti sw o r t hn o t i n gt h a t i nt h ep a p e rv m8 k oi n v e s t i g a t et h ee v o i n t i o n o fs o l i t o n sn e a rf e s h b a c hr e s o n a n c ew i t ht h ee x a c te x p e r i m e n t a lc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ，s o l i t o n ，f e s h b a c hr e s o n s a l e e ，g r o s s p i t o e v s k i ie q u a t i o n 第一章绪论 ! ：! 鐾鱼：嚣里堑塑熊鐾= = 堑塑塑堕丛查l 玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ，简称b e c ) 足近j l 年来物理 学家的一个研究热点，有关研究的热潮是1 9 9 5 年3 种碱金属原子气体的b e c 实验实现 之后迅猛掀起的。2 0 0 1 年1 0 月9 日，瑞典皇家科学院宣布，2 0 0 1 年度诺贝尔物理奖授 予美国国家标准技术研究所与科罗拉大学的联合天体物理研究所( j i l a ) 3 9 岁的教 授科耐尔( e r ia ，c o m e l l ) 和5 0 岁的教授维曼( c a r lew i e m 8 n ) 以及美国麻省理 工学院( m i t ) 4 3 岁的德裔教授凯特利( w o l 电a n gk e t t e r l e ) ，咀表彰他们在玻色一 爱因斯坦凝聚实验研究中的杰出贡献。本章我们首先在l ，l 节中介绍玻色爱因斯坦凝 聚是一种新的物质状态。在1 2 节中介绍了b e c 的实验实现。在1 3 节中介绍了孤予以 及b e c 中的孤子问题。在1 4 节中介绍了研究b e c 的基态、动力学以及热力学特性的 工具一平均场近似理论。最后在1 5 节介绍本文的主要研究内容。 1 1 玻色爱因斯坦凝聚一一新的物质状态 微观粒子按统计性质可分为玻色( b o s e ) 和费米( f e r m i ) 子。自旋为整数 的粒子( 如光子、丌介子和n 粒子) 是玻色子，玻色予服从玻色爱因斯坦( b o s e - e i n s t e i n ) 统计；自旋为半整数的粒子( 如电子、质子和中予) 是费米予，费米子 服从费米狄拉克( f e r m i - d i r a c ) 统计。1 9 2 4 年印度科学家玻色( s b o s e ) 将光 子作为基数壁并不守恒的全同粒子而成功地导出了i ，l m l k 黑体辐射定棹。爱圜斯坦 于1 9 2 4 年和1 9 2 5 年发表两篇文章，将玻色对光予的统计方法推广到了全同粒子理想 气体，并预言了这些原子当他们之间的距离足够近速度足够慢时，将发生相变， 变成一种新的物质状态，后人称之为玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ， b e c ) 。在处于这种状态的物质中，所有粒子都处于能量的最低态，并且有相同的物 理特征。这种物质将粒子的量子特性通过宏观的方式表现出来。对于气体状态的原 子，在常温下通常表现出经典粒子的特点( 即原子就如一群台球，互相碰撞，并表现 出各自不同的运动特征；每个原子都需要用一个波函数描述) ；当温度降到足够低 时，本来各自原子会变成一群“集体主义”的原子( 它们只需要用一个波函数来描 述) 。“凝聚”在一个相同的量子状态。这就是当时爱因斯坦预言的气体玻色原子形 成玻色一爱因斯坦凝聚体的状况。 我们考虑一个由个没有相互作用的，质量为m 的玻色子组成的系统。如果在温 度r 时，系统处于热力学平衡态，那么在一个能量为q 的量子态上，粒予的l 与育率由 - 2 。堑要i 师塾盔堂堡圭迨塞i 簋= 童缝鲨 玻色一爱因斯坦分布决定： m m 砖面南j ， ( 1 ” 其中b 是波尔兹曼常数；p 是化学势。化学势是在保持熵与体积不变的情况下，增加 一个粒子到系统时所需的能量。 m 0 的条件要求 h p 0 对理想玻色气体，e t = 蒜，如e 0 0 ，便有 芦0 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 对玻色气体，化学势肛不能取正值这与经典性质b o t t z m a n 气体或f e r m i 气体不同。 我们要求系统的总粒子数守恒。 肚；南， ( 1 4 ) 如果玻色一爱因斯坦分布函数随能量的变化比较缓慢，我们就可将( 1 4 ) 中的求和 用对能量的积分来代替。我们注意到：当p o 时。日= 0 的分布函数会趋向于无穷大 ( 表明在该态上的粒子非常多) 。为了避免积分中的无穷大，我们将基态的粒子数分 离出来，就得到下面的式子 肚0 + d e “o 葡蓊j ， ( 1 5 ) 其中9 ( e ) 是均匀气体的能态密度函数 绯) = 暴( 杰 ( 1 6 ) 其中q 是系统的体积。注意( 1 5 ) 式中的积分值只是系统在激发态上的总粒子数。 令p = 0 ，我们就发现了在激发态上最多可以有的粒子数 等观6 冽丽m k s t 肛 ( 7 ) 如果系统是封闭的，且系统的粒子完全处在激发态，即旭：”一n ，我们就可以得到 系统的临界温度， 正= 挲y ，e b ( 淼声 8 ) z b l z 在临界温度e 以下，系统中的粒子将在最低能态上聚集。 给出分布在e 0 能级上的全部粒子札，。( = 、，乍两l n o ，n 1 ，n 。十1 ， | 椎o ，n l ， 一瓶_ l 蛳，扎l ，一t ， f l l 6 1 ( 1 1 7 ) 其中扎。是单粒子q 态粒子数算符礼= o l 。的本征值，它们满足通常意义下的玻色对 易关系： k ，口翻= 如西，a 3 】一0 瞰 0 翻= 0 ( 1 ，1 8 ) 如果取热力学极限时( n o o ，n o n 保持有限) ，在一特定单粒子态( 基态) 上的原子数变的非常地大，礼。三0 1 ，我们就说在这个态上形成了b e c 。这 时0 一l ，0 ，0 + 1 没有多大区别。于是可以将产生与湮灭算符作为e 数来看待，即 知z j = 俪( 1 1 9 ) 对一处于体积v 中的均匀玻色气体。b e c 所处态的单粒子态具有零动量m o 一1 、v ， 这时玻色予的场算符毒可以写成 电( 力= v 7 丙i 万+ 电( 囝， ( 12 ( 1 ) 其中算符妒( n 为- d , 微扰。 将上述处理推广到非均匀的含时系统中，就有 每( t t ) = 西( t t ) + 血( f t ) ， ( 1 2 1 ) 其中零( t t ) 是一个复薅数，定义为场舞符的平均值垂何幻= ，它的模就是 凝聚体的密度n o e t ) = i 中e t ) 1 2 ，与均匀气体样，函数中氓) 具有一可以确定的位 相，这与多粒子系统的规范对称破缺有关。 下面我们来推导凝聚体的波函数m 所满足的方程。将玻色子的场算符( 1 2 t ) 和 相互作用玻色子的= 次量子化的哈密顿量代入海森堡方程 流掣：鳓，觎 ( 1 2 2 ) 则 f 蚤( 力，岔 = ，。酽【鸯( 囝，壶( ，) ( 一蒹v 。( ，) 每( 产) ) 】 + ；_ r ，d ，d ，【每( 而，c ，( ，一一) 亩+ ( 一) 每+ ( 一) 由( 一) 由( ，) l = 【一茄v 2 + k 日( 刁】亩( 砖+ ；，d 扩扩一) ，( 严) 每 囝每( ) ( 1 2 3 ) + ；fj id ，u ( ，一囝亩+ ( ，) 每( 一) 亩( 而 = 【一砉；v 2 + ；一( 力】查( 囝+ ，f 产矽( f 一，) 圣( 尹) 壶( 囝圣( 尹) ， 在稀潭的玻色气体中，原子间的相互作用一般都较弱，所以我们简化原子的相互作用 势陋2 4 】 矿( 固：堂矿( 而，( 1 ，2 4 ) 将( 1 2 4 ) i - x ( 1 2 3 ) ，得到 滴百a 亩 r 0 = 卜2 h 。2v 2 + ( 哪( 力+ 笔窘叭棚嗍刁，0 2 5 ) 又将( 1 ，2 1 ) 式代入上式， 叫蓑+ 罾) 一羔( v 2 西+ v 2 奶+ ( 竹( 垂+ 奶( 1 2 6 ) + 垒警( 垂t + 亩+ ) ( 垂+ 每+ ) ( 西+ m 7 ) ， 对( 12 6 ) 式取统计平均：考虑到圣( 刁= 和 ：= 0 ， ：n ( 未凝聚的原子数目) = 0 ，以及 = 垂， = 0 = 0 ，垂叶亩每2 吖毒+ 2 札，垂+ 垂2 亩叶+ 2 i 圣 2 亩。 i 西1 2 圣，得到 抗篆关v z 垂+ 圣+ 筹! ( 2 十2 m ， ( 1 2 7 ) 通常地，在( 1 2 7 ) 式中，我们略去n ，因为b e c 形成之后，i 中1 2 ，所以 访豢一羔v z 垂+ 垂+ ! 警i 西0 2 8 ) 这就是著名i 勺g r o s s - p i t a e v s k i i ： 5 程，简称g p 方程，即描述b e c 的n l s 方程。它 g r o s s $ 1 1 p i t a e v s k i i 4 9 r 自独立得到1 2 5 】。适用条件是，s 。波散射长度a 比原子间距小 很多。凝聚体的原子数远大于1 ，它用来描述系统的宏观行为，也可以能量变分 谪箬= 筹， ( 1 。) 识面。丽， 。， 得到，其中e 【叫= j d 订一朵i v 币1 2 + k 日( 列圣1 2 + 引圣j 4 】，第一项为凝聚体动能l 砝 第二项为谐振子势能f 1 柚，第三项为相互作用能最。以上g p 方程的推导过程参考文 献口6 一， 1 5 本文的主要研究内容 在理论上。玻色，爱因斯坦凝聚在分子场理论框架下可以用g r o s s p i t a e v s k i i 方程 描述。g p 方程是一个非线性方程，又具有囚禁势，求解十分困难。通常的方法是 将g p 方程进行降维处理而研究一维雪茄型和二维盘型b e c 中的激发的动力学。实验 上观测到的声子、亮孤子、暗孤子、涡旋等现象都属：f 各种不同形式的激发，尤其是 1 0 堑、扛盟整丕堂塑土堡塞! 签二室缝鲨 实验上观察到的暗孤子和亮孤子，更是激发了人们对坡色爱因斯坦凝聚中的孤子动 力学问题的极大兴趣。 事实上除了内部的相互作用外，外部条件对b e c 物质的宏观行为的影响也是非 常的大，主要表现在外囚禁势。外势有许多形式：简谐外势、光晶格外势、椭圆函 数外势、双阱外势( d o u b l ew e l lp o t e n t i a l ) 、含时线性外势( t i m e - v a r y i n gl i n e a rt r a p p o t e n t i a l ) 等等。本文在第二章侧重研究含时线性外势下玻色一爱因斯坦凝聚体的孤 子动力学问题。 在第三章中，本文研究散射长度随时间变化的玻爱因斯坦凝聚的孤子动力学 问题。并且结合最新实验，研究f e s h b a c h 共振附近孤子的演化过程。 第四章，对本文工作的总结和进一步的展望。 第二章含时线性势下的孤子问题 2 1 引言 事实上，除了内部的相互作用外，外部条件对b e c 物质的宏观行为的影响非 常大，主要表现在外囚禁势。外势有许多形式：柱形势( c y l i n d r i c a lp o t e n t i m ) ， 简谐振子势( h a r m o n i cp o t e n t i a l ) ，环形外势( t o r o i d a lp o t e n t i a l ) ，椭圆函数外势 ( e l l i p t i cf u n c t i o np o t e n t i a l ) ，光学晶格外势( o p t i c a ll a t t i c ep o t e n t i a l ) ，含时线性 势( t i m e v a r y i n gl i n e a rp o t e n t i a l ) 等等。 在当前的实验中，谐振子势是一非常普遍使用的囚禁势，而且人们已经对具有谐 振子外势的b e c 进行了大量的研究，谐振势表示为 k 一( 而= 誉( 。2 + q 2 + u ：) ， ( 21 ) 其中m 为玻色子的质量，吨和u 。分别为谐振子在a ：，y ，。方向上的频率。考虑凝聚 体处于雪茄型的势阱1 ，k ( 而中，则横向囚禁非常强，轴向囚禁报弱，凝漾体被囚禁 势限制在轴向上，由于此时凝聚体被伸长，所以可以将其看作是一个准一维f j j 雪茄 型b e c 问题。同理，考虑凝聚体处于盘型的势阱。( 而中，则轴向囚禁非常强，横向 囚禁比较弱，凝聚体被囚禁势限制在横向上( 例如z 和y 上) ，所以可以将其看怍一 个准二维的盘型b e c 问题。详细推导可以见参考文献 2 9 - 3 4 j 。 人们已经成功地对具有谐振势的b e c 进行了研究1 3 6 - 柏1 ，这就更大激励科学家们 去研究具有新的囚禁势的b e c 问题，倒如椭圆函数势h 1 “目，光学晶格势 4 6 - 5 1 以及含 时势等等。所以本章在2 2 节采用f - 函数展开法来侧重讨论含时线性势的孤子动力学问 题。最后在2 3 节中给出本章小结。 2 2 直接法求b e c 的单孤子解 本节基于f 函数展开法，讨论了含时线性势下的玻色，爱因斯坦凝聚的单孤子 动力学问题。利用f 函数展开法，我们能够得到一系列j a c o b i a n 椭圆函数解，当模 数m 一0 和m 一1 时，分别得到双曲函数解和三角函数解。同时，我们在得到解的基 础上，特别讨论了含时势为k m = z f ( t ) = z m g + h c o s 如l t ) 】的特殊情况。当f ( z ) 为常数时，该模型描述的是在线性非均匀等离子中的朗缪尔波或电磁波。 。1 2 堑堑塑煎丕堂壁主焦塞! 星三塞盒壁缝丝垫工数理i 自壁 2 2 1 模型 我们考虑准一维b e c 模型 t 挈= 一嘉警+ 冽即( 卵) + i 4 7 r h 2 a 功忡( ：2 2 ) 其中戳z ，t ) 是凝聚体的宏观波函数，f ( t ) 是时间的任意函数。 为了简弘方程( 2 2 ) ，我们引进无量纲变量t = 岫t ，。= z “五丽和妒= i c h t n r r o 这时我们得到无量纲方程： i 筹+ ；嚣+ 训卯妒吲讪_ o ) ( 2 3 ) 其中q = 4 ”。n ，( t ) = 一器f ( 去) 。当散射长度8 0 ，即町 o 时，凝聚体粒子间 是相互排斥的：相反，当散射长度o 0 时，凝聚体粒子间是相互吸引的。 为了得到方程( 2 3 ) 的准孤子解，我们引进如下辅助方程： 护= c o + c 2 扩+ c 4 矿，( 2 4 ) 其中：= 塞，= f ( 。，t ) ，且c 0 ，c 2 ，c 4 是常数。我们作变换 妒( z ，t ) = u ( z ，t ) e x p i v ( z ，堋，( 2 5 ) 其中“( z ，t ) 是振幅函数，而”( z ，t ) 是相位函数。将方程( 2 5 ) 代入方程( 2 3 ) ，并且将方 程的实数部分和虚数部分分离且设为零，则我们得到如下偏微分方程： = 。麓乏鼍荔：卅z f ( t ) u ：0 江。， 一u 饥+ i u ：。一 + q 舻+ = 。7 通过领头项分析，方程( 2 。6 ) 解的形式如下： u 扛，t ) = a t ( t ) + 2 ( # ) 砂( f ) ，v ( z ，t ) = p p ) - t - q ( t ) z ，( = ，t ) = s ( t ) + ( ) # ，( 2 7 ) 其中o l ( t ) ，( t ) ，p ( t ) ，口( t ) ，h ( t ) 和s ( t ) 都是待定的t 的函数，并且庐( f ) 满足方程( 24 ) 。 将方程( 2 7 ) 代入方程( 2 6 ) 并且将和“孑f 面乒鬲i 矿= 0 ，1 ；l = 0 ，1 ，2 ，3 ) 前的 系数设为零。利用数学工具软件m a p l e ，我们可以得到如下待定偏微分方程缀- n n20 a d f ( t ) 一q c 】_ 0 ， 0 2 【乳+ h q 一0 ， a = h t ：= 0 ， 驴i + a 2 h 2 q = 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 t 1 ) ( 2 1 2 ) 兰：! 真篮选墼星堡旦笪璺堡至蟹1 3 3 q 0 1 0 ；= 0 ， n ：( 3 t i n ；一；q 2 _ p t 斗；h 2 晚j = o - a l p t - ；a 2 n + ”= 1 ) 1 其中t = l ，2 。解方程组( 2 8 2 1 5 ) ，我们可以得到以下的结果 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) h = 士一毒a ， q ( t ) = ，f ( t ) d t + a 2 ， ( 2 - 1 6 ) 3 ( 。) 2 千、一是a i f f ，( ) 出+ a 。】疵+ a 3 ， p ( t ) = 一老c 2 a 卜 掰) 4 汁a 2 2 d t + a 4 ， 其中a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 都是任意常数。考虑到方程( 2 4 ) 存在许多不同的解，所以我们必须 将方程( 2 3 ) 的解分为几种情况来讨论： 如果曲是s n 函数，c 0 = 1 ，c 2 = 一( 1 十r n 2 ) ，c 4 = m 2 ，则分别可以得到周期s n 解以 及暗孤立波解： 妒( z ，t ) = a l s n ( z ，纠e x p i v ( z ，t ) l ， ( 2 【7 ) 其中 ) 。j ： 一杂 千、一格掣拶) 批。a 。 缸 泣1 8 1 v ( z ，t ) = ，f ( t ) d t + a 2 】= 一j l f f f ( t ) d t + a 2 2 d t + i 格a ；( 1 + r n 2 ) t + 4 4 0 0 0 。 当m 一1 时得到暗孤立波解： 母( z ，t ) = a 1t a n h ( z ，t ) 】e x p i ( z ，t ) 】 ( 2 1 9 ) f 和，。) 2 专 一印a 千 一叶a 2 f ，( ) d 。+ a 2 d 亡+ a “( 2 ，2 ( ) ) 钉0 ，t ) = 。f f ( t ) d t + a 2 z 一 ，o 【，0 ，0 ) 砒+ a 2 】2 d 2 + 叩a 弘+ a 4 如果西是c n 函数。c o = 1 一m 2 ，c 2 = 2 m 2 1 ，c 4 一m 2 ，这时可以得到周期c i 解 妒( z ，t ) = a l c n ( z ，t ) 】e x p i v ( z ，圳， ( 2 2 1 j 1 4 堑堑垣整盔堂塑主迨塞：蔓三童盒盟堡：睦垫王笪殛王i l 堕 昏2 专厕弭厕妙t ) d 。协3 ( 2 2 。) 口( z ，。) _ 。f f ( t ) d t + a 2 】z 一泌f 邢) 出+ a 2 】2 d t + 赤砰( 2 m 2 1 ) a 4 妒( 2 ，t ) = ax s e c h f ( z ，t ) 】e x p i v ( z ，t ) l ， ( 2 , 2 3 ) 0 ，t ) = 士、q 脚千、目川f f f ( t ) d t + a 2 d t 十a 3 ， 0 0 ( 2 2 4 ) ( 。，t ) 。【，”) 出+ 制p 。) i 。f f ( t ) d t + a 2 】2 d t + 2 2 a 也 著西是s c 函数，c o = 1 ，c 2 = 2 一 。2 ，姐= 1 一m 2 ，可得到其它雅可比椭浏函数解： 妒( 。，t ) = a 1 s c 睡( z ，t ) 】e x p i v ( z ，吼 f 2 , 2 5 ) ) = 士 一南a 弘千、一书冉( ) 出+ 似+ a “蚴1 ( 引) = i f ( t ) d t + 如t p 。f i 。f f ( t ) d t + a 2 2 m 一桶躺( 2 一一) 。+ a t 妒忙，t ) 一a 1t 触1 落0 ，t ) e x p i v ( z ，t ) 1 ， ( 2 2 7 ) 其中 一，一十 f 。，。) 5 专、一叼a z 千、一”? ：j j ，幻疵+ a 2 1 出十a 3 ( 2 2 8 ) ( z ，) = i f f ( t ) + a 2 】z 一；i f i f ， ) + a 2 】e d t - q a i 2 + a 4 2 2 2讨论 如果我们讨论玻色一爱因斯坦凝聚被囚禁在耦台外场 时方程( 2 2 ) 的外囚禁势可表示为 k “= z f ( t ) = z m g + h c o s ：u 1 t ) 因此，方程( 23 ) 中的，( 芒) 可以表示为 f ( t ) = h + z c o s ( u t ) ， 且考虑重力的作用这 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 曼2 真鲎塑墨曼璺堑璺趣王照、1 5 其中，b l = 一孙力i ；i 丽m 罐，f = 日、6 ；面丽m “3 矗，以及u = u 。u o 。 从解( 2 1 9 ) 和( 2 2 3 ) ，我们相应地可以得到该情况下凝聚体的暗孤立波解和亮孤 立波解： 1 ) 暗孤立波解为 币( z ，t ) = a it a n h ( z ，钏e x p i v ( z ，t ) l ， ( 2 , 3 1 ) 其中 ( z ，) = 士 一班蟾2 千- x ：孺4 j b , t 2 一击c o s ( u t ) + a 2 + 击】+ a 3 】 、 ”( 名，) = b x t + 告+ a 2 】z 一 j 1 t + 击8 i n ( u t ) + a 2 】2 d t + 叩a ；t + a 4 ( 23 2 ) 2 ) 亮孤立波解为 妒( 2 ，t ) = a l s e c h ( z ，) e x p i v ( z ，t ) 】，【2 3 3 ) 其中 f ，) = 土、 a i z 干 q a i 6 l t 2 一击c o s ( w t ) + a 2 t + 击】+ a 3 v - - ， 口o ，t ) = 陋1 f + s i n 0 ) + a 2 1 z i f 【6 。t + 专s i i 。( u t ) + a 2 1 2 d + 7 7 a + 4 4 ( 23 4 ) 这类情况的孤立波解在文献【5 8 中，作者利用达布变换方法已经得到。 接下来，我们开始讨论用式( 2 3 1 ) 描述的暗孤立波解的非线性行为，如图21 和2 2 所示。从这些图中，我们可以清楚地看到： ( 1 ) 当6 1 的值减小时，暗孤子运动轨迹的半径变大( 见图2 1 的( a ) 和( b ) ) ； 当6 1 = 0 时，半径就变的无穷大。 ( 2 ) 如果保持b l 的值不变，不断减小古的值，我们可以从图2 1 ( a ) 和( c ) 中看出， 孤子的运动轨迹开始振荡，而且随着值的减小，振荡的越来越明显。 ( 3 ) 当只考虑z c o s ( w t ) 项，i l p b l | = o 时，我们从图曩2 ( a ) 中看到，孤子的运动轨迹 半径无穷大，且保持振荡的状态。 ( 4 ) 当我们只考虑重力的作用，即f = o 时，我们从图2 2 ( b ) 中可阻看出，孤子的运 动轨迹不出现振荡的状态，且其半径远小于o 。 另外，我们也讨论了由式( 2 3 3 ) 描述的亮孤立波解的非线性行为，并且得到了同 上讨论的结果。在这里就不必重复写出。 2 2 3小结 本节中，我们采用f 函数展开法讨论了含时线性势下的玻色，爱因斯坦凝聚的 单孤子动力学问题。尤其要指出的是，我们讨论的模型具有广泛的物理意义。 当，( t ) = 卢= 常数时，方程( 2 3 ) 可以描述在线性非均匀等离子中的朗缪尔波或电 磁波 5 9 】。当，( t ) = 0 时，方程( 2 3 ) 就退化为非线性薛定谔方程( 以上_ i 葶细推导见文 献 6 0 ) 1 6 塑婆堡整丕堂壁圭监塞! 蔓三重垒啦垡壁垫工盟墨至! i 嬖 i i t 21 用式f 23 1 ) 描述的暗孤立波解的非线性行为，其中参数的选取如 。f ：( a ) b 】= 0 5 1 = 0 0 0 2 ，u = 0 0 1 a 1 = 8 ，7 7 = 一l ，a 2 = 0 a 3 = l ： ( b ) b l = 0 1 ，! = 00 0 2 ，u = d0 1 l = 8 ，_ 一一1 ，a 2 = 0 ，a 3 = 4 ： ( e ) b l = 0 5 ，j = 8 ，u = 2 ， i = 8 ，叩= 一1 ，a 2 = 0 ，a 3 = 4 p r o f i l eo ft h ed a r ks o l i t a r yw a ”g i v e n 如e q ( 2 3 1 ) h e r et h ep a r a i l l ( , t e r sa d o p t e da r p ( a ) 6 l = 0 5 ，c = 00 0 2 ，u = o0 1 ， 4 1 = 8 ，q = = 一l ，a 2 = 0 ，a e = 4 ： ( b 伸i = 0 1 f ；0 0 0 2 ，u j = 0 0 l ，a 1 = 8 ，7 j = 一l 、a 2 = 0 ， 3 ：= 4 ： ( c 1 6 1 = 05 ，f = 8 ，u = 2 a l = 8 ， r = 一1 ，42 二= 0 ，a 3 = 4 墨l 垒童4 ：煞。1 7 图22 用式( 23 1 ) 描述的暗孤立波解的非线性行为其中参数的选驭如 下；( a ) 6 1 = 0 # = 8 ，u = 2 ，a i = 8 、q = 一l ，a 2 = 0 ，a 3 = 4 ； ( b ) b x = 0 5 ，2 = 0 ，a l = 8 ，= 一1 ，a 2 = 0 ，a a = 4 。 p r o f i l eo ft h ed a t ks o l i t a r yw a ”g i v e nb ye q f 23 1 ) ，h er et h ep a r n e t e r sa d o p t e da l e ( a ) 6 1 = 0 ，= 8 ，u = 2 ，a ，= 8 ，= - 1 ，a 2 = 0 ，a a = l 、 ( b ) b l = 0 5l = 0 ，a i = 8 ，qz 一1 ，a ：；0 ，a 3 = 4 2 3本章小结 在本章中。我们采用直接法得到含时线性势下的b e c 的孤子解，并且讨论r 孤子 的动力学行为。除了我们上面讨论的含对线性势，b e c i 丕可以囚禁在其它不同的外势 下。对于研究不同外势下的b e c 的孤子动力学问题，人们作了大量的研究。例如自人 量工作是研究椭圆函数外势下的一维、二维b e c j h 题。考虑到准一维排斥棚互似j ” 的b e c 被一外势囚禁，可由如下的非线性薛定谔方程来描述： 1 i c t = 去妒。+ l 妒；2 妒+ y ( z ) 妒， ( 23 5 ) z 实验上。囚禁势由一驻光波产生，即 v ( x ) = 一v o s n 2 ( z ，k ) ， ( 23 6 ) 其中s n ( x ，k ) 表示j a c o b i l 椭圆正弦函数，模数女( 0sk 1 ) 当= 0 刚t 【z ，k ) = s - n ( z ) ，即v ( z ) 一一v o s i n 2 ( z ) 是精确的驻光波，该势称光学晶格势。当一1 时，s n ( ：c ，k ) = t a n h ( x ) ，这时椭圆函数外势转变为t a n h 型势e 外势对b e c 物质的宏观行为的影响非常大，所以在今后的工作中，我们希望深入 讨论研究不同外势对b e c 物质如何影响，从而来掌握和控制b e e 物质的动力学行为。 1 8 逝堑! 重煎盔堂亟主堡塞：墨三童墼塾丝廑瞳吐间壅选曲垦旦鲤王毂弛杰堂间壁 第三章 散射长度随时间变化的b e c 的孤子动力学 3 。1 引言 b e c 在实验上的实现，引起了对非线性物质波的大量研究。其中一个核心问题 聚焦于b e c 中原子间相互作用问题。原子间相互作用极大地影响了b e c 的性质，包括