（课程与教学论专业论文）学生fdi认知方式与数学问题解决.pdf

摘要 认知方式的研究开始于本世纪4 0 年代，一直阻来，受到国内外 许多心理学家的普遍关注，其研究成果几乎涉及到教育的各个领域， 但很少论及数学学科学习的认知风格，本文在三个实验的基础上，定 性分析和定量分析相结合，讨论了f d i 认知方式与数学阿题解决的关 系，全文共分四个部分。 第一部分是关于认知方式的概述，简单介绍了认知方式的研究意 义和分类及其与问题解决的关系。 第二部分从三个调查实验出发，首先i 蝴验一初步肯定了在数 学问题解决过程中存在着认知方式的差异，进而在实验二、三的基础 上分析认知方式与数学应用题的解决及数学解题策略形成的关系。 第三部分首先阐述了教师的不同教学方式在课堂上的表现，然后 在认知方式对现实教育的启示作用的基础上，提出了一些实现这一作 用的具体的途径。 第四部分：结束语，提出了几个还有待于进一步讨论和实证的有 现实意义的问题。 关键词：认知方式场独立型场依存型数学问题 学生f d i 认鲡方式与数学问题解决 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho f c o g n i t i v es t y l ew a s b e g a n i n1 9 4 0 s e v e rs i n c e ，i th a s b e e ng e n e r a l l yn o t i c e dw i t hi n t e r e s t b ym a n yp s y c h o l o g i s t s e i t h e ri n d o m e s t i co ri no v e l s e a sa n dt h e i ra c h i e v e m e n t sa l m o s ti n v o l v e si ne v e r y f i e l do fe d u c a t i o r lr e g r e t 触y , e m q o n gt h o s e , t h e r e 扣f e wr e l a t i n gt ot h e m a t h e m a t i c a l s t u d y a n dt h e c o g n i t i v es t y l e b a s e d o i lt h r e ea 币口i m 胁协，t h i s t h e s i sd i s c u s s e st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o g n i t i v es t y l ea n d t h er e s o l v eo f m a t h e m a t i c a lq u e s t i o n sb yt h ew a yo fc o m b i n gq u a l i t a t i v ea n a l y s i sw i t h q u a n t i t a t i v ea n a l y s i s i ti n c l u d e sf o u r p a r t s ： p a r t1m a k e sab r i e f i n l r o d u c t i o n o f c o g n i t i v es t y l e ，w h i c h i sc o m p o s e d o ft h ec l a s s i f i c a t i o n , t h e m e a n i n ga n d t h e i m p a c to n t h er e s o l v e st o q u e s t i o n s 、 p a r t 2 ，f o l l o w e db y t h r e ee 咖t s , t h ea u t h o r i n i l i a l l ya p p r o v e s t h e e x i s t e n c eo ft h ed i s c r e p a n c y 血r j n gt h es t u d e n t s r e s o l v et om a t h e m a t i c a l q u e s t i o n st l r o u g he x p e r i m e n t 僦t h e n w i t ht h ea i do f e x p e r i m e n tt w oa n d t h r e e ，t h ea u t h o ra n a l y z e st h er e l a t i o nb e t w e e n t h ec o g n i t i v es t y l ea n dt h e a n s w e rt ot h em a t h e m a t i c a lq u e k d o n sa sw e l la st h ef o r m a t i o no fs o m e s t r a t e g i e s p a r t3 ，a f t e re l a b o r a t i n gt h ed i f f e r e n tn m i f e s t a t i o nw h e nd i f f e r e n t t e a c h e r sg i v et h es a m el e c t u r e ，t h ea u t h o ra f f i r m st h a tt h er e s e a r c ho n c o 四_ i t i v es t y l e h a s i m - p i m t i o n t oo u ra c t u a le d u c a t i o na n d b r i n g sa b o u ts o m e p a r t i c u t a rm e 黜f o r r e a l i z i n g i t p a r t4 e n d i n 培w o r d s , i nw h i c hs o n i cs i g n i f i c a n t 。q u 卿 o n s a r ep u t f o r w a r df o rf u r t h e rs t u d ya n d t e s t k e y w o r d s ：c o g n i t i v es t y l e ；f i e l d d e p e n d e n c e - - i n d e p e n d e n c e m a t h e m a t i c a l q u e s t i o n 4 学生f d i 认知方式与数学问题解决 人们在认知过程中存在着很大的个别差异，它既表现在能力方面， 也表现在认知方式方面。所谓认知方式，指的是头脑中的操作过程是 如何进行的。它是一个人在感知、记忆和思维过程中经常采取的、受 到偏爱的和习惯了的态度和风格。近年来，关于认知方式的研究迅速 发展，大量的研究指出，认知方式的影响可以遍及一个人的心理活动 的全部领域。它不仅表现在认知过程中，也反映到人的社会陛活动和 个陛心理特征方面。 为什么国内外心理学家都会不约而同地关注认知方式这领域? 原因有多方面。其中最主要的原因是认知方式将一向割裂的心理学中 的两个领域一一人格与认知统一了起来。可以说，认知方式是一个架 于认知与人档之间的桥梁。正如威特金等人在认知方式的实质和成 因一书中所述：“认知方式理论家的一个主要目标是探索地把有关人 类行为的诸个研究领域统一在一个共同概念框架中的方法。”( w 吐d n & g o o d e n o u g h 1 9 8 1 ) 认知方式的研究开始于2 0 世纪4 ；o 年代，至今已鉴定出了几个维 度，包括敏捷水平( 反应快速与缓慢) ，压抑与灵活控制( 个体对分心 刺激敏感性的水平差异) 等。广为人知对认知风格( 也就是烈门所说 的认知风格) 的划分有两个维度：冲动型和沉思型；场独立型和场依 5 学生f i ) i 认知方式与数学问题解决 存型。 ( i ) 冲动型和沉思型 这是指学习者面对两种或两种以上的选择时，做出反应的速度。 一般来说，冲动型学生往往是动作迅速，甚至未对所有答案看过一遍 就做出了选择，而沉思型的学生则会仔细考虑每个选项，最后做出选 择。 研究表明，认知冲动的学生反应快，但容易出错，而沉思型的学 生一般是花大量时间考虑周密了才做出反应，所以出错少。但也有的 学生反应既快有准确，这可能是由于他们熟悉某领域的知识，对学 - - j 任务胜任有余，而非认知冲动。 沉思型和冲动型的认知方式只是反映思维和行为的方式，并无 好坏之分。 ( 2 ) 场独立型和场依存型 关于这一点，无论在理论探讨还是在实验研究方面贡献最大的是 威特金( h aw i t l d n 1 9 1 6 _ 一1 9 r 7 6 ) ，威特金提出认知方式的一个主要 方面是场依存型一一独立型特征( 矗e l dd e p e n d e n c e - - i n d e p e n d e n c e ) ， 以极端的场依存型和它的对立面，极端的场独立性为端点，构成了不 同认知方式的一个连续体，每一个人都在这个连续体上占有一定的位 置。威特金的一个著名实验叫“术i 棒测验”( r o d a n df m m e t e s t ) ：这 个实验是令被试在注视条件下，将呈现在面前位于一个方框中的一条 倾斜的直线调整到垂直的方位。实验结果发现：当框架偏斜时，它对 于中间直线的方位判断右边同化作用，而这个效应的大小因人而异。 威特金由此指出：凡视觉中受环境影响大者均属场依存型特征，凡不 受或很少受环境影响者属场独立型特征。他和他的同事们用其他方法 做实验也表现了类似的个别差异。另一个实验是利用镶嵌图形，即令 被试在比较复杂的图形中用铅笔勾画出镶嵌在其中的指定的简单图 形。场依存型者对此时常感到困难，而场独力型者却能够获得良好的 成绩。这种实验被称为镶嵌图形测验( e m b e d d e df i g u r et e s t ) 。( 见 6 学生f i ) i 认知方式与数学问题解决 图1 ) 根据以上几种测试的结果，威特金和他的同事确信人们在认知 活动中具有场佑泞一独力性方面的差异，并假设这种差异可以用独 力于周围环境影响而进行自主活动的能力来加以说明。他们的研究受 到许多学者的支持，并且在研究中逐步明确：人们在这个维度方面的 分布情况不是严格的区分为两大类，而是除了一些明显的场依存型和 场独立型者以外，大多数人都或多或少的处于中间状态，作为个别差 异，场依存型特征只表示人们在信息加工过程中依赖于内部或外部参 照物的倾向性，更由于生活实践中各种不同性质的活动对人民这方面 的心理特征有不同的要求，因此，决不能轻率地作出场独立性或场依 存性两种方式孰优孰劣的简单结论。 。 序 11 22 1 号 复 杂 例 卜测 y i m l l 图 勰l 形 y ，l 、j 简 h彩 盟 图 形 图1 镶嵌图形示例 认知方式与问题解决有着密切的关系，这方面的研究成果有：1 9 7 7 年s q 岫伪的研究表明：饧独立性者在科学问题上表现较好， 1 9 8 0 年a d i 和p u l o s 发现认知方式与问题解决的策略显著相关；1 9 8 1 年 l o u r d u s a m y 对化学问题解决进行研究发现：“场独立隆学生在分析和 综合两方面表现都好于场依存性学生”；1 9 8 4 年r o n n i n g 等对中学生 学生f d i 认知方式与数学问题解决 学生”；1 9 8 5 年n i a z 等表明：认知方式已经被用来解释问题解央表 现上的显著差异；1 9 8 5 年r o w e 进一步认为认知方式与问题解决的速 度和准确性有关；1 9 8 5 年t o u r n i a r e 和p o l o s 指出“场依存性者比场独 立性者更易受影响而选择一个以前使用过的错误策略；1 9 8 8 年国内 许燕研究表明，在小学三年级数学应用题的得分中，场独立性学生明 显高于场依存性学生；1 9 7 7 年r o z e n c w a j g 认为：问题解决的方式与 认知方式具有密切的关系。 学生f d i 认知方式与数学问题解决 1 解决问题学习的基本认识观 1 1 什么是旁 决问题学习”? 作为中学基础学科的数学教材中，例题和习题占有相当大的比重。 假如把有待证明的数学命题，把所要研究的数学概念的各种性质以及 能说明概念性质的例子，也都称之为趣”的话，即如果广义地理解 “数学问题”，那么，在数学学习中，“掌握数学就意味着艉题”。 解决问题学习是加涅的学习分类体系中层次最高的一类学习，它 含有发明，创造的意思。所谓解决问题，就是以独特的方式去选择多 组法则，综合运用她们，最终建立起一个或一组新的，更高级的，学 习者先前未曾遇到过的法则。数学家所进行的研究工作一般来说都属 于解决问题学习之列。 按照加涅的观点，在数学学习中，解答一般的常规性习题不能算 作解决问题学习，它们只不过是法则的运用。例如计算1 9 2 + 1 9 5 ，就只 是一道利用对数性质培口+ l g b = l g ( a b ) ( a o , b o ) 而进行化简的题 目。同样地，如果上述对数性质学习是在教师预先告知它的形式，并 作具体指导条件下进行的，那么这也只是一种法则学习。只有当学生 事先从未见过这一公式，是自己独立的利用指数运算律将它推导出来， 这才算是解决问题学习。因为在这种情形下，尽锗这个法则早已被前 人所发现，但是对于中学生来说，他仍然是创造了一个新的法则。 1 2 “尝试错误式”与。顿悟式”解决问题 关于解决问题的心理学见解，行为主义心理学派倾向于用“尝试 错误”来解释问题的解决，认知心理学派则倾向于用“顿悟”来解释 9 学生l 口i ) i 认知方式与数学问题解决 问题的解决。 所谓“尝试错误式”解决问题是按“尝试一错误一再尝试” 的方式来解决问题，即在遇到新的陌生问题时，学习者将自己经验中 与新问题有关的材料( 有关的知识，有关的问题类型和有关的方法) 集中起来做出尝试，或者按照新问题与熟悉问题的相同成分做出尝试， 或者按照新问题的情境与过去遇到的情境的相似方面做出尝试，如果 尝试失败，就进行新的尝试，从积累的全部经验中作出一个又一个尝 试，直到问题解决。 所谓“顿悟式”解决问题，是指在遇到新的陌生问题时，学 - j 者 按照一定的“心向”致力于发现问题条件与目标之间有意义上的联系， 并努力发现新问题与自己拥有的解题手段之间在意义上的联系，一旦 发现这种联系，顿悟就产生了。 涂荣豹在数学解题的有意义学习中认为：这2 种解决问题的 方式的本质差异在于：“尝试错误式”的解决问题，倾向于从问题的 表面形式出发做出反应；“顿悟式”解决问题，是倾向于从问题的实 质意义出发做出反应。“顿悟说”的积极意义在于其比较注意重组情 境的认知成分，他强调对问题意义的理解和表征。人在解决问题时， 往往根据问题本身的提示来表征问题，并在相应的问题空间进行搜索。 在这个问题空间中，潜在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中发现 “对等性”的表征，顿悟就产生了，显然这个“搜索”的过程不能排 除“试误的成分。而“顿悟”说的难圆其说在于，其所谓的“一旦 发现”比较玄妙，就象是从天而降。“尝试错误”说对解决问题的描 述是符合人的实际解题探索过程的，但它的要害在于，学 - - j 者即使拥 有解决新问题的各方面经验，也并不能保证能用这些经验去解决新问 题。很可能是问题用某一种方式提出，学 - - j 者能够解决，然而因为没 有发现问题与解决问题的方法之间意义上的联系，于是当问题改用另 一方式提出时，尽管所需的旧经验是一样的，但学 - - j 者会因为找不到 与旧经验意义上的联系而束手无策。 1 n 学生f d i 认知方式与数学问题解决 分析“尝试错误式”与“顿悟式”的解题方式，笔者认为，实际 上，并没有绝对的“尝试错误”，也没有绝对的“顿悟，以我们自 身的解题经验来看，我们知道，“尝试错误式”解决问题中，在经过 了多次尝试以后，往往由于忽然发现了新问题与旧经验之间意义上的 联系。而得到了问题的解决。尽管这种意义上的联系是被动的发现， 不是主动追求的结果，但这其中不能排除“顿悟”的成分。另一方面， “顿悟式”解决问题，表面上看上去解答是突然出现的，事实上却是 经历了一定的甚至相当曲折的过程，很难否认其中也有“尝试错误” 的成分。所以，表面上看不出是“尝试错误”的过程，也未必就是纯 粹“顿悟式”的解决。由此我们得出这样的认识：一般的解题过程， 应是“尝试错误式”与“顿悟式”相结合的过程。 1 3 数学解题学习的实质 上述分析表明，在解题学习中无论“尝试错误式”解题，还是“顿 悟式”解题，都必然要与学习者已有的解题经验相联系，只是在“联 系”的水平上存在差异。换句话说，学习者在解决问题的学习中。必 须要以已有的解题经验为基础，同时要在新问题与旧经验之间建构起 意义上的联系。 因此，我们有理由认为数学解题的实质应该是：学习者在数学新 问题与自己解题认知结构中的适当知识之间，建构起非人为的和实质 性的联系。 因此，面对任何一个数学问题，要实现对问题的解决，对学习者 来说，必须满足以下几个方面的要求：首先是新问题对学习者是否具 有潜在的意义，也就是新问题所涉及的知识、方法、策略和思想都是 学习者已经获得意义的，已经储存在学习者的解题认知结构中的。其 次，学习者要运用达到一定水平的一般思维动作和数学特殊思维动作， 将数学新问题与自己认知结构中的有关方面的切合陛”做出识别。 再次，学习者在新问题涉及的知识、类型、方法、策略、思想与原认 1 1 学生f d i 认知方式与数学问题解决 知结构中的有关方面建构起非人为和实质性的联系，那么在问题得到 解决的同时，原有的解题认知结构也得到了改组和重构。 有人认为：学 - j 数学解题最有效的方法是“在解题中学习解题”， 即在尽可能不提供现成结论的前提下，亲身独立地进行数学解题活动， 从中学 - - j 解题，学会“数学地思维”。从这种意义上来说，我们可以 认为：数学解题学习是一个解题经验积累的过程，其中包括了各类“解 题策略经验”、“问题策略经验、以及各种“方法和技巧性经验”。 解题策略经验包括有意向性策略、合情推理策略和数学思想策略。 笔者欲从这个方面来研究数学解题和认知方式之间的关系。 一、研究的设计 本研究借鉴湖南省郴州市二中袁贤琼老师在1 9 9 9 年4 月所做的 “关于认知风格与数学解题的调查研究”，采用了“测试一分析一测 试”法，利用测试对被试者的认知网格进行调查，通过分析发现不同 认知网格对解题的影响，然后用镶嵌图形测试”对被试者的认知风 格进行心理调查，并和开始的测试分析进行对照、分析，比较其测试 结果与分析结果，以检验分析结果。 二、 研究方法 2 1 被试：本研究被试共1 5 1 人，其中男生8 4 人，女生6 7 人，年龄 为1 7 1 8 岁，来自江西省永修县一中和长沙市长郡中学高三年级共三 个班。被试者均为高三理科班的学生，他们已经经过了快一个学期的 第一轮复 - j ，对中学数学问题的内容和解题技巧都有一定的了解。测 试时间为2 0 0 1 年1 2 月5 日和1 2 月2 0 日。 1 ， 学生f d i 认知方式与数学问题解决 2 。2 工具和程序 2 2 1 镶嵌图形测验 采用1 9 8 1 年1 2 月北京师范大学心理系编制的隐蔽图形测验 ( p i c t u r e t e s tf o r c o 龇f i v es t y l e 简称p t c s ) 进行以班为单位 的团体施测。测试过程严格按照施测指导语进行。测验共包括两部分， 每部分时限为3 分钟。第一部分和第二部分之间有一小段停顿。计分 方法为做对的数减去做错的数之差，总分为1 0 0 分。为保证测试的可 靠性，第一部分为测验练习，不计分，但根据显示第一部分测验的完 成情况，对于没有理解测验说明的学生的卷子，以废卷处理。学生 p t c s 得分高于平均分时表现出场独立性，分数越高，场独立j 陛越强， 学生p t c s 得分低于平均分时，表现为场依存性，分数越低，场依存 性越强。 。 2 2 2 数学问题测试内容 解出下列各题，并说明你是如何思考的。 1 已知点p ( s i n a - c o s a ，t g a ) 在第一象限，且口【o ，2 厅) ，则a 的取值范围是( ) ( a 峰3 4 z ，) ( 呵5 z ，- 孙5 - ) ( c ) ( 三，等) u ( 厅，i 5 y g ) ( b ) ( 三，三) u ( 鲁) ( 三，三) u ( 等，石) 2 求同时满足下列两个条件的所有复数z ： ( 1 ) z + 粤是实数，x i 0 ，可知口( o ，争u ( 厅，等) ，又s j l l a 删口 o ，即s i n 口 c o s a ， 当口( o 号) 即a 在第一象限时，要s l n a s 口则三 口 c o s a 则石 o , 所s i n ( a 一 o 所以o 口一号 石，即三4 口 o ，知o 口 詈疗 口 孚，综上，所以三4 盘 三或石 口 o 入手是该绍被试者思考 的关键所在，将此组称为m 组”。 第三类：结论正确。用数形结合法求解。在同一坐标系内画出 s m a ，c o s 6 t , t g a 在( o ，2 z ) 上的图象，得出正确结论，此组共1 5 人，称为 组”。 第四类：结论正确，用选择题中的排除法或特殊值法来求解，没 有详细的推理过程，此组7 人，称为d 组”。 第五类：结论错误，共9 人，各种选项答案都有，看不出具体的 思路过程，称之为“e 组”。 学生f d i 认知方式与数学问题解决 题2 ：1 5 1 人中思路正确的大致可以分为两组，转换角度，视z + 卫为 一个整体代入解题的“整体法组”和遵循常规解法进行分类讨论的硬 算法组”。 整体法组的解法为：设：+ 卫：f ，则：一忽+ 1 0 ：0 ， 由斛( 1 ) 得f r ，且l f 6 ，则z = i t + 丛2 f 又有条件( 1 ) 因z 的实部为整数，即委z j f _ 2 ，4 ，6 ； 又因：的虚部也为整数，得以：瓦应为偶数，故t ：2 , 6 代入得：z ：1 + 3 i 、1 3 i 或z ：3 十i 、3 一i 此组解法共2 7 人，为避开分类讨论和繁琐的运算过程，把 。+ 堡一视为一个整体是此组被试考虑的关键所在。 硬算法组的解法为：按部就班的令z = a + b i ，( a ，b 为整数) ，所 以z + l o ：= 口+ 6 f + 7 等 一6 f ) ，由条件( 1 ) 因为+ 号为实数 所以b - 芸錾：o ，因为b o ，所以。：+ 6 z ：1 0 ， a 上b 所以z + l o ：2 ，又由条件( 1 ) l z + 1 _ o 6 ， 故1 2 6 ，且n ：+ 6 ：= 1 0 ，因为d ，b 为整数，所以 口：t 23 相应的，b = 3 , - 3 ，1 ，一1 ，故 z ；1 + 3 i ，1 3 i ，或z ：3 + i ，3 一i 属于此种解法的共有9 6 人，但有的同学虽然想按此思路解题， 但后面的讨论不正确，出现这样或那样的失误，以导致最终结果不正 确。 学生f d i 认知方式与数学问题解决 题3 ：只统计解题结果的正误。要正确解出此题并不难，只要一 步一步利用所给的条件。厂o ) 是以2 为周期的偶函数，当xe ( o ，1 ) 时， f ( x ) = ( x 一1 ) 2 + 1 ，根据表达式可画出厂( z ) 在( 0 ，1 ) 上的图象。根据 条件可延拓，( x ) 的图象至整个平面，所以在( 6 ，8 ) 内，_ 厂( x ) 的 对称轴为x _ 7 ，所以在( 6 ，7 ) 内，f ( x ) ：( x 一7 ) z + 1 ，而 ，( 普) = ，( 6 + 告) = 厂荣) ，( 警= ，( 6 + 吾) = 厂( 吾) ，在( o ，1 ) 上厂( x ) 是减函数，所以，( 告) 0 这一更明朗得手的条件。在完成题2 时，不受常规思路等因素的干扰，一下就抓住z + 坐是实数这一要害 z 条件，于是把它当作一整体来考虑，促使问题获得简洁的解答。相反 地，b 组以场依存型为主的学生在解答题2 时，就有6 8 的采取了比 较繁琐的硬算法”。这种处理方式，相对来说是按部就班的，也是细 节型的。这和已有的场依存型被试更倾向于是被动的或非策略性的学 习者的结论也是一致的。 4 4 我们又发现，a 组的学生在题3 中的错误率明显高于b 组的同 学，这可以这样解释：完成题3 需要一步步的推敲题中所给的信息， 一环扣一环的分析推理。而具有场独立性风格的被试期望一下抓住要 害而不太愿做一步步的尝试，同时，他们也不大容易注意题目所给出 的所有信息。反之，场依存型的学生却不放过每一个细节，完全按照 1 7 学生f d i 认知方式与数学问题解决 题意操作，不怕繁琐也不求快捷。他们仔细对待题目所给的所有信息， 在解题2 时显得刻板，但却在解题3 时表现出明显的优势。 禾5 值得一提的是题1 中c 组的同学，在解决题1 时用的是数形结合 的方法，“数形结合”是数学解题中一种比较常用的解题策略。通过 p t c s 测试，我们发现c 组的同学v r c s 得分无例外的都 6 0 分， 都可大致认为属场独立型认知风格，这进一步说明，场独立型者更倾 向于是策略性的学习者。同时它也给了我们一个启示：在数学问题的 解决过程中，场独立性者是否更易采用有效的解题策略来达到目的? 这在笔者后面的实验研究中会有进一步的说明。 ( 1 ) 在数学解题中，个体从知方式的差异是明显存在的，不同类型 的问题有利于不同认知方式的学生。 ( 2 ) 具有场独立型风格的学生在解答数学问题时，更易于抓住明朗 得手的要害条件入手，更利于解决一些需要一定数学解题策略的 数学问题。 ( 3 ) 具有场依存型认知风格的学生在解答常规数学问题时，表现得 刻板，循规蹈矩，但是更细心，更有耐心，更易取得成功。 学生f d i 认知方式与数学问题解决 1 研究方法 1 1 被试实验一中的所有被试 1 2 工具和程序 1 2 1 镶嵌图形测试实验一中所用的同一测试 1 2 2 数学应用题测验 本实验包括三道应用题，形成一定的难度。第一题选自上海出 版社出版的( ( 高中数学应用题1 0 0 例，为基本题，满分1 0 分；第二 题为简单综合题选自1 9 9 7 年高考题，满分1 0 分；第三题为创新题， 满分8 分。全部测试在被试复习完应用题后进行。统计被试各应用题 的得分和p t c s 得分；在计算机e 运用数据库统计软件对数据进行统 计分析，分析f l u s 得分非常极端学生对问题3 的解答过程。 附：数学应用题 解答下列各题，要求有详细的解答过程。 1 村办服装厂生产某件冈衷，月销量x ( 件) 与货价p ( 元，牛) 之间 的关系为p = 1 6 0 2 x ，生产x 件的成本，= 5 0 0 + 3 0 x ，问该厂月销量 多大时，月获利不少于1 3 0 0 元? ( 选自高中数学应用题2 0 0 例) ) 第1 6 8 页) 2 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超 过c 千米j 、时。已知汽车每小时的运输成本( 以元为单位) 由可变 部分和固定部分组成，可变部分与速度( 千米，j 、时) 的平方成正 比，比例系数为b ，固定部分为a 元。 ( 1 ) 把全程的运输成本y ( 元) 表示为速度v ( 千米j 、时) 的函 数，并指出函数的定义域； ( 2 ) 为使运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶? ( 9 7 高考题) 3 一块铁皮零件，其形状是由边长为4 0 c m 的正方形。c d e f 截去 1 9 学生f d i 认知方式与数学问题解决 一个三角a b 所得的五边形a b c d e ， 其中a f ；1 2 c m ，b f = 1 0 e m 现需截 取矩形铁皮，使矩形的两边在c d , d e 上，问如何截取，可以使截得的 矩形的面积最大? ( 选自上海市高一 新教材) 2 结果 cbf de 表1 第一次霸样学生的i r r c s 得分( o p i s 1 0 0 ) 与各应用题得分相关系数的显著性检验 n ( 人数) e o r r e l a l i o n ( 相关系) s i n ( 显著性) p t c s 得分和应用题1 1 5 10 0 1 8o 8 0 3 p t c s 得分和应用题2 1 5 10 0 7 80 4 1 8 p t c s 得分和应用题3 1 5 10 2 0 30 0 0 5 表2第二次取样学生的f i c s 得分( i t c s 5 6 ) 与显著性检验各应用题徽关系数 n ( 人数) e o r r e l a d o n ( 相关系数) s i n ( 显著性) p t c s 得分和应用题1 9 60 0 6 50 5 0 8 p i c s 得分和应用题2 9 60 0 9 8o 3 0 l p t c s 得分和应用题3 9 60 2 5 10 0 0 3 2 0 学生f i ) i 认知方式与数学问题解决 表3第三次取样学生的p t c s 得分( p t c s 5 6 ) 与各应用题得分相关系数显著性检验 n ( 人数) e o r r e l a l i o n ( 相关系数) s i n ( 显著性) p t c s 得分和应用题1 5 1o 0 9 80 4 3 1 p t c s 得分和应用题2 5 10 1 5 20 2 1 7 p t c s 得分和应用题3 5 10 4 1 30 0 0 1 3 讨论 3 1 应用题1 是关于成本与利润的问题。该题的解题思路与教材中例 题基本相同，不需要复杂的认知改组技能。学生的p t c s 得分与问题 得分相关不显著。应用题2 是速度、燃料成本和效率问题的简单综合， 对善于摆脱思维定势的场独立型学生较为有利，表现在学生的p t c s 得分与应用题得分呈正相关关系。但由于这是一道往年的高考题，教 师在复 - - j 中着重分析和讲解过类似的问题，甚至就用原题做过例题， 这些都给场依存型学生以提示作用。因为场依存性形式较依赖外在提 示，有提示时能较好的解决问题，所以对应用题2 ，场依存型和场独 立型学生无显著性差异。 3 2 题3 是复杂的最值问题，教师以前没有讲过，并且学生在参考 书上也没见过，需要学生运用对所给信息的检索能力，先构建相应的 数学模型，再运用相关知识进行解题。对学生就此题进行测验，相当 于让学生在没有外在提示的情况下解决难题。三次取样的检验表明， 在最困难的应用题3 中，场独立型学生占极显著的优觌这可做如下 解释：显示场独立性越强，认知改组技能越高，而改组技能对于复杂 问题的解决非常有牙0 ，主黥现在三个方面：建立新的解题模式；应 用解题策略，反恩解题过程。( 这将在笔者后面的实验研究中做进一步 学生f i ) i 认知方式与数学问题解决 盼说明) 三次取样的检验结果还表明，p t c s 得分与应用题得分相关 显著性水平越高。 3 3 我们分析了p t c s 得分在高分段和低分段各3 0 的学生应用题3 的解题过程。从分析学生的解题过程可知，在p t c s 得分非常高的学 生中，无论是成功的还是个别不成功的场独立型学生，绝大多数人都 能形成正确的数学情景。他们的数学概念清晰，思路明确，解题过程 简洁，表现出较强的分析和解决数学问题的能力。而p t c s 得分非常 低的学生没有形成正确的数学情景，他们的数学概念不清，不能构建 正确的数学模型，表现得缺乏自信。 4 结论 4 1 学生在应用题的解答中，存在着显著差异，表现在场独立性学生 占优势，优势水平随问题的难度增大而场独立性的增强而提高。 4 2 在解基本应用题时，场独立性和场依存性学生差异不明显，在解 难度较大的创新型应用题时，场独立陛学生占明显优势。 4 3 场独史陛学生和场依存性学生在应用题解答过程中的差异主要表 现在：场独立型学生比较容易形成正确的数学情境，能正确的运用题 目所给的信息，构建出相应的数学模型，而场依存型学生较难形成正 确的数学情境，不能充分利用题目所给的信息，难于构建数学模型； 场独立型学生解题过程数学意义明确，篇答过程简洁，而场依存型学 生的解答过程比较含糊，不明确。 学生f d i 认知方式与数学问题解决 1 研究目的 n e b e l k o p f 曾研究场独立型和场依存型个体在获得概念时的差 别，发现场独立型个体获得概念的过程是突变性的，而场依存型个体 则是渐进的；两者谁能更快地获得概念与提供的线索特征有关。 m e s s i e k 等人认为，场依存型学 - - j 者在决定一组复杂信息排列的结构 时的困难要大于场独立型的学习者。场依存型被试更倾向于是被动的 或非策略性的学 - - j 者。本研究据此提出自己的目的，即探讨不同认知 风格的学生本身的数学策略水平是否存在差异，某种方式的策略教学 对不同认知风格的学生是否具有不同的迁移效应。 2 研究方法 2 1 被试 在实验一的被试中选取p t c s 得分 8 0 的最高得分的被试3 0 人和 p t c s 猁k - 7 比较认真刻苦学生，特别是在数学方面，无论是否是出于兴趣 和爱好的主观原因，还是其他的客观原因，他们都是比较努力、勤奋 的学生。4 5 人中男生2 8 人，女生1 7 人。 2 2 实验步骤 把3 0 个p t c s 得分 8 0 和1 5 个p t c s 得分 - - j 组，分配给他们相同的5 道数学题，但在解答之前， ，1 学生f d i 认知方式与数学问题解决 由主试进行统一指导说明，在指导过程中，没有具体讲解解题过程和 步骤，而是着重说明解题的思路，并特意提及“正难则反类比联想” “不完全归纳等词汇。第三组为练习指导组，还是相同的5 道数学 题，在解答前，由主试对问题的解答过程和步骤进行详细善l 体的讲解， 并特别说明每个i q 题该采取的解题策略。 2 3数学问题 ( 1 ) 已知a 为非零常数，聋r ，且， + z ) = # 弓嚣，i m f ( x ) 是否为 周期函数? 若是，求出它的周期，若不是，请说明理由。( 类比联想) ( 2 ) 设数列 备 是l 为首项，公差为1 的等差数列，是否存在等差 数列 6 。 使口。= 6 。c ：+ 6 ：c ：+ 也c ：+ + 吃c ：对一切自然数一成立? c 不 完全归纳) ( 3 ) 若二次函数，( 工) = 4 x 2 2 ( p 一2 ) x 一2 p2 一p + l 在区间【_ 1 1 】1 内至少 存在一点c ，使，( c ) 0 ，求实数p 的取值范围。( 从反面考虑) ( 4 ) 若口，6 ，c ，为实数，a = 口2 2 b + 吾，口= 6 2 2 c + 詈，c = c 2 2 a + 詈， 证明a ，b ，c 中至少有一个值大于0 。( 从整体考虑) ( 5 ) 解关于x 的不等式i 鬲j j 3 - l o g 。z ( a 1 ) ( 数形结合) 2 4数学问题解决的得分 为了方便后面的量化分析，每小题各记2 分，只要采用了相应数 学策略的就给思路分1 分，否则只有全对才给满分，不采用任何策略， 最后结果又不正确的均为0 分。 学生f d i 认知方式与数学问题解决 附表：两不同认知方式( k = 2 ) 与三种不同指导方式( 1 = 3 ) 及数学问 题所得总分数据 指导缮第一组第二组第三组 认知方芙 ( 1 )( 2 )( 3 ) 场独立型( i )5 0 2 7 22 6 6 场依存型( ) o3 21 4 4 3 结果分析 3 1 认知风格，指导语对学生在数学解题过程中策略的形成的有娩陛 的影响。对认知风格，指导语进行m a n o v 分析后发现，两个变量都 存在着非常显著的主效应( 表1 ) 。场独立型的被试在解题的成功率方 面明显高于场依存型被试。场独立型的被试在练习启动、指导下成功 率也明显高于场依存型私馘，但在启动和练习指导情况下，被试解题 策略的形成有效性的显著性并不明显。 表1 ：两因素完全试验的方差分析表 项目s s自由度m sf 比显著性 认知风格 2 4 2 5l7 4 7 51 3 1 6 幸 练习指导 6 2 5 028 1 2 52 4 5 1 误差 5 8 o o24 3 0 0 总和 4 4 7 55 ( 其中显著性加“+ ”“+ + ”或不加) 3 2 数学解题作为有意义学习的过程，包含着新旧知识的同化与顺应， 新旧问题意义的同化与顺应，新旧解题策略的同化与顺应等。 为解决数学问题，数学解题者就是要在所有这些新旧两方面之间，建 学生f i ) i 认知方式与数学问题解决 为解决数学问题i 数学解题者就是要在所有这些新旧两方面之间，建 构起非人为和实质性的联系。其中新旧解题策略的同化与顺应显得尤 为重要，解题者掌握的解题策略越多。越熟练，那么解决问题的能力 就越强。实验表明，不同认知风格的学生的解题策略水平本身是有差 异的，而在启动、指导下，解题策略的形成也存在着差异。 3 3 对于第一组无启动练习组，正确率只有1 6 ，完全作对的5 人中 均为场独立型认知风格的被试。而且值得指出的是：分析这5 人的5 道题的解答过程，我们发现他们或多或少地使用到了主试希望他们采 用的数学策略，但是都不完全。可见，在没有指导语的提示下，场独 立性认知风格的被试比较倾向于使用策略解决问题，同时，他们也需 要适当的提示和指导。在第二启动练习组中，正确率提高到了5 3 ， 其中场依存型的被试也只有2 人。值得一提的是第一题，在第二组中， 虽然被试提到要用“类比联想”的数学策略，由，缸+ a ) = 毒罢的 ，l 一，l 驯 形式联想到公式留( 0 + 要) = # 粤罢，由，( z ) 的周期为4 要= 万进而 l 一曙口 猜测厂( 曲的周期为4 a 。但有6 0 的同学放弃这一提示，而改用“不 完全归纳”的策略，他们根据题意先求，0 + 2 a ) ，接着求f ( x + 3 2 ) ， 厂0 + 4 旯) ，直至发现， + 瓤) = ，( ，这6 0 的被试中场独立型认知风 格的被试占8 1 。第5 题中，虽然主试也提示用“数形结合”的策略 解题，但第二组仍有6 7 的被试分类讨论，这其中场依存型风格的被 试占6 1 。第三组练习指导组，正确率达到了9 1 ，而且所有的被试 均按照主试的指导解题。 4 结论与启示 4 1 本研究的一个基本假设是两种不同认知风格的学生在解决数学问 题的过程中解题策略的形成是有差异的，并且启动性练习对不同认知 2 6 学生f d i 认知方式与数学问题解决 风格的学生所起的作用也不尽相同。实验结果在一定程度上证实了这 假设。虽然理论界一直强调，场独立与依存描述的只是人的认知风 格的两个类别，不存在孰优孰劣的比较，但在面临一种结构复杂、抽 象，需要从内部去建构一种认知策略的问题情境时，场独立型被试似 乎更能得心应手。另外，我们也发现，示范性语言指导能帮助学生在 感性的基础上抽象提取认知策略。 4 2 对于高中阶段的学生，这个时候认知风格已经基本形成，两种 风格的学生在解决较复杂的数学问题的活动中，练习启动组两种风格 的学生成功率显著的差异，说明在有启动线索但又不是很明显的情况 下，场独立型个体生成有效解题策略的速度明显快于场依存型个体。 4 3 本研究结果提供了这么两个启示： 4 3 1 在数学解题策略教学中，同样的启动练习指导对于不同认知 风格的学生所起的作用是不尽相同的。同样道理，把握好言语指导的 度也比较困难。过于明确的言语指导，会在一定程度上积坏学生主动 地生成解题策略，从而使解题策略的学习变成接受学习而非建构学 习；过于含糊，又难以帮助部分学生提取躬题策略。因此，在数学解 题教学中，如何针对学生不同的认知风格而采取相应的练习和指导方 式，这仍是需要继续研究的现实性课题。 4 3 2 虽然理论界一直强调场依存性和独立性的认知反i ，格不存在孰 优孰劣的分别。但我们发现，在数学解题过程中，需要学习者能有效 地在新旧知识之闻建立起非人为的本质的联系，需要学习者从内部去 建构一种解决问题的策略。面对这种问题情境，场独立型学习者似乎 占明显优势。这给我们提供了这样一个启示：在数学学习中，对于那 些明显具有场依存型认知风格的学习者，榭门不应该对他们的数学学 2 7 学生f i ) i 认知方式与数学问题解决 - - j 有过高的要求。在实验研究中，我们了解到，1 5 名典型场依存型 的被试都是学习者中学习态度较为端正的，他们平时都很刻苦、认真， 花在数学学 - - j 上的时间较之其他的科目也不少，但是他们的数学成绩 大抵都属于中挡水平，没有达到他们预期的结果。特别是在面对一些 稍为复杂的数学问题时，很容易变得束手无策，并且他们自己也很苦 恼，认为自己缺乏学习数学的天赋。笔者认为，就数学学习而言，的 确存在天赋的好坏，其中认知风格的差异就是很明显的例子，所以对 于场依存性比较明显的学 - - j 者，我们不能过高地要求他们能成为数学 竞赛选手或者要求他们将来从事专门地数学研究工作。对他们来说， 只要能掌握基本的疆常生活中所需要的数学知识或者将来从事职业 所需要的相关的数学知识就可以了，因为他们在认知方式上存在着学 习数学的缺陷。而对于某些场独立性表理较强的学生，如罘他们暂时 还没有表现出数学学 - - j 方面的优势，数学成绩不够突出，那么。作为 数学教学者，千万不能轻易的放弃他们，