大型蛇型摆之浅析.doc

大型蛇型摆之浅析 实验室的演示实验中的大型蛇形摆引起了我的浓厚兴趣，故选择其作为研究对象。我们知道简谐振动的振幅、频率、初相是体现其振动特点的三个特征量。其中单摆的摆动周期与摆长有如下关系 （1）式中为单摆的摆长，g为当地的重力加速度，相比于地球的大小，可将此蛇形摆的各处的g看做相同的。实验时，先要目测摆球的高度，调整摆线的长度，使得各摆球处于同一高度，但其实并不能任意调整摆球高度，因为各摆长是有一定要求的，这将在后文给出解释。再用挡板紧贴所有的摆球，向上推开，使得所有摆球有同样的初始条件。（注意，摆角不要超过，因为仅在小角度情况下，单摆的运动才能看做简谐振动。另外，若从操作角度出发，摆角越大，偏差愈大，可能导致之后的振动过程中相邻球之间产生碰撞。）然后迅速移开挡板，各单摆开始摆动。由我们在实验室的观察发现，各个单摆的摆球相对位置在不断变化，但很明显是有规律的，有时像一条舞动的蛇，有时形成两排整齐的阵列对摆，有时又像相互交错的两条蛇。但所有的状态都是暂时的，其实整个形态是在不断变化之中的。如果观察时间足够长，会发现经过若干震动周期后，所有的摆又回到初始的状态。（注意：虽然各摆周期不同，但都回到初始状态时，各摆经过的时间都是自身周期的整数倍。）（一）摆线长与系统振动周期之关系为了保证若干周期后所有摆同时回到初始状态，摆长需要满足下面的公式 （2）由（2）式，很容易推导出 （3）式中为理论系统的所设的第一个摆的长度。（注意：理论系统的第一个摆的长度并不一定等于实验室中蛇形摆仪器中第一个摆的长度。仪器中第一个摆在系统中可更具实际数据计算出它的下标，即其在系统中序数。因为显然实验室中第二个摆的摆长不是第一个的4倍。即仪器可以向左向右拓展，其中向左拓展是有限的，向右则可以增加任意多个摆，但这对于实验演示没有多大意义。）由（1）式和（3）式可得 （4）假设此仪器中第一个摆的下标为，那么其周期为，且，据统计实验室仪器有15个摆，摆周期分别为.要使经过一定时间回到初始状态，则由数学知识知 （5）注：上式中表示这15个数的最大公倍数。（二）对仪器上沿曲线所满足函数的分析为便于计算，设计一模型，设相邻两球间距为，假设第零个球的摆长为零，第一个摆球的摆长为，取理论中的第零个摆的摆球球心为原点，向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立直角坐标系。由（3）式及模型容易知道第个摆球悬点坐标为，则由 （6）可得 （7）此函数为一抛物线方程，因此实验室大型蛇形摆摆线的悬点在一抛物线所构成的曲线上。具体的方程由仪器制作参数决定，由于时间和条件限制，笔者未能测量实际仪器的各种参数，因此重点在于理论上的分析。（三）摆动球组在水平面投影的运动模式在（二）的基础上，进一步研究三维空间系统下摆动球组在水平面投影的运动。这里取的方向作为轴负方向。先分析单个摆球，第个摆球在摆角较小的情况下可以将其投影的运动方程可写做 （8）式中A为摆球振幅，为振动角频率，为时间又有 （9）由（1）（3）（4）（8）（9）式计算可得 （10）即可的其方程 （11）再由（1）（7）式可得 （12）此即为摆球投影运动位移关于时间