（应用数学专业论文）非线性随机规划的稳定性理论研究.pdf

摘要 随机规划是融概率论、经典分析、数学规划于一体的新兴数学分支随机 规划的稳定性是随机规划理论的重要组成部分和最活跃的研究方向之一鉴 于某些随机规划的很多良好性质和结构，很有必要将其推广到更一般情形，进 而讨论其最优解集的上半收敛性 本文的主要研究方法是将离散化随机变量序列的分布收敛转化为与其等 价的概率测度序列的弱收敛，从而将期望泛函序列转化为与其等价的多元函 数序列关于弱收敛概率测度序列的积分通过对多元函数序列关于弱收敛概率 测度序列积分性质的深入研究，将带有约束的随机规划问题转化为与其等价 的无约束规划问题，利用上图收敛性理论，分别研究了随机规划期望模型、概 率约束规划模型和经验逼近模型逼近最优解集的上半收敛性并在集值理论框 架下，讨论了随机约束规划最优值和最优解集的稳定性具体内容如下： 1 讨论了集合序列不同收敛性之间的关系，研究了概率测度在集合序列 不同收敛意义下的连续性，得到了弱收敛概率测度序列连续收敛的若干充分 条件最后，研究了概率测度序列的弱收敛与上图收敛之间的关系，并给出了 概率测度序列一致收敛的一个充分条件 2 在多元函数序列无界且半连续的情形下，证明了多元函数序列关于弱 收敛概率测度序列积分的极限定理、控制收敛定理，用其研究了期望泛函序 列的上图收敛性，并得到了概率测度弱收敛的若干等价条件 3 将积分泛函算子定义域中的无界半连续函数空间扩张到更一般的可测 函数空间，证明了这种积分泛函算子的收敛定理、控制收敛定理及其推广形 式的收敛定理、控制收敛定理，得到了概率测度弱收敛的若干新的等价条件 4 利用上图收敛性理论，证明了随机规划期望模型、概率约束规划模型逼 近最优解集序列的上半收敛性以及经验逼近模型逼近最优解集序列的几乎处 处上半收敛性并给出了随机规划对应的参数规划的结构形式，讨论了随机规 划最优值映射关于概率测度参数的连续性与最优解集映射对概率测度参数的 闭性最后，给出了其稳定性分析 5 在集值理论框架下，讨论了随机约束规划最优值和最优解集映射对所含 随机变量参数的分布收敛、概率收敛、几乎处处收敛的稳定性 6 利用点到集映射图的概念，提出了一种新的不变凸( 凹) 点到集映射的 概念，讨论了参数规划问题最优值函数的b 一预不变凸凹性，研究了最优值函 数的b 一预不变凹性与其最优解集映射的不变凸性之间的关系，得到了若干 新的结论，所得结果包含并推广了已有文献中的相关研究结果 关键词随机规划稳定性最优解集上半收敛性几乎处处上半收敛 性概率测度弱收敛上图收敛分布收敛概率收敛几乎处处收敛 a b s t r a c t s t o c l l a s t i cp r o g r a m m i n 禹w h i c hi n v o h sp r o b a b i l i t y ic l a s s i c 以a n a l y s i sa 1 1 dm a t h e m a t i c sp r o g r a 瑚m i n g ，i 8an e wm a 幽e m 砒i c sh a n c h t h es t a b - l i t yo fs t o c h 鸲t i cp r o g r 黝m i n g i 8a ni m p o r t a n td i r e c t i o no fs t 。c h a s t i cp r o g r a m m i n gt l l e o r 弘n o w ，i th a 吕b e c o m eo n eo f t h em o s ti m p 。r t a n ta n d 喊i v er e s e 盯c h 右d d so fs t o c h 蕊i cp r o f a m m j n g ，b e c a u s es o m e s t o c h a s t i cp r o g r a m sha _ 他m a l l yf a v o r a b l ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t 哪8 ，i ti si l e c e s 8 脚7t o g e n e r a h z et h e m 甜dd i s c 瑚bu p p e rb e m i c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e 8o f 乞h e ho p t j m 如8 0 1 u t d n s 日e t t h em 8 i nm e t h o do ft h i sd i s s e r t a t i o ni 8t ot r a n s f o r mt h ec o r l v e r g e n c ej nd 1 8 t r i b u t i o n o fd i s c r e t er a 肛d o m 玎i a b l e s8 e q u e n c ei n t oe q u i v 8 i e n tw e a kc o i l v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t y m e 舾u r e8 e q u e n c e ，8 0a st ot r 8 n s f o r m 唧e c t a n tf u n c t i 。d a ls 唧l 印c ei n t oe q u i v a l 叨tt h e i n t e g r a t i o no ff u n c t i o ns e q u e n c ew i t hr e 8 p e c tt ow e a kc o n v e r g e c ep r o b a b i l i t y 1 e a s u r e 瓣 q u e n c e a t e rf u r t h e rs t u d yo nt h ei i 虹e g m 6 0 np r 叩e r t i e so f f u n 吐j 。ns e q u e n c ew i t hr e s p e c t t ow e a kc o n v e r g e n c ep r o b a b n i t ym e a 8 u r es e q u e n c e ，t h es e q u e t i a l l ys t o c h a s t i cc o n 8 t r 缸n e d p r o g r 锄m i n g 话t r a n s f o r m e di n 如e q u i v 8 l e n tu n c 。n s t r 出n e ds t o c b 8 s t i ep r o g r a m 坷n g b y u s i n gt h ee p i c o n v e r g e n c et h e o r y ，s o m ep r o b l e m so nt h eu p p e rs e m i c o 、，e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t eo p t i m a l8 0 l u t i o n8 e tf o r6 幻c h a s t i ep r 。g r 螂m 沁ge x p e c t 贰i o nn l o d e l ，w0 _ b 曲i l i 乞y c o 璐t r 8 i n e dp r o g r a m 8m o d e la n de m p 埘c a l 印p r o ) ( i m a t i o nm o d e la r eo b t a i n e d s t a b m t y o ft h eo p t i m 8 lv 蛆u e 88 n dt h e l u t i o n8 e to fs t o c h a s t i cc o n s t r a i 丑e dp r o g 弛h 诲8 r ed i s c u s s e d u n d e rt h ef r a m e w o r ko fs e t v a l u e dt h e o r y t l em a i c o r 迕r i b u t i o r l 88 r eh s t e da si b l l o w s 1 i n t e r r e l a t i o i l so fc o n v e r g e n c eo fs e t8 e q u e n c e 8a r ed i s c l l s 8 e d c o n t i i l u i t yo fp r o b a - b i l i _ 啦m e a s u r e so n8 e t q u e n c 锝i nd i 珏e r e n tc o i l v 盯g e n c e8 e n 8 ei 88 t u d i e d s o m es u m c i e n t c o n d i t i o 8f o rc o n t i n u o u sc 0 1 w e r g e c eo fw e 8 kc 伽r g e n c ep r o b a b i l i t ym e a s u r e8 e q u e n c e a r eo b t a i n e d ，f i n a n ht h er d 8 t i o nb e t w e e nw e a kc o n v e r g e n c eo fp r o b a b i h t ym e 蹦u r ea n d e p i c o n v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t ym e a s u r ei si n v e 8 t i 9 8 t e d ，a n das u m c i e n tc o d i t i o nf o ru n i f o r mc o n v e r g e n c e0 fp r o b a b i l i t ym e 船u r es e q u e n c ei s 西v e n ， 2 l i i i l i tt h e o r e m s 衄dd o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rt h ei n t e g r a t i o no fm u l t i v a r l a t ef u n c t i o n8 e q u e n c ew i t hr e s p e c tt ow e a k n v e r g e n c ep r o b 8 b n j t ym e a 5 u r e 8 e q u e n c e i nt h ec a s eo fl l l l b o u n d e da n ds e m i c o n t i n u o u s 删l t i v a r i a t ef u n c t i o ns e q u e n c ea r ep r o v e d ， v i 儿 w h i c hh a v eb e e nu s e dt or e s e a r c ht h ee p i c o n v e 唱e n c eo fe x p e c t a n t 角n c t i o n a is e q u e n c e s o m ee q u i v a l e n tc o r 以i t i o n 8o fw e a kc o v e r g e n c eo fp r o b a b i l i t ym e a s n r e8 r eo b t 出n e d 3 s e m i - c o n t i n u o u s 印a c ei nt h ed o m 越no fi n t e g r a t i o nf l l i l c t i o i l a lo p e r a t o ri s ( t e n d e d t ot h em e a 8 u r a b l ef u n c t i o n s p a c e c o n v e r g e n c et h e o r e m sa n dd o m i n a t e d n v e r g e n c e t h e o r e m 8a n dt h e i rg e n e r a l i z ef o r mf o rt h ei n t e g r a t i o nf | l n c t i o mo p e r a t o r8 r ep r o v 甜 s o m en g we q u i v a l e n tc o n d i t i o n so fw e a kc o l l v e r g e c eo fp r o b a b i l i t ym e a 8 u r e8 r eo b t a i 袋d 4 t h eu p p e rs e m j c o n v e r g e n c eo ft h ea p p r 0 ) ( i m a t eo p t i m a ls o l u t i o ns e tf o re x p e c - t a t i o nm o d e la i dp r o b a b m t yc o n 8 t r a i n e dp r o g r 8 m sm o d e la n da l m o s te v e r y w l l e r eu p p 鲤 s e m i c o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o ) 【i m a t eo p t i m a ls o l u t i o ns e tf o re m p i r i c a l 印p r o x i m a t i o n m o d e lo f8 t o c h a s t i cp r o g r a m m i u ga r ep r o v e db yu s i n ge p i c o n v e r g e n c et h e o r 孓s t r u c t u r 鲤 f o r mo f 日t o c l l a s t i cp r o g r a m m i n ge o r r e 印o n d i n gp a r a m e t r i cp r o g r a m m i n gi sg i v e n f i n a l l y t h ec o n t i n u i t yo fo p t i m a lv a l u em a p p i n ga n dt h ec l o s e d n 幅8o ft h eo p t i m a is o l u t i o ns e t m a p p i n go fs t o c h a s t i cp r o g r a m m i n go nt h ep r o b a b i u t ym e a s u r ep a r a l e t e r s8 r ed j s c u s s e d a n dt h e i rs t a b i l i t ya n a l y s e sa r eg i v e n 5 s t a b i l i t yo ft h ec o n v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o n ，c o n v e r g e c ei np r o b a b i l i t y ) a n dc o n - v e r g e n c ea l m 0 8 te v e r y w h e r eo ft h eo p t i m a lv a l u e 8a n ds o l u t i o ns e tm a p p i n go fs t o c h a s t i c c o n s t r a i n e dp r o g r 咖so nt h er a n d o m 、7 a r i 8 b l ep a 茁a m e t e r sa r ed i s c u 8 s e du n d e rt h ef r a m e - w o r ko fs e t v 出u e dt h e o 阱 6 ，b a 8 e do nt h ec d l l c e p to fp o i n b t 0 - s e tm a p p i n gg r a p h ，an e wc o n c e p to f8 ni n - v 毁( i n c a v e ) p o i n t t 0 _ s e tm a pi sp r e 8 e n t e d a n d ，t h eb p r e i 删t ya n db p r e i n c a v i t y o fo p t i m 龃v a l u ef u n c t i o ni np a r a m e t r i cp r o g r 啪血n ga r ed i 8 c u 8 s e d s o h l en e wr e s u l t 8 a r eo b t a i n e db yt h ea n a l y s i so ft h er e l a t i o i l s h i pb e t w e e nb p r e i c 8 v i t yo fo p t i m a lv a l u e f u n c t i o na n dp r e i l l v e ) ( i t yp r o p e r t i e 8o ft h es 0 1 u t i o no p t i m a ls e tm a p p i n g ，a n dt h er e s u l t 8 g e n e r a 王i z ea n di m p r a v es o m eh o w n r e 8 u l t so fl i t e r a t u r e k e y w o r d 8 s t o c h b s t i cp r o g r a m m i n g s t a b i l i t yo p t i m a ls 0 1 u t i o 璐s e t u p p e r s e m i c o n v e r g e n c e a i m o s te v e r y w h e r eu p p e rs e m 沁o n v e r g e n c ew 毛a kc o n v e r g e n c eo f p r o b a b i l i t ym e a s u r ee p i c o n v e r g e n c ec o l l v e r g e n c ei nd i s t r i b u t i o nc o n v e r g e c ei n p r o b a b i l i t yc o n v e r g e n c em m o s te v e r ) 唧h e r e 符号说明 ：自然数集 r ：实数集 ：d 维欧氏空间 ：包含于 ：属于 硭：不属于 n ：交 u ：并 = 争：蕴涵，推出 v ：任意 j ：存在 昔：等价于，当且仅当 巧：空集 ；：恒等于 ：差集符号 墨，：小于等于，大于等于 ，：e 一冗度量空间e 上的函数 叫：几乎处处 m n 。：取最大 m 伽：取最小 e ：期望算子 ( q ，p ) ：概率空间 f ( u ) ：概率空间( n ，p ) 上的m 维随机向量 ( e ，d ) ：以d 为距离的度量空问 g ( 曰) ：度量空间e 上的有界连续函数全体 b ( 6 ) ：度量空间e 上的中心为z ，半径为6 的邻域 宦( f ) ：e 中的b e z 子集全体 p ( e ) ：定义在8 ( e ) 上取值在【o ，1 】的概率测度全体 p o ；p 。，n n ) ：p ( e ) 上的概率测度族 l i l c o p ：概率测度p 的肛一连续集全体 ，( e ) ，e 中的闭子集全体 9 ( e ) ：e 中的开子集全体 a o ：可测集a 的内部 万：可测集a 的闭包 a a ：可测集且的边界 a c ：可测集a 的余集 t a ；a 。，n n ：8 ( e ) 中的可测集族 “( 。) ：a 的示性函数 日( r “) ：r “中的b 。r e l 子集全体 p ( r ”) ：定义在嚣( 俨) 上取值在 o ，1 的b 。r “概率测度全体 d ( z ，g ) ：月”中点。到集合g 的距离函数 e ( a ，b ) ：r “中集合a 到集合口的上半距离 毋( r ”) ：兄”中的非空闭子集全体 最( r “) ：f p 中的非空紧子集全体 骂：上图收敛 o ：弱收敛 二：正则收敛 善：弱正则收敛 三：分布收敛 贮筝：概率收敛 譬，几乎处处收敛 z 。) ：度量空间中的点列 z 。一z ：点列 ) 收敛于z ，里恐z n ：点列 z n ) 的极限 h ms u p ：上极限 l i m i n f ：下极限 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：一移采庑本人签名：丑查堂! y日期碰三! ，7 彳 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 趟 到兰塑 臼期2 翌! ! 兰，乡 日期2 丝丝 第一章绪论与预备知识 本章首先介绍了随机规划概要和随机规划的研究现状其次给出了在随机 规划中经常用到的可测空间、度量空间与可分度量空间中随机元、概率测度 弱收敛等基本概念以及概率测度弱收敛的等价条件最后，介绍了本文的主要 内容及结构安排 1 1 随机规划研究的背景 在自然科学与工程技术的研究中，很多问题都可以归结为数学规划问题 例如运输问题、经济利益最大问题、费用最小问题、以及路程最短问题等等， 都可以用数学规划去描述但在现实世界中，由于各种不确定因素的影响，数 学规划中的系数经常会出现波动，而不是固定的已知数这时有三种可能：它 们或者是具有已知概率分布的随机变量；或者是具有未知概率分布的随机变 量；或者是不是随机变量，但属于其它类型的变量这些不确定因素，在许多 场合可以用一定的概率分布去描述因此，在数学规划中引入随机变量，能够 使建立的数学规划模型更加符合客观实际情况，从而使作出的决策更加合理 这就产生了非线性的各种随机规划一如单阶段随机约束规划、多阶段的补偿 规划问题、随机整数规划、随机动态规划、随机目标规划、以及以随机过程为 参数的随机规划问题等 如何求解这些随机规划问题是数学研究的一项重要任务由于数学规划中 引入了随机变量，从而导致随机规划问题数学期望中涉及的多重积分计算比 较复杂，因此直接求解这些随机规划问题是相当困难的最初的想法是将随机 规划模型中的随机变量用它们的期望值代替，得到一个确定的数学规戈0 模型， 然后再利用普通数学规划的各种算法去求解但实际上，这种做法在很多时候 并不可行，因此发展随机规划理论是非常必要的王金德教授在他所撰写的随 机规划 - 】一书中，首先提出求解随机规划问题的一种比较可行而有效的方法 一逼近方法 正是由于随机规划所采取的逼近方法是可行而有效的，所得结论具有广 泛的适用性，更切合实际，所以关于随机规划逼近理论研究一直是非线性随 机规划的中心课题 利用逼近方法求解这些非线性随机规划问题有两个途径t 一种途径是在随 2 酉安电子科技大字博士字垡论塞：斐垡丝堕垫塑型堕叠塞丝望煎堑窒 机变量的概率分布已知的情形下，通常采用某种离散化方法得到一系列( 离 散) 随机变量序列，这些随机变量序列分布收敛于初始随机变量，从丽将原同 题转化为一系列确定性数学规划问题f “，或者转化为一系列以随机变量为参 数的数学规划问题( 如文( 2 1 ( 3 】) ，并讨论这一系列的随机规划的最优解集韵分布 收敛、概率收敛、几乎处处收敛问题；另一个途径就是在许多实际问题中，随 机变量的概率分布是未知的，面只有几个样本点是已知的，因此这些样本点可 以认为是随机变量的独立观测值，而这些样本点的观测值可以确定一个经验 概率测度，用经验概率测度替代原问题中随机变量所确定的概率测度，这样得 到原问题的经验逼近模型 为了保证逼近规划的解确为原问题的解的近似，上图收敛性( 可参见1 4 2 4 j ) 提供了较好的理论基础上图收敛理论的优点在于对于无约束的确定性规 划问题而言，如果逼近规划问题的目标函数上图收敛到初始规划问题的目标 函数，那么逼近规划问题的任意一个最优解组成的序列的聚点必为初始规划 的一个最优解。对于含有约束的数学规划问题，通常都转化为与其等价的无约 束规划问题，利用上图收敛理论，解决逼近规划最优解集的收敛性问题 通常讨论的随机规划模型有三种：一种是期望模型即在期望约束条件下， 使得目标函数的期望泛函达到最优第二种是概率约束模型概率约束规划模 型允许决策者作出的决策在一定的程度上不满足约束条件，但该决策应该使 得约束条件成立的概率不小于某一概率水平；第三种是经验逼近模型 另一方面，按决策者所获得的信息，把随机规划问题大致分为两种类型： 等待且看到型和这里且现在型，所谓等待且看到模型，即决策者等待观测问题 中随机变量的实现，然后利用这些实现的信息作出决策，分布问题属于这种 类型；所谓这里且现在模型，决策者必须在没有随机变量实现的倍息的情形 下就作出决策，如两阶段的补偿规划问题，概率约束规知问题均属于这种类 型 1 2 随机规划研究的现状 随机规划的逼近和估计结果的研究可以追溯到七十年代k a l i 的工作 2 5 】( 也 可参见k a l l 的专著f 2 6 d 和w i t s 关于随机规划的经验估计【2 7 】d u p 8 c o v a ( 1 9 9 0 ) 在文1 2 8 】和s c h u l t z ( 2 0 0 0 ) 在文 2 9 中建立了随机规划稳定性的理论框架然 而，关于随机规划稳定性的概念首先由b e r e a n u ( 1 9 7 5 ) 在文 3 0 】中提出的，接 第一章绪论与预备知识 3 着k a n k o v a ( 1 9 7 8 ) 在文【3 1 中首次给出了更一般化的随机规划模型关于概率 测度弱收敛的稳定性研究随后，d u p a c o v a ( 1 9 8 4 ) 在 3 2 中和王金德( 1 9 8 5 ) 在f 3 3 1 中又研究了随机规划关于有限维概率分布为参数的稳定性这使得人 们对随机规划的稳定性的研究更感兴趣，国内外学者采用逼近法( 离散化随机 变量) 对随机规划稳定性的研究做了大量的工作，已有丰硕成果( 可参见b i r g e 和w j t s 【6 】，r o b i n o n 和w j t s 【3 5 1 jd u p o m 和w j t b f 剐，s h 印i r o 【叫，王金德【3 6 ) 在诸多研究成果中，r d b i n o n 和w e t s ( 1 9 8 7 ) 在文【3 5 】中对随机规划最优值和 最优解集关于弱收敛概率测度稳定性的研究工作堪称是随机规划稳定性研 究的经典之作这方面的重要后续的研究成果，如a r t s t e i n 和w j t 8 【1 2 】，v m g e l 【3 7 1 ，s c h u l t z 【3 8 1 ，w a n g 【3 9 】，z e r v 0 8 2 3 】，r i i s 和s c h u l t z 【4 0 等与此同时，许多作 者用概率测度之间的距离去刻画这些稳定性结果的数量关系( 可参见r 0 m 1 8 c h 和s c h u l t z 【4 2 一“】，a r t s t e i n 【4 5 】，k a n l v a f 4 6 】，s h a p i r o 【4 7 ，s 吐i u l t z 【4 8 ，h e n r i o n 和r o m i s c h 【4 9 】 d e n t c h e 忸1 5 0 ，r a c h e v 和r o m 培c h 【5 1 ) 但是，用概率测度之间的距离去刻画这些 稳定性结果的数量关系的工作首先是由r o m i s c l l ( 1 9 8 6 ) 在文f 4 l 】中初步尝试的 大部分对随机规划稳定性的研究工作是针对概率测度的一般扰动l 摄勒研 究的，随着对随机规划进一步深入研究，随机规划的离散化逼近和统计逼近两 者的一般框架逐步呈现出来，然而这两种逼近类型都利用各自的特殊结构独立 发展起来对于离散化的逼近，1 9 9 5 年，b i r g e 和q i 在 5 2 】中进一步深化了b i r g e 和w e t s ( 1 9 8 6 ) 6 】的工作与此同时，关于随机规划模型的统计推断的研究更是 热点在早先的k a n l ( 0 v a 和w j t s 工作之后，许多作者投身于统计估计的渐进 性质的研究工作，如相合性、收敛速度、极限定理等，涉及的工作有d u p a e o v a 和w i t 8 8 1 ，s h a p i r o 阻，5 3 ，5 4 】，k i n g 【5 5 】，k a n k o v a 【2 】ik i n g 和r o d m f e u 盯f 5 6 】，a r t 8 t e i n 和w e t 8 【2 2 】，p a u g 【5 7 】，r o l l l i s c h 1 1 ，g r o w e 【5 8 ，p n u g ，r u s z c z ) r n s l 【i 和s 吐l u l t z 【5 9 另 外一些关于随机规划逼近的研究是基于可测集值映射的收敛( 几乎处处收敛、 概率收敛、分布收敛) 和可积函数的上图收敛这些文献有s a l i n e t t i 和w j t s f 6 1 1 ， s m i n e t t i 6 2 】 6 3 ，v 0 9 e l 3 7 】【3 】h e 8 s 1 5 】以及近年的k o r f 和，e t s 【6 0 】- 最近，国内许多 学者对随机规划方面的深入研究做了大量的工作( 可参见【6 7 7 2 】) 骆建文等人 在文献【6 5 】f 6 6 】中研究了随机规划逼近解的收敛性和概率约束规划的稳定性分 析王立洪在文【6 9 】【7 2 】中研究了带有相依样本的随机规划问题的渐近性态本 文作者在文【2 1 中通过对多元函数关于概率测度积分的深入研究，并将带有 约束的随机规划问题等价转化为无约束的规划问题，利用上图收敛理论，勰 4 西安电子科技大学博士学位论文：非线性随机规划的稳定性理论研究 决了一类随机规划逼近最优解集的上半收敛性问题陈志平在文 7 0 一7 1 中对 一般形式的多阶段有补偿的问题广义对偶理论及其应用做了研究，万仲平等 把单阶段随机规划问题转化为具有多个约束的确定性非线性规划，然后利用 李兴斯在1 9 9 4 年提出的极大熵函数方法( 可参见f 7 3 7 4 1 ) ，把此确定性规划转化 为只带简单约束的非线性规划，由此提出了求解这种随机规划的光滑逼近法， 同时给出了该法的收敛性分析( 文( 1 7 1 8 】) ，较好地克服了因提高离散精度导致 约束函数个数迅速增大所带来的求解困难有关随机规划逼近法已被成功的应 用于各类算法求解( 文 7 5 7 7 1 ) ，并将随机规划的思想方法应用于其它领域的研 究( 如文 7 8 7 9 等) 对于随机规划微分稳定性的研究，1 9 9 1 年，王金德在文| 9 9 中首先讨论了随机规划目标函数微分稳定性1 9 9 5 年，b i r g e 和q i 在f 5 2 1 中证明 了闭凸函数的上图收敛蕴含着这些函数在其极限函数的可微点处次微分的收 敛性，并应用这个结果到凸随机规划的稳定性有关非光滑函数的微分和集值 映射的微分以及变量系统的数量稳定性研究，可参见 9 3 9 8 】最近，骆建文等 在文献【1 0 0 】中研究了随机规划的弱微分性，d e n t c h e v a 和r o i i l i 8 c h 在文 1 0 1 1 中 给出了两阶段随机规划的微分稳定性 近年来，由于理论和应用的需要，学者们对概率论与随机过程、参数规划 的广义凸性进行了各种推广 ( 1 ) 弱收敛概率测度 例如l u c c h e t t ir ，s a l i n e t t ig ，w j t srj b 等人在文献 6 4 】中就给出了p o l i s h 空间中概率测度弱收敛的这样一个新的特征： 定理1 2 1 6 4 】设 伽；脚，n n ) 为p ( e ) 中的概率测度族，则下列条件等价： ( 1 ) p 。二伽； ( 2 ) v a 。，n n ) cb ( 曰) ，且l i m 8 u p a 。ca o ，有 n 十 l i m 8 u p p 。( a 。) sp o ( a o ) ； n + ( 3 ) v a 。，n n ) c8 ( e ) ，且l i m s u p a ：ca 5 ，有 l i mi n f 芦。( a n ) p o ( a o ) r 并研究了多元函数序列关于弱收敛概率测度序列积分的下半收敛性；s m i n e t t i g 在文献 1 3 】中指出概率测度的弱收敛与概率分布函数的上图收敛之间是等 价的，并给出了多元函数序列关于弱收敛概率测度序列积分的上半收敛性本 文作者【”删在多元函数序列无界且半连续的情形下，并附加了一些的条件， 第一章绪论与预备知识 5 研究了多元函数序列关于弱收敛概率测度序列积分的极限定理、控制收敛定 理，给出了概率测度弱收敛的若干新的等价条件，并用其研究了期望泛函序 列的上图收敛性本文在第四章中将相应的结果推广到更一般的可测情形，对 概率测度弱收敛给出了如下若干新的等价条件 定理1 2 2 在l ，0 ( z ) p o ( d 茁) 存在的条件下，下列陈述是等价的： ( 1 ) 三灿； ( 2 ) 若，竹下半连续收敛于，0 ，且函数族 ，札，n n ) 关于概率测度族 p 。，n n 下一致可积，则有 1 1 9 i l l f 厶( 。) 脚( 如) 兰，o ( z ) p o ( 如) ； “_ 。ej 目 ( 3 ) 若厶上半连续收敛于，0 ，且函数族 厶，n n ) 关于概率测度族 脚，n n 上一致可积，则有 1 i m 8 u p 厶( ) p 。( 如) s ，o ( 。) 砌( 如) ； ( 4 ) 若厶连续收敛于，0 ，且函数族 厶，n n 关于概率测度族 卢。，n n ) 一致可积、则有 p m ( z ) p 。( d z ) = ，0 ( o ) p o ( 出) ”_ j bj e 定理1 2 3 在矗矗( z ) 肋( d z ) 存在的条件下，下列陈述是等价的： ( 1 ) p 。二p o ； ( 2 ) 若矗下半连续收敛于壳，且存在关于概率测度族 p 。，竹n ) 下一致可 积的g ( z ) ，使得厶( 。) 2g ( z ) ，仙= l ，2 ，则有 1 襄唿上厶( 。) 胁( 如) 上，0 ( 。) p 。( 如) ； ( 3 ) 若矗上半连续收敛于知，且存在关于概率测度族 p 。，n n ) 上一致可 积的g ( z ) ，使得 ( 。) g ( z ) ，竹= l ，2 ，则有 l i m s u p ( z ) ( 如) ，0 ( 。) p o ( 出) ； ( 4 ) 若，n 连续收敛于，0 ，且存在关于概率测度族( 卢。，州in 卜一致可积的9 ( z ) ， 使得f ( z ) f 9 ( 。) ，n = 1 ，2 ，贝有 1 1 墨 ( o ) ( 如) = ，0 ( 。) 肋( 如) “_ + 。j ej e 6 堕窒皇量壁垫盘堂竖堂垡迨塞! 韭丝丝堕塑壑型塑整塞丝垄鲨煎窒 推论1 2 4 在厶，0 ( z ) p o ( 出) 存在的条件下，下列陈述是等价的： ( 1 ) 芦。二p o ； ( 2 ) 若，n 下半连续收敛到，0 ，且函数族 厶，n n ) 等度下有界，则有 1 i m i i l f 厶( 。) p 。( d 。) 2 ，0 ( z ) p o ( c b ) ； “_ j ej8 ( 3 ) 若厶上半连续收敛到矗，且函数族 厶，n n 等度上有界，则有 r， l i m 8 u p 厶( z ) 卢。( d ) s ，0 ( 。) “o ( 如) ； n 一j ej e ( 4 ) 若厶连续收敛到，0 ，且函数族 厶，n n 等度有界，则有 。骢二 ( z ) 如( 如) 2 上矗( 。) p 。( 出) 推论1 2 5 在l ，o ( 肋( 缸) 存在的条件下，下列两个条件是等价的。 ( 1 ) 二p o ； ( 2 ) 若厶上半连续收敛而又下半连续收敛到而，函数族 ，n n ) 等度有 界且肛o ( d 向) = o ，则有 r， o 骧丘厶( 岔) 肌( 出) 2 丘，0 ( 。) 坳( 如) 推论1 2 6 下列两个条件是等价的： ( 1 ) p 。暑加； ( 2 ) 若对任意有界可测函数，且脚( d ，) = o ，有 ! 骢上，( 。) 如( 如) 。厶，( 甸蜘( 如) ， ( 2 ) 推广到集值映射的情形 自从张文修等人着手对集值随机过程理论研究以来，引起了国内一批学 者对集值随机过程研究的广泛兴趣，关于这方面研究的重要工作可参见文【8 0 一 9 0 从而建立了集值随机过程的一般理论框架这给随机规戈0 研究开辟了新 的广阔前景陈志平等人在文 87 】中研究了带随机过程的随机规划问题最优 解集的过程的特性与稳定性，证明了带随机过程的随机规划问题最优解集作 为集值随机过程的可测性，可测最优解的选择过程的存在性，研究了最优解 集过程的平稳性，马氏性以及最优值过程的鞅性和最优解集过程的集值鞅性， 并讨论了在有限维分布意义下最优解集过程对所含随机过程参数的连续性以 第一章绪论与预备知识 及最优值过程的分布稳定性最近，本文作者在文【9 1 中对两指标鞅停止变换 的不变性方面做了一定的研究，并在集值理论框架下( 参见文献【8 l ，8 2 ，6 1 ，8 7 ) ， 讨论随机约束规划最优值和最优解集集值映射对所含随机变量参数的分布收 敛、概率收敛、几乎处处收敛的稳定性( 参见【9 2 1 ) ( 3 ) 参数规划中广义凸性的推广 最优值函数的凸凹性是非线性规划中灵敏度分析、稳定性分析、参数分析 的重要条件，并在经济学中边际效益和影子价格等问题的研究中得到广泛的应 用许多作者不断地提出新的广义凸性概念，如预不变凸、b 凸、s 一凸、不变 凸、预拟不变凸、b 一预不变凸等等( 可参见文献 1 0 2 1 0 9 】) 用广义凸性替代通 常意义下的凸性来研究参数规划最优值的特性f i a c c 等人在文献 1 0 3 】中首先 系统地研究了参数规划问题最优值函数的凸凹性，最近，张庆祥等在文献f 1 0 2 】 中将f i ”c 等人的研究结果拓广为预不变凸凹性，s a n e j a 等在文【1 0 7 中又将预 不变凸函数的定义减弱到口一预不变凸函数，研究了日一预不变凸函数的一些 性质，并举例( 参见文献【1 0 7 ) 例2 2 ) 说明了存在b 一预不变凸函数，但其不是 预不变凸的本文作者在文【1 1 3 】中利用点到集映射图的概念，提出了一种新的 不变凸点到集映射和不变凹点到集映射的新概念，将张庆祥等人的有关研究结 果拓广为b 一预不变凸凹性，并研究了最优值函数的b 一预不变凹性与其最优 解集映射不变凸性之间的关系，得到了若干新的结论有关参数规划的稳定性 理论研究以及其它研究结果，可参见文献 1 1 0 1 1 2 ，7 】， 1 3 可测空间中的积分转化定理 1 3 1 5 节的内容除特别指出外，皆选自文献 1 1 5 1 2 0 1 定义1 3 1 设q 的某些子集构成的类，为一一域，则称( q ，) 为可测空间 定义1 - 3 2 设( n ，门为可测空间定义在，上的非负实值函数p 满足。 ( 1 ) p ( 宙) = o ； ( 2 ) 。，n = 1 ，2 ，a n a 。= g ，n m ，有可列可加性 0 0 p ( a ) = 芦( a ) i = 1 = i 则称p 为( n ，a 上的一个测度，而称( n ，卢) 为测度空间当p ( n ) = 1 时