（光学专业论文）基于二维光子晶体的微腔器件研究.pdf

摘要 基于二维光子晶体的微腔器件研究 摘要 本论文研究的是二维光子晶体微腔器件，主要包括以下两个方面的内容： ( 1 ) 基于二维光予晶体微纳全光显示 这种全光显示是在有限高度二维光子晶体板层中设计的。在二维光子晶体板 层中引入一条直线的空气波导和各种不同频率的共振微腔，当与这些共振微腔的 频率相同的可见光在波导中传播时，它们将分别与其频率相同的共振微腔发生共 振，并从二维光子晶体板层的表面发射出去，从而实现了显示功能。这就构成了 二维光子晶体微纳全光显示。 ( 2 ) 汇聚输出二维光子晶体波导 通过在波导的输出端有规律地引入多个点共振腔，我们提出了一种新型的汇 聚输出二维光子晶体波导。在介质柱二维光子晶体中，通过去掉一排介质柱引入 线缺陷形成一般的光子晶体波导，接着，在波导的输出端有规律地引入多个点共 振腔。当在波导中传输的光的波长与点共振腔的共振波长相同时，它们将被点共 振腔所俘获并相互干涉，在波导的输出方向上产生干涉极大，从而形成了汇聚输 出= 维光子晶体波导。 关键词；光子晶体，平面波展开法，时域有限差分方法，微腔，共振。 a b a r a e t r e s e a r c ho fm i c r o r e s o n a t o rd e v i c e so f t w o d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s a b s t r a c t i nt h i sw o r k ，m o s te f f o r t sa r ep u ti nt h em i c r o - c a v i t yd e v i c e sb a s e do n t w o - d i m e n s i o n a lp c i tc o n s i s t so f t w op a r t s ： ( 1 ) p h o t o n i ec r y s t a lc a v i t y - b a s e dm i c r o n a n o d i s p l a yf o rv i s i b l eu g h t s a m i c r o n a n o d i s p l a y i nat w o - d i m e n s i o n a lp h o t o n i ec r y s t a ls l a bh a sb e e n i n v e s t i g a t e df o rv i s i b l el i g h ta p p l i c a t i o n s b yi n t r o d u c i n gal i n e - d e f e c tw a v e g u i d ea n d d i f f e r e n tp o i n td e f e c tr e s o n a n tc a v i t i e s , i n c o m i n gv i s i b l el i g h t sw i t hd i f f e r e n t w a v e l e n g t h sc a r lb et r a p p e db yt h ed i f f e r e n ts i z ec a v i t i e sa n dt h e ne m i t t e dt ot h ef r e e s p a c ew h e nt h e yt r a v e la l o n gt h el i n e - d e f e c tw a v e g u i d e t h e r e f o r e ，ac o l o r f u l s u r f a c e - e m i t t i n gd i s p l a yc a nb ea c h i e v e do nt h es u r f a c eo ft h ep h o t o n i cc r y s t a ls l a b w i t l la l lc o l o r sr a n g i n gf r o mr e dt ov i o l e t ( 2 ) e n h a n c e de m i s s i o nf r o mp h o t o n i cc r y s t a lw a v e g u i d ev i ap o i n tr e s o n a t o r sa t t h et e r m i n a t i o n w ed e m o n s t r a t ean o v e lw a yt oe n h a n c et h ed i r e c t i o n a le m i s s i o nf r o m p h o t o n i c - e r y s t a lw a v e g u i d ew i t hp o i n tr e s o n a t o r s a tt h et e r m i n a t i o n a s t r a i g h t w a v e g u i d ei si n t r o d u c e sb yr e m o v i n go n er o wo ft h em d s ，a n d ，t h ep o i n t sr e s o n a t o r s a r ec r e a t e dr e g u l a r l yb yr e d u c i n gt h er a d i io ft h er o d sa tt h ee n do ft h ew a v e g u i d e i f t h ew a v e l e n g t ho f b e a m s ，t r a v e l i n gi nt h ew a v e g u i d e ，i se q u a lt ot h ew a v e l e n g t ho f t h e r e s o n a t o r s t h e yw i l lf a l li nt h er e s o n a t o r s ，i n t e r f e r ew i t he a c ho t h e r sa n de m i tw i t h n a r r o w l ya n g u l a rd i v e r g e n c ef r o mt h es t r a i g h tw a v e g u i d e k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，p l a n ew a v em e t h o d ，f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n m e t h o d ，r e s o n a t o r , r e s o n a t e 第l 章绪论 第1 章绪论 半个世纪以来，信息产业快速发展，信息产业提出的更加微细化和高速化集 成电路的要求，电子由于自身的局限已经不能达到，而从1 9 6 0 制成第一台激光 器以来，人们对光的特性以及光子与物质相瓦作用的了解也日益深化。二十世纪 六十年代光学光纤的产生，使人们第一次把目光投向拥有极高信息容量和效率、 极快响应能力、极强互连能力和并行能力以及极大存储能力的光子上来。 我们要利用光子作为信息传导的载体，就必须制造出能控制光子的集成光 路。1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 在讨论如何抑制自发辐射和j o h n 在讨论光子局域 时，各自独立提出了光子晶体的概念，这为实现各种光电子器件和集成光路乃至 最后实现全光电脑提供了依据。 1 ，2 】 事实上，在三维光子能带结构的概念还未提出之前，科研人员已经对层状介 电系统，也即一维光子晶体研究多年了。尽管如此，很长一段时间来，此方面的 研究仍只停留在一维系统的光学性质上。物理学界一直未从“晶格”的角度来研 究这个周期性光学系统，直到1 9 8 9 年，y a b l o n o v i t c h 在实验上第一次制得三维 光子晶体结构，物理学界才开始进行这方面的深入研究。此后，无论是理论研究、 实验研究还是应用研究都得到了蓬勃的发展，1 9 9 9 年底，被美国s c i e n c e ) 杂 志把光子晶体评为十大进展之一。【3 1 第1 案绪论 1 1 光子晶体的概念与基本特性 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 就足具有光子带隙的周期性电介质结构。光子 晶体的最基本的特性在于它具有光子带隙。 “光子带隙”这个概念的产，借用了半导体晶体中“电子带隙”的表述，在半导 体中，电子由于受原子点阵所旌加的周期性势场的作用厄产生b r a g g 散射，散 射的结果使得原本连续的能谱发生分裂，从而形成包含导带和禁带的带状结构能 谱。在光学系统中，当电磁波在周期性电介质结构材料中传播时，由于受到调制 而形成能带结构光子能带结构，其带隙称为光子带隙( p b g ：p h o t o n i cb a n d g a p ) 。光子带隙有完全光子带隙和不完全光子带隙之分。完全带隙就是具有全方 位的p b g ，即一定频率范围内光f ，无论其偏振方向或传播方向都被禁止传播； 不完全光子带隙即只有在特定方向上有p b g ，即一定频率范围内光子，只有某 一偏振方向或传播方向被禁止传播。 1 ，2 】 同时，根据电介质在一维、二维和i 维方向上的周期性排列结构的不同，又 将光子晶体分为一维光子晶体、二维光子晶体和三维光子晶体。三种光子晶体的 空间结构示意图如图1 - 1 所示。光子晶体的：e 要参数是晶格常数和占空比。 一维二维三维 图1 1 一维、二维、三维光子晶体的结构示意图。 第1 章绪论 1 2 光子晶体的应用 光子晶体中由于光子带隙的存在，所以能够控制光在其中的传播，其主要思 想就是利用光子禁带或禁带结构中的缺陷态来改变光子晶体中某种电磁态的密 度。因此，由于光子晶体这种独特的光学性质，不论是一维、二维、三维的，人 们都找到它们可以应用的领域。其主要应用有以下几个方面： 1 2 1 光子晶体光纤 传统的光纤是由两种不同折射率介质所构成的包层和纤芯，其中纤芯介质的 折射率比包层介质的折射率高。光在纤芯与包层之间的界面发生全反射，从而沿 着光纤轴线方向传播。但是，传统光纤存在着光延迟、损耗等问题。而光子晶体 光纤就是在二维光子晶体对落在禁带中的光波具有很强的约束性，并在其长度方 向上引入缺陷，从而制成能够导光的波导，用它就呵以克服传统光纤光延迟、损 耗等缺点。同时，光子晶体光纤与普通光纤不同，它可以仅由一种材料制成，缺 陷处的折射率可以大于也可以小于包层的折射率。【4 6 】 此外，由于光在光子晶体光纤中以极高的光密度传播，因此光子晶体光纤还 可用来研究光与物质的各种非线性相互作用例如超连续、兆瓦级的光孤子的产生 等。【刀 1 2 2 低阈值光子晶体激光器 图l - 2 低阈值光子晶体激光器。 鹅1 带绪论 光子晶体的另一个典璎的应用就是：低阈值光子晶体激光器，如图1 2 所 示。在激光器中引入光子晶体就町实现低阈值激光振荡。因为光子晶体对于光子 禁带范围内的光波具有抑制作用，所以光子晶体的光子禁带频率与激光器工作 物质的自发辐射频率相一致时，激光器的自发辐射就会被抑制，这样，激光器中 因自发辐射而引起的损耗将会大降低，从而使激光振荡的阈值变得很低。【8 ，9 1 1 2 3 直线传输光_ f 晶体波导 非直线传输光子晶体波导是由s f a n 提出并发表在p r l 上，如图1 3 所示。先在光子晶体中引入两条直线波导，并在波导之间引入两个点共振腔。当 光从端口1 输入时，假如光波波长与点共振腔的共振波长相一致，则光波将会 与点共振腔发生共振，并耦合到第二个波导中。由于在第二个波导中往回传播的 光强甚微，所以町以看作光是从端口4 输出的。这就实现了光在直线波导中的 非直线传播。【1 0 ，1 l 】 1 2 5 其它应用 图1 3 非直线传输光子晶体波导。 光子晶体的其他应用包括高效率低损耗反射镜、微波天线、带宽滤波器、光 予晶体开关等等。光子晶体还有许多新的物理性质和现象，如光的超棱镜效应、 负折射效应、能量转移及光子压缩等特性，随着对这些新现象的深入了解和光子 晶体制作技术的改进，光子晶体的应用将更广泛。 1 2 1 5 】 4 第l 章绪论 1 3 光子晶体的制备方法 自然界中存在的光子晶体结构较少，目前发现的仅有蛋白石、蝴蝶和海老鼠 毛，但电子显微镜揭示它们是由一些周期性微结构组成的，由于在不同的方向上 不同频率的光波被散射和透射的情形不一样，因而呈现出美丽的色彩，但它们均 没有三维的光子带隙。光子带隙的出现与否取决于光子晶体的三个因素：光子晶 体结构，介电常数( 或折射率) 反差以及介质填充比。理论和实验研究表明，折 射率比越大，则带隙越大，原则上要求折射率比大于2 。同时，一种结构的第一 布里渊区( b r i l l o u i nz o n e ) 越接近球形，就越容易得到带隙。因此，在各种晶格 结构中，二维六角结构和三维面心结构能得到较大的带隙。除了结构的复杂性和 对材料性能的高要求之外，由于光子晶体的品格尺度与光波相当，如对于通信波 段( 波长1 5 5i im ) ，要求光子晶体的晶格在o 5um 左右，故光子晶体的制 备具有一定的难度。近些年来，人们在不断探索和试验的过程中，提出了许多可 行的人工制备方法。 1 6 ，1 7 】 1 3 1 精密机械加工法 这是光子晶体早期的制备研究中使用的方法。y a b l o n o v i t c h 设计了打孔方 法，使打出来的空隙为类椭球形的圆柱体，这些空隙同样构成了面心立方结构， 这种结构的晶格长度为1 2t u r n ，能隙中心频率约为2 0g i - i z 、能隙宽度与中心频 率之比为0 2 ，这种光子晶体具有完全的光子禁带。这是世界上第一次人工制成 的具有完全光子禁带的光子晶体。【1 8 】 随着光予晶体工作频率向短波长推进，人们提出了制作光子晶体的另一种方 案( l a y e r - b y - l a y e r 方法) 。该方法把光子晶体的工作频率推进到远红外波段， 如f l e m i n g 和l i n 以此方法曾制备出禁带从1 3 5 | im 到1 9 5 l im 的光子晶 体结构。【1 9 】 1 3 2 半导体技术加工法 第1 章绪论 这种方法主要来自微电f 加工技术。利用微刻蚀技术，包括光刻蚀技术、电 子柬刻蚀技术、反应离f 柬刻蚀技术等半导体精密加工技术来制作光子晶体。如 以电f 柬f 涉产尘周期约为2 0 0n l t l 到7 0 0i l i a 的全息图像，用f 可见波段到近 红外波段的周期结构的制作，这是制备= 维平板结构常用的一种有效方法。此外， 在半导体上蚀刻小孔阵列也是常用方法之一。在材料上打洞束产生高折射率比会 增加材料镀层的困难，而且裸露表面e 的化学反应会使器件过早老化，但是通过 选择性的氧化束产生折射率比，使材料保持其物理完整性，同时使之町被镀镜或 易连接其他元件。 这些方法能制得较为满意的具有多种结构、精度较高的光子晶体，也能在光 子晶体中方便地引入缺陷，再结合激光技术、光刻技术等精密加工方法就能够制 得近红外波段的光f 晶体。但该方法所使用的设备昂贵、工艺复杂，不利于丈规 模生产，这就制约了光子晶体的推广应用。 2 0 - 2 2 】 1 3 3 胶体晶体自组装法 胶体自组织法也是目盼制备光子晶体常用的方法之一，而且这种方法非常经 济简便。胶体晶体是指由分敬胶体粒f 形成的维有序周期结构。由于分散胶体 粒子的稀分散溶液在弱的离f 强度情况下，颗粒问在短程静电作用及长程范德华 力作用下可以自发排列形成面心立方和体心立方等有序结构。 一般来浣，胶体颗粒自组装光子晶体町分为两种：一种是类蛋白石结构，另 外一种是反蛋白石结构。 早期采用聚合物分子溶液来制备类蛋白石光子晶体，但是这种类蛋白石结构 很雉获得完全带隙的光子晶体。虽然我们可以用烘烤的方法提高材料的介电系数 配比，但容易造成结构坍塌。为解决这一问题，人们发明了反蛋白石结构，又称 为模板法，即利用二氧化硅、聚苯乙烯等q 三长出的胶体晶体作为模板，再往其空 隙中填充高折射率材料的有机或无机材料，如染料、金属纳米粒子、硅等，多次 填充后通过高温煅烧或刻蚀除去模板，留f 反蛋白石三维周期结构。其典型的组 成结构是在高介电常数背景里以面心立方形式分卸宅气小球。同时，通过改变三 维有序硅多孔材料的孔径还可以得到不同的禁带位置。反蛋自石光子晶体胶体颗 粒的聚集过程主要包括雹力沉降、扩散和结晶等，其间町以采取许多方法来控制 6 第1 章绪论 优化生长过程，例如准平衡蒸发法、毛细作用力组装法、胶体外延生长法、电泳 沉积法和电磁流变技术等。胶体自组装技术工艺简单，可用材料广泛，在制备大 周期和红外及可见光光子晶体时有着无町比拟的优势。但也存在一些缺点，例如 可形成的品格结构不多，难以避免多晶产生以及层间错位和结构坍塌等。如何更 好的引入人们所需要的缺陷也有待进一步研究。 2 3 - 2 s 1 1 3 4 其它方法 其它方案还包括光全息方法、多光束干涉方法、双( 多) 光子聚合方法等。 光子晶体的制备方法随着研究的深入层出不穷，各种制各方法的完善有利于人们 获取更丰富的光子晶体种类和更彻底的研究光子晶体特性，这对基于光子晶体器 件的实用化有着极大地促进作用。 7 第1 搴绪论 1 4 本论文研究的内容及组织结构 本文主要对二维光子晶体微腔器件设计进行理论研究，研究工作主要包括两 部分内容：第一部分是基f 二维光子晶体微纳全光显示器件的研究；第二部分研 究基于四方晶格汇聚输出二维光f 晶体波导的研究。为了更好阐述以上的研究内 容，本文的组织结构如下： 第一章介绍了光f 晶体发展的背景、基本概念、基本应用以及制备方法。 第二章介绍了e 1 日# 研究光子晶体的理论计算方法。目前研究光子晶体的理论 计算方法很多，但各种方法适用的范围不一样，在我们的研究中重点用到的是时 域有限蔗分法( f d t d ) 和平面波展丌法( p w m ) 这两种计算方法，因此，在这一章 中将这两种方法作为重点分别进行介绍。 第三章先介绍了完整二维光子晶体的基本性质和光子晶体中缺陷的类型，再 从材料选择、有限长度二维光子晶体的设计、缺陷的引入，这几个方面介绍基于 二维光子晶体的微纳全光显示器件的理论设计，最后再对这种器件的设计参数进 行讨论。 l 摆关研究结裂已发表在t a p p u l e dp 融s i c sl e t t e r s ) 2 0 0 6 年第8 9 期 镣3 卷。首页是：0 3 1 1 0 3 在第四章中，先对汇聚输出波导整体的发展情况进行介绍；再根据自己的想 法设计了汇聚输出二维光子晶体波导。运用f d t d 计算方法对设计的波导进行 模拟计算，同时计算了点共振腔的半径与共振频率之间的关系。最后引用相关的 理论对器件结构对产生汇聚输出的原因进行探讨。 第1 章绪论 参考文献 1 e y a b l o n o v i t c h , p h y s r e v h 胜5 8 ，2 0 5 9 ( 1 9 7 8 ) 2 s j o h n , p h y s r e v l e t t5 8 。2 4 8 6 ( 1 9 7 8 ) 3 e y a b l o n o v i t c ha n dt j c r m i t t e r , p h y s r e v l e t t6 3 。1 9 5 0 ( 1 9 8 9 ) 4 高慧敏，于丽，王永钢，杨伯君，光子晶体光纤，现代有线传输4 ，3 7 ( 2 0 0 5 ) 5 j c k n i g h t , j b r o e n g ，t a b i r k sa n dp s t j r u s s e l l ，s c i e n c e2 8 2 ，1 4 7 6 ( 1 9 9 8 ) 6 r f c r e g a n , b j m a n g a n , j c k _ n i g h t , t a b i r k s ，p s j r u s s e l l ，p j r o b e r t sa n dd c a l l a n , s c i e n c e2 8 5 ，1 5 3 7 ( 1 9 9 9 ) 7 d g o u z o u n o v , f 凡a h m a d , d m u “l l e r , n v e n k a t a r a m a r t , m t g a l l a g h e r , m g t h o m s ，j s i l c o x , kw k o c ha n da l g a e t a l ，s c i e n c e3 0 1 ，1 7 0 2 ( 2 0 0 3 ) 8 o p a i n t e r , rk l e e 。a s c h e r e r , a y a r i v , j d o o b r i e n , p d d a p k u s ，a n dl k i r n ，s c i e n c e 2 鲋，1 8 1 9 ( 1 9 9 9 ) 9k s d n i v a s a na n do p a i n t e r , o p t e x p r e s s1 0 ，6 7 0 ( 2 0 0 2 ) 1 0s f a n , p rv i l l e n e u v ea n dj d j o a n n o p o u l o s ，p h y s r e v l e t t 8 0 ，9 6 0 ( 1 9 9 8 ) 1 l m s o l j a c i c ，c l u o ，j d j o a n n o p o u l o sa n ds f a n , o p t l e t t 2 8 ，6 3 7 ( 2 0 0 3 ) 1 2t d h a p p ，a 。m a r k a r d , m k a m p ，j l g e n t n e ra n da f o r c h e l ，e l e e t r o ml e t t 3 7 ，4 2 8 ( 2 0 0 1 ) 1 3 陈慰宗，b 涛，付灵利，郑新亮，李绍雄，周景会，一维光子晶体的有效折 射率及色散特性，光子学报9 ，11 2 4 ( 2 0 0 2 ) 1 4 卜涛，陈慰宗，冯宇，郑新亮，维光子晶体带隙随偏振光入射角的演 变，光子学报9 ，1 1 2 8 ( 2 0 0 2 ) 1 5m ，s c a l o r a , j p d o w l i n g , c m ，b o w d e na n dm 。j b l o e m e r , p h y s r e v l e a 7 3 ， 1 3 6 8 ( 1 9 9 4 ) 1 6rd m e a d e ，k d b r o m m e r , a m r a p p ea n dj d j o a n n o p l u l o s ，p h y s r e v l e t t 6 1 ，4 9 5 ( 1 9 9 2 ) 1 7d c a s s a g n e ，c j o u a n i n , d b e r t h o ，p h y s r e vb5 3 ，7 1 3 4 ( 1 9 9 6 ) 9 第1 章绪论 1 8 e y a b l o n o v i t c h ，t j g m i t t e ra n dk m l e u n g ，p h y s r e v l e t t 6 7 ( 1 ) 2 2 9 5 ( 1 9 9 1 ) 1 9j gf l e m i n ga n ds yl i n ，o p t l e t t 2 4 ，4 9 ( 1 9 9 9 ) 2 0m d b c h a r l m n ，s w r o b e r t sa n dg j p a r k e r ，m a t e r i a l ss c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g b s o l i ds t a t em a t e r i a l sf o ra d v a n c e dt e c h n o l o g y4 9 ，1 5 5 ( 1 9 9 7 ) 2 1j m d a l l e s a s s e ，n h o l o n y a k ，a r s u g g ，t a r i c h a r da n dn e l z e i n ，a p p l p h y s l e r 5 7 ，2 8 4 4 ( 1 9 9 0 ) 2 2k d ，c h o q u e r e ，k ，m g e i b ，c i h a s h b y ，r d t w e s t e n ，o b l u m ，h q h o u ， d m f o l l s t a e c l t ，b e h a m m o n s ，d m a t h e sa n dr h u l l ，i e e ej o u m a lo f s e l e c t e dt o p i c si nq u a n t u me l e c t r o n i c s3 ，9 1 6 ( 1 9 9 7 ) 2 3s g r o m a n o v n ，p j o b i n s o n ，a v f o k i n , v y b u t k o ，h m y a t e s ，m e p e m b l e c m s t o r r e s ，a p p l p h y s l c t t 7 0 ，2 0 9 1 ( 1 9 9 7 ) 2 4s g r o m a n o v ，a v f o k i n ，v i ，a l p e r o v i c h ，n p j o h n s o n ，i lm d e l a r u e ， p h y s i c as t a t u ss o l i d ia - a p p l i e d r e s e a r c h1 6 4 ，1 6 9 ( 1 9 9 7 ) 2 5y a v l a s o v 。x ，z b o ，j c s t u r ma n dd j n o r r i s ，n a t u r e4 1 4 ，2 8 9 ( 2 0 0 1 ) 1 0 第2 章理论计算方法 第2 章理论计算方法 目| j i 用于研究光子晶体的理论计算方法很多，主要有：平面波展开法( p w e ： p l a n ew a v e e x p a n s i o nm e t h o d ) 【1 , 2 】；时域有限差分法( f d t d ： f i n i t e - d i f f e r e n c e - t i m e - d o m a i nm e t h o d ) 3 ，4 1 ：转移矩阵法( t m m ：t r a n s f e rm a t r i x m e t h o d ) 【5 ，6 】；k k r 方法( k o r r i n g a - k o l m - r o s t o k e rm e t h o d ) 7 b 多重散射理 论( m u l t i p l e s c a t t e r i n gt h e o r y ) 【8 - 1 2 】；n 阶法( o r d e rnm e t h o d ) 【1 3 。这些 方法各有自己的特点，各有不同的应用范围，本论文的计算和设计中主要用到了 平面波展开法和时域有限差分法，下面将对这两种方法作简单说明。 第2 章理论计算方法 2 i 平面波展开方法 光子在周期性结构中的行为与电子在半导体中的行非常相似。电子在半导体 中的行为町以用薛定锷方程束描述，光f 在周期性结构中的行为则是用麦克斯书 方程描述。因此，平面波展丌方法是将电磁场在倒格矢空间中以平面波叠加的方 式展开，将麦克斯若方程组转化为一个本征方程，通过求解本征方程便可得到传 播光子的本征频率。【1 4 ，1 5 】 光在光子晶体内传播的麦克斯韦方程经过化简可以得到两个分别描述磁场 和电场的等式： 乳高眠砘r ) 钏2 砘r ) ( 2 _ 1 ) v x v x e ( r ，r ) 】= 2 f o ) e ( ，t ) 其中，s o ) 为周期性函数，以品格常数r 为周期，即 s = 占( ，+ r ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 根据f l o q u e t - b l o c h 理论，将光子晶体中的电场和磁场分别用一系列的平面 波展= 玎= ，得到表达式： 日( ，f ) = e x p ( - i w t ) x h , ，e x p i ( k + g ) r 】( 2 - 4 ) e ( r ，f ) = e x p ( _ f 耐) e x p i ( k + g ) ，】( 2 - 5 ) 其中，国为频率，k 是b l o c h 波向，g 是倒格矢。将( 2 - 4 ) 和( 2 5 ) 代 入( 2 1 ) 和( 2 - 2 ) 得到磁场和电场的傅罩叶系数h c 和b 的方程： 忙+ g ) 善叩。 + g ) 如 + 珊2 = o ( 2 - 6 ) e + g ) 眙+ g ) 髟】+ 国2 导，e 6 = 0 ( 2 - 7 ) 第2 章理论计算方法 6 c - g ，- - - 占( g g 。) 是g o ) 的傅里叶变换，刁g g - - ，7 ( g - g ) 是p ( ，) 倒数的傅 取叶变换。 方程( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 描述了电磁波频率和波向量的色散关系。方程( 2 6 ) 是 一个标准的本征值问题，求解该方程可以用一般可以用两种方法，一种是直接计 算介质函数的倒数，然后计算它的傅罩叶变换；另一种则是h o c h a n - s o u k o u i i s 方法，它是先计算介质函数的傅罩叶变换，取倒数后获得相应的傅罩叶变换系数。 而方程( 2 7 ) 是广义的厄米本征值问题。 1 6 ，1 7 1 第2 章理论计算方法 2 2 时域有限差分方法 时域有限蔗分方法( f d t d ) 是y e e 于1 9 9 6 年首次提出的一种电磁场数 值计算的新方法【1 8 】。它对电磁场e 、h 分量在空j 、日j 和时问上采取交替抽样的离 散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用 这种离散方式将含有时间变量的麦克斯蒂旋度方程转化为一组差分方程，并在时 问轴七逐步推进的求解空问电磁场。【1 9 ，2 0 】具体过程如下： 韦克斯韦旋度方程： v 日= 百0 1 ) + ， ( 2 ，8 ) v 咖警一厶 ( 2 9 ) 其中： e 为电场强度，d 为电通量密度，h 为磁场强度，b 为磁通量密度，j 为电流密度，厶为磁流密度。 令i c x ，y ，z ，t ) 代表e 或者h 在直角坐标系中某一分量，在时自j 和空间 域中的离散区以下符号表示： f ( x ，y ，z ，) = f ( i a x ，缈，k a z ，玎f ) = f “( f ，七) ( 2 1 0 ) 对m 石力关于时间和空日j 的一阶偏导数取中心差分近似，即 塑坐：轧；坐：垫竺二坐二签竺 翌! 坠塑i 。f ( i , j + 2 , k ) - f ( i , j - 2 , k ) 妙 一 缈( 2 1 1 ) 掣k 。竺蔓掣 华b 。* 竺盟警塑丛 1 4 第2 章理论计算方法 图2 - 1f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布。 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图2 1 所示，这就是著名 的y e e 元胞。由图2 1 可见每一个磁场分量有四个电场分量环绕；同样，每一 个电场分量有四个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉 第感应定律和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置 也适合于麦克斯韦方程的差分计算，能够恰当的描述电磁场的传播特性。此外， 电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使麦克 斯韦旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需 要进行矩阵求逆运算。因而，由给定相应电磁问题的初始值，f d t d 方法就可 以逐步推进的求得以后各个时刻空间电磁场的分布。 2 2 2c o u r a n t 稳定性条件 从上面的麦克斯韦方程导出的电磁场任意角分量f ( x , y ，z ，r ) 均满足齐次 波动方程： 尝+ 窑+ 窑+ 譬厂：o 缸2 却2 。o z 2 c 2 。 ” 考虑平面波的解，得： ，g ，y ，乙f ) = 二e x p i - ，k x + y + 屯z 一研) j 采用有限差分近似方法得出波动方程( 2 1 2 ) 的离散式可以写为： ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第2 章理论计算方法 一竺：0 c 。 ( 2 1 4 ) 其中c = 1 石为介质中的光速。这一等式给出波动方程离散后平面波 ( 2 1 4 ) 式中的波矢量t = ( ，也) 与频率之间应满足的关系式，即色散 关系，也可写为： ( 竽) 2 上式对任何t ，丸，t 均成立的充分条r l ：是： ：f 竽1 2 t ( 2 - 1 5 ) 上 ( 2 - 1 6 ) 式( 2 1 6 ) 给定了宅间和时间离散f b j 隔之间应当满足的关系，这种关系称为 c o u r a n t 稳定性条件，它具有下面三种特殊情况： ( 1 ) 三维情况的立方体元胞，即取血= a y = 心= 艿时，( 2 - 1 6 ) 式变为： 凼皂 4 3 ( 2 ) 二维情况中，( 2 1 6 ) 式变为 c j 1 1 1 沁严+ 研 ( 3 ) 若缸= 缈= 占，则( 2 1 7 ) 式化为： 凼羔 2 1 6 ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 坐生丫 r一业2 一一( 龇 一 p 一玎一一(降一玎 一( 、一 声生n r一譬2 一一( 缸 一 、一 声l“i r一如2 一一( s 一 第2 章理论计算方法 2 2 3 吸收边界条件 时域有限差分方法( f d t d ) 是一种分析各种电磁问题的全波方法，用它分 析电磁辐射、散射等开放或者半开放性质问题时，我们在一个有限的区域中进行 计算。因此必须在截断处设置适当的吸收边界条件，以便用有限网格空间模拟开 放的无限空间或无限长的传输结构。 目前主要沿f 再个方向对吸收边界条件比较系统和深入的研究：一是在边界上 引入吸收材料；一是通过波动方程的因子分解获得单行波方程并取近似来建立吸 收边界条件。常用到的吸收边界条件主要有： m u r 吸收边界条件【2 1 】和完全匹 配层( p m l ) 2 2 1 。 1 7 第2 章理论计算方法 参考文献 1 e y a b l o n o v i t c h ，j p h y s ：c o n d e n s e dm a t t e r5 ，2 4 4 3 ( 1 9 9 3 ) 2 k s a k o d a , o p t i c a lp r o p e r t i e so f p h o t o n i cc r y s t a l s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy i r k ， 2 0 0 1 3 r z i o l k o w s k ia n dm t a n a k a , o p t i c a la n dq u a n t u me l e c t r o n i c s3 1 ，8 4 3 ( 1 9 9 9 ) 4 k s y e e ，i e e et r a n s a n t e n n a sp r o p a g1 4 ，3 0 2 ( 1 9 9 6 ) 5 b g u e ta 1 p r o c i s p c - 1 3 。b e i j i n g ：p e k i n gu n i v p r e s s ，11 4 1 11 4 6 ( 1 9 9 7 ) 6 v y a n n o p a p a s y ，n s t e f a n o u ya n da m o d i n o s z ，c o n d e n s m a t t e r9 ，1 0 2 6 1 ( 1 9 9 7 ) 7 a m o d i n o s ，n s t e f a n o ua n dv y a n n o p a p a s ，o p t e x p r e s s8 ，1 9 7 ( 2 0 0 1 ) 8 w z h a n g ，c t c h a r ta n dp s h e n g ，o p t e x p r e s s8 ，2 0 3 ( 2 0 0 1 ) 9 n s t e f a n o u , v k a r a t h a n o sa n da m o d i n o s ，c o n d e n s m a t t e r ，4 ，7 3 8 9 ( 1 9 9 2 ) 1 0 x w a n g ，x 一g z h a n g ，q y ua n db n h a r m o n ，p h y s r c v b4 7 ，4 1 6 1 ( 1 9 9 3 ) 1 1 n s t e f a n o u v k a r a t h a n o sa n da m o d i n o s c o m p u t e rp h y s c o m m 11 3 ，4 9 ( 1 9 9 8 ) 1 2 n s t e f a n o u ，v k a r a t h a n o s ，a m o d i n o sa n dm u l t e m ，c o m p u t e rp h y s c o m m 1 3 2 ，l8 9 ( 2 0 0 0 ) 1 3 r a e n g l i s kj m p i t a r k e ，j b p e n d r y ，s c i e n c e4 5 4 ，1 0 9 0 ( 2 0 0 0 ) 1 4 张磊，张晓二，姚汉民，牡春雷，张福甲半导体光电，2 5 ，4 8 0 ( 2 0 0 4 ) 1 5 顾培夫，厉以字，李明宇，黄弼勤，艾曼灵，刘旭光学仪器，2 7 ，5 5 ( 2 0 0 5 ) 1 6 m p l i h a la n da a m a r a d u d i n , p h y s r e v b4 4 。8 5 6 5 ( 1 9 9 1 ) 1 7 k m h o ，c t c h a r ta n dc m s o u k o u l i s ，p h y s r e v l e t t ，6 5 ，3 1 5 2 ( 1 9 9 0 ) 1 8 k s y e e 。i e e et r a n s a n t e n n a sp r o p a g a t a p 一1 4 ，3 0 2 ( 1 9 9 6 ) 1 9 s t c h ua n ds k c h a u d h u r i ，l i g h t w a v et e c h n o l o g y7 ，2 0 3 3 ( 1 9 8 9 ) 2 0 葛德彪，闰玉波砬膨兹时聊香侬孝分力。罄西安电子科技大学出版社 ( 2 0 0 4 ) 2 1 gm u r , i e e et r a n s e l e c t e o m a g n c o m p a t 2 3 3 7 7 ( 1 9 8 1 ) 2 2 j p b e r e n g e r , j c o m p u t p h y s 1 1 4 ，1 8 5 ( 1 9 9 4 ) 1 8 第3 章基5 - - - 维光子晶体微纳全光显示器件的理论设计 3 1 完整二维光子晶体的基本性质及其中的缺陷 3 1 1 完整一：维光子晶体的基本性质 二维光子晶体是指电介质在二维平面内周期性排列，而在第三个方向上无限 长的材料。在二维平面中，电磁场町以根据其对称性分成两种偏振态：t m ( t r a n s v e r s em a g n e t i c ) 模和t e ( t r a n s v e r s ee l e c t r o n i c ) 模。在t e 模( 也称为 e 偏振) 中，电场在二维平面内，而磁场垂直f 二维平面；在t m 模( 也称为 h 偏振) 中则相反，磁场在二维平面内，而电场莲直f 二维平面。则它们所对 应的能带结构分别是t m 模带隙和t e 模带隙。光子晶体在二维方向上对落在 带隙中的光具有很好的限制性和控制性。 在二维光子晶体中，有两种不同的拓扑结构与两种偏振态相对应的，一种是 高折射率的介质柱被低折射率介质围绕；另一种是低折射率孔在高折射率介质 中。理论上这