（计算数学专业论文）关于代数微分算子的几个问题.pdf

摘要 摘要 由于实际问题的复杂性，相当多的科学技术前沿问题的数学模型是 由常微分方程、代数方程和偏微分方程组成的混合模型或者是由这些方 程作为约束条件组成部分的优化模型这些问题形成了不同函数空间上 的代数微分问题因此，在抽象的空间上研究这类模型的理论和求解问 题是适当的途径之一本文主要主要从数值计算的角度，在适当的条件 下，研究了抽象空间上代数微分方程( 算子) ( a d a e s ) 的两个问题：变系 数线性代数微分算子的g a l e r k i n 方法和代数微分算子的s o b o l e v 梯度方 法 本文给出了抽象空间变系数线性代数微分算子的g a l e r k i n 逼近方 程，并证明该有限维d a e s 方程是微分指标至多是1 的半正定d a e s 然 后证明该线性d a e s 在适当的s o b o l e v 空间解的存在唯一性和解对初始 值和方程系数的连续相依性，最后证明离散g a l e r k i n 方程的强收敛性 此外，对一种新兴的数值求解微分方程的s o b o l e v 梯度方法，在作了 初步的介绍后，针对变系数线性代数微分算子，利用算子广义逆统一了 线性a d a e s 解的表示并讨论了补充( 边界) 条件问题 本文最后提出了该方向几个有待探讨的问题 关键词：抽象代数微分方程；代数微分算子；数值方法；g a l e r k i n 方法； s o b o l e v 梯度；算法 3 a b s t r a c t ab s t r a c t t h i st h e s i si sa b o u td i f f e r e n t i a l a l g e b r a i co p e r a t o rt h e o r y i tc o m p r i s e st w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h em a i nr e s u l t sa r et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - n e s so f ( w e a k ) s o l u t i o n sa n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nt h ed a t af o r a b s t r a c td i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n si nas u i t a b l es o b o l e vf u n c - t i o n ss p a c e f u r t h e r m o r e ，t h es t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h ef i n i t ea p p r o x i m a t i o no ft h eg a l e r k i nm e t h o dt oa b s t r a c td i f f e r e n t i a l a l g e b r a i c e q u a t i o n si sg i v e ns i m u l t a n e i t y t h es e c o n dp a r to ft h et h e s i si sd e v o t e dt oan o v e lm e t h o db a s e d o nt h eg r a d i e n ts y s t e m st h e o r yt on u m e r i c a l l ys o l v e ( a b s t r a c t ) d i f - f e r e n t i a l ( 一a l g e b r a i c ) e q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t si sg e n e r a l i z e dt h e s o l u t i o n sp r e s e n t a t i o no fl i n e a ra b s t r a c td i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a - t i o n si ns u i t a b l ef u n c t i o n ss p a c e i na d d i t i o n ，t h es u p p l e m e n t a r y c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f ( w e a k ) s o l u t i o n so fa n a b s t r a c td i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n si sa l s od i s c u s s e db r e v i t y k e y w o r d s ： a b s t r a c t d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i c e q u a t i o n s ； d i f f e r e n t i a l a l g e b r a i c o p e r a t o r ； n u m e r i c a l m e t h o d s ； g a l e r k i n m e t h o d s ；s o b o l e vg r a d i e n t ；a l g o r i t h m 4 c h a p t e r1 1 1b a c k g r o u n d i n t r o d u c t i o n t h ee v o l u t i o no fm a n ys y s t e m sf r o mp h y s i c s ，b i o l o g y ，c h e m i s t r y , e n g i n e e r i n g ， e c o n o m i c s is o c i a ls c i e n c e sc a nb er e w r i t t e ni nt h em a t h e m a t i c a ll a n g u a g ew h i c h u s e so r d i n a r yo rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o f t e n ，t h e s ee v o l u t i o np r o c e s s e s a r es u b j e c tt oa d d i t i o n a la l g e b r a i cc o n s t r a i n t s e x a m p l e sf o rs u c hc o n s t r a i n t sa r e k i r c h h o f sl a w si ne l e c t r i c a lc i r c u i t sa n d p o s i t i o nc o n s t r a i n t si nm e c h a n i c a ls y s t e m s s e e ，e g 【8 ，1 4 ，3 4 ，3 5 ，4 3 ，5 8 ，7 2 】t r a d i t i o n a l l y , s u c hc o n s t r a i n t sa r er e s o l v e db yv a r i a b l es u b s t i t u t i o n s ，r e d u c i n gt h em o d e lt oas y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) h o w e v e r ，s u c hs u b s t i t u t i o n sa r e n o ta l w a y sp o s s i b l ea n dm a yb ed i f f i c u l tt or e a l i z en u m e r i c a l l y f u r t h e r m o r e ，t h e i n c r e a s i n gs i z eo ft h em o d e l sm a k e ss u c ha na p p r o a c hat e d i o u st a s k a ne l e g a n t a l t e r n a t i v et os u b s t i t u t i o n si st oc o n s i d e rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l o n gw i t ht h e a l g e b r m cc o n s t r a i n t si nt h e i ro r i g i n a lf o r mi no n es i n g l es y s t e m ，w h i c hl e a d st ot h e n o t i o no fs oc a l l e dd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e si nb r i e f ) f u r t h e r m o r e ， t h e s ee q u a t i o n sm a yb ec a l l e da b s t r a c td i f f e r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n s ( a d a e si n b r i e f ) i nc a s et h e s ee q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e do na b s t r a c tf u n c t i o n a ls p a c e s s e v e r a lf r a m e w o r k sf o rt h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a lt r e a t m e n to fd a e sh a v e b e e nd e v e l o p e d ，s e e ，e g i s ，2 2 ，2 4 ，2 5 ，3 6 r e p r e s e n t i n ga n o t h e ra p p l i c a t i o n ，t h e d e s i g na n da n a l y s i so fc o n t r o ls y s t e m sg i v e ni n 【1 5 ，9 2 】c a nb ee m b e d d e di nt h e f r a m e w o r ko fu n d e r d e t e r m i n e dd a e su s i n gab e h a v i o u r a la p p r o a c h 3 5 ，5 0 ，w h i c h p r o v i d e sat h e o r yt h a te x t e n d st h ec o n c e p t sa n dm e t h o d so fg e n e r a l i z e ds o l u t i o n a n dl e a s ts q u a r e ss o l u t i o no fl i n e a re q u a t i o n si nr nt ol i n e a rd a e so na b s t r a c t f u n c t i o n a ls p a c e s t h i si sw h a tw ew a n tt os t u d yi nt h et h e s i s c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 2d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i co p e r a t o r s 1 2 1o r i g i n i nt e c h n i c a ls i m u l a t i o no ft i m ed e p e n d e n tp r o c e s s e sm o s to ft o d a y si n d u s t r i a l s o f t w a r ei sb a s e do nan e t w o r ka p p r o a c h 【2 9 o n l yt o p o l o g y , a n dn os p a t i a ld i m e n s i o ni sc o n s i d e r e d h o w e v e r ，i fc o u p l i n ga n ds e c o n do r d e re f f e c t sb e c o m em o r e i m p o r t a n to rd i s t r i b u t e de l e m e n t sh a v et ob ec o n s i d e r e d ，t h en e t w o r ka p p r o a c h h a st ob ec o m b i n e dw i t hc o r r e s p o n d i n gm o d e l st oc o p ew i t ht h es p a t i a le x t e n s i o n i ns e v e r a la p p l i c a t i o n s 【7 5 ，s t ，o n eh a st od e a lw i t hm i x e ds y s t e m so fd i f f e r e n t i a l a l g e b r a i cs y s t e m s ( d a e s ) i nt i m eo n l ya n dh y p e r b o l i cs y s t e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb o t hi nt i m ea n ds p a c e 2 3 ，7 5 t h e s es y s t e m sa r ec o u p l e db ya p p r o p r i a t e p h y 7 s i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，c o n n e c t i n gt h en e t w o r kv a r i a b l e sa tt h eb o u n d a r i e s w i t ht h ei n n e rv a r i a b l e s f o rp u r ed a e s y s t e m s ，t h ei n d e xc o n c e p th a st u r n e d o u tt og i v ead e e pi n s i g h ti n t ot h es o l u t i o np r o p e r t i e s ，a sw e l la si nt h en u m e r i c a l p r o b l e m st ob ee x p e c t e dw h e ns o l v i n gt h e s es y s t e m s g e n e r a l i z a t i o no ft h ei n d e x c o n c e p tt ol i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l m g e b r a i cs y s t e m sh a sr e c e n t l yb e e np r o p o s e d i n 【11 】w i t ham a i nf o c u so np a r a b o l i cs y s t e m s s o m eo ft h e s ec o n c e p t sw e r et r a n s f e r r e da n de x t e n d e dt oh y p e r b o l i cs y s t e m si n 【2 3 ，4 7 at i m ea n ds p a c ei n d e xw a s d e f i n e da n dc o m p a r e dw i t ht h ei n d i c e so ft h es e m i d i s c r e t i z e ds y s t e m a sh a sb e e nm e n t i o n e di n 【9 】，p a r t i a l ( p a r a b o l i c ) d a e s ( p d a e s ) a n d ( p a r t i a l i n t e g r a l ) d a e so fv o l t e r r a ( o rf r e d h o l m ) t y p ec a nb er e f o r m u l a t e da sa b s t r a c t d a e s ( a d a e s ) i na ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c es e t t i n g t h i sn o to n l y p e r m i t st h ee x t e n s i o no ft h en o t i o n so f ( t r a c t a b i l i t y ) i n d e xa n dp r o p e r l ys t a t e d l e a d i n gt e r m st oam u c hw i d e rc l a s so fd i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i cp r o b l e m sb u ta l s o a p p e a r st of u r n i s ht h et o o l sf o rt h ea n a l y s i so fc o l l o c a t i o nm e t h o d sf o ro r d i n a r yo r p a r t i a ld a e so fh i g h e ri n d e x e x a m p l e1 2 1d e e 肛j ，彳6 c o n s i d e rs u p e r c o n d u c t i n gc o i l o l c 一万 0 量 diu t t - - u x x - 一- i 2 01 l lu ：0 1 0 0j ( 1 1 ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n w i t hz ( 0 ，f ) ，t 0 ，w h e r eu 1 ( t ，z ) d e n o t e st h ev o l t a g ea n du 2 ( t ，z ) d e n o t e st h e d i v e r g e n c eo ft h ee l e c t r i cf i e l ds t r e n g t hw i t h i nt h ec o i l 1i st h el e n g t ho ft h ew h o l e w i n d i n g l ，ca n dda r ef u r t h e rc o i lp a r a m e t e r s t r a n s f o r m a t i o nt oap a r t i a l d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i cs y s t e mo ff i r s to r d e ri nty i e l d s 0 0 o0 0 0 l c 一万 o 010 0 量 d 0 0 u t 0 0 ol0 0 0 o 0 o o 0 0 0 a si n i t i a lc o n d i t i o n sw ec h o o s e 乱l ( o ，z ) ：( ，了e l a n da u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s cd e t 6 u 。茹+ 0l00 o 000 0 010 0 001 ) z + 百c d e 一以吣) = 。 u l ( t ，0 ) = u 2 ( t ，0 ) = 0 ，u l ( t ，1 ) = e ，乱2 ( ，2 ) = c d e ， u = 0 ( 1 2 ) w h e r eei st h ee n e r g i z i n gs o u r c ev o l t a g ea tt h ei n p u to ft h ec o i l a st h eb o u n d a r y v a l u e so fu la n du 2a r ec o n s t a n t ，w eg e tf r o mt h et h i r da n df o u r t he q u a t i o no f ( 1 2 ) t h a tu 3a n di t 4f u l f i l lh o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s f r o mt h ei n i t i a lc o n d i t i o n o f 铆a n dt h ef i r s te q u a t i o nw ed e r i v eu 2 ( o ，z ) = 学z w i t hu 3 ( 0 ，z ) = 0a n d t h et h i r de q u a t i o ni tf o l l o w su l t ( 0 ，z ) = 0a n dt h e r e f o r eu l z 疵( o ，z ) = 0 w i t ht h e f i r s te q u a t i o nt h i si m p l i e su 2 t ( 0 ，z ) = 0 ，a n dw i t ht h ef o u r t he q u a t i o nw eg e tf i n a l l y 钆4 ( o ，z ) = 0 h e r ew e h a v ec h o s e nt h ep r e s c r i b e di n i t i a la n db o u n d a r yv a l u e ss u c h t h a ta l li n i t i a la n db o u n d a r yv a l u e sa r ec o m p a t i b l e f o rf u r t h e re x a m p l e sc o n s i d e r i n gt h ed e t e r m i n a t i o no ft h ei n i t i a la n db o u n d a r y v a l u e sw h i c hc a n n o tb ep r e s c r i b e d ，s e el u c h te ta 1 【s 1 t h i si so ft h ef o r m a u t ( t ，z ) 十b u z 善( ，z ) + 7 u z ( t ，z ) + c u ( t ，z ) = f ( t ，。) w i t has i n g u l a r 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h es c o p eo ft h i st h e s i s ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht i m ev a r y i n gl i n e a rd a e so f t h ef o r m a ( t ) x 讯) + b ( t ) x ( t ) = 厂( t ) ；t 【0 ，卅，( 1 3 ) w h e r e 么a n d 召a r em a t r i xf u n c t i o n so rl i n e a ro p e r a t o r s t h i sd e f i n i t i o ni n c l u d e s l i n e a ro d e so rp d e s ( f o rs q u a r ea n dp o i n t w i s en o n s i n g u l a ra ) 8 sw e l la sp u r e l y a l g e b r a i cs y s t e m s ( f o r a 三o ) i faa n db a r el i n e a ro p e r a t o r si na b s t r a c tf u n c t i o n a l s p a c e ，( 1 3 ) b ea l s oc a l l e df u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( f d a e s ) o r a b s t r a c td i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n s ( a d a e s ) ，s e e ，e g 49 】 1 2 2d i f f e r e n t i a l - a l g e b r a i ce q u a t i o n si ne u c l i d e a ns p a c e c o n s i d e ra ni m p l i c i ta u t o n o m o u so d e ， f ( x ，圣) = 0 ， ( 1 4 ) w h e r ef ：= f ( x ，p ) ：r 似no 肽ni sas u f f i c i e n t l ys m o o t hf u n c t i o n i ft h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a ld p f ( x ，p ) i si n v e r t i b l ea te v e r yp o i n t ( x 0 ，p 0 ) ，o n ec a ne a s i l yp r o v et h a t t h ei m p l i c i to d ei sl o c a l l yr e d u c i b l et oa ne x p l i c i to d e i fd p f ( x o ，p o ) i sn o t i n v e r t i b l e ，t w oc a s e sa r ep o s s i b l e ：e i t h e rt h et o t a ld e r i v a t i v ed f ( z o ，p o ) i so n t or n o ri ti sn o t i nt h ef i r s tc a s e ，a n da s s u m i n gt h a tt h er a n ko fd p f ( x ，p ) i sc o n s t a n ti n an e i g h b o u r h o o do f ( x o ，p 0 ) ，( 1 4 ) i sc a l l e dad i f f e r e n t i a l a l g e b r a i ce q u a t i o n ，w h i l ei n t h er e m a i n i n gc a s e so n es p e a k so fa no d ew i t has i n g u l a r i t ya t ( x 0 ，p 0 ) ( c f 6 1 ，7 1 】) al i n e a rd a e si sas y s t e mo ft h ef o r m a ( t ) 2 + b ( t ) x = ，( 亡) ，t 0 ，( 1 5 ) w h e r ea ( ) ，b ( t ) r n na n df ( t ) r n t h em a t r i xf u n c t i o na ( t ) i sa s s u m e dt o h a v eac o n s t a n t ( n o n f u l l ) r a n kf o ra n yti nt h ei n t e r v a lo fi n t e r e s t c l e a r l y , i fa ( t ) h a sf u l lr a n kf o ra l lti na ni n t e r v a l ，t h e nt h ed a er e d u c e sl o c a l l yt oa no d e i n t h es i m p l e s tc a s e ，w h e naa n dbd on o td e p e n do nt ，w eh a v eal i n e a rd a ew i t h c o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ，a n da ne x t e n s i v es t u d yo ft h e s ep r o b l e m sh a sb e e nd e v e l o p e d s i n c ew ew a n tt oa l l o ws o l u t i o n so fd a ei nt h ed i s t r i b u t i o n a ls e n s e ，l e tu sp r e c i s e t h ed e f i n jt i o no fas o l u t i o n 4 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n l e t b et h es p a c eo fd i s t r i b u t i o n s ( g e n e r a l i z e df u n c t i o n s ) o i ls o m eo p e ns e t ucr ，t h a ti s ，t h ed u a lo ft h es p a c e 刃= c 笋( u ) o fs m o o t hf u n c t i o n sw i t hc o m p a c t s u p p o r td e f i n e do n a nn d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o ni sa n e l e m e n to f ( d 垆，a n d ，f o r z ：( z l ，z n ) ( d ，) na n d 妒口，w ed e n o t eb y ( z ，) = ( ( z 1 ，) ，( z n ，妒) ) t t h ea c t i o no fzo n 西w ew i l la l w a y sa s s u m e ，w i t h o u tl o s s o fg e n e r a l i t y , u = ( 0 ，+ o 。) d e f i n i t i o n1 2 2l e t ，b ea nn d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o no nu ，a n da ，bt w o 扎n c o n s t a n tm a t r i c e s as o l u t i o nt ot h el i n e a rd a ew i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s a 壹+ b x = f ( 1 6 ) i sa n7 卜d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o nzo nus u c ht h a t ，f o re v e r yt e s tf u n c t i o n 口， t h ef o l l o w i n ge q u a l i t yh o l d s ： a ( 圣，西) + j e 7 ( z ，驴) = ( ，) t h et h e o r yo fl i n e a rd a es t a r t sw i t ht h ed e f i n i t i o no far e g u l a rm a t r i xp e n c i l d e f i n i t i o n1 2 3g i v e nt w om a t r i c e sa ，b r 似n ，t h em a t r i xp e n c i l ( a ，b ) i s t h ef u n c t i o n 入卜入a + b ，f o r 入匙i ti sc a l l e dar e g u l a rm a t r i xp e n c i li f d e t ( ) _ a + b ) 0f o rs o m ea i ft h em a t r i c e saa n dbi ne q u a t i o n ( 1 6 ) f o r mar e g u l a rm a t r i xp e n c i l ，t h e r e e x i s t sas o l u t i o nf o rd a e ( 1 6 ) t h i si sac o n s e q u e n c eo ft h ef o l l o w i n gc l a s s i c a l r e s u i td u et ow e i e r s t r a s sa n dk r o n e c k e r ，w h i c hs t a t e st h a taa n db c a nb es i m u l - t a n e o u s l yt r a n s f o r m e di n t oac o n v e n i e n tc a n o n i c a l ，d 肌( s e ee g g r i e p e n t r o ga n d m 轴z 【2 2 f o rt h ep r o o f ) l e m m a1 2 4g i v e nar e g u l a rm a t r i xp e n c i l ( a ，b ) ，t h e r ee x i s tn o n s i n g u l a r n 佗 m a t r i c e spa n dqa n di n t e g e r s0 d ，q n ，w i t hd + q = 仃，s u c ht h a t p a q 2 【：0 ) n 礼d p b q = ( ： 5 、lllij， 0 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n w h e r ei d li qa r ei d e n t i t i e so fd i m e n s i o n sda n d q ，n = b l o c k d i a g ( n 1 ，n 0 w i t h mt h e 吼吼m a t r i x m = 0100 0010 0 0 a n dji si nj o r d a nc a n o n i c a lf o r t n t h e o r e m1 2 5i f ( a 。b 、i sar e g u l a r p e n c i l , t h e n i sas o l u t i o nt ot h ed a e ( 1 6 ) 矿a n do n l yi fy = q _ 1 zi sas o l u t i o nt o p a q y + p b q y = p f w h e r epa n dqa r et h em a t r i c e sg i v e ni nl e m m a f ，2 彳 ( 1 7 ) p r o o f t h er e s u l ti so b v i o u s ，s i n c e ( 1 7 ) c a nb eo b t a i n e df r o m ( 1 6 ) b ym u l t i p l y i n g f r o mt h el e f tb yt h ei n v e r t i b l em a t r i x 尸口 s y s t e m ( 1 7 ) i ss a i dt ob ei nk r o n e c k e rc a n o n i c a l 乃册( k c f ) a n ds p l i t si n t o t w op a r t s t h ef i r s to n ei sal i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e mo fd i m e n s i o nd ，a n dt h e s e c o n do n ei sa n “a l g e b r a i cs y s t e m ”o fd i m e n s i o nq l e ty = ( 让1 j 一，7 2 d ，v l ，v q ) ta n dp f = ( b l ，b d ，c l ，c q ) t ，w ec a n w r i t et h et w os y s t e m sa sf o l l o w s ： e + je ) = e ) ， 6 ( 1 8 ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n ( 三 + e = e ) ( 1 9 ) w er e f e rt o 乱= ( u 1 ，一，u d ) ta st h ed i f f e r e n t i a lv a r i a b l e sa n dt o = ( 钉l i 一，c 口) 。 a st h ea l g e b r a i cv a r i a b l e s t h ed i f f e r e n t i a ls y s t e mh a sau n i q u es o l u t i o no n c ea ni n i t i a lc o n d i t i o n ，i e ，t h e v a l u eo ft h es o l u t i o na ts o m es u i t a b l et e s tf u n c t i o n 曲oi sg i v e n t h ef u n c t i o nm u s t h a v ean o n v a n i s h i n gi n t e g r a l i tc a nb ea s s u m e d ，w i t h o u ta n yl o s so fg e n e r a l i t y , t h a t 伊o = 1 o nt h eo t h e rh a n d ，s y s t e m ( 1 9 ) c o n s i s t so fan u m b e ro fd e c o u p l e db l o c k s ，w h i c h a r ee a s i l ya n du n i q u e l ys o l v e db yb a c k w a r ds u b s t i t u t i o n ，w i t h o u tt h en e e do fa n y a d d i t i o n a lc o n d i t i o n f o ri n s t a n c e ，f o rt h ef i r s tb l o c k ， ，( 二 + ( 三 = ( 三 ， ar e c u r s i v ec a l c u l a t i o ng i v e st h ef o l l o w i n gd i s t r i b u t i o n a ls o l u t i o n ： ( 吻，) = q l ( ，扣) ，歹= 1 ) 9 1 ，口 k = j w ec a nt h u ss t a t et h ef o l l o w i n gt h e o r e ma n dc o r o l l a r y ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) t h e o r e m1 2 6 1 6 8 ja s s u m ei 、a b 、)