（光学专业论文）利用四波混频产生连续变量纠缠.pdf

摘要 量子纠缠是量子信息操控、存储和传递的基本资源。纠缠反应的是一个多体 量子系统中各子系统间所存在的非局域的量子关联，它是量子力学有别于经典力 学的基本概念。近年来有关连续变量纠缠态的制备及其在量子信息处理中的应用 引起了人们广泛的关注。由于量子态与周围环境的相互作用而导致退相干的影 响，使得所制备的纠缠态难以保存。因此，基于现有的实验条件和技术，如何制 备抗抗干扰能力强、稳定的纠缠源成为人们感兴趣的研究课题之一。 本文首先研究了在强经典场驱动的二能级原子系统中，稳态连续变量纠缠可 以通过四波混频过程获得。该方案采用了缀饰原子、压缩变换模的简便方法来讨 论了双模腔场的纠缠特性。研究表明，每次仅有一个压缩变换模与缀饰原子发生 共振相互作用。通过原子吸收压缩变换模式的光子这样的过程来获得腔模场的稳 态纠缠，其纠缠度强烈地依赖于经典场的参量。该方案既不需要制备原子的初 态，也不需要原子探测和速度选择。接下来，我们讨论了与双色场驱动的v 型三能 级原子系统作用的高品质光腔纠缠特性。在三能级方案中，两个不同的通道被建 立，通过它们两个压缩变换模同时共振作用于缀饰原子。两腔模之间的纠缠大大 的增强，可以得到近似于e i l l s t e i n - p o d o l s k y - r d s e n 纠缠态。三能级方案不需要初始 原子态的制备，更不需要两步操作。而在二能级方案中采用的是单通道机制，每 次仅一个变换模式作用于原子。为了获得e i n s t e i n p o d o l s k y - r d s e n 纠缠，必须执行 两步过程。 关键词：四波混频，缀饰态，双模压缩变换，连续变量纠缠， 硕士学位论文 m 人s t e r st h e s i s a b s tr a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n ti saf u n d a m e n t a lr e s o u r c ef o rt h em 疵p u l a l ：i o n ，s t o r a g e a n dt r a n s f 打o fq u a n t u mi n f o r m a t i o n e n t a n g l e m e n ta u sn o n l o c a l i z a t i o nq u a n t u m c o r r e l a t i o n sa m o n gs u b s y s t e m so fm u l t i q u a n t u m s y s t e m 8 选ak e ye l e m e n tb e y o n d t h ec l a s s i c a lm e c h a n i c s i nr e c e i l ty e a r s ，t h ep r e p a r a t i o no fc o n t i n u o u s 谢a b l ee n t a n 一 醇e m e n th a sa t t r a c t e da l o to fa t t e n t i o ni nq u a n t u mo p t i c sa n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n p r o c e s s a n ya t t e m p tt oe x p l o i tt h ee n t a n g l e m e n th a v et o ，h o w e v e r ，f a c et h ec o r r u p - t i o no ft h ee n t a n g l e m e n tb yu n a v o i d a b l ed e c o h e r e n c e a sar e s u l t ，h o wt op r o d u c e t h er o b u s t ，s t e a d ya n dh i 曲e n t a n g l e m e n ti sa ni n t e r e s t i n gr e s e a r c hi s s u e w bf i r s ts t u d yt h a tt h es t e a d yc o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e m e n ti 8o b t a l i n e d v i af o u r - w a em i ) 【i n gi nt h ed r i v e nt w 0 - l e v e la t o m i cs y t e m o u rs c h e m ea p p l i e st h e m e t h o df o rt h ec o m b i n a t i o no ft h es q u e e z et r a n s f o r m e dm o d e s r i t ht h ed r e s s e da t o m s a n dd i s c u s s e st h ee n t a n g l e m e n tf e a t u r e so ft h e 如m m o d ec a 们t y 丘e l d s i ti sf o u n d t h a to n l yo n e8 q u e e z et r a i l s f o r m e dm o d ei n t e r a u c t sr e s o n a n t l yw it ht h ed r e s s e da t o m s a tat i m e t h es t e a d yc o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n 百e m e n tc a nb ei m p l e m e n t e dv i at h e d i s s i p a t i o np r o c e 鼹，w h e r et h ea t o m sa l w a y sa b s o r bi na 、r e r a g ee x d t a t i o n s o mt h e t r a n s f o r m e dm o d ea n dt h ed e g r e eo fe n t a n 舀e m e n td e p e n d so nt h ep a r 锄e t e r so ft h e c l 嬲s i c a l6 e l d t h ep r e n ts c h e m ed o e sn o tr e q u i r e 8t h ep r e p a r a t i o no ft h ei n i t i a l s t a t 陷o ft h ei n c o m i n ga t o m s ，n o ra t o m i cd e t e c t i o na n dv e l o c i t ys e l e c t i o n s e c o n d l y w ed i s c u s st h ee n t a n 酉e m e n tf b a t u r e so ft h eh i g h qo p t i c a l lc 撕t y i nw h i c ha ne n s e n 卜 b l eo fn v - 帅et h r e e 1 e v e la t o m si n t e r a c t 祈t ht w 0s t r o n gp u m p6 e l d s i nt h r e e - l e v e l s c h e m e ，t w 0d i 仃e r e n tc h a n n e l sa r ei d e n t m e d ，t h r o u t hw h i c ht w os q u e e z et r a n s f o r m e d m o d e ss i m l l l t a n e o u s l yi n t e r a u c tr e s o n a n t l y 丽t ht h ed r e 8 s e da t o m s t h ee n t a i l g l e m e n t b e t w e e n 七w oc 撕t ym o d 鹤i se n h a n c e da n dt h ec l o s ee i i l s t e i n p o d o l s k y - r d s e ne n - t a n 酉e ds t a t ei sa c h i e v e d t h es c h e m ed o e sn o tr e q u i r et h ep r e p a r a t i o no ft h ei n i t i a l a t o m i c8 t a t en o rt h et w 0 - s t e pp r o c e d u r e i ns h a r pc o n t r 罄t ，o n e - c h a i l n e li sp r e s e n t i nt h et w ol e v e ls c h e m e ，t h r o u g hw h i c ho n l y0 n es q u e e z et r a n s f o r m e dm o d ei n t e r a c t 硝t ht h ed r e s s e da t o m s t 0o b t a i nt h ee i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e ne n t a i l g l e m e n t ，t w 0 s t e p sa r ei m p l e m e n t e d k e yw 6 r d s ：f o u r w a v em i ) ( i n g ，d r e s s e ds t a t e ，t w o - m o d es q u e e z i n gt r a n s f o r m a - t i o n ，c o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e m e n t 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：钟碱 1 日期：汐驴年月y 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：栌 移 日期：甜年。( 月2 日言篓豫年巍刁尊啁日期：裾年舌乌ut 占一7 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园童途塞握童卮澄卮! 旦主生；旦二生；旦三生筮查! 嚣掣麓日 导师始。砌习秒白印三 日期：酬年舌肓l 日7 v 第一章引言 量子力学理论的丰富与发展导致了热门学种量子信息论的诞生、形成和发 展。量子信息论将以往的经典信息扩展为量子信息，直接利用微观体系的量子状 态来表达量予信息，它主要包括量子信息 1 ，2 】、量子通讯 3 5 】两个领域。而量 子纠缠是量子信息的核心内容，几乎所有的量子信息处理过程 6 1 6 】都与其有 关。但由于环境诱导的退相干的影响，往往使得所产生的纠缠很容易被破坏而不 易存储，因此，如何制备抗环境干扰能力强、稳定的纠缠光源成为了人们感兴 趣的研究问题之一。最近，连续变量纠缠由于其在量子信息过程中的潜在应用 而引起了大家极大的关注 1 7 】，光学非简并参数下转换过程已被证明是制备连续 变量纠缠的一个有效途径 1 8 ，1 9 1 。腔q e d 中非简并的参数下转换的哈密顿量在文 献【2 0 】和 2 1 】中有过介绍，前者是一个受驱动的二能级原子系统，后者是在一个双 模腔内的三能级a 型的原子系综组成的系统。在文献 2 2 】中段路明等人给出了连续 变量纠缠的判据。近来，基于非简并的四波混频过程【2 3 ，2 4 】，人们设计了很多的 方案来制备电磁场的双模压缩纠缠【2 5 3 0 】。文献 2 6 】中介绍的是在一个二能级系 统，基于四波混频过程通过回射的泵浦光束产生的高度非经典的光源；文献【2 7 1 中 介绍的是利用一个辅助的弱激光驱动的原子跃迁来提高双模连续变量的纠缠。 最近，p i l e a w a 等人设计了一个方案，基于四波混频过程产生双模的连续变量纠 缠【3 0 】，在这个方案里，原子束是作为量子库来处理的。 本文研究了腔中缀饰原子束与双模场共振相互作用，基于四波混频双模场产 生连续变量纠缠。具体内容组织如下：第一章作为基础部分，介绍光与物质相互 作用的一般理论及连续变量纠缠的概念和判据。 第二章中具体讨论了双模场与腔中缀饰二能级原子束共振作用下产生连续变 量纠缠，这个过程是基于四波混频基础上的。其中我们引入了双模压缩算符，对 双模场实施了双模压缩变换。 第三章研究了双模场与腔中y 型缀饰三能级原子束共振作用下产生连续变量纠 缠。其纠缠度只依赖于驱动场的频率和强度，与系统的初态无关：数值结果显示 1 可以通过调节驱动场与原子失谐和强度的比率来提高纠缠度。 第四章是总结和展望。 1 1光与物质的相互作用 研究光与物质( 原子、分子等) 相互作用的规律及其效应是量子光学的基本 内容。在光场( 单模或多模) 与原子( 单原子或多原子) 的相互作用系统中， 辐射场和原子都将具有量子特性，而这些特性在经典物理范畴内是不能揭示出 来的。就光场来说，可以实现光场的反聚束效应【3 1 】、共振荧光f 3 2 3 4 】、光学 双稳态 3 5 】等：就原子系统来说，可以导致如相干布居捕获【3 6 ，3 7 】电磁诱导透 明f 3 8 4 0 】，无反转激光【4 1 4 3 】等效应。光和物质相互作用形成一个紧密耦合的 单元，并且通常用微扰方法导出的图像不再成立。在这种情况下，允许把一个真 实的物质系统简化为一个只有几个与共振激发有关的能级所组成的等效系统。对 原子来说常常就是这种情况，因为在原子中，近邻的那些能级分开得足够远，以 致确实能略去非共振跃迁。就这一点来说，如果在共振激发和探测中，只涉及两 个或三个能级，那么处理的是一个等效的二能级或三能级系统，当然对于多能级 系统也是适用的。这里只讨论最简单的二能级系统，即j c 模型，它是由j a y n e s 和c 眦m i n g s 在讨论微波激射器时提出的，由单个二能级原子( 或分子) 与一单模 量子化的光场组成的相互作用系统的理想模型。 考虑如图1 1 所示的系统，单个二能级原子与单模光场相互作用。原子的跃 迁频率为u o 。口( g t ) 是频率为u 的单模场的湮灭( 产生) 算符。r 是原子从激发 态1 2 ) 到基态1 1 ) 的衰减速率。 在偶极近似和旋波近似下，系统的哈密顿量为 h = h q + v 。 h o = q s z + 心口 y = 9 ( 吮1 + n + 盯1 2 ) 2 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ； ；r 1r 1 图1 1 ：二能级原子与单模光场相互作用。 式中= 学，= i i ) i ( i ，歹= 1 ，2 ) ，在t = j 时表示原子布居算符，在z 歹时表示原子跃迁算符，夕为原子一光场耦合常数，它反应原子与光场相互作用的强 度。为简便起见，这里取自然单位壳= 1 。 当原子和光场之间没有耦合时，系统有完备的基矢集，它是辐射场的粒子数 态矢集 l n ) 】和原子能量本征态矢引+ ) ，i 一) ) ( 或 1 2 ) ，1 1 ) ) 的直积，利用此完备基矢 集可以把原子一光场耦合系统的任意态矢展开，可以看到 日oi 士，n ) = ( 蛐兄+ u d t 口) i 士，礼) = ( u n 士警) i 士，n ) ( 1 4 ) 式中i 士，n ) 描述辐射场具有n 个光子而且原子处在本征能态f 土) 。显然，对应于 本征态矢i 士，n ) ，日。有本征龇n 士警。因此，日。在此表象中是对角化的。而且 当u o = u 时，凰的能级图如图1 2 所示，除基态l - ，n ) 是单层以外，其他能级均为 双层简并。但是，当= u 一蛐o 时，如图1 3 所示，基态i 一，n ) 仍为单层， 其它各能级则为相距的双层能级，此时简并被解除。然而，由上式可以看 出；i 士，n ) 不是相互作用哈密顿量y 的本征态。但因为日。和y 对易，可以通过选 择日。的本征态矢的线性组合而找到两者都对角化的表象。 这里先把日在基矢集 l 士，7 1 ) ) 构成的表象中的矩阵表示出来，然后再对其对角 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s + 目+ o - ， + + ，一) 一一+ 0 + 一n 一，一) 一o ) 图1 2 ：共振情况下凰的本征能谱。 化。由矩阵元( 士，n 1 日i 士，他) ( n ，n 7 = o ，1 ，2 ) 可知，在每一个矩阵元不为零的子 空间 i - ，n + 1 ) ，i + ，几) ) 中，日的矩阵表示为 日= 篇 9 丽 u ( 仡+ 1 ) 一警 其本征矢可由f - ，死+ 1 ) 和i + ，死) 线性叠加为 + 1 ) = s i n + l 一，几+ 1 ) + c o s + lj + ，n ) 其归一化条件是以+ 1 满足 由本征值方程 可得 其解为 s i n 2 + l + c o s 2 以+ l21 日i 让n + 1 ) = e + 1i u n + 1 ) 佗+ 警一晶+ 1 夕丽 9 而 u ( n + 1 ) 一警一晶+ l = u ( 几十丢) 士n + t 4 = 0 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 其中 + n + n 一， + 2 ) 图1 3 ：非共振情况下日0 的本征能谱。 z l n + 13 与能量本征值琉。相应的本征态为 这里既+ l 满足 ( 1 1 1 ) u 矗1 ) = c o s + 1i + ，n ) s i n + 1i 一，n + 1 )( 1 1 2 ) 。型铲+ n + l 胁产专赢孚 ( 1 1 3 ) 对于基态，日的本征能量为岛= 一警，与之相应的本征态矢为i u o ) = i 一，0 ) 。 这样就完全确定了哈密顿量日的本征能量和本征态矢，从而实现了将日对角化。 显然，在共振情况= ) 下，系统的能量如图1 4 所示。从图1 4 中可以看出，原 来凰中能量的简并因原子光场的相互作用被解除。我们把此时裸原子加相互作用 构成的原子系统称为“修饰原子”，以区别未加相互作用场以前的原子。修饰原 子的本征值由岛和晶+ 1 表示，本征态由i + 1 ) 表示。由( 1 1 1 ) 式可知，激发态 中被拉开的能级间距n + 1 与原子光场的耦合常数夕有关，而且随着光子数n 的增加 而增加。 5 o ，+ ) ，1 1 ，一) i - 2 占丹 j ， 1 - f 巩 矿 图1 4 ：共振情况下，n 很大时z 而+ y 的本征能谱。 1 2四波混频 四波混频是指有四个相互作用的电磁场参与的非线性过程。在弱相互作用 情况下，这是一个三级过程，因而是由三阶非线性极化率所决定的。与二级过 程不同，不管介质是否具有反演对称性，三级过程在所有介质中都是允许的。 然而，三级过程一般要比允许的二级过程弱得多，这是因为它们的极化率相差 很悬殊，即i p ( 3 ) i i p ( 2 ) i 。但正如由m a k e r 和t e r h u n e 4 4 】首先证实的那样，当用 高强度激光时，三级过程仍旧是很容易被观测到的。如果l p ( 3 ) i 显示共振增强的 话，就更是如此。当用一个以上的可调谐激光辐射作为泵浦光源时，甚至可激 发ip ( 3 ) l 的多重共振。由于四波混频在所有介质中都很容易被观测到，而且变换 形式很多，所以四波混频已得到很多有意义的应用。用它来把可调谐相干光源的 频率范围扩展到红外和紫外 4 5 】。在简并的情况下( 即四个波都有相同的频率) ，四 波混频对于自适应光学中的波前再现是很有用的【4 6 】。另外，在材料研究中共振 四波混频技术是强有力的光谱和分析工具。下面我们简单的介绍一下二能级系 统四波混频过程 4 7 4 9 1 。在这里我们给出对三阶极化率p ( 3 ) 起作用的两种四波 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 混频过程。在泵浦光源大失谐的情况下，p ( 3 ) 正比于壶；但是，如果是在产生 光子对的情形下，三阶极化率正比于壶。这是因为三个共振相互作用之间的干 涉导致了两光子对间关联的阻尼拉比振荡。考虑一个常见的四波混频的实验， 如图( 5 ) 所示一泵浦激光穿过二能级原子系综且被一腔镜反射( 图a ) ，泵浦场的频 ( a ) ( 1 ) ( i d 图1 5 ：二能级系统四波混频过程。 率= u o + ，其中u o 是原子的跃迁频率，是场与原子的失谐。施加一个频率 为3 = 吻+ 6 的场来产生一个与它反向的相位匹配场魄= 姊一6 ( 图b ) ，这里有 两种四波混频过程对产生的场起作用。为了获得约化的三阶非线性极化率，我们 可以从原子的波函数出发i 矽；亡) = ( 亡) i 夕) + f z e ( 亡) e 一蛳。j e ) ，原子和场的相互作用 能为y ( t ) = 危( 1 e 唧+ 2 e 嘶+ q 3 e 蜘) i 夕) ( e i + c c 。几率幅可以用微扰展开 为口g ( 亡) = 1 + n 铲( t ) + 和o 。( t ) = 0 9 ( 亡) + a 铲( t ) + 。其中。箩( ) 和口g ( 亡) 分 别描述第i 阶的振幅。1 和2 分别是泵浦场及其反射场的拉比频率，q p 3 是施加场 的拉比频率。则产生的频率为u 4 场的三阶极化率为 p ( 3 ) = 巧3 + 嘴= 2 p 。9k 字) + ( q ；2 q 3 q ；。) + 毋) ( 晖。) 毋( q ，2 q ；) ( 1 1 4 ) 式中表示原子的密度，p 。彦示偶极矩阵元。节和磺分别对应的是图5 ( b ) 两种 7 形式的四波混频过程。考虑偶极驰豫速率和基态退相位，根据含时微扰理论有 矽= 硒器罄髫筹高 ( 1 1 5 ) 1 ，一4 ( 一i ) ( 一6 一i ) ( 6 + i ) o l l 叫 聊= 一硒筹篱鬟筹南 可以看到碍3 在6 = o 和占= 处有两个共振项，磺在6 = o 和占= 一处有两共 振。上面两方程对总的非线性极化率p ( 3 ) 给出三共振结构，即 ( 1 1 7 ) 方程( 1 7 ) 是三阶非线性极化率在大失谐情况f 正比于击的标准形式。在通常的四 波混频实验中，输入三个经典场( 不需要时间顺序) ，图5 ( b ) 两种形式的四波混频过 程相加给出频率为咄的输出场的光谱，在三阶非线性极化率尸( 3 ) 中其中心频谱被抑 制。 1 3 1 量子纠缠 1 3连续变量纠缠及纠缠判据 纠缠是量子力学有别于经典力学的基本概念，反映一个多体量子系统中各子 系统所存在的非局域的量子关联。在量子力学建立之初，围绕量子力学完备性 与否人们开展了激烈的讨论。最著名的是爱因斯坦等人在1 9 3 5 年发表的“e p r 佯 谬”，其中就包含了纠缠的概念【5 0 ，5 1 】。1 9 6 4 年贝尔基于定域隐变量假设给出了 “b e l l 不等式 ，才将对量子力学的争论定量化。实验上，a s p e c t 等人利用光学手 段首次证实了“b e l l 不等式 的违背，从而有力的证明了量子力学的非局域性f 5 2 1 量子纠缠普遍存在于多体量子系统中，对其中的一个子系统进行测量就可以 了解另外一个子系统的状态，一个子系统的变化都会影响另一个子系统，即两个 子系统不论相距多远，它们是相互联系的。 下面以两体系统为例来说明它的定义。考虑两体系统a 和b ，对于纯态情 况，我们用i 妒a ) 和l 惦) 来分别表示两个子系统a 和b 的状态，如果复合系统的量子 8 盟譬! 沁 避叫群石 态l 以b ) 不能表述为两子系统量子态的直积，即 i 纵口) 纵) ol 矽口) ( 1 1 8 ) 则态l 帆口) 为a ，b 系统形成的纠缠态。相应的子系统a 和b 均不处于确定的量子 态，它们表现处相互之间的不可分离性，即使将它们空间分离，对一个子系统的 观测也必然会影响另一个子系统的测量结果。例如，常见的四个b e f 睡l 缠态 1 = 壶( 土1 1 1 ) ) ( 1 舶) 1 2 壶( l o ) 士1 0 1 ) ) ( 1 舶) 这里，”o ”和”1 ”分别代表二能态量子系统的两个量子态。以l 叽) 为例：当系 统a 和b 处于i 妒+ ) 这样一个纠缠态时，我们在某一时刻如果测出系统a 处于l o ) 态 上，那么此时刻系统b 无论与系统a 相距多远都必然处于状态1 1 ) 上；反之亦然。这 就是量子纠缠的关联非定域性。对于混态情况，用肌、船表示两个子系统的密度 矩阵，如果复合系统密度矩阵满足条件 肌b m 以圆以 ( 1 2 1 ) 七 其中，m = 1 ，那么纵日为纠缠态。以上纠缠的定义式1 1 4 和1 1 7 都可以推广到 多体复合系统或多自由度体系。 由于量子纠缠的复杂性，关于其本质的分析也比较复杂，文献( 5 3 】中对其本质 归结如下： ( 1 ) 从关联测量的实验观测角度来看，纠缠的本质是关联塌缩； ( 2 ) 从理论分析角度，纠缠等价于关联非定域性； ( 3 ) 从允许内部相对相位差角度，两体系统存在纠缠的充要条件是：两粒子 问不容许存在任意相对相位差而不改变系统的状态。 ( 4 ) 从量子信息论角度，纠缠的本质是量子关联中的信息。 1 3 2 连续变量的纠缠 量子信息是基于类似b e l 】态这样的分离变量( d i s c r e t ev a r i a b l e ) 纠缠基础上发 展起来的，但就纠缠本身的概念来讲，最早是用连续变量来反应的。连续变量纠 9 缠是一种与量子压缩相关的量子效应，因此又被称为压缩态纠缠，或e p r 纠缠。 为了说明，这里我们先回顾一下光场相干态和压缩态的性质。在经典电动力学 中，可以同时确定电磁场的相位和强度。在量子力学中，光子数n 对应电磁场的 强度，是粒子图像；而相位则是波动的概念，两者不能同时确定。用粒子数态i n ) 描述的单模光场，光子数是确定值，而相位则不确定。我们也可以采用另一种描 述光场的态函数，称之为相干态。用这种态函数描述光场可以构成一个波包，其 相位有近似的确定值，但光子数具有较大的不确定度 5 4 】。理论上相干态定义位 口l q ) = ql q )( 1 2 2 ) 由于。是非厄米算符，所以q 是复数，可以写为q = e 诏。相干态a 在粒子数 表象的形式为 一) 霎舶 2 3 ， 数学上还可以等价的把相干态表示为平移算符d ( q ) 作用于真空态 l q ) = d ( q ) i o ) = e x p ( 口口t q + o ) l o ) ( 1 2 4 ) 下面讨论一下相干态的性质。相干态不具备正交性，由式( 1 1 3 ) 可知 ( 卢i q ) = 唧目砰删) 薹薹篇矧m ， = 唧阳印制) 薹譬 = e x p ，c 一圭( i q l 2 + l p l 2 ) + 口卢+ ( 1 2 5 ) 当q = 厣时，( q i a ) = 1 ：但是，当q p 时，有i ( 口f q ) 1 2 = e x p 一f 口一声1 2 o 。 说明对于两个本征值不同的相干态并不具备正交性，而随着l q 一卢l 的增加而趋于 正交。由于相干态的本征值口是连续变化的复数，所以相干态具有连续谱，并满 足完备性关系 伸q ) ( q 胁= ， ( 1 2 6 ) 重新引入算符 x 2 壶( 。+ 。) ( 1 - 2 7 ) 1 n 将上式代入到单模电磁场 p 2 曩( 口_ 口t ) e ) = a ( 口e 一讪+ 口+ e “。) ( 1 。2 8 ) ( 1 2 9 ) 中，司以得到 e ( t ) 2 去c 。s ( u ) + p s i n ( u t ) 】 ( 1 3 0 ) 可见，厄米算符x 和p 是光场e ( t ) 的两个相位正交的振幅算符。并且与电 磁场的正则坐标仝和】多分别成正比。由对易关系( x ，p 】= i ，粒子的坐标和动量的 海森伯不确定关系为x p ；。其中，定义均方涨落 ( a ) 2 = ( a 2 ) 一( a ) 2 ( 4 = x ，p )( 1 3 1 ) 可以求出算符x 和p 在相干态l q ) 中的量子涨落为 舣= 击，p = 击 3 2 ， 所以x p = ；说明了相干态是光场振幅算符x 和p 的最小不确定态。 由于光场的两振幅算符的涨落与相干态的本征值无关，且真空态是相干态的特例 ( q = 0 ) ，因此，光场振幅的量子涨落实质足由真空涨落决定的，而在通过平移算 符d ( 0 f ) 将真空态变为相干态的过程中，光场振幅的量子涨落保持不变。 通过前面的讨论，知道相干态( 真空态) 是光场正交振幅算符的最小不确定 态。而光场的压缩态是指光场的某一正交振幅算符的涨落小于真空量子涨落。为 了具体说明，我们先看光场的单模压缩真空态 m 。= 账) | 0 ) ，眯) = e x p ( 一耖+ 等矿) ，= r 唧( 训 ( 1 3 3 ) 这里，算符n 为光场的湮灭算符。在此量子态中，光场的正交振幅算符的量子涨落 为 ( x ) 2 = 壶 e x p ( 2 r ) s i n 2 ( 善) + 唧( 砌) c o s 2 ( 詈) ( 1 3 4 ) ( p ) 2 = 丢 e x p ( 2 7 ) c 。s 2 ( 号) + e x p ( 一2 7 ) s i n 2 ( 詈) ( 1 3 5 ) 取妒= o ，此时有( x ) 2 = 掣 ，说明算符p 在压缩态中的量子涨落大于其在真空 态中的涨落。其原因是单模压缩真空态为最小测不准态，即 ( x ) 2 ( p ) 2 = 砉 ( 1 3 6 ) 当妒= 吾的时候，与上面情况相反，算符p 的量子涨落被压缩。当妒为其他一般 的值时，我们可以定义一般的光场的正交振幅算符 2 壶( 。e 一口“e 谛) ( 1 3 7 ) 局= 蜀+ ；= 曩( 。e 一口- 0 f 矿) 可以算出 ( 函) 2 = 妄 e x p ( 2 巾i n 2 ( 一詈) + e x p ( _ 2 r ) c o s 2 ( 一詈) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 钟= 圭 e x p ( 2 r ) c o s 2 ( 一詈) + e x p ( - 2 r ) s i n 2 ( 一善) ( 1 4 0 ) 当= 筹和= 詈+ 号时，光场的振幅算符硒和马的量子涨落分别得到压缩。 下面讨论光场的双模压缩真空态 妒) 。= s ) i o ，o ) ，s ) = e ) ( ( 一o 6 t + 口6 ) ，f = r e x p ( i 妒)( 1 4 1 ) 双模真空态可以在非简并的光学参量下转换中产生，在这个过程中，介质从外加 的驱动场中吸收一个高频率的光子，而同时发射低频的、具有高度关联的光子 对。由于两个光子间有高度的量子关联，所以它们间形成量子纠缠。利用微观粒 子坐标岔和动量算符痧的本征态l z ) 和i p ) 的完备性 c 融矧如= ， ( 1 4 2 ) ，i + l p ) 白i 咖= j ( 1 4 3 ) 一。o 可以求出光场的双模压缩真空态在坐标空间和动量空间中的波函数为 北邸2 ，= 霹唧卜7 掣p 掣 4 4 ， 小霹唧卜r 掣。r 掣 4 5 ， 这里取妒= o 。可以看到，当压缩参数r _ 。时，光场的双模压缩真空态在坐标 和动量空间中的波函数为6 函数，即 妒( z 1 ，z 2 ) o ( 6 ( z 1 一z 2 )( 1 4 6 ) 妒。函l ，耽) o ( j 函l + 纯)( 1 4 7 ) 上面的波函数即为爱因斯坦等人在文献中提出的“e p r 佯谬”时两粒子所处 的波函数。我们把此量子态称之为原始的e p r 纠缠态，记为i e p r ) ，它反应了两 粒子的动量或坐标间最大纠缠。i e p r ) 纠缠态是算符也= 圣1 一畲2 和o = 多1 + 如的 本征态 ( 金1 一圣2 ) l e p r ) = ol e p r = 0( 1 4 8 ) 侈1 + 庇) l e p r ) = oi e p r ) = o( 1 4 9 ) 下面我们从量子压缩的角度来讨论e p r 纠缠的性质。e p r 算符雹和o 在双 模压缩真空态中的量子涨落为 ( 砬) 2 = ( o ) 2 = e x p ( 一2 ，)( 1 5 0 ) 所以，当r + 时，两粒子的嫩标差与动量和算符的涨落为零。这表明了两粒子 间的坐标和动量间有高度的关联，通过测量知道一个粒子的坐标和动量，就可以 1 3 精确知道另外粒子的坐标和动量。当然，这样的原始的e p r 纠缠态是一个理想的 纠缠态，它要求粒子有无穷大的能量，在实际中不可能实现。所以双模压缩真空 态是原始的e p r 纠缠态在现实中的代表，它是连续变量量子信息处理的基本资 源。 1 3 3 连续纠缠变量的判据 数学上，对于n 体的量子体系，如果其密度算符可以表示为 p = a p ；。鹰。矿 ( 1 5 1 ) t 则表明此量子态为可分离的，即非纠缠态。否则，则为纠缠态【5 5 】。这里，密度算 符= l 躬) ( 醒l0 = 1 ，2 n ) 为子系统歹所处的纯态) 。如果系统处于纯态， 上式变为 l 西) = i 1 ) pl 扩) pi 妒)( 1 5 2 ) 这里考虑的是双模高斯态的纠缠判据。高斯态在连续变量的量子信息处理中 占据着很重要的地位。高斯态是指具有高斯形式的特征函数或准概率分布函数的 量子态。任意高斯态可以由场算符的一次项和二次项的期望值确定，特别是高斯 态的纠缠特性只与场算符的二次项的期望值有关，这使得理论上处理和研究高斯 态的纠缠特性变得相对简单。另一方面，从实验的角度来讲，高斯态很容易利用 线性光学元件如光学分束器、相移器以及产生压缩算符的元件来产生高斯光场。 对于双体情况( = 2 ) ，p e r e s 利用部分转置( p a r t i a l t r a n s p o s e ) 来判断双体 量子态是否可分离( 2 3 】。对于一个物理上允许的可分离的双体量子态，即 p 1 2 = 鼽砖。霹 ( 1 5 3 ) i 对其中任意一子体系作部分转置，如对体系1 作转置， 瓜。= 鼽( 虞) t 。群 i ( 1 5 4 ) e l j 于( j d ；) r = ( 虞) ，两体量子态反2 作部分转置后仍然为物理上允许的量子态，即 具有半正定性。所以，具有正定的部分转置( p o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s e - p p t ) 是双 1 4 硕士学位论文 m 人s t e r st l e s i s 体量子态可分离的必要条件。反过来，非正定的部分装置( n p t ) ，即双体量子态 的密度算符作部分转置后具有负的本征值，则为双体量子态不可分离( 纠缠) 的 充分条件。 这里给出的是段路明等人从量子压缩的角度提出的双模高斯态的不可分离的 判据 2 2 】。在前面讨论了原始的i e p r ) 纠缠态，是e p r 算符口和o 的本征态。对 于具有有限纠缠的双模压缩真空态，算符应和d 的量子涨落小于真空量子涨落。 对于一般的双模高斯态，其协方差矩阵的一般形式为 y = ( 三t 兰) c 1 5 5 ， 段路明等人证明了总是可以找到局域的b o g o l i u b o v 幺正变换( 局域操作不改变体 系的纠缠大小) ，将矩阵变换为标准形式 这里 f口l i o y 8 = l i q 、o o c 1 o l 口2 o c 2 i i o 6 l o l i c 2 o 6 2 o l 一1 0 2 1 一= 一 6 1 1 6 2 1 i c l i 一吲= 识i j 而f 可一祈i j 而；i 可 定义推广的e p r 算符 砬= 一晶丢恐 。= 口只一南三忍 1 5 ( 1 5 6 ) ( 1 5 7 ) ( 1 5 8 ) ( 1 5 9 ) ( 1 6 0 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中，0 2 = 再= 哥，双模高斯态为纠缠态的充分且必要条件为 ( 蚴2 + ( 删2 图2 1 ：受经典场驱动的二能级原子与双模场作用。 1 7 硕士拳位论文 m a s t e r st h e s i s 转变换和旋波近似下，系统的密度主方程为 其中， p = 一去 h ，纠+ c 。p + c 。p h = h a + v 日o = 忍c r 2 2 + 危罢( 北十) y = 筋l o 0 1 + 娩d 1 0 2 + ( 幻1 0 1 c r 2 l + ，| 9 2 0 2 c r 2 1 + 日c ) 原子和腔场的衰减分别为 c o p = 丢( 2 盯1 2 p d 2 l j d a r 2 1 盯1 2 一a 匕1 口1 2 p ) 锄= 爰( 2 p 弓一p 弓哟一弓p ) j = l 。2 由凰的本征值方程我们可以得原子的缀饰态 i ；) ：c1 1 ) 一s1 2 ) 主) = s1 1 ) + c1 2 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 再做一次作旋转变换雷= 岛。岛e 一豆o 。，其中鼠= 危d ( 口2 2 一仃1 1 ) 2 + 溉口i o l + 她吐勉。当6 l ，2 = 士d 时 膏= 危( g - c 2 口- 一9 2 s 2 。5 ) 彘- + 危0 ，c 2 口：一仍s 2 勉) 魂2 ( 2 9 ) 引入双模压缩算符s ( q ) = e ) 【p ( 吒。t n 2 一n ：以) ，对双模场实施双模压缩变 换吣= s t ( 唯) s ( 唯) 。则系统的哈密顿量可写为 雷= 危g ( 6 l 如1 + 6 子1 2 ) ，i f o 豆= 一危g ( 6 2 矛2 + 6 1 屯1 ) ，i f 0 的情况，绝热消去原子变量，从而得到双模腔场的约化密度主 方程 爰j i c = 罢( 2 6 i 尻6 一6 6 t 忽一尻6 。磷) + 詈( 2 6 t 尻6 一6 i 6 厦一忍6 i 6 - ) + c c 芦( 2 1 5 ) 其中a = 警，b = 警。这里的m 描述的是腔中的总原子数，可以从主方 程得到原子在缀饰表象中的稳态布居尬= 鑫和痧t - = 赤。 利用腔场主方程在正则排序中可以得到场算符的c 数变量的运动方程 良：尘罢坐卢1 + 日( 2 1 6 ) 皮= 芸尼+ 易 ( 2 1 7 ) 式中日和如是朗之万噪声算符。由耗散理论【5 6 ，5 7 】，我们可以获得c 数变量的非零 关联函数 ( 矸( z ) 日( ) ) = a 1 6 ( 一矿)( 2 1 8 ) 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 式中a l = 生产， 为 ( 露( 亡) 玛( 矿) ) = a 2 6 ( 孟一矿)( 2 ，1 9 ) ( r ( 亡) 最( ) ) = d 6 ( 舌一矿)( 2 2 0 ) a 2 = 等，d = ，c m 。相应的场的量子起伏的运动方程可以写 丢隅= 三叫卢，+ 只 ( 2 2 1 ) 爰6 尼= 丢a z 6 良+ f 2 ( 2 2 2 ) 则组合模6 l 和6 2 的量子起伏关联随时间演化的运动方程为 丢( 6 所占尻) = 丢( a 。+ a ；) ( 珊6 防) + 2 邛擒 ( 2 2 3 ) 袅( 6 鹾6 皮) = 主( a 2 + 必) ( 巧鹾6 仍) + 2 d 雕芦： ( 2 2 4 ) 爰( 占p 。6 尾) = 圭( a l + a 2 ) ( 6 岛6 屁) + 2 d 卢。卢。 ( 2 2 5 ) 丢( 6 所6