（运筹学与控制论专业论文）随机利率下的寿险精算理论与方法的研究.pdf

摘要 传统的精算理论，假定利率是确定的，目的是为了简化计算。但由于寿险是艮 萎h 性的经济行为，保陵期间，政府政策、经济周期等因素都会造成利率的不确定1 灶， 从而随机利率下的寿险精算理论与方法的研究成为近年来研究的重点与热点问题。 本文针对随机利率下的寿险精算问题，研究寿险精算中最重要的保睑费的计算和准 备金计提等问题。取得的主要结果u j 概括如r ： 在第1 章和第2 章，简干地介绍丁保险、【e 发展的历史，保险学的数学原理，精 算学的研究刑象，保险精算常用的摹本的利息理论，牛存函数和生命表，保费的计 算疗法，随机利率卜的寿险精算在国内外研究概况以及本文研究的主要内容。 在第3 苹针刈年金的箱点，研究离散时问下的随机利率在，定的条件_ f 粪确 定年金的计算i j u 题。给m 计算类确定年金( 包括初寸年金和延付年金) 的终值与 现值的划望利方差的曲种方法，获得- 4 计算期望和方差的递推关系，并进步得到 了简中的计算公式，这在切合实际利计算简单方面明显的更好。 在第4 章，研究即时给付的增额寄险的双随机模型。考虑到保费的实际投资情 况，首先刑随机利率采用反射p j r o w n ia n 运动建模，给出类即时给付的增额寿险的 给伺现值的各阶矩，并在死i ：均匀分布的条什下给出矩的简洁表达式并用数值例 了来说叫这种建模方法的合理性与有效性。又考虑到突发事件埘利率的影响，将随 机利率采用及射b r o w n i a n 运功和p o is s o f i 过程联合建模，给出相同类型的即时给付 的埔额寿险的给付现值的各阶矩，在死i 、均匀分布的条件下也给出矩的简洁表达式， 并给出了数值算倒。 在第5 章，首先建立j ，。”种家庭联合保险精算模型。模型包括夫妻终身寿险， 了女7 7l 补偿保险，天妻养老金及了女不足1 8 周岁而父田：早逝时给了女的抚养保险 金等。并在固定利率下给出j 纯保费的计算公式。术章还给出丫同种家庭联合保险 的“戏随机”模型，随机利率分别采用w i e n e r 过程建模、反射b r o w n i a n 运动建模 以及反射b r o w n i a n 运动和p o i s s o n 过程联合建模，分别给h j 了纯保费精算现值的计 算公式，并在死l = = 均匀分布的条件h 得到纯保费精舅现值的简洁计算公式。 在第6 章，考虑到在人寿保险的纯保费及理论责任准备金的计算中，死亡率一一 般依据生命表，利息率般采剧到定利率。实际上，寿险死亡率与生命表的死亡率 向所差别，利率具有随机性。寿险死1 。率与生命表死亡率的差额及利率的随机性均 能形成保险经营中的盈亏风险。木章首先利用m d i p ，0 法与广义极了i 嫡原则确定寿 险死i 率的先验分布，并利用b a y es 定理给m 寿险死i 、：率的估计值。随机利率采用 反射b r o w n i a n 运动建模，通过风险丽l 数的临界t l ，对保险经营中糯一引斌险进行系统 分析，为保险公司决策提供了方法和理论依摒。 针对保险精算中数据处理时遇到的污染分布问题，在第7 章，讨论观察数据来 自污染分布( x ) = ( 1 一一( x ) + 哦( r ) f l 寸的非参数推断问题。当正( x ) 已知，“和j l ( x ) 未 知叫，本章采用二椎参数的核南度估训的疗法，给出密度函数z ( 对及污染系数g 的仙 计，并证明了估计的市h 合性，最后埘正态分布的特例作了随机模拟。 关键词：随机利率；奄险；年金：精算现值；保暑! ；生命函数；准符金；风险两 数 s u m m a r y u s u a l l yt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lt h e o r yi sb a s e do naf i xi n t e r e s tr a t ew i t hap u r p o s et o s i m p l i f yc a l c u l a t i o n s h o w e v e r , s i n c et h el i f ei n s u r a n c ei sal o n g t e r me c o n o m i ca c t i o n ， t h ef a c t o r so f g o v e r n m e n tp o l i c ya n de c o n o m i cc y c l e sm a yc a u s et h ei n t e r e s tr a t et ob e u n c e r t a i nd u r i n gt h et i m eo fi n s u r a n c e ，t h es t u d yo na c t u a r i a lt h e o r ya n dm e t h o du n d e r r a n d o mr a t e so fi n t e r e s th a sb e c o m ea ni m p o r t a n ta n d p o p u l a rt o p i c t h i st h e s i sf o c u s e so n a c t u a r i a lc a l c u l a t i o n so fl i r ei n s u r a n c eu n d e rr a n d o mr a t e so fi n t e r e s t w i t he m p h a s i so n t h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e m ss u c ha sc a l c u l a t i o no fi n s u r a n c ep r e m i u ma n dr e s e r v i n g p r e m i u mp i c k u p i ti sd i v i d e di n t os e v e nc h a p t e r s t h ef i r s tt w oc h a p t e r sg i v ei n t r o d u c t i o n st ot h eh i s t o r yo fi n s u r a n c e m a t h e m a t i c a l p r i n c i p l ea n d r e s e a r c ho b j e c ta r ei n t r o d u c e db r i e f l y , t h eb a s i ct h e o r yo nr a t eo fi n t e r e s t s u r v i v a lf u n c t i o na n dl i f et a b l e ，t h em e t h o d sf o r c a c u l a t i n gi n s u r a n c ep r e m i u m ，t h e d e v e l o p m e n t a n dr e s e a r c ho fl i f ei n s u r a n c ea c t u a r i a lt h e o r yu n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t ea r e a l s op r e s e n t e d i nc h a p t e r3 ，b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c so fa n n u i t y , t w om e t h o d sa r ed e r i v e df o r c a l c u l a t i n gt h ee x p e c t e dv a l u ea n d v a r i a n c eo f p r e s e n tv a l u e sa n dt h ea c c u m u l a t i o nv a l u e o fac l a s so f a n n u i t yu n d e rr a n d o mr a t e so fi n t e r e s to f d i s c r e t et y p e r e c u r r e n c er e l a t i o n s o nt h ee x p e c t e dv a l u ea n dv a r i a n c e ，a n das i m p l i f i e dc a l c u l a t i o nf o r m u l a sa r eo b t a i n e d ， t h a nw h i c hi ss i m p l ei ns t r u c t u r ea n dm a yb ee a s i l yu s e df o rp r a c t i c a lc a l c u l a t i o n s i n c h a p t e r4 ，c o n s i d e r i n g t h a tt h ei n f l u e n c eo fi n s u r a n c e p r e m i u m o f p r a c t i c a l i n v e s t m e n ta n d u n e x p e c t e d a c c i d e n t s m a y e f f e c tt h ei n t e r e s t ，t h et w om o d e l sa r e e s t a b l i s h e da c c o r d i n gt or e f l e c t e db r o w n i a nm o t i o nm o d e ia n dt h em o d e lc o m b i n e dw i t h r e f l e c t e db r o w n i a nm o t i o na n dp o i s s o np r o c e s s ，r e s p e c t i v e l y v a r i o u sm o m e n t sf o rp r e s e n t v a l u eo f i n c r e a s i n gl i f ei n s u r a n c ea r e o b t a i n e d a n dt h es i m p l i f i e df o r m u l a so nc a l c u l a t i n g p u r ep r e m i u ma c t u a r i a lp r e s e n tv a l u eo nt h ea s s u m p t i o no f t h eu n i f o r md i s t r i b u t i o no f d e a t h sa r ed e r i r e dm o r e o v e r n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h a tt h e m e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n gm o d e l sa r eb o t hr a t i o n a la n de f f e c t i v e i nc h a p t e r5 an e wi n s u r a n c ep r o g r a mc a l l e df a m i l yu n t i e di n s u r a n c ei sp r o p o s e d n e m o d e li n c l u d e sac o u p l e sw h o l e l i f ei n s u r a n c e t h ec o m p e n s a t i o ni n s u r a n c e o fa n e a r l y d e a t hc h i l d ，t h ep e n s i o no f a l lo l dc o u p l ea n dt h ea l i m o n yf o rac h i l dw h o s e p a r e n t s h a dd i e db e f o r eh eo rs h ew a sl8y e a r so l d n l es i m p l i f i e df o r m u l a so fb a l a n c e da n n u a l p r e m i u m i so b t a i n e da c c o r d i n gt ot h ef o l l o w i n gm o d e l s ：f i x e di n t e r e s tr a t e ，w i e n e rp r o c e s s m o d e l ，r e f l e c t e db r o w n i a nm o t i o nm o d e la n dc o m b i n e dm o d e lo fr e f l e c t e d b r o w n i a n m o t i o na n dp o i s s o np r o c e s sw i t hr a n d o mi n t e r e s tr a t e r e s p e c t i v e l y t h es i m p l ef o r m u l a s f o ra c t u a r i a ld r e s e n tv a l u eo f b a l a n c e da n n u a lp r e m i u m a r eo b t a i n e du n d e rt h ec o n d i t i o no f u n i f o r md i s t r i b u t i o no f d e a t h s i n c h a p t e r6 ，c o n s i d e r i n gt h ep u r e i n s u r a n c e p r e m i u ma n dt h e c a l c u l a t i o no fn e t p r e m i u m r e s e r v e sd e a t hr a t ei sd u et ol i f et a b l e ，r a t eo fi n t e r e s ti st a k e nb yf i x e dr a t eo f i n t e r e s t i nf a c t ，t h e r ea r es o m ed i f f e r e n c e sb e t w e e nl i f ei n s u r a n c ed e a t hr a t ea n dd e a t hr a t e i nm o r t a l i t yt a b l e ，a n dr a t eo fi n t e r e s tt a k e no nr a n d o m n e s s ，t h ea b o v ed i f f e r e n c e sa n d r a n d o m n e s sc a l lf o r m p r o f i t a n dl o s si ni n s u r a n c e m d i pm e t h o da n d g e n e r a l i z e d m a x i m u me n t r o p yp r i n c i p l ea r eu s e dt od e c i d et h et r a n s c e n t d e n l a ld i s t r i b u t i o no fl i f e i n s u r a n c er a t eo f i n t e r e s t ，a n dt h eb a y e s i a nt h e o r e mi su t i l i z e dt og i v et h ee s t i m a t eo f l i f e i r l s u r a n c e r e r e c t e db r o w n i a nm o t i o ni su s e dt oc o n s t r u c tt h em o d e io fr a n d o mi n t e r e s t r a t e w ed e f i n et h ec r i t i c a ld e a t hr a t eo fr i s kf u n c t i o na n da n a l y z et h ea d v e n t u r eo f1 i f e i n s u r a n c e ，h e n c ep r o v i d et h ei n s u r a n c ec o m p a n y w i t hm e t h o d i nc h a p t e r7 ，d i s c u s s e st h ep r o b l e mo fd e a l i n gw i t hi n s u r a n c ed a t a ，w ec o n s i d e rt h e c o n t a m i n a t i o nd i s t r i b u t i o n b yt h ed e n s i t y f u n c t i o n a s f ( x ) = ( 1 一口) z ( x ) + a f 2 ( x ) ，w h e n 岱a n d f i ( x 1i su n k n o w n ，a d c i p tt h ew a yo fn o n p a r a m e t r i ck e r n e ld e n s i t ye s t i m a t i o nt o g i v ee ne s t i m a t i o no fc o n t a m i n a t i o nc o e f f i c i e n t 口a n df , ( x ) a n dp r o v et h e e s t i m m i o n c o n g r u e n c e f i n a l l ya s t o c h a s t i cs i m u l a t i o ni sg i v e ni nt h ec a s eo fn o r m a ld i s t r i b u t i o n k e yw o r d s ：r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t ；l i f ei n s u r a n c e ；a n n u i t y ；a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e ； i n s u r a n c e ；l i f ef u n c t i o n ；r e s e r v e ；r i s kf u n c t i o n 第一章绪论 第1 章绪论 摘要本章简单地介绍了保险韭发展的历吏，保险学的数学原理，精 算学的研究对象，随机利率下的寿险精算在国内外研究概况以及本文 研究的主要内容。 1 1 引言 人类社会生活中经常要面对疾病、死亡、意外事故和自然灾害等方面的风险。科 学技术的发展和生活水平的提高，不断增强着人类抵御风险的能力。但是风险是不可 能根本避免的，而随着社会、经济和科学技术的发展，还会不断产生新的风险，例如 现代交通事故、环境污染、核泄漏、爱滋病、“菲典”、禽流感、市场波动等。风险 在局部或微观上具有不确定性和损失集中的特点，但在大范围和宏观上，它又具有稳 定性和一致性，即风险发生的可畿性大体稳定以及损失的大小基本服从一定的分布规 律。保险的基本原理是将众多的投保人的保费集中到承保人处，当风险发生后，由承 保人承担损失。这种机制使投保人通过付出少量且固定的保费，将大量的不确定的损 失转移到承保人或保险公司身上，承保人利用保费收入一方面保证赔偿的正常进行， 另一方面，通过分析与计算来舍理调配资金，提高保险基金的投资效益，最终使投保 人和承保人都有所收获。 1 2 保险业发展的历史 公元前2 0 0 0 年前后的海上运输业的繁荣成为现代水险1 1 j 的起源，公元前9 1 6 年的 罗地安海商法中首次明确规定：“为了全体利益减轻船只载重而抛弃船上的货物，其损 失应由全体收益方来分摊”，这就是著名的共同海损分摊原则。标志着现代海上保险产 生的一份保险契约是在1 3 8 4 年签署的，一般称之为比萨保单。1 6 8 8 年由爱德华劳埃 得在英国伦敦创立的一个承保人协会简称作“劳合社”在保险发展史上有着举足轻重 的作用，虽然该协会仅向其会员提供保险交易场所和有关的服务，但是它所规定的条 款、制定的费率、乃至形成的运作方式方法都对世界的水险业务产生巨大的影响。最 早的火灾保险则可追溯到1 2 世纪。1 6 6 6 年9 月2 日伦敦城区发生大火，全城8 5 以 上的房屋被烧毁，2 0 余万人无家可归，财产损失更是无法估量，从此火灾保险得到了 足够的重视。由火灾保险扩展而成的财产保险口】，现在已包括洪水、地震、风暴和偷 盗等致险因素，所保财产也从房屋等扩大到各种固定资产和流动资产，财产保险是当 大连理工大学博士学位论文：随机利率下的寿险精算理论与方法的研究 今保险市场的重要部分。人身保险是以人体为保险对象，早期承保范围很小。1 7 6 4 年 创立的伦敦公平人寿保险社开创的人寿保险极大地扩大了承保范围。寿险涉及面广、 流动资金相对稳定，它往往在保险市场中占有最大的份额。现代人身保险还包括人身 意外伤害保险和医疗保险等险种。再保险最早是指承保人将其承保的一部分业务向另 一承保人投保。例如，1 3 7 0 年由一个意大利人承保的自热那亚直荷兰斯卢丝之间的海 上保险，就将其中最危险的一段航程的责任转让给了其他承保人。再保险体现了“多 承保人共保一险”的机制，扩展了社会承保能力，推动了巨额保险的业务，有很强的 生命力。进入2 0 世纪后，保险业有了很大的发展，出现了很多新险种。以被保险人的 民事损害赔偿责任为保险对象的责任保险是其中重要的一类。医疗责任保险、交通意 外事故的第三者责任保险、产品使用意外事故责任保险等都是发展很快的责任保险险 种。另一类重要的新险种是信用保险或称保证保险，在现代市场经济中，信用和担保 问题已成为经济活动能否顺利进行的重要因素，保险机制的引进为解决这个问题提供 了一个有效手段。保险业的发展水平和速度与经济发展的水平和速度密切相关，人们 经常将保险业的现状作为经济发展状态的重要标志。 中国保险业的发展经历了一个长期而曲折的过程。1 9 世纪中叶，随着帝国主义的入 侵，也将保险业务带入中国。当时中国保险市场基本上被外国保险公司控制和垄断， 成为帝国主义经济侵略的工具。直到1 8 8 5 年，仁济和保险公司的成立，才开始了中国 的民族保险事业。上世纪2 0 年代开办了安平保险公司和太平水火保险公司，1 9 3 1 年创 办了中国保险公司，3 0 年代为旧中国保险业的鼎盛时期。抗日战争时期，先后在重庆 成立了以官僚资本为后盾的中国农业保险公司、太平洋保险公司。中华人民共和国成 立之前，中国的保险业主要由外商资本和官僚资本所垄断，始终未能顺利的发展。新 中国成立以后，首先对旧中国保险业进行整顿和改造，于1 9 4 9 年1 0 月2 0 曰正式成立 中国人民保险公司，总公司设在北京，各大区设立分公司，由中国人民银行总行直接 领导。在随后的1 0 年中，保费收入】6 亿元，减轻了国家经济和信贷的一部分压力， 同时与世界的大部分国家和地区建立了直接或间接的分保关系和代理关系。在六七十 年代，由于极左路线的影响，国内的保险业基本陷于停顿状态，直至十一届三中全会 以后，保险业才开始了一个新的发展时期。1 9 8 0 年1 月1 日，中国人民保险公司正式 恢复办理国内业务。自1 9 8 0 年直1 9 9 1 年的1 2 年间保险业务收入年平均增长4 5 以 上，初步形成了以中国人民保险公司、中国平安保险公司和中国太平洋保险公司构成 的中国保险市场，1 9 9 9 年保险费收入达到1 3 9 3 2 2 亿元。1 9 8 6 年以前，经营保险业务 的公司仅中国人民保险公司一家，到1 9 9 9 年底发展到2 5 家，其中国有独资公司4 家， 股份制公司9 家，中外合资公司3 家，外资保险公司分公司9 家。与此同时，保险中 介开始发展，保险公估行也己出现。1 9 9 2 年l o 月美国友邦公司在中国开业，外国保险 资本的进入是我国保险市场国际化的必然，随着加入w t o ，我国保险公司所面临的是 第一章绪论 如何积极主动的去迎接国际性竞争的问题。 1 3 保险学的数学原理 在保险领域中最基本的也是得到一定共识的数学原理是大数定律3 - i “，大数定律 是概率统计的基本原理之一。它的核心内容可以表示为：通过对某种不确定的随机现 象进行大量的重复观测，在一定程度上，将表现出一些确定性的规律现象。例如，抛 一枚均匀的硬币，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，是一种随机现象，但如果重 复大量的作这个实验会发现正面朝上的次数约占总抛币次数的5 0 ，从而得到一个相 对确定的结果：出现正面朝上的可能性为5 0 。在保险经营中，每个投保人面临的损 失都是随机的和不确定的，承保人将面临同类风险的投保人个体集中起来，随着个体 数的增加( 相当于一种重复) ，使承保人面l 临的风险呈现出一定的规律性和确定性。例 如：假设现有 个投保人投保某种具有一致性的风险，并假设这1 1 个投保人的损失发生 是相互独立的，若记这n 个人的最终赔偿额为一，x ：，k ，则一，x ：，x 。是独立同 分布的样本，由切比雪夫定理有，对任意的占 o 有 l i m p ( i l 幅妻x ，一i 0 ，盯0 ，且有初 始条件z ( o ) = 0 。d 是与f 无关的随机变量或实常数) 和w i e n e r 过程( 即息力累计函数 由y ( t ) = 毋+ w ( t ) 建模，其中( r ) 是w i e n e r 过程，万也是与t 无关的随机变量或实常数) 建模的某些确定年金的前二阶矩”。“1 ，1 9 9 3 年又得到了息力由o u 过程和w i e n e r 过 程建模的终身寿险给付现值的前二阶矩【7 副，d es c h e p p e r 和g o o v a e r t s ( 1 9 9 2 ) 得到息 力由w i e n e r 过程建模的某些年金的矩母函数7 6 1 、分布函数m 与l a p l a c e 变换【7 9 】【8 0 】。 m v a n n e s t e 等则给出了息力由w i e n e r 过程建模的某些年金的生成函数的一系列结果 8 1 1 。1 9 9 4 年，g a r yp a r k e r 发表了在他博士论文中的一些结果。他研究了在死亡所在保 单年度之末等额给付的定期寿险，当保单数目趋于无穷时，每张保单平均成本的极限， 得到了这一极限随机变量的近似分布函数的递推公式【8 2 】，还得n t 这一极限随机变量 的前三阶矩。何文炯、蒋庆荣( 1 9 9 8 ) 对随机利率采用g a u s s 过程建模，得到了一 类即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在死亡均匀分布的假设下得到了矩的 简洁表达式8 4 】。刘凌云、汪荣明( 2 0 0 1 ) 则对随机利率采用g a u s s 过程与p o i s s o n 过 程联合建模，也给出了即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩【8 5 1 ，发展了何文炯与 蒋庆荣的结果。d a v i dp e r r y 在2 0 0 1 年和2 0 0 3 年，将随机利率采用反射b r o w n i a n 运动 6 第一章绪论 ( r b m ) 建模，得到确定年金的期望值公式 8 6 】1 【8 7 1 。a b r a h a mz a l ( s ( 2 0 0 i ) 也论述了随机 利率下的确定年金的计算问题i 蚓。杨静平、吴岚8 9 1 ( 1 9 9 7 ) 讨论了行年期寿险的总体索 赔量的极限分布。在利息力为白噪声条件下，得到了极限分布的密度函数的递推公式。 郎艳。怀( 2 0 0 1 ) 将利息力用标准的w i e n e r 过程建模，给出一类综合人寿保险模型的现值 的前二阶矩9 。1 - 1 9 。 1 6 本文研究的主要内容 本文是在上述工作的基础上，研究随机利率下的确定年金的计算问题以及寿险精算 模型，主要完成以下几方面的工作。 由于上述学者对年金的研究大都是在随机利息是连续型随机变量的假设下进行的， 但年金是在相等时间间隔上作的一系列支付。在第3 章，考虑到年金的特点，将随机 利息离散化，即把时间段 o ，n 】分为连续的”个阶段：【o ，1 】、 1 , 2 、咖一l ，n 】，表 示第k 年的随机利率，并假定，f ：，相互独立，有相同的期望和方差，即e ( i 。) = j ， v a r ( i 。) = j 2 ，k = 1 , 2 ，n 。在这样的假定条件下，给出了一类确定年金的终值与现值的 计算问题。本章给出两种方法计算在某些年内一类年金的现值及终值的期望和方差， 获得了给付现值及终值的方差的递推关系，并且解决了这些关系，这在切合实际和计 算简单方面明显的更好。 在第4 章，考虑连续时间下的随机利息，研究即时给付的增额寿险的双随机模型。 考虑到保费的实际投资情况，首先对随机利率采用反射b r o w n i a n 运动建模，给出一类 即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在死亡均匀分布的条件下给出矩的简洁 表达式，并给出了数值例子来说明这种建模方法的合理性与有效性。本章又考虑到突 发事件对利率的影响，将随机利率采用反射b r o w n i a n 运动和p o i s s o n 过程联合建模， 给出相同类型的即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，在死亡均匀分布的条件下 也给出矩的简洁表达式，并给出了数值算例。 第5 章建立了一种家庭联合保险精算模型。模型包括夫妻终身寿险，子女早亡补 偿保险，夫妻养老金及子女不足1 8 周岁而父母早逝时给子女的抚养保险金等。并在固 定利率下给出了纯保费的计算公式。本章还给出了同种家庭联合保险的“双随机”模 型。随机利率分别采用w i e n e r 过程建模、反射b m w n i a n 运动建模以及反射b r o w n i a n 运动和p o i s s o n 过程联合建模，分别给出了纯保费精算现值的计算公式，并在死亡均匀 分布的条件下，得到纯保费精算现值的简洁计算公式。 由于在人寿保险的纯保费及理论责任准备金的计算中，死亡率一般依据生命表， 利息率一般采用固定利率。实际上，寿险死亡率与生命表的死亡率有所差别，利率具 大连理工大学博士学位论文：随机利率下的寿险精算理论与方法的研究 有随机性，寿险死亡率与生命表死亡率的差额及利率的随机性均能形成保险经营中的 盈亏风险。在第6 章利用m d i p 方法与广义最大熵原则确定寿险死亡率的先验分布，并 利用b a y e s 定理给出寿险死亡率的估计值，利率采用反射b r o w n i a n 运动建模，定义了 风险函数的一个临界死亡率，对保险经营中盈亏风险进行了系统分析。为保险公司决策 提供了方法及理论依据。 保险精算中的许多问题都涉及到了污染分布，如数据处理、死亡年龄的分布，非 同质保单组合的索赔次数模型等等。在第7 章讨论观察数据来自污染分布 ( 功= ( 1 - 口) 石( x ) + a f ：( x ) 时的非参数推断问题。当l ( x ) 己知，口和石 ) 未知时，本 章讨论随机利率下的准备金与寿险风险分析采用非参数的核密度估计的方法，给出密 度函数他) 及污染系数a 的估计分别臧( 加业葛掣触= 删i n f 器， 证明了石。( x ) 和屯分别是( 功和a 的相合估计，并对正态分布的特例作了随机模拟。 第2 章预备知识 第2 章预备知识 摘要利息率、死亡率和费用率是寿险精算的三大基础。本章概 括地介绍基本的利息理论、生存函数以及保费的计算 2 1 引言 在绪论中已经指出，根据大数定律，保险人所收取的纯保费的总额应与保额支出 的总额相等。也就是说，为了计算保费，需要比较纯保费与保额，但因保费与保额的 发生并不同时，且在其中涉及到被保人的生死状况，所以对二者的比较应在同一时间 点上，一般选择在保单生效之时。这样，对保费和保额的比较就不单纯是看其数额的 大小，而且需要考虑货币的时间价值、被保人的生死状况以及保险人可能发生的费用， 还有可能存在的风险等因素的影响。也就是说，人寿保险的保险人对保额的支付不仅 与预定的利息率和费用率有关，还与被保人的生死的概率密切相关。即保费与保额要 在精算现值的意义上相等。 所谓精算现值是指现值的期望值，又称期望现值。精算现值与现值不同的地方在 于：精算现值考虑了人的生死概率。是从一个概率的角度来讨论生存、死亡保险的。 保额的精算现值是保单的趸缴保费：不过，这一保费不能以任何一种方式反映出 由保险公司承担的风险。因此，为了评估这一风险，还需了解它的分布的其他特征， 如方差。 本章主要介绍寿险精算中常用的基本的利息理论、生命函数及生命表、基本寿险险 种的纯保费的计算。 2 2 利息的度量 利息是使用资本的代价或报酬。资本使用者不一定拥有资本的所有权，他可借入 资本来使用。对资本借入者来说，利息就是因他使用资本借出者的资本而支付给后者 的代价，对资本借出者来说，利息就是他暂时转让资本的使用权而从资本借入者处得 到的报酬。 影响利息的因素主要有本金、时期、通货膨胀和风险四个方面。 ( i ) 本金。用来生息的资本以货币计量时，就称作本金。过了一定时期后收到的 总金额称为积累值或终值。终值和本金的差额就是投资期间内的利息金额。在其他因 素不变的情况下，本金越多，可得到的利息也越多。通常称时刻0 时的l 单位货币到 大连理工人学博上学位论文：随机利率下的寿险精算理论与方法的研究 时刻，时的积累值为积累函数，记为口( ，) 。显然，a ( o ) = 0 ，a ( t ) 通常是递增函数。如 果原始投资额不是l ，则称时刻0 时的初始投资到时刻f 时的积累值为金额函数，记为 z ( t ) 。若初始投资为c ，则4 ( o ) = c ，并且a ( t ) = c a ( t ) 。 ( i i ) 时期。在理论上，投资的时间可用许多不同的单位来度量，如日、月、年等， 最常用的是一年。在其他因素不变的情况下，使用资本的时间越长，可得到的利息就 越多。若用( f ) 表示时间段o l ，f ) 内的利息额，则1 ( t ) = a ( t ) 一a ( t 1 ) 。 ( i i i ) 通货膨胀。通货膨胀越严重，货币的贬值就越厉害。此时对资本的使用就应 得到较高的利息。一般所说的利息率实际上是由单纯由时间因素引起的资本增值和由 通货膨胀因素引起的资本增值的共同作用的结果。 ( i v ) 风险。在经济生活中，存在着各种各样的风险，如国家经济政策的变化，资 本市场的波动等，这些因素都将影响使用资本得到的收益。 从投资的角度来看，利息率分为三部分： 利息率( 投资回报率) = 无风险利息率+ 风险利息率+ 通货膨胀利息率。 支付利息的方式通常有两种，期末支付和期初支付。期末支付利息的方式又称滞 后利息。设在期初投入1 单位货币资本，则在期末可回收资本1 + i ，i 就是这一期的 利息率，简称利率。以f ( f ) 表示时间段p 一1 ，f ) 上的有效利率，则 以，= 筹= 箐。 z - n 滞后利息按期初的资本额计算，但在期末支付。期初支付利息的方式又称预付利息。 它是在投入资本之时即获得利息。设在期初投入1 单位货币资本，以d 表示该方式下 获得的预付利息率( 又称“贴现率”) ，则投资者期初实际投入的资本为1 - d ，到期末 时，该投资者可回收资本1 。以d ( f ) 表示时间段( f l ，) 上的有效贴现率，则 阶掣= 掣。 汜z z ， 预付利息按期末的资本额计算，但在期初支付。利息率f 与贴现率d 之间的关系为 d ：一。 ( 2 2 3 ) 1 + f 计算利息的方法有单利法和复利法。单利法是仅对本金生息，而对产生的利息不 再生息。复利法不仅对本金生息，还对产生的利息生息。单利偶尔在短期业务中使用， 寿险精算中都采用复利法。设第一年年初的本金为一( 0 ) ，第，年的有效利率为f ( ，) ，如 1 0 第2 章预蔷知识 果按单利法计算，h 年内的利息总额为爿( o ) 【f ( 1 ) + f ( 2 ) + + f i n ) ：按复利法计算，”年 内的利恩总额为爿( o ) 1 + f ( 1 ) 】 1 + i ( 2 ) 1 【1 + j ( n ) 】一1 ) 。 如果计算利息的期间与基本的时间单位一致，则资本在该段时间内获得利息的能 力就是有效利率，又称实际利率或实质利率。即某时期内有效利率是该时期内得到的 利息金额与此时期开始时投资的本金金额之比，它度量在一个度量时期内的利息。当 计算利息的期间与基本的时间单位不一致时，则称为名义利率。设利息在每 ( o ) 长 的时间内支付一次，i h ( t ) y z j t 时的每单位时间内的名义利率。显然 “r ) _ 警。 汜z a ， 当h = 1 时，i ( r ) 就是每单位时间内的有效利率。当h = 1 p ( p 为正整数) 时，记 i ，= i 。，此时在基本的时间单位内计息p 次，i 9 是单位时间内的名义利率，假设 在单位时间的期初投入1 单位货币，本单位时间内的有效利率为f ，则1 + f - ( 1 + 竺) ， p 即i 9 1 = “( 1 + 7 9 - i 】。 称万o ) = 。1 i m o + i ( ，) 为时刻f 时每单位时间的利息力。利息力是时刻f 时瞬时获取利 息的能力。由利息力的定义可见， 耻。l i m + “归牌警= 鬻= 等， 眩z s ， 从而， 1 ：j0 6 ( s ) d s ，删：4 ( o ) p m 。“。(2a(te 22 6 ) ) = 。，一( r ) = 4 ( o ) p 。 ( 6 ) 称8 f ：邮) “为积累因子，即原始投资1 到时刻f 时的值为e j ：“。设时刻f 时的资本额 为l ，由( 2 2 6 ) 知，在时刻0 时需投资e j 。5 5 “才能保证在时刻r 时的资本额为1 ， 我们称e - 。帅“为贴现因子，记为v ( f ) ，即 v ( ，) ：e 一胁m 。 ( 2 2 7 ) 当利息力为常数时，即占( ，) = 6 ，占为常数，记v = 1 ( 1 + f ) ，则 大连理工大学博士学位论文：随机利率下的寿险精算理论与方法的研究 则 1 盯p ) = p 8 ，i = e 5 1 ，v = 士= p 一6 ，v ( f ) = p 一8 = v 。 ( 2 2 8 ) l + j 2 3 生存函数与生命表 2 3 1 生存函数 对于新 - p j l ，其死亡年龄x 是一个连续型随机变量。用f ( x ) g x 的分布函数 令 v ( x ) = 尸 r x ) ( x 0 ) s ( x ) = 1 一f ( 工) = 尸( x 曲( z o ) ， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 对任何正数x 。值f ( x ) 等于新生儿在x 岁或之前死亡的概率，s ( x ) 等于新生儿活 到z 岁( 即x 岁以后死亡) 的概率。因x 0 ，所以f ( o ) = 0 ，s ( o ) = 1 。函数s ( x ) 称 为生存函数。与死亡年龄有关的概率，既可用生存函数也可用分布函数来表述，例如， 新生儿在年龄x 与z ( x z ) 之间死亡的概率为 p ( x t ) ( r 0 ) 。 ( 2 3 4 ) ，q ，表示( 功将在t 年内死亡的概率，它是r ( x ) 的分布函数。，p ，表示( 曲至少还能活f 年 的概率，它是的生存函数。在年龄x = 0 的特别情形下，t ( o ) = x ，并且 显然 ；p o = s ( x ) o 0 ) ( 2 3 5 ) 第2 章预蔷知识 胪卿”们( 0 ) 叫= 鬻= 等，( 2 3 6 ) 儿= p 脚沁肌州眇加1 _ 等= 鬻 ( 2 r3 7 ) 当，= l 时省略不写。 x 岁的人在x + t 岁和x + f + “岁之间死亡的概率为 抽q ，= p ( t r ( 工) - t + “ = f + 。q x - , q ，= ，p x - , + u p ，= ，p x u 日，+ 。 ( 2 3 8 ) 特别地，当“= 】时，记b = 。吼a 记足= 【丁( 瑚表示( 功未来存活的整数年，则有 p x ( x ) = k ) = p 七t ( x ) k + l = “i g ，一i g ，= t p x - k + l p ，= l p ，g ，+ i = 削g ，k = 0 , i ，2 ，。 ( 2 3 9 ) 在( 2 3 7 ) 式中，若，= 缸，则。以是现龄x 的生命在今后缸年内死亡的概率 缸q ，= p ( x 工) = ! 坚塑二丛生。f ( x ) a z 1 一f ( x )1 一f ( x ) 其中f ( x ) = f 7 ( x ) 是死亡年龄( 连续型随机变量) 的概率密度函数。 盟：l i m p x x x 1 一f ( x ) a r o + r 称为死亡力或瞬时死亡率”3 ，记为以，即 “。：盟：一塑。 1 1 一f o )j o ) 一一筹一等。蒜一一c 扣慷 从而t ( x ) 的密度函数为 l = 夏d | q ，= t p i r 。 1 3 大连理t