（应用数学专业论文）多元风险模型和破产概率的研究.pdf

2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i 摘要 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，考虑到用单一险种风险模型描述风 险经营过程的局限性，本文建立了多险种风险模型和广义多险种风险模型，并对 多险种风险模型的破产概率进行了研究 研究中，我们放弃了在一般齐次p o i s o n 过程中所具有的普通性质，即vh 0 ，p r ( n ( h ) 2 ) = o ( h ) 换句话说，本文允许在充分小的时间内至多只发生一次事 故，然而每次发生事故所导致的索赔人数却可能是多个人基于这种想法，我们 给出了初始资本为0 的破产概率妒( o ) 的明确表达式，以及初始资本为u 的破产概 率妒( “) 的近似值，并且导出了调节系数方程和调节系数r 的上下界 关键词：破产概率，风险过程，多元风险过程，随机利率，矩母函数，调节 系数，复合广义齐次p o i s s o n 过程 2 0 0 4 年上海大学硕士学应论文i i a b s t r a c t t h ei n s u r a n c ec o m p a n y i n c e s s a n t l ye n l a r g e st h eb u s i n e s ss c a l e ，c o n s i d e r i n gt h el i r a i t so ft h es i n g l e i n s u r a n c er i s km o d e l ，w ec o n s t r u c tam u l t i i n s u r a n c er i s km o d e l a n dt h e g e n e r a l i z e dm u l t i - i n s u r a n c er i s km o d e l i na d d i t i o n ，w eg e tr i do ft h eg e n e r a l i z e do ft h e c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，t h a ti sv h 0 ，p r ( ( ) 2 ) = o ( ) ，a n dp e r m i tt h a tt h e r ei s a tm o s taa c c i d e n ti nav e r ys m a l lt i m e i n t e r v a l ，h o w e v e rt h ec l a i mn u m b e ri na na c c i d e n t m a ym o r et h a no n e f o l l o w i n gt h i si d e a ，w es t u d i e dt h er u i np r o b a b i l i t y 妒( “) ，g o t t h e e x p r e s s i o no f 妒( 0 ) ，e s t i m a t e d 妒( “) a n da d j u s t m e n tc o e f f i c i e n te q u a t i o ni se s t a b l i s h e da n d t h ea d j u s t m e n tc o e m c i e n ti 8e s t i m a t e d k e y w o r d s ：r u i n p r o b a b i l i t y ，r i s kp r o c e s s ，m u l t m n s u r a n c ep o i s s o nr i s kp r o c e s s ，8 t o c h a s t i 。i “t e r e s t ，m o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，c o m p o u n d g e n e r a l i z e d h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s ， 上海大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学 硕士学位论文质量要求 雾贻嬲始、右关 主任： 啊、乃兵 委员： 导师：女j 咯孚 答辩日期：”f a 。 ( 纠功姊毛巷) c 敝勺) 扩6 7 8 1 7 0 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 型苎2日期! ! 竺! ：? 本论文使用授权说明 衣人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 汉保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 。i 主导师签名：墨匪乏日期： 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 第一章前言 1 1 风险理论 风险理论【2 9 是经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论风 险理论广泛应用于投资和保险行业。投资者经常需要选择那些损失小，收益大的 项目保险过程是投保人缴纳保费获得保障与承保人收取保费面临赔款风险的过 程因而投保过程实际上也是面对风险和收益进行风险选择的过程风险理论的 主要研究对象是风险过程对风险过程的研究是多方面的，其中之一是对其进行 稳定性分析一一破产概率的研究近年来破产概率的研究进一步发展形成了一个 新的研究领域；破产论( r u i nt h e o r y ) 在精算数学( a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ) 的范畴内，破产论是风险理论的核心内容 现在已公认，破产论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博 士论文f 1 1 至今已有近百年的历史破产论的研究既有其实际的应用背景，也有 其概率论上的理论价值实际上，一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是 l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的l u n d b e r g 的当时工作后来由以h a r a l dc r a m & 为首的瑞典学派进行了完善，形成了一门严格的科学 h ，c r a m r 是s t o c k h o l m 学派领导人物，他在完善l u n d b e r g 的工作中发挥了重 要作用，同时也对概率论和数理统计的发展作出了重要贡献他在二战后发表的 著作( 2 0 j 现在已公认是数理统计的经典著作他在1 9 7 6 年发表的回忆录中解释了 他为什么首先对保险问题感兴趣的原因：“当我年轻时，一位瑞典数学家若是要 获得一份足以支撑家庭的工作，很自然会去保险界求职，这是因为瑞典保险公司 具有雇佣高素质的数学家作为精算师的传统”臀i 正是由于瑞典保险公司的提 议，于1 9 2 9 年秋，在s t o c k h o l m 大学首次设立了“精算数学与数理统计”的教授 职位，c r a m d r 是第一位教授，这便是s t o c k h o l m 学派的开始由此可见，c r a m 白 兴趣的形成和瑞典保险公司对精算学的重视和扶植有关c r a m 6 r 的总述性文章 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 1 9 1 发表日期，即1 9 5 5 年，s t o c k h o l m 学派已将风险理论置于一个坚实的数学基础 之上，并为精算师处理绝大多数实际的保险问题提供了较完整的分析工具后来 f e l l e r 的更新论证法和g e r b e r 的鞅方法给予了更为简洁的证明，以至现在普遍认 为这两种方法是当代研究破产论的主要途径现已公认，l u n d b e r g c r a m 4 r 经 典破产模型，简称l c 模型，为经典破产论的基本定理 继c r a m 4 r 之后，h a n sug e r b e r 成为当代研究破产论的领先者他不仅将鞅 方法引入到破产论的研究中，而且深化了经典破产论的研究内容他在2 0 年前写 的数学风险导论 2 一书已成为当今研究这一领域的经典著作j g r a n d e l i 在 他的专著a s p e c to fr i s k 1 4 的序言中指出：“任一掌握了g e r b e r 著作 2 中 所述的风险理论知识的读者皆可视为是一精算师”在经典破产论中，盈余过程被 描述为u ( t ) = u + c t s ( t ) ，其中索赔额过程 s ( t ) ) 为复合p o i s s o n 过程这一复合 p o i s s o n 过程的齐次正增量性质在经典破产论建立中发挥了重要作用g e r b e r 在保 持了 s ( f ) ) 的这个一般性质的前提下，对经典破产论又作了一系列的重要推广 主要包括两个方面的工作一是把复合泊松过程推广为广义复合泊松过程；另一 个是他把索赔过程推广为带扩散扰动项的复合p o i s s o n 过程此外g e r b e r 对于经 典破产论研究的另一贡献是引入了另外两个刻画破产论的随机变量x = u ( t 一) 与 y = u ( t ) 1 = 一u ( t ) ，其中y 表示破产赤字，x 表示破产前瞬时盈余 破产论的研究在当代有几个代表性的发展方向： ( 1 ) 完全离散的风险模型 大部分经典风险模型研究基于时间连续的基础之上，近期也有一些作者对离 散的风险模型展开了研究【2 2 2 7 】设盈余过程由下式给出 f n l u ( n ) = “+ n 一x i n 0 t = 1 其中初始盈余u 为非负整数，保险公司在每单位时间区间的初始端征收1 个 货币单位的保险费个体索赔额x 。是仅取正整数值的随机变量，假定 ：n21 ) 是相互独立同分布的随即变量序列( 礼) 表示前n 个时间段所发生的索赔次数 假定j v ( n ) ：n l 是以p ( o p 1 ) 为为参数的二项序列，且与 凰：n l 相互独 立另假定p u 0t 0 为此需要提出关于安全负载的假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 口) a “ ( 1 2 3 ) ( 1 2 ，4 ) 其中日 0 ，目的是为确保保险公司运作上的安全，习惯上称0 为相对安全负载 由于p 。i s s o n 过程具有齐次独立增量和对模型的独立性假定，可知 c t s ( t ) ； o ) 也为齐次独立增量过程这样，由强大数定律便知： 魄u ( t ) = + 。 当然，这个结论并不排除在某一瞬间盈余过程可能出现负值的可能性一旦 这种可能性出现就称为保险公司“破产”以下我们恒记t 为保险公司首次破产 的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ：u ( t ) o ) l u l l d b e r g 与c r a m 4 r 研究的是保险公司最终破产的概率 妒( “) = p ( t 0 的齐次p o i s s o n 过程 ( 3 ) x 与m 相互独立 令 m ( 约 ( ) = 掘，t 0( 1 3 1 ) k = l 则称n = ( t ) ；t 0 ) 为广义齐次p o i s s o n 过程当m ( t ) = 0 时，约定( ) ：0 定义1 2 ( 复合广义p o i s s o n 模型) 设“0 ，c 0 ，在某完全概率空间( n f i p ) 上，给定： ( ) 取值于( o ，。) 的独立同分布随机变量k ，k = 1 ，2 ，3 具有相同的分布函 数为f ( y ) ( 纠具有参数a ( a o ) 的广义齐次p o i s s o n 过程n = ( t ) ；t o ) 如果 k ，k = l ，2 ，3 与n = ( t ) ；t 兰o ) 独立，令 n ( t ) 矿( t ) = “+ c t s ( t ) ， s o ) = k ，t 0 ( 1 ，3 2 ) k = l 则称 矿( ) ；t 0 ) 为复合广义p o i s s o n 模型 引理1 1 复合广义p o i s s 。n 模型可转化为经典复合p o i s s o n 模型，即s ( ) 可写 为 m ( s ( t ) = 仇( 1 3 3 ) t = l 其中 q = k l + z 2 + 一十z 一l + 1 + + k 1 + 。2 + + 。女，七1 z o = 0f 1 ，3 4 1 吼，k = 1 ，2 ，3 独立同分布，其分布函数 证明：见 1 6 p ( ) = f + ”( g ) ( 1 3 5 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 9 第二章：多元风险模型的破产概率 2 1 引言 在一般的风险理论的文献中，利率一般均不考虑，即使考虑利率，也是被设 定为常数但是许多经济行为都是长期的这期间，政府政策，经济周期等因素都 会造成不确定性，郎带来一定的风险而未来和率的随机性决定保险公司的赔付 能力估计和应急准备金计划，而且在某些条件下，利率产生的风险比赔付产生的 风险更大因此采用固定利率可能会带来与其实际之间的较大偏差，为了减少不 确定性，一种较好的方法就是采用随机利率模型在该模型中，利率不再被看作 固定的常量，而被视为随机变量在本章中，我们把随机利率因素和多元风险模 型结合起来，主要讨论了保险公司的破产概率，它是衡量保险公司金融风险极其 重要的尺度 2 2 随机利率下的多元风险模型 考核保险公司经营好坏的一个重要指标是经过一段时间的经后，其盈余是正 数还是负数影响保险公司盈余的因素有保费收入，理赔支出以及其利率因素 考虑随机利率和多元风险情况，我们对于保险公司盈余过程建立如下模型： nn i ( t ) 矿( f ) = ( “+ c f t ) ( 1 + j ) 一瑶” ( 2 2 1 ) l = if = lk = l 其中； ( ) 矿( t ) ：表示保险公司在时刻t 时的盈余 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 0 ( 2 ) u = u ( o ) ：表示保险公司的初始资本 ( 3 ) c f ：第f 类风险单位时间内收到的保费( 1 = 1 ，2 n ) ( 4 ) i ：随机利率，且假设e 旧= i ( 5 ) n ：表示共有n 类风险 m f ( e ) ( 6 ) g d t ) = x f 女：第f 类风险直到时刻t 时的理赔次数，并且m t ( t ) 为参 t = 1 数扎 0 的泊松过程 ( 7 ) 碟”：表示第k 次理赔的量( 第z 类风险) ( 8 ) x t k ：第f 类风险第k 次理赔次数 ( 3 ) p r x t k = k ，k = l ，2 ，3 ，) = p 聃并且p t k = l ；f _ 1 ，2 n 为了便于讨论此模型，我们作如下假设： ( 1 ) ”( k = 1 ，2 ，3 ) 是独立同分布的 ( 2 ) i ，n 和瑶”是相互独立的 ( 3 ) n d t ) t o ) 为参数a f 的p o i s s o n 过程 显然，这类模型更加符合保险公司的实际理赔过程是以前所有模型较为广 泛意义上的推广类似于以前做法，也可定义该模型的有关概念 定义2 1 破产时刻： t = m i n t ；t 0 并且u ( t ) o 初始资本为“的破产概率： 妒( “) = p r ( t 0 z = lz = 1 nn ( 1 + ) c f = ( 1 + 口) 丸o f l = if = l nn r ( 1 + f ) q + 凹4 谚( r ) ( r ) 一1 = 0( 2 83 ) l = 1f = 1 存在唯一正解r ，并称r 为调节系数 其中肘( r ) ( r ) 是( 。) 的矩母函数 证明：令 n n 9 扣) = 一r ( 1 + i ) q + a i m w ( z ) ( r ) 一1 由于 9 ( o ) = 一( 1 + i ) c f + n 2 0 f = 1 所以方程9 ( r ) = 0 有唯一的正解r ， 定理2 2 设r 为调节系数，则r 满足下面不等式 ，2 8 a 心 寿2 a ( 1 + 日) 0 ，我们考虑 ( 2 3 6 ) e e 一7 矿( 。 = e e - r u ( 。) i t t p r ( t t ) + e e - r u ( 。) i t t p r ( t t )( 2 3 7 ) m l ( t ) 为证明方便，令s ( t ) = 叫。；f _ 1 ，2 n ， k = l nn e e - r u ( t ) = e e x p 一r ( 1 + j ) 一r ( 1 + ，) t q + a t t ( m w ( z ) ( r ) 一1 ) 】) ( 2 3 8 ) 1 = 1f = l 由( 2 3 3 ) 式知： n e e r 矿】= e e 。 p 一只“( 1 + ，) 一r ( i i ) t c f ) ( 2 3 9 ) z = l = u ( t ) + ( 1 + ，) ( t t ) c f 一 函( t ) 一( t ) j( 2 3 1 0 ) 1 = 11 = 1 对给定的t ，有s t ( t ) 一s t ( t ) ，( f _ l ，2 n ) 和i 相互独立，且岛( t ) 一s l ( t ) 服从参 数( t t ) 的复合p o i s s o n 分布，故( 2 3 7 ) 式的右边第一项 e e - r u ( 。) j t t p r ( t t ) nn = e ( e 印卜r u ( t ) 一r ( 1 十，) ( 亡一t ) c f + 九( 一t ) ( m w ( r ) ( r ) 一1 ) l i t t p r ( t f ) l = 1f = l 把调节系数r 代入上式得到 e e r 矿( 2 ) t t p r ( t t ) 2 e e 印 一r u ( t ) 一r ( z i ) ( t t ) c t i t t p r ( t t ) n f _ 1 n = e e 印 一r ( ，一i ) t c f ) e e x p 一r u ( t ) + 月( ，一i ) t c f l i t s t p r ( t ) c = 1 l = l 当t - o 。时有 e f e 一只矿( 。) i t t p r ( t ! t ) - - - + e e 印 一r ( i i ) 萎q 嗍e 印f _ r u ( t ) + r ( j i ) 丁妻c 归。脚) ( 2 3 1 1 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 5 下面讨论( 2 3 7 ) 式中右边的第二项 令 o = ( 1 + i ) c f 一凡q f 0 = lz = l v a r i = o - 2 n 卢2 = ( 砰+ 训 则有 考虑 e 矿( t ) = ( 1 + i ) + s t n v a r w ( t ) = ( 乜+ t c f 2 f 2 + 芦2 t f = 1 n a = 缸( 1 + i ) + o 一( + # c f ) 2 盯2 + 芦2 t ) ；= l 显然，当t - o o 时，a 0 且 e 【e r ，( 2 ) l t t p r ( t 计 = e e - r u ( t ) i t t 0s 矿( t ) s p r ( t t ，0 ，( ) ) + e e - r u ( t ) i t t ，矿( t ) i f r ( t t ，u ( ) ) sp r ( u ( t ) a ) 十e - - r a 由c h e b y c h e v 不等式得 p 7 ( 己，( ) ) = p r 1 u ( ) 一e 【u ( ) j m + c 1 ) 2 1 7 2 + f i 2 司；) f = 1 因此 e f e - r u ( ) i t i 1 + e - - r a _ 0 ( _ 。c )f 2 3 ，1 2 1 i 3 一 q 2 卢 + 2 盯 2 q 。 +札 。 z 州 蚪 却k 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 6 所以由( 2 3 9 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 知 砂) = 凹f e 凰( 1 + ，) e e x p ( 一r u ( t ) + r t ( x i ) c z ) i t 。o 1 = i 推论2 1 若i = 0 ，则 推论2 2 若i = i ，则 妒( “) = e e - r u 二( t ) i t 一 。 r u p 一 ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 帅，= 茄崭呙 协。圳 如果我们进一步考虑通货膨胀因素，设通货膨胀率为j ，且e 吲：j ，则盈余过 程模型( 2 2 1 ) 应改写为 u ( t ) = m + t c 1 ) ( 1 + i j ) 一( 2 3 1 6 ) “ nm ( t ) 1 = 1 t = lk = i 用完全类似于定理2 3 的证明方法，我们可以得此模型得破产概率 定理2 4 模型( 2 3 1 6 ) 所反映得破产概率 妒( “) = 堡竺芸生一( 2 3 1 7 ) e e 印 一r 厂( t ) + r t ( i i ) q 一( j i ) i t 0 的 泊松过程 ( 2 ) f 置- 自= 1 ，2 ，3 ) 为第f 类风险的第k 次理赔量 ( ，) p r 蜀萨女，女= l ，2 川3 ，= p t k 并且p l k = 1 ；f - l ，2 n 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 8 ( 4 ) 是第f 类风险的理赔随机变量，其分布函数为局( ) = l ，2 ，3 ，) 为了讨论方便，我们对( 3 ，2 ，1 ) 进行变换令 则称s ( ) 为到时刻t 的n 元风险的总索赔额根据1 3 节定理1 1 ，我们可把s ( t ) 进行变化，成为经典的复合p o i s s o n 模型 s ( ) = 埘1 + 蟛1 + + 埔 q + 订2 十磅2 + + 垅 + + 订。+ 珞”+ + 瑙 十+ 可川+ 瑶神+ + 玻 。) ( 3 2 2 ) m l ( t ) 因为f ( t ) = x t k ，所以我们有 七= 1 z ( f ) = + 令 则 咙。= k 观+ 固。+ + 局。+ 。十瑙：+ 蜀。+ + 墨。一，+ ：+ + 踺+ 噩。+ 斗x m f ( 删= 哦 女= 1 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 从而得到 n s ( t ) = 删( 32 5 ) 1 = 1 并且哦( = l ，2 ) 是相互独立同分布的，且z ( f ) 的分布函数可以写为 蜀( ) = 毋+ “( ) p 机 z ( 。) 具有强度的泊松过程，掣“( y ) 是表示m + 硷+ + k 的分布函数通过 对s ( t ) 所作以上变换，我们可以得到( 3 2 1 ) 的等价形式： nn m f ( t ) 矿( ) = “十c t t 一叫。( 32 6 ) f = lf = 1k = l 类似的，我们可以定义其破产时刻和破产概率： 枞。 = 0 s 懈 蠼 一 跏 啦 砘心豫 噶- r ! 噶+。 一 斗趔噶 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 9 破产时刻： t = r a i n t ；t o 并且u ( t ) o f = 1f = 1 妒( o ) 2 南 口a 。嘲 臼+l | i q 。嘲 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 0 证明：根据以上条件，我们知道( 3 2 1 ) 具有平稳独立增量现在考虑( 3 2 1 ) 在( 0 ，d t l 上的可能情况： ( j ) 在( 0 ，d t 】上没有发生事故 ( 2 ) 在( 0 ，d t 】上发生一次事故，但理赔总额没有导致破产( 可能存在多次理 赔) ( 3 ) 在( 0 ，d t 上发生一次事故，但理赔总额导致破产( 可能存在多次理赔) 则我们得到： 妒( “) = 九【1 + c t t r + 堕善舻】 = 凡+ 抽f r + 型掣r 2 n n 1 ， 、 = lt = l l = i 。 整理得 2 0 啦 r 0 ，且存在r 0 使得 则r 0 是方程 的解，而且 证明 因为 。+ l i r a + 。e a u 妒( “) = 而0 u _ + + 。 。、7 1 牟丹 n c l z = l n n 一 ( 且) 一c z j ：1 1 = i 所以( 3 - 2 8 ) 式是一个缺陷的更新方程，根据假设条件：存在常数r 使得 通过变换得到 n nn a t + 冠c f = 丸m w f i ) ( 五) f = 1 f = 1f = 1 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 簪字 凇 弘一 。 = 日 一 。 鼢 z 去p 。随 | i q 。h r+ 。 毋 一 。潍 厂，佃 丢p m p | | 动r 一 。 c 譬 石 去p 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 下面我们来证明( 3 3 9 ) 式由( 3 3 1 0 ) 式知 是一个概率密度函数，把妒( o ) 代入( 3 3 2 ) 中得 所以 妒( 札) = e r u 妒( u ) 蜀( 。) 币( “一z ) 如+ a l j o 1 一日( z ) 】如) “ 妻 f “ 1 一e l ( 。) 妒( 1 = 1 j 0 + 我们可以证明 l i r ae r u “ 。 根据关键更新定理，我们得到 其中 。1 + i r a 。e r “妒( ) 。) d x + j u 1 一f t ( 。) 如) 毋( z ) 如 蜀( 。) 】e 如妒( 一x ) e r ( “一。) d x z 。产z 。1 拍= 1 ，一 日( x ) d x d u 蜀( x ) d x 曲日 一 。 鼢 去p u 如 。 一 q 日 j。 l ， 。 l u a 。 u c q 芸蝥丢窜 = o h 一 r 。 去p 山一如 去p | | a 一 ， 0 f = 1 ( 4 ) 存在正数r ，使得e 【e - r s ( 。) 】 0 内有唯一的极小点，即方程9 ( r ) = 0 存在唯一的正解矗 类似于单险种的证明方法，对于多险种的模型，以下破产概率表达式仍然成 立 定理3 7对于 0 ， 帅) = 帝南 ( 3 4 6 ) 证明：对于t 0 ，r 0 e 陋矿( ) j = f - r u ( t ) f t t j p r ( t t ) + e e r ( ) f 丁 t i p r ( t f )( 3 。4 7 ) 方程( 3 ，4 7 ) 的左边 n e z p ( 一r u + t 渔( e 一“一1 ) + i ( a 锄( i 】( r ) 一1 ) 】) f = l e z p ( 一r + 9 ( r ) 好 。m 缸 叫 加 。 = 。汹 r 腕 。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 9 所以把调节系数五代入上式有 e e - r u ( ) 】- e 一冗“ 矿( t ) = u ( t ) + u ( t ) 一u ( t ) n = 矿( t ) + b d m t ( t ) 一尬( t ) 卜喇“一群 ) 1 = 1 ( 3 4 8 ) 对给定的t ，有尬( t ) 一尬( r ) ，( f = 1 ，2 n ) 和碰”一群相互独立，且分别 服从参数角( 一t ) 和0 一t ) 的p o i s s o n 分布，则 e e - r u ( ) i t t p r ( t t ) = e e 3 巾【- r u ( t ) ( e 印( 一r b t ( m t ( t ) 一m l ( t ) ) e x p r ( r f “一r g ) ) f ? s 好 l = 1 p r ( t t ) n n 2 e e x p 一r v ( t ) 】e 印 ( 岛e n 2 + a l m w ( “r ) ) 一( 岛+ 九) f = l z = 1 n n + 【( 屈+ ) 一( 角e 一7 乱+ a t m w ( ：) ( r ) ) 】t ) t t p r ( t t ) 把调节系数r 代入上式有 e e - r u ( t ) i t t i p r ( ? ! t ) = e e - r u ( t ) r t t i p r ( t f )( 3 4 9 ) 同理司得 e e - r u ( t ) t t p r ( t t ) = e e - r u ( t ) i t t p r ( t t )( 3 4 1 0 ) 于是，我们得到 e - r u = e e 一丘矿( t ) i t t i p r ( ts t ) + e l e 一咒矿( t ) i t t i p r ( t t ) 当t _ 。时有 e e - r u ( t ) t t i p r ( t t ) 叫e e - r u ( t ) i t t p r ( t t ) 0 ( 3 4 1 1 ) 即可 令 o l = 6 l 崩一a z 胪= 砰岛+ 沁( o + 叫) 则有 e c ，( t ) = “+ a o v a r u ( t ) j = 卢2 考虑 e 【e - r u ( 。) i t t p r ( t t ) = e 砖- a u ( ) i t ，0 s u ( ) s 世+ q 2 一声t ； p r ( t t ，0 兰u ( t ) 墨i t + a t 一卢t i ) + e f e - r u ( ) i t t ，u ( t ) 乱+ a t 一芦t i 】 p r ( t t ，矿( ) u + a t 一肛) 茎：“捌一吃嘞d f ( ) 所) 一e 怆荫 j 0 。 十虎t ；e - n y d f ( 妒啦 撇) “州胡；) s f o 。l d f 掣十t 。川叫啪娜函删 s t + e x p 一r ( + a t p t ) ) 式 推论3 1 在复合广义p o i s s o n 过程( 矿( t ) ；t 芝0 下，最终的破产概率满足不等 其中且为调节系数 妒( ) se 一兄“ ( 3 4 1 2 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 1 参考文献 1 l u n d b e g f i a p p r o x i m e r a df r a m s t a l l n i n g a vs a n n o l i k h e t s f u n k t i o n e n i i ，a t e r s f r s a k r i n g a vk o l l e k t i v e r i s k e r u p p s a l a ：a l m q v i s t & w i k s e l l ，1 9 0 3 2 g e r b e r ，h u ，a ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c i a lr i s kt h e o r h s s h e u b n e rf o u n d a t i o n m o n o g r a p h s e r i e s8 ，p h i l a d e l p h i a1 9 7 9 3 成世学破产论研究综述数学论进展2 0 0 2 ，n o 5 ：4 0 4 - 4 2 2 4 】a s m u s s e n ，s ，r i s kt h e o r yi nam a r k o v i a ne n v i r o n m e n t s c a n d a c t u a r i a lj 。1 9 8 9 6 6 - 2 0 3 5 5 黄自元，王汉兴马氏环境中的风险过程 j 上海大学学报( 自然科学版) ， 1 9 9 9 ，n o 3 ，1 9 9 - 2 0 3 6 q i t h ep r o b a b i l i t yo fr u i ni ng e n e r a l i z e dc o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，c h i n e s e j o u r n a lo fa p p l i e dp r o b a b i l i t ya n ds t o t i s t i c s 1