（应用数学专业论文）一类推广的minmax问题的研究.pdf

太原理工大学硕士研究生学位论文 一类推广的m in - m a x 问题的研究 摘要 本文研究了一类推广的m i n m a x 问题。得出了无约束问题、约束问题的 相关条件。 本文的内容分布如下： 第一，文章简单介绍了国内外当前对m i n m a x 问题的研究现状和基础知 识。 第二，给出一类推广的m i n m a x 问题，讨论它与非线性规划、现存的 r a i n m a x 问题之间的联系，得出这种推广的m i n m a x 问题的显著特征，并给 出相应的数值例子。 第三，给出这一类推广的m i n m a x 问题的无约束问题、约束问题的必要 条件并加以证明。 关键词：推广的m i n m a x ，无约束问题，约束问题，必要条件 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h es t u d yo nag e n 哐r a l i z e dm i n n l 气xp r o b l e m a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yag e n e r a l i z e dm i i l m a x p r o b l e m s o m er e l e v a n tc o n d i t i o n so nu n c o n s t r a i n e da n dc o n s t r a i n e dp r o b l e m sa r e o b t a i n e d t h ed e t a i l sw i l lg oa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h e c u r r e n t s t u d y s i t u a t i o na n db a s i c k n o w l e d g e o f m i n m a xp r o b l e m sa th o m ea n da b r o a da r ei n t r o d u c e d s e c o n d l y , ag e n e r a l i z e dm i n - m a xp r o b l e m ，a sw e l la st h ed i s c u s s i o no n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ni ta n dn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ，m i n m a xp r o b l e m s ，i s g i v e n t h u st h ec h a r a c t e r i s t i c so fi t a r ew o r k e do u ta n ds o m ec o r r e s p o n d i n g e x a m p l e sa r ea l s ol i s t e d f i n a l l y , t h en e c e s s a r y c o n d i t i o n so fu n c o n s t r a i n e da n dc o n s t r a i n e d p r o b l e m sf o r t h eg e n e r a l i z e d 幽一m a xo p t i m i z a t i o na r eg i v e n k e yw o r d s ：ag e n e r a l i z e d 曲一m a x p r o b l e m ，u n c o n s t r a i n e dp r o b l e m ， c o n s t r a i n e dp r o b l e m ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n s i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 尺 r ” x z g ) ，q j g ) ，h j 仃 ，g ) k = ，m 仃 g a 9 g 。) a g ( ，) & g 。) 符号说明 全体实数 n 维实数空间 r 的子集 r ”专r 1 实值函数 给定的正整数 和x 有关的有限正整数集 有限正整数集 一个正实数 罚参数 单位方向 函数9 g ) 在点g 方向处的导数 内积 点x 。处的一个邻域 v i i 声。明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的 指导下，独立进行研究所得的成果。队文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本声明的法律现任由本人承担。 论文作者签名： 主丛尘垫握 日期：加衍，石乡 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规 定，其中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的 原件与复印伯件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复 制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学 校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以 公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此 规定) 。 签 名： 导师签名： 日期：p 三f 乡 日期： 沙形z 舌 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 问题的介绍 第一章绪论 r a i n m a x 问题是优化问题的重要分支，是工程设计、产品设计等许多实际问题的 数学模型，多年来得到很多关注，关于m i n m a x 问题的理论和应用文献有很多。 m i n m a x 它起源于数值分析，例如在数据处理过程中求数值逼近的最大误差的最小值 就是r a i n m a x 问题。许多数学规划问题也可以转化为m i n m a x 问题，如非线性规划中 的非光滑精确罚函数，最优设计与规划问题中技术经济性态的分段光滑逼近等。目前 m i n m a x 问题在物理学、机械设计、自动控制、经济管理、社会政治、工程技术及军 事指导等领域都有广泛应用。 例lc h e b y s h e v 逼近 给定函数g ：y ( o ) r ”寸r 和函数见：r ”一r 的函数空间己，求在函数空间巴上 函数g ( y ) 的最佳c h e b y s h e v 逼近p ，”，即可通过求解m i n m a x 问题得到。 艘对留) 一p ，”2 得到。 例2m a n d e l s h t a m s 问题 在电路设计理论中的m a n d e l s h t a m s 问题可以表示为以下的r a i n m a x 问题：设对 ih j v x = b ，矗) e ， f g ，f ) = l c o s + x , l ， l k = ll 求r 州m a x 。】f ) 2 母麟】f g ，) 例3 机械设计问题 在许多机械设计问题中，要求胛阶实对称矩阵函数彳炒尺”) 的最大特征值的最小 值，设 = 1 , 2 ，行) 为矩阵彳) 的f 个特征值，记厂( f ，y ) - - ) ，则上述问题即为 m i l l m a x 问题卿嚣几，y ) 对于m i n m a x 问题而言，虽然有的目标函数是可微的但极大值函数通常是不可微 的，因而r a i n m a x 问题是不可微优化问题。m i n m a x 问题从模型的角度可分为两类： 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 ) 禺1 散m i i l m a xi 司趑 躺燃g ) 其中，g ) 称为目标函数，厂g ) = 磷g 踞= x l x 2 , o , x n ) r x 扣) 称为极大函数 2 ) 连续m i n m a x 问题 ，m 。i 、r 。，m 。，a 、曝。，f ( x ，y ) 对以卜两娄问颢各自又可分为壬约柬m i n - m a x 问颢和约束m i n - m a x 问颢。 1 2 求解方法现状与发展趋势 r a i n m a x 问题的定量研究始于七十年代，主要研究极大函数极小值的存在性及相 应的算法。m i n m a x 问题实际上是非光滑优化问题。关于非光滑优化的理论和应用详 情请看 2 】， 3 0 1 ，【3 1 。m i l l m a x 问题的目标函数在多个函数中得到的极大值点上往往 是不可微的。极大函数的不可微性成为解决m i l l m a x 问题的困难。 对于m i n m a x 问题这一类重要的数学规划问题，目前有很多种解决的办法。p o l y a k 提出解决m i n m a x 问题的方法，是一种各种最优方法的集合而不需要大量增加每一步 所需要的计算数量。这是一种单一转化的应用，可转化成对原函数以及相同问题的经典 l a g r a n g i a n 的使用。g i g o l 羽g o n e z 提出一种规则方法，可以产生出多个有差别的子问题， 它们的答案汇合成原突出的r a i n m a x 问题的答案。d i p i l l o 和g r i p p o 提出一种连续的有差 别的精确的罚函数，它的极小值就是m i n m a x 问题的答案。“通过采用极大熵理论提 出用一个光滑函数去接近非光滑的m i n m a x 函数，把m i n m a x 问题转化成可以用一些 有效的算法解决的光滑函数，也叫做凝聚算法。这种方法借助信息论中s h a n n o n 熵的概 念，推导出一组光滑的极大熵函数c g ) ，且g ) 一致逼近要极小化的非光滑的极大函 数，从而当参数p 充分大时，以凡g ) 的极小解作为m i n m a x 问题的近似解。这种方法 也有其不足之处，容易产生病态或溢出现象。而凝聚同伦方法在一定程度上，避免了原 始的凝聚函数法的由凝聚函数的病态性带来的计算上的困难，并减弱了大范围收敛所需 要的条件。用区间数学方法求解无约束r a i n m a x 问题，并已取得了一些成果。 r a i n m a x 问题的研究和算法的探讨尚有许多值得进一步深入的问题。 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 3 本文的主要工作 实际上一些优化设计拥有现存优化模型所没有的结构。一定程度上，极大函数是可 变的，这种优化问题不同于现存的r a i n m a x 优化。在现实中，各目标函数随对其作用 的集合变化，即一个离散整数集，随x 的变化而变化。因为这一类m i n m a x 目标函数随 起作用的集合变化因此它比m i n m a x 问题更复杂。事实上，该问题的目标函数可能是 不连续的，即使每个函数可微。很明显不连续条件比l i p s c h i t z 条件弱。然而，在 【2 】，【1 2 】，【3 0 】，【3 1 中提到的不可微函数应该满足l i p s c h i t z 条件。由于不连续性这一类新的 r a i n m a x 问题的目标函数不属于这个范畴。因此，该问题是一个更普遍的非光滑优化 问题，它超出- f 2 ， 1 2 】， 3 0 ， 3 l 】中的优化问题。考虑到上述事实，有必要为该问题建立 理论，提出新算法。 这篇文章的目的就是根据一种新的推广的m i n m a x 模型研究其性质。 众所周知，为复杂的优化问题建立充分条件是很难的。考虑到这一类推广的 m i n m a x 问题的复杂性着重建立该问题的必要条件。由于这一类推广的m i n m a x 问题 的目标函数有缺陷，该问题比现存的m i n m a x 问题更复杂。解决该问题的难点在于目 标函数的非光滑性以及连续离散变量相混合。我们通过任意和具体起作用的集合研究该 问题并建立它的理论基础，在合理的假设下，取得无约束这一类推广的m i n m a x 问题 的必要条件，并得到相应的约束推广的m i n m a x 问题的必要条件。 本文的第二章给出这一类推广的m i n m a x 问题的理论基础、例子。第三章给出无 约束推广的m i n m a x 问题必要条件和约束推广的m i n m a x 问题必要条件，并得以证 明。 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章一类推广的m i n - m a x 问题 2 1 推广的m i n m a x 问题 普通的血i l m a x 问题有如f 表达。 i n i n m a x f , ( x ) x r ”，i = l ，所 ( 2 1 ) 其中n ，m 为给定的正整数，z g ) ：r ”一r 1 为实函数。那么极大函数是确定的， 往往是非光滑的。 然而在实际问题中存在一种模型有如下表达： m ，。i 五nm ，。a x l ，jf , ( x ) - ( 2 - 2 ) 其中，xc r ”为实数集，刀为给定的正整数，g ) 是和x 有关的有限正整数集 a e ，g l 且1 口m ，z g ) ：r ”专r i 全是x 上的实函数。，g ) 代表和x 有关的元素是 由明确准则决定的优胜集。 那么可以得到无约束( 2 2 ) 问题的表达如下： m ，。i nm ，。h a x ，f , ( x ) 这里 ，g ) k 约束( 2 2 ) 问题的表达如下： m ，。i nm 。h a ，x ，f r ( x ) s u b j e c tt oc j g ) = o ，y = l 2 ，p 勺g ) o ，= p 。+ 1 ，p 这里 ，g ) k k = 1 ，聊 是一个有限正整数集。 本文研究，g ) 表达方法如下： 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 ，g ) = ，k g ，g ) = m 。a 丘x 吼g ) j 它来源于现实中的竞争法则， g ，g ) ：r ”专r i k ) 全部为x 上的实值函数。 这种情况可以被看作是一个有不可分割结构的二阶优化决策过程。第一阶段决策取决于 准则 g ，) ，第二阶段决策取决于准则以) ，) 的选择又来自第一阶段的结果。，g ) 是元 素满足第一阶段准则的优胜集。后阶段决策在第一阶段的优胜集中完成。就是这两个阶 段相纠缠造成了不可分结构，目目标函数随x 变化。 2 2 问题( 2 2 ) 与其他模型的关系 现在讨论这一类推广的幽一m a x 问题和现有的优化模型曲一m a x 问题和非线性 规划之间的关系。 当，g ) 不依靠x 取值时问题( 2 2 ) 就可以简化为 卿1 警z g ) ( 2 - 3 ) 这里，是一个给定的正整数集合，问题( 2 3 ) 显然是标准离散的m i n m a x 问题。 再考虑普通的非线性规划。 m i n i m i z e 厂g ) s u b j e c tt og l g ) o ，g ，g ) 0 ， j j i g ) = o ，g ) = 0 ，( 2 - 4 ) x = g ，屯，) t r ”， 这里厂g ) ，蜀( f - - i ，2 ，) 和办jo = 1 ，2 ，m ) 全是尺”上的实函数，且m ” 问题( 2 - 4 ) 与下式相等 m i n i m i z e 厂g ) s u b j e c t t o 。型m 虬a ，x ，。 g ，g ) ，办，g l h ，g ) j o ， ( 2 5 ) x = “，x 2 ，矗) t r ” 又设 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 只g ) = g l f = 1 ，2 ， 只+ ，g ) = 嘭g l n + 。+ ，( x ) = - h j ( x ) l i = 1 ，2 ，m 问题( 2 5 ) 下式 m i n i m i z e f ( x ) s u b j e c tt o l g m 姗a x 。 p ，g ) ) o ， ( 2 - 6 ) x = ，x 2 ，矗) t r ” 通过使用精确罚函数法( 2 6 ) 可以转化为无约束优化问题。 m i n i m i z e f ( x ) + c r 。匀m ；，a + x 。 p ( x ) ，0 s u b j e c t t o x = g ，x 2 ，矗) t r ”( 2 7 ) 仃是罚参数，非负实数。在适当的条件下当罚参数仃足够大且有限时问题( 2 7 ) 等于 问题( 2 6 ) 。 设p 。g ) = 0 问题( 2 7 ) 变为 m i n i m i z e 几) 们咄m m a x 。 p i s u b j e c t t o x = ( x a ，x 2 ，而) t r ”( 2 8 ) 问题( 2 8 ) 又可以表示为 m i n i m i z e m 刚a w x f ( x ) + o p ，g ) s u b j e c tt ox = “，x 2 ，毛) t r ”( 2 9 ) 这里 ，g ) = 纠o ，+ 2 m ，p ，g ) = 。纠m ；m a x 。研g ) j ( 2 1 0 ) 问题( 2 9 ) 就是可以看作是这一类推广的m i n m a x 问题，说明普通的非线性规划 可以转变为这一类推广的r a i n m a x 问题。据此可以推断这一类推广的m i n m a x 问题是 非常普遍的模型。 通过以上的讨论，我们观察到约束条件可以通过该体系适当处理。事实上，约束条 件处理可以看成两阶段的优化过程。第一阶段基于约束条件p t 扛1 , 2 ，+ 2 m ，后一 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 阶段基于目标函数j 嬲扩g ) + o p ，g ) 。，g ) 代表和x 有关的所有起作用的约束指数。后 t o p ， 一优化阶段只有在第一优化阶段产生出最优有效约束集合才能产生。讨论表明在约束处 理技巧中约束是随未知变量x 而变化的。由大量约束条件的复杂优化问题在优化解决过 程中有效约束的数量通常是少的。因此，前述的约束处理技巧是一种有效处理优化问题 中约束条件的方法。 2 3 例子 例4 有如下条件，x = & 月l o x 4 k = l ，2 ，3 ，i ( x ) ck 及zg = 1 ，2 ，3 ) f 1 ，2 ，o x ( 3 2 5 一厕) 2 ， g ) = 0 ，3 ) ，3 2 5 一厮) 2 sx 1 ， 【 2 ，3 ) 1 x 4 y , ( x ) - - x ，a ( x ) - - 一3 x 4 + 3 ，六g ) = g 一2 ) 2 4 f ( x )2 0 l 乃 f f l ( ) | f 2 ( ) 、 f 3 ( ) ； 、 、 ， 、 j、。 、 歹 、 、 ， 、一一 、 、 o 图1 234 z 7 显然有 太原理工大学硕士研究生学位论文 僻m 州a 洲x = 一曼3 x 燃4 3 i 一+ ， 【g + 2 ) 2 ， 小一憷：! ：，3 ， 4 f ( x )2 o 0 1 2 7 x 4 ， 1234 图2p 。曲线 8 v 太原理工大学硕士研究生学位论文 4 i 、_ ， f ( x )2 1 0 飞 、 02j4 x 图3p l 曲线 p 。和p 。的曲线在图2 和图3 中表示。p 。的目标函数由于随，g ) 的变化所以不同于 风。事实上p 。是一个固定的6 1 标函数，而p 。则要依照g ) 改变目标函数。转言之，如 果换一个g ) 就会产生出另一种结果。从图中已可以看出风，岛的结果。风的一个解 是x ：1 2 7 相应的最优值为j d 。b ) = 1 2 7 。p 。的解是x ：( 3 2 5 + 柝蕊) 2 相应的最 优值为p 。g ) = ( 9 2 5 + 垢蕊) 2 。显然这一类推广的曲一m a x 问题要比血n m a x 问 题复杂的多。风的目标函数是连续函数，而p 。的目标函数是不连续的。即使函数z g ) ， i = 1 , 2 ，3 ，全是可微的。风的目标函数是凸的。但j d 。非凸。即使函数，g ) ，i = 1 , 2 ，3 ，全是 凸的。通过图2 和图3 也可以看到p o 在两个函数取到极大的点处是可以分解的。而j d 。 有不可分解结构。这个例子说明这种推广的m i n m a x 问题是一种更普通的m i n m a x 模 犁。 例5 有如下条件，x = & r i o x 2 ) ，k = 1 ，2 ，3 ) ，i ( x ) ck 及，g x f = 1 ，2 ，3 ) 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 石g ) = x ， m 卜懈 f 1 ，2 ) o x 1 一鱼 ，一 2 l 一塑x 1 2 1 x 0 ( 3 2 ) 由于g g ) ，在点处连续，对所有的_ ，k 存在一个实数a 。 o ，对所有的a - a 。，a 。) 满足 i q j ( x o + 叼) 一g k ) | l 3 f l i e - 1 3 f l g g 。+ 昭) 一g ，g 。) q j k ) 一1 3 f l = m 。a ，x q 。k ) 一1 3 f 1 。 鼻e 五 当歹k 和，诺i ( x o ) 由( 3 3 ) 有 即 q j ( x o + a g ) q k ) + 1 3 f l m a x q 。k ) 一2 3 f l i t e _ k霄五 因此v a - a o ，口o ) m 似a x q t k + a g ) 2 蹦m a i 知x j q t k + a g ) 可见( 3 1 ) 成立。 对r ”。6 0 的一个邻域定义如下 & g 。) = 纠x r ”，i x - x 0 0 0 对于所有的a ( o ，口。) ，满足 ，g 。+ a g ) c ，k ) ，i ( x o + a g ) n r ( x 。) 妒 则有尺k + a g ) n 尺k ) 证明： 因为r ( x o + 昭) i ( x o + 昭) ，可以得 r ( x o + 昭) n 月k ) g k + 昭) n 月k ) 妒 设j r ( x o + 昭) i ( x 。+ 叼) ，k ) ，又设仨r ( x 。l 那么存在5 o ，s 0 对所有的 x 砖k ) 满足 乃g ) 同时还有，k ) r ( x 。 否则g 。+ 孵) j k ) = 尺k 。属于第一种情况。 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 集合 声q ) 2 9 g 。- - 吲，一m 眇a x t x n + a g 。尺“) z g 。) l e j j t t 工dj 根据( 3 1 ) v a ( o ，a 。) 有 设 f l ( a ) ( p ( x o ) - 刚而m a 猷x ) ，k ) s 2 勰尸q ) 。口e 【0 ，嘞) 。 由( 3 1 1 ) 和 j ( x 。) g ( x 。 得到 s 妒k - - 吲i 钏m a 。x r ( ) z g 。) 0 ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 由函数z g ) 在点x 。处的连续性，存在对于所有的f i ( x o ) 一个实数a ：0 a 。 a 。， 满足所有a 【0 ，a 。) ，防g 。+ 昭) 一z g 。】 1 3 e ，i e 一1 3 e z k + 昭) 一z g o ) z g 。) 一1 3 z = 缈g 。) 一1 3 e 当i ，g o + 昭) 和i 叠r ( x o x 考虑到( 3 - 1 3 ) 得到 即 ，g 。+ 昭) 妒g 。) - 2 3 z 乃g 。+ a g ) 9 g 。+ a g ) = 埘m ( a + x 凹) zg 。+ 叼) = ，“( 知m + 昭a m xk ) z g 。+ 昭) 证毕 太原理工大学硕士研究生学位论文 定义1 函数妒g ) ，x r ”在点的g r “，i 1 9 0 = 1 方向上，如果存在一个有限极限 则称妒g ) 是在点g 方向可微。 这个极限被称为是函数在点g 方向处的导数，记作鱼璺尘 0 2 ( 3 1 6 ) 定理1 r ”，所有的函数g ，g ) ，k 在点处连续，函数zg l f i ( x 。) 在点x 。处的 一个邻域& k ) = 纠x r ”，8 x - - x 00 o 内连续可微，对g r ”，| | 9 1 i = 1 。假设存在 一个实数o a 。 6 对于所有的a ( 0 ，a 。) ，满足条件( 3 - 1 ) ，( 3 9 ) ，那么极大函数9 g ) 在点处的g 方向上是可微的，并且 掣= 把m a x ( 掣，g )a g a ) c 一) 这里丝箜表示z g ) 在x o 处的斜率，( ，) 表示r 一上的内积。 o x r g 。，g ) - 。l 州i mi ( x 。+ a g ) n r ( x 。) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 证明： 任意f i ( x 。) ，a ( 0 ，6 ) 和给定的g r ”，i 例g = 1 。因为z g ) 在点x 。处的一个 邻域& k ) 内连续可微，所以有 z g o + a g ) ：z k ) + a r 翌姜虫，g + 。 ，a x 口( o ，6 ) ， 优 这里l i m 剑：o a - 0 a 根据引理3 则存在一个实数：0 a a 。 6 ，对于所有的a ( 0 ，a 。) 都满足 妒g 。+ 昭) = ，可( 却m + 昭a x m ( 而) z g 。+ 昭) 。 由于( 3 1 9 ) 有 9x o + 小训m a m x k h ( 掣，g ) 鸲如，) 1 7 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 由于( 3 1 9 ) 又有 埘h m a x m ，托毗m + 昭a x ) ( + ，d k m + 铝a x jw j o - ( g ，a )f e ，( 工0 + o g jw l z 0 j 7 彰k ) ，g ) 吼o ) + a m a m x ) ( 掣，g ) + ：m 卿a x 如) 9 k + a g ) = 刚m a x ) z k + 昭) 刚m 附a x 昭) , f ，( x o ) + a ( 彭g 。) ，g ) + 。， ，a ) ) 时m a x 枷h ( 掣，g ) 托如) ) 呐。+ i e l m a x 川 a ( 掣，g 卜如) ) 现在插入下面不等式的证明 m a x ( r l + f ) m a x r j + m i n e f l e yj e yl r y 是一个指标集，仇，i y 是实数。 m a x l 7 f = 田a x 白f + 色一i ) m a x ( 叩j i yj e yj e r 显然有( 3 2 3 ) 成立 = l 耳a ) 【( 叩。+ ，) 一m 证， i c y l e r a 拿y = i a g ) n 如h 。= a ( 掣小鹌如) e x ( 3 - 2 3 ) 式有 时m a x 口( 掣，g ) 毗，a ) ) k m + 昭a x i e m k ，口( k + 昭n r k ) i 够k ) ，g 、1 ，+ ，“而r a + 昭i n ，叭知，o , ( g m i n o , ( g ，口) ，g ，“l 而+ 昭j 眯i 知j ，口) 独耐m 昭a m x ) ( 掣，g h m i n ，比a ) 耐( 知+ 昭m 火 苏 。9j 一“) ”。7 1 8 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 厂j 、，l、 警 + 厂j 、 + 太原理工大学硕士研究生学位论文 将( 3 2 4 ) 代入( 3 - 2 2 ) 得到 妒x o + 娩毗) 托吨m 枷a x 。掣，北m i n ，以 2 5 ， 由( 3 2 1 ) ( 3 2 5 ) 有 剧m i n 比如+ 砂毗) 一- - 咐m 删a x 掣，g ) _ 耐m ( a 而x ) 。，( g ，口) ，a 0 口) 由( 3 - 2 0 ) 有 l i mm i n 生鱼：竺! ：l i r i lm a x 生鱼：竺! ：o 口加l e l ( x o ) a a _ + om l ( x o ) o t 由( 3 1 8 ) 有 删l i m 瓶m a x 。知) ( 幽小。m a x ( o f ( x 。) o x，g ) a _ o + r e ，( 知+ q g ，( 工。火。j f e 。j 由( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 得到 a 呻o + a，糕) ( 幽i g x ，g ) o i e r ( 而 g ) l7 。 证毕 事实上，定理l 的条件还可以有以下结论。 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 9 k + 昭) = 毗) 托咐m 删a x 知) ( 掣，g ) 托如肌( o ，训 协3 。) 这里 l i m 竺鱼! 竺! ：o a _ o 口 定理2 x r ”，所有的函数g g l k 在点处连续，函数z g ) ，f x ( x ) 在点x 处 的一个邻域& g ) 内连续可微，设集合 p ( x ) = g r ”，g = 1 ；j a 。：o o 3 2 ， 这里r 7 g ，g ) = a 1 i m 。z ( x + 昭) nr g ) ，或 i n f 、旦幽o ( 3 3 3 ) g e p e j 抛 证明： 设点x 是9 g ) 在r ”上的极小点但是不等式( 3 3 3 ) 不成立。根据假设集合 p 怫驴及定理的结论，有v g p 掣存在，及 掣= 最 ( 掣，g ) 因为( 3 3 3 ) 不成立，所以有一个向量g 。p g ) 满足 鲤：一口 o( 3 3 4 ) 0 9 i 显然删栅定义有剑o g , = ! 骢盘掣，那么存在一个实数 a ：0 a a ，对于所有的a 阳口、l 满足 1 一口 2 ( 3 3 5 ) 这里的口。是( 3 - 3 1 ) 中相对于向量g l 的实数a o 。由( 3 - 3 4 ) ( 3 - 3 5 ) 有 一3 2 口a r p ( x + a g 。) 一妒g ) 一1 2 a a ，i e ，a ( 0 5 a 。) 9 g + 昭。) 同时还有，k ) r ( x 。 否则g 。+ a g ) g ，k ) = r ( x 。 。属于第一种情况。 集合 卢q ) 2 妒g 。- - 吲如m + 昭a 肛xr ) z g 。) 根据( 3 1 ) c a ( o ，a 。) 有 卢q ) 9 g 。- - 剧如m 肛a x 月( 却) z g 。) ( 3 - 3 8 ) 设 扣部! o n o 、卢q ) 。 由( 3 3 8 ) 和 ，g 。) r ( x 。l 得到 s 9 k - - 剧钏m a 非x ( 知) z k ) o ( 3 - 3 9 ) 由函数z g ) 在点处的连续性，存在对于所有的f i ( x 。) 一个实数口：0 a 。 a 。， 满足所有a 0a 。) ，l z k + 昭) 一，k 】 1 3 s ，i e 9 1 太原理工大学硕士研究生学位论文 一l 3 e ：g o + q g ) 一z ( x o ) z k ) 一1 3 e = 9 g 。) 一1 3 e 当f j g 。+ 昭) 和f 萑r ( x 。) 考虑到( 3 - 4 0 ) 得到 即 z k + 昭) 9 g 。) - 2 3 e 乃g 。+ 昭) 因此 9 k + 昭) = m ，a x 、z k + 昭) = ，m a x i e l ( x o + a g )i e l ( x o + a g l i r i _ ，x , ) ，k + 昭)j 定理3x o x 函数z g 工f ，g 。) 在点而处的一个邻域黑k ) 内连续可微 配g 。) = x l x e q ，x - - x 0 0 0 ， 证毕 对g r ”，l i g l i = 1 ，假设存在一个实数：o a 。 6 对于所有的口( o ，) ，+ 曙q ， 满足条件( 3 1 ) ，( 3 9 ) ，那么极大函数9 g ) 在点x 。处的g 方向上是可微的，并且 型=蜀ax(、0f,(xo)og，g ) ， 、一 ( 3 4 3 ) 证明： 任意f j k ) ，a ( o ，6 ) 和给定的g r ”，0 9 0 = 1 。因为z g ) 在点处的一个 邻域& k ) 内连续可微，所以有 f ( x o + a g ) ：，k ) + a f ，掣，g + 。， ，a ) ，a ( 0 ，6 ) ，( 3 - 4 4 ) 劣， 这里1 i m 垡鱼：竺! ：o 口_ o a 2 2 ( 3 4 5 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 根据引理3 则存在一个实数：0 a 。a o 艿，对于所有的a ( 0 ，a 。) 都满足 妒+ 昭j _ 脚( 嚣瓢( 知) ，b 。+ a g ) 。 由于( 3 4 4 ) 有 9 x o + 小训m a 川x x o ) + a ( 掣，g 卜如) ) 脚m 霹a x m ，胞+ c g m a x x o而) ( 幽c 3 x ，g )f e ，g o + 霹m ) 。、。 l e 口+ q g j 吠( 而火7 。j + m 蚓a x ，o , ( g i e x o ，a ) + q g jw i 工o j 7 嘶。4 - a 剧m a x m 知) ( 掣，g ) + ：m 盹a x ，北 由于( 3 - 4 4 ) 又有 9 g 。+ a g ) = 划m ( 郴a x ) z k + 昭) = 倒m 附a x 叭j f , ( x 0 ) + a ( 掣，g ) 托如) ) 触m a x k h ( 掣，g 卜幻) 触+ 孵m ) l “、”i缸7 。j ”77 l 吼。+ i e l h m a 川x a ( 掣，g 卜如) ) 现在插入下面不等式的证明 m a ) ( 0 f + - ) m a x r f + r a i n ( j e yj e ye r y 县一个指标集，竹f i 1 ，县宴数。 m a ) 【仇= m a x 幻，+ 色一色) 珥a x b 。+ ，) + m a x ( - ，) “!r“；y“jyl e y = m a ) 【( 叩，+ ，) 一m i n ( ， l e yj e y 显然有( 3 4 8 ) 成立 令y ：i ( x o + a g ) n r g 。) ，：a f ，型墼尘，g ， ：。， ，a ) 代入( 3 2 3 ) 式有 积 2 3 ( 3 - 4 6 ) ( 3 - 4 7 ) ( 3 - 4 8 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 酬m a xa ( 掣，g ) 托如) ) 埘h m a 川xa ( 掣，g h 而嘶k ，q g i e ，+ a g n 冠) i 苏 7 。j f d ( 而+ 昭y k ) 1 、o 7 7 独埘m 洲a x 知】( 掣，g + m i n 。( x o ，。虺a )f e ( 知+ o ( g m ( 知凡缸7 。 ) ”7 将( 3 - 4 9 ) 代入( 3 - 4 7 ) 得到 ( 3 4 9 ) 妒x o + 昭) 毗) 托咐m 洲a x 掣，g ) + 剖m i n 以 俘5 。， 由( 3 4 6 ) ( 3 5 0 ) 有 训m i n 。j ( g ，小毗删砒o ) _ a m a 眦x ) ( 掣，g ) 由( 3 4 5 ) 有 _ 刚m a x ，o , ( g ，仅) ，a 0 口) l i mm i n 生鱼! 竺! ：l 硫m a x 垒鱼：竺) ：o a - - ) oi e l ( x o ) a a - - oj d ( 却) a 由( 3 - 4 3 ) 有 l i m 怖m 洲a x 掣小瑞) ( 掣，g ) a 卅+ 剧k + 昭m ( 知火缸jf 猷7 ( 知，g 凡缸j 由( 3 5 1 ) ，( 3 5 2 ) ，( 3 5 3 ) 得到 = ，蹴) ( 掣，g ) o ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) 证毕 定理4 设x 是q 的闭凸子集x x 函数z g ) ，f l ( x ) 在点x 处的一个邻域砖g ) 内 连续可微， 设集合 砖g ) = p 卜q ，0 x - - x * i i o 啦) 斟啮舻南；了a o o a o 。存在一个实龅o a t 缸划l z l - - x * 忪 对于所有的实数a ( 0 ，a 。) 满足 这里口。是( 3 - 5 5 ) 中相对于向量z l 的实数a o 由于( 3 6 2 ) 和( 3 6 1 ) 得到 高 妒g + + 昭。) 一9 g 。) 石刁 妒协+ 昭l j 一9 协j i e v a ( o ，a 1 ) 妒昭) 9 ”南 妒g ) 这与假设x 是9 g ) 在彳上的极小点向矛盾。 到此我们就建立了这种推广的r a i n m a x 问题的必要条件。 2 6 ( 3 - 6 2 ) ( 3 6 3 ) 证毕 太原理工大学硕士研究生学位论文 总结与展望 本文研究了一种推广的r a i n m a x 问题，这一类问题不同于以往的m i n m a x 问题， 有不可分割的结构的二阶优化决策过程。由于目标函数9 g ) 的不足以及连续和分散变量 的混合使得这类推广的r a i n m a ) 【问题比现存的m i n m a x 问题要复杂。本文主要研究了 这一类推广的r a i n m a x 问题与其他规划之间的关系，主要特征。在已有的基础之上得 出条件更宽的约束、无约束问题的必要条件。 本文讨论的是离散的r a i n m a x 问题，没有涉及到连续的m i n m a x 问题。事实上连 续的r a i n m a x 问题要难于离散的r