（应用数学专业论文）广义多险种的破产概率模型及其应用.pdf

广义多险种风险模型的破产概率及其应用 摘要 经典风险模型及其拓厂模型为描述单一险种的风险经营过程提供了多种数 学模型。随着保险公司业务规模的不断扩大，经营单一险种对于保险公司来说己 不符合实际。 为此作者建立了理赔到达是多险种过程风险模型的破产概率。在新模型中， 理赔到达过程为复合p o i s s o n 过程和复合二项过程。运用鞅的理论讨论了最终破 产概率和有限时间内破产概率的上界，并得出最终破产概率的具体表达式。最后 将此新模型运用于人寿保险问题。在“模拟假设”条件下研究了新模型的一些特 性，从而更为有效地发展和完善“人寿保险事业”。文章在最后一章对新模型加 上了随机干扰项，在此基础上研究了最终及有限时间的破产模型。 关键词：多险种鞅破产概率风险模型随机干扰 ag e n e r a l i z e di n s u r a n c er i s km o d e lo f m u l t i p l ec l a i m a n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h ec l a s s i ci n s u r a n c er i s km o d e la n di t se x p a n d e do n e so f f e rm a n ym a t h e m a t i c a l m o d e l sf o r d e s c r i b i n gs i n g l e i n s u r a n c er i s k m a n a g e m e n tp r o c e s s w i m t h e d e v e l o p m e n to fb u s i n e s s s c a l eo ft h ei n s u r a n c e c o m p a n v i t i st i n f e a s i b l ef o ra c o m p a n y t ou n d e r t a k et h es i n g l ei n s u r a n c er i s km a n a g e m e n tm o d e l i nt 1 1 i sp a p e r ，t h ea u t h o rp r e s e n t san e wm o d e l i nw h i c ht h ec l a i ma c c e s si st h e b a n k r u p t c yp r o b a b i l i t yo f t h em u l t i p l ei n s u r a n c er i s km a n a g e m e n tm o d e l i nt h i sn e w m o d e l ，t h ec l a i ma c c e s sp r o c e s si st h ei n t e g r a t i o no ft h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s a n dc o m p o u n d b i n a r yp r o c e s s t h em a r t i n g a l et h e o r y , t h e n i sa d c i p t e dt od i s c u s st h e m a x i m u ml i m i to ff i n a l b a n k r u p t c yp r o b a b i l i t y a n dt i m e 1 i m i t e d b a n k r u p t c y p r o b a b i l i t y i nd o i n gs o ，t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no f t h ef i n a lb a n k r u p t c yp r o b a b i l i t yi s r e a c h e d l a t e r , t h i sn e wm o d e li s a p p l i e dt o s o l v el i f ei n s u r a n c e q u e s t i o n s t h e f e a t u r e so ft h i sn e wm o d e la r er e s e a r c h e du n d e rt h ec o n d i t i o no f “s i m u l a t i o n h y p o t h e s i s ”j no r d e r t od e v e l o pa n d i m p r o v e t h el i r ei n s u r a n c ew i t hm o r e e f f i c i e n c y i nt h el a s tc h a p t e r , 也er a n d o mi n t e r f e r e n c e sa r ea d d e dt ot h en e wm o d e ls oa st o s t u d yt h ef i n a la n dt i m e l i m i t e db a n k r u p t c ym o d e l s k e y w o r d s ：m u l t i p l ei n s u r a n c e ；m a r t i n g a l ea p p r o a c h ；r u i np r o b a b i l i t y ；i n s u r a n c er i s k m o d e l ；d i f f u s i o n 合肥工业大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合合肥工业大学 硕士学位论文质量要求。 答辩委员会签名：( 工作单位、职称) 剔吼羡k 舍肥，天瓠攮 仑人炽衔 仑 是缸融 锄鸣墨乃织 啊芗弘咖桫彬 席 员 主 委 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得盒壁工些盍堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：签字日期：年月月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒g g 些去堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。允许论文被查阅或借阅。本人授权金 目b 王些盍堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：导师签名 彳蚀 签字日期：年月日签字目期：年月日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 致谢 在这三年的研究生学习阶段，我的导师黄有度教授不仅在学业上对我 进行耐心的指导，而且还在生活上给予我很大的帮助。黄老师严谨的治学 态度，宽广的胸怀和豁达的处世之道，都是学生学习的楷模。在此，作者 向导师致以最诚挚的敬意和衷心的感谢! 在本人学习期间，还得到了各任课老师的热心的关怀和无私的帮助， 师兄弟们的鼓励和帮助，在此，向他们表示深深的谢意。 作者：段传庆 2 0 0 5 年5 月 第一章绪论 在保险数学，也称精算数学( a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ) 的范畴内，破产论( r u i n 【h e o r y ) 是风险论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容现已公认，破产论的研究起源于瑞典精 算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有近百年的历史。破 产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概率论上的兴趣。事实上，一类最 重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文种提出来的； 不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准它的严格化是以h a r a l d o r a m e r 为首的瑞典学派完成的，是h a r a l dg r a m e 刊哿l u n d b e r g 的工作奠立在 坚实的数学基础之上【2 ”。与此同时，g r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。 现已公认，l u n d b e r g 与g r a m e r 的工作为经典破产论的基本定理。 经典风险模型提出后人们对此模型进行了研究和推广卜”1 。g e r b e r 等研究 了破产前的盈余和破产时的赤字，g e r b e r h u 和s h i ue s w 研究了破产时间， 破产前的盈余和破产时的赤字的联合分布，d u b o u r d i e u 得到著名的b e e k m a n 公 式： 卟) = 薹南【击j 啪) 其中： 嘶) = 弘撼 风( “) 是h ( “) = 片( 1 一f ( x ) ) 出的重卷积 这一公式可以用来估计最终破产概率的上下界。m a l i n o v s k i iv k 得到有限 时间内破产概率的修正正态估计，p i c a r dp 和l e f e v r e c 研究了离散索赔分布在 有限时间内的破产概率，d u f f e s n e ，f ，g e r b e r h u 研究了破产概率计算的三种算 法。 文【”47 1 研究带干扰的风险模型： u ( f ) 其中w ( t ) 是标准维纳过程，表示公司不确定的支出或收入，d u r e n s n 和 g e r b e r 得出生存概率满足得瑕疵更新方程，应用调节系数把瑕疵更新方程化为 适定更新方程，得出最终破产概率的g r a m e r l u n d b e r g 近似。 经典风险模型及其拓广模型h8 - 2 0 l 为描述单一险种的风险经营过程提供了 各种数学模型( 式) 。在这些风险模型中其险种是单一的，由于保险公司风险经 营规模的不断扩大，考虑到用单一的风险模型来描述经营过程的局限性，于是 有人 4 , 2 1 , 2 2 1 研究了连续时间的多险种的风险模型。在此基础上本文在第三章中介 绍了一个广义多险种的风险模型。此模型中保单到达过程为复合泊松随机序列， 、j f ，【 w+x 一c+” 列，理赔到达过程分别为复合泊松过程和复合二项随机序列。运用鞅的理论得 出了模型的有限时间的破产概率和最终破产概率等些有益的结论。随后将此 模型应用于人寿保险，讨论了人寿保险过程的一些统计特性及统计规律，以此 为人寿保险公司的科学决策提供可靠的理论依据。 作为此模型的拓展，作者在第四章给此模型加上了随机干扰项。使得此模 型更能适合实际应用。 第二章经典破产论 2 1g r a m e r l u n d b e r g 经典破产模型 设保险公式在时刻t 的盈余( s u r p l u s ) 由下式给山： f f l u ( f ) = u + c t 一工i ，f 0 ( 2 1 1 ) t = i 其中u 是初始资本，c 是保险公司单位时间征收的保险费率，表示第k 次索赔 额，n ( t ) 则表示至时刻t 为j l 发生的索赔次数。 上述模型的第一个基本假定为独立性假定： 假定1 ( 独立性假定) 设 也：k l 是恒正的，独立同分布的随机变量序列， 汜 f ( x ) = p ( 置x ) ，x 0 = e ( x ，) = j 1 - f ( x ) k ； ( ，) ：，o ) 是以 为参数的p o i s s o n 过程； x k ：t 1 ) 与 ( ，) ：，o 相互独立。 盈余过程 u ( ，) ：f 0 ) 的一条样本轨道示于图1 中： 、 b ( t ) 图1 以下恒记 ( f ) s ( f ) = 以，x o ( 2 1 2 ) 它表示至时刻t 为止的索赔总额( a g g r e g a t ec l a i m ) 。e h 模型的独立性假定知 e p ( ，) = e ( ，) e 五】= 枷 保险公司为运作上的安全，要求： 甜一s ( 明= ( c x , ) t o ，t o 为此需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c ：f 1 + 目1 础 ( 2 1 3 ) 其中口 0 ，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 。 由于p o s s i o n 过程具有齐次独立增量和模型的独立性假定，知 c t s ( t ) ：，0 为齐次独立增量过程。这样，由强大数定理便知： j i m u ( t ) = 惝，a s 定义2 1 1 称t = i n f ( 1 _ o ，u ( t ) o ，u ( t ) o ) 为破产时刻， 为在时刻t 之前破产的概率。 勒：、王( 群) = ，( 丁 m l e ，( o ) = “) 甲( ) = p ( t - - 0 为更新过程，称 川( f ) = 砸( f ) j f o 为更新函数。 记 g ( x ) = p ( x x ) ，t o ，瓯( x ) ，n 1 为分布函数g ( x ) 的n 重卷积， 命题2 2 1 m ( t ) = 瓯( 1 ) 0 特别地，当g ( x ) l e - “ 0 ，使得 p ( y = n d ) = 1 定理2 2 2 ( 关键更新定理)设更新间隔k ，k 1 ，服从非格点分布，且 e x 】 o ，恒有 e e x ( t ) = e e e ( f ) l z ( o ) = e x ( o ) ( 2 2 8 ) 下例给出了构造鞅的一个重要途径。 例1 设 r ( t ) ：，0 是零初值，且具有齐次独立增量的随机过程。记 ( f ) = z ( o ) p 7 ，x ( o ) 为一常数。 若e p “ = 1 ，则 x ( ，) ：f 0 为一鞅。事实上， e i x ( 刮 = i x ( o ) l g l e “ 1 = m ) 懈e “” f = i x ( o ) 1 再列0 兰s r ，恒有 e 一( 叫( r ) ：r s = e x ( s ) e 坤p 。i x ( ，) ：r s = j i ( s ) e p 7 0 一7 j = j f ( 占) e p 7 0 一 = j i ( s ) a s 定义2 2 2 称非负随机变量r 是关于随机过程 爿( r ) 的随机时问，若对一切 t 0 ， r r e 盯 ( s ) ：s f ， 其中仃 ( s ) ：s - t 表示包含一切形如 x ( s ) s x ( s - t ，x e r l ) 的事件的最小盯一代 数。 特别地，称随机时间t 是关于随机过程 x ( f ) 的停时，若 p ( f o 。) = 1 不难验证，若f 时关于随机过程 ( f ) ：f o 的随机时间，则对任意固定的时刻 t ， r a t = r a i n r ，f 是关于随机过程的有界停时。 鞅论的一个重要的结果时可选抽样定理( o p t i o n a ls a m p l i n g t h e o r e m ) ，即给 出适当的条件，使得将( 2 2 8 ) 式中的t 置换成随机时间时，仍然成立。 定理2 2 3 假设f 是关于鞅 x ( r ) ：f 0 的有界停时，则有 虹z ( r ) = e p ( o ) 鞅论的另一个重要结果是收敛性定理。 定理2 2 4 设 x ( f ) ：r o 是一非负鞅，则存在几乎处处收敛的有限极限， 即有 熄z ( f ) = x ( 。o ) r p ( r r ) ( 2 2 9 ) 注意到，当f t 时，u ( r ) 0 ，从而 x ( 小= e “。l 这样，在( 2 2 9 ) 式两端令t 斗o o ，由单调收敛定理与l u n d b e r g 控制收敛定理， 即得 e “= e x ( t ) i t 。 j d ( r 。) + e x ( m ) | r = 。 ，( r = o 。) 再因；i m u ( t ) = + m a s ，故知x ( o o ) = 0 a - s ，从而有 e “”= e e x ( ) i t 。 尸( r 。) 由此即知 一r u y ( “) 2 币相 再注意到u ( r 1 1 ，山上式即知 q j ( u 1 p 一“ 从而l u n d b e r g 不等式得证。 注4 上述l u n d b e r g 不等式得鞅证明途径清晰地显示了鞅论中地可选抽 样定理与收敛性定理所具有地威力。当然，证明的前提是构造一个鞅。例l 提 供了构造一类具体鞅的方法。再将这一方法运用于破产论中的盈余过程时，我 们再次看到了调节系数r 所起的关键作用。 2 3 破产论的一些研究成果 索赔总额过程的推广 经典破产过程中的盈余过程为 u ( ，) = “+ e l s ( t ) 其中索赔总额过程 s ( ，) 为复合p o i s s o n 过程。这一复合p o i s s o n 过程的齐次正 增量性质在经典破产论结果的推导中发挥了重要作用a g e r b e r 在保持 s ( r ) 的 这个一般性质的前提下，对经典破产论做了一系列的推广。主要的推广有两方 面： ( 1 ) 广义复合p o i s s o n 过程 暂且假定索赔总额过程 s ( ，) 为经典破产论中的复合p o i s s o n 过程，其中 f f l s ( t ) = 五 现考虑至时刻t 为止的，个体索赔额大于x 的索赔额，记为s ( ，) 。显然，s ( r ) 可视为 x 趋于零时s ( t ，x ) 的极限。此外， s ( ，x ) ：，0 仍为一复合p o i s s o n 过程， 这时个体索赔额的分布为 f 0 y x ( 2 3 1 ) 11 一f f x l “ 而由p o i s s o n 过程的稀化，则知索赔计数过程( ，x ) 是以札1 一f ( x ) 为参数的 p o i s s o n 过程。 若记 9 ( 工) = 1 - f ( x ) 则由( 2 2 1 0 ) 式知 f 0 ， y z 州习。1 ，一黜，蹦 。_ 3 2 lq ( x ) 。 受此启发，我们可如下构造更具般性的索赔总额过程 s ( ，) ：，0 ：先假定 o ( x ) 是x 的非负递减函数，且满足 ! i m o ( 工) = 0 ，j q ( x ) 出 0 0 其次，假定 s ( r ，x ) ：r 0 ) 是这样的复合p o i s s o n 过程：其索赔计数过程 j v ( ，x ) 是以o ( x ) 为参数的p o i s s o n 过程，而个体索赔额的分布函数则由 ( 2 2 1 i ) 式给出最后，假定 s ( r ) ：，0 为复合p o i s s o n 过程 s ( f ，x ) ：f 0 当x 趋于0 时的极限。以下称这样的极限过程为广义复合p o i s s o n 过程 特别地，当o ( 0 1 0 ) 的 b r o w n i a n 运动。此外，假定 ( ，) ：r 0 ) 和 s ( ，) ：，0 ) 相互独立。 显然，破产概率甲( “) 可分解为 甲( “) = 甲。( “) + 甲，( “) 其中v 。( “) 表示因随机扰动而引起的破产；甲，( “) 则表示因索赔引起的破产。 显然甲。( 0 ) = 1 ，从而 甲，( 0 ) = o ，v ( o ) = 1 现设r 为方程 m 。( r ) + 车r2 = l + ；，( 2 3 3 ) 的唯正根，并称其为新模型的调节系数。 注5 上述方程有解，表明个体索赔额在某种意义下式“小索赔”。此外，不难 验证，方稃( 2 2 1 2 ) 若有正解，女目必唯。义当d = 0 时，r + 即为经典模 型中的调柯系数r 。 现设 爿( ，) = “、_ = 肖( o ) e 7 ( 其中 ( o ) = e “7 “，r ( ，) = 一凡+ y ( f ) + 缈( f ) 显然， i ，( ，) ：，0 是齐次独立增量过程。再因 e e “” = m 呻) ( 一r + ) e f e 一”。1 = 唧 五m x ( r ) 。c r e x p 协d ) ( r ) 2 = e x p a ( 月。) + d ( 月+ ) 2 一五一c r ：1 这表明 ( f ) ：，0 为一正鞅，故类似于经典破产模型，仍可证得： 叭小币赫钾“ 此外，d u f r e s n e 和g e r b e r 在文【3 1 】中直观地导出了生存概率r ( “) 和破产概率 甲一( ) 满足地瑕疵更新方程；由此也可导出甲。( “) 与甲( “) 满足地瑕疵更新 方程，若再利用调节系数r 将这些瑕疵更新方程化为适定更新方程，由关键 更新定理便可分别导出甲。( “) 与甲。 ) ( 从而也就导出了v ( u ) 的 l u n d b e r g g r a m e r 近似) 。 2 4 经典破产理论研究内容的扩展与深入 ( 1 ) 破产前瞬时盈余和破产时赤字 g e r b e r 等对于经典破产论研究的另一贡献是引入了另外两个刻画保险公司 破产情形的随机变量： z = ( r 一) 与r = l u ( r ) f = - u ( r ) 其中y 表示破产赤字( d e f e c to fr u i n ) ，x 表示破产前瞬时盈余( s u r p l u s i m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ) 。这样，除了破产概率甲f “) 外，刻画保险公司风险的 概率尚有 g ( “；y ) = j p ( u ( r ) 一y ；t o 。l 【，( o ) = “) f ( “；y ) = p ( u ( r 一) x ；丁 0 时， + 般 而言难于求出f ( u ；x ) 和g ( u ；y ) 的显式，这时可在方程( 2 4 4 ) 两边同乘e “( r 为调节系数) ，而将瑕疵更新方程化为适定更新方程，从而分别求出它们的渐进 解 f ( u ；x 1 匹p ，“。0 0 ，v x o ； g ( u ；y 1 五e 一“，“斗鸭砂0 ( 2 ) b e e k m a n 卷积公式 ( 2 4 6 ) 式是一个很重要的公式，由它可导出许多有趣的结论。首先，由( 2 4 1 ) 和( 2 4 6 ) 两式知 _ p ( y i u ( t ) i y + a y ；丁 。i u ( o ) = o ) “g ( o ；y ) 砂= 尝 1 一f ( y ) d y 这样，g ( 0 ；y ) d y 可理解为盈余过程首次低于盈余u ( 不论u 为何值) 的i n 时， 首次落差( 记为厶) 介于y 与y + 砂之间的概率。于是，若以首次落差为条件， 对破产概率应用全概率公式，由盈余过程的齐次独立增量性即得： v ( u ) = p ( ， m j ，( o ) = “) = p ( 丁 。i u ( o ) = “，厶= z ) g ( o ，z ) 出 + p ( r m l u ( o ) = “，厶= = ) g ( o ，z ) 出 = 詈p o z ) 1 一f ( z ) 出+ 鲁1 一f ( z ) 出 这便是关于破产概率甲( “) 的瑕疵更新方程( 2 2 6 ) 。 其次，因 g ( o ；y ) 方= 等i 1 1 一f ( y ) 咖= 五1 万i 1 1 一f ( y ) 咖 另由概率乘法定理知 p ( y | u ( 丁) i y + 砂；丁 m l u ( o ) = o ) 5 南尸( y i v ( r ) l s y + 砂i u ( o ) = 咿 m ) 这样，由( 2 4 5 ) 即知 1 4 p ( y l u ( r ) l y + 咖l u ( o ) = o ， 1 时，以( “) 为分布函数h ( “) = i h ( z ) d z 的n 重卷积。 ( 2 4 8 ) ( 2 4 8 ) 式便是著名的b e e k m a n 卷积公式，是经典破产论的又重要结果。这 一公式可以用以估计破产概率的上下界。 ， 玎 1 1 ” 0 ，在某概率空问f q ，f ，p 1 上，给定： ( 1 ) 取值在( o ，。) 上的独立同分布随机变量r ，i = o ，1 ，2 ，假定= e ( r ) 0 0 ： ( 2 ) 具有参数p 的二项随机序列| v s ( n ) ) 二0r p e ( o ，1 ) 假设 r ) ：，与 n ； ( ”) ) ：。相互独立。令 h 1 r ( ”) = “+ c ”一s ( 一) ，s ( n ) = 一= o ，1 ，2 ， j ：i 称 r ( ”) ) 二。为复合二项风险模型( c o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e l ) 。 模型的实际背景：在保险公司的事务中，t l 是初始资本，c 是每单位时问 内收取的保费，是公司唯一的收入。n 是公司运作的时刻，即公司收取保费和 进行赔付均在离散时刻进行，在连续时间段( ，v 一1 ) 中进行的一切工作，我 们视为是在时刻n 进行。投保人发生事故后公司对其进行赔付是公司唯一的支 出，记第i 次赔付量为r ，则弛 ：为取正值的独立同分布随机变量序列。( n ) 为在时刻n 为止的公司赔付总次数，服从2 点分布： p ( 厶= 1 ) = p ，j d ( = 0 ) = q y n = l 2 ，f p + 9 = 1 ) 在实际中， ：相互独立，因而易证； ( ”) 二。是参数取p 的二项随 机序列。s ( 珂) 是到时刻n 为止的总赔4 , 3 量，则r ( n ) 为公司在时刻n 的盈余资 本。 对c b r m 保险公司关心的重要问题是：到某一时刻为止没有破产的概率 和最终破产的概率。这里，所谓破产定义为盈余资本为负，盈余为负的最小时 刻我们定义为破产时刻，即 r = r a i n n z + ：r ( 月) 0 ) 0 ，令 只+ ( 7 ) = “+ c r t 互，n = o ，1 2 称 月+ ( n ) 二。为r 一型离散风险模型。 引理3 1 1 月( ”) 二。和r + 一型离散风险模型 月+ ( ”) 二。等价，即二者可以互相转 化。我们定义安全负荷系数口：! ! 坐。 引理3 1 2 对于 r ( 一) ) 二。，以p 一概率有 ( 1 ) 若p 0 ，则。l i m 。r ( ) = 悯： ( 2 ) 若0 0 的情况，即 c p 。我们记每次赔付量y 的矩母函数为m ，( r ) ；e e “ ，r ( 一m ，+ m ) ，由于 s ( n ) 服从参数为n ，p 的复合二项分布，故其矩母函数为： m ( ，) = e e e “ = ( 叫，( ，) + g ) “ 引理3 1 3 对于方程州r ( r ) + q = e 7 ，当l o ，故曲线g ( ，) 是下凹的。而另由已知假设e 【y 】= 芦 1 知 l i r ag ( r ) = l i n l ( p e e ( v - ) + g 。”) = + 。 墼g ( r ) = 鲤( 妒 ” 坶”) = 栅 故g ( ，) 有唯一极小值点，设为。又因为掣j 。= 阳p 一1 卜g = p l ，则当 ( 1 ) 1 去棚p l 时，有皇娶堕l 。 o ，并同样注意到g ( o ) = 1 ，则a r 口 。 得出 r o 0 且g ( ) 1 ，且亡时，其破产概率为 p m e e - r ( 朴( h ) r l f ： “叫2 下而啊未f f 南钢 其中r 为调节系数。 证明： 对于v n 0 及r ( 一呜+ ) ，我们考察 e e 一“。 = e e 一8 扣1 1 r ” p ( r n ) + e i e - e ( ) i r n p ( r ”) ( * ) 对于( + ) 式左端，因为r ( n ) = “+ 阴一s ( n ) ，其中s ( n ) = l ，故 e 口一墒” = 口一”+ 饼上r e 晒” = p 1 “( p m r ( ，) + g ) ” 而对于( + ) 式右端2 项分别记为1 1 和，将r ( n ) 写成 r ( 玎) = r ( f ) + c ( 玎一f ) 一( s ( 玎) 一s ( r ) ) 对于给定的f ，s ( ”) 一s ( o - 与r ( f ) 独立，且服从参数为”一f 和p 的复合二项分 布，从而 ，l ：e e m ( f ) e - 一) er ( 8 ( n ) “( 嘞i f n p ( f n ) = e le - r r p 卜叫( p m r ( ，) + g ) 一i f 疗l p ( f ，2 ) 同理 厶= e e r f 一“n f ( p m r ( ，) + g ) ”一i r 行 p ( r ”) 由引理3 1 3 知条件，调节系数r 存在，选取r = r ，于是( 4 ) 式左端可化为 e p 一”( n ) ：e 一。( ) p “ lj ：e e 一“( 1 同时右端可化为 五= 吐e “p e = p 一8 ( 。一1 p 1 9 、j 0 q p f p 以吐 1 ， 一 七 l r e 晔 一p 驴岫可a最式 理 是 同 于 p “：e p 州州f 】_ p 刊i f 1 尸( f n ) + e e 一叫叫叶一卜”o i f i p ( f n ) 对上式，令”。，并注意到j p ( f + o 。) + p ( f = 。) = 1 ，化简就得到了所要证明的 表达式。 定理3 1 2 对于 r ( n ) 1 2 。，若p p p o ar ( 一o 。，十o 。) ，我们对定理3 1 1 的( 4 ) 式作如下化筒，其左端 和右端的厶同定理3 1 1 化简，1 2 ；f z 为，则有 一 e _ r ( 驯( p 峨( r ) 十g ) “= e p 州计e 一扣1 ( p m r ( r ) + q ) i f nh r n ) + e p 一球扣 f 聆 p ( r 一) 由已知条件及引理3 1 3 ，调节系数r 存在并且为正，选取r = r ，则上式可化简 为 。一：e e - r 七_ 1 ) f p 0 ，考察 = “+ ”口一萨，只要n 充分大，它 是正的，而且当n 一。0 时，a - - , 、o o 。我们将厶用r ( n ) 与 的大小拆成2 项，即 ，2 = e 卜一”( n l r n p ( r h ) = e p 州川睁邶r ( n ) 尸( f 狐o r ( n ) ，、) + e p + 艘如1 f r ( 门) p ( f ，r ( n ) ) 尸( o r ( 门) ) + e 一卧 由c h e b y c h e v 不等式得 2 、 p ( o r ( 门) ) = 尸io r ( ) e r ( 以) 一尸n 了j ， ，2 、 尸| l r ( 竹) 一e r ( 竹) i 卢胛j 】 脚 矗( n ) 。，z i = n - 3 从而当n 斗有 厶：e 8 ( “p l e 肌一1 】n h 3 + p n ( 。曲“ ：p 雌咖月一j + e r u e l 。( p n 呻p 脚3o 0 3 2 一类离散双险种风险模型 1 模型的引入 设u 0 ， o ，下随机变量都定义在完备概率空间( q ，f ，p ) 上。 ( 1 ) y k ，k = l 2 是取值于( o ，。) 的独立同分布随机变量序列； z ，f = l ，2 是取值于( o ，0 0 ) 的独立同分布随机变量序列：假定e 几】= ，e 刁 = “ ( 2 ) n ( 珂) ，门= 1 ，2 ， 是具有参数为五的p o s s i o n 序列。 ( 3 ) b ( ”) ，门；l ，2 ， 是具有参数为p 的二项序列。 s ( n ) = c n y ( 胛) 一z ( 疗) ，k = 1 ，2 ，i = 1 2 假定 虬，k = l ，2 ，) ， 刁，i = 1 ，2 ) ， ( 胛) ，玎= 1 ，2 ，) ， b ( 疗) ，门= 1 ，2 ， 是 互独立的，则 r ( 胛) ，托= 1 ，2 ， 即为我们所讨论的双险种风险模型。 模型的实际背景： ( i ) u ( o ) 是初始资本，c ( o ) 是每单位时间收取的保费，是公司的唯一收入。 ( i i ) 儿表示险种i 第k 次赔付量；z ，表示险种i i 第i 次赔付量。 ( i i i ) 0 ) 表示时间段( o ，n 】内险种1 赔付总次数，b ( ，z ) 表示时间段( o ，玎】内 险种i i 赔付总次数，是公司唯一的支出。 ( i v ) r ( n ) 是公司在时刻n 的盈余资本。 为保证公司的稳定运营，定义安全负荷系数p = _ “+ p p l 为了研究方便，以下假设c = 1 2 主要结果 性质1 赢利过程s ( ，2 ) = c 一y ( 胛) 一z ( n ) 具有平稳性。 引理1 对于赢利过程s ( n ) = c 门一】，( 胛) 一z ( 疗) ，在函数g ( r ) ，使得 e le x p ( - r s ( n ) ) i = e x p n g ( ，) 引理2 方程五蚝( ，) + i n ( p m ( r ) + g ) = r 存在唯一正解r 3 r 定理3 在风险过程 j r ( ”) ，盯= 1 ，2 ， 下，设r 为调节系数，则最终破产概率为 甲(“)21j夏；i二j