（应用数学专业论文）不确定非线性系统的鲁棒控制(1).pdf

摘要 本文考虑了一类广义下三角非线性系统的鲁棒适应比控制及干扰衰减问题和一类 不确定非线性时滞系统的鲁棒自适应控制问题其不确定性主要来自未知的连续参数、时 变扰动及不可预期的非线性性 首先，我们介绍了与研究内容相关的背景，给出了本文研究所需的一些预备知识 其次，我们研究了一类广义下三角非线性系统的鲁棒适应王k 控制，文中系统是一类 多项式下三角结构，应用b a c k s t e p p i n g 方法和改进的幂积分方法，设计了一种新的鲁棒 适应风。控制器，不仅使闭环系统全局渐近稳定并且满足上k 范数界，y 数值例子和仿真 证明了结论的有效性 进一步地，我们在上一章的基础上研究了具有零动态和干扰的不确定广义下三角高阶 非线性系统的鲁棒适应日干扰衰减问题运用本质改进的加幂积分器技巧及b a c k s t e p - p i n g 算法设计出一个光滑鲁棒反馈控制律，使得闭环系统既具有内稳定性，又使系统达到 干扰衰减数值例子证明了结论的有效性 最后，我们研究了一类不确定非线性时滞系统的鲁棒自适应控制，利用l y a p u n o v 稳 定性理论和线性矩阵不等式( l m i ) 方法，巧妙地构造了鲁棒自适应控制器，保证了闭环 系统是渐近稳定的后面的数值例子和仿真证明了结论的的正确性和有效性 关键词：鲁棒风。控制，下三角系统，b a c k s t e p p i n g 方法，加幂积分器，上k 干扰衰减 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fr o b u s ta d a p t i v e 如c o n t r o la n dd i s t u r b a n c e a t t e n u a t i o nf o rac l a s so fg e n e r a l i z e dl o w e r - t r i a n g u l a rn o n l i n e a rs y s t e m sa n dt h ep r o b l e m o fr o b u s ta d a p t i v ec o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e d e l a y , w h e r e t h eu n c e r t a i n t i e sm a i n l yc o m ef r o mt h eu n k n o wc o n t i n u o u sp a r a m e t e r s ，t i m e - v a r y i n gd i s - t u r b a n c ea n du n k n o w nn o n l i n e a ru n c e r t a i n t i e s f i r s t l y , w ei n t r o d u c es o m er e l a t e db a c k g r o u n do ft h ep a p e r ，t h e ng i v es e v e r a ll e m m a s w h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e r s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fr o b u s ta d a p t i v eh c o n t r o lf o rac l a s so fg e t t e r - a l i z e dl o w e r t r i a n g u l a rn o n l i n e a rs y s t e m s t h es y s t e mo ft h i sp a p e ri sap o l y n o m i a ll o w e r t r i a n g u l a rf o r m b a s e do nb a c k s t e p p i n gm e t h o da n dm o d i f i e dp o w e ri n t e g r a t o rm e t h o d ， t h en e wr o b u s ta d a p t i v e 比c o n t r o l l e ri sd e s i g n e d ，w h i c he n s u r e st h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dm a k e sh n o r mb o u n d t h ei l l u s t r a t i v ee x a m p l e a n ds i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f yt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec o n l u s i o n b a s e do nt h ep r e v i o u sc h a p t e r ，w ef u r t h e rc o n s i d e rr o b u s ta d a p t i v e 如a l m o s td i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o np r o b l e mf o rac l a s so fh i g h - o r d e rn o n l i n e a rs y s t e m si ng e n e r a ll o w e r t r i a n g u l a rf o r mw i t hz e r od y n a m i ca n dd i s t u r b a n c eu n c e r t a i n t i e s b a s e do nt h ea d d i n go n e p o w e ri n t e g r a t o rt e c h n i q u ea n db a c k s t e p p i n gp r o c e d u r e ，t h i sp a p e rc o n s t r u c t sas m o o t ht o - b u s ta d a p t i v ed y n a m i cf e e d b a c kl a wt h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b l ea n da c h i e v ed i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o n t h ei l l u s t r a t i v ee x a m p l ev e r i f yt h ee f f e c t i v e - n e s so ft h ec o n l u s i o n f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fr o b u s ta d a p t i v ec o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i n n o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e d e l a y , u s i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h el i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t ya p p r o a c h ，t h er o b u s ta d a p t i v ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e dt oe n s u r et h eg l o b ma s y m p - - t o t i cs t a b i l i t yp r o p e r t y i l l u s t r a t i v ee x a m p l ea n ds i m u l a t i o nr e s u l t sv e r i f yt h ec o r r e c t n e s s a n dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ec o n c l u s i o n i i i k e yw o r d s ：r o b u s t 比c o n t r o l ，l o w e r - t r i a n g u l a rs y s t e m s ，b a c k s t e p p i n gm e t h o d ， p o w e ri n t e g r a t o r ，比a l m o s td i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o n i v 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：圭：苎： 日期：羔! ! ! ：圭：三2 签名： 皇：；皇：日期：羔! ! ! ：兰：1 2 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范 大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 导师签名。 4 9 第一章绪论 1 1 学科概述 随着科学技术的不断发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种较为精确 的分析和科学实验的结果表明，任何一个实际的物理系统都是非线性的所谓线性只是 对非线性的一种简化或近似，或者说是非线性的一种特例以往我们经常采用近似线性模 型，这虽然有助于我们方便地分析系统的特性，但是这种有误差的线性近似法难以全面地 刻画出系统的本质特性，远远不能满足现代生产中高科技应用对精确度的要求 自2 0 世纪8 0 年代以来，非线性科学越来越受到人们的重视很多工程实际问题都需 要用非线性科学的思想和方法来解决，例如卫星的定位与姿态控制过程、机器人的特定动 作等而且伴随着科学的需求，数学中的非线性分析、非线性泛函，物理学中的非线性动 力学，发展都很迅速与此同时，非线性系统理论也得到了蓬勃发展，有更多的控制理论 专家转入非线性系统的研究，更多的工程师力图用非线性系统理论构造控制器，取得了一 定的成就但现代的非线性科学仍处于探索和发展阶段，许多方法和理论还很不完善，许 多更复杂的非线性控制问题仍需努力和进一步的研究 1 2 研究背景及现状 控制理论是自动化的基础，而自动化又是将人类从繁重危险的体力劳动中解放出来， 提高劳动生产率和产品质量的关键技术对于一个具体的实际系统，由于其内部非线性机 理的复杂性和外部环境的不确定性，使得人们仅凭自己的感觉或经验无法达到高精度的控 制要求，而必须依靠强有力的理论指导这种理论又必须能给出最优( 或满意) 的控制策 略使系统达到定量的精确( 或理想) 指标这就决定了控制理论与数学方法的必然联系 对于一个被控系统，控制理论必须回答三个基本问题：( i ) 系统能否被控制? 可控性有多 大? ( i i ) 如何克服系统结构的不确定性及干扰带来的影响? ( i i i ) 如何具体找到和实现满 足要求的控制策略? 1 不确定非线性系统的鲁棒控制 为了回答上述问题，首先必须建立系统的数学模型由于实际系统的复杂性，往往不 能从基本的物理、化学和生物学定律直接导出准确的数学模型，而必须利用系统的输入和 输出数据做“反演”，这就形成了系统辨识理论由于系统的许多状态变量无法直接测量 且系统中常有随机噪声的干扰，这就发展了信号滤波理论又由于许多系统的结构参数无 法事先确定且随时间不断变化，这就产生了鲁棒和自适应控制理论对于具有更大不确定 和复杂性的系统，还需要发展能更好地模仿人类智能的智能控制理论为了得到具体的控 制策略，需要动态全局优化的数学理论和方法，而为了真正实现这种策略，还必须借助于 先进的计算手段和各种仪表与执行部件 上世纪5 0 年代末，自动控制经历了从古典控制理论到现代控制理论的转变古典控 制理论主要讨论单输入单输出线性系统，单复变函数论和平稳过程理论等是古典时期重要 的数学工具从1 9 6 0 年开始，由于具有多输入和多输出的现代设备变得越来越复杂，古 典控制理论渐渐变得无能为力，而利用状态变量、基于时域分析的现代控制理论开始显示 出其强大的生命力 现代控制理论诞生的标志包括前苏联著名数学家p o t r u a g i n 的极大值原理，美国著名 数学家b e l l m a n 的动态规划和k a l m a n 的递推滤波以及状态空间模型的能控性、能观测 性、反馈镇定等代数理论的出现等从1 9 6 0 年到1 9 8 0 年，无论是确定系统的最佳控制， 还是随机系统的最佳控制，乃至复杂系统的自适应控制，都得到了充分的研究1 9 8 0 年 以后，随着更多研究者关注不确定系统，现代控制理论的进展集中到了鲁棒控制、民控 制及相关课题至今，鲁棒控制仍旧是控制理论的研究热点之一 鲁棒控制的主要思想就是如何设计出一个控制器，使得当一定范围的参数不确定性及 一定限定的未建模动态存在时，闭环系统仍能保持稳定并且满足一定的动态性能品质 鲁棒控制自提出以来，很陕受到了人们的广泛重视和研究，取得了一系列的研究成果和方 法，特别地，随着求解凸优化问题的内点法和椭球法等有效算法的提出，线性矩阵不等式 的求解可以转化为凸优化问题的求解控制理论研究中经常遇到二次矩阵不等式，通过 s c h u r 引理 1 】可以转化为线性矩阵不等式目前已经出现许多求解线性矩阵不等式的优 秀工具软件，例如，m a t l a bl m it o o l b o x 2 】等，它的应用使得各种线性矩阵不等式问 题的求解更加简单、方便、直接因此，这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能得到 广泛应用的主要原因之一 自上世纪8 0 年代以来，线性系统的鲁棒控制理论得到飞速的发展，形成了比较完整 2 第一章绪论 成熟的理论体系，最突出的标志有乩控制和p 方法等由于实际系统中的被控对象常 常伴随着诸如未知参数、建模误差、外部干扰等各种各样的不确定因素，因此实际控制系 统都是非线性的随着生产水平和科学技术的发展，对控制系统的质量和精度要求越来越 高，使得非线性系统的研究显得特别重要在近几十年来，对基于不确定非线性控制系统 的鲁棒控制、自适应控制、耳控制、几乎干扰解耦等问题的研究已成为目前非线性系统 控制理论研究的热点和主要问题，并取得了明显的进展【3 9 ，4 垂4 6 】但由于对非线性系统 控制尚无统一的处理方法，故对非线性系统控制问题，较可行和现实的方法是针对一些较 有代表性的非线性系统进行鲁棒控制、自适应控制、日o o 控制、几乎干扰解耦等问题的分 析和综合研究如文献【1 0 】考虑了一类带扰动的仿射非线性系统的上k 控制问题，包括 状态反馈和输出反馈两种情形，基于h a m i i t o n - j a c o b i 不等式的变换，直接给出了相应解 的一种构造以及构造性判据，从而避免了求解h a m i i t o n j a c o b i 不等式的变换 在本文的第二章讨论了一类广义下三角非线性系统的鲁棒适应如控制问题高次 下三角结构非线性系统的研究已成为非线性领域一个重要的内容，得到相当的关注如文献 【1 1 ，1 2 1 这类系统比严格反馈系统更具一般性，并且是不可反馈线性化，控制输入非仿射 的本章中研究了一类多项式下三角结构非线性系统，它将下三角结构加以拓展，使得文 中所研究的系统不仅包含了上述重要的下三角结构，而且具有更为一般的下三角形式在 文中，对于包含未知参数和干扰的广义下三角系统，通过改进增加幂积分设计【1 3 ，1 4 】的方 法和b a c k s t e p p i n g 1 5 】递推算法，构造了鲁棒耳。o 控制器，使得在l 2 增益意义下从干扰 输入到控制输出的影响任意小，使其具有全局渐近稳定性并且能够满足王k 范数界后面 的第三章是在第二章的基础上进一步研究了具有零动态和干扰的不确定广义下三角高阶 非线性系统，运用本质的加幂积分器技巧及递归算法，由一般的三2 m l 2 m p ( m = l ，2 ，) 所定义的一般非线性增益指标，设计出一个光滑鲁棒适应反馈控制律，实现了闭环系统的 内部稳定及干扰衰减 一个实际控制系统，它的动态特性一般难以用精确的数学模型进行描述，有时即使能 获得控制对象的精确数学模型，但由于过于复杂，利用现有的控制系统设计手段也无法实 现，因而不得不进行简化，此外，随着生产过程中工作条件环境变化，控制系统中元器件 老化或损坏，控制系统本身的特性也会随之发生变化，众多因素导致所建立的数学模型和 实际的控制系统之间不可避免地存在误差及不确定性而时滞现象是极其普遍的，且存在 于许多系统中，如化学反应过程、柔性机器人、神经网络、最优控制、气动传动的等各种 3 不确定非线性系统的鲁棒控制 工程系统中，时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的存在也 往往是系统不稳定和系统性能变差的根源因此研究时滞系统的鲁棒稳定性和鲁棒控制成 为控制理论中的重要内容之一而所谓鲁棒性是指系统稳定性或性能相对于系统参数摄动 的不敏感性系统的鲁棒性愈好，可保持稳定性或性能的参数允许摄动范围愈大在控制 理论中，控制器的综合总是相对于系统标称模型得到的，而建模误差和参数摄动又是不可 避免的，因此鲁棒性已成为衡量系统性能的一个重要指标综上所述，研究不确定时滞系 统具有重要意义 在过去的几十年里，不确定时滞系统的稳定性分析和镇定问题受到了很多学者关注， 并取得了丰硕成果1 72 9 在取得的结果中，根据是否依赖系统中时滞的大小，可分为时 滞独立【2 5 】和时滞依赖 2 6 2 9 】两类在时滞独立的稳定条件下，对所有时滞d 0 ，系 统或闭环系统都是渐近稳定的；而在时滞依赖的定性条件下，对小于或等于d 0 的某 些值，系统或闭环系统都是渐近稳定的，对大于时滞d 0 的某些值，系统或闭环系统是 不稳定的一般来说，当时滞较小时，时滞依赖的定性条件具有较小的保守性而非线性 系统出现了时滞问题将更加复杂和难以处理因此近年来，非线性时滞系统的鲁棒控制问 题已引起了许多研究者的重视，见文献3 0 一3 7 ，4 8 第四章讨论了一类不确定非线性时滞系统的鲁棒自适应控制问题文中对其非线性项 提出一个新假设，利用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式方法，巧妙的构造了鲁棒 自适应控制器，使得闭环系统渐近稳定 1 3 预备知识 引理1 3 1 【1 6 1 对实数a ，b 和c t ，i = l ，2 ，l ，假设d j ：科十1 _ 蹰，歹= 1 ，2 是两 个光滑函数，则对任意的正整数m ，n 和实数n 0 ，存在两个非负光滑函数d 3 ：噼+ 2 一 睨，d 4 ：蜊+ 1 _ 睨，有以下不等式成立 ( 帅m 【( 6 + n d l ( c 1 一，c l ，。) n 一( q d l ( c ”一，c l ，n ) ) n 1 i 丙1 扣+ i b l m + n d 3 ( c l 一，c l ，。，6 ) ； ( 税) 1 6 n ( c ? + + c 仇+ b m ) d 2 ( c l ，c l ，6 ) i 4 坐兰寻业芷+ 卯+ n d 4 ( c 1 ， c l ，6 ) 1”1 ”。 第一章绪论 引理1 3 2 【1 j ( s c h u r 补性质) 对给定的对称矩阵l 研l 研2i ，其中研1 是r 维 i 1 2i 的，则以下三个条件是等价的： ( i ) ( i i ) ( 撕) s s , 1 岛2 0 ，岛2 一既岛1 & 2 o ； 0 ，i = 1 ，n 关于( z i + 1 ) ( z n + 1 = 钆) 的描述是本文的要点，h i ：验_ 跪，也( o ) = 0 ，它是关于状态 盈+ 1 的多项式，表示为如下形式： h i ( x i + 1 ) = a x ? ； 1 i 1 1 + a ，。x 。- 1 i 2 1 + + o t 略l ( 2 - 2 ) 其中口饿p + i1 是最低次项且正整数p i l p i 2 p i 0 关于多项式( 2 2 ) ，有以下两个 条件： 假设2 戤是正奇数且p l p 2 p n 假设3 将( ) 写成h ix i + i ) = h ix i + i ) 璎1 ，存在正实数民 0 ，使得h i ( ) 满足 h i ( x i + 1 ) = ”a 。1 m p 件i 1 1 - - p + a 。p 。1 i 2 - - m + + a i 瓯 ( i = 1 ，2 ，礼) 7 u 灿暾 o 饰懈 一 郇 的 。，珀小忍 出胁l 危) = m 0 = 一忙蕾 ， t烈耽 阻 = l l = ? 一一 不确定非线性系统的鲁棒控制 其中x i + 1 孵 注多项式下三角结构系统包含了许多的下三角系统，例如，当h i ( x i + 1 ) = x i + l 时为严格 反馈系统；当( 现+ 1 ) = 啦! p i 是正奇数) 时，为高次下三角系统因此，该系统将下三 角结构推广到更为一般的形式 本文的目的就是对系统( 2 1 ) 设计一个光滑反馈控制器u 和一个自适应控制器，使其 与系统( 2 1 ) 组成的闭环系统满足 ( i ) 当u = 0 时，闭环系统在平衡点z = 0 处渐近稳定； ( i i ) 在初始状态x ( o ) = 0 下，对于给定的，y 0 ，使得任意非零“，l 2 o ，o o ) 满足 知s ) 2 p l d 8 0 ，有 咣+ y 2 p 1 一p 8 | | 2 = 碹1 ( g l ( x 1 ) h l ( x 2 ) + ( z 1 ，亡) 口+ 砂。( z 1 ，亡) “，) + z ? 1 一痧丁痧一p l l u i l 2 = 贯1 ( g l ( z 1 ) 五1 ( z 2 ) z ；1 + ( z 1 ，t ) 痧+ 1 ( z 1 ，亡) u ) + z ? 1 + 1 ( z ，t ) 痧 一晷t 痧一i i u i l 2 z ：1 9 1 ( z 1 ) 元1 ( z 2 ) 蠼1 + 砰1 ( z 1 ，亡) 痧+ z 2 1 p 1 + 舛1 妒1 ( z 1 ) l l u l i p l i u i l 2 + ( z ：1 ( z 1 ，亡) 一- 7 上0 “t ) 百 斌1 ( 9 。( z ，) 无。( z 2 ) 碹1 + ( z 。蚕+ 贯- ( 1 + 掣) ) + ( 丁1 一去伊) 百 其中7 1 = 碹1 f 1 ( z l ，亡) 根据假设4 和假设5 存在非负光滑函数声1 ( ) 和亍1 ( ) ，使得 将( 2 - 3 ) 代入上式有 睹十y 2 p ，一i i u i l 2 1 ( 夕t ( z - ) 元。( z 。) 1 + 贯1 ( 卢。( z 。，痧) + 1 + 譬筹立) ) + ( n 一去参t ) 痧 根据假设1 和假设3 ，设计虚拟控制器 这里光滑函数历( ) 0 ，则 口2 ：一z 。 兰二! 二掣 者 = 一x 1 p 1 ( x 1 ，0 ) 讶+ 印z 一i f u i | 2 1 ( 夕- ( z t ) 讯2 ) 蠼1 9 。( z ，) 6 q ；1 ) 一佗z ；p 1 + ( n 一妻参t ) 痧 一 b , x 2 p 11 + 砰1 矽1 ( 牙2 ) ( 述1 一q ；1 ) + ( n 一蚕丁) 孑 、 ( 2 - 3 ) 9 0m d轨。扛 z _ n 0 ， i = 1 ，7 关于鬼( 规+ 1 ) ( z 件1 = u ) 的描述是本文的要点，h t ：睨一蹰，h i ( o ) = 0 ，它是关于状态 z 的多项式，表示为如下形式： h i ( x i + 1 ) = 。a n 。一p 件i 1 1 + o t 2 霹籍+ + 口t 瑶1 ( 3 - 2 ) 其中a i z 磐1 是最低次项且正整数p i l p i 2 p i 0 关于多项式( 3 - 2 ) ，有以下两个 条件： 假设2 鼽是正奇数且p l p 2 p r 假设3 将( ) 写成h i ( x i + 1 ) = 危( 甄+ 1 ) 识1 ，存在正实数盈 0 ，使得或( ) 满足 鬼( z 件1 ) = u a n 山p 件i l l - 鼽+ a x p ；_ r 2 - 似+ + a i 瓯 1 9 不确定非线性系统的鲁棒控制 鲁棒适应f k 干扰衰减问题( r a h = 一a d d ) ：任给，y 0 ，若存在一个光滑时变动态 反馈； 蚕= p ( z ，z ，痧，亡) ，p ( o ，0 ，痧，亡) = 0 ；u = u ( z ，z ，痧，亡) ，u ( o ，0 ，蚕，t ) = 0( 3 4 ) 使得闭环系统( 3 1 ) 和( 3 4 ) 满足 ( i ) 当u = 0 时，系统在平衡点z = 0 ，z = 0 处渐近稳定； ( i i ) 对于w ( t ) l 2 m ( m = 1 ，2 ，) ，系统从初始状态4 0 ) = 0 ，x ( o ) = 0 出发的解的响应 满足 j 0 0 tl y ( s ) 1 2 r a p ld 8 7 2 o i i ( s ) 1 1 2 m d s ，v t 。 ，o o l p = z ( 圳i i z ( s ) l l p d s 0 则对任意的p 0 有 访( z ，z 1 ，百) + y 2 m p - 一2 p i i u i l 2 m 其中 一o a v zf o 舭语- - 。2 蚴协础+ 尝讹矧u 刊川 + 差( 胁，训一胁，蝴) 痧+ y 2 m p l ( 那) 一秒2 m p l ( 邵：) 满足 + 警( 北训呐( 础：) ) + 9 2 1 ) p 1 ( 讹z ， t ) 一 筹讹训u p i i 叫1 1 2 m + 2 m 一1 ) 肌g 。( z 1 ) 五1 ( z 2 ) 递1 + i 2 m 一1 p 1 ( ( z ，z ，亡) 一 一丁1 ( z ，矗，蚕，亡) p 。p ，矗，痧) + ( 7 1 ( z ，。，参，) 一妄参t ) ( 莎+ n ( ) p l ( ) 萼胞z 。) ) 痧 d z j 口1 ( 名，1 ，汐) ) 珀( 2 m - 1 ) p l ( 胁，础) 一磐胁，训) + a a y zf o ( 锄) = a ( 9 2 r n - - 1 ) p l 等一器) t 1 = x l z ；( z ，p ) n ( ) i i ( i z l l 2 唧，十；m p l 亍1 ( z ，l ，晷) 其中亍1 ( ) 为非负光滑函数 由z ：( 0 ，痧) = 0 ，显然存在一个光滑函数a ( z ，痧) 满足 z ；( z ，西) = ，口( z ，舀) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 由假设2 ，假设4 ，( 3 1 0 ) 一( 3 1 2 ) 及引理1 3 1 ，存在光滑函数仍( ) ，嘞( ) ，歹= 0 ，1 ，而1 ( ) 和 2 1 不确定非线性系统的鲁棒控制 皿1 ( ) ，使得 o u v 石( a ( 训一胁删蚕l 紫帅厕榭1 唧嘶点 可2 唧( z ，z 。) 一秒2 御，( z ，z 钏监訾w ( z ，占) + p 1 唧粕( z ，乳百) 尝( 她训嘶( z 删+ r 胁( 讹州) 一鲁她训“，一刚l q 、 峄w ( z ，蚕) + h 。( 。，参) + ( 1 一刍) ( 皿陬乳旬丽1 ) 南p - 。1 剐 p n ( ( 圳) 一i t a ( 础。) ) 痧i 紫w ( z ，痧) + h 。( 。，痧) 嘶) 州i 紧晔厕埔e f 2 r n p 讹乳痧) 根据( 3 - 9 ) 和( 3 1 3 ) ，可得 晚( z ，z 1 ，痧) + y 2 m p t 一2 p i i 1 1 2 m 一扣zj 1 2 仇p t w ( z ，蚕) + i 2 m - 1 ) p 1 夕，( z ，) 五。( z 2 ) 遐1 + 器1 ( ) + 铂( ) + 7 7 。( ) ( 3 1 4 ) + 厅t ( ) + 而t ( ) + ( 1 一丽1 ) ( 皿；m ( t ，痧) 南) 南) + ( 7 1 ( ) 一妻诹痧+ j d ( ) ) 根据假设1 和假设3 ，设计虚拟控制器 矧硼，痧) = 咱 矗茜( r w ( 扣) + 祈) + 矾) 协( ) 确( ) + 删+ ( 1 一芴1 ) ( 心，南) 南) 者( 3 - 1 5 ) = - 6 m ( z ，x l ，0 ) 这里光滑函数a 1z ，z 1 ，痧) 0 ，则 2 2 哳( 名，z 1 ，痧) + y 2 m p - 一2 p l | u i l 2 m 一1 1 z i l 2 m p t w ( z ，痧) + i 2 r n - - 1 ) p l ( 9 。( z 。) 元。( z 2 ) 1 一夕，( z 。) 6 。z 2 + p 1 ) 一r ( z ，憾唧1 + ( n ( ) 一去鲰痧+ p ( ) ) ( 3 - 1 6 ) 一( 剖1 z i l 2 唧+ r 善；唧1 ) w ( z ，痧) + 等i 2 m 一1 ) p 1 妒。( 牙2 ) ( ，一z ；p ) + ( 7 1 ( ) 一妻参t ) ( 舀+ p ，( ) ) 第三章高阶非线性系统的鲁棒适应干扰衰减问题 其中矽1 ( 牙2 ) = 9 1 ( z 1 ) 五1 ( z 2 ) 第二步；考虑系统( 3 1 ) 的( z ，x l ，x 2 ) 子系统，令已= x 2 一z ；，有 已铋( 如( 瑚瑶2 + 眦矾啪椭却u 一筹如) ) 1 一筹吾 其中 眦矾归胁忍旷筹胁m ) 一鬻胁忍亡) 毗嘲) = 坼俐一著坼m ) 一鬻讹州) 由假设及引理1 3 1 可证得 咒( z ，z ，0 ，t ) l i ( i l z l l p 2 + i ，l p 2 + 1 6 1 p 2 ) f 2 ( z ，专1 ，已，0 ) 圣2 ( 名，z ，0 ，t ) l i 皿2 ( z ，1 ，6 ，0 ) 这里蟊( ) ，皿2 ( ) 是非负光滑函数 取 ( z ，1 ，6 , 8 i ) = y l ( z , x l , 0 ) + 病c 2 丽m p l - - p 2 + l 则 也( z ，1 ，已，舀) + y 2 m p ，一3 p | l u i l 2 m = 讶( z ，z - ，百) + y 2 m p ，一2 n l l u l l 2 m + m p l - - p 2 已一p i l u l l 2 m 一i x 俐2 m p ， 么 + r ；m p l ) w ( z ，昏) + i 2 m 一1 ) p 1 矽1 ( 牙2 ) ( z ；1 一z ；p t ) 十( n ( ) 一妻参r ) ( 痧+ p ( ) ) + m p l p 2 ( 夕2 ( 牙2 ) 元2 ( z 3 ) 遗2 + 易( ) 口 坞( ) u 一等吾) 一g p 2 甏“矶( 蚴蠼1 卅w m 一( 剖1 z i l 2 唧- + r ；呷1 ) w ( z ，百) +i 2 m 一1 ) m 矽1 ( 牙2 ) ( ( 已+ z ；) p ，一x 2 p 1 ) + ；唧l p 2 9 2 ( 牙2 ) 无2 ( z 3 ) 24 - ；m p - 一p ：马( ) 痧+m p l - - p 2 2 ( ) u p i l u i l 2 m 一2 2 m p l p 2 沈；9 1 ( z 1 ) 元1 ( z 2 ) ( 已+ z ；) p 1 一亿( z ，1 ，已，蚕，亡) j d 2 ( z ，1 ，2 ，百) + n ( ) p 1 ( - ) + ( 乃( 名，1 ，已，扫，1 ) 一天16 i , t t ) ( 蚕+ 晚( z ，善1 ，已，舀) ) ( 3 1 7 ) ( 3 一1 8 ) ( 3 1 9 ) 不确定非线性系统的鲁棒控制 其中 且 仡( ) = 7 1 ( ) + g m p l 一p 2 尼( ) 酬刊p 。( 争 3 。2 。 i i 死( z ，矗，痧，t ) l l ( 1 l z l l 2 御，+ 器m p l + 爵唧1 ) 而( z ，矗，已，痧) ( 3 2 1 ) 其中亍2 ( ) 0 是光滑函数 根据( 3 1 8 ) ，( 3 2 0 ) 一( 3 2 1 ) 和引理，存在光滑非负函数啦( ) ，刁2 ( ) ，面2 ( ) 和而2 ( ) ，满足 瞄2 m - 1 加矽，( 牙2 ) ( ( 已+ z ；) p 1 一z ；p 1 ) i 去；m p l w ( z ，痧) + 爵m p l 7 7 2 ( z ，已，晷) i g 唧r 船豢9 ( z 1 ) 五t ( z 2 ) ( 已+ z ；) p 1i 吉；唧1 w ( z ，痧)