（应用数学专业论文）对相依性度量指标的推广与改进.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 在概率论与统计学中，为了简化要研究的问题，往往忽略了随机变量之 间复杂的相依关系，假定它们之间相互独立，但这种忽略所得到的结论不符 合实际情况。鉴于实际中存在的这种问题，对随机变量之间相依性的研究就 显得更为重要。本文就是从随机变量之间的相依关系入手进行研究，推广和 改进了相依性度量指标的不完善之处。这种推广和改进较好地完善了相依性 度量指标，拓展了相依性度量指标对随机变量之间相依关系的研究。 本文主要对相依性度量指标提出了推广和改进。在第2 章中，针对相依 性度量指标k e n d a l l sr 没有对三维随机变最进行刻画，遵循它的几何意义 推广到三维随机变量的k e n d a l l sf ，从而完善了该相依性度量指标。借助于 c o p u l a 研究其性质和相关结论，且与二维随机变量的k e n d a l l sf 的性质进行 比较，找出其异同点。还建立了三维随机变量的k 肌d a l l sf 与二维边缘 k c n d a l l sr 的关系式。 在第3 章中，对相协进行改进，提出相反的一种定义，即负相协的概念。 研究负相协得到其相关结论。最后一节尝试着讨论负相协与负象限相依、三 维k e n d a l l sf 之间的关系。这种改进，理论上充实了相协的定义。 在最后一章中，由于k e n d a l l sf 对随机变量之间相谐刻画的不够精细， 所以尝试对其进行改进，提出一个新的概念，即相谐函数的概念。它更加细 化了相谐度量。借助于c o p u l a 对它进行研究，得到性质和结论，说明了新的 定义比原有的定义的优势所在。最后一节，给出具体例子来求相谐函数，说 明新的定义的可行性，并且更加直观地观察它的性质。 关键词：相依性度量指标；k e n d a l l sf ；负相协；相谐函数；c o d u l a ；象限相 依 西南交逶夫攀矮士研究生攀位论文第l 页 第一章绪论 本章将介绍本文盼写作背景并 甓要介绍本文的圭要研究工作 重。重引言 1 1 1 随机变量之间相依关系的研究现状 在概率论和统计学中，为了便和于研究和具体的计算，总是假定随机变 萋之闯楣互独立实际上它们之闻却绦往存在着囊杂豹关系，我们把这军申复 杂的关系总称为隧机变爨之间的相镣荧系。在文献f l 国中绘出了捆依的概念 由于相依关系会对貔们的研究及其计算籀果造成影蛹，臻予它的重要性，所 以对它的研究一直l ；l 来是个熟煮阏蕊有很多研究从不同角度对随机交蠡相 依性度量指标进行刻画，月度量值寒键囊随魂变量之瘸的相依性。常用的有 相关系数，协方差等。但是其中有些度摄指标刻画的避于粗糙例如相关系数 只是用一个数值来刻画总伴的线性相关指标，着此指标为零，说明随机变量 之间没有线性关系，对于是否存在其它的关系就没有刻瓣。 随机变量相依性的研究较长时闻没有大的进展。其中一个熏鬻的原因是 没有好的数学工具可以借助髓着概率积分变抉f 捌，脆弱模型【”烈强”， c o p u l a 的出现，使褥对随机变蠢的相依性研究又迎来一个新的春天，鞠依性 研究向前迈进了一大步。本文主蘩悬借助脚q l a 对随概变量的稠依关系进行 研究 利用c o p u l a 对随机变蠡相依性豹最早文献是s 睫w c 妇燃和w 硼f 刚的文 章，传销讨论了嚣个睫捉变墨之鞫翳稠俊涮度在睫枫变量严格单诞变换_ f 豹 c 0 p a l t | 不变性有很多利用c o p i i l 8 研究随机变量相依性的文献现在对相依 西南交逶大学硕士研究生学位论文第2 页 关系的研究多在建立新的相依性度量指标，利用这些指标从不同的侧面对随 机变量之闻的相依关系进行刻画由这些数据来判定隧枫变量之闯呈现哪释 相依关系从二十世纪五十年代至今，出现了下列的度景指标，有相谐系数 k e n d a n sf 【参看文献5 ，1 0 ，1 1 】；s p e a i m a n sp 【参看文献5 ，2 2 】；g i n i sy 和 b l o m q v i s t s 芦【参着文献2 l 】等侄是这些相依性度蹙指标遣存徽多不完善的 地方，使得对随机变量相依性的较深层次的研究依然处于初级阶段本文就 是在此基础之上，对原有的相依性度量指标进行改进，更深一步的挖掘随机 变量之润的 a 依程，对解决实际溺题提供帮助 下面就来介缨c 0 9 n l a 产生的背景资料和它的发展 1 1 2c o p n l a 产生的背景介绍及英发展 随机变最之间的相依关系主要蕴涵在联合分布函数中，由边缘分布无法 唯一确定联合分布，因此若想借助于边缘分布来讨论相依健很濉联合分布 的每个自变量的取值为整个实数轴，使所要研究酌闻题更加显得复杂如何 通过边缘分布函数来研究相依关系昵? 劳且把每个盎变量的取僮变必某个特 定区间上的取值? “c 0 p u l a ”就可以解决这些问题，它可以把联合分布溺数用 其一维的边缘分布函数表示，把联合分布的定义域，即整个平面转化为一个 边长为l 的正方形区域慰随枕变量的相依性的研究就可以转化为辩边际分 布函数之间关系的研究，利用c o p u l & 对相依性的研究就成为数学家关注的对 象 “c 0 p 讲a ”怒一个拉丁语名词意为“连接，系，捆绑”等含义它实质 上就是连接联合分布函数与边际分布甄数的函数。现在国内的缀多文献把宅 称为连接函数在本文中仍采用原文“c o p u l a ”来表示 对这个问题研究最晕在1 9 4 0 和1 9 4 1 年，h o e 删g 【3 4 ，3 5 】发现了“标准化 鼹纛交滠大学硕士硒究生学位论文第3 茭 酗数”及其一些结论1 9 5 1 年脯c h e l 也取得了很多和h ( 心i n g 褶嚣的结论， 还发现了“f r e c h e l - h b e 蹦n g 界”等重要的性质在1 9 5 9 年s l d a f 第一次把 c 叩u l a 这个定义引入到数学中来，并且诚明了“c o p u l a ”的存在性二十世纪 七十年代，稚m e 蜘r f 和s 瓣p s o a 【3 2 ，3 3 】，g 鞠l h 唾2 7 】释d 哺e u v e l s 【1 9 7 8 】也找 劐了c o p u l a 溺数，只是名字不同s j d 酣和s c h w e 汝哇参看文献7 ，8 】会作研究概 率度量空间也得到很多关予c o p u l a 的重要结论通过在二十世纪九十年代这 十年因次著名的国际数学会议，“c o p u l a ”在统计与概率的应用中得到发展 n e l s 髓【l 】在1 9 9 9 年把c o p u l a 的定义及其薰要的结论傲了系统总结，从两使 e o p l l l a 这个概念 | 寻以进一步的摈广现在c o p l l l a 还用在随柳过程的研究中【参 看文献3 0 ，3 1 】更多领域正在引入e o p u l a 并应用它，而它也越来越焕发出勃 勃生枧 为什么在统计与概率豹研究中常利掰c o p u l a ? 在f 缸h e r f 6 】文章中溺答了 这个问题第一：它可以作为相依尺度度量的一种好的方法；第二：可作为构 造二维分布的起患。用予多元分布建模和隧枫模拟蔽憩在本文中就储助予 c o p u l a 这些好的“特性”，对随枫变纛豹辐依住进行研究 l - 2 本文豹写作背景 多维随橇变量之阀常常存在着复杂的相依关系，若忽榄了这些关系，那 么就会造戒研究结果与实际绪柒的出入。针对照机变爨的褶依性研究越来越 多，已成为概率论一个主要的研究分支和方向由于找到了研究他们的有效 的工其，即概率积分变换，脆弱模型和p u l a 其中c o p u l a 理论是相依联论 研究的基础。它的出现使得辕视交量乏闻的相依蓟藏更加耪细，推动了楣依 性研究，产生了一个质的飞跃。因此避几十年霉羚对相依关系进褥了大量卓 有成效的研究和拓展，如文献【1 7 ，3 7 ，3 8 】等冒内也越来越多的人开始把利用 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 c o p u a 对相依关系的研究结果用在可靠性理论、统计、经济等相关理论上，参 看文献f 2 8 ，2 9 ，3 6 】。 现在有很多文献是研究相依性的，其中有相依性度量指标的刻蕊，如 k e n d a l l sf 、s p e a i m a n sp 、g i n i sy 、相协等一些相依性度量指标c b p u l a 靛阂毽，以及借助c o p 硅l a 对这些楣依指标进行研究，得到一些很好的结论 这些概念也有很多不完善的地方，如k e n d a l l sf 只对二维随机变薰进行了刻 画，而对三维随机变量就没有了具体的刻画，还有相协对于相反的情况却没 有研究针对这些情况，本文提出改遽和改进后的新酌定义，即对弛n d a l s f 和相协的定义进行改进和完势在新的定义豹基础上，利用c b p m a 对其进 行深入地探索，得到其性质，并且与原有的定义的性质进行比较，说明了新的 定义的优势 1 3 本文的具体研究工作简介 本文具体工作主要是：对相依性度量指标的摊广与改进和在此基潮耄妁 研究 1 。在二维随机交囊豹n 矗越sf 的蒺穗f 上，提出三维薅搬交量的x c 艇8 l l s f 定义利用c o p u l a 对新的三维随机变量的k e n d a l l sf 的定义进行较深入的 研寇找出它和二维随机变量的k e n d 越l sf 的异同点述研究了三维随机变 量的k e n d a l l se 与其二维边缘轴n d a l l sr 豹关系，说明了新的纛维k e n d a l l s f 的定义的优势。 2 对相协的概念进行改进，提出负相协的概念对其研究得出性质和结论， 与获相协的性质进行比较还讨论了负稆协与负象限相依、三维k e n d a l l s 百 之闯的关系 3 在原有的二维轴n d a l l sr 的定义上进行改进，提出了改进后的相谐函数， 西南交邋大学硕士磁究裳学位论文第5 页 更加细化了相梭的度量，较好撼完善了翔谐度量指标借韵c o p 畦a 绘出糯谐 避数定义的c 却u l a 形式避一步研究褥出相诸函数的性质和结论，从性质上 更加说明了相谐函数的优势通过一些例子求得楣谐函数，从实际说孵这种 新的定义是霹取的，并且从图形上更加直观豹琨察相谐函数 1 4 预备知识 联合分布函数蕴涵了随机变量之间的相依关系，但是联合分布函数是个 多元函数，研究起来过于复杂能否利用较简举的一缎边缘分布函数，来考察 随机变量之间的相依关系我们知道由边缘分布函数不能唯一的确定联合分 布函数，也就是说明了边缘分布不能蕴涵随机变重之闻的全部信息。能否建 立一个联系联合分布和边缘分布的蘧数，使褥这个蘧数蕴涵随机变量阐相依 关系的所有信息昵? 这就是下面要介缨的c o p u l a 函数， 在这一节星，主受奔绍本文所需豹c o p 魄的一些萋磷知识：c o p 转l a 、多维 随机变爨的c o p u l a 和生存c o p u l a 的定义 1 4 1 c o p u l a 的窀义 c b p u l a 函数就怒连接联合分布蘧数与边缘分布函数的一座桥粱对相依 性的研究就转化为对c o p # l a 的磷究，从恧使相依性研究得到避一步的发展。 酋先介绍c o p m & 存在的充分必要条健，即s 妇s 定理然后再给出_ c 0 弘l a 的 其体定义 定理1 4 1 m ( s l 【l 盯s 定理) 设随机变蠢x ，y 的联会分蠢函数炎y ) ， x ，y 的边缘分布匾数分别为f 0 ) 和g ( y ) ，那么存在一个c 砷m ac 对所鸯的 x ，y 页( 页记为扩展的实数域卜鸭+ m 】) 有 器0 ，y ) 一c ( f 积) ，疗( y ) ) ( 1 - 1 ) 鞭熹交通大拳硕士臻究生学位论文第6 页 糟f 和g 是连续的，则c 是被限定在渤押f 舶，| g 勋拜表示函数豹僮域) 上 豹难一豹函数相反，已知c 是一个c 印u | a ，和g 是一缭分布函数，捌由 ( 1 - 1 ) 式确定的h 是边缘分布分别为f 和g 的联合分布函数 洼( 1 ) ：邋常记f ( 砷一球，g ( y ) - v ，有c ( f ( n g ( y ) ) - c 瓴v ) + 注( 2 ) ：随枫交爨并的分布函数为f o ) ( x 蠢) ，则随钒变量函数 ut f 僻) 服从辫，1 】土的均匀分布， 定理1 4 1 从理论上说明c 0 p u l a 的存在性，利用定理就可找到任意二维随 橇交燕的联合分布函数与之相对应的e o p u l ac 覆过来若g o p 心ac 和选际分 布函数是已知的，就可淡唯一的确定联会分布灏数靛解决了若邑知边际分 布函数不能唯一的确定联会分布濑数的这个问越。式予( 1 1 ) 说明c 却u l a 蕴涵 了德机变量阉的所有相依信惠，困诧可班利用c 0 闽耗研究陡机交登之间的相 依性下面就根攥s l d a r s 定理绘出c 0 砌a 的具体定义 定义1 4 1 啪c c 峰m h 是一个定义域为黔l 】秘l l ，傻域为【o ，l 】的醒数记 为c ，且满足： 1 对1 | 壬意的o “，v 墨l ，有 数 c ，o ) - c ( o v ) - o ； c 和，1 ) - 翟秘c g v ) 一1 ， 2 对任意的0 “l 篡“2 l 和0 墨吨蓝y 2 蓝1 ，有 ( 1 - 2 ) ( 1 3 ) c 白2 ，也) 一c 0 2 ，v 1 ) 一c 和，如) + c 如，v 1 ) 急o ( 1 - 4 ) 注( 1 ) ：通过定义可验诋c o p q l ac 是一个二维分布函数 注( 2 ) ：逶过定义可以判定c 取，v ) 瓣数是否建某个联合分布酶c o p u l a 溺 注( 3 ) ：c 1 和c 2 都是c 0 p u l a 若对任意的，v f ，有c l m ，订g 岛 ，v ) ，记 西南交遴大学硕士研究生学位论文第7 员 做c 1 o ) 一p ( 僻。一x ：) 一e ) x j 且y l t y ， 或而t 茗f 曼m ) ，为不帮谐) 则二维随梳变纛的样本稳曩d a 珏，sf 的定义为 ，c dc 一矗 矿样车。鬲。百 为了与二维样本k e n d a l l sf 对应，定义2 1 1 中的二维k e n d a l l ，sf 也可 以称为二维总体i 殛n d a l l ，sf 二维随机交蠡的样本n d a l l s 彳约定义，反映了和谐序与不和谐序的差 值在总体个数中所占的比例。它表示了随机变豢样本之间的和谐与不和谐的 数爨关系，帮从和谐方蔼给溅7 度量相依性的一个指标 二维总体融m d 8 l l sf 和样本鬣髓d 丑l l ，sf 的定义是类似的，只是总体 i 【e n d a l l s 百定义是用事传鲍橇率表示，霹秘谶的概率翻苓和谐蚋概率之差 k 胁d a l l t sf 定义说明任意一对二雅辕枫交基( x ，y ) 都对应一个f 2 俊，它反映 了髓枫变显之闻和谗约这种期依关系，掰以又把二缭融稍媳sf 称为和谐度 量指标 若直接用二维赫n d 棚，sf 的定义，来研究隧枫变最之间的相依性或进荦亍 计算毙较抽象帮复杂由予。潮i l a 鏊濑了麟瓿燹耋之间瓣所有相依信息，能 否借助它采简化二维蝴蛹，s 芎的定义式9 定理2 。l 。l 脚设( 墨，x ) 秘( 旋，墨) 为糨冀独嶷的漆续隆枫变羹鼹服从弼一 分布h ，边缘分布分剐为， ) 和霸( _ ) ，b 联合分布丽熬对应的c o p u l a 是c ，有 ，y ) t c ( f 红) g ( y ) ) ，则二维k 懿蝴，sf 为 f 2 _ f 2 x r 。j 璐c 国，v ) d c 取， ，) 一l ( 2 _ 2 ) 谣南交通夹举磷壬磺究生学位论文第1 2 页 定理2 1 1 给出了二维k e n d a l l sr 的c o p u l a 表达形式，函为r 2 是完全可 潋借助c o p u l a 表达的，所以它又可以记为2 定理2 1 1 的结论还方便了对 二维k e n d a l l s # 的磷究； 丑具体的诗算，也避一步说明了c o p u l a 蕴灌随机变藿 之间的所有和谐的相依信息 下面来看二维k e n d a l l sf 的性质 2 1 2 二维l 强n d a l l sr 的性质 性质2 1 1 哪( 1 ) 对于任意的对随机变量晖，y ) ，都对应一个f _ y 值 ( 2 ) 着用c 代替c ，羽f 不变，即f 2 e 。f 2 c ； ( 3 ) 一1 f 2s l ：f 乙一1 ，f l ，x 一一l ； ( 4 ) 随机交量豹位置可以互换，即r i y - f 2 坩； ( 5 ) 若随机变量z ，y 相互独立，则百2 n = 0 ； ( 6 ) f 。z | y 霉f 2 并一高町_ y ； 若q 和c 2 是两个c o p u l a 且c l 叫c 2 ，刚f 2 c l 墨f 乞； ( 8 ) 若 ，k ) 是一列连续熬随机变量，具有c 0 p u l a e ，并量若一致收 敛于c ，贝4 h m 百2 c = 公2 c 2 2 三维随机变量的k 蛆d 城，sf 从上节可看遗，二维融n d 嚣l l sf 是一个较好遮稳依性度蠹指标。餐楚却 没有相应的三维随机变量的度量指标本文就从二维k e 珏d a l l s f 的几何意义 出发，提出新的三维随机变量的k e n d a l l s f 的定义，并且研究它的性质，从而 说鞠新的定义豹优越性 蘑寨交通大譬磉士研究童学位论文第1 3 页 2 。2 1 三维随祝变量的k e n d a l l sf 定义 苣先给出三缀穗机交萤能样本数鼬燃飞f 豹定义。 令“，m ，毛) ，( 如，y ：，屯) ，( k ，以，气) 是来自总体( x ，e z ) 的n 个样本任 意的取出两个样本，记为( 而，y ；，) j ，y ，z ，) ，取法共有种在兰维随机变 量豹序的关系中，本文蕊定薯，鼓t j ，且乃或而，致 ) ，且 ，z ，为和谐，个数记为c 其余为不和谐，个数记为矗。贝l j 三缎随机变量的 样本融n d a l l sf 的定义为 率- 署一号一毒一等吐毒一，矿鬲百。虿一百蛇虿1 下面给出三维随机变爨的总体融d a l l sf 的定义 定义2 2 1 设三维隧机变量( 置，葛，z 1 ) 和僻：，e ，z ：) 相互独立，具有相同 的联含分布函数y ，= ) ，三维簸枫交爨趋旗体琢翮瓣l f 簸定义为 一一f 3 z ，z - 妒( 墨 五，鼍砭，z l z 2 ) + p ( 墨x l ，k 毪，z l z 2 一j ( 2 3 ) 为了便利研究。本文把三维随机交最的黼d a l l ，s f 简称为兰维 融n d 矗| 睡，s f ，诞为f 3 或f 3 z 了z 注：定义2 2 l 与二维磁翊_ 矗l l s f 的凡俦意义罴楣离眠都是鄹谐与不和 谐的概率之差，它说明了置维轴喇l s f 的定义，保持了原有的探求随机变 量之问的相谐度量 在三维箍机交蠡相谤的关系中，窍这么一个育蘼豹缔论，下强用定理 2 2 1 表示 定理2 2 1 前提条件同定义2 2 1 ，则 p ( 暖。一工：) 暇一e ) ( z l z ：) ，o ) 一p ( 隅一篇1 ) 一圪) ( z 。一z ：) t o ) - 证明：令 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 证明：令 d p ( ( 墨一夏：) 暖一鼍) ( 益一z ：) ，o ) 一p ( ( 墨一石：) 瓴一艺) 磁一z ：) co ) 由d 的形式知，它的僮应该和睫桃变量的先后顺序光关，即 d 一_ p ( ( 肖一并：) 暖一砭) ( z 。一z ：) ，o ) 一尸( 噬；一盖：) 暇一k ) 货。一z ：) to ) 2 p ( 暖：一z ，) 一x ) ( z ：一z 。净o ) 一p ( ( 以一墨) 睨一x ) ( z ：一z 。) to ) 若对d 中豹第一项和第二颈中的每个式子都提取一个负值，有 d = p x ，一x ：) 繇鼍) ( z ，一z ：) ，o ) 一p ( 暖t 一盖：) 强一艺) ( 五一z ：) t0 ) 。科一伍：一墨) 啦一x ) ( z ：一z 1 ) o 卜p 【一暇：一五) 伐一k ) ( z ：一z ，) c o 】 2 尸( 僻：一墨) 瓴一x ) 口：一z ，) 0 ) 一p ( 暖：一溉) 一x ) ( z ：一z l 卜o ) 由上两的两个式予得d = 一d ，所以d o 又鑫为 p “工，一并：) 瓴一k ) ( z ；一z ：) o ) + 懈一x 2 ) 缳一写x z l z ：) 0 ) - l 所以 p ( 瓴一z ：) 缳一k ) ( z l z ：p0 ) - p ( 一掣：炳一e ) ( z l z ：) o ) - 三 定理得证 、 定理2 2 1 有趣的是三维随机变量蕴涵了这样一种相依关系，即对任意的 三维随机变量，这两个要不楣容的事件所发生的概率是相同豹从这个定理 可以看出，三维随机变量相谐的关系是不同于二维的，在保持原有和谐度量 的意义之外，它又具有本身特有的性质 如果直接利用定义2 2 1 来深入研究三雏k d 疆，sf 和具体计算，将会较 复杂它能磷也像二维豫耀d a l l sf 一样借助于c o p u l a 来表达? 定理2 - 2 1 设，x ，z 1 ) 和何2 ，e ，z ：) 为三维相互独立的连续随机变量， 西瘩交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 且联合分悫函数为日，边际分布分鄹为曩0 ) ，f 2 ( y ) 和e 0 ) 令c 为三维随 枫变量的联合分布对廒的c o p u l a ，有圩g ，y ，z ) = c 氓0 ) ，鼗( y ) ，e g ) ) 则 f 3 f 3 z z2 4 艘，c o t ，“：，吩f c ，“z ，蚝) 一l ( 2 4 ) 其中“。= 只0 ) ，“。艺( ) ，) 稠蚝= 墨0 ) 证骥：首先 j p ( 爿l x 2 ，x k ，z l z 2 ) = p ( z 2 z ：) + p c 墨酰，誓t k ，互t z ：) 】一1 2 4 毋吼，c o ，“：，蚝c 趣z ，“z ，坞) 一1 结论褥辽。 妇定理2 2 1 的结论知，三维k e n d a h sf 也可以完全借助c b p 挂l a 表达， 因我r 3 还可以记为3 三维k e 醋谨sf 还膏一种c o p u l a 表述形式，如下定理所示： 西南变运大学硕士研究生攀位论文第1 6 页 定理2 2 2 前提条件同定理2 2 1 。员| j 矿- z l 脱，f c 辑h 2 ，鸭) + c m l ，1 ，“，) + c o t ，h ：，1 ) 粥o t ，h ：，如) 一哿 ( 2 5 ) 证明：由定理2 2 1 的证明可知 p ( 五，z ：，x ，e ，z l z 2 ) 2 勇昕，c o t ，“：，如即o t ，“：，蚝) 对p ( 置t 如，xt k ，z ，z 2 ) 的 芷明换一种雉发 p ( 墨x 2 ，k e ，z l z ：) 。0 b 尸峭z ，x ，k ，y ，z ：，= ) 郝( e o ) ，最( y ) e o ) ) 因为 x t z ：，y c k ，z z ：) = l 只o ) 乏o ) 一墨( z ) + f 焉o ) e o ) ) + c ( 霸秘) ，1 ，毫) ) + c 嘏，五( y ) ，1 ) 一c 鹕( 墙磊( ) ，) ，只0 ) ) 又由概率积分变换知 肌墨狂) d c 辑。) ，e ( ) ，) ，墨( z ) ) 一丢；j 留。岛y ) d c ( 置( 靠e ( y ) 焉臼) ) - 主； 肌岛o m c 嘏o ) ，磊( ) ，) ，e ( 砌。壹 因此 p ( 五l 工2 ，砭k ，z l z ：) = 胍，f c 馐蚝) + c 瓴，1 鸭) + c 曲。鸬，1 ) 一c 瓴尥，屯) 矽c “，蚝) 一吾 所以 矿= 2 【p 墨，并：。x k ，z l z ：) + _ p c 墨托，kt k ，z l z ：) 】一1 2 2 豳l ，【c q h ：，蚝) + c o t ，1 ，) + c 魄，“t ，1 ) 辫如，憋，如) 一n 结论缛谨 西南交逶大拳颡士研究生攀位论文第1 7 页 通过寇理2 2 1 和2 2 2 的证髓可知，f 3 的两种c o p h l a 形式是等价的定 理2 2 。2 的结论更适合用在，当c o p m ac 是对称形式时当然也可以根据不同 的情况，采用不同的形式通过上述两个定理的证明，可以得到一个有趣的结 论 结论2 。2 。l 设【x ，y ，z ) 蔻任意豹兰维涟续随机交燕，越联合分布函数为抒， 边际分布分别失曩( 力，愿( ) ，) 和最( ：) 。令c 为三维髓机交囊的联会分布醴数 对应的c o p u l 8 即麒瞳，y ，2 ) = c 幔( 砷，五鼻墨0 ”剡 皿，c 似t ，“：，蚝w o t ，“z ，蚝) 一吾蛾，f c 岱吩) + c 魄，鼻蚝) + c 魄地，强影甑，屹，鸭) 一争 ( 2 6 ) 证明：只需利用定理2 2 1 和2 2 。2 的结论即可褥到式子( 2 6 ) 下面将利用它的c 却u l a 的两种形式，具体讨论楣谐指标f 3 的铁质，并且 与二维舔a l l ，s 室经质陡较异闷点 2 2 2 三维k i e n d 拜h sf 的憾质 基于三维髂麓杭变盘沈二维随橇变爨的褶依往更为复杂。嚣此f 3 将一定 具有和二维d a l l sf 相网的性质，也具有一些不隧的性质。 性质2 2 1 ( 1 ) 对于任意的三维骧机变量惦，y ，z ) ，都辩应一个矿值； ( 2 ) 若用c 代替c ，则f 3 - 如3 。+ 2 ) ： ( 3 ) f 3 卜1 ，1 】，f 3 z j - 冒f ，善，f 1 和f 3 一r 崔j _ f 3 ，f 置ji 一1 ( 4 ) 隧勰变塞的位嚣可以甄换，鞠矿，了z - f 。；z - f ，覃j ： ( 5 ) 若随机变量x ，y ，z 栩甄独立，则f 砧f o = 一主： 西南交通大学碗士研究生学位论文第1 8 页 ( 6 ) f j ，z + f 3 x 。y # + f 3 z ，y ，一z - 吼，c 似t ，“：，) 犯伽t ，h 2 ，蚝) 一1 ： ( 7 ) 若c 1 和c 2 是两个c 叩u i a 且c 1 毛) 一1 一墨瓴) 一e 瓴) 一羁如) + c g 忍心) e 纯) ) 嘏瓴) ，1 ，e 纯) ) + c ( 只瓴) ，e 纯) ，1 ) 一c 弼瓴) ，也纯) 巧瓴) ) 记r ) - 1 一e 0 ) ( 其中f - 1 2 ，3 ) ，则 日瓴，屯，而) f l “) + f 2 如) + n 如) 一2 + c q l f 2 ) ，1 一f 3 阮) ) + c ( 1 一f l 魄) 1 1 一f 3 ) ) + c ( 1 一，l ( 而) ，1 一f 2 如) 1 ) 一c ( 1 一f 1 ( 五) ，1 一f z 瓴) ，1 一f 3 ( h ) ) 由此可定义，3 上的三维生存c 0 p l i l a 定义2 2 2 设僻，y ，z ) 为蹲续的三维随机变量，且存在一个与联合分布函 数相对应的c 0 p u l ac ，那么生存c 0 蝉i a c 满足 c ( l ，“2 ，“3 ) - “l + 2 + m ，_ 2 + c 仉1 一搿2 ，1 一样3 ) + c ( 1 一砧l ，1 1 一“，) + c ( 1 一l ，1 一“2 ，1 ) 一c ( 1 一l ，1 一h 2 ，1 一“3 ) 于是就有 一 一一一 日“，z ：，而) - c ( 1 一e “) ，1 一只如) ，1 一e 瓴) ) c l 瓴) ，f 2 如) ，f 3 瓴) ) 一。 嚣摩交通大攀舔士研究煞拳位论文第1 9 页 下蘑证明性质2 。2 1 。 证明：( 1 ) 由三维融n d a l i ，sf 的定义可知结论成立 ( 2 ) 由式子( 弘4 ) 和生存函数的定义知 3 - 缎，6 ( 1 一n ，1 一：，1 一“，) d 6 ( 1 一“，1 一“：，1 一“，) 1 。t 觑，【1 一h - 叫v ：一+ c n “2 ，码) + c o - ，1 ，坞) + c 魄，屹，1 ) 一c o l ，“2 ，h 3 ) 】d 【一c o b ，“2 ，h ，) 】一1 因必c 豹边缘分布怒定义在钕1 ) 上豹均匀分布，即褥 m 托瓴，”：鸬) 。专，其中f _ 1 2 ，3 所以 3 。畦一勇昵，【c q 聪。，蚝) + c 她，l 蚝) + e 瓴，嗽，l 疆f c 触，如，蚝) 弋胍，c 帆，“：，“，w 姒，耻：，鸭) 卜1 利用结论2 2 1 可得 譬。一乇鼢，“。，搿，彬“t ，雎：，蚝) 一1 - 【t 飘，c “，“：，鸭粥秘t ，) 一l 】一2 一一0 j 3 + 2 ) 结论得涯 ( 3 ) 由苫3 定义的形式知宦的范固为一l 寮苫3 蹦蒜l ，量橼爨窳义乏2 。l 有 f 3 z ，z j - 2 【p ( 墨 五j ) + p ( 盖j 并j ) 1 一l - 2 一l - l r 3 一。，：，一。- 2 【尸( 一j _ 一盖j ) + p ( 一j l 一五) 卜l 一2 【p ( 墨鼍) + p ( 嚣墨) 】一l l 器南交通大掌磙士鞒究生学位论文第2 0 页 r # ，一2 【p ( 嗡 一邑，墨x ：) + 联一墨t 一邑，蜀如) 卜l - o 一1 1 同理 f 3 一善，f 。工掣一1 所以结论得证 ( 4 ) 由定义2 2 ，1 翔，箍机变量之闻可互换位置 ( 5 ) 姿随机向量g ，t z ) 之间相嚣独立孵，由定义2 。2 1 有 百3 3 2 f p ( 墨，五) p 嘿，k ) 日暇，z ：) + p 暇孔妒嘿k ) 雄l z 2 ) 】一1 = 2 三一1 = 一羔 4z 结论得证 ( 6 ) 要惩证明绪论( 6 ) 成藏，首先必须拽割f 3 _ 每，f z ，。j ，以扑；的c o p u l a 表 达形式，根据定义2 。2 。l 褥 f 一，m - 2 【尸( 一置 一舅2 ，x ，k ，z i z 2 ) + 联一五z 2 ，x 砭，墨z 2 ) 】一l 。2 【j ( 墨孔，x 乓，z l z ：) + j ( 墨五，k k ，z lt z ：) 】一1 2 憾，筘g 群：，妁) 一c 触，珥。，吨) 妒o t ，“：，蚝) _ 1 其中 p ( 墨t 并：，x ，k ，z l z 。) 2 国匮，f c q 球z ，球，) 一c t ，埘：，咆) 粥她，如，h ，) p ( x t ，z ：，xt k ，z t z ：) 2 叽，【c o ，h 。，鸭) 一c “，h ：，h ，) 】们 t ，“：，“s ) 同理可得 f 3 粉距。t 觋， e 电，城) 一c 如，m ：，码) w 瓯，珥。，魄) 一l _ r 3 z 芦，z 。t 胍，【c 氓，撑：，1 ) 一c 扣t ，“：，蚝撑c 瓴，m z ，球，) 一l 所以 f 一工，丑+ f i ，w + f 3 矾以 西煮交添大攀颈圭研究生学位论文第2 1 页 。! 蕊，【c l n ”：，如) + c l t ，1 群，) + c l 如t ，甜z ，1 ) k 地，h 。，h ，) 一1 乏飘，c o t ，h ：，h ，矽舷，站。，鳓) 一3 剩用结论2 2 。l 豹结果，箍 r 哪z + f 3 蚌r z + z 3 * m 。叫旺，c 甑，砧：，蚝弗如，珏：，蚝 一1 结论褥证 ( 7 ) 利用定理2 1 1 和分布函数的性质可得结论 ( 8 ) 因为 ( 以，k ，乙) 是一列连续的随机变量，且由定义2 2 1 和定理2 2 1 知， 结论成立 三维l ( c 孤l a l l ，sf 的性质与= 维磁嬲城3f 豹健质魄较，除了性潢中的 ( 2 ) ，( 3 ) ，( 5 ) 和( 6 ) 发生改变外，其余基本没有变化，只悬在原有性质的基础上由 二维变为三维，从而说明了新的三维酗d a i l sf 继承了二维硇渤嘲l sf 的 一些性质，瞬时楣谐度爨搔标矿也具寄本赛特袁的一些性质。宅体现了三维 随机变量复杂，且异于= 维随机变量酌情形。如性康2 2 1 中的结论( 2 ) ，若用 生存c 卵l l l a 代替c o 套h l a ，就发生了改变在结论( 3 ) 中，虽然f 3 的范围没交， 但是取端点缝值驰情况曼期复杂结论瀚谖明当辕麟褒量相嚣猿立肘，三维 相谐度量指标矿的值不再是零，丽发生了偏穆和变化，变为一1 ，2 还蠢结论 ( 6 ) ，若把随机变薰中的任一个变为相及时，它们之间不再象二维一样相等， 两是它们的_ 襁可戳j 和某个式予建立等式，这又是一个不弼于二维豹特殊豹性 质 通过性质2 2 1 体现了，构遮的这个新的互维随机变纛豹相谐度量指标矿 其有囊身的优越性鲡对于任意柏三维精机变爨都对应一个f 3 值，它的取值 范围是一定驰，随枫交爨的顺序悬霹以互换的，豌撰变爨之阔独立矿是一个 特定的值，不受具体随机变量的影响等由性质2 2 1 的绪论( 6 ) 可得三维随 菩藩变溺大学醺士研究生攀像壹鑫文第2 2 页 机变量中的任一个随机变量变为相反时，它们和矿值之阅的关系因此可得 下瑟的定理 定理2 2 3 三维随机交量的f i ，加r f ，t ，r 二和f i - r 。：，具有关系式 f o y z _ 一o j ，工y - z + f 3 z ，y ，z + 百_ ，。) _ 2 ( 2 - 7 ) 从定璞2 2 3 看出，f 蹦是可以用r x y 鼻，以，j j 和f 1 只，z 来表示的，它 们之间其有内在的联系，说明了三维随枧变量之闻的相辕性这个定理体现 了二维k c n d a l i sf 所不具有的特性 三维k 嘲d a l l 嗨f 和二维酗l d a l l ，sf 具有一定的联系，又有一定的差别 那么能否建立三维k e n d 8 l l ，sf 与其自身的二维逾缘k e n d a l l sf 的关系昵? 下面来研究它们之闽具有何种关系 2 2 3 三维k e n d 鲑l sf 耥二镰滚缘融n 如l l sf 莳关系 定理2 2 4 设僻，y ，z ) 为三维连续的薅虮变爨，联会分森鼹数为日，一维 边缘分布涵数分测为最黏) ，兄( y ) 和忍扛) 。令联合分布醺数对应的c i o p 毽l a 是 c ，有硎k j ，z ) 士c ( 目_ 五( y ) ，曩0 ) ) 盈l j 2 r - ( r 芦+ f o z + f 毒) 一l ( 2 - 8 ) 其中f 乙，、f 、- r 毒分别表示，照械变雾，y ，z ) 的：维随机变璧 ( 爿，y ) 、彤，z ) 、饼，z ) 的= 维边缘融聪a l l sf 证明：痴随枫交蠢( 并，e 嚣) 和( 茗。粉的关系知，随枫变置 ，令 一穗a x 6 吼，缸2 ，鼬 虽彗 艇，c 秘t ，“：，端c 氆t ，“。，群o 。蟊；怒 善c 铷- ，h 。，l 矽f 氆t ，h 。，q ) _ c 和t ，“：，q ，t ) 】 2 豇。糨够如，叱，1 ) 哦c “，球：，) 一c “，“。，口0 m 诅t c 他，“。，l 矽扣t ，蚝，1 ) 阕理 薅c o l ，l 鸭) 孵戗，弹z t 斟，) 2 蕊c 如p l h 3 ，婶做，1 ) 船c 强h 。，弛粥如，聪：，坞) 。西c 岱弹t ，蚝) 毡“：，h ， 所以由式予( 2 5 ) 得 2 # 3 - 4 哂匿，c 瓴，l 弦张，屯，蚝) + 期：，c 铷t ，毛粥国0 如，) t 瓤；e q 斟z ，勰，粥国t ，嚣：，蚝) 卜4 2 4 慨c 魄，斟：，城。，1 ) 饵t t ，1 “。涔奴，埘 + 西；c g 群z ，群，) 扰馐轴：，蚝) 】q 匿瘫交遵大学疆士研究生学缝论文第2 4 页 一一。_ _ - 1 _ - _ 。_ _ _ _ - _ - 。_ - _ _ _ o _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ “_ h 一 = 如2 z 了+ f 乙+ f 2 z j ) _ 1 结论得证 由定理2 2 4 可得到三维鼬n d a l l ，s _ r 与二维边缘勋n d a l l s _ r 的关系从 而说明，三维b n d a l l sf 可以通过它的分量，即二维边缘鼬n d a u sr 来表示， 二考之问存在密切的芙系从这个结论也可以看出构造的新的三缨隧机变量 的相谐度量指标矿不仅具有很多好的性质，并且还可以和二维边缘融n d a l l s r 建立联系，更力目展现了新婚定义的优势。 定理2 2 4 给出了求三缨k 强d 鑫u sf 的另一种方法，即可以借助二维边 缘k d a l l s _ r 来求f 3 。 倒2 1 设三维连续豹随机交譬僻，y ，z ) 对应的c o p u l a 参看文献1 形式 如下，求矿 c 瓯，h 2 ，蚝) - 掣一3 驻+ a _ 一魄x l _ 1 4 2 ) + ( 1 一魄) 氍一1 1 3 ) + g 一耻2 ) ( 1 一蚝) + a _ j ) o 一2 ) ( 1 叫z 3 ) 】 解：( 方法一) 首先利用式子( 2 5 ) 求f 3 利用姚t h c 8 d 软馋可计算 田瞻c “，黼“，群：，蜘) 。脚；伽一：【1 + ( 1 一“t ) ( 1 一“：) ) 1 + ( 1 一致x 1 一知：) + o 一勉t x l 一地) + ( 1 一缸2 一知3 ) + ( 1 2 畸) ( 1 一缸：) ( 1 一缸3 ) 脚痧1 3 1 1 3 6 由c o p u l a 的对称性知 西南交逶大学碗圭研究生学位论文第2 5 页 皿，c 城矽也鲍，鸭) 一睡c 氆蜘膨池，蝴姜 所豺_ 2 营1 ) 丢 ， ( 方法二) 由定理2 。2 4 知，只需要求出= 维边缘融耐搬，sf 即可求得f 3 ， 匿此测用姚t h c 醴软侉可诗算褥 f 2 。螈，c o t ，“：，1 脚“，h z ，1 ) 一l 。毫厦。红一：f 1 + o 一) ( 1 一“：) 】) l + ( 1 。致) ( 1 一知：) 知f “t d h ：一1 = 呈 9 同理f 乙。z 一詈 所以由式子( 2 8 ) 可求苫3 ，得 “圭咿f 乙一，j ) 一1 1 一一丢 例2 2 设三维连续的i 噫机变蠡( z ，r ，z ) 辩应的c o p u l a 参看文献1 形式 如下求， c o i l ，“2 。正3 ) 一h 一一3 【l + ( 1 一鄹1 ) ( 1 一h 2 ) 】 解：( 方法一) 首先利用式子( 2 4 ) 求f 3 f 3 。4 脚：，o - ，“z ，h ，w q - ，“，) 一l _ 。0 0 0 f ：， 叩，【1 + ( 1 h ) ( 1 一) 】 l + ( 1 1 锄) 岱一知：肭廊z 如，。1 。4 塑一1 一三 7 2l 苎 ( 方法：) 由定理2 2 4 即可求得矿，利用t h c a d 软件可计算得 西素交逶太案礞士硪究生攀像论文第2 6 页 由予 c ( i h 2 ，鸭) - 搿3 ，c 和l ，毛妁) - 掣，c 如，醒2 ，1 ) - 撑一2 瑟+ a 一社，) a 一砧2 ) 】 若利用式予( 2 8 ) 求矿可缛 _ r o 一蠊c 伽t ，雒：，1 澎钒，“：，1 ) 一l 。t 堡，秘一：【l + ( 1 一h t ) o 。球：) 1 l + g 一2 吨) ( 1 2 秘：) 孓跏z 妇：一l 2 一石 f 2 y 膏一r 乙t o 三懈2 矗卫+ f 乙) 一l l - 一素 从上述两个例子可肴出，有时利用定理2 2 4 可叛麓化计算，使得求解矿 的过程将更加简便它适甩于三熏积分较难求丽二爨积分糨对窖褥的情况 本章从相谐廉爨指标，的几何意义出发，构造了三绫k e 晡霉l l sf 的定 义利用c 却u l a 这个工具，深入的研究捆请捂标矿，褥劐一系列好的性质和 结论，并且与相谐度量指标f 2 进行比较拽出其异同点还建立了三维 k e 珏d a l l ，sf 与二缎边缘融瓣稀，s 可魏联系。宅豹纛立馕从担谐霜麋度煎随机 变量的相依性又进了一步 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 7 页 第3 章随机变量的负相协 在可靠性数学中，给出了相协的定义及其性质，但