（应用数学专业论文）两类生态流行病模型的全局性分析.pdf

摘要 本文主要研究了两类生态一流行病模型，一类是食饵染病且具有非线性传染率的模 型，另一类是捕食者染病且具有最优收获的h o l l i n g - t a n n e r 系统这两类模型将生物数学 的两个分支即种群动力学和传染病动力学结合了起来，对它们的研究在生物数学上具有比 较重要的意义 在绪论中主要介绍了生物数学这门学科以及它的两个分支( 种群动力学和传染病动力 学) 的研究背景及发展现状，阐述了本文所研究模型的背景，给出了本文研究所需的一些 预备知识 首先考虑的是生态一流行病s i 模型，在这个模型中我们把食饵和捕食者都分为两个 阶段：幼年和成年由于成熟期的存在，产生了时滞，对于这个时滞我们用离散时滞来描 述同时这里假设成年捕食者只捕食幼年食饵且疾病只在成年食饵中传播另外，这里引 入了非线性发病率对于该课题，首先分析了通过分析平衡点的局部稳定性，然后应用极 限方程理论，比较原理和b a r b a l a t 引理等最终得到了无病平衡位置的和地方病平衡位置 全局稳定的充分条件 接着我们考虑了捕食者有病，对食饵具有收获的h o l l i n g - t a n n e r 系统，运用讨论特征 方程及l y a p u n o v l i 函数的方法分析并得到了在适当的条件下系统平衡位置的局部及全局 稳定性，并且我们也讨论了食饵种群的最优捕获量 最后，给出了论文中部分结论的数值模拟图，验证了我们所得结论的可行性 关键词：捕食一被捕食系统，生态一流行病模型，时滞，阶段结构，全局渐近稳定性， h o l l i n g - t a n n e r 型 a b s t r a c t t h ed y n a m i ca n a l y s e so ft w oe c o - e p i d e m i o l o g i c a lm o d e l sh a v eb e e ni n v e s t i g a t e di n t h i st h e s i s o n eh a ss t a g es t r u c t u r ea n dn o n l i n e a rc o n t a c t ；t h eo t h e ri sah o l l i n g - t a n n e r s y s t e mw i t hd i s e a s ef o rp r e d a t o r t w ob r a n c h e s ，t h en o n - l i n e a rp o p u l a t i o nd y n a m i c sa n d t h en o n l i n e a re p i d e m i cd y n a m i c s ，a r ec o n n e c t e db yt w om o d e l s t h u st h es t u d yf o rt h e t h r e em o d e l si sm o r er e a l i s t i ca n ds i g n i f i c a n ti nm a t h e m a t i c sb i o l o g y i nt h ei n t r o d u c t i o n ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o n o ft h es u b j e c t ，a l s o ，w eg i v es o m et h e o r e t i c a lt o o l sa n dp r e l i m i n a r i e ss e r v i n gt h ed i s c u s s i o n i nt h et h e s i s f i r s t l y , a ne c o - e p i d e m i o l o g i c a ls is y s t e mi sc o n s i d e r e d b o t ht h ep r e d a t o ra n dp r e y h a v et w os t a g e s ：a ni m m a t u r es t a g ea n dam a t u r es t a g e i ti sa s s u m e dt h a ti m m a t u r e i n d i v i d u a la n dm a t u r ei n d i v i d u a lo fe a c hs p e c i e sa r ed i v i d e db yaf i x e da g e ，a n dt h a tm a - t u r ep r e d a t o r sa t t a c ki m m a t u r ep r e y so n l y t h en o n - l i n e a rc o n t a c ti sc o n s i d e r e di nt h i s m o d e l w ea n a l y z ei t ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a ls t a b i l i t yo fe a c ho ft h ed i s e a s e - f r e e e q u i l i b r i u ma n de n d e m i ce q u i l i b r i u mb yc o m p a r i s o na n ds o m eo t h e rm e t h o d s m o r e o v e r ，ah o l l i n g - t a n n e rs y s t e mw i t hd i s e a s ef o rp r e d a t o ra n dh a r v e s t i n gf o rp r e y i si n v e s t i g a t e d s o m ec o n d i t i o n so ft h el o c a la n dg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i aa r e o b t a i n e d t h eo p t i m a lh a r v e s t i n go ft h ep r e yi sa l s oc o n s i d e r e d a tl a s t ，w eg i v et h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fs o m er e s u l t si nt h et h e s i st oi l l u s t r a t et h e f e a s i b i l i t yo fo u rr e s u l t s k e yw o r d s ：p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，e c o - e p i d e m i o l o g i c a l ，t i m ed e l a y , s t a g es t r u c - t u r e ，g l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y , h o l l i n g t a n n e rt y p e i i i 独创性声明和论文使用授权说明 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：垄硷日期： 兰鲤：! z 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名： 磊硷 导师签名： 日期： 4 9 第一章绪论 1 1 学科概述 第一章绪论 生物数学( b i o m a t h e m a t i c s ) 是2 0 世纪生物学飞速发展中产生的一门新兴边缘学科， 这门学科用数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究 它的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、 数量生理学和生物力学等这些分支是数学与生物学不同领域相结合的产物，在生物学中 有明确的研究范围从研究使用的数学方法划分，生物学又可以分为生物统计学、生物信 息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支其中数学生态是生物学中最为基础的 分支，它发展的比较早，也比较成熟所谓生态学，就是“研究生物生存与环境关系的科 学”，具体一点就是研究生物的生存条件，生物种群与环境之间相互作用的过程及规律的 科学所谓数学生态学，即用数学模型来描述生物的生存与环境的关系，并利用数学方法 ( 理论或计算) 来进行研究，以使一些生态现象得到解释和控制 生物数学是使生命科学从定性研究过渡到定量研究的有效方法其发展主要经历了 下面几个阶段：一2 0 世纪初，英国著名统计学家p e r s o n 创办了生物统计学杂志 ( b i o m e t r i k a ) ，它标志着生物数学发展的起点d a w t h o m p s o n 的论生长与形式可以 看作生物数学萌芽阶段的代表作在该书里提出了许多古典的生物数学问题，直到今天仍 然引起某些学者的关注，进行讨论和研究；二2 0 世纪2 0 年代以后，人们应用各种数学工 具，建立起各种各样的数学模型来模拟各种生命过程当时，著名数学家l o t k a 和v o l t e r r a 几乎是同时分别把动力学的方法用在分子化学反应系统和海洋渔业生态系统，动力学方 法第一次在研究生命科学中得到应用l o t k a 的专著物理生物学原理( e l e m e n t so f p h y s i c a lb i o l o g y ) 是数学生态学早期的经典著作；三2 0 世纪4 0 年代末电子计算的发 明和普及应用，使一些生物数学问题的求解成为可能，以此为后盾的生物数学得到飞速发 展，到了7 0 年代末生物数学以一门独立的学科立于科学之林鉴于这一学科的发展，1 9 7 4 年联合国科教文组织在，编制学科目录时，第一次把生物数学作为- - f - 独立的学科纳入生 命科学类 种群动力学模型有确定性模型和随机性模型两大类利用这些模型研究一些生态现象 从而达到对某些生态问题的控制对于寿命比较长，世代重叠的种群并且数量很大时，其 】 两类生态一漉行病模型的全局性分析 数量变化常可以近似的看成是一个连续过程这种类型的模型常可以用微分方程或积分方 程来描述，属于确定性模型本文主要涉及此类模型；而对于那些寿命较短，世代不重叠 的种群或者虽然寿命较长世代重叠的种嚣，但数量比较少时，其数量变化通常用差分方程 来描述 传染病动力学是生物数学的一重要分支，是数学与流行病学结合的新兴边缘学科对 传染病的研究方法主要有四种：描述性研究，分析性研究，实验性研究和理论性研究传 染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法，它是根据种群生长的特性， 疾病的发生及在种群内的传播发展规律，以及与之有关的环境等因素，利用动力学的方法 建立能反映传染病动力学特性的数学模型通过对模型动力学性态的定性分析，定量分析 和数值模拟来显示疾病的传播过程，揭示其流行规律，预测其变化发展的趋势，分析疾病 流行的原因和关键因素为人们防治决策提供理论基础和数量依据 关于传染病传播的数学模型的研究是从e n k o ( 1 8 8 9 年) 开始的，作为奠基性的工作是 1 9 2 7 年k e r m a r k 和m c k e n d r i c k 为了说明伦敦1 6 6 5 1 6 6 6 年的大瘟疫及1 8 6 5 年霍乱和孟 买1 9 0 6 年瘟疫流行的时起时伏的现象，而提出的所谓的。仓室”模型，把总人口分为易 感者( s ) ，染病者( ，) ，和恢复者( 冗) 三类，利用动力学的方法建立了s i r 传染病模型，并 对其传播规律和流行趋势进行了研究对传染病的传播与否提出了阈值理论近年来，大 量的数学模型用于分析各种各样的传染病问题，从而极大地丰富了传染病动力学 数学生态学和传染病动力学常用的理论和工具主要包括：动力系统、微分方程、积分 方程、差分方程、泛函微分方程、线性代数、算子半群理论等其中的建模思想和数学的 许多理论与方法，对生物数学的其它领域也是大有裨益，已经为现代生命科学作出了巨大 贡献 1 2 研究背景及现状 捕食与被捕食之间的动态关系已经是并且将继续是生态学和数学生态学中的主要课 题，由于它的普遍存在性和重要性 1 】，通常以微分形式出现的连续模型已经形成一大部分 传统的数学生态学文献根据自然界的种种情况，专家们提出了各种各样的模型，有常微 分方程的模型，偏微分方程的模型，差分方程的模型等等其中有的是自治系统，有的是 非自治系统：有的有时滞，有的没时滞等又由于物种在其各个生命阶段的生理机能差别 2 第一章绪论 比较明显另外成年物种与幼年物种之间还有相互作用的功能，这些都不同程度地影响着 生物种群的持续生存与绝灭为更精确的反映这一现象，在种群模型中引入阶段结构进行 研究更具实际意义同时在现实世界中，一个种群不可能孤立的存在，由于竞争食物，资 源和空间等总会与其它种群存在着某种形式的相互作用这样考虑两个或多个种群的相互 作用就显然非常重要因此，传染病动力学与种群动力学的结合更符合生态学实际意义， 其建立的模型在这里称之为：种群一传染病动力学模型目前，出现许多在这领域的研究 成果，可参见f 2 - 6 这里不在一一细述，下面介绍与本文相关的知识 时滞时滞是由于时间滞后对一系统所带来的影响，在实际工程中，自然现象和日常 生活中都是屡见不鲜的例如，人群在t 时刻生育的数量，取决于1 0 个月前怀孕的情况， 即取决于亡一1 0 ( 月) 时的人群和环境状况所以考虑时滞因素往往更能真实的反映自然 传染病动力学和种群动力学中常见的时滞主要有两种：离散( 确定) 时滞和分布( 连续) 时 滞 ( 一) 确定时滞的数学模型 7 】：下面是一个传染病动力学模型 s = 一p s ( 亡) ，( 。) + 3 s ( 。一7 - ) ，( 亡一丁) ( 1 1 ) li = f l s ( t ) i ( t ) 一3 s ( t 一丁) j ( 亡一7 ) 其中，s 为易感者数量，为染病者数量，丁是确定的常数称为时滞在这里它表 示疾病有固定的潜伏期7 - 通常我们称具有确定时滞7 - 的常微分方程为微分一差分方程 此模型中方程所表示的传染病学意义是十分明显的f l s ( t ) i ( t ) 表示t 时刻单位时间内染 病者的数量，z s ( t 一7 ) j ( 一7 - ) 表示t 一7 - 时刻单位时间内染病者数量由于所有病人都 经过时间7 康复，而且没有出生和死亡( 此模型未考虑种群动力学因素) ，所以t 时刻单位 时间内染病者的数量改变因为上述两项之差 ( 二) 分布时滞的数学模型：就种群动力学系统而言，如果t 时刻种群的相对增长率不 仅与t 一丁时刻种群的规模有关，而且与t 时刻以前整个历史时期种群规模的发展有关 这样我们就得到一个具有分布时滞的种群动力学模型 a c o o 豢= r x ( t ) f x ( t s ) p ( s ) d s “o j 0 此方程我们称为微分一积分方程，其中p ( s ) 称为方程的核函数 一般我们考虑简单核函数的情况，即强时滞核函数和弱时滞核函数的情况： 3 两类生态流行病模型的全局性分析 弱时滞核函数：p ( s ) = q e 吨8 ，其中a 0 强时滞核函数：p ( s ) = q 2 8 e 咄8 ，其中n 0 疾病的发生率设病人的传染是通过与他人的接触形成的单位时间内一个病人与 他人接触的次数为接触率( c o n t a c t r a t e ) ，它通常依赖于环境中的总人口数，记作( ) 如果被接触者为易感者，就会有一定程度的传染，设每次接触的概率为p ，我们把赋有传 染概率p 的接触称为有效接触，这时的接触率称为有效接触率( a d e q u a t e c o n t a t r a t e ) ，即 f l u ( n ) 它表示一个病人传染他人( 易感者) 的能力，反映了病人的活动能力、环境条件以 及病菌的毒力等因素应当注意，一般来说总人口中除易感者和染病者外还可能包括有疾 病免疫者和潜伏者，当病人与非易感者接触时不会发生传染，而易感者s 在总人口中所 占比例为砉因此，每一病人对易感者的有效接触率为z u ( n ) - 嘉，也就是每一病人对易感 者的传染率从而t 时刻在单位时间内被所有病人传染的人( 即新病人) 数为p u ( ) 等， 称此为疾病的发生率( i n c i d e n c e ) 通常用到的疾病发生率有以下几种： ( 一) 双线性发生率( 统f i n e n 7 i 亿c i d e n c e ) ：阮s ，这里假定接触率与环境人口总数成正 比，即u ( n ) = k n 的情况下得到的，其中阮= 后p 称为传染率系数 ( 二) 标准发生率( s 亡o n d n r 出n 包d e 佗c e ) ：阮影，当人口数量很大时，与人口成正比的接触 率显然不符合实际的这时通常假设接触率为一常数k ，即有效接触率为一常数z o = 筇， 从而疾病发生率为风导 另外，还有更符合实际的饱和接触率例如，汐( ) = 蒜f 8 】，汐( ) = 百丽再a n 万荪雨嘲。 上面两个接触率有以下共同特性： u ( o ) ：0 ，矿( ) 0 ，( 掣) ，0 我们还可以更为一般地讨论抽象形式的接触率，使其满足上面的特性或再加上饱和条件： l i m u ( n 1 = u o t + + 0 0 阶段结构近年来，具有阶段结构的数学模型被许多作者研究这些模型把一个种群 分成两类：幼年种群和成年种群同时，由于从幼年到成年有一段时间间隔，所以产生了 时滞 1 0 和 1 1 】分别独立地给出了具有阶段结构的单种群模型这个模型假设从幼年 到成年的时间间隔为一个常数，其数学模型是： 圣l 。n z 2 ( 。) 一r z l ( 。) 一。e 一7 7 。z 2 ( 。一7 )( 1 2 ) l 圣2 = a e 吖r x 2 ( t 一7 - ) 一z x ；( t ) 4 第一章绪论 其中z 。( t ) 和z 2 ( 芒) 分别代表t 时刻幼年种群和成年种群的数量a 0 代表出生率， 7 0 代表幼年死亡率， 0 代表成年种群的死亡率和容纳率，7 - 代表从幼年到成年的 时间间隔，a e - r t x 2 ( 亡一丁) 项代表t 一7 - 时刻仍然存活并且从幼年阶段进入成年阶段的幼 年种群数量 后来，具有阶段结构的捕食被捕食模型、竞争模型、互惠模型被许多作者研究了随着人 们对种群动力学的深入研究，与传染病的结合研究受到了人们的关注为此，人们在考虑这 些模型的时候还考虑了一些疾病传播对种群生存与否的影响可参看1 2 c h a t t o p a d h y a y j 和许多作者从传染病这一因素考虑了对种群的影响 9 】中研究了如下成年有病的时滞阶段结构s i 模型： a e - r t x 2 ( t 一7 ) p z ；一k y ( t ) x 2 ( t ) ( 1 3 ) 其中z 1 ( ) ，x 2 ( 亡) 和y ( t ) 分别代表t 时刻幼年食饵种群，成年食饵种群和捕食者的数量 a 0 代表出生率，r 0 代表幼年死亡率， 0 代表成年种群的死亡率和容纳率，丁代 表从幼年到成年的时间间隔，尼 0 代表捕获率，b 0 代表捕食者死亡率，a e - r t x 2 ( 亡一7 - ) 项代表t 一7 时刻仍然存活并且从幼年阶段进入成年阶段的幼年种群数量总的来说，具 有阶段结构的种群一传染病方面的论文很多( 见 1 6 - 1 8 ，2 1 ，2 2 1 ) ，这里就不在一一详述了 最优捕获量现实世界中存在着各种各样的天然或人工培养的生物资源，为了能够长 期的利用它们，就必须合理的开发与管理，这不仅要考虑到当前的高产，而且应考虑到保 持生态平衡，按照捕获方式来分，一般可以分为；常数收获率，常数收获能力及时变收获 能力，这里主要介绍常数收获能力的最优捕获问题常数收获能力指的是收获能力取决于 收获时间的长短，设备的先进程度，以及人员的技术水平等如果假设某一种群的收获能 力为一常数e ，那么被开发的种群模型为 x ( t ) = f ( z ) 一e x ， 其中f ( x ) 称为种群的自然增长率，y = f ( x ) 一般设为连续的下凹曲线，且除零点z = 0 外，还有一正零点这时收获率e x 将与当时种群成员的数量成正比 容易看出，当y = e x 与y = f ( x ) 交于曲线y = f ( x ) 的最高点时，收获率e z 最 5 力“力姒 7 亡 ， 叫以 、j a 2 慨 现 一e似 北扒 = i l 叫 严 产 幽 两类生态一流行病模型的全局性分析 大，最大收获率为m a x f ( x ) ，这时的收获能力为 e ：m a x f ( x ) z 其中z + 适合方程 f ( z ) = 0 而且显然，这时方程的平衡点z + 是稳定的换句话说，当收获能力按照 e + ：m a x f ( x ) z + 控制时，既能保持种群成员的稳定平衡，又能获得最大的收获率 近年来，随着人类对自然界开发的深入，对自然资源的最优控制受到了人们的关注 为此，人们在研究一些种群动力学模型时还考虑了对这些资源的开发利用可参考【3 3 4 0 】 1 3 预备知识 定义1 3 1一个系统是耗散( 有界) 的，如果对于该系统的任意一个解x ( t ) 都存在 一个正常数m ，使得j i ms u pl z ( t ) l 0 ，当t t o 时，t ( t ) 时紧的， 两类生态一流行病模型的全局性分析 ( i i ) t ( t ) 在x 中耗散， ( i i i ) a b = u z 山u ( z ) 是孤立的，且有一个非循环覆盖m = 尬，m 2 ，) ， ( i v ) w ( m i ) nx o = p ，i = 1 ，2 ，n ， 则是一致排斥x o ，即存在e 0 ，使得任意的x x o ，有1 1 理i n fd ( t ( t ) x ，x o ) 2s ，d 是t ( t ) x 到集合凰的距离 8 第二章具有阶段结构和非线性传染率的生态一流行病模型分析 第二章具有阶段结构和非线性传染率的生态一流行病模型分析 本章所讨论的是一个具有阶段结构的生态一流行病模型：模型中捕食者和食饵均具 有阶段结构由于从出生到成年这个时期的存在，产生了时滞众所周知，时滞可以对生 态系统的性质产生相当大的影响在本章中对于这个时滞，我们用离散时滞来描述同时 也假设成年捕食者只捕食幼年食饵并且疾病只在成年食饵中传播对于该课题，我们首 先利用解对参数的连续依赖性得到了解的正不变性，构造适当的函数得到了解的有界性， 分析了每个平衡点的局部渐近稳定性，应用极限方程理论、比较原理和b a r b a l a t 引理等， 最终得到了无病平衡点和地方病平衡点全局稳定的充分条件 2 1 模型的建立与描述 近年来，生态一流行病模型受到了人们的关注很多论文中，假设捕食者只捕食成年 食饵而在自然界中一种群只捕食另一种群幼年的例子很多基于这种情况的考虑早在文 献 1 6 】中，作者就研究了下面这个捕食一被捕食模型： f lx l ( t ) = a x 2 ( t ) 一r x l ( t ) 一伪x l 一叼z ；( 亡) 一c l x l ( t ) y ( t ) 圣2 ( ) = p z l ( 亡) r l z 2 ( 亡) ( 2 1 ) i 1 7 ( 亡) = - r + c 2 2 1 ( 亡) 一7 7 1 可( 亡) ) 可( 亡) 因此本文在这一种群动力学模型的基础上，考虑了疾病在食饵种群中传播的情况，其模型 为： 圣( 亡) s ( t ) i ( t ) ( t ) = a s ( t ) 一r l x ( t ) 一a e 一7 t 7 1s ( t n ) 一c l x ( t ) y 2 ( t ) = 。e r l n s ( 亡一7 1 ) 一d i s 2 ( ) 一嬲 = 甄o s 珥( t ) 了z ( 两t ) 一( 您+ q ) ，( 亡) ( 2 2 ) = c 2 x ( t ) y 2 ( t ) 一r 3 y l ( t ) 一c 2 e 一7 a r 2 x ( t 一丁) 可2 ( 亡一7 - ) 如( ) = c 2 e 一他仡x ( t 一7 ) y 2 ( t 一丁) 一物( 亡) 一d 2 y 2 ( 亡) 这里x ( t ) 表示t 时刻幼年食饵的密度，s ( t ) 表示t 时刻成年易感者食饵的密度，j ( 亡) 表 示t 时刻成年染病者食饵的密度，y l ( 亡) 表示t 时刻幼年捕食者的密度，y 2 ( t ) 表示t 时刻 成年捕食者的密度所有参数均大于零a 为幼年食饵的出生率，r 。表示幼年食饵的死 9 两类生态流行病模型的全局性分析 亡率，c 1 表示成年捕食者的捕获率，成年食饵按l o g i s t i c 增长，死亡率与成年的总数的平 方成正比，比率系数为d 。，p 表示接触率，这里引入了非线性发病率由于接触率可能 因种群规模的变化而变化特别地，当患病种群达到一定规模时，由于种群的主动保护意 识增强，接触率可能会下降因此双线性发病率不能描述最普遍的发病规律r 2 表示自 然死亡率，q 表示因病死亡率，c 2 表示营养转化为成年捕食者繁殖能力的比率，7 3 表示 幼年捕食者的死亡率，心表示成年捕食者死亡率，d 2 表示成年捕食者的种内竞争率这 里我们假设幼年捕食者不具备捕食能力和繁殖能力 初始条件为 x ( t ) = 妒l ( 秽) 0 ，s ( t ) = i v 2 ( o ) 0 ，i ( t ) = 1 0 3 ( o ) 0 ，秽【一死，0 】 秒1 ( 芒) = 多1 ( p ) 0 ，沈( 芒) = 也( t ) 0 ，口 - - t 2 ，0 】( 2 3 ) 为了保证初始条件的连续性还假定： 羽)=唧2(s)，纵。)=82护3丽v12erlsds d s ( 2 _ 4 ) z ( o ) = 8 - 妒2 ( s ) ，拶l ( o ) = 8 2 e 7 2 3 ：_ = i 1 乏i 诹d s ( 2 4 ) ，一7 1j 一亿”。r 。y z 2 2 预备知识 引理2 2 1 系统( 2 2 ) 满足初始条件( 2 3 ) 和( 2 4 ) 的解对所有的t 0 都是正的 证明：令( z ( 亡) ，s ( 亡) ，j ( ) ，y l ( 亡) ，沈( 亡) ) 为系统( 2 2 ) 满足初始条件的解用 2 1 定 理2 1 的方法，易得x ( t ) ，s ( t ) 和y 2 ( t ) 对所有的t 0 都是正值从系统( 1 1 ) 的第三 个方程的得到 y l ( t ) = e 叫3 亿 c 2 e 他8 x ( s ) y 2 ( s ) d s 因此可以得到y 1 ( t ) 0 同理i ( t ) 对所有的t 0 都是正的 定理2 2 1 存在m 0 ，使得系统( 2 2 ) 满足初始条件的任意解当t 充分大时都有 x ( t ) m ，s ( t ) m ，x ( t ) m ，y l ( t ) d l 心7 1 成立时，a 2 存在；当a e - r 1 丁1 p q r 2 0 成立时，a 3 存在；那么a + 存在的条件为： a ( 1 一e - r l7 i ) ( n e n 丁1 一p + r 2 q ) c 2 e r 3 您 d l f a r l ，a e r l n p q r 2 0 下面我们讨论这些平衡点的局部稳定性 易知，平衡点a o 是不稳定的平衡点4 4 的特征方程为 ( a + r 3 ) ( a + r 1 + c l 蟊) ( a + r 4 + 2 d 2 况一c 2 e 一( r 3 + 入) 亿岔) + c l c 2 e 一( r 3 + a ) 仡圣坑】 1 1 两类生态一流行病模型的全局性分析 盼+ 2 d 冉n e 一阱m n + 品) ( a + r 2 + q - 器) + 器】- 0 首先考虑方程 ( 入+ 7 1 + c 1 扔) ( a + r 4 + 2 d 2 玩一c 2 e 一( r 3 + a ) r 2 圣) + c 1 c 2 e 一( r 3 + a ) 讫童蟊= 0 当t 2 = 0 时通过计算方程只有负实部的根令a = i w ，代入方程通过计算得到 u 4 一p w 2 + q = 0 其中 p = 一( 7 1 + e l 蟊) 2 ( r a + 2 d 2 玩) 2 + ( c 2 e r 3 7 2 童) 2 0 易知，这个方程没实根因此方程没纯虚根故方程所有的根只有负实部 最后考虑方程 ( a + 2 d l 雪_ a e - ( a + r x ) n + 器，c a + r 2 + a - - 器，+ 器= 。 丁1 = 0 时通过计算，得到只有负实部的根令a = 动，代入方程得到 u 4 一驯2 + q = 0 其中 p 一时q 一焉卜阻。君+ 器】2 十( a e - + r x r l ) 2 。 所以方程根的只有负实部又因a = 一r 3 为负根所以当a ( 1 一e - r - n ) ( o e 吖，n p + r 2 + q ) c 2 e r 3 r 2 r i d l ) 心和d - r ，下1 p r 2 一a 0 成立时，由平衡点a 2 和a 3 的局部稳 定性讨论知，平衡点a + 是局部渐近稳定的 对于a t ，a 2 ，a 3 的局部稳定性同上讨论，这里不在一一证明了 因此可得如下定理： 定理2 3 。1 ( 1 ) a o 不稳定 ( 2 ) 当p q + r 2 和a 2 e - - 1 - 1 7 1 ( 1 一e - - r - 丁- c 2 e r 3 r 2 p r 2 一a 0 和a ( 1 一e - r a n ) ( 口e 一7 1 7 1 一p + r 2 + o o c 2 e r 3 亿 p r 2 一a 0 和a ( 1 一e r 1 7 1 ) ( o e r 1 7 1 一p + r 2 + a ) c 2 e 一他亿 r l d l r 4 成 立时，平衡点局部渐近稳定 2 4 平衡位置的全局稳定性 引理 2 4 1 t 2 1 】考虑下面的方程 圣( 亡) = a x ( t 一丁) 一b x ( t ) 一c z ( 亡) 2 a ，c ，丁 0 ，b 0 ，当一7 - t 0 时，可得到 ( i ) 如果a b 成立，那么我们有 ( i i ) 如果a 多一r 2 一q 0 成立，那么系统( 2 5 ) 的正平衡位置是全 局渐近稳定的 证明：下面定义 g = ( s ，j ) r 辜：s = 0 ，o ) q = ( s ，) 兄辜：，= 0 ，s o ) 1 3 两类生态一流行病模型的全局性分析 6 0 = gu 岛c o = ( s ，歹) 冗辜：s 0 ，f o ) 只要能够证明存在e 0 使得系统( 2 5 ) 起始于c o 的任意解z ( ) 满足。l i m i n fd ( z ( ) ，6 0 ) e 结论就能得证为了这个目的，下面我们证明引理1 3 1 0 的条件满足易知c o 和岛 是正不变的从而，引理1 3 1 0 的条件( i ) 和( i i ) 显然满足因此，我们只需证明条件 ( i i i ) 和( i v ) 满足即可g 中有两个常数解a 和b ，它们分别对应着s ( t ) = i ( t ) = 0 和 s ( 亡) = ，m ) = 0 如果( s ( 亡) ，j ( 芒) ) 是系统( 2 5 ) 起始于g 的解，那么我们有歹( = 一( 仡+ q ) 歹( 舌) 如 果( s ( 芒) ，( 亡) ) 是系统( 2 5 ) 起始于岛的解，那么我们有s ( t ) = a e _ r 1 7 1 s ( t 一丁1 ) 一d i s 2 ( 亡) 由引理2 4 1 ，当t 一+ o 。时，s ( t ) _ 下a e - r 1 7 1 a 是g 中的孤立的奇点，b 是q 中的 孤立的奇点这表明如果不变集a 和b 是孤立的不变集合，那么_ 4 ，男) 是孤立的非循 环覆盖下面，我们证明a 和b 都是孤立的不变集合 现在，我们采用反证法证明w s ( a ) nc o = 西，w 8 ( b ) nc o = 假设结论不成立，即 8 ( a ) nc o 西则存在系统( 2 5 ) 的正解( s ( 亡) ，( 亡) ) 使得当t _ + o o 时，p ( 亡) ，( 亡) ) _ a ( o ，0 ) 即t 一+ o o 时，秒( 亡) _ 0 我们可得系统( 4 1 ) 的第一式的极限方程：s ( t ) = a e ns ( t 一丁1 ) 一d l s 2 ( 亡) 由引理4 1 ，当t _ + o o 时， s ( t ) _ 华引出矛盾因 此，得到3 ( a ) nc o = 移假设存在系统( 2 5 ) 的正解( s ( t ) ，j ( 亡) ) 使得当t _ + 。时， ( s ( 亡) ，j ( ) ) _ b ( g e - - 。r 1 7 i - ，o ) 因为，( 亡) = 觥一( 7 2 + q ) ，( 亡) ，可得当t 一+ o 。时， ( 芒) 一a e - r 引l * l 而( p + - - q a ) - - r 2 ) 引出矛盾因此， w 3 ( b ) nc o = 移c o 相对于c o 是一致排斥的， 即存在e 0 使得系统( 2 5 ) 的任意解x ( t ) c o 都有 l i r ai n f s ( t ) e ，l i mi n f i ( t ) e t + + 0 0t - - - * 十o 。 由引理2 2 1 和定理2 2 1 可知系统( 2 - 5 ) 的解为正的有界的，可得系统( 2 5 ) 是一致持久 的由定理2 3 1 可知系统( 2 5 ) 的正平衡点局部渐近稳定故根据 2 3 】中定理8 2 3 可得 系统( 2 5 ) 的正平衡点全局渐近稳定 定理2 4 2 当p t 时有 啦( 亡) 型竺坐兰二塑划 a r l 由比较原理和引理4 1 可得 1 i my 2 ( t ) = 0 o o 所以系统( 2 - 2 ) 的极限方程经计算可得 。l 。i m 。可- ( 亡) = 0 。l 。i m 。z ( 亡) s 垡兰二! 之铲= 岔 又因a 1 是局部渐近稳定的，故平衡点a 1 是全局渐近稳定的 定理2 4 3 当p r l d l r 4 成立时，a 2 为全 局渐近稳定的平衡点 证明由系统( 2 2 ) 的第二个方程可得 s ( t ) a e 一7 - n s ( 亡一7 1 ) 一d l 篷( 亡) 1 5 两类生态一流行病模型的全局性分析 由引理2 4 1 和比较原理可得 由引理2 4 1 和比较原理可得 代入第二方程由比较原理可得 恕s u 咧雌竿= 雪t(z1 j i mj ( 亡) = 0 t o o l i mi n fs ( 亡) t a e - r l r l = 雪 因此可得 l i ms ( t 、= s t - o o o 首先，我们研究系统( 2 - 2 ) 的极限方程的子系统 j 圣( 。) = n ( 1 一e n 7 1 s c l z ( 亡) 耽( 亡( 2 - 6 ) 【沈( 亡) = c 2 e - - r 3 t 2 x ( t ) y 2 ( t ) 一心耽( 亡) 一d 2 2 ( ) 由( 2 - 6 ) 的第一个方程知 圣( 亡) 0 ，存在丑，当t 噩时，有 z ( 亡) t 2 时，有 这里s 1 1 6 y 2 ( t ) 正时 e ( t ) a ( 1 一e n n ) s + 一r l x ( t ) 一c l q l x 由引理2 4 1 和比较原理可得，存在死，当t t 3 时，有 这里z 1 满足下式 z ( ) z 1 一e = g o s 4 ( 1 一e n 丁1 ) 一r l 历一c l 而q 1 = 0 同理，从( 2 6 ) 的第二个方程，可得到当t 易时，有 比( 亡) c 2 c r s 亿c a y 2 ( 亡一亿) 一d 2 y ；( t ) 一r 4 y 2 ( 亡) 由引理2 4 1 和比较原理可得，存在t 4 b ，当t t 4 时，有 这里满足下式 y 2 ( t ) m 一= d x c 2 e , - - r 3 您g d 2 矾一r 4 = 0 代入系统( 2 - 6 ) 的第一个方程，可得到 e ( t ) 7 4 ，当t t 5 时，有 这里g 2 满足下式 这样做下去，可得到 x ( t ) 7 4 n + 1 时，有 x ( t ) t 4 n + 2 时，有 这里& 满足下式 y 2 ( t ) a ( 1 一e - r l r l ) s + 一r l x ( t ) 一c 1 q n z ( t ) 由引理2 4 1 和比较原理得，存在五n + 3 乃札+ 2 ，当t t 4 n + 3 时，有 这里磊满足下式 z ( 亡) 磊一= g a ( 1 一e r 1 7 1 ) s + 一r l z 一c l x ( t ) q 礼= o 代入系统( 2 6 ) 的第二个方程，可得到 如( t ) c 2 e r 3 忍c n y 2 ( t t 2 ) 一d 2 y 2 ( t ) 一r 4 y 2 由引理1 3 1 0 和比较原理得，存在7 4 n + 4 t 4 卅3 ，当t t 4 卅4 时，有 这里满足下式 y 2 ( t ) 眠一e = d n c 2 e 一他吃g d 2 名一r 4 = 0 代入系统( 2 - 6 ) 的第一个方程，可得到 叠