（理论物理专业论文）沙漏计时原理二维数值模拟研究.pdf

摘要 颗粒物质的研究是当前物理学凝聚态物理领域的研究热点之一。然而，目前人 们对颗粒物质的认识还不深刻，很多现象还不能做出令人满意的解释，本文主要研 究颗粒系统中沙漏计时现象。大家知道，沙漏计时有着很悠久的历史，然而对沙漏 计时原理探究较少。本文在简介和讨论计算机模拟方法用于研究颗粒物质问题基础 上，提出一个新的二维沙堆模型，并用此模型来研究沙漏计时原理。在研究过程中 我们主要使用计算机模拟和数值分析的方法，研究结果表明：由于沙漏开口处，沙 粒的流动而引起的沙堆崩塌行为是一个准周期性振荡过程；当系统一定时，由开口 大小导致沙粒的流动而引起的沙堆内部崩塌大小随时间近似成线性关系，开口不同， 其图线的斜率不同；当开口宽度一定时，崩塌总时间随高度近似成线性关系，其斜 率恒定；还发现，特殊的开口位置将会引起崩塌“拍 现象，拍频且随沙堆高度呈 周期性变化该研究结果可对沙漏计时规律的探索提供有意义的参考价值同时， 通过研究，我们对颗粒物质的性质有了更加深刻的认识。 关键词：颗粒物质，沙漏计时，二维数值模拟，振荡周期，拍现象 a b s t r a c t m u c ha t t e n t i o no fp h y s i c i s t sh a v eb e e nd e v o t e dt og r a n u l a rm a t t e r si nt h ef i e l do f c o n d e n s e dm a t t e ri nt h er e c e n ty e a r s h o w e v e r , t h e r ea r es t i l lm a n yp h e n o m e n aa p p e a r i n g i ng r a n u l a rm a t t e r sc a n n o tb ee x p l a i n e dc o m p l e t e l y i nt h i st h e s i s ，w ef o c u so nt h e s i l o - t i m i n gp h e n o m e n a i ti sw e l lk n o w nt h a ts i l o - t i m i n go c c u r sh i s t o r i c a l l yf o ral o n g t i m e ，b u tt h ep r i n c i p l eo fi t i s o b s c u r e p r o p o s e dan e wt w o - d i m e n s i o n a ls a n d p i l e a v a l a n c h em o d e lt or e s e a r c ht h e s i l o t i m i n gb a s e d0 1 1 。i n t r o d u c i n ga n ds t u d y i n gt h e c o m p u t e rm e t h o do fg r a n u l a rm a t e r i a l s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e r ei sap e r i o d i c o s c i l l a t i o ni ng r a n u l a ra v a l a n c h ep r o c e s sf o r t h ef l o wo fe n t r a n c eg r a n u l a rb yt h i s m e t h o d t h es a n d p i l ea v a l a n c h er e l a t e sl i n e a r l yw i mt i m ea p p r o x i m a t e l yf o rt h ef l o wo f d i f f e r e n th a t c h e sa n dt h es l o p ev a r i e sf r o mh a t c h e si nt h es y s t e m f i x e dt h ew i d t ho ft h e s y s t e m ，t h et o t a lt i m eo fa v a l a n c h ei n c r e a s e sl i n e a r l yw i t ht h es i z eo fh o l ea p p r o x i m a t e l y a n dt h es l o p ei sac o n s t a n ti nt h es y s t e m t h e “b e a t i n g 4o fa v a l a n c h eo c c u ra st h e e n t r a n c ei sa s p e c i a lp l a c ea n dc h a n g ep e r i o d i c a l l yw i t l lg r a n u l a rh e i g h t t h er e s u l t so f r e s e a c hw i l lo f f e rr e f e r e n c et os t u d yg r a n u l a rm a t e r i a l s a tt h es a m et i m e ，w ew i l lf u r t h e r r e a l i z et h eq u a l i t i e so fg r a n u l a rm a t e r i a l s ? k e yw o r d s ：g r a n u l a rm a t e r i a l s ，s i l o - t i m i n g , t w o d i m e n s i o n a ln e m e r i c a ls i m u l a t i o n ， p h e n o m e n o no fb e a t i n g 3 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究在做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：查盈避l 一 日 期：2 q q 墨生q 堇旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：鼬导师签名：纰日期：2 旦q 墨生垒月 第一章计算机模拟方法颗粒物质行为的研究概述 1 1 常规方法研究颗粒物质的困难 颗粒体系具有独特的性质和运动规律乜小2 2 瑚瑚m 胡。颗粒物质静止时类似于固 体，流动时则类似于液体或气体。颗粒有成拱的行为特征，颗粒物质中的力通过不 均匀的力链传递，不像固体和液体中的应力会均匀分布或直线传播。振动会引起不 同质量大小的颗粒分离，也会在颗粒体系表面形成各种斑图矧汹瑚1 。颗粒流动中 的稀疏流、密集流和堵塞等行为不同于一般流体流动规律口儿羽嘲。颗粒物质的状态， 会因极小的作用而发生巨大的改变( 弱作用强响应) ，如发生崩塌。所有这些表明， 颗粒物质是具有完全不同于固体、液体和气体性质的_ 类特殊的凝聚态物质，它具 有丰富的表现形式和不同于单纯固、液、气态物质的独特的运动规律n 叭m 嬲。到目 前为止的研究结果认为，颗粒物质的根本共性在于以下四个方面【陆坤权等，2 0 0 4 ； 厚美瑛等，2 0 0 1 ；j d u r a n ，2 0 0 0 】： 1 、颗粒物质内部相互作用以碰撞和摩擦为主； 2 、颗粒物质中的布朗运动可以忽略不计； 3 、小的涨落会对其性质带来重要的影响； 4 、整个体系是强耗散体系。 颗粒物质的研究和人类的生产、生活有密切的联系。从人类认识自然改造自然 的角度来说，研究颗粒物质的运动规律，可以帮我们很好地预测和应对各种自然灾 害( 沙尘暴、泥石流、雪崩、地震等) 的发生，理解和解决诸如交通，运输以及工 业生产等中的问题，对于防止水土流失，保护环境等方面的问题也有很重要的现实 意义；从节约能源角度来说，当今世界上颗粒的传输和积累要消耗全球总能量的 l o j d u r a n ，2 0 0 0 ，因此，对它的研究具有重要的实际意义。从人类对自然界物 质运动形式的认识、性质与结构的关系等角度来说，对于颗粒态这样一种新型的凝 聚态物质，许多问题尚待认识和理解n h 2 1 。目前对颗粒物质的研究正在成为人类战胜 自然灾害和维持人类衣食住行的重要内容，具有广泛的现实意义和普遍的科学意义。 在研究固体和液体时，人们主要涉及的都是那些理想的具有简单力学性质的固 体和液体，它们分别被称为虎克固体( h o o k e a ns o l i d s ) 和牛顿流体( n e w t o n i a n f l u i d s ) ，并分别满足简单的弹性定律f = g 厂和粘性定律f = ，厂( 其中f 是剪应力， 厂是剪切应变，g 是剪切模量，是粘性系数) 。对颗粒物质的研究也应该从简单 4 理想的情况着手，鉴于颗粒之间相互作用主要是摩擦力，于是人们提出所谓的理想 库仑物质( i d e a lc o u l o m bm a t e r i a l s ) r m n e d d e r m a n 1 9 9 2 ，这种物质满足简单 的摩擦定律f2 z 仃+ c ( 其中f 是剪应力，仃是正应力，c 是内聚力，z 是摩擦系数) 。 常见的颗粒体系都可以认为是理想库仑物质，这是人们研究颗粒物质的一个基本出 发点。 目前在实验研究方面，人们主要从静态和动态这两个方面来研究颗粒物质体系。 静态方面，研究了沙堆的堆积性质和沙堆的制备方法，并观测到了沙堆中的力链结 构；动态方面，颗粒物质现出十分丰富的特性，人们从振动和流动5 n 4 m 锄1 6 1 等 方面作了大量的研究工作。 对于实验给出的一些精彩的结果和颗粒物质的奇异特性，理论物理学家在这些 实验结果的基础上提出了一些理论来解释3 1 1 脚勰瑚蛐3 。目前用于理解颗粒系统的理 论主要有：塑性理论( p l a s t i c i t yt h e o r y ) s b s a v a g e 1 8 8 4 、流体动力学 ( h y d r o d y n a m i c s ) p k h a f f 1 9 8 3 及统计力学( s t a t i s t i c a lm e c h a n i c s ) a m e h t a 。 e ta 1 1 9 8 9 。然而，这些理论往往都只能用来解释颗粒体系的部分性质和现象，迄 今为止，还没有一个全面的、普适的、广泛统一的理论来描述颗粒体系。 现在对于颗粒物质体系的研究汹瑚瑚鹪1 都居于以下三点：首先，颗粒物质粒 子间的相互作用是摩擦作用。其次，组成颗粒物质的单个颗粒尺度足够大，其热运 动能量可以忽略不计，因而平衡态统计力学的概念很难适用于颗粒物质。因此，利用 非平衡态统计力学的方法来理解和处理颗粒体系的问题。最后，颗粒物质体系 n 力埔m 9 瑚1 是一个复杂的多体系统，传统的固体、气体和液体的统计力学及流体力学 已经不能适用，用常规方法如实验方法和理论计算方法研究颗粒物质虽然取得了一 定的成果，但同时也遇到了严重的挑战。首先，在实验方面通常需要投入极大的人 力物力资源，而且实验结果经常受到周围环境的影响，如温度，湿度等。另外，很 多实验参数不能随意调节，而且一次实验往往要耗费大量的时间。对于理论研究方 法来说，建立的模型往往非常简单，不能反映真实的情况，能够解释的范围也十分 有限，而且往往需要解大量的方程和方程组，况且有些方程很难求得精确解，正因 为这样，人们正在努力寻求其他更好的方法来研究颗粒物质，计算机模拟理所当然 成了其中最主要的方法之一。 1 2 计算机模拟方法在颗粒物质研究中的优势 计算物理，是以计算机为主要研究工具，通过对具体物理系统和模型应用计算机 进行其运动方式及结果模拟嗍，进而发现系统的运动特征，解释其物理现象，指导实 验方向或预测事物特性等。计算机模拟是当今物理学及其它自然科学方法的重要组 成部分，它是同实验方法和理论方法同样重要的一种新的研究手段或方法。计算机模 拟方法、实验方法、理论方法三者各有长处，可以相互补充，相互印证，科学工作者若 合理利用三者，可得到对物理现象更加全面的认识。计算机模拟方法，广泛应用到物 理学、化学、生物学、地理、工程等各个领域。在物理领域，最常用的方法有蒙特卡 罗方法、分子动力学方法、元胞自动机方法等。 在科学实验中，由于受各种条件的限制，很多实验难以进行，而计算机模拟却町 以成功的避开这些条件的限制，随着计算机科学的发展以及计算机知识的普及，越 来越多的领域都离不开计算机模拟。计算机模拟的迅速兴起是因为它在物理研究中 有着巨大的，在很多方面是传统方法不可比拟的优势。在研究复杂的，非线性，多 变量体系时，往往写不出解析的方程式，或有方程但无解析解，这时计算机模拟是 最直接有效的手段。当用计算机模拟来研究一个物理系统的演化时，不需要有一个 解析的动力学方程，只要给定一个初始条件和一个演化规则就足够了。特别在非线 性研究方面，计算机模拟方法具有以下优势： 1 计算机模拟具有极大的灵活性与随意性，不受各种实验条件的限制。在实验 中常常是难以达到，甚至是不可达到的条件在计算机模拟中都可以轻而易举的实现。 而取得这些结果，对于人们理解所研究系统的内在机制，检验各种判断，乃至最终 构建合理模型都极有帮助。 2 计算机模拟结果的精度只受计算机的精度所限，只有数值误差或统计误差， 而这些误差是可以控制的不存在传统实验上不可避免的各种系统或偶然误差：环境 影响，仪器影响等等。 3 通过对所模拟体系的计算，可以精确、大量、重复地得到所想要的任何数 据。揭示体系的动力学微观机制，同时预演体系的宏观行为。 4 它不象传统的数值分析方法那样需要有一个解析方程，只需要一个基本的机 制就可以进行 5 计算机模拟实验可以用图形显示，具有形象逼真的优点 计算机模拟的局限是受计算机的速度的影响，往往要花费较长的时间。特别是 在多体研究问题中，计算所需的时间常常随所计算的个体数目级数增长。模型设计 的好坏、参数设定及模拟中各类判断是否合理等等，都直接影响计算机模拟结果的 可靠性。用计算机模拟颗粒物质这类复杂问题正是发挥其优势的有利方法，大量的 研究报道表明，计算机模拟结果为人们理解颗粒物质的复杂性质提供了极佳的物理 图像。 1 3 本课题有关的几个典型的沙堆模型 1 3 1b t w 沙堆模型 b t w ( - - 个人名的简称) 沙堆模型主要用于对非平衡系统中的自组织临界现象 的研究。1 9 8 7 年p b a k ，b a k , c t a n g 和k w i e s e n f e l d 等考虑到沙堆形成过程中会形成 大小不同的雪崩，提出著名的沙堆模型，指出对这类开放的耗散系统，对初始状态 并不敏感，有一个状态类似分形学中的吸引子，系统从外界获得物质或能量，沿可 能“位形 随机向这一状态进化，而后远离，再向这一状态进化，并把这一现象称 为自组织临界现象。研究表明，在这一过程中会形成大小不同的“雪崩”现象，用 计算机模拟所描述的“雪崩 结果，正如有关实验结果所得，其分布呈幂指数分布。 1 3 1 1 一维b t w 沙堆模型 一维沙堆模型是在考查真实沙堆演化的基础上提炼出来的一个简单模型，众所周 知，如果在一个平台上，将沙粒逐颗进行堆积，开始的时候沙堆的高度会随着沙粒 的加入逐渐升高，当沙堆堆积到一定高度的时候，再加入一颗沙粒将会引起一系列 沙粒发生崩塌。 如图1 1 所示，考虑离散化的一维空间，h ( n ) 表示n 格点处的沙堆的高度， z ( n 户h ( n ) h ( n + 1 ) ，z ( n ) 表示n 处的局域倾角。动力学过程分为加粒子过程和粒子驰 豫过程： ( 1 ) 加粒子过程为：在位置n 处加入一颗沙粒，那么位置n 处的沙堆高度将增加1 个单位，用h ( 1 3 ) 一h ( 1 3 ) + l 表示，同时n 位置的局域倾角也增加一个单位，n - 1 位 置的局域倾角将减小一个单位，分别用z ( n ) 一z ( n ) + l ，z ( n - 1 ) - - - z ( n - 1 ) - 1 表示。 ( 2 ) 粒子驰豫过程：如果z ( n ) z c ( 临界值) ，则粒子按以下规则运动， h ( n ) 一h ( n ) - 1 ，h ( n + 1 ) 一h ( n + 1 ) + l ，z ( n ) 一z ( n ) - 2 ，z ( n 1 ) 一z ( n 1 ) + l ； 若有不同的格点同时满足z z c ，采用并行的模拟顺序；若所有格点的z z 。则： z ( x ，y ) 一z ( x ，y ) 一4 ， z ( x l ，y ) - - z ( x 1 ，y ) + 1 ， z ( x ，y - i - 1 ) 一z ( x ，y - - - - - 1 ) + l 比如可定义为：z ( x ，y ) 一2 h ( x ，y ) 一h ( x + l ，y ) 一h ( x ，y + 1 ) ，z ( x ，y ) 可理解为( x ，y ) 处的“压力 、或“能量”等，即本模型中的粒子并不局 限于通常意义上的粒子。 将沙粒逐个加入沙堆，沙堆的坡度将变得越来越陡，最终将达到一个临界状态， 此时再加入一颗沙粒将导致沙堆发生大小不等的雪崩。 图1 - 2 三维沙堆模型视图 b a k 等人用元胞自动机的方法对这个模型进行了模拟，结果发现在二维和三维系 统中均出现了自组织临界现象，即雪崩发生的概率与雪崩大小和雪崩驰豫时间成幂 指数关系。 1 3 2 其它沙堆模型 i 刍b t w 模型提出之后，很多人提出了新的、变化的沙堆模型。目前研究沙堆模型 非常多，根据粒子由静止到运动的临界判断条件，可分为临界高度模型 ( c r i t i c a l h e i g h tm o d e l ) ，临界倾角模型( c r i t i c a 卜s l o p em o d e l ) ；根据粒子的运 动方向，可分为定向模型( d i r e c t e dm o d e l ) ，非定向模型( u n d i r e c t e dm o d e l ) ；根 据粒子的一次运动的范围，又可分为局域模型( 1 0 c a lm o d e l ) ，非局域模型( n on l o c a l m o d e l ) ：根据粒子在运动过程中的耗散程度，分为守恒模型( c o n s e r v a t i o n a l m o d e l ) ，耗散模型( d i s s i p a t i o n a lm o d e l ) 等等。由于篇幅所限，我们不在这里作详 细的介绍，仅介绍几种与本文有关的几个模型。 ( 1 ) m a n n a 模型 该模型为临界高度、非定向、局域、离散、守恒模型。其规则为：考虑一个二维 正方格点系统，加粒子过程为随机选取某格点( i ，j ) ，使h ( i ，j ) - ，h ( i ，j ) + 1 ，如果 h ( i ，j ) 2 ( 即至少两个粒子占据同一格点，意味着粒子靠的非常近，发生碰撞) ， 则h ( i ，j ) = 0 ，发生碰撞的两个粒子跑到随机选取的一个最近邻( n e a r e s tn e i g h b o u r ) 格点上，同时最邻近格点的h 值加1 ，此时如果该格点的值达到2 ，那么颗粒会继续运 动下去直到所有的h z 。( n ) ， 则z ( n ) - * z ( n ) - 2 ，z ( n 1 ) - * z ( n i ) + 1 ，同时z 。( n ) 随机变为1 或2 ，若有z ( n 1 ) z 。( n 1 ) ，则z 按相同规则继续变化。依次类推，直到所有的z ( n ) z 。( n ) 为止。 然后再从外界加粒子，若粒子达到边界则粒子就掉到系统外。 ( 3 ) d h a r 模型 该模型为临界高度、定向( 各向异性) 、局域、离散、守恒模型。其规则为：选择 二维正方格点，随机选取位置( i ，j ) ，加粒子过程为z ( i ，j ) - - z ( i ，j ) + 1 ，如果z ( i ，j ) z 。( z 。= 2 ) ，贝0 z ( i ，j ) - * z ( i ，j ) 一2 ，z ( i ，j + 1 ) - z ( i ，j + 1 ) + l ，z ( i + l ，j ) 一z ( i + l ，j ) + l ， 若有z ( i ，j + 1 ) ( 或z ( i + l ，j ) ) z 。，粒子按相同规则运动下去。依此类推，直到所有 格点上的z z 。为止。然后再从外界加粒子，若粒子超出边界粒子就掉到系统外。 1 3 3 模型所研究的内容 对以上模型的模拟过程中，采用并行模拟顺序，即所有的不稳定格点同时更新， 把更新一次所用的时问定义为单位时间。系统在演化过程中会形成一系列的大小不 等的“雪崩一，当一个雪崩结束后。再加入粒子，让系统继续演化下去。通常把一 次雪崩过程所影响的粒子总数称为雪崩大小，计为s ，一次雪崩过程所持续的时间计 为周期t 。考察雪崩大d , s 与其统计概率d ( s ) 、周期t 与其统计概率d ( t ) 的关系， 一般满足幂指数关系，即d ( s ) o cs - - g i9 d ( t ) o ct 一。 几个模型的结果比较 模型 口 8 b t w 1 2 2 0 0 11 3 8 0 0 1 m a n n a1 2 8 o 0 11 4 7 0 0 1 r i c e p il e 1 5 5 0 1 02 2 2 0 o l 1 4 本课题研究的意义及主要内容 众所周知，颗粒流动所表现出的特性，颗粒物质内部力的分布和成拱现象等， 都从不同的侧面揭示颗粒体系的内在特性。这些丰富多彩的特性预示颗粒物质体系 的复杂，在不同条件下将遵从不相同的运动规律h 帅2 捌h 钔嘲。在某种条件下，颗粒 体系容易成拱，发生阻塞，使得流动被破坏；而实验中也观测到，在某些条件下， 颗粒的流动也会破坏拱的形成h 7 删。上面介绍的计算机模拟的不同方法中，显示出 沙堆的自组织临界性反映了一些自然现象，他们模拟演化的结果在临界状态时沙 堆系统中存在许多空穴，这种状态极不稳定，微小的变化就有可能引起一连串的崩 塌这些空穴的形成也会破坏颗粒的流动性。对于沙漏计时的基本原理，要求容器 内的沙粒崩塌过程持续稳定，不能有拱形成，因此，对于一定的沙漏容器，若把沙 粒视为光滑的颗粒，那么其内摩擦力和粘滞力可以忽略。这也是沙漏准确计时的必 备条件基于沙漏计时的基本要求，本文提出一个新的二维沙堆模型来研究沙漏计 时过程的物理机制。我们主要使用计算机模拟和数值分析的方法，模拟结果表明： 由于开口处沙粒的流动而引起的沙堆崩塌行为是一个准周期性振荡过程；当系统的 其他条件一定时，由漏斗开口大小导致沙粒的流动而引起的沙堆内部崩塌大小随时 间近似成线性关系；开口尺寸的大小不同，崩塌大小随时问变化的线性图线的斜率 不同；对于开口尺寸宽度一定情况时，崩塌总时间随沙堆高度近似成线性关系，其 斜率恒定。还发现，特殊的开口位置将会引起崩塌过程的“拍现象，拍频随沙堆 的层高呈周期性变化该课题的研究，将对颗粒物质的流动性质增加新的理解和认 识，对颗粒物质特定崩塌和流动同时存在的复杂现象及其物理机制给出定性的研究 结果，这对我们认识雪崩、山体滑坡等自然灾害有非常重要的参考价值。 第二章沙漏计时原理 2 1 古代计时器起源 计时方法源于人类对天文的观测。古人很早就发现：各种天体，其运行都遵循 一定的规律；各种天体在天盖中位置的变化，实际上意味着时间的变化，其中，与 人们日常生活密切相关的太阳，较其它天体更易于观察。在先民看来，是太阳的运 行导致了昼夜的周而复始，一昼与一夜便组成一天，每。一天的时问长度不变，日中、 日出、日没，具有明显的时间点。中国古人对太阳视运动的观测历史十分悠久。在 商代b 辞中，已有“日中”、“昃”等时称，并有关于分至( 春分、秋分与夏至、冬至) 的完整记录。这应当都是通过对太阳及其投影的观测来实现的。下面简单介绍一下 古代的几种计时器。 漏壶是一种水钟，也叫刻漏，分沉箭漏与浮箭漏。沉箭漏十分古老，也较为简 单。它只有单壶，壶的下部有流管，壶中有一直立的浮在水面的箭杆，上有刻度， 此即刻箭，又称箭尺。使用时，壶中水通过流管不断泄到壶外，箭尺便逐渐下沉， 以指示时间。由于是单壶，壶中水位在滴泄过程中会逐渐下降，从而导致流速不均， 故应不等距地划分箭尺的刻度：越接近下端，刻度越疏；越接近上端，刻度越密， 这样才能够表示相等的时间间隔。浮箭漏的出现晚于沉箭漏，而性能优于前者。它 由供水的漏壶、受水并放置箭尺的箭壶两部分组成。使用时，漏壶的水通过流管不 断泄入箭壶，箭尺便随箭壶水位的升高而逐渐上浮。由于箭尺不放在漏壶中，故可 以采取措施来保持漏壶水位的稳定，从而导致流量的稳定。而箭尺的刻度也因此可 以均匀划分，并实现无间断的长时段计时。二级补偿式浮箭漏的出现更迟，结构也 略复杂。它的漏壶有上下两级，当下级漏壶向箭壶供水时，上级漏壶则为下级漏壶 补水，从而提高了漏壶水位的稳定度和计时的准确度。较高级的浮箭漏可以有数个 补偿壶( 包括漫流壶) ，多级供水，进一步保证流量的稳定。 传说刻漏是由黄帝发明的。隋书卷十九天文上：“昔黄帝创观漏水，制器 取则，以分昼夜。其后因以命官，周礼挈壶氏则其职也。其法，总以百刻，分于 昼夜。冬至昼漏四十刻，夜漏六十刻。夏至昼漏六十刻，夜漏四十刻。春秋二分， 昼夜各五十刻。日未出前- - n 半而明，既没后二刻半乃昏。减夜五刻，以益昼漏， 谓之昏旦。”凡有军事和丧事，都要使用漏壶，伴以水火，分昼漏、夜漏，全天值守， 当时并已注意到漏壶在冬季的防冻保温问题。“挈壶”、“悬壶”，说明这种漏壶是悬 吊起来使用的，故其体积不会太大，有可能是一刻或数刻之漏，即每漏完一壶水， 则时经一刻或数刻。 “轮漏之称只见于 z ( c ) ( 临界倾角) 时，沙粒发生崩塌；兰量z ( 刀) 姜z ( c ) 时，沙粒不发生崩塌若某时刻有一沙粒从n 位置崩塌滑( f i n + l 位置，则有z ( 行) ：- - z ( n ) - 2 ，z ( 疗+ 1 ) 一z ( n + l 卜1 ，z ( 万一1 ) 一z ( n - 1 ) + l ；若有不同的位置同时满足2 伽) ) z ( c ) ( 临 界倾角) ，采用并行的模拟顺序，此模型中z ( 沪1 开口处竖直方向上一层沙粒落下 后，到下一层沙粒落下，其中间 的时刻作为一个崩塌周期乃一个 崩塌周期内崩塌的沙粒数记为崩 五 塌大小r ，开口大小用表示。 3 2 模拟 首先在容器中按密集方式堆 放沙粒，达到稳定后，打开底部 的开口，开口可调节，开口处沙 粒将落下，然后根据模型规则对 因重力藩下 图3 1 二维沙堆模型 该物理过程进行演化。假设在t 时刻位于开口处的一层沙粒落下，与其相邻的竖直 方向上沙粒将崩塌落下填补其位置，由此将引起沙粒崩塌向上传播，沙堆结构重新 排列，直至稳定后，到t + l 时刻开口处又一层沙粒崩塌落下，完成一个崩塌周期。 规定t 时刻沙堆中有多个位置满足崩塌条件，那么这些沙粒应同时崩塌。考察每周 期内的崩塌的大小r ( 用颗粒数a 表示) ，计算开口一定时，崩塌大小尺随时间丁( 用 周期数s 表示) 的演化关系；考察开口大小形与崩塌时间的关系；考察开口不同时 崩塌大小与时间关系的比较。 3 3 结果 3 3 1 给定开口大小考察位置不同时容器内崩塌情况 如图3 2 各图和图3 3 所示，系统大小5 0 d x 5 0 d ，d 为颗粒直径，将崩塌区域 分为，开口处竖直上方区域、开口的左侧区域和开口的右侧区域三个部分进行讨论。 图3 2 ( 1 ) 中各曲线分别表示崩塌大小r 与崩塌时间t 的关系。开口位于容器底部中 间，开口尺寸为1 6 d 。图中l 1 线表示左边和右边崩塌大小的情况( 两条曲线重合) ， 图3 2 ( 1 ) 各区域崩塌情况 l 2 线是竖直方向崩塌， l 3 线是l l 、l 2 两条曲 线的叠加。图3 2 ( 2 ) 是 对曲线l 2 ( 竖直方向 足 崩塌) 的拟合曲线图， 拟合公式为 r = ae x p ( 一( r 五) ) + b ， 式中各拟合参数分别 为：a = 9 8 3 8 ，五= 6 8 1 b = 1 0 4 9 。 伽 图3 2 ( 2 冲央区域崩塌情况的数值拟合 图3 3 开口偏左边时各区域崩塌情况 图3 2 ( 1 ) 中l 2 线以临界点为转折，前段曲线和后段曲线斜率不同。可能的原因 是，前段由于底部开口处沙粒的流出，使位于开口竖直上方的沙粒一直处于扰动的 状态，这种扰动使两侧的沙粒逐渐汇聚于中间部位，对应的崩塌相对稳定，表现为 崩塌随时间趋于指数衰减规律；曲线后段斜率发生变化，可能是由于整个演化过程 接近收尾时颗粒数量减少使内部的崩塌行为不同于前段，所以，曲线的斜率发生变 化。图3 2 ( 1 ) 中l 1 线反映的是位于开口两侧的沙堆，在t 等于2 7 以前，崩塌曲线 振幅有明显的增长趋势；在t 为2 7 到8 5 范围曲线呈现准周期振荡，t 为8 5 后，振 幅迅速衰减。比较l 1 、l 2 两曲线可见，在同一时刻，中间部位沙粒崩塌规模要大 于两边，表明开口竖直上方沙粒崩塌规模占主导地位。 图3 3 是当开口位置向左侧移动后的崩塌情况，其他所有条件与图3 2 ( 1 ) 相同。 从图3 3 中可看出，右边崩塌规模要大于左边，可见，开口的位置对容器内沙粒的 崩塌有明显的影响。 3 3 2 开口大小变化时容器内崩塌演变 图3 4 ( 1 ) 为开1 ：3 位置在中间，开1 ：3 尺寸分别为8 d 、1 4 d 、2 0 d 、2 6 d 时系统 崩塌大小与时间的关系。从图3 4 ( 1 ) 中可看出，临界点随开口增大向左移，稳定 图3 4 ( 1 ) 崩塌大小足与崩塌丁的关系 图3 4 ( 2 ) 崩塌稳定期t 与开口尺寸w 的关系 期变短。定义t ( w ) 为稳定期随开口尺寸的变化情况。当开口尺寸为2 2 d 和2 4 d 时，两侧的崩塌会形成很明显的两个“拍现象，每个“拍 包含1 1 个振荡周期， 如图3 5 、图3 6 所示。“拍 的形成可能反映容器内有两次大规模的崩塌。由此可 推断，对于一定体积的沙漏容器，将存在特殊的开口位置，这个位置会使沙堆内部 崩塌过程发生大规模的崩塌。 考察开口尺寸与稳定期t ( w ) 的关系，发现它们之间存在图3 4 ( 2 ) 所 图3 5 开口为2 2 d 时崩塌情况 图3 6 开口为2 4 d 时崩塌情况 示的指数关系，数据点是模拟时开口尺寸的取值，平滑线是拟合所得曲线，对应 方程为：a t ( w ) = a e x p ( - w a ) + b ，各参数分别为：a = 4 8 9 + 1 3 ，b = 6 5 + l ，2 = 5 4 0 1 。 从图3 4 2 中可看出，当w 为2 2 d 以后，t 几乎不再随w 的变化而变化， 趋于稳定。比较图3 5 和图3 6 中“拍的位置，可见，同样是在w 为2 2 d 和2 4 d 时，观察到的“拍”现象比较稳定。 3 3 3 系统不同时崩塌规模之演变 图3 7 是开口尺寸为2 2 d 时，系 统宽度为5 0 d ，高度分别为5 0 d ， 6 0 d 、7 0 d ，8 0 d 时崩塌大小的比较。 从图中可以看出，崩塌的主体曲线变 化趋势相似，随颗粒层数增加，拍频 数增加，曲线斜率保持不变；“拍 的大小恒定不变。每个“拍 的晟大 幅度对应的沙粒数约2 6 4 + 。这样的 图3 7 开口尺寸为2 2 d 时不同系统的崩塌情 行为可以理解为，当开i ：1 尺寸一定， 况 系统宽度相同时，容器内沙粒的崩塌服从均匀的变化规律。 图3 8 是系统以5 0 d x 5 0 d 为基准，宽和高依次增加1 0 层颗粒时，开口以5 0 2 2 2 2 7 倍数增加时出现的拍频位置，由图中可看出拍频个数依次为2 ，3 ，2 ，3 ，2 ， 3 间接出现。图3 9 是系统以5 0 d x 5 0 d 为基准，系统面积以1 4 4 倍的方式增加， 开口大小以1 2 倍方式增加( 1 4 4 的平方根为1 2 ) 。此时拍频是以2 ，3 ，4 ，5 ，6 逐渐增加的方式发生。 图3 8 系统宽和高依次增加l o 层颗粒、开口以2 2 7 倍增加时崩塌情况 图3 9 系统以5 0 d x 5 0 d 为基准以1 4 4 倍的方 式增加，开口大小以1 2 倍方式增加时崩塌情况 由以上三种情况说明：容器内沙粒的崩塌当系统增长方式不同时，崩塌的规律 是不同的。 3 3 4 系统的总崩塌时间q 与开1 ：3 大小w 的关系 系统大小5 0 d x 5 0 d ，改变开 口大小，将不同w 取值与模拟得 到的一系列崩塌时间进行数值拟 合，得到图3 1 0 中的模拟实验曲a 线，对该曲线拟合可得崩塌时间 q 随开口大小w 的变化关系为 q = a e x p ( w ；t ) + b ，式中各拟合 参数分别为：a 2 ( 3 2 8 1 5 ) ， 图3 1 0 磊塌总时间q 与开口大小w 的关系 b = ( 1 0 9 1 2 ) ，允= ( 1 1 1 ) 。可 见当开v 1 尺寸逐渐增大后，沙堆的总崩塌时间减小，这与实际情况相吻合，意味着 沙堆内部的崩塌细节逐渐被整体塌陷所取代。 3 3 5 不同系统中，崩塌总时间随高度的变化关系 保持开口尺寸w = 1 6 d ，容器宽度为5 0 d 不变，改变系统高度分别为5 0 d 、6 0 d 、 7 0 d ，8 0 d ，9 0 d 、1 0 0 d ，1 1 0 d ，1 2 0 d ，进行模拟后，对计算得到的一系列崩塌总 时间进行数值拟合，得到一条拟合曲线( 如图3 1 1 ) ，由该曲线可得崩塌总时间q 随 高度日的变化关系为q = a h b ，式中各拟合参数分别为：彳= ( 9 3 4 - 0 8 ) ，胆( o 7 8 o 0 2 ) 可见，q 随日变化基本呈线性关系，这个结果对于理解沙漏计时具有重 要的科学意义。即系统崩塌的总时间是一个与沙漏流量成正比的物理量，众所周知， 容器中沙堆高度的增加，不会影响沙漏的流量，古人正是利用这个事实发明了沙漏 计时。 3 4 讨论 由于底部开口处沙粒的流 出，使位于开口竖直上方的沙粒 一直处于扰动的状态，这种扰动 会传播至两侧的沙粒，使两侧的 沙粒在扰动下逐渐汇聚于中间部 位，从而保持漏下的沙粒数处于 较稳定的状态。由此可推断沙漏 图3 1 1 崩塌总时间q 与高度的关系 的计时与沙堆内部崩塌有着直接的关系，由以上的模拟结果可发现：当系统一定时， 容器内部的崩塌随时间演变近似成线性关系，这也许是沙漏计时的内部驱动机制因 素之一。从图3 3 中可以看出容器内各部位在同一开口下沙粒崩塌的大小不同，中 间部分崩塌随时间呈指数衰减；而位于开口两边的沙堆，若忽略开始和结束两头的 时间，基本趋势呈现准周期振荡；在同一时刻中间部位沙粒崩塌规模要大于两边， 表明开口上方沙粒崩塌规模在系统中占主导地位，总体趋势符合指数规律，但伴随 准周期性振荡( 参考图3 4 ) 。说明沙漏计时状态下，存在一稳定期，稳定期内的特 点是崩塌的沙粒能得到有效的补充，漏下的沙粒处于恒定状态。 当系统一定时，开口大小的变化可以导致崩塌随时间有一变化趋势，用d 詹d r 来 表示，若d 窜= k d r ( k 是一个与开i ：3 大小有关的常量) ，则图3 4 中的斜率k 分别为 2 5 ，- 4 8 ，9 4 ，1 5 4 当我们考察开口一定、系统大小改变时，发现崩塌随时间 成线性关系。当宽度不变时只改变容器的高度，这一线性关系的斜率是恒定的，说 明一旦沙漏宽度固定，高度的改变不会影响沙漏内部崩塌机制，从而保证了沙漏计 时的恒定性。如图3 1 1 所示。 由图3 5 ，图3 6 ，图3 7 可以看出，对于特定的开口位置，容器内部的沙粒崩 塌出现了“拍 的奇异现象，“拍 的个数随系统高度增大而增加。进一步的研究发 现：在一特定的位置，“拍”的个数和幅度随系统规模增长方式的不同发生不同规律 的变化，如图3 8 和图3 9 我们知道，自然界对于“响沙1 4 】( “音乐沙轰鸣沙 ) 产生的机制还是个谜，有人认为是沙质的原因，有人推测是一定的地理位置造成的， 等等。最典型的说法是认为由沙丘侧面崩塌导致的沙粒共振造成。他们还发现：“音 乐沙 的声音频率为5 0 0 赫兹 2 5 0 0 赫兹，“轰鸣沙 的声音频率为5 0 赫兹 - 3 0 0 赫兹。从我们模拟的结果出现的准周期振荡和“拍 ，可以推测沙堆内部崩塌也可能 会产生“响沙 现象，“音乐沙 产生的原因是否与沙堆内部崩塌准周期性振荡有关? 崩塌“拍一是不是产生“轰鸣沙”的直接原因? 这些都有待于实验进一步验证。 3 5 结论 对二维沙粒崩塌的数值模拟表明：由底部开口处沙粒的流动引起的沙粒内部崩 塌是一个准周期性振荡过程，主体趋势；沙堆内部崩塌的稳定期随开口大小缩短； 开口大小与崩塌总时间近似成线性关系；在特殊的开口区域将会引起崩塌“拍 ，“拍” 的个数随系统高度的增加而增加，呈现周期性。此模型模拟的结果不仅对沙堆内部 崩塌机制的研究提供参考，而且可对于了解沙漏计时的规律提供帮助，如：沙漏计 时的稳定性；沙漏计时时间长短与容器的关系等等。 若考虑沙粒之间的摩擦力和粘滞力，沙漏计时时要保证开口处的沙粒得到有效 的补充，但又不能造成堵塞的状态，就要求内部的崩塌服从一定的规律，也即补充 的方式要有特别的要求，沙粒的堆积方式和沙质的选择上也有特别的标准。再者， 我们探讨的是基于开口处稳定流量作为诱发条件，若开口处流量不稳定时内部的崩 塌情况如何? 还有对于三维的容器，其内部崩塌机制如何? 这些都需要进一步的研 究和探索。 第四章总结及建议 本文在前人的基础上，对沙堆模型做了改进，对沙堆系统中沙漏计时现象进 行了研究和探讨，并得出了一些非常重要的结论。 4 1 主要工作及结论 ( 1 ) 用元胞自动机的方法进行计算机模拟，结果发现，由底部开口处沙粒的 流动引起的沙粒内部崩塌是一个准周期性振荡过程，主体趋势；沙堆内 部崩塌的稳定期随开口大小缩短；开口大小与崩塌总时间近似成线性关 系。说明沙漏计时与沙堆内部的崩塌有着直接的关系。 ( 2 ) 在特殊的开口区域将会引起崩塌“拍一，“拍 的个数随系统高度的增加而 增加，呈现周期性。说明一定的开口位置会引起颗粒流密疏的明显变化， 这就要求沙漏计时时其开口位置要有特殊的规定。 ( 3 ) 不同系统中，崩塌总时间随高度的变化关系：q = a h 口，式中各拟合参数 分别为：彳= ( 9 34 - 0 8 ) ，庐( o 7 84 - 0 0 2 ) 。q 随日变化基本呈线性关 系。即系统崩塌的总时间是一个与沙漏流量成正比的物理量，为沙漏计时 提供了有力的理论支持。 4 2 颗粒物质中沙漏计时现象进一步研究的建议 颗粒物质在我们生活中普遍存在，它表面上看起来比较简单，但它具有很多不 同于其他物质的特性，因此引起了工程师和物理学家的广泛关注，成了当今物理学 领域研究的一个热点问题。颗粒物质的许多特征都与其内部的力链结构有关，颗粒 物质的力链分析是一个复杂的问题。根据颗粒物质在不同条件下表现出来的特征不 同，其有广泛的用途，沙漏计时只是其中很小的一部份。本文在研究颗粒物质中沙 漏计时的实验中，在其完善的程度上来看，还处于初级阶段，目前对沙漏计时的研 究大多停留在表面颗粒宏观的运动规律上，而对系统内在的动力学机制研究甚少， 主要包括以下三个方面的内容：在动力学机制下系统怎样自发地避免拱的形成? 其 状态演化机制如何? 颗粒系统中力链的强弱怎样影响颗粒的流动? 下一步我们将 致力于以下几个方面的研究： ( 1 ) 在计算机模拟方面，我们将进一步研究在动力学机制下沙漏计时的规律， 这个过程中我们将着重致力于研究避免拱形成的非线性动力学机制。 ( 2 ) 在实验方面，使用大小不同的颗粒进行沙漏计时实验，将实验结果与计 算机模拟结果进行对照，以此验证我们的理论模型。 ( 3 ) 理论方面，将在沙漏计时的动力学机制的基础上建立一个物理方程，通 过这个方程来描述沙漏计时的演化过程。 致谢 首先衷心感谢我的导师胡林教授三年来对我的细心培养和深切的教诲，感谢她 的严格督导和悉心指导以及在这三年来的学习与生活中给予我的无微不至的关怀与 帮助。本论文从立题、实验到论文的撰写都是在导师的精心指导下完成的，导师渊 博的学识、敏捷的科研思路、执着的追求精神和忘我的工作热情给我很大的启迪， 为我树立了光辉的榜样，并将使我受益终生，借此机会向我的导师致以衷心的感谢。 感谢贵州大学物理系的各位老师三年来的无私帮助和关怀，感谢他们给我提供 良好的生活和学习环境。本论文工作得到了孔维姝老师和张兴刚同学以及师兄许锋、 王现伟、刘艳辉、王伟明、吴宇的大力支持和协助，在此向他们表示衷心的感谢。 感谢同窗张忠政、曲东升以及师弟师妹们的热情帮助。感谢各位为我查阅资料， 提供帮助和方便的同学，同时向所有关心，