（应用数学专业论文）威布尔分布场合的贝叶斯统计推断.pdf

露麓交避大学颈士薅 究整拳盛论交第 灏 摘要 恿冀戡溉鱼和可靠性骢证问越襁可靠性工程中占有重要的位黼。煎中，词。捺 性详髅是殴知产品蛉毒窃分布秘一缀数据，如德去镄诗产燕瓣可禳技静彝越， 弼胃霾经验迸是已鲡产熟匏潦命分糍，要求产晶熬菜个可嚣 琏擞栝达到预定的 蓬，魏传确建试验辩鬻静瓣繇。本文鲻爱时凝方法嚣藏蠢尔矮舍下熬霹纛拣译 嵇积疆 菱瓣越进行了深天熬臻究。 首先，讨论了w e i b u l l 型产品的可靠憔评估问题。漆文分别从失效概率和 可靠度蕊个整要指挺燃发，瑷论上诞嘲先验分毒逸墩的台理健，测躇多层受# 中 豢方法簿爨失效穰奉黧可靠震戆b a y e s 旗诗，双薅褥嶷蘑最， 、二采法绘出来辩 参数及可靠憔重要攒标酌b a y e s 估计，并在萼| 进失效信息籍绘出了b a y e s 塔台 藩诗奠夕、一 其次，分柝了在形状参数已知、特征参数未知和形状参数、特征参数均束 翘熬瓣裂；谘澎下鹣b a y e s 区鼹镳诗。l 零文鑫霉l 进最缀区窝襞嚣翁穰念嚣，绘 廷 了泰辩参数稻胃靠栋蕹螫捂褥麓b a y e s 双铡和荦铡嚣两估计。l 。，。 最后，讨论w e i b u l l 型产品的甜靠性验诚问题。同区间饿计分嬲葶i 情形给 惠了蠢失效可靠犍验涯方察。方案不枝考寒馕鼹方鳃弼益，箍纛蘧过蠢条赞瓤 搴爨诞了生产：方豹零| l 蕊。 关键谰：藏布尔分帮；笼失效数据 擞时斯估计；始验分布 可纛性验证 麟素交滋大攀碳士褒究擞学接谗文 繁 l 豢 。一一 a b s tr a c t t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ea n dt h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s ta r ei m p o r t a n ti nt h e r e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n g ，t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ei st h ep r o b l e mh o w t oe s t i m a t et h e p r o d u c t s r e l i a b i t i t yb a s e do n t h ek n o w nd i s t r i b u t i o na n dd a t aa n dt h er e l i a b i l i t yd e * m o n s t r a t i o ni st h ep r o b l e mh o w l o n gt h et e s ti sb a s e do n t h ek n o w nd i s t r i b u t i o na n d s o m e r e l i a b i l i t yi n d e xm e e t i n g t h ee x p e c t a t i o n i nt h ep a p e r , b a y e s i a nm e t h o di su s ， e dt os t u d yt h ep r o b l e m so ft h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ea n dt h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o n t e s tf o rw o i b 毽l ld i s t r i b u t i o n ， f i r s t , t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ef o r 硫i b u t ld i s t r i b u t i o ni sd i s c u s s e d ，o nt h eb a s i so f t h ef a i l u r ep r o b a b i l i t ya n dr e l i a b i l l 移，t h ep a p e r p r o v e s t h e p r i o rd i s t r i b u t i o ni sr e a s o n a b l ea n d g e t s 氇e i rb a y e s i a ne s t i m a t eb y r l l e a n so ft h eh i e r a r c h i c a lp r i o r d i s t r i b u f i o n t h e n ，b y al e a s ts q u a r em e t h o d p a r a m e t e r sa n d t h ei m p o r t a n t r e l i a b i l l t yi n d e x e sb a * y e s i a ne s t i m a t e s a l eg i v e no u t 。b e s i d e s ，a f t e r i n t r o d u c i n gf a i l u r ei n f o r m a t i o n , b a y e - s i a ns y n t h e s i se s t i m a t e sa r eg i v e no u t + s e c o n d l y , b a y e s i a n c o n f i d e n c eb o u n d si ss t u d i e df o rt h et w oe a s e s o n ei st h a tt h e s c a l ep a r a m e t e ri sk n o w na n dt h ec h a r a c t e r i s t i cl i r ei su n k n o w r kt h eo t h e ri st h a tb e - t ha t em a k n o w n 。a f t e r i m r o d u c i n g t h ec o n c e p to f t h e 照o r t e s t b a y e s i a n c o n f i d e n c e i n t e r v a l ，t h ep a p e rg i v e no u tt h eb i l a t e r a la n ds i n g l ei n t e r v a le s t i m a t e so f t h ep a l a m e “ t e r sa n dt h ei m p o r t a n t r e l i a b i l i t yi n d e x e s a tl a s t ，t h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s tf o rw e i b u l ld i s t r i b u t t o ni sd i s c u s s e d 。t h e r e t i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s t i n gp r o c e d u r ei sg i v e nf o re a c ho ft h et w o c a s e , sw h i c h 菇镪os a m e 鑫st h ec o n f i d e n c ei n t e r v a le s t i m a t e 。 kp r o c e d u r en o to n l y 搬i n k so v e r t h e e m p l o y e r s i n t e r e s t sb u t a l s o g u a r a n t e e s t h e p r o d u c e r s b y m e a n so f t h eu n c o n d i 。 t i o n a p r o b a b i l i t y & 擎w o r d s ：w e i b u t t d i s t r i b u t i o n ；z e r o - f a i l u r ed a t a ；b a y e s i a ne s t i m a t e ；p r i o rd i s t r i * b u t t o n ；r e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s t i n gp r o d u c e _ _ 一 w w _ _ _ m ”_ _ m w w _ _ w _ h _ w * _ _ h h _ _ _ _ _ 一 嚣南交涟文学硕士磷瓷叟擎使论变鸷王鎏 第1 章绪论 1 1 问题瀚提翻 在可靠瞧毒京斌狳中，出予受试辍 殍露、簧爱等各释嚣豢蘸爨魏，获褥躲 试验数据常常是各炎黻尾数獭，其中定时截惩试验怒一种常用的方法。在捌定 的时间内，如果失效数大予零，利用获锝的数据进行统计分蝣现已农比较成熟 戆方法，懿最大敲然依鞠1 。餐若峦或无失效麓况，搿在烧定酾试验时涮肉没有 样晶失效。这时，常用的估计方法，如m l e ( 最大似然估计) 和b l u e ( 最盘予线 性无演镳诗) 均无效。无失效数据 在可靠性理论中，指数分布是最基本的一种分布，失效率为常数，但在实 际中，不少产品的失效率可糍递增，也可能递减，这使绲指数分布黪应用受到 限稍。丽藏布尔分布可表现为各种不同的形状，能够较好的适应各种试验数据， 特别是在研究金属材料的疲劳寿命问题时，轴承、愈属材料及一些电子元件的 寿会罄缀从藏套尔分毒，因藏讨论藏窍尔分布瓣可鼗洼霹遴受毒韵予解决突黼 生活中的难题。 利用b a y e s 方法的关键之一是先验分襁的选取，以往的谗多文献对为列4 么 要取鄢静分都没有佟潞合理的解释或理论证明，并且为了满怒参数估计值的“保 序性”，对参数的取值范围加以限制。 笼失效数锤不含富失效蕊惠，导致在瓣迩对鬻激终是否磊失效栉菇密璐还 不能确定。如果此时有失效样品，那么对产晶可靠性的评定就会出现一定的误 差。 在无失效场合寻找参数和可靠性指标的点估计已是一件不易之事，而要寻 求其援信限就更为困难。特别是对予威布尔分稚当两个参数都未知时。目前对 予这一闼题，裂震b a y e s 方法还未骞威熬夔续论。 m a r t z 和w a l l e r 用b a y e s 方法讨论了指数寿命型的可靠性验证问题。何燃 报和茆诗松讨沧了正态寿命型的可靠性验诞阅题。但对于威露尔分柱寿命型瓣 可靠往验证淘题滏来肖系统酌研究。 。3 本文的主要缩构鞠内容 撩于国内、外发展的现状和存在的闯题，本论文主要包念以下内容： ，第二章系统豹介绍有关b a y e s 统计的起源、发葳戳及进行推断的理论方法 等。 簇三章蔓要讨论藏毒尔分蠢在嚣爽效场会下静点 鑫诗。零文分澍簌失效概 率和可靠度两个重要的可靠蚀指标出发，利用b a y e s 方法迸千予参数和可靠性指 标的点估计，并在引进失效信息后，绘出它们的综合估计。 第霹章蔓簧讨论簸布尔分布在无失效场会卞的嚣阀倍计。本文从简单到复 杂，分两种情况进行讨论，给出了未知参数和重要的可靠性指标的双侧和单侧 区间健诗。 第五章设计威布尔寿命型产品的可靠性验证试验方案。湖区间估计分两种 情况加以讨论，为生产方和使用方达成一致的协议提供了依撼。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 第2 章贝叶斯统计 2 1 b a y e s 统计的起源、发展和应用 2 1 1 b a y e s 统计的起源和发展 国际数理统计主要有两大学派：b a y e s 学派和经典学派。他们之间既有共 同点，又有不同点。经典统计学是基于总体信息( 即总体分布或总体所属分布 族的信息) 和样本信息( 即从总体抽取的样本的信息) 进行的统计推断，而b a y e s 统计是基于总体信息、样本信息和先验信息( 即在抽样之前有关统计问题的一 些信息，主要来源于经验或历史资料) 进行的统计推断，与经典统计的本质区 别在于是否利用先验信息。 b a y e s 统计起源于英国学者托马斯贝叶斯( t h o m a sb a y e s ，1 7 0 2 1 7 6 1 ) 死后发 表的一篇论文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中，他提出著名的贝叶斯公 式和一种归纳推理方法。随后拉普拉斯( l a p l a c e ，e c ，1 7 4 9 1 8 1 7 ) 不仅重新发现 了贝叶斯定理，阐述的远比贝叶斯更为清晰，而且还用它来解决天体力学、医 学统计以及法学问题。之后虽有一些研究和应用，但由于其理论尚不完整，应 用中出现一些问题，致使贝叶斯方法长期未被接受。直到二战后，瓦尔德 ( w a l d ，a ，1 9 0 2 1 9 5 0 ) 提出统计决策函数论后，又引起很多人对贝叶斯研究方 法的兴趣。因为在这个理论中，贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。在 s a v a g e ，l j ( 1 9 5 4 ) 、j e f f r e y s ，h ( 1 9 5 0 ) 、l i n d l e y , d v ( 1 9 6 1 ) 、b o x ，g e p & t i a o ，g c ( 1 9 7 3 ) 、b e r g e r ，j o ( 1 9 8 5 ) 等贝叶斯学者的努力下，对贝叶斯方法在观点、方法 和理论上不断的完善。1 9 8 4 年史密斯教授曾预言：“到本世纪末，b a y e s 理论加 上计算机的图示，将成为现代统计实践中最受欢迎的形式”。不论这一预言是否 偏颇，但如今贝叶斯统计日趋成熟，有关贝叶斯统计方面的研究与著作( 如文 献 2 9 、 3 0 】) 也越来越多，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的统计学派，打 破了经典统计学一统天下的局面。 2 1 2 b a y e s 学派的观点 b a y e s 学派最基本的观点是：总体分布中的未知参数0 是一随机变量，用一 个概率分布去描述对0 的未知状况，这个概率分布是在抽样前就有的关于0 先 验信息的概率陈述，被称为先验分布( p r i o r d i s t r i b u t i o n ) 。为什么采用概率的形式 呢? 因为任一未知量都有不确定性，而在表述不确定性时，概率和概率分布是 最好的语言。例如产品的不合格率0 是未知量，但每天都有一些变化，把它看 作一个随机变量是合理的，用一概率分布去描述它也是恰当的。贝叶斯统计就 是基于所具有的知识用概率( 或概率分布) 来度量对一个不确定事件的真实度 嚣南交避大学碳圭礤突生学位论文繁4 贾 酶嘏髂程度。 b a y e s 统计存在的主要问题是先验分稚问题。例如如何在具体的问题中定 窭“食逶熬”竞验分毒? 突验分东怒一个纯主囊熬随意蛙翁密疆，薅还有嚣么 科学意义? 别目前为止，b a y e s 统计未能提出一个放之四海断准的确定先验分 布的方法，虽看来在今蜃也皴以徽刭这一点，因嚣，这确实怒b a y e s 统毒+ 豹一 个重大弱点。毽在承认这一点酶弼对应清衔的看到，b a y e s 学赞成主观概率， 并不锌于况可以用主观随意的方式去选取先骏分稚，丽是要求研究辔对所考察 静誊箨有较逡镯鼹了瓣窝丰蹇靛经验，甚至魁这一方蘑嚣专零。毒实上，对如 何确嫩先验分布b a y e s 学者做了不少的探讨并且擞蜜用范阑内，对一些常见 的分布都已褥到了较好的回蛰。 2 1 3b a y e s 统计的应用 随着b a y e s 绞诗灏兴起瑟发震，b a y e s 统诗惩要了广泛蕊废蘑。 1 经济方面 围夕 已出版了b a y e s 统计在经济学的浆领域鲍痰躅专著。其中，芝熬罨 大学豹z e l l n e r , a 载授是b a y e s 学派在经济方稀应霜酌主要领导入，东象大学的 两位知名学者铃木雪失和国发直人是日本b a y e s 统计在经济学中应用的领导 夫。蔼在鏊蠹，经济努浆学鬟结合我灏实嚣褥突“三角馈“媳媾雾理论分撰辩， 把b a y e s 方法、博弈论和经济学的”均衡理论“结合起来，提出了”b a y e sf | 弈均樾理论“。 2 ，计算撬瓣学骞糯 b a y e s 统计在计算机科学中的“统计模式识别”中用得最多，已经使用“修 芷懿b a y e s 公式”终为嚣发p r o s p e e t o r 琏蒺矿藏魏探专家系统麓凝率拣理方法， 软件w 靠中的l v 模测就是个b a y e s 随机梭型，从这一模型出发，可以确定 软件投放审场黪最佳对超，鸯裂子软传生产瓣矮量警理，挺蒜较 孛产遭戆经济 效益。 3 可靠i 胜方面 1 9 8 2 年，荧蓬惑敝ta 嫩霖酬l c r 骜专馨( b a y e s i a n r e l i a b i l i t ya n a l y s i s ) ) 。 该书骶统地介绍了b a y e s 方法在可靠性中的威用。国内的许多于u 物也缀常可糟 到b a y e s 方法在可靠性方西应用的文奄。另外，b a y e s 方法在哥靠链串鲶一个 有找褒往黪铡予是，美遏研铡m z 导撵爵，斑褥b a y e s 方法把发射试验从原来 的3 6 次减少为2 5 次，可靠性湖从o 7 2 提高到o 9 3 ，节省费用_ = 二亿五千万美元。 努终，b a y e s 统诗在医学、法稼班及体育运动等方蕊都衰广泛鹣瘦籁，它西 逐步渗透到现实中的各个领域，这里就不一详述。 蕊南交潺大学磺圭磷究生学缝论文 第5 爱 2 2 贝叶斯公式 在窃等裰率中，讲述了爨畸赣公式懿事释形式。遮霉羁随褫变量麴密度蕊散 形式_ 束叙述贝叶斯公式。 考虑一统诗攘篓幻最 鳓：毋o ) ，盖= ( 蜀，x 2 , - - , x ，) 为来盘蕊俸费一样 本。暇定随机变量爿戆撞样分蠢密度为尹( 矽，表示巍蕊亳毪变爨移绘定禁令毽 砖， 总体指标爿的条件分布，又擞掘参数护的先验信息确定的先验分布疗( 以，在绘定 稃本x 之意瀚条释分舔 露溺砖：掣 法j ) r e ( x ) 英中蚓楚x 魏逸缘密度委数，与疗嚣关；嚣： 啦e ) = 量p 缸i o r ( o ) a o 则( 2 一i ) 式就是贝叶斯公式的密度函数形式，或者称为目的厢验分布。 显然，葳验分帮带翻羔是爝慧嚣髂惠窝嚣零售惑瓣先验分露露簿俸落整瓣 结果，它集中了总体、样本和先验等三种信息中有关挣的一切信息，可用如下 澄示表示： 先验信息0 样本信息肆后验储息 我翻毒簧熬，在绘定撵零分毒p ( 嗣拶) 纛舞骚努毒帮醪嚣，可运蔫掇甘瑟公 式( 2 - 1 ) 计算毋的鹾验分布+ 冀中m ( x ) 与参数对无关，仅起劐一个燕獒 ；健嚣予 的作用。若把m ( x ) 省峪，则贝叶斯公式的等价形式为； 厅( 叫x ) 锵p ( 卅秽) 硝( 口) ( 2 - 2 ) 其孛符号8 ”袭暴嚣边稿差一拿不蓑羰子参数戆霉鼗鬻子，势晨尧公式疆2 ) 式 的右端称为后验分布硝删工) 的核。只爨知道分布的核，利用分布密度的性质放 可确定相应的常数因予删：z ) 。特别是当看出带( 一j x ) 的核是常用分布的核时，不 西南交通大学硕士研究生学彼论文第6 炎 用计算繁杂的积分就可很快恢复所缺的常数因子小( 篇) ，从而简化计算。 例如稻：p ( x ) o c e x p 爿洲可刘j 判埘i x - n ( 0 1 ) 其密度函数 出) = 去e 。 常用分布的核如袁2 - 1 ： 二项分布矗( 群，护) 8 1 ( 1 一彩 泊松分布p ( 五) e “ 正态分布n ( a ，d 2 ) 伽玛分布g a ( o r ，五) 唧 一学t o x “一l p ”舢 b e ( a ，6 ) x a - i ( 1 一x ) “ 2 3 贝叶斯估计 2 3 1 点估计 。焘锫睾 设口是总体分布p ( x i 口) 中的参数，从总体随机抽取一样本 z 2 ( - ，x ：，z o ) ，根据护的先验信息取先验分布厅( 口) ，用贝叶斯公式算 得后验分布硝吲z ) 。豫为毋的估计可选用后验分布石p i x ) 的某个位置特征量，如 众数、中位数或勰望傻等。 两南交通大攀硕士研究生学位论文 第7 页 定义2 1使后骏分布玎( 目i 工) 达到最大的值称为目的缎大后验估计；后 验分布硝拶b 的中位数乱称为毋的后验中位数估计；后验分布的期望值以称 为0 的后骏期望估计，这三个估计者| ：f 称为0 的贝叶斯估计，配为毋。可依掘实际 。凑援遥麓蒸中懿一话诗。 2 爱时斯估计豹谈差 设舀是0 的一个贝叶斯估计，评定b a y e s 估计舀的精度常用后验均方差( 或 其乎方投) ，具髂定义魏下： 定义2 2 设参数秽的后验分布为万( 6 1 x ) ，贝叶斯估计为舀，则( 毋一毋) 2 的后 验期望 m s e ( g l x ) = 舀；圆一拶) 2 称为谷的厨验均方差，而其平方根胁船( o l x ) 称为舀的后验标准麓。当每为口的 螽验鬃鍪疋= 置( 瑗善) 避，裂 m s e ( o f f x ) = e o l 。( 舀f 一口) 2 = r a ，( o l x ) 髂必惹验方差，其乎方缀 f o ，( o l 羔萎豁为惹验嚣壤簇。嚣基 m s 嚣( o i x ) ：e o l x ( 西挣) ：e o l x i 毋一允) + ( 允一p ) f ：惭( 呐+ ( 吼一舀) ： 可见，警毋= 龟时，爱骏均方差这戮矮，l 、。本文虢在蓐验稳方菠达爨最小豹壤 则下，取露验均值作为参数的贝叶新估计值。 3 贝叶斯估计的稳健性 定义2 。3 设r = ( 毋：蓐( $ 是濑先验分布 ，蓑弦动弼满足 翟p i i p 0 ) ( 3 1 ) 【l 叩j 其中m 为形状参数，r l 为特征寿命。 相应的可靠度函数 r c 。= ，一f c 。= e x p 一( 寺 失效率函数 川，= 舞= 荆”、 显然，当m 1 时，r ( f ) 递增，0 0 ，m 0 _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ h - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - _ _ 一 嚣南交通大攀硕士磷究生学位论文 第12 贾 到很大的掇高，不可能将试验做到所有的元件都失效。在此情况下我们只能 采用截尾的方式得到一组不完全样本。截属就是拾被观测体中只有一部分的寿 命确诱翔遂，嚣裂余部分豹海露只知其超过巢一特定往。蘩奉类登如卜| ： 1 定数截尾 行个独立同型产品从t = 0 开始避行寿愈试验，试验到第，个失效l 鼙终丘，( ， 是事先规定钓正整数) ，则获得的寿命数据 t ls t 2 s t ，( r 鼹) 2 定时簸尾 羟个独立交墅产瑟姨 = 0 嚣始逡行毒禽试验，试验在辫定熬辩瓣芘终壹， 若谯规定的时间内有r 个失效，则获得的寿命数据 f l f 2s t ，t o( r 聍) 3 。随机裁尾 设瓦，疋，瓦独立同分：布，截尾时间l 是随机的假定只能观察到 y i ；m i n 曩，l 。， i = 1 , 2 ，辨 其中毛必拳数。上式表唆若霉 乏，则第i 个产鑫程曩焘失豢蕊察。 对两参数w e i b u l l 分布参数m ，担l 乍点估计，常用的方法肖m l e ( 最大似然估 计) 、b l u e ( 最好线性无偏估计) 、b l i e ( 最好线性同变估计) 。但在定时截尾试 验中，若在舰定的时间内失效数r = 0 ，即无失效数据，以上三釉方法均无效。 下嚣瘸b a y e s 方法蓍霆讨论两参数藏布尔分布在无失效情况下的参鼗估计。 3 2 威布尔分布的赢傣计( 1 ) 无失效数据问题的数学模型( i ) 假定产黼的寿命丁服从蒇布尔分布矽( 删，们，分布函数见式( 3 1 ) ，其中m ，珂 均采知e 淹橇逡撩敬栉个徉晶，努藏蟊缀，备缓样晶数分澍为强，栉2 ，且 强+ ”2 + + 壤= 摊，分别慰缀襻爨骰是潜截建试验，簸建霹瘸分爨为 嚣南交通大学颂士研究生学位论文 第1 3 页 o f 2 ，“，且f l ，2 t ，试验无一失效，则获得一组无失效数据 ( f 。， 。) i = 1 , 2 ，。1 1 ，k 从模型( 1 ) 中可褥到的绩患有： 1 产品的寿命服从威布尔分布w ( m ，r 1 ) ，其中m ，叩均未知； 2 若记s ，= n ，+ + 十月k ，刚表示在时亥眠i | i 未失效的样品总数： 3 。若谈p i = f ( t i ) = 尹妒 t i ，熬表示在t 辩秘失散壤率。荔觅当 t l f 2 时，窍0 p l p 2 蔓t t 蔓p 女l ； 4 f = 0 时，产品的失效概率仇= 0 。 问题是如何利用上述信息求参数m ，玎的估计? 茆诗松”提出如下的思路 来毖决这个海题： 1 首先搬诸f 。处获得失效概率p ，的估计p ，： 2 通过诸点0 。p ) ，i = 1 ，2 ，k 进行曲线拟合； 3 。盎憩分窍焉侈爨各参数及霹爨牲攫耘瓣售诗。 在这三疹中关键是第一步。在( 1 8 中提出三种方法：经媳方法、贝叶斯方 法和多层贝叶斯方法。本文认为 1 8 的工l 乍是非常有意义的，但作者在选取先 验分探对并浚有给崮合理的解释，谢量后覆我们将说明取均匀分布也是不恰警 的。另外，注意到失效概率p ，必须满足o p l p ：p l ，文献 2 5 为了 满足“保序憾”，对n 的范围加以限制，取p 。 p ，。本文提出以b e t a 分布为先 验分布，利用多层贝叶斯方法确定p ，的贝叶斯估计。不仅从理论上证明先验分 毒静会理洼，两盈在涎叠- i p ，静戮涮下，绦证o as 声2 a 1 成立。 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 3 2 1 参数的贝叶斯估计 1 p ，的贝卧斯 砉童十 ( 1 ) 纯验分布的确灏 从模溅l 反映的信息来看，关予参数的极少。在贝叶斯统计中，对于无信 息蕊参数鬻选取“殇匀分毒”终其宠验分蠢，毽对予无失效数豢淘逶，产菇匏 失效概率p ，不是常数。实际上，p 。大的可能性小，而小的可能性大，取均匀分 布作为先骏分布是不会遗鲍，所以搬撰a 的性鹱，应选取关弓：p ，的减函数作先 验分布。 引理3 1 若随机变量的分布函数为，( x ) ，并且f ( x ) 越严格单调的逑续 函数，粼尹( 盖) 鼹腻嚣润，l 】主豹均匀分布。 证明令y = f ( ) ( 0 ，( z ) s 1 ) ，分布函数为g ( y ) 兰y 0 ，g ( y ) ：0 ； 当o y g l ，g ( 力= 以f ( x ) y ) = p x 1 ，a ( y = 1 。 故f ( 爿) u o ，1 】。l 引瑾3 ，2 设随桃变疑五，x ：，五，靼互独立阉分蠢，是来是羚，l 】上弱均匀分 布的样本，则第，个次序统计量薯，( 1 9 ，玎) 的概率密度为： g ： f 看蕃丽卜8 ( 1 毪，广。s s ； 【0其它 此引域的证明可参阅文献 4 2 。i 壅堡! ：! 堇蘧莰交量t 瑕扶溪参数藏蠢承努东猡汹，躺， 二一： ：! ： 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 p ，= f ( t ) = 尸留 f ) ( f - l ，2 ，n ) ，且0 f l f 2 。 所以f ( f ) 关于，是严格单调递增的，由引理3 1 可得f ( 丁) u o ，1 】。 又0 f 2 o 为两个超参数。 随着口，b 的变化，由m a t l a b 软件z 1 4 & 胁密度曲线p ( x ) 有如下几种类型图 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 图3 - 1 几种典型的b e t a 密度曲线 从图形上看，当日 1 时，p ( x ) 递减。如何确定口，6 的值? 一方面，由 于两参数吼b 是无信息，根据贝叶斯假设，取( 0 ，0 , 0 ，c ) 上的均匀分稚分别作为 口，b 的先验分布。于是第二层先验分布密度为 石2 ( 口) = 1 ( 0 a 1 ) ， 万：( 6 ) = 主j ( 1 6 c ，c 为常数) ( 3 - 3 ) 另一方面，从贝叶斯估计的稳健1 角度看，尾部扁平的先验分布，相应的贝 叶斯估计的稳健性好a 当0 口 1 时，b 的变化引起概率密度的变化如图3 - 2 ： 图3 - 2 当a ( 1 ，b 取不同值的b e t a 密度曲线 从图形上看，6 越大，右尾越细，所以c 不宜取过大，一放取5 8 为宜。 由( 3 2 ) 和( 3 3 ) 两式，p 。的多层先验分布密度为 西南交通大学硕士研究生学位论文 第17 页 z ( p ，) = f z 。( p ，l “，6 ) z ：( 。) 万：( b ) d a d b = r f 击訾出如 a ， 定理3 2 , - r i i f p ，的多层先验分布( 3 4 ) 式关于p ，是单调递减的。 证明由( 3 - 4 ) 式得 掣= m 击喘茅叫 c - 1r f 喀出如 = j 1r f 盘垃学舞剑出如 因0 p 1 , 0 a 1 ，于是 p a - 2 ( 1 - p 。) 6 2 ( 口一1 ) ( 1 一p ，) 一( 6 一1 ) p ，】 o 。 从而掣 o 所嘲p j ) 关h 是单调递妣l 定理3 2 表明选取( 3 4 ) 式作为p 。的先验分布是合理的。 ( 2 ) p 。的后验分布 设产品的寿命r 服从威布尔分布，现从中随机的抽取样品分组独立进行定 时截尾试验，产品在，时刻的失效概率为p ，则失效数，服从二项分布。当，：o 时，即无失效数据，p ，的似然函数为 t ( o p ，) = ( 1 - p ，) ( f = 1 “2 ，) 西南交通大学硕士研究生学l 立论文 第18 页 根据贝叶斯公式( 2 一1 ) ，p 。的后验分布密度 砌，陟堕型丛 【丌( 麒) l ( o l p 。) 咖 等轿于 硝( a l o ) o c 石( 只) 三( 叫p 。) 州訾揪 同理r 可证明绫的后验分布密度霈( 只胁关于a 是单调递减的，说明与实际情况 相一致。 ( 3 ) p ：秘炙眭凝绩诗 在后验均方误麓最小的准则下，取其后验均值作为鼠的估计。 a = e ( p 0 ) - - j p i r c ( p ，i o ) d p ， f j 筹如如觑 f f 等删咖 ( 3 - 5 ) 京理3 3 对于光失效数据( f f ，珥) ( f = l ，2 ，) ，荆用多层贝叶斯方法得到的 失效概率戆鲣诗多，魏( 3 一) 式掰示，翼j o b i 蔓多2 s 丸 1 。 证明首先证明0 声， l 一 摹 “， = 蕊南交通大学颂士研究生学位论文第19 页 ：r f 掣出幽 舻可簪 ：! ! 壶笺竺 r j 篙砌拍 显然，0 a 0 ，并且 掣：m 紫酗1 = r j 芝鼍掣。 睁。， 令苁x ) = x a - 1 ( 1 一曲”t n ( 1 一 易冤，( 磅在阉嚣藏羚，芦知 0 。 假设当以= t 时结论成立，即掣o 。 微 巍栉= k + 1 时 掣= 州掣 垡竺：墨主塑土6 ) 器盘，妨 + 曼! 曼! ：墨土1 2 联c t ，6 ) 星( 妻! 墨生! 尘 b ( x ，e ) 一笺皆。坠掣一篱b ( x + l , 琊s , + 捌k + 1 + c ) l f d a d b 矗 一1 西丁。蒜丽一一焉羞矛肌，、； 矗 ：fff 篾兰乓堕丝粤姿垡l 兰。墨兰! ! 二兰璺盟型2 区卫王亚 斑施妇 ，j 西南交通大掌硕士研究生学位论文第2 3 页 d a + s + k + 矗+ 1 s 。+ k 十cx x + s + k + cx + j + k 十f + l b ( x ，s 。+ k + c ) b ( x ，o ) 者瓮k 卜威 x + s + + c l f 瓮皆，掣( 赤a + sa - + k + b l 署篙 塑b ( a 铲。等( 南b 一石纛 毒瓮蝴矗 ，舂)矗( 并，# ) 疗s ，善占。+ 寿十c j x + s + 蠢+ c “蚺 y o d ，x 1 ，贝u 型! ! ! 生! ! ! ! ! ，生生! a 七s 。+ k 七bs i 七k 七2 。x 七s 。七k c s 。k + 2 f r f 掣垫生塑垫尘! 塑f 三一! 4 1 6 十+ 2b ( x ，c ) 口( 口，6 ) l x + s i + ca + s t 而j + 瓣s f + k - 。l 塑茅+ 警( 南一x + 3x - + k + c ) d a d b k 2 b ( a kc蠡 s ，+ 十，5 ) 占( 并，c )l 口+ s + 6 漱 = 兰k 邕2 f 州 s f +由l 毒l b ( x + l ，s 。+ c ) b 嚣 c ) ( d ，s ，+ k + 6 ) b ( a ，缈 + 塑l 曼! ：墨! ! 。曼点：量! ! ! b ( a ，嚣暖e ) 望! 掣皇! ! ! ! 墨生1 2 曼l 竺：墨1 2 生! 点! ：墨生1 2 b ( x ，c ) b ( a ，b ) b ( a ，6 )曰( i 厂一 ：等兰型ok s ：+ + 2o c 一。 综上所述，命题成立。l 2 。m ，r 粒蠡绩i - l - 若令驯坼届= 扣= t 收剖胪毗，若用a 代聪的 一。 一 兰棼一g，一( 器 口一 1，j 一66 一+ 一露女一+ +一 雌一十癌 万 离 出如妇 1，j 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 系统误差记为s ，则( 3 1 ) 式变为 y 。= p q + p ，x ? + s ? i = 1 , 2 ，- ，k 从而m ，叩的点估计转化为估计回归方程中的回归系数风，。，这里将采用最小二 乘法。 令q = ( ”一p o 一。一) 2 ，正规方程组 i = l 解得a = 瓦b c - 下a da = 筹 其中a = 由风：l n r , f l ，：i m 小，叩的点估计 m 疗= e x p p o 沁y 另外，我们也可采用加权最小二乘法。其中w f 是权，一般可选用如下的三 种权之一： ( 1 ) 等权= ； ( 2 ) 按截尾时间长短w ，= j k l ； f f ( 3 ) 按总试验时间长短w f = ；虹。 ， 二生 卸 m 伽 份 嗍 舢 堡诋幻一粥 y x 。 = d 2 x 。 = c y 。 l 口 西南交通大学硕士研究生辫位论文第2 5 页 对于可靠性寿命试验，得到的估计值是与样品数和试验时间有关的。在试 验条件允许的情况下，受试的样品越多，受试时阈越长，则依据获褥的数据l 乍 密躲悠诗篷就与实嚣壤筵接近。魄较三裂；寝发魏，第三秘毅雯麓全嚣靛葳袄信 息与实际情况更接近些，因此，本文建议采用第三种权。 3 w 靠指标的估计 有了鼹参数m 露黪依诗，就可对可靠性指标 乍蹬估诗。 在，* f 时，产品w 靠度的估计 坼冲x 。m lk 瑶歹j 失效率的话计 3 。2 。2 参数的综合德计( 号i 进失效信息精的估计) 在许多研究中，通过寿命试验所获得的只是不完全样本数据。譬如，对于 无失效数据阕题，我 f 】褥裂在藏尾嚣雩凌t i ( 1 i 蔓k ) 凌无一样鑫失效匏结果，嚣 x c t - 最大禳尾时问“后的寿命情况无所知，在t 。后产品可能很快失效，也可 能不失效，这样，在外推时间内是後寄失效样晶黩 _ 疆将无法确定。魏有失效棒 瑟窭瑗，爨么产瑟豹霹嚣缝诤定裁会产生一定戆镶差，为了减少镶差，下嚣将 讨论引进失效信息后的参数的b a y e s 综合估计。 数学模型( i i ) 若产黯豹寿愈辍觚藏蠢尔努舔w ( m ，r ) ，分布溺数见式( 3 1 ) 式，其中m ，野 均未知。随机地抽取n 个样品，分成组，各组样品数分别为q ，h ：，一睫 n ，+ 蜉：+ + = 椎，分踊怼各缝梯菇敲定对截遥试验，馥嚣雾李阕分翳为 f 。，f ：，“，试验结果光失效，获得一组无失效数据( ，。，”，) i = 1 , 2 ，k ，假设 型k 曩垮垫蓬试验，群瑟数为讯+ l ，载尾薅粒屯+ l i 臻莱毫r ；0 , 1 ，壤+ ，) 舢 、， ：蟹 ，l m一叩 尝 ) f ( r 两南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 个样品失效。 从模溅( 1 1 ) 中可褥到的信息褥： i 阏模型i 酌绥惑； 5 在第k + 1 次截尾试验中，“+ 。截尾时问内，n 。样品中结果有r 个失效。 闻越是蠢鞋何在弓 避失效傣感爱，对参数拼，譬以及可靠链攒振进行综含傧 计? 1 p 的贝叶斯估计 翔嗣熬决藏( 1 i 妁翡受时焱镰诗，这垂p k 。豹 砉诗氇慕愆多瑟受时鬻方 法。 第一层先验分布取b e ( a ，6 ) 柏一啪) = 碰黥乒( o a 1 ) 第二层先验分布取均匀分布 7 1 2 ( = 1 ( o a “，试验结果无一失效，则获得组无失效数据 窜。，辨。)j = 1 , 2 ，k 从模型( 1 1 1 ) 中捌。得到的信息有： 1 产品的寿命服从威布尔分布w ( m ，叩) ，其中m ，瑁均未知 2 若记墨= n ，r k l , 2 ，则表示在前f 次来失效的样品总数 3 若记时刻f 。的可靠度为矗。= p t f ，) ，由于每次试验的结果都是无失效 的，燕有o r l r 2 + s r k 1 , 0 b l ， 即： 州叽6 ) _ 等 两参数日，b 的先验分布分别取( 1 ，c l ( 0 ，1 ) 上的均匀分布，即 石2 ( d ) = ( 1 口 c ，c n g 蜘7 2 ( b ) = 1 ( o b 1 ) e l 其中c 是从贝叶斯估计的稳健性方面确定。 当b 1 时，a 的变化引起概率的变化如图3 - 3 ： b ) a = 5 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 1 页 图3 - 3 当b 1 ，0 b l ，o 6 o ，所以厅( r ) 关于胄，是单调递增的。l oo 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 2 页 2 r 的后验分布 设产品的寿命服从威布尔分布，现从中抽取样品分组独立地进行定时截尾 试验。若在时刻r ，的可靠度为r ，则失效数r 服从二项分布，从而r ，的似然函 数为 l ( 0 r ，) = r ， ( i = 1 , 2 ，k ) 根据贝叶斯公式( 2 1 ) ，r 的后验分布密度 础和卜嚣 3 r ，的b a y e s 估计 在后验均方误差最小的准则下，r 。的b a y e s 估计 晨一= e ( r ，i o ) = f r j c ( r ，i o ) d p ， l l 等黝b 2 可筝 1 定理3 5 对于无失效数据( ，n ) ( 扛1 ，2 ，) ，利用多层贝叶斯方法得到 的可靠度的估计晨如( 3 1 1 ) 式所示，则o 0 y 0 即y z ( 矿) 。- 若令 =