（概率论与数理统计专业论文）有关区组补设计理论的一些结果.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s t h e s l s 最近有许多文献来讨论补设计理论，特别是，c h e na n dg h e n g ( 1 9 9 9 ) 借助于 m a c w i l l i a m s 恒等式等编码理论中的一些工具，提出了区组化的部分因析设计的补 设计理论本文里给出了区组补设计理论的一些新结果，这些结果拓展了c h e na n d c h e n g ( 1 9 9 9 ) 的理论 另一方面，出于节省试验次数和提高可估性的需要，非正规因析设计最近受到 特别多的关注但是，目前研究区组非正规因析设计的文献却非常少将c h e na n d c h e n g ( 1 9 9 9 ) 的理论和方法推广到区组非正规情形是不可能的。为此，利用d e n ga n d t 粕g ( 1 9 9 9 ) 所定义的j 特征值，我们定义了广义处理定义字，广义区组定义字和它 们的字长型最后，通过研究区组非正规条件和方差模型，我们提出了区组非正规 设计的区组字长型准则利用这个准则，我们就进一步将区组补设计理论推广到一 般非正规的情况 关键词tm a c w i l l i a m 8 恒等式；区组补设计理论；区组非正规条件 a b s t r a c t t h ec o m p l e m e n t a r yd e s i 印t h e o r yh a sr e c e h e dag r e a td e a l 。f t t e n t i o ni nt h er e c e 毗l i t e r a t l 上r e i np a r t i c u l a r ，硒t h8 0 m ee l 咄e n t a r ym a t e r i a li nc o d i n gt h e o r yi n c l u d i n g m a c w n l i 啪si d e n t i t i e s ，c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) d e v e l o p e dac o m p l e m e n t 8 r yd e s i g nt h r y f o rb l o d 【e d 丘a c t i o n mf 扯t o r i 幽，i nt h i sp 印e r ，s o m en e wr e s u l t sf b rt h eb l o c l c e dc o m p b m e n t a r yd e s i 口a r er e p o r t e d ，w h i d le m e n dt h et h e o r yo fc h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) o nt h eo t b e rh 8 n d ，i nt e h n so fr u ns i 2 ea 随b j l i t ya n dh i g he s t i m a t i o n ，n o n - r e g u l a r 丘a c t i o n a lf a c t o r j 柚d e s i i 扣sh a v er e c e i v e dm u d h8 p e c i 出n o t i c e b u tt h e r ea r ev e r yf e wu t e r a t l l r eo nb l o c k e dn o n r e g u l 8 rc o m p l e m e n t a r yd 铝i g nt h e o r y i ti 8i m p o 鹤i b l et o 麟t e n dt h e t h e o r ya n dt h em e t h o di ng h 叨a n dg h e n g ( 1 9 9 9 ) t ob l o c k e dn o n - r e g u l 8 ro n e s u s i n ga s e to fj _ 出a r a c t e r i s t i cv a l u e 臼d e 丘n e db yd e n ga n dj i h g ( 1 9 9 9 ) ，w ed e 丘耻t h eg 姐盯a l i z e d t r e a t r n e r 蛆d e 丘n j f 唔w o r d s ，b l o c k - d e 丘n i h gw o r d b 鑫n dt h et e l 8 t i v ew o r d $ j e n 薛h w 岳a l s oi t 卜 t r o d u c eas 0 c a l l e de l i 百b kc o n d i t i o nt h a tt h ec o l u m l l sc a nb ei l s e d o rg e n e r a t i n gb i o d 【s b ys t u d y i n ga n o v am o d e l s ，w ed e v e l o pag e n 凹a l i z e db l o c k e dw o r dl e n g t hp a t t e mc r i 协 “o f 西b i o c l ( e dn o n - r e g u l a rd e s i g n s u s j n gt h i sc r i t e r i o n ，w eg i v ean a t u r 缸e x t e n t i o no f t h eb l o c k e d m p l e m e n 妇r yd e s i g n 也e o r yt on o n r e g l l l a ro n e s k e y w o r d s ： m a c w i l a m si d e n t i t i e s ；b l o c k e dc o m p l e m e n t 8 r yd e s i g nt h e o r y ；b l o c k e d n o n - r e g u l a re o n d i t i o n s i i 顾士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：谳蕴伟日期：加绰月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 作者签名：嘲杰伟 日期：沙口绰f 月f 日 导师签名： 日期：珈戽月f 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圆重途塞握套唇进卮! 旦圭生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：像建伟 日期：砷侔6 月日 日 第一章引言 1 1 回顾 两水平的部分因析设计在试验调查中有着广泛的应用在效应排序原则下，低 阶效应比高阶效应重要，同阶效应同等重要许多准则被用来比较因析设计，比如 b “a n dh u n t e r ( 1 9 6 1 ) 的分辨率准则，n i e 8a n dh u n t e r ( 1 9 8 0 ) 的最小低阶混杂准则 正规设计有简单的别名结构，任意两个效应要么正交，要么完全别名一个设 计被称为非正规的，如果存在两个效应。既不正交也不完全别名出于节省试验次 数和提高可估性的需要，非正规因析设计近来受到特别多的关注最近，有许多准则 被用来比较非正规因析设计。比如| 工妞g dd e n g ( 1 9 9 9 ) 的两水平g 2 m a 准黜以 及它的推广，x ua n dw i ( 2 0 0 1 ) 的混水平g m a 准则，等 区组能够消除由于试验单元的不一致性而造成的系统偏差，因而是提高试验效 率的有效方法( w l ，a n dh & m a d a ，2 0 0 0 ) + 然而，怎么样用最优的方式去对一个正规 的扩一”设计进行分组，象这样重要的实际问题，一直没有受到重视，直到b i 8 9 a a r d ( 1 9 9 4 ) ，s u e n ，r ua n dc h e n ( 1 9 9 7 ) ，s i t t e r ，c h e na n df e d e r ( 1 9 9 7 ) 才开始有这方面的研 究工作，对于个区组因析设计( d l ，玩) ，d - 和d 2 分别表示n 个处理因子和r 个区 组因子设计( d - ，d 2 ) 定义关系包含两种字，即那些只包含处理因子的字和那些至 少包含一个区组因子的字令a 讷( d 1 ，d 2 ) 表示包含有i 个处理字母的处理定义字的 个数，令且 ，l ( d 1 ，d 2 ) 表示包含有e 个处理字母和至少一个区组字母的区组定义字 的个数，既然我们所考虑的设计都具有这样的特点，即任何处理主效应既不和其他 的主效应混杂。也不和区组混杂，因此我们可以假设，a 1 ，o = a o 。l = j 4 2 o = a 1 1 = o 两个向量眦= ( 凡，o ， 4 o ，) 和w 一( a 2 ，l ，a 3 1 ，) 一起被称为设计( d 1 ，d 2 ) 的 裂字长型根据最大可估能力的观点，c h e na dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 通过把设计( d l ，d 2 ) 的 两个字长毗，t 组合在一起，定义了一种字长型 目前，相当多的研究集中在部分园析设计的刻划上试验设计中部分因析设计 的刻划问题是指用它的补设计去表示该试验的字长型关于这方面的细节，我们可 趴参考c h e na n dh e d a y a t ( 1 9 9 6 ) ，t 柚ga n d ，u ( 1 9 9 6 ) ，s u e n ，c h e na n d ，u ( 1 9 9 7 ) 和 q i n ( 2 0 0 3 ) 的工作，他们从补设计的角度研究了正规设计2 一m 的刻划问题c h e n a n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 的工作是把这种刻划问题引向区组设计的首次尝试，他们建立了 区组补设计理论这种理论在补设计很小的时候，对于找到最小低阶混杂设计非常 有用然而，在e h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 的工作中，a l ，o ( d l ，d 2 ) 和a 1 ( d l ，d 2 ) 的计算 很复杂，这对于缺乏这方面数学背景的实际工作者来说可能很难理解本文的一个 目的就是给出一些新的结果，使得关于它们的计算比较容易，形式上也比较好理解 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) ，c h e n ga n dw u ( 2 0 0 2 ) ，c h e n ga n d7 r 蚰g ( 2 0 0 5 ) 以及其 他人关于区组方面的工作，针对的都是区组正规设计因为，他们的主要工具是定 义对照子群，而这只在正规设计中成立，但是，出于节省试验次数和提高可估性的 需要，将区组设计理论和区组补设计理论推广到非正规情形是必要的利用示性函 数，c h e n g ，“a n dy e ( 2 0 0 4 ) 首次在这方面作出了尝试，发展了区组非正规设计理论 本文的另一个目的是推广a h e n ga n dt 蛐g ( 2 0 0 5 ) 区组部分因析设计的理论 t 蚰g ( 2 0 0 1 ) 证明了任意一个两水平的因析设计被它的，特征值唯一确定，正如正 规设计被它的定义关系唯一确定一样因此，我们可以利用j 特征值去拓展c h e n g a n d t 蛐g ( 2 0 0 5 ) 的理论 2 1 2预备知识和相关记号 我们用o a ( m 扩，t ) 表示一个n 次试验，m 个因子，两水平，强度为t 的正交阵 列其两水平分别用1 和一1 表示正交性指的是在每一列中，1 和一1 出现的次数相 同，而在每两列中，四个水平组合，( 1 ，1 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 一1 ，1 ) 和( 一1 ，一1 ) 出现的频率也相 同 对于一个2 t ，设计，用a 记其定义对照子群中字长为t 的字的个数，向量 w = ( a 3 ，以4 ，) 称为设计的字长型为了进一步刻划或区分部分因析设计，n i e s a n dh u n t ”( 1 9 8 0 ) 提出了如下的最小低阶混杂准则：选择设计序贯最小化= ( a 3 ，a 4 ，) 我们举一个简单的例子说明一下他们的准则 例1 考虑下面的两个2 7 - 2 设计： 他们的定义对照子群为 d 1 ：6 = 1 2 3 4 ，7 = 1 2 3 5 d 2 ：6 = 1 2 3 ，7 = 1 4 5 d 1 ：j = 1 2 3 4 6 = 1 2 3 5 7 = 4 5 6 7 d 2 ：= 1 2 3 6 = 1 4 5 7 = 2 3 4 5 6 7 我们得到，( d 1 ) = ( o ，l ，2 ，o ，o ) ，) = ( o ，2 ，o ，1 ，o ) ，故d 1 较d 2 有低阶混杂 接下来，我舸再举例说明区组设计 例2 考虑下面的( 2 7 ，2 2 ) 设计：定义对照子群为 ，= 1 2 3 4 = 1 2 6 i = 1 3 6 2 = 3 4 6 l = 2 4 晚= 2 3 6 1 6 2 我们得到，m = ( o ，1 ) 和肌。= ( 5 ，o ) 由两个区组因子b 1 = 1 3 4 ，b 2 = 2 3 4 可得到三个 区组效应：6 l = 1 3 4 ，6 2 = 2 3 4 ，6 3 = 6 l 屯= 1 2 最后，我们再介绍一下t 8 n ga n dd e “g ( 1 9 9 9 ) 和g ( 2 0 0 1 ) 定义的，特征值 考虑一个部分因析设计d = ( 姑) 。，这里d ；沪士1 设u 是z 。； l 2 ，m ) 的一 个子集，定义厶= 翟。n 。如对于正规设计，i 凡l 要么等于。要么等于n ，定义 字是那些使得i 凡l = n 的z 。的子集u 本文下面的部分组织如下第二章给出了区组补设计理论的一些新结果，这些 结果拓展了c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 的理论2 1 节简要介绍了一些概念，比如区组字 长型和区组因析设计的最小低阶混杂准则，并介绍了c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 的主要 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e st s 理论2 2 节介绍了我们的主要结果在本节的最后，我们举了一个描述性的的例子， 数值计算结果对我们的理论提供了进一步的支持我们需要注意的是，在这个例子 中，并没有用到c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 的证明技巧和结论，实际上是新的技巧起了 关键的作用第三章将区组补设计理论推广到一般非正规的情况3 1 节定义了广义 处理定义字，广义区组定义字和它们的字长3 。2 节介绍了区组生成元3 3 节通过研 究方差模型，我们提出了区组非正规设计的区组字长型准则3 4 节利用前一节中的 准则，我们就进一步将区组补设计理论推广到一般非正规的情况 4 第二章区组补设计理论的一些结果 2 1定义 令日= ( d l ，d 2 ，d 3 ) ，这里日表示具有n 次试验和n 一1 个因子的两水平饱和设 计，( d - ，d 2 ，d 3 ) 分另q 表示m 个处理因子，由r 个区组因子生成的2 r 一1 个区组效应 和n m 一2 ) 个补设计处理因子显然，仅仅使用d 3 去刻划设计对( d - ，d z ) 是不可 能的我们下面将要建立的区组补设计理论，是用设计对( 玩，d 3 ) 来刻划( d l ，d 2 ) 这种方法在d 3 的列远小于d ，时，非常有效 我们来回顾一下c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 所建议的区组字长型 对于每一个j ，定义 i 山o ( 协，d 2 ) ， 当j 为偶数且j n ， 坞( d l ，d 2 ) = ( u + ) ，2 ) a j ，o ( d l ，d 2 ) + a 臼+ 1 ) 忍l ( d l ，d 2 ) ，当j 为奇数且js n ， 【山一h 2 j ，l ( d 1 ，d 2 ) ， 当n + 1s j 扎+ 【n 2 j ， i ( d l ，d 2 ) = ( a 2 ( d l ，d 2 ) ，砧( d 1 ，d 2 ) ，a ：+ m 2 j ( d l ，d 2 ) ) 称为区组设计( d l ，d 2 ) 的区组字长型c h e a i l dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 所建议的区组因析设 计的最小低阶混杂准则是序贯最小化 3 ( d - ，d 。) ，鸽( d l ，d 2 ) ，也即序贯最小化 3 a 3 ，o ( d 1 ，d 2 ) + 如，1 ( d 1 ，d 2 ) ，a 4 ，o ( d l ，d 2 ) ，- 为了建立区组补设计理论，c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 证明了下面的结论 引理2 1 1 这里 a l ，o ( d l ，d 2 ) = a + g o + 昌( 甚i 一5 g ，* 。印s 2 ，一q o ，( t ) + ( 一1 ) 几一。1 2 r q a ，0 一s ) ) a 1 ，( d 2 ，d 3 ) + 墨( i 三：1a ，h ，m s 2 r 日w ( ) + ( 一1 ) 球一，s 2 r 一翻* 0 一s ) ) 山，。( d 2 ，d 3 ) + ：3a ，。 o p ( d 2 ，d 3 ) + 2 r 】，8 2 r + l ( d 2 ，d 3 ) g = z t 最c 。；n ，一只c 。一1 ；”，】，c 。= c 一，一t “一，2 ( 。：二荔j ：) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 弓( 巧m ) = ( 是一个k r a w t c h o u k 多项式 咿( 二；) t 2 a ，o ( d l ，d 2 ) + a ，l ( d 1 ，d 2 ) = 角。( 2 a o ，( d 2 ，d 3 ) + a 1 一( d 2 ，d 3 ) ) 3 = 0 这里，屈j = 2 一( 2 一2 一“盘2 。“只( 2 一一s ；n ) 只( j ；2 k 一矿一n ) 引理2 1 1 和引理2 1 ，2 说明了设计( d l ，d 2 ) 的区组字长型能够用它的补设计 ( d 2 ，d 3 ) 表示但是，显然这种表示方法是非常复杂的因此，就实际工作需要来说， 推导出一个形式上比较简单，用起来比较容易的结果是很有必要的 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 2 一些新的结果 引理2 2 1 令h = ( d ，西) ，这里日是一个两水平的有n 次试验和n 1 个因子的设 计，其中d 包含m 个因子于是， j 山( d ) = c 。( ，j ) a 。( 西) = 0 这里，础册= 们脚一o ，晰脚= 卜妒_ 孚- ( 筲j ) ，s 螂编舻 ( 妒嘲( 爵j ) 珀踯；m ) - 粥嗍似耻，州耻喇耻旧( 删) = i ：。c 一，r ( “：2 ) ( 了二；) 是一个k r a w t c h 。u t 多项式 下面的定理可以由引理2 2 1 直接导出，它说明了裂字长型山o ( d 1 ，岛) 可以用 区组补设计( d 2 ，d 3 ) 表示 定理2 2 1 对于2 j 节中定义的d l ，d 2 和现，我们可以得到 j 山( d 1 ) = ( i ，j ) a ( 见，d 3 ) ， 也即。 进一步 山，o ( d 1 ，d 2 ) = c 。( t ，j ) a ( d 2 ，d 3 ) i = 0 j 山，o ( d l ，d 2 ) = c 。( i ，j ) a 蚶( d 2 ，d 3 ) 下面的定理说明了裂字长型如，- ( d - ，d 2 ) 可以用区组补设计( d 。，d 3 ) 表示 7 ( 3 ) 定理2 卫2 对于2 j 节中定义的d 1 ，d 2 和i b ，我们可以得到 j + l 如，l ( d l ，d 2 ) = ( 2 ”一1 ) c 。+ 1 ( ，j + 1 ) a 盯( d 2 ，口3 ) + 1 + 1 ( i ，+ 1 ) 最( d 2 ，d 3 ) l = 0 这里，届2 ，工) 3 ) = ；：l p 毋( d 2 ，d 3 ) ，其中砂( d 2 ，b ) 表示( 功，d 3 ) 中长度为t 且恰好有p 个字母来自仍的定义字的个数， 我们将在下一章给出它的证明，实际上它只是区组非正规情形的一种特例 注：由定理2 2 1 和定理2 2 2 可以看出，a i 。o ( d 1 ，d 2 ) 和a 1 ( d l ，d 2 ) 实际上可以 由它的区组补设计( d 2 ，风) 来表示显然，定理2 2 1 和定理2 2 2 中的a ，o ( d l ，d 2 ) 和a t 1 ( d 1 ，d 2 ) 的计算和形式都要较引理2 2 1 和引理2 2 2 容易 把定理22 1 和定理2 2 2 的结论代入区组字长型( 1 ) 中，我们就可以通过区组 补设计( d 2 ，d 3 ) 来刻划区组设计( d 1 ，d 2 ) 下面我们用一个简单的例子来说明我们的结论 例3 考虑个1 6 次试验的区组设计( d l ，d 2 ) = ( 2 ”5 ，2 3 ) ，这里d 1 和d 2 分别表示 9 个处理因子和3 个区组因子的列令1 ，2 ，3 和4 表示皿6 的四个独立的列，这里 研6 是一个1 6 1 5 的1 6 阶h n d a m a r d 矩阵的子设计令l 表示日1 6 的1 5 列 l = l ，2 ，1 2 ，3 ，1 3 ，2 3 ，1 2 3 ，4 ，1 4 ，2 4 ，3 4 ，1 2 4 ，1 3 4 ，2 3 4 ，1 2 3 4 ) 不失一般性，我们选择d 2 = l ，2 ，1 2 ( d l ，d 2 ) 可以被它的区组补设计( 岛，d 3 ) 所 决定值得注意的是， 1 ，2 ，1 2 ；3 ，1 3 ，2 3 ) 和 1 ，2 ，1 2 ；3 ，4 ，3 4 ) 是两个非同构的区组设 计，我们将它们分别定义为( d z ，d 3 ) 1 和( d 2 ，d 3 ) z 容易得到它们如下的裂字长型t a 2 ，1 ( 功，d 3 ) 1 = o ，a l ，2 ( d 2 ，d 3 ) 1 ；3 ，山，o ( d 2 ，d 3 ) l = 1 ，a o ，3 ( d 2 ，d 3 ) 1 = o 和 a 2 ，1 ( d 2 ，d 3 ) 2 = o ，a l 。2 ( d 2 ，d 3 ) 2 = o ，a 3 ，o ( i ) 2 ，d 3 ) 2 = l ，a o ，3 ( d 2 ，d 3 ) 2 = l 由定理2 2 1 和定理2 2 2 ，容易得到 a 3 ，o ( d 1 ，d 2 ) l = 4 ，a 2 1 ( d 1 ，口2 ) l = 6 ， 和 a 3 ，o ( d l ，d 2 ) 2 = 6 ，a 2 1 ( d 1 ，d 2 ) 2 = 3 8 dd a十 岛 一 = 嘎 矿 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由( 1 ) ，我们得到鸽( d l ，d 2 ) l = 1 8 ， 3 ( d l ，d 2 ) 2 = 2 1 从区组因析设计最小低阶混杂 的观点来看，( d ，d 2 ) 1 较( d z ，d 3 ) 2 有低阶混杂 9 第三章区组非正规补设计理论 3 1定义 令( d 1 ，d 2 ) = ( 2 n m ，矿) 表示个具有2 r 个区组，区组大小为2 ”的2 ”“设 计因子被分成两种不同的类型：n 个处理因子1 ，2 ， ，r 个区组因子b l ，6 2 ，b ， 区组因子的2 r 个组合将处理因子的2 n m 个组合分成2 r 个区组这里有两种不同 的定义字：只包含处理因子的定义字( 称为处理定义字) 和那些至少包含一个区组因 子的定义字( 称为区组定义字) 胁g a a r d ( 1 9 9 4 ) 将分辨率准则推广到区组部分因析设计他正确地指出了将区 组定义字的长度定义为它里面字母的个数是不恰当的他建议定义区组定义字的长 度为它里面处理字母的个数加1 对于正规设讥它的字长定义为它里面所含的字母的个数对于非正规设计，它 的字可以定义为使得i i o 的”由于正规设计的f 以i 要么等于。要么等于n ，所 以这种定义实际上是正规设计情形的一种自然推广按照这种思想，处理定义字和 区组定义字的字长可以类似定义， 对于非正规设计，即使字的字母个数相同，表示的别名程度也可以不同因此， 字长的定义应该能使得这种别名得到反映因为i 鲁l 度量了字“的别名程度，我们 就称1 鲁l 为别名指数广义字长型可以定义为字中字母的个数加上l l 鲁1 对于一 个设计，无论正规还是非正规，令f u i 表示使得m n z | 鲁| o 最大的整数d e n ga 1 1 d g ( 1 9 9 9 ) 定义广义分辨率为兄( d ) = l u l + ( 1 一m n i 鲁眦字长的整数部分表示字中 字母的个数，小数部分部分表示别名的程度字长较长的字比字长短的字可取，因为 后者的别名程度较前者严重 对于区组菲正规设计，处理定义字的字长可以类似定义，即字母个数加上1 减去 别名指数区组定义字的字长定义为u 中处理因子的个数加上1 一i 鲁i 我们定义它 的广义分辨率为嘞( d ) = + ( 1 一m i 鲁i ) ，这里表示使得 w 。i 鲁i o 的最大 的整数，1 表示”中处理因子的个数 1 0 3 2区组生成元 对于区组部分因析设计，本文有4 个基本假设： 1 ，低阶处理交互效应较高阶处理交互效应显著， 2 同阶处理效应同等重要 3 ，区组因子和处理因子的交互效应可以忽略 4 所有2 7 1 个区组效应同等重要 区组设计可以由现有的正交阵列构造对于区组正规设计，区组可以通过在设 计阵中安排一些列作为区组生成元来构造这种方法被w ua n dh 8 m 甜( 2 0 0 0 ) 称为 替代区组法 r u n12345 6 b hb i vb v l i l 11l1111 b 1b 1b l 21l1111 b 1b 1b l 3111 1 11 b 1岛b 2 4 l 一11 11l b 1日2玩 5111l- 11 b lb l 玩 6111111 b 1b 1岛 7111l一1一1 日1岛风 8l一1111 1 口l口2风 9111111 历蜿 1 011111 1 b 2 b 3 岛 1 11 111- 11 岛段风 1 2 1 - 11111 玩 风b 6 1 3111111 口2岛 岛 1 4111111 b 2岛 b 1 5- 11111 1 岛b 4风 1 6111111 b 2b 4 b 8 区组非正规设计可以通过相同的方法构造例如，上表是一个非正规正交阵列 o a ( 1 6 ，2 6 ) ，因为区组大小必须相等，而1 6 可以被2 ，4 ，8 整除，所以我们可以将这1 6 次试验分成2 ，4 ，8 个区组为了将这1 6 次试验分成两个大小相同的区组，我们可 以简单地将第一列安排为区组因子，这样前8 次试验和后8 次试验就属于不同的区 组为了将这1 6 次试验分成四个大小相同的区组，我们可以使用第一列和第二列作 为区组生成元，利用替代法，可以得到4 个区组由区组生成元生成3 个区组效应， 这些区组效应可以表示为6 1 = 1 ，6 2 = 2 ，b = 6 l b 2 同样，为了将这1 6 次试验分成八 个大小相同的区组，我们可以使用第一列，第二列和第三列作为区组生成元，利用替 代法，可以得到8 个区组由区组生成元生成7 个区组效应，这些区组效应可以表示 为6 l = 1 ，6 2 = 2 ，6 3 = 3 ，6 4 = 6 1 6 2 ，培= 6 l b ，k = 6 曲3 ，幻= 厶1 6 2 6 3 值得注意的是，并不是任意三列都可以用来作为区组生成元例如，如果使用 第二列，第四列和第六列作为区组生成元，我们会发现不同水平的组合个数是不相等 的：( 1 ，1 ，1 ) ，( 1 ，一1 ，一1 ) ，( 一l ，1 ，一1 ) ，和( 一1 ，一l ，1 ) 出现三次，面( 1 ，1 ，一1 ) ，( 1 ，一1 ，1 ) ，( 一1 ，l ，1 ) 仅仅出现一次因此这三列显然不能作为区组生成元，去生成八个大小为二的区组 当r 列不能作为区组生成元去生成2 r 个相同大小的区组时，这r 列称为不合适的， 否则的话，c h e n g ，“a n dy e ( 2 0 0 4 ) 称之为合适的( e l i g m l e ) 为了能够使用替代方法，r 个合适的列必须构成具有相同重复次数的2 完全因 析设计，也即强度为r 由上表，我们知道，因为也4 6 = ，以5 6 = 一 ，如6 = ，如。= 5 ， 故它有四个三个字母的字，2 4 6 ，2 5 6 ，3 4 6 ，3 5 6 所以任何除2 4 6 ，2 5 6 ，3 4 6 ， 3 5 6 之外的三列都是合适的特别地，当设计阵d 强度为t 时，它的字长至少为t + 1 因此，如果r t ，那么强度为# 的正交阵列中的任意r 列都可以用来构造2 r 个区组 对于区组因析设计，由于处理主效应不能和区组效应混杂，所以使得所有的区组 效应都和处理主效应正交是很有必要的这一点很重要，在接下来的文章中会用到这 一点 因此，我们仅仅限于讨论使得凰3 和凰2 的区组设计，见3 保证了处理 主效应的正交性，磁22 保证了区组效应和处理主效应正交 个有m 个处理因子和r 个区组因子的区组部分因析设计可以由一个有m + r 列的正交阵列来构造，即安排r 个合适的列作为区组生成元，并检验风3 和玩2 是否成立 1 2 3 3 区组非正规最小低阶混杂准则 对于一个o a ( n ，2 m ) 设计，假设我们的兴趣在于估计所有的主效应和区组效应 那么拟合模型可以记为 y = 1 0 j 十l n ，y l 十f ，( 5 ) 这里，y 表示n 个观察值所构成的向量，1 l 表示所有的主效应和区组效应所构成的 向量，m 是相应于1 l 的模型矩阵，e 是不相关的随机误差所构成的向量，有零均值 和常数方差真实模型可以记为 y = 加j + m 7 l + 他+ - - + w k 似+ e 这里 竹表示j 阶处理交互效应，是相应于的模型矩阵，j = 2 ，耳，y 1 的最 小二乘估计，记为啊= ( w f 肌) - 1 町y 它在真实模型下的期望是 e h = + c 州2 + + c k l k 这里，o = ( 呼矸，1 ) _ 1 w ，矸0 ，j 2 因此在用啊表示7 1 时，偏差为伤他+ + c k 7 k 值得注意的是，o 竹代表了对偏差的贡献由于w 未知，我们只能考察o 矩阵 e = ( q j ) 的一种测度是，c 2 = 打o ( g 7 g ) = e f 岛既然低阶处理交互效应较高 阶处理交互效应显著，我们可以通过序贯最小化| i 岛限，i i g k | 1 2 来最小化啦的偏 差 正如我们在上一节中提到过的，区组非正规因析设计必须满足两个条件，我们称 之为区组非正规条件， 1 用于生成2 7 1 个区组效应的r 列必须是合适的， 2 所有的区组效应和处理主效应正交，这样区组效应就不会和处理主效应混杂， 也就是说我们仅仅限于讨论使得风3 和玩2 的区组设计 接下来，我们将只对满足区组非正规条件的设计，建立区组非正规最小低阶混杂 准则 由于设计满足上述的区组非正规条件，所以孵v 【，l = n j ，即g 广；町0 引理3 3 1 = ( j + 1 ) 山+ l + ( m j + 1 ) a l + 。扣l = j 。z 一。i ：l ( 土岩) 2 1 3 同 等 孙 + 蚝 广警 ， | l 孙l习孙 ； q j 2 ，1 = o ，这里，z 。= 1 ，2 ，m ，屏= b l ，b 2 ，b 。r 1 ) ，( a 2 ，- ，a m ) 是由 t h g dd e n g ( 1 9 9 9 ) 定义的字长型 特别地，如果设计d 是正规的， q 1 | 2 = 0 + 1 ) 冯+ l + ( m j + 1 ) 山一1 + 马 这里，山表示不含区组效应的长度为j 的定义字的个数，岛表示含有j 个处理因子 和一个区组效应的定义字的个数 值得注意的是，i i g i l 2 表示中的效应和 l 中的效应完全别名的个数。 定理3 3 1 对于两水平的区组正规设计，当待估效应为所有的区组效应和处理主效应 时，区组非正规最小低阶混杂准则就是c h e n ga n d g ( 2 0 0 5 ) 所建议的区组最小低 阶混杂准则 因此，区组非正规最小低阶混杂准则是c h e n g dt 8 n g ( 2 0 0 5 ) 所建议的区组最 小低阶混杂准则的自然推广 1 4 3 4 区组非正规补设计理论 在我们建立区组非正规补设计理论之前，我们先来回顾一下引理3 3 1 引理 3 3 1 中的字长型是根据模型矩阵m = ( d 1 ，d 2 ) 的t ，特征值给出的，这里d 2 相应 于所有的区组效应我们将它用一种简单的方式改写一下，这种改写有利于我们下 面将要建立的区组非正规补设计理论 引理3 4 1 j o ( d l ，d 2 ) | 1 2 = 0 + 1 ) 如+ l ，o ( d l ，d 2 ) + ( m j 十1 ) 也一l ，o ( d l ，d 2 ) + 岛。l ( d l ，d 2 ) ( 8 ) 这里，山，。( d l ，d 2 ) = 。知i 可( 鲁) 2 ，马( d - ，d 2 ) = 。；_ j 。圳啦。( 。) 2 定理3 4 ，1 上面讨论的字长型f f o ( d l ，d 2 ) 1 1 2 可以通过补设计对( d 2 ，d 3 ) 来刻划 j + l i q ( d l ，d 2 ) 1 1 2 = 【u + 2 2 ) c m ( i ，j + 1 ) + ( 2 ”一1 ) c m + 1 ( i ，j + 1 ) 且i ( d 2 ，d 3 ) = 0 + l c 。+ l ( i ，j + 1 ) 置( d 2 ，d 3 ) + ( m = 0 ，一l j + 1 ) 岛n ( ，j 1 ) a ( d 2 ，d 3 ) = 0 这里，毋( 协，d 3 ) = 畦见毋( d ，d 2 ，d 3 ) 一d 。屏。磊抽一一1 d 和( ! 警) 2 ，磊表 示补设计因子的集合 证明：由定理2 2 1 ，我们有 j 如，o ( d 1 ，d 2 ) = ( t ，j ) a ( d 2 ，d 3 ) i = 0 对于任意d d 2 ，将设计( d l ，d ) 应用到定理2 21 ，我们得到 显然，我们可以得到 j a ，( d 1 ，d ) = c 。+ l ( t ，j ) a 。( ( d 2 d ) ，p 3 ) ( 1 0 ) a ，( d l ，回= 冉，o ( d 1 ，d 2 ) + 岛一i ，1 ( d 1 ，回( n ) 1 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里，岛“，( d ，d ) = 。扣净，一。( ! 警) 2 令 j 乃( d ，d 2 ，d 3 ) = c 。+ l ( i ，j ) a ( ( d 2 d ) ，d 3 ) ( 1 2 ) 方程( 1 0 ) 可以改写为 4 ，o ( d 1 ，d 2 ) + 毋一1 1 ( d 1 ，d ) = 巧( d ，d 2 ，d 3 ) 在方程( 1 3 ) 的两边对所有的d d 2 求和，得到 ( 如，o ( d l ，d 2 ) + 岛一坩( d l ，d ) ) = 马( d ，d 2 ，d 3 ) d d 2 d d 2 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 注意到d 2 有2 一1 列，我们得到( 2 7 一1 ) 如，o ( d l ，d 2 ) + b l ( d l ，d 2 ) = 乃( d 2 ，d 3 ) ，这 里， 马 1 ( d 1 ，d 2 ) = 马吐1 ( d 1 ，d ) ，乃( d 2 ，d 3 ) = 乃( d ，d 2 ，d 3 ) ( 1 5 ) d d 2 琏d 2 因j 比，马一1 ，l ( d l ，d 2 ) = 乃( d 2 ，d 3 ) 一( 2 一1 ) 山，o ( d 1 ，d 2 ) 将岛吐l ( d l ，d 2 ) 的表达式代入到方程( 8 ) 中，我们得到 | | 岛( d l ，d 2 ) 1 1 2 = 0 + 2 2 ) 山+ 1 ，o ( d l ，d 2 ) + 乃+ 1 ( d 2 ，d 3 ) + ( m j + 1 ) 山一1 ，o ( d 1 ，d 2 ) ( 1 6 ) 下面我们来计算( 1 5 ) 中的乃+ ，( d 2 ，d 3 ) 令 刚，玩仇卜瞄。羡m 聂( 等) 2 ， 器u 磊，m = 一ld 和、 7 我们有a ( ( d 2 d ) ，d 3 ) = a ( d 2 ，d 3 ) 一最( d ，d 2 ，d 3 ) 这样( 1 2 ) 就成为 ，+ l 乃( d ，d 2 ，d 3 ) = c 。+ 1 ( i ，j ) a ；( d 2 ，d 3 ) 一厩( d ，d 2 ，口3 ) 】 ( 1 8 ) 两边对所有的d d 2 求和，得到 j + l j + 1 弓( d 2 ，d 3 ) = ( r 一1 ) + 1 ( t ，j + 1 ) a ( d 2 ，d 3 ) 一+ 1 ( i ，j + 1 皿( d 2 ，d 3 ) ( 1 9 ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里， 蜀( d 2 ，d 3 ) = 毋( d ，d 2 ，d 3 ) d d 2 由( 9 ) ，( 1 6 ) ，( 1 9 ) 和( 2 0 ) ，我们就得到了定理3 4 1 中的结果 1 7 ( 2 0 ) 参考文献 1 g h 蚰岛g s ( 1 9 9 5 ) s o l ep r o j e c t i o np r 。p 盯t i e s o r 地o g o 8 la r r a y s a 扎扎8 据吖 s o i s 坑c s2 31 2 2 3 - 1 2 3 3 2 c h e n ，h a n dc h e n g ，e ，s ( 1 9 9 9 ) t h e o r yo fo p t i m 8 lb l o c “n go f2 ”一md e 8 i g n 8 - a n 彻bd ，乩n 拈 2 7 ，1 9 4 1 9 7 3 3 c h e n ，h h a n dc h e n 昏c s ( 2 0 0 4 ) a b e r r a t i o n ，e s t i m a t i o nc a p a c i t y 肌de 8 t i m a t i o n i d e 】c 成耐诂“成n i 1 42 0 3 2 1 5 4 ，c h e n g c s ，d e n 岛l y a n dt 姐b ，( 2 0 0 2 ) 。g e n e r a l i z e dm i n j m u 8 b e r r a t i o n a n dd 朗i g i le 蚯d e n c yf o r o n r e g _ l i l a r 丘a c t i o n a lf a c t o r “d e s 培n s 成。咖t n t 1 2 9 9 l 一1 0 0 0 5 ，c h e n ，h a n dh e d a y a t ，a s ( 1 9 9 6 ) 2 忡丘a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n sw i t h ( w e a k ) m i 丑i m u md b e r r a t i o n j 4 n n o f sd ，s n t 主s t i c