2016年安徽自主招生数学模拟题：函数模型及其应用.docx

2016年安徽自主招生数学模拟题:函数模型及其应用【试题内容来自于相关网站和学校提供】题目1： 用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，所用篱笆最短为（） A.56m B.64m C.28m D.20m题目2： 不等式x2+2x+a-y2-2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（） A.a0 B.a1 C.a2 D.a3题目3： 有一边长为48cm正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长为（） A.6m B.8m C.10m D.12m题目4： 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（xN）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过（）年 A.4 B.5 C.6 D.7题目5： 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（m2）与时间t（月）之间的函数关系是y=at-1（a0，且a1），它的图象如图所示给出以下命题：池塘中原有浮草的面积是0.5m2；到第7个月浮草的面积一定能超过60m2浮草每月增加的面积都相等；若浮草面积达到4m2，16m2，64m2所经过时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2t3，其中所有正确命题的序号是_ A. B. C. D.题目6： 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费用+年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x年的总维修费y满足y=ax2+bx，已知第一年的总维修费为1000元，前两年的总维修费为3000元，则这种汽车的最佳使用年限为_年题目7： 甲、乙两车同时同地沿同一路线走到同一地点甲车在前一半的时间以速度x行驶，后一半时间以速度y行驶；乙车前一半路程以速度x行驶，后一半路程以速度y行驶，若xy，则甲乙两车先到达指定地点的是_（注：填甲车或乙车）题目8： 某厂生产甲、乙两种产品，计划产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2、3m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则能完成计划产量时总用料面积最少为_m2题目9： 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示曲线表示据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为 41516小时题目10： 如图给出了描述某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）关系的散点图有以下叙述：与函数y=t2+1相比，函数y=2t作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的4m2蔓延到16m2至少需要经过3个月；按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，其中正确的说法是_题目11： 设a为实数，设函数f(x)=a1-x21+x 1+x +1-x ，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）（）求g（a）（）试求满足g(a)=g(1a)的所有实数a题目12： 在ABC中，已知内角A=3，边BC=23 ，设内角B=x，面积为y（1）求函数y=f（x）的解析式（2）求y的最值题目13： 某商场为了促销，采用购物打折的优惠办法：每位顾客一次购物：在1000元以上者按九五折优惠；在2000元以上者按九折优惠；在5000元以上者按八折优惠（1）写出实际付款y（元）与购物原价款x（元）的函数关系式；（2）用伪代码表示优惠付款的算法题目14： 在日常生活中，我们常常会用到弹簧秤，下表为用弹簧秤称物品时弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系：弹簧秤的伸长长度（cm）024681012物品质量（kg）0123456如果用y表示弹簧秤的伸长长度，x表示物品质量，则（1）随x的增大，y的变化趋势是怎样的？（2）当x=3.5时，y等于多少？当x=8时呢？（3）写出x与y之间的关系式题目15： 有甲、乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润分别是P和Q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：P=3-x2 4，Q=34(3-x)今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对生产甲、乙两种产品的资金投入应分别为多少？最大利润是多少？答案部分1、A解析：解：设矩形的一边长为x，则另一边为196x，则矩形的周长y=2（x+196x）4196 =56故所用篱笆最短为56m故选A2、C解析：解：原不等式等价于（x+1）2+（y+1）22-a，要对任意的x、y都成立，则有2-a0， 即：a2。故选C3、B解析：解：设截去的小正方形的边长是x，则水箱的底边长为48-2x，水箱的高为x，所以，水箱的容积是f（x）与x的函数关系式是：f（x）=（48-2x）2x，且f（x）的定义域为（0，24）f（x）=（48-2x）2x=（48-2x）（48-6x），令f（x）=0，则x=8，或x=24（舍）函数在（0，8）上单调递增，在（8，24）上单调递减当水箱底面为8m时，水箱的容积最大。故选B。4、D解析：解：由图得y=-（x-6）2+11，解y0得6-11 x6+11 ，营运利润时间为211 。又6211 7，故选D。5、A解析：根据图象过点（2，2）可知点（2，2）适合y=at-1即2=a函数关系是y=2t-1令t=0时，y=0.5，故正确；令t=7时，y=26=6460，故正确；当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，每月增加的面积不相等，故不正确；分别令y=4、16、64，解得t1=3，t2=5，t3=7，t1+t2t3，故不正确。其中所有正确命题的序号是：故选A。6、10解析：解：设这种汽车使用n年报废合算，由题意可知，每年的平均消耗费用f(n)=50000+6000n+(1000+2000+1000n)n=50000n 500n+6500=16500当且仅当50000n=500n，即n=10时，等号成立。故这种汽车使用10年报废合算。故答案为：107、甲车解析：解：设两地的路程为1，那么甲车到达指定地点的时间为t甲，则12t甲x+12t甲y=1，t甲=2x+y；乙车到达指定地点的时间为t乙，则t乙=12x+12y=12x+12y=x+y2xy，（x0，y0）；t甲 t乙 =4xy(x+y)2 4xyx2+y2+2xy ，x2+y22xy（当且仅当x=y时不等式取“=”）；t甲 t乙 4xy2xy+2xy=1，由xy知t甲t乙；故答案为：甲车。8、24解析：解：设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积z，则约束条件为3x+6y455x+6y50x0y0，目标函数z=2x+3y。作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示。z=2x+3y变为y=-23x+z3，得斜率为-23，在y轴上的截距为z3，且随z变化的一组平行线。当直线z=2x+3y过可行域上的点M时，截距最小，z最小。解方程组3x+6y=455x+6y=50得M点的坐标为（2.5，6.25），又由x、y都为正整数，分析可得当x=3、y=6时，z取得最小值。此时zmin=23+36=24（m2）。故答案为：24。9、见解析解析：解：由图知f(t)=4t0t1(12t-30t，则f（t）0.25。解之得116t5。故答案为：41516。10、解析：解：由题意可知：浮萍蔓延的面积（m2）与时间（月）的关系：y=ax（a0且a1），且由函数图象可知函数过点（1，2），a=2，这个指数函数的底数是2正确，故正确；函数的解析式为：y=2x，当x=5 时，y=25=3230，故第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2成立，故正确；由y=2x知，x=2，y=4，x=4，y=16，即需要经过2个月，故不正确；由y=2x知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍，故答案为：。11、见解析解析：解：（I）t=1+x +1-x 要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1，t2=2+21-x22，4，t0t的取值范围是2 ，2.由得1-x2=122-1m（t）=a（12t2-1）+t=1222 22 t=-1a是抛物线m(t)=12at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a0时，函数y=m（t），t2 ，2的图象是开口向上的抛物线的一段，由t=-1a0知m（t）在2 ，2.上单调递增，g（a）=m（2）=a+2（2）当a=0时，m（t）=t，t2 ，2，g（a）=2。（3）当a0时，函数y=m（t），t2 ，2的图象是开口向下的抛物线的一段，若t=-2 ，即a-2 2则g(a)=m(2 )=2 若t=-2 ，2，即-2 2a-12g(a)=m(-1a)=-a-12a若t=-1a(2，+)，即-12a0则g（a）=m（2）=a+2综上有g(a)=a+2a-122 2a-2 a-2 2（III）情形1：当a-2时1a-12，此时g(a)=2 ，g(1a)=1a+2由2+2 解得a=-1-2 2，与a-2矛盾。情形2：当-2a-2 ，-2 21a2 ，g(1a)=-1a-a22 =-1a2 与a-2 矛盾。情形3：当-2 a-2 2，-2 2 2时，此时g(a)=2 =g(1a2 a-2 2，情形4：当-2 2a-122 ，此时g(a)=-a-12a，g(2 -a-2 ，解得a=-2 2，与a-2 2矛盾。情形5：当-12a0时，1a-2，此时g（a）=a+2，g(2 由a+2=2 解得a=2 -2，与a-121a0，此时g（a）=a+2，g(1a)=1a+2由a+2=1a+2解得a=1，由a0得a=1。综上知，满足g(a)=g(1a)的所有实数a为：-2 a-2 2，或a=112、见解析解析：解：（1）内角A=3，边BC=23 ，内角B=x由正弦定理可得3 sin323-x）面积y=124sin（23-x）23 sinx=43 （3 2cosx+123 sin（2x-6）+3 （2）0x23，-62x-676-12sin（2x-6）1023 sin（2x-6）+3 33 2x-6=2，即x=3时，y取得最大值33 。13、见解析解析：解：（1）设购物原价款数为x元，实际付款为y元，则实际付款方式可用分段函数表示为：y=x，x10000.95x，100