（运筹学与控制论专业论文）多周期可替代产品的最优控制问题.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名 b 鹊砍 论文使用授权声明 日期：巧 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名师签名： 。劲哕f 功 日期：一z 。 摘要 本文围绕在需求不确定情况下，可替代产品的库存问题和超订问题展开讨 论。在每一周期开始，仅知道未来需求的概率分布的前提下，要确定最佳的订货 量；在每一周期末，待需求全部实现后，要确定最佳的分配方案( 其中可以发生 替代) ，以使总的期望效用收益最大或效用成本最低。文中引用的效用收益和效 用成本的概念，是源于管理者的风险偏好问题。由于管理者大多是风险规避的， 所以我们引入指数效用函数来反映管理者的风险偏好。因而，目标函数也就转 而追求期望效用收益的最大化或期望效用成本的最小化。这是第二章中我们所 讨论的库存问题的最大特点，其中，我们不仅考虑可双向替代的情况，而且分别 考虑了非易逝性产品和易逝性产品的库存控制问题，并分别讨论了模型本身的 性质和最优订货策略具有的特点，最后相应地给出了解法和数值算例。 为了继续深化我们的模型，我们进一步讨论酒店收益管理中的超订问题， 这是在第二章模型基础上的一个深化，亦是易逝性产品库存控制问题的一个特 例。以往的超订模型仅仅考虑入住一天或相同天数的情况，这和实际无疑是不 尽相同的。第三章中，我们考虑可接受多天预定的多周期超订模型，并分别就不 可替代和可替代的情况进行了讨论，建立了多阶段随机动态规划模型，证明了 该模型的一些性质( 如凸性) ，并提出了解法和日后的研究方向。第三章中的模 型在以往的超订模型中是前所未有的，值得我们进一步深入。 关键字：运筹学，库存控制，效用函数，非易逝性产品，易逝性产品，酒店超订 问题，多天预定 3 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r si n v e n t o r yc o n t r o lp r o b l e mw i t hm u l t i p l ep r o d u c tt y p e s ， i nw h i c ht h em u l t i p l ep r o d u c tt y p e sm a yb eu s e da ss u b s t i t u t e st os a t i s 母t h ed e - m a n do fag i v e nc l a s s ( p e r h a p sa ta c 0 8 t ) i ne a c hp e r i o d ，t w ok i n d so fd e c i s i o n s s h o u l db ec a r r i e do u t a tt h eb e g i n n i n go ft h ep e r i o d ，g i v e no n l yt h ep r o b a b i l i t y o ft h ef u t u r ed e m a n d ，w es h o u l dd e t e r m i n eh o wm a n yp r o d u c tt oo r d e r a tt h e e n do ft h ep e r i o d ，a f t e ro b s e r v i n gt h ea c t u a ld e m a n d ，w es h o u l dd e c i d eh o wt o a l l o c a t et h ep r o d u c t st oc u s t o m e r s t h ep r o b l e mi st oj o i n t l yd e t e r m i n et h eo p t i - m a li n v e n t o r yl e v e l sf o rt h ep r o d u c tc l a s s e s ，t a k i n gi n t oa c c o u n tt h es u b s t i t u t i o n o p t i o n s c o n s i d e r i n gr i s kp r e f e r e n c e ，w eu s et h ee x p o n e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o nt o r e f l e c tt h er i s kp r e f e r e n c eo ft h en m n a g e r t h e n ，t h eo b j e c t i v ei st om a x i m i z e t h ee x p e c t e du t i l i t yr e v e n u eo rm i n i m i z et h ee x p e c t e du t i l i t yc o s t t l l i 8i sw h a t w e 1 1d i s c u s si nc h a p t e r2 w h e r ew en o to n l yc o n s i d e rt h eb i d i r e c t i o n a ls u b s t i t u t i o no p t i o n s ，b u ta l s od i s c u s st w oc a s e s ，u n p e r i s h a b l ei n v e n t o r yc o n t r o la n d p e r i s h a b l ei n v e n t o r yc o n t r 0 1 w em o d e lt h e s ep r o b l e m s 鹄m u l t i - s t a g es t o c h a s t i c o p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h em o d e la n df i n a l l yw eg i v e n u m e r i c a le x a m p l e st od e m o n s t r a t et h ep r o p e r t i e s 。 t oe x t e n do u rm o d e l ，w ec o n t i n u et od i s c u s sh o t e lo v e r b o o k i n gp r o b l e m w h i c hi sap a r t i c u l a rc a s eo fp e r i s h a b l ei n v e n t o r yc o n t r o lp r o b l e m i ne a c hp e - r i o d ，t h e r ea r ea l s ot w od e c i s i o n st h a ts h o u l db em a d e i nt h eb e g i n n i n go ft h e p e r i o d ，r e s e r v a t i o n sa r ea c c e p t e dg i v e no n l yp r o b a b i l i s t i ck n o w l e d g eo fc a n c e l l a - t i o n s i nt h ee n do ft h ep e r i o d ，c a n c e l l a t i o n sa r er e a l i z e da n ds u r v i v i n gc u s t o m e r s s h o u l db ea s s i g n e dt ot h ev a r i o u si n v e n t o r yc l a s s e s p r e v i o u so v e r b o o k i n gm o d e l o n l ya s s u m e do n e - n i g h ts t a y s ，w h i l eo u rm o d e la t t e m p tt oa c c o u n tf o rg u e s t s a c t u a ll e n g t ho fs t a y , w h i c hi sm o r es i m i l a rw i t hr e a l i t y i nc h a p t e r3 ，w es t u d y t h eh o t e lo v e r b o o k i n gp r o b l e mw i t hm u l t i - d a ys t a y s ，a n dc o n s i d e rb o t hs u b s t i - t u t i o no p t i o n sa n dn o - s u b s t i t u t i o no p t i o n s a l s ow ef o r m u l a t et h ep r o b l e mi n t o s t o c h a s t i cp r o g r a m m i n ga n dr e a c hs o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h em o d e l 4 k e yw o r d s ：o p e r a t i o n sr e s e a r c h ，i n v e n t o r yc o n t r o l ，u t i l i t yf u n c t i o n ，u n p e r i s h a b l e p r o d u c t ，p e r i s h a b l ep r o d u c t ，h o t e lo v e r b o o k i n gp r o b l e m ，m u l t i d a yr e s e r v a t i o n 5 第一章引言 2 0 世纪6 0 、7 0 年代以来，许多管理学家对库存问题和收益管理问题做了多 方面的研究。得出了很多经典的有价值的结论。如y a o 和z h e n g 给出了可替代产 品的库存控制问题的单周期、多周期和无限周期模型，并证明了最优替换策略 的性质和最优订货策略服从o r d e r u p - t op o l i c y 的特性。i t i rk a s m e n 和g a r r e t t v a nr y z i n 给出了可替代产品的超订模型，并给出了模型的解法。然而，他们都 建立在追求期望收益最大化的基础上，也就是说，都假定管理者是风险中性的。 但是，众所周知，并不是所有的收益管理者都是风险中性的。由于传统的资产 控制模型都未考虑降低风险的方法，因此不能很好地满足风险规避者的决策需 要。 风险规避的概念已经大量地被用在库存模型中( 见m f i l l e r2 0 0 0 ；b o u a k i za n d s o b e 1 9 9 2 ) 。除此之外，也有一些收益管理问题考虑风险规避的情况，如a 目：a w a a n ds e s h a d r i ( 2 0 0 0 ) ，f e n ga n dx i a o ( 1 9 9 9 ) ，c h e ne ta 1 ( 2 0 0 5 ) ，l a n c a s t e r ( 2 0 0 3 ) ，m i t r aa n dw a n g ( 2 0 0 3 ，2 0 0 5 ) ，w e a t h e r f o r d ( 2 0 0 4 ) 和b a r z ( 2 0 0 6 ) 。其 中，a g r a w a la n ds e s h a d r i ( 2 0 0 0 ) ，f e n ga n dx i a o ( 1 9 9 9 ) ，c h e ne ta 1 ( 2 0 0 5 ) 主 要讨论定价和库存问题；m i t r aa n dw a n g 对于带宽分配问题建立了一个特殊的 交通工程模型。w e a t h e r f o r d ( 2 0 0 4 ) 和b a r z ( 2 0 0 6 ) 将风险规避因素整合到了经 典的舱位控制问题中。l a n c a s t e r ( 2 0 0 3 ) 没有直接将风险规避因素整合到收益管 理模型中，但是他运用敏感度分析得出：收益管理者肯定可以采取一定的策略 使得期望收益处于稳定的水平。 在本文第二章中，我们引入了指数效用函数，将经典的可替代产品的库存 问题和超订问题均扩展到了风险规避情况下，并证明了原有的经典结论在风险 规避情况下仍然适用。 6 另外一个值得关注的问题便是收益管理中的超订问题了。美国华尔街日报 指出：“收入管理已成为未来最重要的商业策略，前景不可估量”。随着收益管理 问题的1 3 渐流行，学界所关注的问题也就越来越深，然而，在对航空业超订问 题的研究日趋成熟的同时，酒店收益管理中的超订问题却没有引起足够的重视。 以往的研究往往将酒店收益管理中的超订问题过分理想化，他们假设酒店只接 受单天的预定，这和实际是相去甚远的。我们知道，酒店会根据需求的波动，适 当地接受多天的预定以缓解由于未来几天需求低靡而造成入住率不高的问题。 同样道理，如果需求持续旺盛，酒店宁愿只接受一天的预定，在入住率有保证的 前提下，以便获得更高的收益( 入住多天的价格往往低于只住一天的价格) 。因 此，考虑可以接受多于一天的预定，是我们第三章的研究重点。 1 1 库存管理中可替代问题概述 在随机库存理论研究中，有一个很有意思但却没有引起足够注意的现象就 是可替代，即考虑库存控制中产品的可替代现象。绝大多数的生产与库存理论 都假定：如果考虑多个产品。它们之间是不能被替代的。但是在现实中，不同产 品之间显然存在可替代性，而且是必须考虑的，这类产品在质量和功能等方面 有些差别，当其中一种产品销售一空时，部分没有得到满足的顾客转而购买另 一种产品作为替代。这种现象引发了一些学者的研究兴趣。 关于可替代产品库存问题的研究起步于二十世纪7 0 年代末，属于新兴的研 究领域。经过二十几年的发展，该领域的研究引起越来越多的研究入员的关注， 相继出现了一系列的经典文章。而这些文章中，大部分篇幅是研究单向替代的。 单向替代的产品( 如汽油、集成电路等) 在质量或功能等方面可分成几个等级，高 档的产品可以替代低档的产品。这类产品在计算机制造业非常普遍，如容量高、 功能强的存储芯片替代低容量、功能弱的存储器芯片等：在钢铁行业，也存在不 少可替代的产品，如硬度高的钢铁制品可以替代硬度低的p i 类产品。对于这类 产品，当低档产品缺货时，可以用高档产品来替代，因此有助于提高整体服务水 平。 诚然，生活中的可替代现象主要以单向替代为主，但是随着产品种类的 日益丰富，由于功能质量等的互补性和各异性，双向替代的现象变得越来越普 7 遍。同时，随着单向替代库存问题的成熟，人们开始关注双向替代的情况。双向 可替代产品库存问题首先由m c g i l l i v r a y 和s i l v e r 提出，研究了在经济订货批量背 景下产品的可替代性对于库存控制策略的影响，并且给出了求解控制参数的启 发式算法。m p a z l a r ，s k ，g o y a l 于1 0 8 4 年，m k h o u j a ，a m e h r e z ，g r a b i n o w i t z 于1 9 9 6 年从不同角度对单阶段两种可替代产品库存控制系统进行了建模分析。 2 0 世纪以来，学界对于可替代产品库存问题的研究越来越多。r a v i a n u p i n d i a n dr a ma k e l l a ( 1 9 9 9 ) 研究了单周期、多产品、完全向下替代情况下的库存模 型。他们给出了算法来证明：在订货阶段，如果考虑可替代的因素，将会给最 优策略带来影响。s t e p h e na s m i t ha n dn a r e n d r aa g r a w a lf 2 0 0 0 ) 在事先考虑 到需求可替代的情况下，建立了随机需求模型，并给出了追求期望效益最大化 的目标下的最优库存策略。k u m a rr a j a r a ma n dc h r i s t o p h e rs t a n g ( 2 0 0 1 ) 从 零售商的角度分析了可替代因素对最优订货量和期望效益带来的影响。s e r g u e i n e t e s s i n ea n dn i l sr u d i ( 2 0 0 3 ) 考虑了顾客驱动下的可替代性的库存问题，并 得出了总收益和需求的关系。j o s e p hg e u n e s ( 2 0 0 3 ) 给出了带有可替代因素的 大型需求规划问题的解法。k a r li n d e r f u t t h ( 2 0 0 4 ) 从制造商的角度研究了替代 因素对最优策略的影响。v e r n o nn i n gh s u ，c h u n g - l t ml 1a n dw e n - q i a n gx i a o ( 2 0 0 5 ) 考虑单向替代情况下的多产品动态库存问题。他们提出了一套动态规划 方法，并能在多项式时间内解出最优解。j a t m ts h a h ，b a l r a ma v i t t a t h u r ( 2 0 0 6 ) 对于零售商需求可取消和替代的多周期多产品库存问题进行了研究，建立了数 学模型，并给出了解决此问题的启发式算法。jz p e l i nb a y i n d i r ，n e s i me r k i p ， r 翘kg 啦l l f i b ( 2 0 0 7 ) 在研究制造业库存问题时，不仅考虑了可替代因素，而且 考虑了资源限制因素，最后他们对这些因素所造成的最优策略的影响进行了分 析。 1 2库存管理中风险问题概述 库存成本是企业具有重要意义的核心成本之一。库存决策的特点是高风险、 高效应。库存维持成本约占库存物品价值的2 0 ，企业的库存负担只要能降低几 个百分点，就能大大提高其利润。在传统的销售渠道中，从供应商到顾客，存在 着大量的库存，通过实行供应链管理，减少库存有关的风险，使多余的库存从销 8 售渠道中消除，可以显著提高企业的利益。当然，对供应链管理来说。并不是要 消除全部库存，而是要通过风险分担，减少与库存有关的风险，在降低成本的同 时提高供应链的服务水平与顾客反应速度。 库存管理的目的就在于：使库存经常处于合理水平，防止仓储积压或不足， 满足生产与销售的需要，减少资金占用，在不降低服务水平的前提下。使库存总 成本最低，以提高企业竞争力。库存管理贯穿供应链始终，与其他管理部门如销 售管理，生产管理及成本核算之间存在着不可分割的密切关系。风险般是指 引起损失产生的不确定性。风险无时不在，无处不有。风险管理是指风险承受主 体对风险进行全面分析，选择最优风险处理技术进行风险防范，确保风险承受 主体活动安全的过程。 在库存管理中，实际上存在着许多不确定性，因此，持有的库存是有风险 的。所谓不确定性，指的是这样一种情况，当引入时问因素后，事物的特征和状 态不可充分地、准确地加以观察、测定和预见。在激烈变化的市场竞争环境下， 库存管理中存在着大量的不确定性。库存管理的不确定性主要表现为需求的不 确定性与提前期的不确定性。前者关系到提前期内销售比率的波动；后者则与 提前期的各种变化有关。生产过程中的不确定性主要来自于生产系统的可靠性、 计划执行的偏差、关键人员的临时短缺以及受供应环节影响造成的缺货停工。 顾客方面的不确定性：充分的供给导致需求的多样化、消费群的不稳定。客户有 了很多的选择，很容易就从一个产品转向另一个产品，需求的不确定性很容易 造成整个供应链的混乱。供应链的不确定性可能导致供应链的风险，而供应链 的不确定性普遍存在，因此只有充分认识并降低和消除供应链的不确定性，才 能最大限度地降低供应链的风险。 需求不确定是商业环境中的一种普遍现象，它降低了资源配置的效率，给 供应链成员的所有经济活动都带米了巨大的负面影响。由于很难把握需求，每 个销售商都很难制定最优的订货计划，不是订得过多就是过少：由于需求预测 与信息沟通的困难，分销商很难制定最优的库存规划和送货安排，以至于要负 担过多的仓储和运输费用；同样的原因使得制造商很难分配生产能力和制定生 产规划，生产能力的过剩及不足都将导致生产成本的提高；而且也是由于无法 得到真实的需求信息，供应商会花费更多的原材料采购成本。 9 库存管理中的风险因素本身就是供应链难以协调的重要原因，如果只是单 纯的规避风险，就会导致库存储备量过大，从而产生很高的库存成本，所以，抛 开库存成本来谈风险或者抛开风险来谈库存，都是没有意义的。因此，本文将把 风险与库存两者结合起来，在考虑需求不确定的条件下，以效用成本的优化为 目标，实现整体优化。 学界在研究库存问题时。对于风险因素的考虑是不多的，即使考虑到，也大 多局限于单周期问题。f a n g r u oc h e n a n da w if e d e r g r u e n ( 2 0 0 0 ) 对以往的库存 模型进行了研究，得出方差分析可以有效地适用于这些模型，并给出加入方差 因素后对最优策略的影响。x i nc h e n ，m e l v y ns i m ，d a v i ds i m c h i l e v ia n dp e n g s u n ( 2 0 0 4 ) 给出了一套将风险因素整合到多周期库存模型中的方法，并得出 在风险函数为指数效用函数时，最优策略与原策略是相似的。s h a b b i ra h m e d ， u l a sc a k m a k ，a l e x a n d e rs h a p i r o ( 2 0 0 6 ) 分析了经典的多周期、单种产品、线性 库存成本的库存问题的一个拓展，那就是，他们在目标函数中加入了风险因子。 对于有限阶段的动态库存模型，他们得出，在追求期望成本最小化情况下的最 优策略与在追求期望效用成本最小化情况下的最优策略拥有相似的结构。 1 3收益管理中超订问题概述 客房服务除了具有其他服务性行业的共同点外，还有一个令管理者头痛的 特点，那就是客房服务的不可存贮性，这造成了应付需求波动的被动性。此外， 宾馆客房出租率还会随着经济状况的起伏而变动。因此出现了这么一个有趣的 现象：在经济不景气时，宾馆管理者们最头痛的是在开房率低或预订不足的情 况下最大限度地扩大客房销售量；而在经济形势大好，客房供不应求时，代之而 起显得突出的则是如何确定个最佳超订率的问题。 对于航空业，超额预定是指对于一次航斑，航空公司提供比飞机实际座位 多的预定水平，这个值是经过精心策划而决定的，用以抵消乘客取消预定或是 预定后就杳无音信的情形。据美国航空统计如果不采用超额预定，会有1 5 的座 位在飞机起飞时是空的。 在某种程度上，超订问题和收益管理中的定价问题和资源分配问题是不同 的。定价和资源分配问题更注重如何充分利用并合理定价现有资源。而超订问 1 0 题则主要关注如何在第一时间决定提供多少资源最为合理。当然，这两个问题 是联系极为紧密的，它们都被认为是收益管理中很重要的一部分。从历史的角 度来看，超订问题是收益管理实践中最老的。从金融学的角度来说，也是最成功 的一部分。 超订比较复杂，而且还要冒售过头的风险。有些国家，如日本，干脆禁止超 订手段。其实，合理的超订可以减少空房损失，同时还可以让更多的顾客住上酒 店，但要确定准确的超订数额却不是件容易的事情，因为要考虑的因素比较多， 既要考虑入住前取消订座者，还要考虑“n o - - s h o w ”等等。不过，超订要考虑的 两个主要因素是：预定者被拒绝入住给酒店造成的损失和预定者不出现造成的 空房损失( s p o i l a g ec o s t ) ，从理论上说，超订越多，空房的可能性越小，传统的 收益管理系统会根据一定的参数和预测，算出每超订一个房间可能造成的拒绝 入住损失以及此超订额时可能出现的空房损失，从而找出一个既可以最有效地 利用空房，又可以将拒绝入住损失压到最小的最佳平衡点。当然，我们始终无法 避免超订带来的风险问题：拒绝入住。一旦出现这种猜况，酒店通掌只要采取适 当的补偿措施，便可使顾客转怒为喜。比如，可以为顾客安排其它的客房，并给 予满意的折扣，这也就是我们通常说的替代策略。如果实在没有空房，那就只能 给顾客合理的补偿。 人们对超额预定研究的历史最为长久。最早关于超订策略的研究主要集 中于政府管制下的航空运输业的超售概率，大多数超订模型主要是试图降 低由于退票和误机所造成的损失。在酒店业，l a d a n y 提出酒店超订模型，他 用b a y e s i a n f 日3 态运作规则优化酒店预定阀题。之后，l i b e r m a n 与y e c h l a l i 又提 出有随机取消的酒店超订模型。近期，对于超订问题的研究更加活跃，如i t i r k a r a e s m e n 和g a r r e t tv a l l ，他们考虑到了用替代的策略去减少超售造成的损失， 这无疑是超订问题研究的一大理念上的进步。 以上模型的一个缺点就是没有动态地考虑问题，而这与实际是有一定距离 的。另外，还有一个缺点便是，未考虑顾客期望入住的天数是长短不同的。在考 虑这些因素的同时，会将模型扩展到更为实际的情况。但随着实际因素的增多， 模型也会变得越来越难以求解。我们的文章会对这类情况进行讨论。 2 0 世纪以来，随着收益管理问题的流行，学界对于超订模型的研究 1 1 亦越来越多。如r a v ia n u p i n d ia n dr a ma k e l l a ( 1 9 9 9 ) 、n a r e n d r aa g r a w a l ( 2 0 0 0 ) 、k u m a rr a j a r a ma n dc h r i s t o p h e rs t a n g ( 2 0 0 1 ) 、s e r g u e in e t e s s i n ea n d n i l sr u d i ( 2 0 0 3 ) 、j o s e p hg e u n e s ( 2 0 0 3 ) 、k a r li n d e r f u r t h ( 2 0 0 4 ) 、v e r n o nn i n g h s u ，c h u n g - l u nl 1a n dw e n - q i a n gx i a o ( 2 0 0 s ) 、j a n a ts h a h ，b a l r a ma v i t t a t h u r ( 2 0 0 6 ) 、z p e l i nb a y i n d i r ，n e s i me r k i p ，r e f i kg l l b ( 2 0 0 7 ) 。 第二章带有风险因素的可替代产品 的库存控制问题 2 1非易逝性产品的库存控制问题 在本章中，我们讨论在需求不确定情况下，多周期可替代产品的库存控制 问题。需要特别指出的是，我们在本节中讨论的产品是非易逝性的，也就是说， 某一周期剩余的产品可以继续被下一周期所使用。我们将一个周期分为两个阶 段，期初决定每种产品的最优订货量，期末决定如何将现有产品分配给具有不 同需求的顾客( 其中可以发生替代) 。 值得注意的是，每种产品间都是可以相互替代的。也就是说，我们既可以用 高端产品来替代低端产品，也可以用低端产品来代替高端的，并且我们假设：顾 客对我们采取的替代决策是全然接受的。当然，替代是需要一定成本地，而且不 同产品间的替代成本也是不同的。还有一点不同的是，我们考虑了由需求不确 定性所导致的风险因素。以往的模型中，只考虑追求期望成本最低，而忽略了最 后实际发生的成本与期望成本往往是相去甚远的。为了将此类风险因素考虑进 去，我们引入了指数效用函数来反映决策者的风险偏好，将效用成本最小化作 为目标函数。 以往有很多研究库存问题的文章，但是大部分都是追求期望成本最 低，未考虑风险因素。曾有文章引用过指数效用函数来反映风险因素的影 响，如h o w a r d 和m a h t h e s o n ( 1 9 6 3 ) 、e a g l e ( 1 9 7 5 ) 、j a q u e t t e ( 1 9 7 6 ) 、d e n a r d o 和r o t h b l u m ( 1 9 7 9 ) 、w h i t t l e ( 1 9 8 1 ) 、f a n g r a oc h e na n da w if e d e r g r u e n ( 2 0 0 0 ) 、x i nc h e n ，m e l v y ns i m ，d a v i ds i m c h i - l e v ia n dp e n gs u n ( 2 0 0 4 ) 、s h a b b i r 1 3 a h m e d ，u l a sc a k m a k ，a l e x a n d e rs h a p i r o ( 2 0 0 6 ) 。 对于可替代产品的库存问题，2 0 世纪以来的主要研究有：r a v ia n u p i n d i a n dr a ma k e l l a ( 1 9 9 9 ) ，s t e p h e na s m i t ha n dn a r e n d r aa g r a w a l ( 2 0 0 0 1 ，k u m a r l h j a r a x aa n dc h r i s t o p h e rs t a n g ( 2 0 0 1 ) ，s e r g u e in e t e s s i n ea n dn i l sr u d i ( 2 0 0 3 ) ，j o s e p hg e u n e s ( 2 0 0 3 ) ，k a r li n d e r f u r t h ( 2 0 0 4 ) ，v e r n o nn i n gh s u ，c h u n g - l u n l 1a n dw e n - q i a n gx i a o ( 2 0 0 5 ) ，j a n a ts h a h ，b a l r a ma v i t t a t h u r ( 2 0 0 6 ) ，jz p e l i nb a y i n d i r ，n e s i me r k i p ，r e f i kg 伽豇b ( 2 0 0 7 ) 。但是还很少有人同时将风险、 双向替代因素整合到数学模型中进行讨论，这也将是我们下面即将讨论的。 本章建立了带有线性约束条件的非线性规划问题，将需求不确定性风险因 素整合到了双向替代产品的库存模型中。证明了最优订货量的存在性，并得出 了最优替换策略的结构。最后给出数值算例说明了风险偏好对最优决策的影 响。 2 1 1单周期问题 z ：= ( x n ) n l ：订货前库存水平 秒：= ( ) 磐1 ：订货后库存水平； d ：= ( 工k ) 。n1 ：随机需求； o , j ：；( ) 易；l ：用产品l 来代替产品j 的量； ，：= ) 丝l ：实施替代决策后的剩余库存水平； b ：= ( f ) 是，：实施替代决策后未满足需求的量 e ：= ) 一n1 ：采购成本； 瓦：= ( 瓦) 甚，：库存成本； 贯；) 怎1 ：缺货成本； 亍：= ( ) 为：1 ：由i 代替j 的成本； 1 4 模型描述 有种不同类型的产品，顾客对于这n 种产品的需求是随机且独立的。一个 典型的库存周期由以下一系列事件组成： 1 ) 期初，我们观察到初始库存水平z 。 2 ) 发出订货命令，库存水平瞬间上升到y 。 3 ) 对这种产品的需求陆续到达。 4 ) 期末，将不同产品分配给具有不同需求的顾客，其中有可能发生替代。 5 ) 最后，多余的产品按照采购价回收。 对于每一个决策者，有一种状况是最为理想的，即：订货后的库存水平正好 等于将来的需求。这样的话，就不会有替代、剩余和缺货发生，所发生的成本也 是最低的。但是，需求的随机性觉得了这种理想状态是几乎不可能发生的。这样 的话，我们必须着重考虑所增加的订货成本、替代成本、库存成本和缺货成本。 记s = i l y i 皿) ，r = j l y ， 0 ( i j ) ，= 0 兽 t o 假设( 1 ) 可以保证= m i n y l ，d i ，假设( 2 ) 可以保证若i ，j n 时属于s 或同 时属于r ，则它们之间不发生替代，假设( 3 ) 可以保证逆向替代是不可能发生的， 即若t r 或者j s ，则= 0 ，假设( 5 ) 可以保证不会发生间接替代。在以上 假设( 1 ) 一( 5 ) 条件下，约束条件可化为： j 五+ 墨1 哟= y l ，江1 ， ib + 竺。= 易，j = 1 ， j r ( y ，d ) 也可以化为 综上，我们得到了如下的数学规划模型： ，0 ) a ( u ) 耳( ，d ) 恕 g ( 口) 点b 旧( y ，d ) 】 r e 。i n e 。t d ( 2 ，1 ) “h ， 五+ = y i ，i = 1 ，n ， 1 = 1 岛+ = d j ，j = 1 ， l = 1 i t 、b l ，t j20 i 。j = 1 ，。n 最优替换策略 引理2 1 o 果- i d l 2 e ，因此不可能发生替代。由此得到一个下界 h ( u ，d ) 。沪。i 进而 g ( ) 2 岛【e ”8 卜d | j = 【1 + 肛e i 可一d i + ；( 肛e i 鲈一d i ) 2 + ：( 肛e 1 秒一d i ) 3 + 】 岛【1 + t e e i y d i l 1 8 1 = ， 1 j j 幻 0 ，从该点出发，沿着任 何方向移动都会增加成本。上式右端的退化锥将是一个空集。因此，根 据l a w r e n c ew r o b i n s o n ( 1 9 9 0 ) q j 的引理4 ，g ( ”) 的退化锥亦是一个空集。最 后，根据r o c k a f e l l a r 中定理2 7 1 d ，任何有空退化锥的凸函数有最小值。 口 g i 理2 3 最优替换策略具有下列特征j j 用产剐优先满足需莉的厩客，即呦= n 缸n y j ，d j ，j = 1 ，。 2 如果产品j 有剩余，即珊 功，则用它来替代处于缺货状态的产品， f p y k , d h ，替代顺序为= 巳，se k 0 。 只如果产品j 缺货，即协 工) “，替代 顺序为如j = 巩，j js 巩j 证明? 我们将依次证明此引理的三个部分： 1 ) 假定呦 m i n y j ，d j ) ，则若“增加一个单位，目标函数将乘以e 鹏j = e p ( _ ，一h t 一叶) = e u ( 一吩一) 1 ，这意味着目标函数将减小。因此，我们应该 不断增加呦直到它达到m i i l 协，功) 若上述假设不成立，我们将讨论下列 三种情况。 ( a ) 如果f 增加一个单位将违背第一个约束条件，同时不影响第二个 约束条件，则必存在某个t j ，有“b21 将“b 减小一个单位将 恢复第一个约束条件的可行性。同时目标函数将乘以e p 【一0 0 ) ； 【( 勺r 一巧) 一( 一 一_ ) 】= 扩( 籼一b 一嘶) 1 ，故目标函数将减小。依次 操作下去，也可得到“协= l i n 蛳，功) 。 ( b ) 如果f 增加一个单位将违背第二个约束条件，同时不影响第一个 约束条件，则必存在某个k j ，有“仙l 。将u 批减小一个单位将 恢复第二个约束条件的可行性。同时，目标函数将乘以e u ( a 一) = ( ( 聊一如一q ) 一( 协一如一“) 】= 扩( ”k 一吩一勺 ) 1 , ( x t ) _ 删m i n g t ( y ) ) g t ( 矿) =e h t c u ，d t ) 】 其中 巩( 矿，d ) = m i n e p ( h p + ”+ r 鲥+ 五一1 ( ，) n s t 霹+ 屿= 谚i = 1 ，n j = l 彰+ 屹= 谚j = 1 ， i = 1 霉，骂，屹0 t ，j = 1 ， ( 2 4 ) 一 l = 谚 = 屿 问 + 瑶 最优策略 在本节中，我们将探讨多周期情况下库存问题的最优策略。首先，我们先讨 论函数g t ( ) 和五( ) 的性质。 引理2 4 函数g ( 矿) 和五( 矿) 都是凸的 证明j ( 数学归纳法) 首先，由引理2 1 ， ( p ) 是凸的。 现假定 一1 ( j ) 是凸的，则也( ，t ，b ) = ( m + ”。伊+ 7 ) + 五一1 ( ，) 亦是凸 的，因此替代问题( 2 4 ) 是一个凸规划。由、r 柚s l y k e a n d w e t s ( 1 9 6 6 ) 中p r o p o s i t i o n 7 得，g t ( 矿) 是凸的。 最后，如果g t ( 矿) 是凸的，则 ( ) 就是一个凸规划的扰动函数。因此， p h r o c k f e l l a r 中定理2 9 1 ， ( ) 关于z t 是凸的。 口 引理2 5 g t ( 矿) 的存在全局最小解 证明? 令6 2 m ，i ，n v o ，= m i 珥 ，m i n ) ，m t 竹 丌t ) ) ，山( ，j ，b ) = 扩f ”+ p + ”。日+ 五一1 ( r ，p ) 。则 ( u ，b t ) 之e p p l j j 屿押l i 露+ 磁i ) 由构造知6 2 e 0 ，对于这个改造过的目标函数，最优策略一定是不包含任何 替代的。由此产生一个下界如下： 进而有 凰( 矿，d ) e p , e 8 护d g ( 矿) e d t 【e 。l y t - d t 】 = 勖t 【1 + 肛e 一d t l +