（概率论与数理统计专业论文）利率服从ar（m）模型下的破产概率.pdf

中文攘要 摘要 在保险数学，也称为糟算数学的范畴晦，破产理论是现代风险理论的核心内容，也是 当前风险理论研究的热点对于破产理论的研究，至今已有近百年的历史，但是有很长一 段融闻，绝大郝分的破产论研究是不考虑剩率的蛊至最近，对含具体投资收益的破产论 的研究兴趣才猛增利息对破产概率的影响逐渐引起众多学者的重视 在经典风险模型下，时刻棚日盈余并不依赖保费或理赔支付的时刻，原因是在经 典风险模型下弗没有考虑利息的影晌然蔼，在安际生活中，利怠楚破产概拳风险模 型中非常重要的一个组成部分但是假定利率取某一常数或假定每一年的利率独立同 分布似乎都不太现实，因为我们知道每年的利率遵常具有一定的相依性但仅仅假 定 厶，= l ，2 ，l ( 第n 年的利率变量) 服从a r ( 1 ) 棱型，即第n 年的秘率仅受到前一年利 率的影响，这一情况又晨得十分特殊因为第n 年的利率通常要受到前面好几年利率的影 响，掰不仅仅是兹一年利率的影响 本文研究两类一般的离散时间风险模型下的破产概率即是在经典风险模挺下考虑 保费支付的不同时刻和利息的引入对破产概率的影响本文的创新之处在于我们研究的 不同时刻静利率被假定赧葳撩依瓣i n 瑜鑫弱翔( a r ( m ) ) 模型，其中m 为任一正整数本文 用递归更新的方法给出破产概率的指数上界为了更好的说明本文所得到的上界的合理 性，本文将给出在复合二项风险模型下的一个直观应用， 在论文的最后一部分，本文将考虑在一定的假设下，损失服从重尾分布时，怎样用递 归的方法给出有限时间内破产概率的渐近公式 本文的部分内容霹以认为是瓣c 蕊f 2 0 0 2 ) 豹模黧的一个报广，强者乏阏最大的区别是 本文考虑的不同时刻的利率被假定服从相依的m 阶自回归( a r ( m ) ) 模烈，即第n 年的利率 可以受前厦镊意m 年剩率的影响阉对本文还尝试在一定的假设条转下，进一步给出破 产概率在此模型下的渐近公式 本文所建立的模型可作为风险理论中的风险模型对其进行研究不仅在理论上，而 且在实际应用中都具有重要的意义 关键词：破产概率，离教时间风险过程，l u n d b e r g 不等式，复合二项风险模型，熏尾分布 n w u c a b s t r a c t l ni n s u r 嬲c e 越a t h e i n 8 t 池，拄l s oe 甜l e da e t u 8 r i 8 | m a t h e m a t 妇，f u 呈董lt h e o r y 主st h em 8 i n c o n c e p to ft h er i s kt h e 0 阱a l s oi ti so n eo ft h ep o p u l a rt o p i c so ft h er i 8 kt h e o r yt h e r e s e 豁c ho f h er i nt h e o r yh a sh u n d r e d 8o f ”8 r 8h i s t o r yu pt on o w b u tm o s tr e s e 盯c h h a sn o tc o n s i d e r e di n t e r e s tr 8 t e sf o ral o n gt i m e u pt on o w ，p e 叩l eh a em o r ei n t e r e 8 to n t h er e s e a r c ho ft h er i l i np r o b a b i l i t yi c l u d i n g 缸i n e o m eo fm v e s t m e n t m a n yr e s e a r c h e r s t a 妇m o r ec 8 r eo ft h e 鞭! s e a r c ho ft h ee 珏e c to fi l 建e 雾璐to 珏r u 涵p r o b a b i l i t y 1 nc l a s s i c a lr i s k 珀o d e l ，t h e8 u r p l t l sa tt i m e 咒i sn o td e p e n d e n tw i t hw h e nt h ep r e m i u m o rc 1 8 i m so c c u r r i n g ，a sw eh a 帕n o 乇c o 璐i d e r e di t e r e s ti nc i a s 8 i c 越r i s ki n o d e l b u 七i n t e r e s t i st h ei m p o r t a n tp a r ti nm i np r o b 8 b i l i t yo fr i s kn l o d e li nr e a ll i f e i ti 8a s 8 u m e dt ob e u n p r a c t i c a lt om a k ei n t e r e s tr a t e sb ea c o n s t a 丑to ri n d e p e n d e n ti d e n t i c a ld i s t r i b u t e de v e r y y e a r ，a sw e 虹o wi n t e r e s tr a 艇! sl nd i f 凳r e n ty e a r s8 r eo 巍鼹d 印e n d e | 札w i t he a e ho t h e r 。 b u t i t i sv e r yp e c u u a r i f w e o m ya s s 皿e ( 1 t h e i n t 删r a t e s i n 札埔y e 盯t o b e a r ( 1 ) m o d e l 融虻a u s et h ei n 七e r e s r 毪t e sf 每wy e 8 r sb e f o r eo 托e nh a s 擎e a ti n 丑u e n c eo nt h ei n t e r e s tr a t e i i lt h e 托t y e 8 r ，b u tn o to n l yt h ei n t e r 嚣tr a t e so n ey e a rb e f o r e w bc o n 8 i d e rt w o 群m e r 址c l a s s i c 8 lr i 8 k l o d e li nt h j sp a p e r ，t h ee 赶如t so ft i m i n g o fp r n l e i 谴s8 i 避i t e r e s to nt h es u r p 王u sp r o c e 豁c a nb e 遮e k d e d 1 淹en e wi d e ao ft h i 8 p 印e ri st h a tt h ei n t e r e 8 tr a t e so nt h er u i np r o b a b i l i t i e 8i nt h em o d e l sa r ea 8 s u m e dt ob e d e p e n d e n ta r ( m ) m o 捌，( mi sp o s i t i v ei n t e g e r ) g e n e r 畦i z e dl u n 曲e r gi n e q u 8 l i t i e sf o rt h e r u i np m b a b i l i t yi nt h i sm o d e ia r ed e r i v e db yi n d u c t i 、他8 p p r o a c h 鹤i no r d e rt oe x p l a i nt h e r e a 8 0 n a b i u t yo ft h eu p p e rb o u n d s ，w ew i u 掰v ea i li u u s t r a t i v ea p p l i c a t i o ni nt h ec o m p o u n d b i n 啦l i a lr i s kp r o c e s s i nt h e1 8 8 ts e c t i o no ft h ep a p e r ，w ec o n 8 i d e rw h e nt h e1 0 8 8d i s t r i b u t i o 璐h a h e a 呵 t 蕊l s ，w ew i 珏g 沁e 越秽m 融o t i cf o r m u l a sf 艇娃l e 黾嫡t e 虹m e ! 试np 茁o b 吞b i l i 锣b y 孤li n d l 托虹v e a p p r o a c ho nt h er e c u r 8 i v ee q u a t i o n 8 i tc a nb ea s s u m e dt h a 土地ep 甜to ft h ec o i l t e n 七o ft h i sp a p e ri st h ee x t e n 8 i o no f 址【e m o d e lo fc a i ( 2 0 ) t h eb i gd i s t 至n c t i o no ft h et w oi st h a tw ea 8 s u m et h a tt h ei n t e r e s tr a t e s o nt h er u i np r o b a b i l i t i e 8i nt h em o d e l sa r e8 s s u m e dt ob ed e p e n d e n ta r ( m ) m o d e l ，t h a t i st h ei n t e r e s tr a t eo ft h em y e 8 r sh 8 sa ni m p a to nt l ef o l l 。w i i 培i 壬l t e r e s tr a t eo ft h e 扎瓶 y e a r a tt h es a m et i m e ，w et r yt h a tt o 百v ea s y m p t o t i cf o r m u l a sf o rt h ef i n i t et i m er u i n p r o b a b i 王i t yo f h em o d e lo nt h ec e r t a i nc o n d i t i o n s 。 弧em o d e l0 ft h i sp 印e rc a nb ec o i l s i d e r e da st h er i s km o d e lo ft h er i 8 kt h e o 珥 一l h 英文撼簧 鼢er e s e 戤ho f 疆em o d 畦量l 晶s 拄g r e 啦i m p o m m c e 潍文t h e r 魄e 。疆o r 慷e8 p p l c 蕊i 龋 p r a c t i c e k 掣剿s ：巍垃b 脚堍b 主鞋旗拯疆e 驰七涵e 瞧k 鄹。雠 乏嚣魏粼i 鞋e 程器嚣垓e 瀚 p o 麟d b i n 。嘲a 薹r i 呔p r 。e 螂+ 酶峪t a i l 豳t r i b 蛾o n ，脒酊g l v u 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意。 作者签名： 荔数 日期 学位论文使用授权的说明 w “五 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学校论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保留的 学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：i 邀鱼墨 日期：地墨：! ：璺 导师签名： 日期： 警 星二量笪墨尘丝翌矍型塑墨堂 第一章背景介绍和模型的提出 在风险理论中，传统的方法是考虑保险公司经营的风险模型，研究其破产概率对破 产概率的研究不仅在理论上，而且在实际应用中都具有重要的意义我们考虑如下的经 典模型， 设 z 。，n = 1 ，2 ，) 和 ，n = 1 ，2 ，) 为两列独立同分布的非负随机变量定义 其中 蜘，珊 耍c ) ) k 巩= “+ 陇一k ) ，七= l ，2 f = l 或等价地，随机过程 ，n = l ，2 ，) 满足 = 以一1 + 一k ，n = l ，2( 1 2 ) 其中= u o 为一正常数 以上定义的1 ；f ，( 钍) 出现在很多应用概率模型中，在风险理论和排队论中妒( “) 已经被人 们广泛的研究过我们通常把在很多不同的风险模型中出现的砂( u ) 定义为破产概率 在风险理论的背景下，通常如果碥表示第n 个时期( 从时刻一1 到时刻n ) 的总理 赔，葺；表示第n 个时期交纳的保费，则妒( u ) 便是初始盈余为“的古典风险模型( 1 一1 ) 式的最 终破产概率，值得注意的一点是在古典风险模型下时刻n 的盈余并不依赖保费或理赔支 付的时刻，原因是在古典风险模型下并没有考虑利息的影响然而，在实际生活中，利息 是破产概率风险模型中非常重要的一个组成部分 在这篇文章中，我们研究两类一般的离散时间风险模型其中我们将保费 支付的不同时刻以及盈余过程产生的利息对破产概率的影响考虑进来我们 令f 厶，n = 1 ，2 ，) 为一列非负随机变量，并分别定义两类盈余过程： 和 = ( 巩一1 + 墨) ( 1 + 厶) 一k ，n = 1 ，2 ( 1 - 3 ) 巩= 巩一1 ( 1 十厶) + k k ，n = 1 ，2 1 一 ( 1 4 ) 不难看出，( 1 3 ) 式和( 1 4 ) 式又分别可阻等价的写成 nnn = ”( 1 + 厶) + ( ( 地( 1 + ) 一k ) ( 1 + 厶) ) ，礼= 1 ，2 ， ( 1 - 5 ) k = 1 ；1= 女+ 1 n k ) ( 1 + 五) ) ，n = 1 ，2 ， ( 1 6 ) = + 1 其中兀：。( 1 + 厶) = 1 ，如果o 6 不难看出，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式都是风险模型( 1 2 ) 式考虑利息影响时的两种一般情况事 实上，在( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式中当厶取0 时，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式即为( 1 2 ) 式前面我们已经假定厶表 示从时刻n l 到时刻n 的利率，k 表示第佗个时期内的总理赔，通常假定在期末即在时 刻礼支付如果五，表示第n 个时期交纳的保费，并且在期初即在时刻扎一1 收取，则初始 盈余为u 时刻n 保险人的盈余巩满足( 1 3 ) 式类似的情况，如果j 0 在第n 个时期期末即时 刻n 收取，则砜满足( 1 4 ) 因此，我们用( 1 3 ) 和( 1 4 ) 式表示的两个模型将保费支付的不同 时刻及利息对破产概率的影响考虑进去 利息对破产概率的影响在许多文献中已经被讨论过s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) ， ( 1 9 9 7 ) 曾经研究过在复合泊松风险模型中常值利率对破产概率的影响更多的讨 论集中在利率对连续时间风险模型的影响，可参考文献a s 啾e n ( 2 0 0 0 ) ，r 幽l c ie t a l ( 1 9 9 9 ) 等等y a n g ( 1 9 9 9 ) 讨论了( 1 6 ) 式当 厶，n = 1 ，2 ，) 取同一常数这一很特殊的情 况c a i ( 2 0 0 2 ) 讨论了模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) 式当 厶，n = 1 ，2 ，) 为一列独立同分布的利率时， 破产概率的两种情况并与同一年c a i 讨论了模型( 1 5 ) 和( 1 6 ) 式当 厶，n = l ，2 ，) 被假 定为相依的自回归a r ( 1 ) 模型时破产概率的相应性质然而，假定利率取某一常数或假 定每一年的利率独立同分布似乎都不太现实因为我们知道每年的利率通常具有一定的 相依性但仅仅假定 厶，扎= 1 ，2 ，) 服从a r ( 1 ) 模型，即第n 年的利率仅受到前一年利 率的影响，这一情况又显得十分特殊因为第年的利率通常要受到前面好几年利率的影 响，而不仅仅是前一年利率的影响 在这篇文章中，我们考虑 厶，n = 1 ，2 ，) 被假定服从相依的自回归a r ( m ) 模型 即厶满足 厶= a l 厶一1 + 口2 厶一2 + - + a m 厶一m + w _ ，n = 1 ，2 ，( 1 7 ) 其中，啦0 ， = 1 ，2 ，一，m 且矗= i o 0 ，l 1 = e 一1 0 ，- ， 一。= i 1 一。 o ，( m = l ，2 ，) 均为常数 巩，n = l ，2 ，) 为一列i i ，d 徘负随机变量我们再假 定 k ，n = 1 ，2 ， ， 蜀，n = 1 ，2 ，) ，和 眠，n = 1 ，2 ，) 相互独立，且每一列同分布 并分别记f ( ) = p r h ) ，h ( z ) = p r 墨z ) ，g ( 叫) = p r w i 训) 2 一 “ 。瞄 + 如 + o 。 l i 和 第一章背景介绍和模型的提出 不难看出，( 1 7 ) 式所定义的利率厶，当0 1 = q 2 一= 0 时，厶= 为一列独立同分 布的利率如果a 1 = 0 2 一= d 。= o ，= 为常数( n ；1 ，2 ，) 则( 1 7 ) 式给出的为 一常值利率模型 我们记初始盈余为u ，初始已知利率为i o ， “i 1 一。利率模型满足( 1 7 ) 式，仉满 足( 1 5 ) 式的最终破产概率为 庐c u ，i 。，i 一，i ，一”t ，= p r q c u i 0 满 足 e e r ( x 1 一h ) = l ( 1 8 ) 则 妒( u ) se 一舶，“o ；( 1 9 ) 具体内容可参考文献r 0 b l 【ie t 出( 1 9 9 9 ) 由于在盈余中添加了利息，从而我们讨论的破产概率要比古典风险模型下的破产概 率小又由于保费交纳的时刻不同，很显然模型( 1 5 ) 式保费比( 1 6 ) 式交的早，则( 1 5 ) 式 的破产概率相应的要小一些即很直观的又下式成立： ( ，i o ， 一1 ，一， 1 一m ) _ p ( 札，t o ， 一l ，一， 1 一价) s 妒( 札) ，“0 另一方面，如果我们得到( 札， o ，i _ l ， l 一。) 和妒( “，如，i l 界( “， o ，i “，t 1 一。) 和v ( u ， o ，i 一1 ， 1 一。) ，应该满足 ( 1 1 0 ) i 1 一。) 的上 0 一 如 一 e 一 、j m一n一 1 ， _ 吣 3 ， _ 札 ，t v 一 jm一 0 一 ，v 沁 ，【 在这篇文章中，我们将分别得到满足( 1 一1 1 ) 式的破产概 率( # ，i o ，i l - 一，i l 一。) 和妒( “，i o ，l l ， l 一。) 的主界在第二牵，我们将善先绘 出破产概率的递归积分方程第三帝给出破产概率的上界第四章，我们将 在比较简单的复合二项风险模型中考虑利率相依时破产概率的相应性质最 后一部分，考虑当损失分布醣数f 服从重尾分布时，推导出有限时间内破产概 率( 札，t o ，l l ，1 1 一。) 和妒( 札，l o ， 一l ，n 一。) 在初始盈余 一o 。时的渐进公式 一4 一 篓三釜堡兰篓塞塑整塑塑坌痘堡 第二章破产概率的递归积分方程 我稍首先弓l 入记号： 如婶，南，i 一1 ，一，趣一m ) 一衍 黼p r ( 1 + 磊) ( t 上+ z ) ( 1 + n l i o + 。2 一1 + ) ，则 p r 矾 om = 玑咒= z ，硼= ) = l 接下来，我们定义一组序列，露：碥+ 。，瓦：+ ，厩：帆+ 。，n = 1 ，2 ，显 然 霸) ， 矗) 和 藏) 是互相独立的而且我们还可以看出 露 和 碥) ， 冠) 和 墨。) ， 眠) 和 眠是同分布的 下面我们再令i ：a 1 五一l + a 2 五一2 + 识，n ：1 ，2 i = 磊= q 1 t o + 0 2 i 一1 + ；危，置1 = t l = 而：t o 因此，五= a ，磊+ a 。互。+ 丽= 厶，我们假设元= 厶+ ，n = 1 ，2 ，则i + 。： n l i + a 2 i l + 既+ 1 = 0 1 厶+ 1 + n 2 厶+ - + 2 ：厶+ 2 ，因此假设是正确的 因此，如果os 掣! ( “+ z ) ( 】+ 0 1 i o + 口2 i l + 叫) = ( + 。) ( 1 + ) ，则 p r u om = ，x l = z ，i n = w ) = o ，也即是说对任意的0 f ( u + z ) ( 1 + 危) ，我 们有 巩 o ) 砜 0 ) ( ( “十) m = y ，置 m = f ，x l l + ) 一掣) 。，：。l j 一，m j ( 1 + 五) + ( 蜀( 1 + ) 一b ) ( 1 + 厶) ) o r*目、 b 2 j = 2t 可+ l 7 ，n l + l+ ll + 1 、 = 所 u ( ( m + z ) ( 1 + ) 一可) ( 1 + 五) + ( 玛( 1 + ) 一v ) ( 1 + 五) ) o f ；1l ；2 j = 2t = j + 1 j r “ lff 、 = p r u ( ( ( “+ z ) ( 1 + 九) 一”) ( 1 + 五) + ( 蜀( 1 + 五) 一霉) ( 1 + 五) ) o lk 1 b l j = lb j j = 九( ( ( “+ z ) ( 1 + ) 一) ， o ，i 1 ) = 如( ( ( 口+ 。) ( 1 + ) 一) ， ，硒) ，( = l i o + 口2 i 一1 + 彬，七= z + 1 ) 因此、我们可以得到 。+ ，c “，t 。，i 一，= p r 望c 口； 。，) 6 州u嚣u篇ulc rfll，l，fl 丹 抑 阶 = f f 第二章破产概率的递归积分方程 z 。z 。z 。p r ( 堕c 仉 。，j m = ”，x ，= z ，m = 训) a f c 们a 日忙，a g c 叫， = z 。z 。厶m ，删删z + z 。z ”z 阻+ 神q + m 饥c c u + = z 。_ ( ( m ) ( 1 删删 + z ”z o 。z 扣+ 神n + m c c u + ) d g ( 叫) 。) ( 1 + 危) 一口， ， o ) d f ( ) d 。h ( 。) d g ( w ) z ) d g ( 叫) z ) ( 1 + ) 一g ， ，i o ) d f ( ) c 日( z ) d g ( t u ) 在上述的积分方程中，根据l e b e s g u e 控制收敛定理，我们有 证毕 ( u ，而， 一) = z 。z 。f ( ( “+ z ) ( 1 + a t 。+ n 。i 一- + ”) ) d 日( z ) d g ( ”) + z ”z ”厂“1 + 砷州“删( 1 川鸭蛳0 ) d f 嘶) d g ( 吣 类似的，我们记初始盈余为u ，初始利率为 o ，i _ 1 ，i 1 一。，且利率模型满足( 1 7 ) 式 的模型( 1 6 ) 在有限时间内的破产概率为 ( t ， o ，i l ，一， l 一。) p k p r 札( 1 + l 站+ 位2 i l + 榭) + 茁，则 p r n 0 l h = 弘x l = z ，m = w = 1 接下来，我们定义一组序列，：k + 。，瓦。置。，斌= + 。，n ；1 ，2 ，显 然 写 ， 豆 和 鼠 是互相独立的 i ! f 且我们j 丕珂以看出 磊 和 碥 ， 盂) 和 墨。 ， 矾) 和 仆) 是同分布的 下面我们荐令五毒d l 五一1 + a 2 乏一2 + 鼠，扎= l ，2 ， 元蒜 0 = 0 1 铀+ 啦i l + 伽= ，t l = 己1 = 厶= o 因此，五= a ，i + “2 正。+ 丽= l ，一，我们假设i k + l ，n = 1 ，2 ，则五+ 。= 1 云+ 啦互- l + 藏1 = 吐l 矗+ l + n 2 厶+ 煽+ 2 二厶+ 2 ，因此假设是正确的 因此，如果o 掣“( 1 + 0 1 i o + 口2 一1 + t ，) + = “( 1 十h ) + z ，则 脚 仉 a i h = 弘簏兰置m = 蛳) = o ，也郎燕说对任意的o s 掣s 牡( 1 + 矗) + 。，我 们有 k = 玑肖l = g ， 琏 k = f ，墨一o ，m 0 0 啡 哟 u u ，fl，】tl 舟 抑 第二章破产概率的递归积分方程 = p 叫u ( ( “( 1 + 越+ z 一鲈) h ( 1 + ) + ( 玛( 1 + 易) 一巧) ( 1 + 五) ) o k ；2 b 2 j=2口十l ， rn-1+1*1、 一p r u ( ( 珏( 1 + 辫+ 。一秽) ( 1 + 五) + ( 玛( 1 + 易) 一k ) ( 1 + 五) ) o f ；lo = 2j=2扛中1 ，n lfl 、 一p 叫u ( ( 钍( 1 + ) + z 一) n ( 1 + j ；) + ( 蜀( 1 + 云) 一霉) ( 1 + 五) ) o 扭1 b l j = 1唧 j l p 。( ( 1 + ) + 口一，) ，i o ， 1 ) 揣妒。( ( 1 + 危) + 茹一笋) ， ， o ) ， = o l o + 0 2 一l + 埘，而= + 1 ) 因此，我们可以得到 小，- m r 堕c 巩删 = z 。z 。z 。所 变( 砜 叫k = v ，x t = 岛m = ”) 护( 们掰( 。) 掰 一z ”z ”z 二m 。妲( 彩掰( 。) 姻( ”) + z ”z 。z 眦1 + 砷“奴m 1 + 哪+ 。一弘”。) d f ( 们舾( z ) 姻( 删) 一j ( ”z 。f 1 删刊嘶删枷) + z 。z 。z 1 + 动“如似l + 砩+ 。一蜘萨( 弘) 越掰( 甜) 在上述的积分方程中，缀据l e b e s g u e 控制收敛定理，我们存 妒( 崛l 一，) ：厂0 。，。取1 + m 喃+ 口2 i 。) 十z ) 姐( 。) d g ( 。) j 0j 0 + z ”z ”厂柚“卅( ，州协咖，i 0 m 棚d g ( 毗 证毕! 类似于定理2 1 ，2 2 ，我们可以给出初始盈余为，利率模型为任意a r ( m ) 模型时( m 为 任意正整数) ，破产概率的递归积分方程 + 9 一 第三章破产概率的指数上界 在第二章我们绘出了声( ， o ，i “，f 1 一。) 和妒( 让，i o ，i l ，i l 一。) 的递归积分方程 类似于破产概率妒( u ) 在古典风险模型下满足l u n d b e r g 不等式，我们可以通过第二章得到 豹积分方程推导出乒( ， 。，i l ，i l 一。) 尊陲妒( u ，i 。， 一l ，1 一。) 的指数上界 3 + l 相关概念和引理 定义3 1 设非负随机变量x 的分布函数为f ( 。) ，我们称f ( 卫) 是n w u c ( n e w 的拶et h a n 璐e di nc o n v 娌o r d e r ) 的，如果对于任意的2o ，2o 满足以下 或0 + ) 扁( ) 户( z ) 其中p ( z ) = 1 一f ) ，一0 ) 定义为 最( 茹) 一7f e 伍) 咖， 可o ，$ j 0 关予n w u e ，我髓奔绍以下引瑾： g l 理3 1 设x 是个非负随机变量，其分布函数f ( 。) 是n w u c ，若存在摄常数r 满 足 ， e ”d f ( y ) 。 j o z ”e ”砌) h z州厂 f f f f 3 2 破产概率的指数上赛及棚关性质 因此，对任意的n = l ，2 ，( 3 9 ) 式成立令( 3 9 ) 式中的n o 。因为 则我们有 怒机( “，引山，n m ) 2 曲( “，钏岫，t l m ) 妒( 铭，i 。，l l ， l m ) s 霹1 琵丑l h 。妇一r 1 ( “+ x 1 ) ( 1 + 。l o + “2 一l + + 。m l m + 砰i ) 在定理3 1 中，当f 是n w u c ( n e w 斟帕r s et h a nu s e di nc o n v 钗o r d e r i i 唔) ，我们可以得到一个 改进的上界证毕! 推论3 1 当定理3 1 的条件满足时，如果f 是n w u c ，则 毋( t 工，i o ，i l ，t l m ) e e 一凡1 ( “+ k 1 ) ( 1 + 。l 如+ 。2 一l + + 。m 如一m + ( 3 1 1 ) 证明 根据引理3 1 的证明，我们知道如果f 是n w u c ，则岛一( 正沁岛h ) 因此 由( 3 6 ) 式，洚1 1 ) 式成立+ 我们可以证明定理3 1 中得出的上界小于l u n d b e r g 上界下面我们给出关于r 1 和r 关系 的结果 性质3 1如果在( 3 - 5 ) 式中e x l 五m 并且r 1 0 ，在( 1 8 ) 试中存在r o 则场r ；特别的，如果溉和姒不同丑寸取0 ，则r 1 r ， 详细的证明请参见c a i ( 2 0 0 2 ) 文章中性质3 1 为了方便起见，我们把定理3 1 中的上界记为( h ，i o ，i “，i l 一。) ，i e ( u ， o ，i l ， l 一饥) = = 厚1 1 e r l h 嚣e r l ( ”+ x 1 ) ( 1 + 。l o + 。2 一l + + o m 1 一m + n 1 ) 接藉我们有如下结论 性蒺3 2 对任意豹e o ，( 口，t 。， 一l ，l l 一。) s 一砒 证明 根据( 3 - 5 ) 式和性质3 1 ，并且由于m o ，a 1 o 0 ，a 。i 1 一。0 ，则我们 有，对于毯0 ，菇= l + n l i o + a 2 i l + + m 1 一m 十 魄， 扣， o ，t l ， l m ) = 角点k m n 掣e 一矗1 “( 1 + 岫一凰x 1 ( 1 + h ) 兰声1 日e 冗l h e e 一冗l ”1 + 。1 培+ 。2 一l + + 。m l m ) 一r l x l 1 + m ) 一1 4 一 第三搴破产概率的糖数上界 证毕 其中 = 胁e e 月l h 凹e 一凡l x l ( 1 + 惭) e r l “( 1 + 。l o + + 。m “一m ) = 尻e 一丑l “( 1 + 。l o + 。缸一l + + 。吼如一m ) e r l ”( 1 + 。1 o + 。2 一l + 。+ 。m 1 一m ) e m 类似的，我们可以同样讨论下面妒( ，l o ，t l i 一，t 1 一。) 的概率上界 定理3 。2 令冗 o 为满足( 1 8 ) 式的一个常数，i t e f e 一且( * 一h ) = l ，则 妒( ， o ，一1 ，- ，n m ) 卢e e 一冠“( 1 + “1 。+ 。2 一1 + + 。m 1 一m + m ) ，0 ( 3 - 1 2 ) 证明 类似( 孓7 ) 式和( 3 8 ) 式，对任意的o ， ，。o 雨sp e 一尼。7e 珊d f ( 咎) p e r 。酲台黄h ，z 因此我们可以推得对任意n 0 ，如0 ， 一l 0 ，i 1 一。2o p l ( 乱，i o ，t 一1 ，i 1 一m ) = n m 珏( 1 + 磊) + 蕊 。j ( j ( f ( ( 1 佃如恤- l + + a m 1 一m + 训) + z ) 嘏( 。) d g ( 埘) s 芦飘麟e 娟婚“1 如“扯一“m ) 搬( z 膨 = 口曰e 凡m e e r ( 1 + n 1 o + a 2 1 一l + + a m 1 一m + ) + x 1 ) = 8 露e 一是h f l + n l _ i 。+ 她 一l + 一+ “m i m 上i h ) 根据递归假设，证昵类似于定理3 1 我们可以摊得对任意的h 0 ，i o ，吐， l 一。0 ， 我们有 o ( ，i o ，i 一1 ，i l m ) p 掣e m ( 1 + 。l o + 。2 。一1 十+ 。m 4 1 一帆+ m ( 3 - 1 3 ) 令上述的礼叫o 。，我们肖妒( 钍，i o ，l 1 ，i 1 一m ) 冬芦点k r “( 1 。+ 毗一1 + + 1 一m + m ) 一1 5 - l ! ：! 壁主塑圭堂堂塾圭墨墨塑差些基 类似的，当f 是n w u c ，我们可以得到定理3 2 中破产概率的一个改进的指数上界 推论3 2根据定理3 2 的条件，如果f 是n w u c ，则 扣扎，吐m ) 型竺笔筹竺竺 证明类似于推论3 1 我们把定理3 2 中的指数上界记为v ( ，i o ，i “，i 1 一。) i e v ( 钍，如， 一l ，e 1 一m ) = 卢e e m ( 1 相1 。+ 。2 一1 + + 。m h + 眦) 则我们可以推得( 牡，l o ，i - 1 ，i 1 一。) 和v ( “，i o ，i “，n 一。) 的关系如下 性质3 3 对任意的札0 ( “， o ，t l ，一，i l m ) sv ( u ，t o ，l 一1 ，- 一， 1 一m ) se 一2 札 证明类似于性质3 2 1 6 第四章在复合二硬风验模型中的应用 第四章在复合二项风险模型中的应用 在这一帝中，我们将给出上述结果在复合二项风险模型中的应用首先，我们考 虑一个离散的随机过程 阢，t l ，2 ，) 满足 肚 u u + t 一珊，t o ，1 ，2 l 站l ( 4 1 ) 其中= “0 ，m ，t l ，2 ，是二项过程并满足崩峨= 姆( o q 1 ) 以及 只，t = 1 ，2 ， 是一列独立同分毒的燕的筢机变量并和二项过程 腿，t = 1 ，2 ， 独立我 们称这个模溅为复合= 项风险模型 在这个模型中，我们假设农任意的一个时间段( ，+ 1 1 ，t = o ，1 ，2 ，中，理赔的概 率为口，也即没有理赔的