（应用数学专业论文）非线性奇异微分方程解的存在唯一性.pdf

摘要 非线性微分方程奇异边值问题是微分方程理论中的一个重要课题大多数结果给 出了方程一个或多个正解的存在性对于解的唯一性，赵增勤在文献【3 4 仲对奇异二阶 常微分方程边值问题进行了研究，但方法较为复杂证明解的唯一性，通常的方法是 我们必须证明两个解是等价的本文利用混合单调迭代法来证明几种奇异微分方程边 值问题解的存在唯一性 全文共分成五章： 第一章作为准备知识给出了本文要用到的相关知识内容，其中包括非线性泛函分 析中的锥理论及半序方法，并建立了新的混合单调算子不动点定理 第二章利用混合单调迭代法来证明了奇异常微分方程及时滞微分方程边值问题 正解的存在唯一性，其中包括奇异高阶常微分方程解的存在唯一性，奇异p - l a p l a c e 方 程解的存在唯一性，非线性奇异二阶时滞微分方程解的存在唯一性 第三章我们将用混合单调迭代法来证明奇异椭圆微分方程边值问题解的存在唯 一性对于非线性项具有单调性假设的一类奇异椭圆边值问题，文献 8 7 】中，作者研究 了其解的存在唯一性，而对于非线性项不具有单调性假设的这类奇异椭圆微分方程， 却很少有人研究其解的存在唯一性当然，我们所讨论的方程，其非线性项要求具有特 殊的形式 第四章我们首先利用锥不动点定理讨论了非奇异二阶脉冲微分方程狄利克莱边 值问题多个正解的存在性；其次我们用锥不动点定理和l e r a y - s c h a u d e r 型非线性抉 择定理。讨论了奇异二阶脉冲微分方程狄利克莱边值问题一个及多个正解的存在性 最后，在前面的工作基础上，继续将混合单调迭代法推广到脉冲微分方程中去，从而得 到了奇异二阶脉冲微分方程解的存在唯一性 关键词：奇异边值问题；存在性；唯一性；混合单调算子；锥不动点定理 a b s t r a c l t h es i n g u l a rb o u n d a r yp r o b l e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ei m p o r t a n ts u b j e a si nt h et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em o s t r e s u l t sa r ed e v o t e do nt h ee x i s t e n c eo f o n es o l u t i o no rm u l t i p l es o l u t i o n s o nt h eu n i q u e n e s so f t h es o l u t i o n ，z h a oz e n g q i n 3 4 】h a s s t u d i e dt h es i n g u l a rb o u n d a r yp r o b l e mt ot h es e c o n do r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u tt h e m e t h o di sc o m p l i c a t e d t op r o v et h eu n i q u e n e s s ，t h eg e n e r a lm e t h o di st h a tw em u s tp r o v e t h et w os o l u t i o n sa r ee q u i v a l e n t i nt h i sp a p e r , w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n sf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s i n gt h em i x e d m o n o t o n em e t l l o d t h ew h o l ec o n t e n t si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ri ，a st h eb e g i n n i n go ft h i sp a p e r , w eo f f e r e ds o m er e l a t i v ek n o w l e d g e ，s u c h a st h ec o n et h e o r ya n ds e m i o r d e rm e t h o di nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s m o r e o v e r , w e e s t a b l i s h e da n e wf i x e dp o i n tt h e o r e mo ft h em i x e dm o n o t o n ei t e r a t i v eo p e r a t o r i nc h a p t e r2 ，a st h es e c o n dp a r to f t h i st h e s i s ，b yu s i n gt h em i x e dm o n o t o n em e t h o d ，w e g a v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs i n g u l a re l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hi n c l u d i n g s i n g u l a rh i g h e ro r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s i n g u l a rp - l a p l a c ee q u a t i o n s ，s i n g u l a r s e c o n dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，a so d eo ft h em a i np a r t so ft h i st h e s i s ，b yu s i n gt h em i x e dm o n o t o n e m e t h o d ，w ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs i n g u l a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a b o u ts i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t ht h en o n i n c r e a s i n gm o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o no n t h en o n l i n e a r i t y ，t h ea u t h o rh a ss t u d i e dt h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n si nt h er e f e r e n c e 8 7 b u tw h e nt h ee l l i p t i ce q u a t i o nw i t h o u tt h en o n i n c r e a s i n gm o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o no nt h e n o n l i n e a r i t y , f e wa u t h o rh a v es t u d i e dt h eu n i q u e n e s s o fc o u r s e ，t h ee q u a t i o nw ed i s c u s s e d h a ss p e c i a ln o n l i n e a r i t y i nc h a p t e r 4 ，w e f i r s t d i s c u s s e d t h e e x i s t e n c e o f m u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n s o f t h es e c o n d o r d e rn o n s i n g u l a rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb y u s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e mi nc o n e s n e x t , w ep r e s e n t e ds o m en e we x i s t e n c e 睁 s u i t sf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e sa n dl e r a y - s c h a u d e rn o n l i n e a ra l t e r n a t i v et h e o r e m a tl a s t ，w ed i s c u s s e dt h eu n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rs i n g u l a rs e c o n di m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb yu s i n gm i x e dm o n o t o n e m e t h o d 英文摘要 k e yw o r d s ： s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；m i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s 一一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：彗鲻 日期：竺互：复 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：旌堕苎 指导教师签名： 日期：衄l ! 王 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：五兰竖! 垃! ： 通讯地址：丝垒坳兰路 电话：f 幽! ! 型亟 邮编：! 纽生 绪言 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学、边界层理论、反应扩散过程、生 物学等应用学科中，是常微分方程理论中一个重要的研究课题自上世纪以来，奇异常 微分方程经常出现在许多应用学科的数学模型中，大量的关于特征形式的奇异方程的 边值问题的研究结果也随之出现由于奇异边值问题在应用中的地位越来越重要，近 四十年来。数学工作者开始系统地研究这类问题 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简要概述 一奇异常微分方程边值问题的提出 在奇异常微分方程发展的早期，数学家致力于求出方程的通解例如，常微分方程 教材中常见的贝赛尔( b e s s e l ) 方程 寸| 斗x 9 + b 一k 2 ) y = 0 在工= 0 附近的幂级数的解，求解得到一类贝赛尔函数再例如，f u c h s _ 型2 ( f u c h s i a n t y p e ) 常微分方程 ，帕+ 】? 卜1 p 1 ( j 【) y ( 4 1 ) + + p 。( j 【) y = 0( 2 ) 为n 阶方程，其e e p k ( x ) 在x = 0 是全纯的，( 2 ) 存在解析解 长期以来人们讨论最多的奇异方程是下述形式的e m d e n f o w l e r 方程 一d2x+口(力kinsgnx=o，fodt 2 + 口( 力防 o ，f o 和 p ( f ) “，) ，+ 口( f ) = 0 ，t 0 ， ( 3 ) ( 4 ) 这里a ( 0 + ) = * ，p ( o + ) = 0 ，它最早出现在天体力学的研究中早在1 8 6 8 年，在研究天 空星体的大气云球的平衡结构时，l a n e 1 1 8 考虑了特殊l 拘e m d e n f o w l e r j 亨，即所 谓l a n e - e m d e n 方程， ( f 2 “，) ，+ f 2 矿= o ，( 5 ) 但是除，l = 0 ，l ，5 之外，( 5 ) 不能解析地求解随后，在气体动力学、流体力学、核物 理和化学反应系统等许多领域中相继出现t e m d e n - f o w l e r 方程( 参见 5 8 ，7 8 ，7 9 1 及其 绪言 参考文献) 近几十年来。奇异方程形式由e m d e n f o w l e r 方程发展成各种各样，方程 的奇性不仅仅产生于自变量也产生于相变量例如，当r 0 ，西 0 u 就是排斥系统 7 2 , 7 3 , 7 6 1 核物理中著名的t h o m a s - f e r m i 方程 6 4 , 6 5 , 6 6 1 “，+ t - “i ：0 f 0 是研究原子电子能量分布的一个数学模型对于不同的原子，有不同的边值条件： ( i ) 正离子：u ( o ) = l ，u ( a ) = l ： ( i i ) 孤立中性原子：u ( 0 ) = l ，u ( o o ) = o ； ( i i i ) 具有b o h r 半- 径b 的中性原子：u ( 0 ) = l ，u ( b ) + b u ( 6 ) = 0 边值问题 j + ；2 ，( m 叭k 1 ，( 8 ) i 7 ( o ) = 0 ，a n ，( 1 ) + “( 1 ) = b ，a 0 是能描述不同生理过程的数学模型当，( f ，“) = 惫时。( 8 ) 是研究m i c h a e l i s - m e n t e n 动 力学中稳定状态时一个细胞中氧的扩散问题 5 9 ，6 7 】其中常数a o 表示反应速率， k 0 称为m i c h a e l i s 常数。t = l 表示细胞膜的边界 具负指数的e m d e n f o w l e r ，y 程最早是在研究天体演变、n o n n e w t o n i a n 流理论、 边界层理论、奇异椭圆方程径向解等问题中提出的，经过转换变成了奇异边值问题 l l ，i + 厂2 篓7 7 0 ( 9 ) iu b ( 0 ，1 ) ，五，r 0 2 一 绪言 其q 3 e ( o ，1 ) 一般是指d i r i c h l e t 型边值条件：( o ) = u ( 1 ) = 0 ，参见 6 0 一6 1 ，6 3 ，6 9 ，7 0 ，7 8 7 9 】 研究球冠开薄膜大挠度响应的一个数学模型 8 0 】 p + 刍案。， ( 。o ) i “( o ) = o ，“( 1 ) = 半“( 1 ) ，o v 0 使得m e u s m e ( 1 1 ) 定义1 3假定a ：q e q e 一么称a 是混合单调算子，如果a o ，力对j 是递增的 而对y 是递减的，即对任何y g ，如果x l x 2 ( x l ，砣q e ) 贝l j a ( x l ，力s a ( x 2 ，y ) ；对任 何工q e ，如果y l y 2 ( y l ，y 2 幺) 则a y 1 ) a ( x ，y 2 ) 称矿是a 的一个不动点，如 果a c 矿，) = ， 下面，我们给出类似文献【7 仲的混合单调算子不动点定理 定理1 1 假定a ：q e x 幺_ g 是混合单调算子且存在一个常数口，0 s 口 1 使得 a ( t x , l y ) f 力，帆，y 玖，o f 1 ( 1 2 ) 则a 有唯一不动点r q e 此外，对任何c ，y o ) q e g ， x n = a ( j 硫一i ，y n 一1 ) ，y n = a ( y n 一1 x n1 ) 疗= 1 2 。 5 东北师范大学博士学位论文第一章预备知识 满足 其中 x n _ f ，t _ r ， i x , 一x * l l = o ( 1 一，矿) ，i i ) k x * l l = o ( 1 一，矿) ， 0 r t 4 a ( t ，t y ) ，v x , y 么 a ( ；，t y ) t - a a ( x ，力，帆，) ，办，o f 0 ，使得 并且存在0 幻 1 使得 因此我们得到 令 我们有 m e a ( z o 。z o ) m e 1 叫i 口 f m e z o s 石彳胧， i - - al 口 z o 岳r a ( z d ，z o ) z o 石节 i u o = 培z o ，v 0 = t 0 2 z o ， ( 1 4 ) ( 1 5 ) u n = a ( u n 1v n 1 ) v n = a ( h 一1 u n1 ) 仍= 1 ，2 ，3 ，) ( 1 6 ) 蛳，v o 幺，u o v o ，u 0 2 t o v o ， 并且，由( 1 2 ) 、( 1 3 ) 至( 1 6 ) 诸式，得 “l = a ( 碚z o ，t o z o ) 瑶a ( z 0 ，z 0 ) 瑶1 2 0 = 咖， il一口i v i = a ( 0 2 2 0 ，皤z 0 ) f a ( z o ，z o ) 岳2 z o = v o ， u l2 a ( u o ，v o ) s a ( v o ，u o ) = v 1 一6 一 ( 1 7 ) 东北师范大学博士学位论文 第一章预备知识 由此利用归纳法，易知 u 0 u l u n s h y l v 0 ( 1 8 ) f 证 秽v n 伽= o ，l ，2 ，) ( 1 9 ) 事实上，由( 1 7 ) 式知n = o 时( 1 9 ) 5 撇3 1 r 假定n = 女时( 1 9 ) 式成立，即蜥秽毗，则石一u k 从而 u k + l = a ，) a ( 才心，u k ) 矿1 a ( v k ，) = o ”v k + l ， 故n = + 1 时( 1 9 ) 式成立于是，根据归纳法知( 1 9 ) 式成立由( 1 8 ) 式和( 1 9 ) 式，我们有 o - - u n + p 一一“。( 1 一o ) v n ( 1 一) ， ( 1 1 0 ) 故 + p 一“n ( 1 一o l l v o l l ) ( ，l ，p = 1 ，2 ，3 ，) 其中表示p 的正规常数由此可知一u + e 同理可证h - v e 由( 1 8 ) 式知 u n su + v v n ( n = 0 ，1 ，2 ，3 ，) ，( 1 1 1 ) 故u + ，v + eq e 由( 1 1 0 ) 式和( 1 1 1 ) 式，我们有 口矿一“+ s h 一墨( 1 一) v o ，( 疗= 0 ，1 , 2 ，3 ，) ， 从而。根据j p 的正规性，得知矿= 矿令r = 矿= v w a ( 1 11 ) 式，我们有 u n + 1 = a ( u n v n ) s a ( ，) a ( h ，u n ) 2 h + 1 ， 令n 一* 取极限。得 ，= “+ a ，) sv = ， 故r = a ( r ，r ) ，即，是a 在办中的一个不动点 设 ，勋q e 幺是a 的任一藕合不动点令f 1 = s u p o t 1 ：f x * j 厂1 r ，t x * 夕st - 1 r 显然，0 t l l j | t l x * j 百1 r ，t l x * 夕f r l ，若o t l l ，则由( 1 2 ) 式 和( 1 3 ) 式，知 一7 一 东北师范大学博士学位论文第一章预备知识 即 类似地。可得 j = a ( j ，刃2a ( n ，玎1 x + ) 坪a ( r ，r ) = 坪r ， j = a ( j ，刃 ( f 1 ，f 1 ，) t - a a ( x * ，r ) = t 7 。r ， 片1 1 x * 茎贾五咀，； e l x 罗t i ， ( 1 1 2 ) n 1 3 ) 由于f l 吁 l ，( 1 1 2 ) 式和( 1 1 3 ) - - 与t l 的定义矛盾，故必有f l = l ，从而j = ，= ， 设z 是a 在p 中任一不动点由于化，力是a 的一个藕合不动点，根据刚才已证的结论，必 有z = r 最后证明 i i x , 一，= d ( 1 一) 1 1 ) k 一，= d ( 1 一) 设给定靳，y 0 g ，并且知，h 由翰= a ( 而一1 ，) k 1 ) y n = a 魄一i x no ( n = l ，2 ，3 ，) 给出， 取0 t o l 充分小，使( 1 4 ) 式成立，并且 即 假定 则 即 故由归纳法知 l111 t g z o x o t 0 2 2 0 ，4 z o 0 ) 在玖中的唯一解，那么巧一硫。一0 ， 一 1 0 如果o 口 ，那么o 1 1 0 ，及q c ( ( o ，1 ) ，( o ，) ) ，满足 上1r 。( 1 一s ) ”g ( s ) 出 + o o 则方程( 2 1 ) 存在唯一正解巧( f ) 此外，如果o o ( 2 1 9 ) 类似的，从( 2 1 4 ) ，可得 令f ：三，j l ，我们有 j g ( t x ) t a g ( x ) ，g ( t ) t 。g o ) ，t ( o 1 ) ，x 0 ( 2 1 1 0 ) g d x a g ( 1 ) ，x 1 ( 2 1 11 ) 令e ( t ) = t ( 1 一o ，且 幺= 衅c o l 】i 击m d “力s m t ( 1 - f ) ，f 【o 1 】l ， ( 2 1 1 2 ) 其中选取m 1 使得 肘 麟删1 ) f o l q ( 。) d s ，+ a h ( 1 ) f 0 1s - a ( 1 - s ) ”纠亡： ( 2 1 1 3 ) a g ( 1 ) f 18 1 + a ( 1 一s ) 1 + o ) d j + 3 h ( 1 ) f 0s ( 1 一s ) q ( s ) d s 一t 乏 对z ，y q e ，定义 a o ，y ) ( f ) = 【上1 g ( t ，s ) 鼋( s ) l g ( j ( s ) ) + ( y ( s ) ) 】d 扎v t e o ，l 】 首先我们证明如：q e 么- 么令x , y q e ，由( 2 1 1 0 ) 并n ( 2 1 1 1 ) ，我们有 f l j ( 2 1 9 ) 我们有 g ( 工( f ) ) s g ( m t ( 1 - t ) ) g ( 俨g ( 1 ) t 【o ，1 】 ! 笔1 刖刍 0 ，巧是方程( 2 1 ) 的唯一正解此外，由定理1 2 知，如果0 ，1 1 0 ，0 应用定理2 1 1 ，我们可知只要m a x 口，6 1 ，( z 1 1 4 ) 就有唯一正解( 0 此外， 0 , 1 1 也则l 巧2 ，硝l 硗如果m a x a ，6 l ( o ，；) ，则 为了证明它，我们令 1 i m ，i i x l l2 o ， ! 哦l l 巧= + o o 口= m a x a ，纠，q ( o = i ，g ( = p 一， ( 曲= x - b 凼此 g ( t x ) = f 勺( 曲2 尸g ( 曲，h ( t - 1 工) = f 6 ( 曲f h ( x ) ， f o is - a ( 1 一曲一。d s + m ， 因此定理2 i i 的所有条件都满足 2 - 2 奇异( k ，n k ) 共轭边值问题解的存在唯一性 本节考虑对固定的i k n 一1 ，奇异( k n 一幻共轭边值问题 f ( - - 1 ) n 卅= 州f ，曲，o f o ， 一。( o ) = o ， o i = 而t k ( i l - 丽s ) k 【“l j ) + ( s 一力】“每l 2 而= 南产( 1 卅州，圳( 1 - 西高产( 1 一矿4 ，士1 ( 1 一曲扣1 ，o f s l 1 一s ) k 1 ) ! 一女一 l 1 ) ! 一k l 1 ) ! 伽一t f n m f n 一 ) 僻一 ) 僻一 ) 他一 ”考1 吐扣i 【“l 一，) m 一矿- k - l - j 磊“士l 【“1 5 ) m 一矿 声( 1 一f ) 一t 一1 ，一k - 1 ( 1 一妒 产( 1 一f ) “- f - k ( 1 一s ) k ，0 t 墨s 1 一1 5 一 东北师范大学博士学位论文第二章奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 荚1 以地，我1 j 得到 g ，= 啬筹岛甏瞳，端c s 两k 器) ( k - 斋- 南k - 笺咖( 刊砸矿1 。一伽一 1 ) ! m1 ) ! 局一“”7 ：z旦羔羔l(1一，严一-k 伽一) ( k - 1 ) ! - k - 1 ) ! 7 石= 丽石= 弓厕( 1 一矿。t k ：一七- 1 ( 1 一曲扣1 ， o sj f 1 和 g ( 舢) 矿丽丽丽( 1 。o 柑一( 1 。s 严1 矿丽面而( 1 _ f ) 柚产s n - k ( 卜s 卢，o 0 ，及g c ( ( o ，1 ) ，( o ，o o ) ) 满足 上1 ，扣1 - 缸( 1 一s ) k - l - ( n - k ) a q ( s ) 如 + * ( 2 2 4 ) 则( 2 2 ) 有唯一正解弓( 力此外，o 0 ，巧是( 2 2 ) 的唯一正解此外，由定理1 2 ，如果0 ，l i 2 ， 则。( o 茎硝：( f ) 巧。( 力硗( f ) ，如果口( o 寺) ，则 扣l i m 。i i x l l = o ， 坚强蚓= 佃 证毕 例考虑下面的奇异0 【，n - k ) 共轭值问题 f ( 一1 y 一x ( n = , t ( t x a + x - 6 ) o f l ， 一。( o ) = o ， o i 0 ，0 d ，b 1 ，0 应用定理2 2 1 ，我们发现如果 o 咖 i i i i n t n - k ，圭 贝l j ( 2 2 8 ) 有唯一正解( d 此外，o a 1 ，1 2 隐含着巧。x a ：，硝。巧2 如果m a x l 口，6 ( o ，芝1 ) ，则 为此，我们令 卫器l i 巧= o ， 璺o 弓= + o o 口= m a x a ，6 ，鼋( o = 1 ，g ( 曲= l j x a ， ( 曲= x - b t 8 一 东北师范大学博士学位论文第二幸奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 因j 比o 口 m i n 1 n - 一k ，j o ， 托 n 一庀 g ( t x ) = f g ( x ) f g ( x ) ，h ( t - 1 曲= t b h ( x ) f h ( x ) ， 且 上1 ，士l 咖( 1 一s 广一1 - ( n - k ) a d s 帆 因此定理2 2 1 的所有条件满足 2 3 奇异四阶边值问题解的存在唯一性 考虑下面的奇异四阶边值问题 ) ( f ) + 矽= 讹棚0 “一如， ( 2 3 ) i 工( o ) = 缸1 ) = 一( o ) = ，( 1 ) = 0 ， 其中f ( t ，力c ( ( 0 ，1 ) x ( o ，+ ) ，( o ，+ ) ) 且卢 n 2 如果芦= o ，马和王【2 l 】已经研究了方程( 2 3 ) 的正解的存在性他们利用锥拉伸 或压缩定理，证明了当，( f ，曲非奇异并且在搬线性或次线性时，方程一个正解的存 在性 假定j 是方程( 2 3 ) 的正解那么 缸f ) = f 0 1f 0 1g l ( f t ，g 2 ( f ，s ) ，( s ，缸s ) ) d s d r , 0 f l ， ( 2 3 1 ) 其中g l ( t , s ) 是，- 0 ，x ( o ) = x o ) = o ，的格林函数，而g 2 以j ) 是一一一触= o ，x ( o ) = x ( 1 ) = o 的格林函数。特别地， 显然 g m 国= 怒鬈羞 t ( 1 一t ) g 1 ( s ，j ) - g r t ，曲s g l ( s ，j ) = s ( 1 - s ) ，g l ( t ，s ) s “l - t ) ，( f s ) 【o ，1 x o ，l 】( 2 3 2 ) 一1 9 一 东北师范大学博士学位论文第二章奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 令甜= 、西如果p 0 ， j j a g 2 ( t ，s ) 可以表示为 f了sinhwtsinhw(1-s)，0fs1， g 2 ( = 枣乏i 如果卢= o 那么g 2 ( f ，s ) = g l ( f ，曲如果0 f l ，r 2 ，那么g 2 ( f s ) 可以表示为 f s i n w t s i n w ( 1 - s ) 0 一 g 2 ( t , s ) = i 。垫掣w f i n w 胚, o t 吲_ s 虬 0 ，及q c ( ( o 1 ) ，( o ，) ) 满足 1 s - a ( 1 一s ) 一。鼋( s ) d j + ( 2 3 7 ) 则( 2 3 ) 有唯一i e 解x a t ) 此外，o m ? ! 砖詹g 2 ( 丁，曲d r q ( 占) a 眩( 1 ) + j 叫( 1 - j ) 呻 ( 1 ) 】d j 宁，( 2 3 9 ) 村砧g l ( r , 丁) g 2 n s ) d r q ( s ) a h ( 1 ) + ，( 1 一曲。g ( 1 ) 】d s l - t 与 对任何x , y 么，我们定义 ，1 a a ( x ，力( f ) = a 五g ( j 蛔( j ) 【g 0 硝是( 2 3 ) 的唯一正解此外，定理1 2 意味着如果0 , t l , t 2 ，则巧。( f ) 巧2 ( 吐l ( f ) 碗( f ) ，如果口( 0 ，专) ，则 扣l i m ，i i x j l l = o ， 甄i i x ；l l = 佃 证毕 例考虑下面的奇异四阶边值问题 j 】p ( f ) + j b ，7 ( 力= a ( 】p + j 广扫) ，0 t 1 ， ij ( 0 ) = 颤1 ) = ，( o ) = ，7 ( 1 ) = 0 ， 一2 2 东北师范大学博士学位论文第二章奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 其中卢 0 ，l o 应用定理2 3 1 ，我们发现如果m a ) 【 ，纠 1 ，则( 2 3 1 1 ) 有唯一正解巧( 0 此外，o 五l 2 隐含着碗巧2 ，巧：如果m a x 慨b l ( o ，芝1 ) ，则 m i ml l x , j l l = o ， 骧l l x , j l l 。+ ” 为此。我们令 口= m a x a ，b l ，q ( f ) = 1 ，g ( 曲= l l x 4 ， ( 曲= x - 6 因此0 1 并且，可能在x = o 奇异称x 是( 2 4 ) 的一个解，如果工 c 1 【0 ，1 】，( ，) a c o ，l 】使得工满足( 2 4 ) 及其边值条件；其中a c o ，1 】表示定义 在【o ，1 】上的绝对连续函数空间 令e = c o ，1 1 ，其 蝴t l u l l = m a x t e o , q l u ( 0 1 ，因此e 是一个b a n a c h 空间同时，我 们定义 p = 恤e ：u 是凹的【o ，1 1 且“( = “( 1 ) = 0 1 很容易证明p 是e 中的一个锥 这一节，我们假定 ，( 功= g ( 曲+ ( 曲， 一2 3 东北师范大学博士学位论文第二章奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 其中 g ：【0 ，+ o o ) _ 【o ，+ o o ) 连续且不减； h ：( o ，+ o o ) - ( o ，+ ) 连续且不增 定理2 4 1 假设存在口( o ，p 一1 ) 使得 g ( t x ) 严g ( 曲， 以及 h ( t - 1 神t a h ( x ) ， 对任何t ( o ，1 ) ，x o 以及口c ( ( o ，1 ) ，( o ，) ) 满足 上1 厂。( 1 一力- a q ( f ) 出 + * ，o a p - 1 ( 2 4 1 ) 则( 2 4 ) 有唯一正解巧( 0 此外o o , q ( t ) t a ( 1 一力。l 1 ( o ，1 ) ； iv ( o ) = “1 ) = 0 的解，则存在正常数g ，g ，使得 t o t ) l l u l i “( f ) sc u t ( 1 一f ) ，t ( 1 一t ) l l v l l v ( o c v t ( 1 一f ) 证明：因为q ( t ) t - o ( 1 一f ) ，鼋( f ) 严( 1 一矿0 ，所以“，v 在( o ，1 ) 上是凹的并且是正 的因为“，v c 1 0 ，l 】，因此 l 。i m 。u ( f t ) = “( o ) 。l i m ll u ( 一t ) f = - - - u ( 1 ) 枷l i mv ( r t ) = v ，( o ) 川l i m 鲁= - v ，( 1 ) 一2 4 东北师范大学博士学位论文第二章奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 令 于是o m a x c u 卓e - * ( g ( 1 ) + ( 1 ) ) 雨1 ，删一- - - ( g ( 1 ) + ( 1 ) ) 一出1 对任何固定的z ，y q e ，考虑下面的边值问题 似川嘞a q ( 力吼川”“似溯- o 托( o 1 ) 胁m ( 2 4 3 ) 1w ( o ) = 似1 ) = 0 e h ( 2 1 9 ) 一( 2 1 1 1 ) ，对x , y g ，我们能得到 9 0 ( o ) g ( m t o f ) ) g ( 肘) g 。g o ) ，t e ( 0 ，1 ) ， 一2 5 东北师范大学博士学位论文 第二章奇异常微分方程边值问题解的存在唯一性 及 因此， 似f ) ) ( 击“l f ) ) 厂a