（光学专业论文）talbot效应的倒格矢理论及其应用研究.pdf

山东师范大学顺i ：毕业论文 t a l b o t 效应的倒格矢理论及其应用研究 中文摘要 泰伯( t 舶o t ) 效应，又叫做衍射自成像效应，是指当一束单色平面光照射 一个光栅时会在光栅后的一定距离处出现光栅自身的像。自1 8 3 6 年h f t a l b o t 首次报道了这种周期性物体的衍射自成像效应以来，对刚b o t 效应的研究和应用 工作一直没有间断。t a l b o t 效应已经在光学精密测量、光信息存储、原子光学、 玻色爱因斯坦凝聚等领域得到广泛应用。基于t a 胁0 t 效应的阵列照明器也已经 在光通信、光计算等领域得到了广泛的应用。这种采用t a l b o t 效应原理产生的阵 列照明器设备简单，只需要设计制作一个相位光栅，而且可以根据需要选择不同 的分数t a l l b o t 距离或设计不同的纯相位分布来获得不同压缩比的阵列照明效果。 但是由于t a l b o t 效应是基于菲涅耳衍射的，因此在人们计算分数t a l b o t 距离处 的相位分布通常是用菲涅耳衍射积分来求解的，但这样计算起来很麻烦，因此， 人们就提出了一些简单的数学方法，如利用迭代的方法可以分析分数t 扔o t 位 置处的纯位相分布及其对应的位相，但这些方法还是很难给出一个计算相位分布 的简单解析式。本论文提出了一种分析t a l b o t 效应的简便方法，利用晶体物理 中的倒格矢理论来分析t a l b o t 效应及分数t a l b o t 效应。基于倒格矢理论可以很 容易的给出一维光栅、正方、有心正方及六方型阵列物体在任意分数t a m o t 距 离处的相位分布解析式，利用这些简单的解析式可以设计在任意分数t a l b o t 距 离处的阵列照明器。本论文的主要创新内容概括如下： 1 基于衍射的角谱理论分析了一般二维阵列光场的衍射特性，提出了一种用阵 列光场的倒格矢来研究和描述衍射自成像( 或泰伯效应) 的方法，给出了用 倒格矢表示的一般衍射自成像条件，并将其用于几种典型的二维周期阵列 ( 长方阵列、有心正方阵列及六方型阵列) 光场的具体情况，给出了这几种 阵列物体的t a l b o t 距离。以六角阵列物体为例，分析了在不同分数t a l b o t 距离处的衍射情况。最后，给出了与理论分析相一致的计算机模拟结果，充 分说明用阵列光场的倒格矢来分析和描述t a l b o t 自成像效应是可行的。 2 基于倒格矢理论，分析了周期物体在分数泰伯距离处的衍射特性，给出了任 意分数泰伯距离处的复振幅分布的一般性公式。以一维光栅、正方阵列、有 心正方阵列和六方型阵列物体为例，给出了它们在任意分数t a i b o t 距离处的 i i l 山东师范人学硕l j 毕业论文 相位分布解析式。 3 基于几种典型的阵列物体在任意分数t a l b o t 距离处的简单解析式，设计了几 种t a l b o t 阵列照明器，并给出了计算机模拟结果与实验结果。 i v 关键词：泰伯效应、倒格矢、纯相位分布、解析式、泰伯阵列照明器 分类号：0 4 3 8 山东师范人学硕l j 毕业论文 r e c i p r o c a iv e c t o rt h e o 吖o ft h et a i b o te f f e c ta n di t s a p p l i c a t i o n s a b s t r ac t 1 - 1 1 ep h e n o m e i l o no fs e l 尽i m 画n go f p 耐o d i co b je c t s ，a l s oh o w n 硒t a l b o te 彘c t ， w 嬲f i r s t0 b s e e db yh f t a l b o ti 1 1l8 3 6 m 1 e i la p e r i o d i co b j e c “si 1 1 u l i l i n a t e dw i m ac o h e r e m1 i g h t ，c x a c tt a l b o ti i i l a g e s 研1 lb e 南u da tt 1 1 et a l b o td i s t a n c e 丘0 m 1 e o b j e c t s i n c eh et 2 1 1 b o tf o u n d 日1 es e l f 二i m a 百n gp h e n o m e n o no f l ep 嘶o d i co b j e c t ， m a n yr e s e a r c h e r sh a v ep u b l i s h e dm e i rw o r k so nm i ss u q e c t n o wt a i b o te 髓c th 勰 b e e n 印p l i e di naw i d e 丘e l do fp h y s i c s ，s u c h 弱i i l 圮i n t e r f e r o m e n y ，i n0 p t i c a l 证f 0 1 1 i l a t i o nm 锄e o i na t o mo p t i c s ，i nb o s e - e i n s t e i i lc o n d e 璐a t e s ，弛d 0 n t h e a 玎a yi 1 1 u i n a t o ro fb 弱i 1 1 90 nt l l et a l b o te f f e c ta l s 0t 瑚b e e na p p l i e di i l0 p t i c a l c o i 玎m l l l l i c a t i o n 觚d0 p t i c “c a l c u l a t i o n t h ed e s i 弘o fm et a l b o ti 1 1 眦i n a t o ri sv 唧 s h p l e w em e r e l yd e s i g nap h a s e o n l y 刚i n go fd i 岱b r e n t1 1 i 曲c o m p r e s s i o nm t i o st o p r o d u c em ed e s i r e da 玎a yo fo u t p m 丘e l d s g e n e r a l l ys p e 妇g ，b e c 棚e 也et a l b o t e 虢c ti sb a s e do n 也ef r e s n e l ( 1 i 触l c t o nm e o s 0w h 融p e o p l ec a l c m a t et 1 1 ep h 鹊e d i s t r i b u t i o no fm e 丘a c t i o n a lt a l b o t ，m e y 髑u a l l yr e s o r tt 0 l ef r e s n e ld i 缶a c t i o n 血e g r a l h o w e v e r t h ep r o c e s so f 也ec 2 l l c u l a t i o ni sv e 巧c o n 叩l e x s op e o p l ec o m eu p w i t hm a n ym e m o d st 0s a v et h ep m b l e m ，o fw m c ht l l ei t e r a t i v em e t l l o di sv e r ye 鹤et 0 缸a 1 ) ，s i s t 1 1 ep h a s e o m yd i s t r i b u t i o na tt l l e 缸c t i o n a lt a l b o tp l a l l e ，b u tas i i n p l e e q u a t i o ni sa l s ov e r yd i 伍c u l tt 0b e 百v e nu s i i l gt h i sm e t h o d h 1t t l i sd i s s 缸a t i o na r e c i p r o c a lv e c t o rm e o 巧f o r 锄【1 y s i so fm et a l b o te 髓c to fp e r i o d i c0 b je c t si s p r o p o s e d u s i i l gm i sm e t h o dw ed e d u c e ag e n e r a lc o n d i t i o nf o rd e t e m 血m g 也e t a l b o td i s t a n c e t a l b o td i s t a n c e so fs o m et y p i c a la r r a y s ( ar e c t a l l g u l a ra r r a y ，a c e n t c r e d s q l l 2 鹏a r r a y ，a n dah e x a g o n a la r r a y ) a r ed e r i v e df r o mt 1 1 i sc o n d i t i o n f u n h c r ， t 1 1 e触c t i o n a lt a l b o te 珏e c t so fao n e 一曲i l e n s i o n 越 莎a t i n g ， as q u a r e a r r a y a c e m e r e d s q u a r ea 玎a ya i l dah e x a g o n a la 盯a ya r ea i l a l y z e d 觚ds o m es i m p l ea n a l ”i c a l e x p r e s s i o n sf o rc a l c u l a t i o no ft h ec o m p l e x 锄p l i t u d ed i s t r i b u t i o na ta i l y 仔a c t i o n a l t a l b o tp l a n e sa r ed e d u c e d b a s e d0 nt h e s ef 0 肌u l 嬲，w ed e s i 印s o m et a l b o ta 玎a y v 山东师范大学硕：t 毕业论文 i l l u m i n a t o r s ( r a i ) w i t hah i g hc o m p r e s s i o nr a t i o t h em a i ni n n o v a t i v er e s e a r c h e sa r e a sf o l l o w s ： 1 a r e c i p r o c a lv e c t o rt h e o 巧f o ra n a l y s i so ft h ed i f 五a c t i v es e l f i m a 昏n g ( o r1 a l b o t e 氐c t ) o fa 研od i m e n s i o n a l ( 2 d ) p 甜o d i co b j e c ti sp r o p o s e d u s i n g 啦sm e t h o d ag e n e r a lc o n d i t i o nf o rd e t e 删咖gm et a l b o td i s t 觚c ei sd e r i v e dw i mt h e r e c i 】p r o c a ll a t t i c ev e c t o ro ft h ei 1 1 p u to b j e c t a sa l le x a m p l e ，s o m et h l b o t d i s t a n c e so fs o m et ) ，p i c a la 】您y s ( ar e c t a l l g t l l a ra r r a y ，ac e n t e r e d s q u a r c 撇y 狮d ah e x a g o n a la 盯a ”a r ed e r i v e d 丘0 mt h i sc o n d i t i o n f u r t h e r ，t 1 1 e 丘a c t i o n a lt h l b o t e 仃e c to fm eh e x a g o n a ls 仇l c t i 鹏i s a i l a l y z e dq u 锄t i t a t i v e l y f i n a l l ys o m e c o i n p u t e r s i m u l a t e dr e s u i t sa r e 百v e nf o rd e m o n s 缸i a t i o no fm er e c i p r o c a ll a 钍i c e t h e o 搿 2 u s i n gm i sm e m o dw ed e d u c eag e n e r a lc o n d i t i o nf o rd e 谗m l i n i n gt h e 岔a c t i o n a l t a l b o td i s t a n c e f 1 1 n h e r ，m e 丘a c t i o m lt a m o te 髓c t so fao n e 曲：i l e n s i o n a l 黟a t i i l g ，as q 瑚r ea 玎m mac e l l t e r e d s q u a r ea 玎a ya n dah e x a 9 0 n a la r r a ya r e 姐a 1 ) ，z e da n ds o m es i n l p l ea i l a l 舛c a l 唧r e s s i o n sf o rc a l c u l a t i o no ft h ec o m p l e x 锄p l i t u d ed i s t r i b u t i o na ta i l y 丘a c t i o n a lt a l b o tp l a i l e sa r ed e d u c e d 3b a s e do nn l e s es i m p l ef o m u l a s ，w ed e s i 朗s o m et a l b o ti l l u n l _ i n a t o r sw i ma 1 1 i 曲 c o m p r e s s i o nr a t i o f i n a l l ms o m ec 唧u t e r - s i m u i a t e dr e s u h sa n de x p e r i m e n t a l r e s u l t sa r ea l s 0 西v e n k e yw o r d s ：1 a l b o te 妇f e c t ，r e c i p m c a l l a t t i c ev e c t o r ，p h a s e - o n l yd i s 砸b u t i o l l ， 锄a l y t i ce q u a t i o n ，t a l b o ta n a yi l h 砌m t o r c l cn u m b e r ：0 4 3 8 v i 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名。采寐午 别隧字 学位论文版权使用授权书 f 虱， 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作一：朱搭节 签字日期：2 0 0 罗年莎月日 导师签字： 国。专 签字日期：2 0 0 汐年臼日 山东师范大学硕士毕业论文 第一章综述 当用一个单色平面光波照明周期为d 的光栅时，在光栅后距离为2 榭2 允( m 为整数) 的位置上出现相同周期的清晰的光栅像( 如图1 1 所示) 。这一现象就是 光栅的衍射自成像现象或t a i b o t 效应，是一种具有重要实际应用价值的光波衍射 现象。自1 8 3 6 年f t a l b o t 首次报道了这种周期性物体的衍射自成像效应以来，对 t a 胁o t 效应的研究和应用工作一直没有间断。本章简要介绍了t a l b o t 效应的研究现 状及其应用，简要介绍了本论文所要完成的主要工作。 1 1t a l b o t 效应简介 1 8 3 6 年，h f t a l b o t 【1 】首次发表了一些他曾在布里斯托尔的英国协会上证 明过的光学实验结果。当t a r b o t 将一束白光通过一个透镜垂直照射到一个光栅时， 他发现了一个奇怪的现象。按照衍射原理，在光栅的后一定距离处，应该观察到 模糊的衍射图像，但实际上在一定的距离处却出现了光栅的清楚的像。而且，这 些这些图像包含了交互的条纹和互补的颜色( 例如：红色和绿色) ，随着透镜的进一 步后移，颜色的顺序重复发生变化。在特殊距离z t 的整数倍距离处仍重复出现光 栅的像。这种现象就被称作t a l b o t 效应，即衍射光栅的自成像效应。它在光学信 息处理中有着广泛的应用。但是在当时，t a l b o t 提出的这个现象并没有引起大家的 重视，直到1 8 8 1 年，r a y l e i 曲2 】重新解释了t a l b o t 效应才引起人们的关注。i b l y l e i 曲 指出所谓的t a l b o t 距离z t 是由口2 以决定的，其中a 是光栅的缝间距，九是光波长。 除此之外，周常河等人【3 】还发现了一些t a l b o t 效应的新原理：如t a l b o t 效应的对 称性原理 4 】、邻域差分规则传播定律【5 】、素数分解规律【6 】、偏振依赖性【7 1 等。这些 原理让我们从一个新的角度去认识t a l b o t 效应。现在t a l b o t 效应在大学课本中通 常是作为菲涅耳衍射被描述的。因为它不仅是学习光学的基础，而且它还广泛地 应用在激光阵列的相位锁模【8 1 、全息存储【9 1 、光测量 1 0 1 等领域。因此，研究t a l b o t 效应具有重要的实际应用价值。下面我们主要来简述一下t a l b o t 效应的理论发展 历程及其在一些研究领域中的应用。 山东师范丈学硕 ：毕业论文 ， 1 j x 一， ，一 ， ， ， ， 7 ， 一 一 井栅r #1h n t 俊 图1 1 光栅的t a l b o t 效应 1 2t a l b o t 效应的研究进展 在础b o t 效应提出来之后的一百多年期间里，先后提出了许多理论以解释它。 本来意义下的t a j b o t 效应可以简单地看成是横向周期光场在传播过程中表现出的 纵向周期性，即光场以泰伯长度z t 为周期重复出现。对t a l b o t 衍射自成像的理论 诠释，基本上都是采用经典的干涉和衍射理论。 p a t o r a 虹和v o k o z e k i 【1 1 】等人利用干涉理论解释了r d n c l l i 光栅的t a i b o t 效应。 认为当球面波照明光栅时。光栅衍射产生0 ，l 级衍射光( 忽略高级衍射) 。在 衍射光重叠区域，衍射光相互干涉而形成干涉场的空间分布，在满足t a l b o t 距离 处，干涉形成的周期性光场分布的对比度最好，所以可把t a l b o t 像看作物体在 t a l b o t 距离处的几何投影。这种干涉理论可以处理简单的周期性物体的t a l b o t 效 应，对于比较复杂的周期性物体却很难得到其干涉场复振幅分布和强度分布的表 达式。梁铨廷f 1 2 】用平面波干涉理论解释了光栅的衍射自成像现象( t a l b o t 效应) ，并 分别对r 舶c l l i 光栅和正弦光栅的衍射像给出了理论结果。 对于衍射理论最常用方法就是利用菲涅尔克希霍夫( f 托s n e l 硒r c h h 0 行) 衍射 公式对周期性衍射物屏后面的光场分布进行研究，从而找到t a l b o t 自成像产生的 条件。c o w l e y 和w i i l 廿u o p 等人都以衍射理论分析了球面波入射时平面周期性物体 的自成像效应。c o w l e y 和m o o d i e 【1 3 】描述了在点光源照明下光栅后形成光栅像的 特点。通过傅里叶光学的方法发现刀可为任何奇或偶的正整数。w m p 和 w _ o m l i n g t o n 【1 4 】为了解释实验中发现的，l 为非整数的泰伯平面。通过对单色光照射 的平面周期物体运用菲涅尔克希霍夫方程，导出了物体后的复振幅分布 2 山东师范人学硕i ：毕业论文 乃= 2 谢2 肛+ 2 d 2 以，其中v 为整数，= 所，n 和m 为整数。推出了t a l b o t 成像公式，并提出了基本的t a l b o t 距离是2 d 2 从，这已被广泛的接受和使用了。另 一方面，l a t i m c r 和c r o u s e 【1 5 】运用波动光学的办法对泰伯效应进行了再解释。对透 过率函数为理想梳状函数的衍射光栅，他们推导出1 足+ 1 曷= 1 加丁，其中r l 为 入射光源到光栅的距离，r 2 为光栅到泰伯平面的距离，埘= _ 2 局，( j ，q 为整数) ， 得到了所有已知泰伯平面的纵向位置的一般表达式。l a t i m e r 认为泰伯效应应被定 义为一种干涉效应，而不是普遍认为的光栅成像。若以d 2 a 为基本单位，在n d 弧 的平面上，刀的奇偶不同只会造成条纹的横向位置的不同，而空间频率和周期结构 并不发生变化，所以他提出，以d 2 肌为基本的t a l b o t 距离。s z w 咖s k i 【1 6 】对l 撕m e r 和c r o l l s e 关于泰伯平面以及泰伯像的定义提出了异议。s z w a y k o w s k i 认为他们的 解释缺乏一般性，他提出乃= 2 耐2 以中n 为整数的地方才能称为泰伯距离，刀为 分数的地方只能称为分数泰伯距离，因为在这些地方出现的并不是严格的光栅像。 对于其它分析t a l b o t 效应的理论还有：夫琅和费衍射波相差法【1 7 】、光学传递 函数法【1 引、反相脉冲传递法【1 9 1 等。其实，早在1 9 6 7 年m o n t 9 0 m e r y 【2 0 1 发表了关于 衍射自成像的基本理论。 到了1 9 7 1 年，g u i g a y 【2 1 】通过在物平面的一个有限数点的复振幅可以得到周期 物体的菲涅耳衍射图像在每个点的复振幅。这个结果可以应用到纯位相物体的情 况下。并且他还推导了一种简单物体结构的情况，在这种情况下，可以通过所测 物体的强度分布和某一个特定的距离来求出物体的位相分布。叫g a y 的等式被后 来的人不断的发展并且用简单的方程表示出来，他的这个公式后来成为研究t a r b o t 效应的一个基本公式。到了1 9 8 7 年刘立人2 2 1 利用模糊函数方法分析了任何光学系 统的t a l b o t - l a u 效应，并于1 9 8 8 年详细研究了准单色点光源和部分相干光照明下 的自成像及l a u 效应【2 3 】。 19 9 0 年，y o s h i 瑚u r a 等人【2 4 】从理论上分析了在部分相干准单色光照射下r d n c l l i 光栅的t a l b o t 图像的振幅和位相波动效应。这个理论分析使用了在傍轴区域内成 立的模糊传递函数的相干理论。尽管光栅的结构是完整的，但是仍可以想象出， 光栅的每一个缝都有复杂随机的振幅透射比。最终他们发现了t a l b o t 图像平均强 度的对比度是依赖于照射光的空间相干长度和光栅的振幅和位相波动的空间相干 山东师范人学硕f j 毕业论文 长度的。l e g e r 和s w a j l s o n 【2 5 】描述了一个基于分数t a l b o t 效应的位相板，这个位相 板可以把一束扩展激光束转化为规则排列的阵列，并且理论上衍射效率可达到 1 0 0 。可以通过一个变化的电光装置自由的选择位相板基元的大小、空间距离和 占空比等因素。并且提出了一个占空比为l 1 6 的方形的阵列照明器，这种阵列照 明器可以把一束光转换为正方阵列基元。到了1 9 9 3 年，答孝义【2 6 】基于分数t a l b o t 效应给出了三种不同情况的t a l b o t 阵列照明器。加t i z o n 和c a s t a l l e d a 【2 7 】介绍了六 种不同情况的二元位相光栅，它们都可以用于制作阵列照明器。a 玎i z o n 【2 8 】用一个 二值位相光栅就可以把一个二值振幅场转换成压缩比是原来两倍的另一个场，这 样一个二值位相光栅就可以产生高压缩比的阵列照明器。s z w a y k o w s k i 等人【2 9 1 认为 当一束相干平面波照射一个一维多阶位相光栅时，就会产生一个任意开口比的二 元振幅光栅，这种光栅作为阵列照明器可以有很高的压缩比并且能够产生大量的 光学阵点。 1 9 9 5 年，周常河等人【3 0 】通过与s y w a y k o w 出公式的比较，推出了基于分数 t a l b o t 效应的用来计算多阶位相光栅的一组简单的方程。用这组简单的方程就可以 很容易地分析多阶位相光栅的特点。他们还证明了在分数t a l b o t 效应中存在位相 分布的对称性。 y m s h y a n gc h e i l g 和r a y - c h u n gc h a l l 矿1 】发表文章说，一个二维 周期物体的每个基元中的信息可以通过这个原胞中所有的基元来复制。在所有的 基元中的相对位相关系依靠这个原胞中的再分数目而不依靠这个原胞的长宽比。 从这个关系中，我们可以看出来在所有的基元中波幅可以通过在原始物体中所有 的基元信息的叠加来计算。一个在非正交方向上的二维周期物体，可以分解为一 个有一定位移的二维物体，这个位移的二维物体在垂直方向上也是有周期性的。 因此，就可以直接通过位移的叠加结果来解决非正交周期物体图像的产生问题。 1 9 9 6 年，v i c t o r 加r i z o n 等人【3 2 】用矩阵形式描述了透射光栅在分数t a l b o t 距 离处的衍射性质。他们指出菲涅耳变换可以看作为一个矩阵形式的变换，并且给 出了一些对应于不同的分数t a l b o t 效应的矩阵变换性质。b e 玎y 等人【”】以波长为九 的光照射周期为a 的光栅产生了自成像，在t a l b o t 距离z fa 2 从的有理倍数p q 的 距离处产生了一幅t a l b o t 图像，在每一个单元包含4 幅重叠的光栅图像。这些单 独图像的位相，通过数论中的高斯数被精确地以有界形式给出t a l b o t 图像的简单 计算。g u v o t 和h a m 锄【3 4 】利用分数t a l b o t 效应进行了一维和二维的逻辑运算。这 种方法无需插入任何的光学元件，只是通过单纯的衍射，就可以通过逻辑运算在 4 生銮堑鎏叁兰竺! ：兰些笙兰| ! ； 空间上整理输入信息。通过分数t a l b o t 效应来完成在输入和输出信息之间的联系。 在这里他们还强调了，在输入周期物体和它的衍射图像之间的元素有一部分是相 互依赖的。这种逻辑运算可以应用到x o r 和烈o r 图像的增加和提取以及1 4 解 码。m 矧( u st e s t o r f 等人【3 5 】利用w i 舯e r 分布方程( w d f ) 形式来周期性物体在分数 t a l b o t 距离处的菲涅耳衍射，分析相位空间的分数t a l b o t 效应，计算出了任意分数 t a l b o t 距离处的复振幅分布。 1 9 9 7 年，a 嘴等人【3 6 】第一次按照强度有最大对比距离处的特定周期空间位 相图案研究了t a l b o t 阵列照明器。这次研究的主要结果是他们提出了一种新的阵 列照明器，即位相光栅侧面图。它可以在分数t a l b o t 距离处进行可调的( o ，7 d 位相 分布。可以通过一个空间有限光栅结构后的菲涅耳一基尔霍夫衍射公式的近场复 振幅分布的数学方法得到这个新的位相侧面图。 1 9 9 8 年，周常河等人【3 刀认为对于一个开口比率为1 m 的光栅，在不同的t a l b o t 距离处将对应不同的纯位相分布。他们介绍了一种数值迭代的方法，用这种方法 可以计算分数t a l b o t 距离处的纯相位分布及其对应的相位值。他们还发现纯位相 分布只发生在p ( 1 2m ) z t 处，( 其中z t 是t a l b o t 距离，p 和m 是互质整数) 。他们 他们还发现不同t a l b o t 距离处的相位分布存在着对称性。并且，纯位相分布的相 邻位相差是规则重排的，这种规则重排是由于不同的分数t a l b o t 距离引起的。因 此他们根据在不同的分数t a l b o t 距离处，由规则重排的相邻位相差分布来确定纯 位相分布，而无需迭代的数学方法。b a i l 硒z e k 等人【3 8 】对于在t a l b o t 距离的任意整 数倍处，利用w i 口盱函数给出了一组简洁的位相分布的求和公式。这个求和公式 表明了被替换的空间源场w i 朗e r 函数的一个有限数可以产生位相空间的分数 t a l b o t 效应图像。 1 9 9 9 年，m a 衄st e s t o r f 【3 9 1 等人基于分数t a m o t 效应的矩阵形式提出了一种在 菲涅耳衍射区的最优化数值衍射光学元件的方法。通过最优化数值t a l b o t 阵列照 明器的实验结果表明，一个有限的离散相阶数并不意味着有限的压缩比，但是却 能导致衍射效率的降低。周常河等人m 1 认为t a l b o t 阵列照明器的位相编码起源于 分数t a l b o t 距离处的阵列照明器的t a l b o t 效应。t a l b o t 解码方法最吸引人的地方 就是图像的一个任意数值都可以用来解码位相，而以前的h a d 锄矾解码方法只能 解被存储图像的值为m = 2 n 或m - 4 n ( n 为正整数) 。周常河等人【4 1 】还认为，在特殊 条件下可以用简化的公式来描述分数t a l b o t 效应。他们推导出了一个简化的分析 山东师范大学颀l ：毕业论文 位相分布的公式，用这个公式，就能够说明一个开口比为的二元振幅光栅后 的纯位相因子和它的分数t a l b o t 距离的关系。他们提出由这样一个振幅光栅产生 的一个不可缩减的开放比为删( m n m ，m n 和m 都是正整数) 的任一强度分布都 可以通过相类似的位相因子公式来表示。有趣的是一个附加任意的位相调制的振 幅光棚也可以在分数t a l b o t 距离处产生纯位相分布。他们把这些分析位相的公式 应用到相邻位相是( o ，7 c ) 的位相调制振幅光栅中，并且对于这种情况推导出了一组新 的适用于t a l b o t 阵列照明器的一组简单的位相因子公式，并且通过实验结果证明 了他们的理论的正确性。 2 0 0 0 年，王淮生等人【4 2 】对一维开口比为1 m 的矩形光栅，建立了一组新的简 单方程，用这些简单方程可以计算分数t a l b o t 距离上的菲涅耳衍射光场分布。他 们在该方程中考虑了光栅结构与分数t a l b o t 距离的联系，显然这种方法比迭代方 程和基于距离的方程更方便地描述了分数t a l b o t 效应。s p a g n o l 和a m b r o s 洒【4 3 l 利用光栅的衍射特性通过傅里叶变换的方法测量距离。这种方法对于稳定性要求 很低，可适用于生产过程中，并且提供一种实时获取信息的方法。 2 0 0 1 年，v i c t o r 知五z o n 等人畔】在近轴情况下推导出了一个有限大小的光栅在 分数t a l b o t 距离处的衍射分布解析方程。这些解析方程表明在分数t a l b o t 距离处 的分数t a l b o t 像与有限大小的物体的周期数有关。光栅的有限大小将会影响在不 同分数t a l b o t 距离处的基元像的振幅大小和形状。周常河等人【4 5 】提出t a l b o t 阵列 照明器中位相阶数是决定实际生产过程中的复杂性和花费成本的一个重要因素。 他们发现t a l b o t 照明器中的位相阶数与素数有一个简单的关系。赵帅等人【4 6 】认为 在t a l b o t 阵列照明器中的位相阶数是衡量制造工艺复杂性和制造成本的一个重要 因素。他们发现一个二维t 批o t 阵列照明器中的位相阶数与素数之间存在着简单 关系。当输出阵列是一个可调的二阶位相调制时，在这两者之间有一个简单的关 系，并且这个关系有很大的实用价值。他们还提出一个基于t a l b o t 效应的二维 t a l b o t 阵列照明器的实验，研究发现基本数字分解原理与t a m o t 阵列照明器有关 2 0 0 2 年，席鹏等人【4 7 】在国际上首次设计并制造出了六角阵列近场照明的位相 光栅。因为六角阵列在自然界和光电子器件中广泛存在，研究其光学照明方式是很 有意义的。通过理论分析解决了六角阵列数学处理困难，并用微光学工艺加工制作 了二元( 0 ，7 c ) 型六角位相光栅，实验验证了六角阵列的高效照明方式，这对将来六角 型光电子器件的实际照明方式是有意义。r e i v e l t 【4 8 】介绍了齐次标量波公式的一种 6 山东师范人学颂l ：毕业论文 脉冲自成像解决方法。这种波场能在单色自成像波场的条件下，在某个特定的时 间间隔之后产生原始图像的空间分离副本，而不是同时产生这个空间分离副本。 结果表明这种波场与齐次标量波公式的基本限制波的解决方法有关。 2 0 0 3 年，王淮生等人【4 9 】提出了一种分析任意多阶相位光栅t a l b o t 阵列照明的 新方法。基于光栅结构与距离的关系，给出了一种求解一般多值相位光栅菲涅耳 衍射光场的解析表达式。利用该表达式可以直接分析一般多值相位光栅的分数泰 伯数效应及在阵列照明中的应用，克服了间接分析法只能分析某些类型的泰伯阵 列照明器的不足之处。周常河等人【5 0 】介绍了一种d 缸n a n n 光栅，这种光栅可以在 远场的一个变化的序列中产生一个等强度的图形。这种新的用来做衍射元件的光 栅是通过一组参数来确定的，这组参数是：序列、圆形数、均匀性和衍射效率。 他们还给出了二值位相圆d 觚1 i n 籼光栅的数学方法。戴恩文和周常河等人【5 l 】基于 分数t a l b o t 效应提出了一种新的多功能双层衍射光学元件。这种衍射光学元件有 两层：一层是编码层，在这个层中，多个子衍射光学元件被加密：另一层是解码 层，这一层就是t a l b o t 照明器。这种衍射光学元件( d o e ) 可以通过移动编码层来二 个一个地实现每一个多级光学功能。他们通过实验的结果说明了这种方法是非常 有效的。这种装置可以用于光学互连、稳定的光学存储以及动力光纤通信中。 2 0 0 4 年，s e 哂od en i c 0 1 a 等人【5 2 】第一次提出了t a l b o t 效应在数字全息方面的 应用。在不同的t a l b o t 距离或者不同波长的情况下，通过数字全息再现可以观察 到t a l b o t 衍射自成像现象。基于此数字全息中的t a l b o t 效应可以用来设计光谱测 定仪。孙深等人【5 3 】针对基于r 0 n c l l i 光栅t a l b o t 效应的长焦距测量方法，分析了利 用傅里叶变换求取莫尔条纹角度的准确度限制，提出了通过傅里叶变换的多次迭 代逼近来提高角度计量准确度，从而提高长焦距测量准确度的方法，并在此基础 上分析了这种方法的准确度极限。腾树云，刘立人等人【5 4 】利用部分相干光理论详 细地分析了在部分相干光照明下光栅的菲涅耳衍射，给出了观察面上衍射光强分 布的一般公式，并就光源的发光面积对光栅t a l b o t 效应的影响进行了讨论，得到 了光栅衍射光强的分布随着照明光源的发光尺寸的增加而逐渐变得平滑这一结 论，并且，当光源发光尺寸增加到毫米量级时，光栅的t a l b o t 效应将完全消失。 2 0 0 5 年，l 0 h m 锄提出分数蒙哥马利( m o m g o m e 呦效应，即准周期性物体的 自成像现象【5 5 】。他将周期性物体的自成像现象分成了三种类型，即t a l b o t 效应、 分数t a l b o t 效应和蒙哥马利效应。详细讨论了这几种类型的自成像现象，并对它 7 山东师范大学硕一f ：毕业论文 们之间的联系进行了阐述。 最近的研究表明，t a l b o t 效应的研究不仅只局限在空域，在时域( 离散光纤) 也有着广泛的应用5 6 1 。一般来说，t a l b o t 效应属于一个广泛的物理波包再现现象f 5 7 】。 1 3t a | b o t 效应的应用 近年来，随着对t a l b o t 效应的进一步认识，其应用有了更广阔的空间。t a l b o t 效应已经在干涉测量【5 8 】、光开关【5 9 】、光学编码【删、三维显示【6 l 】、超短脉冲激光【6 2 ，6 3 1 、 光学阵列照明【6 。嘶】和光学微操纵【6 7 】等许多领域得到实际应用，除此之外在原子光 学【6 8 】、玻色一爱因斯坦凝聚【6 9 】、无线通信 7 0 1 等领域也有很多实际的应用。下面我们 介绍几种t a i b o t 效应的应用。 1 3 1t a l b o t 干涉仪 这种干涉仪包括两个r o n c l l i 光栅g 1 和g 2 ，点光源s 和准直透镜l ，单色点光源s 发出的光经l 准直后照明g l ，将g 2 放置在g l 的t a l b o t 平面q 处，产生m o n 条纹。 根据m o 条纹的形状和变化，可对激光的准直性【7 1 7 2 1 和透镜的像差 7 3 】等进行测 量。若将两块光栅平行放置，相互错位1 2 个周期，则置于g 1 后面t a 曲o t 距离处的 g 2 正好挡住了通过g l 的光线，则在g 2 后面形成暗场。在g l ，g 2 之间放入透明相位 物体，通过光线的偏折产生m o i r e 条纹，测量这些条纹可得物体的相位分布。 8 x g l 7 g 2 g l 毛玻璃 。 i j i ， o s z 图1 2 泰伯干涉仪的基本机构 1 3 21 a l b o t 光谱仪和t a l b o t 空间频谱仪5 2 r 7 4 1 当一个光栅的周期d 给定时，则纵向周期z 与波懒一一对应，短波长对应长周 山东师范入学硕i ：毕业论文 期，据此可测量波长。进而，若入射光为非单色光，比如含两种波长成分九i ，九2 ， 则纵向场含两个周期成分，互= 2 j 2 互，z ，= 2 d 2 允。推而广之，人们可以利用传 感器沿纵向直接探测场分布，将其数据输入计算机做傅里叶变换运算，最终获得 一张入射光的光谱曲线，这就是t a l b o t 光谱仪的工作原理。反过来，若入射光为准 单色光，而横向结构含两种周期成分d 1 和d 2 ，则纵向光场含两种周期成分， z 1 = 2 面2 肛，z ：= 2 钌以。推而广之，纵向场分布数据经傅里叶变换运算。其输出 曲线反映了横向结构的空间频谱，这就是t a l b o t 空间频谱仪的原理。 1 3 3t a l b o t 阵列照明器 近年来，由于衍射光学及微加工技术的发展，各种光学阵列器件应运而生。 目前已有的多种阵列照明器大致可分为四类：( 1 ) 成像平面阵列照明器【7 5 7 7 】( 图 1 3 ( a ) ) ，使用一种特殊的器件( 如菲涅耳透镜) 使光斑点阵产生在在成像平面上；( 2 ) 菲涅耳平面阵列发生器【7 8 】( 图1 3 ( b ) ) ，由特殊元件( 如基于分数嘲b o t 效应的相 位光栅) 的菲涅耳衍射产生点阵；( 3 ) 傅里叶变换型( 或夫琅和费型) 阵列照明器( 7 9 8 0 j ( 图1 3 ( c ) ) ，由特殊元件( 如d a i n m 勰n 光栅) 的傅里叶变换或夫琅和费衍射产生 点阵；( 4 ) 级联型阵列照明器【8 1 】( 图1 3 ( d ) ) ，通过几个器件依次级联将入射光束逐 次分束而形成大数目的点阵。 下面就几种二元阵列器件及其在阵列光学中的主要性能略加评述。 ( 1 ) 成像平面阵列发生器。成像平面阵列照明器可以由多种方法构造。一种 简单的方法是用一平面光照明一透镜阵列( 菲涅耳波带片或全息透镜) ，使入射光 束的不同部分直接聚焦。另一种类似的方法是由一个望远镜阵列将入射光束各部 分压缩为一个个小面元。望远镜可以是牛顿型( 伽利略型或由棱镜组成的b r 锄s t e r 型) 。第三种方法是相衬阵列照明器【7 7 ，7 8 1 ，点阵由一相位掩模产生，即通过相衬成 像( 空间滤波) 使相位透过率函数转换为点阵强度分布。进一步的研究是基于波 导实现的。光自波导表面的光栅耦合器阵列输出以形成阵列光束，由于波导中的 光强呈指数衰减，因此可能出现较严重的不均匀性。一般来说，所有成像平面阵 列发件几器都直接受到输入光束高斯分布的影响，因此，对均匀性有较高要求时， 应首先改善光束分布或测量分布并加以补偿。理论上这种阵列发生器的分束比可 以很大，因为它仅依赖于分束元件本身的