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摘要 小波理论依旧是研究的热门学科。无论在理论还是应用研究方 面，标量小波( 2 一通道小波) 都己取得了很大的成功，它的数学性质 和应用性能已被人们所认识。然而，标量小波只是小波理论的一个组 成部分，相对而言，多通道小波的内容更加丰富，并且，许多数学性 质与应用性能还不完全为人所知。所以，本文选择多通道小波作为研 究对象，主要是构造具有良好的数学性质和应用性能的多通道小波。 虽然多通道小波的一般理论并不缺乏，但具体构造具有良好性质的多 通道小波依旧是很困难的工作。即使构造了具有很好数学性质的多通 道小波，要验证它是否具有很好的应用性能也是较为困难的事情。因 为多通道小波的应用研究相对较少，加上其理论也还不成熟，所以， 要客观地比较2 一通道小波与多通道小波的性能也不太容易。， 本文的主要工作集中在具有对称性滤波器组的多通道正交小波 的理论和应用上，包括多小波和多进小波的有关内容。首先，本文研 究了一个具有普通意义下的对称滤波器组的多小波系统，它的尺度函 数和小波函数并没有线性相位，这种小波在多小波系统里并不多见。 在4 一进小波的理论和应用研究上，4 一进小波的主要工作分别有王国秋 教授的“错位”型和彭立中教授的“换位”型正交小波类，他们主要 思路都是由一支低通滤波器通过改变符号和或交换位置得到其余三 支高通滤波器。而本文提出了另外一种结构形式的“换位”型4 一进小 波，具有类似的结构性质，然后对比研究这三类4 进小波的性质和应 用性能。研究表明，在图像压缩编码应用上，与二进小波不同的是， 性能较好的多进小波往往有较长的滤波器，其长度一般在3 0 以上。 实验测试也表明，本文所构造的4 一进小波相对而言比王国秋教授的小 波和彭立中教授的小波要优。研究还表明，多通道小波似乎对纹理较 多的图像压缩编码有更好得表现，部分结果甚至超过了标量9 7 小波 的性能。本文使用s p i h t 算法作为压缩编码算法，但该算法并不利 于发挥4 一进小波所具有的优势，如何构造更为高效的压缩编码算法是 将来进一步研究的内容。 整篇论文按如下方式进行组织。第一章介绍了小波发展史和小波 在图像处理中的应用；笫二章介绍多通道正交小波的基本概念，同时， 推广m a l l a t 算法到m 通道，为后续的小波构造和应用奠定基础；第 三章主要讨论m = 2 ，r = 2 的情形，即提出构造一类新型的非线性相位 的正交平衡多小波族的一般方法和实例；第四章主要讨论m = 4 ，r = l 的情形，即4 一进小波，并提出了4 一进正交小波的一种新的”换位” 型结构，此外，从图像压缩编码角度( 主要是具有一定的正则性和消 失矩) ，计算了不同类型4 进正交小波不同长度的滤波器组。最后， 在第五章中，介绍了图像压缩领域的一些基本技术，并将三类不同的 4 一进小波和9 7 型2 一进标量小波在静止图像压缩性能方面进行了比较 分析。 关键词：多通道小波，正交性，滤波器，对称性，图像压缩 a b s t r a c t t h ew a v e l e tt h e o r yi ss t i l la c t i v ea sas u b j e c t t h es c a l a rw a v e l e t s ( 2 c h a n n e lw a v e l e t ) h a v eb e e ns u c c e e d e di nb o t ht h e o r ya n d a p p l i c a t i o n o fw h i c ht h em a t h e m a t i c a lc h a r a c t e r sa n dt h ea p p l i c a t i o n p e r l e r m a n c eh a v ed r a w ne n o u g ha t t e n t i o n h o w e v e r , t h es c a l a rw a v e l e t s i so n l yap a r to ft h ew a v e l e tt h e o r y , a n dt h em u l t i c h a n n e lw a v e l e ti sm o r e p r o f c i u n dr e l a t i v e l y , o fw h i c hm a n y m a t h e m a t i c a lc h a r a c t e r sa n d a p p l i c a t i o np e r f o r m a n c eh a v en o tb e e nk n o w nu n t i ln o w a d a y s s oi nt h i s d i s s e r t a t i o n ，t h em u l t i c h a n n e lw a v e l e tb e c a m et h es u b j e c to fo u rs t u d i e s ， a n ds o m em u l t i c h a n n e lw a v e l e t sw i t hg o o dm a t h e m a t i c a lc h a r a c t e r sa n d a p p l i c a t i o np e r f o r m a n c e w e r ec o n s t r u c t e d c o n c r e t e l yc o n s t r u c t i n g m u l t i c h a n n e lw a v e l e tw i t hg o o dm a t h e m a t i c a lc h a r a c t e r sa n da p p l i c a t i o n p e r f o r m a n c ei sad i 伍c u l tw o r k t h o u g hc o m m o n l yt h e o r i e s a b o u t m u l t i c h a n n e lw a v e l e t sa r ea b u n d a n t i ti sad i f f i c u l tw o r kt ov e r i f y w h e t h e rt h em u l t i c h a n n e lw a v e l e t sb e h a v ee x c e l l e n t a p p l i c a t i o n p e r f o r m a n c e o rn o t ，e v e nt h o u g hw ec a nc o n s t r u c ti tw i t h g o o d m a t h m a t i c a lc h a r a c t e r s m o r e o v e r , i t sn o te a s yt oc o m p a r e2 一c h a n n e l w a v e l e t sw i t hm u l t i c h a n n e lw a v e l e t so b i e c t i v e l y , b e c a u s et h ea p p l i c a t i v e r e s e a r c ha n dt h et h e o r e t i c a lv a l u ea r ey o u t h f u lr e l a t i v e l y t h i sd i s s e r t a t i o nt h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l ys t u d i e st h e4 - c h a n n e l o r t h o n o r m a lw a v e l e tw i t h s y m m e t r i c a l f i l t e r b a i l k s i n c l u d i n g m u l t i w a v e l e t sa n dm u t i b a n kw a v e l e t s w eb e g i nw i t hag e n e r a l m u l t i w a v e l e ts y s t e mw i t hs y m m e t r i c a lf i l t e rb a n k s ，w h o s es c a l ea n d w a v e l e tf u n c t i o n sh a v en ol i n e a rp h a s e a f t e rt h a t ，w ef o c u so nd i s c u s s i n g t h e4 b a n kw a v e l e t s p r e v i o u s l yp u b l i s h e dr e l a t e dw o r k sm a i n l yc o m e f r o m “c r o s s u b a n kw a v e l e t sp r o p o s e d b yp r o f e s s o rg u o q i uw a n g a n d s l l i f t 4 - b a n kw a v e l e t sp r o p o s e db yp r o f e s s o rl i z h o n gp e n g ，t h em a i n i d e ao fw h i c hi st h a tt h r e ef i l t e rb a n k sc a l lg a i nf r o mo n ef i l t e rb a n kb y c h a n g i n gs y m b o l sa n d ( o r 、p o s i t i o n s w bp r o p o s ea n o t h e rn e wf o r mo f “s h i f t ”4 b a n ka n dc o m p a r et h ep r o p e r t i e sa n dp e r f o r m a n c e so ft h e s et h r e e k i n d so f4 b a n kw a v e l e t si ni m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n ga p p l i c a t i o n r e s e a r c h e si n d i c a t et h a tb e t w e e n2 b a n ka n d4 一b a n kw a v e l e t st h e r ei sa d i f f e r e n c et h el e n g t ho f4 b a n kw a v e l e t sw i t hg o o dp e r f o r m a n c e su s u a l l y i sa b o v e3 0 e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa l s os h o wt h a tt h e4 一b a n kw a v e l e t c o n s t r u c t e di nt h i sp a p e rp e r f o r m sb e t t e rt h a nt h o s ep r o p o s e db yp r o f e s s o r g u o q i u 、a n ga n dl i z h o n gp e n g f u r t h e r m o r e ，r e s e a r c hr e s u l t ss h o w t i l a tt h em u l t i c h a n n e lw a v e l e t sd ow e l li nc l o s e g r a i n e dt e x t u r eu n a g e c o m p r e s s i o nc o d i n g ：s o m er e s u l t sp r e p o n d e r a t eo v e rt h o s eo ft h es c a l a r 9 7t a pw a v e l e t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n w eu s es p i h ta l g o r i t h ma st h e c o m p r e s s i o n c o d i n ga l g o r i t h mh o w e v e r , s p i h td o e sn o t f a v o rt h e p r o p e r t i e so ft h e4 b a n kw a v e l e tt r a n s f o r n l h o wt oc o n s t r u c tm o r e e m c i e n tc o m p r e s s i o nc o d i n ga l g o r i t h m si sl e f ta so t f ff u t u r ew o r k t h i sd i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c e t h eh i s t o r yo ft h ew a v e l e t sa n db r i e f l yd i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e t s i ni m a g ec o m p r e s s i o n i nc h a p t e r2 b a s i cn o t i o n so fm u l t i - c h a n i l e l o r t h o n o n n a lw a v e l e t sa r ei n t r o d u c e d m e a n w h i l e ，t h em a l l a ts c h e m ei s e x t e n d e dt om - c h a n n e ls p a c e ，w h i c hi st h ep r e l i m i n a r yo ft h ew a v e l e t t h e o r ya n da p p l i c a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ep r o p o s eag e n e r a lt e c h n i q u et o c o n s t r u c tan e wc l a s so fb a l a n c e do r t h o n o r m a lm u l t i w a v e l e t sw i t h o u t l i n e a rp h a s eb ya d o p t i n gm = 2a n dr = 2 i nc h a p t e r4 ，w ea d o p tm = 4a n d r = 1 h e n c et h eu s u a l4 b a n kw a v e l e t w ep u tf o r w a r dan e wf o r mo f “s h i f t ”4 b a n ks t r u c t u r e a n dc o n s t r u c t4 - b a n kw a v e l e t sf a m i l yd i f i e r e n t f r o mt h o s ep r o p o s e db yp r o f e s s o rg u o q i uw a n ga n dp r o f e s s o rl i z h o n g p e n g f u r t h e r m o r e ，w ec a l c u l a t ea l lt h e s ef i l t e r b a n k sw i t hd i f i e r e n t l e n g t ha c c o r d m gt oi m a g ec o m p r e s s i o nc o d i n gt e c h n i q u e ( r e g u l a r i t ya n d v a n i s h i n g ) i nc h a p t e r5 ，w ef i n a l l yi n t r o d u c et h eb a s i ct e c h n o l o g i e sa b o u t i m a g ec o m p r e s s i o n b e s i d e s w ec o m p a r et h ep e r f o r m a n c e so fa l l t h e s e t h r e ek i n d so f4 b a n kw a v e l e t sa n dt h es c a l a r9 - 7t a pw a v e l e t si ni m a g e c o m p r e s s i o n k e yw o r d s ：m u l t i - c h a n n e lw a v e l e t ，o r t h o g o n a l i t y , f i l t e rb a n k s ，s y m m e t r i c ， i m a g ec o m p r e s s i o n i n 具有对称或反对称滤波器组的多通道正交小波 1 1 小波发展历史 第一章绪论 小波分析( w a v e l e t sa n a l y s i s ) 是一门发展相当迅速的新兴学科， 一开始就引起了众多数学家和工程师的高度重视。经过十多年的发 展，小波分析已经具有了深刻的理论意义和广泛的应用范围。小波 分析是一种信号的时间频率分析的方法，在时频两域都具有表征信 号局部特征的能力，所以拥有数学显微镜的美誉。由于小波具有多 分辨分析的能力，可以对信号和图像在不同尺度上进行分解，在图 像压缩方面的潜力已经得到了公认。目前小波分析还在地球物理勘 探、信号信息处理、图像处理、语音、故障诊断、雷达信号分析、 地震、生物医学、机械震动、湍流分析等领域都有应用，成为了多 学科交叉的热点，是信号处理分析强而有力的工具。 小波分析方法最早提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的规范 正交基，以及1 9 3 8 年l i t t l e w o o d - p a l e y 对傅里叶级数建立的l p 理 论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八十年代初，便有科学家开 始使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1 9 8 4 年法国 地球物理学家m o r l e t 引入小波的概念，在分析石油勘探中的地震信 号时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开。1 9 8 5 年， 法国数学家m e y e r 成功地构造出了具有一定衰减性的光滑的小波正 交基，随后不久m e y e r 和他的学生l e m a r i e 提出了多尺度分析思想。 1 9 8 7 年，m a l l a t 利用多分辨分析的概念，统一了在此之前的各种具 体小波基的构造，不久提出了现今广泛应用的m a l l a t 快速小波分解 和重构算法【l j 。在1 9 8 8 年，年轻的比利时女数学家d a u b e c h i e s 【2 1 提 出了构造具有紧支集的光滑正交小波基的有效方法，1 9 9 2 年，c o h e n 、 d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 系统地研究了双正交小波基的概念p ，4 j ，并构 造了一系列双正交小波族，从而推动了小波分析的理论和应用的研 究。在离散小波领域中，王国秋教授 5 , 6 , 7 1 提出离散超小波概念，并成 功地用矩阵方法构造了带有一定自由度的参数小波族，这不但包容 了以前的传统小波，而且还可以构造满足一定应用需要的有理型小 波，这无疑推动了离散小波进一步的理论和应用研究。相对于国外， 我国对小波理论研究起步较晚，且集中在应用领域方面，如信号去 噪、图像压缩、机械故障检测等方面。目前，国内小波著作主要有 崔锦泰等的小波分析导论【8 】，程正兴的小波分析算法与应用【9 】，杨福 生的小波变换的工程分析与应用i l 训，等等。 硕士学位论文 到目前为止，小波分析已经成为了当前发展最快和最引人注目 的学科之一，他几乎涉及并应用到信息领域的所有学科。在研究小 波分析理论发展过程中，发现他与工程技术上一些已经发展起来的 实际应用的问题密切相关，可以看成是从不同角度应用小波的特例， 这些无不与小波变换理论息息相关。在9 0 年代初，为了进一步提高 小波计算速度、简化小波实现难度等，由s w e l d e n s 等人提出了利 用提升矩阵构造小波变换的整数变换方法，不仅构造了新的小波变 换，而且进一步地降低了小波变换的整数变换的计算复杂性，这就 是九十年代初称做的第二代小波。 目前，小波变换理论已经由一维发展到多维，尤其在九十年代 的第一个应用阶段获得了巨大的成功后，人们开始更进一步探索新 理论，其中比较吸引人的有多小波、多进小波等。 多小波：首先由g o o d m a n t l 2 1 等人于1 9 9 4 年构造了第一个多小 波- g h m ，随后不久c h u i l l 3 1 等构造出了c l 3 和c l 4 等，这些多小波 因克服了二进标量小波先天缺陷而自身同时拥有诸多优点如紧支撑 性、正交性、对称性等，从而吸引了众多学者，如s t r e l a 1 4 】等人研究 了多小波的正交性、逼近性和两尺度相似变换。然而，为了克服在 实际应用中的一些问题，由许多学者做了大量工作，如x i a 1 5 , j 6 设计 了一些多小波的预滤波器；l e b r u n 和v e t t e r l i 1 7 , j8 提出了平衡多小波 概念，并给出了相应的设计方法；x i a 和j i a n g 伸，2 0 ，2 1 】基于最优时频分 析特征构造出平衡多小波。迄今为止，多小波的研究仍然很活跃。 多进小波：多进小波是近几年才新兴起来的研究课题。目前， 该领域出色的研究工作集中在c h u i 和l i a n 2 2 1 、h a n 2 3 1 、彭立中 2 4 , 2 5 、 王国秋【2 6 j 和黄达人 2 7 1 等人上。其中彭立中等教授在文 2 5 给出了构 造2 “带优美小波系统的一般方法，并对四进小波滤波器总结了一一个 优美的结构形式( 本文称作”换位”型结构) ，还有王国秋教授1 2 6 提出了双对称概念，利用对称低通滤波器系数的自相关正交性，成 功地构造了具有灵活结构( 本文称作”错位”型结构) 的紧支撑集 的四进正交小波，这无疑开创了多进小波复杂矩阵滤波器在时域方 面的构造先河，为应用研究提供了方便之门。当然，对多进小波的 研究还不是很深刻，其理论和应用成果相对而言还比较零散，从目 前出现的这几种灵活结构所表现出来的性质来看，相信将来有一天 会在应用中表现不凡。 1 2 小波在图像压缩中的应用 多媒体技术是一种全数字技术，文字、图形、图像、视频、动 画和声音都可以用数字化的形式表示，而图像信息是数字化多媒体 具有对称或反对称滤波器组的多通道正交小波 信息的主要组成部分。由于小波变换【2 9 3 0 】具有良好的时频局部化性 能，因而广泛地应用于图像处理领域 3 1 , 3 2 , 3 3 】，其中小波最重要的应用 之一是图像压缩 3 4 , 3 5 。， 图像数据之所以能够进行压缩主要原因之一是原始图像信息存 在着很大的冗余度，数据间存在很大的相关性。正由于小波变换具 有很好的去冗余性、去相关性、对适合小波变换的图像压缩编码算 法的探索已成为当前热点之一，在众多基于小波变换的图像压缩编 码算法【36 ，” 3 踟中，比较成熟的有由j m s h a p i r o 等人首先提出来的嵌 入式零树编码【3 6 】( e m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t ，简称e z w ) ，它是第 一个使用零树编码的小波图像压缩算法，有效地利用了小波图像中 各级子带间的相似性和带内相关性，可根据图像清晰度要求在任何 地方停止编码；s a i d 和p e a r l m a n 根据e z w 算法的基本思想，进一 步地利用到零树间的冗余，提出了一种新的且性能更优的实现方法， 即基于分层树集合分割排序( s e tp a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ，简 称s p i h t ) 的编码算法【3 7 】，该算法在不同的比特率下比e z w 算法的 峰值信噪比( p s n r ) 都有所提高，因其优越的编码性能常被用作比较 标准。因此，本文在第五章中实现不同小波变换的图像压缩时，采 用的是嵌入式编码算法中最具有代表性的一种算法，即s p i h t 编码 算法。 硕士学位论文 第二章m 通道正交小波 引言 小波滤波器组的构造是小波理论研究和应用中的一个关键因 素。目前诸多的滤波器组在各个应用方面各有千秋，如计算简单的 h a r r 小波、时频两域局部化较好的m o r l e t 小波、常用于计算机视觉 的m a r r 小波、曲线拟合中常用的样条小波、d a u b e c h e i e s 正交小波 和双正交小波等，其中在图像压缩方面著名的整数型5 3 双正交小 波和浮点型c d f 9 7 双正交小波，他们已经被j p e g 2 0 0 0 采用。尽管， 5 3 和c d f 9 7 小波的应用效果比较好，但他们是双正交的，这是在 正交性和滤波器系数的对称性无法同时满足的情况下不得以妥协的 产物。而且，所有这些常见的小波几乎都只有低通和高通两支滤波 器，是基于二进标量小波的多分辨分析构造的，而目前所研究到的 数学特性如连续性、正交性、对称性、紧支撑性等，他们都不能集 美于一身。因此，我们将放宽寻找小波基的范围，考虑如何构造m 通道正交小波这个问题上来。本章首先着重介绍m 通道滤波器组和 计算实现方面的一些基本概念，然后从多支低通和高通滤波器即m 通道滤波器组【埘，2 ) 出发，讨论构造具有更多优良数学特性和更好 应用价值的m 通道正交小波。 2 1m 通道正交小波概念 定义：设m z + ，m 2 ，记中= 疵，矿：，】7 ，甲”= ，4 ，1 5 f ，：“，一，” 7 ， 疵孵r ( r ) ，1 i ，1 h m 一1 ，中和t “都是r 维向量函数，而且满 足： o ( 茁) = 4 - f f z h , 中( m x - k ) ( 2 1 ) p 甲”( x ) = 4 面z g ；中( m x 一女) ，1 ”m 一1 ( 2 - 2 ) 形) 是三2 ( 月) 中一序列嵌套线性闭子空间，若坤m = 觇( m ，x t ) ) 二是 _ 正交基，即就是p ( x 徊o f ) 出= 磊，称中为正交尺度函数，记 是巧在巧+ ，中的正交补，即_ + = 巧o ，若 嘭。 = 孵( m x t ) 如， 1 ”蔓m 一1 是矿，的正交基，称甲”( 1 茎n 蔓m 一1 ) ，为一正交小波函数， 具有对称或反对称滤波器组的多通道正交小波 其中( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的以和钟( 1 肝肘一1 ) ，为有限支撑r x r 的常 实系数矩阵序列，称 h ，g 组成了m 通道正交滤波器组。 ， 由上述定义有以下总结： ( 1 ) m 通道是指向量尺度和向量小波函数个数之和为m 个， 而且他们的向量尺度和向量小波函数都有r 个分量函数； ( 2 ) 滤波器组不再像二进标量小波一样仅有一支低通和一支高 通滤波器，而是相应的有一组低通矩阵滤波器和( m - 1 ) 组高通矩阵 滤波器，且矩阵滤波器的维数是，实际上也可以看作有m xr 支滤 波器； ( 3 ) 正由于多支滤波器的出现，而且这些滤波器之间并不一定 像标量二进小波一样有明确的低通和高通滤波器关系，这无疑在构 造方面将变得复杂的同时，也容许了更大的自由度，这也为考虑其 数学特性提供更多的活动空间。 2 2 滤波器组的正交性 为了分析滤波器组时域上正交性，我们从尺度函数的正交性条 件开始考虑： p ( x ) 巾7o - 0 d x = 卜历i h 。中( 尬一r ) 面中7 ( m x - n j ) h j d x j = 甄( p ( x k ) 0 7 ( x m l j ) d x ) h y k j = h 。日j k 由p ( x 归7 0 一，) 出= j 0 f ，就可以得到+ 。h ；= 瓯，同样由小波 函数与尺度函数相互之间的正交性，就可以得到下面关于m 通道正 交滤波器组( h ，g ) 的关系式： h t h ；= 6 。| l r h m i + 。( 研) 7 = 民， ( 2 - 3 ) g g ：8 0 j 6 。jr 硕士学位论文 通常，构造m 通道滤波器组可以从正交性条件( 2 - 3 ) 入手，然 后再考虑其他应用约束条件。比如，我们熟悉的二通道完全重构滤 波器组和二通道标准正交镜像滤波器组等等，还有文 2 2 ，2 4 也可以 归类到m ( = 3 ) 这种情形来。 本文后面几个章节就是从正交性条件( 2 3 ) 出发，着重考虑四 支滤波器，根据实际应用背景，提出相应的约束条件，构造了具有 对称或反对称滤波器组并具有实际应用所期望的数学特性的多通道 正交小波，比如当m = 2 ，r = l 时，就是传统小波即二进标量小波， 它的理论和应用及其改进已经有了不少的研究，具体可以参考文 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 】，如果r = 2 ，就是通常所说的复杂度为2 的正交多小波， 相关的研究可以参考文 1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，本文具体的 构造详见第三章；当m = 3 时，相关的研究可以参考文 2 2 ，2 4 ；当 m = 4 ，r = l 时，就是我们称作的四进小波，相关的研究可以参考文 2 3 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，本文的构造详见第四章。 2 3 滤波器组的其他性质 2 3 1 消失矩性质 消失矩性质是小波理论中一个非常重要的概念，它不但在小波 构造中起到了非常重要的作用h ，而且它还在图像信号压缩中处于举 足轻重的地位。 小波函数的消失矩： 如果称小波函数0 ) 相应的高通滤波器 g ；”， 有n 阶消失矩，就 有 f x y g = o ，k = 0 , 1 ，n 一1 ( 2 - 4 ) 成立，而且式( 2 4 ) 等价于下面离散等式( 2 5 ) i g ；哪= 0 ，k = 0 , 1 ，n 一1( 2 - 5 ) i 消失矩性质表现为相应函数光滑的程度，对数据压缩来说，希 望高通滤波器有较高的消失矩，因为消失矩的阶数越高，压缩性能 就越好。 2 3 2 滤波器组系数的对称性和线性相位 如果定义一序列和( n ) 若满足口( ，z ) a ( n1 刀) ，则称为对称的， 若满足4 ( n ) a ( n1 一一) ，则称为反对称的。在图像编码实际离散应 具有对称或反对称滤波器组的多通道正交小波 用中，非对称滤波器与对称滤波器相比，人眼对非对称滤波器引入 的误差比对称滤波器引入得误差要敏感，而且非对称滤波器并不利 于处理图像边界，也不利于节省计算资源，因此，在子带编码中应尽 可能地要求滤波器系数满足一定的对称性。 设f l 2 ( r ) ，如果厂的f o u r i e r 变换满足 f ( r o ) = if ( c o ) h 咖( 2 - 6 ) 其中伊( 甜) = k c o + 6 ，( 屯b 是实常数) ，则称厂具有线性相位，p ) 称为厂相 位函数。 线性相位在工程应用上也是一个比较重要的概念，因为信号经过 线性相位滤波器滤波以后，在相差一定延迟的条件下总可以准确重 构，即可以避免相位失真，而在数字图像处理的应用领域，相位失 真常会对滤波结果带来一定的负面影响，尤其可以引起重构图像在 边界的失真问题。因此，线性相位也是我们考虑的条件之一。然而， 在二进标量小波中，线性相位与正交性之间的存在不可调和的矛盾 ( 除h a r r 小波特例外) ，为此，不得不弱化正交性，用双正交性取 代正交性，引入具有线性相位的小波，此时，线性相位才等价于滤 波器系数的对称性。 如果考虑到多维小波，如多小波和多进小波。在多小波中，尽 管许多学者研究了一些光滑且具有线性相位的正交多小波，但大多 数正交多小波经过平衡化处理后并不具有应用中所期望的滤波器系 数的对称性。因此，多小波( 除h a r r 多小波) 也同标量小波类似， 在正交性、线性相位、滤波器系数对称性和多小波本身数学性质( 如 平衡性) 等方面常常顾此失彼。庆幸的是到了多进小波中如四进小 波，这种线性相位、滤波器对称性等关系的矛盾将不复存在。 2 4m 通道正交变换矩阵 类似在文 5 】中定义的标量小波循环矩阵，下面定义m 通道正交 变换矩阵。 定义：设n 是一足够大的正偶数，若满足正交条件( 2 3 ) 的m 通道正交滤波器组 也) ( 1 兰k 茎c 0 ，a o z + ) 和 赋监1 ( 1 k a n , z + ) 按照如下形式组成n x n 维矩阵a ，我们称m 分块循环矩阵a 。为m 通道的正交变换矩阵。 它的矩阵形式如下： b i ，表示一。的( f ，) 分块m m 维矩阵， 那么： 当i = 1 , 1 ，b i ，= h j ； 硕士学位论文 当f = 等+ 1 ，1 ，钒，1 s 吖_ 1 ，e 广嘭； 当扛百n ? i + 1 ，+ 1 _ ，蔓，。兰珂m - 1 , b i j = q ； 当等+ 2 f 兰型号竽，m + 1 j l 的情形，为了便于以后叙述，我们把这种 二通道矢量小波统一称作多小波。多小波是对传统二进标量小波的 推广，它克服了在二进标量小波中除特殊的h a r t 小波之外，不存在 对称、紧支撑、正交实小波这个先天缺陷，因而吸引了众多学者的 目光。1 9 9 4 年，g o o d m a n 等 1 2 人基于，重的多分辨分析，提出了多小 波概念，并建立了其基本理论框架，同年，g e r o n i m o 等利用分形插值， 首次成功地构造了具有正交、短支撑集、实对称等特性的g h m 多 小波。随后不久，c h u i 和l i a n 1 3 1 通过研究多小波的正交性、紧支撑 性、对称性和插值性等，利用对称性构造了c l 多小波系列。s t r e l a 等1 1 4 】从时域和频域研究了多小波的正交性、逼近性以及两尺度相似 变换。为了解决应用中信号预处理问题，有x i a 1 5 , 1 6 提出了预滤波方 法，但是，预滤波器的设计很有技巧性和偶然性，为此l e b r u n 和 v e t t e r l i 【ll 博1 提出了可以避免预滤波的平衡多小波概念和因式分解以 及设计方案，还构造出了一些高阶平衡多小波。x i a 和j i a n g l l 9 ，2 0 ，2 l 】 利用时频分析中窗函数特征，构造出了具有最优时频分辨率的平衡 多小波。然而，这些正交多小波虽然有良好的数学性质，但由于多 滤波器组的对称性并不等价于其多小波的尺度函数和小波函数的对 称性到目前为止，所设计的平衡小波的滤波器组大都不具有标量小 波滤波器组的对称性。本章重点关注滤波器组的对称性，构造了一 类新型正交多小波，尽管它的尺度和小波函数丧失了线性相位，但 它具有应用中所期望的滤波器组的对称性、平衡性和高阶消失矩性 等数学性质。 3 1 多小波的基本概念 3 1 1r 重多分辨分析 r 重多小波的多分辨分析由g o o d m a n 等1 2 1 提出，是指一个函数 子空间序列杪，z ，满足如下条件： 亡c lc ，z ； u ，。zy ，= l 2 ( e ) ，n 。zv j = 0 1 ； ，( f ) 营f ( 2 t ) 矿十l ； 具有对称或反对称滤波器组的多通道正交小波 记巾= 【办，矿：，妒，】7 ，庐l 2 ( r ) ，1 ，r ，使得形，o 一后) ：1 s ，r ，k z ) 是的一组正交基。 m 满足尺度方程 ， 。( r ) = 4 2 z h 。巾( 2 t 一七) ( 3 _ 1 ) 记是巧在+ 。中的正交补，即_ + = _ o 。记 、王，= 【妒l ，伊2 ，伊，】7 ，尹，l 2 ( r ) ，i _ ，r 。女果 伊，( 2 。一| i ) ：1 s ，r k z 是 矿，的一个正交基，则称甲= c o 。，妒：，仇】7 为一个正交多小波。 甲满足方程 掣( f ) = 压g 。m ( 2 卜c ) ( 3 - 2 ) 在( 3 1 ) 和( 3 2 ) 中，h 。和伉为有限支撑r x r 的常系数矩阵序列，且满 足 其中，和o ，分别表示，单位矩阵和零矩阵，4 是一个脉冲信号a 显然，以上定义的多小波实际上就是第二章介绍的m = 2 的情形， m 通道滤波器组的正交性条件( 2 3 ) 就转化为r 重多小波滤波器组 的正交性条件( 3 - 3 ) ，因此，多小波的构造通常就从滤波器正交性 条件( 3 3 ) 开始。 3 1 2 平衡多小波 在二进标量小波变换中，如果小波具有n 阶消失矩，而信号服 从m ( m n ) 次幂函数分布，那么高通分量都等于o ，只有低通分量就 可以重建信号。然而，多小波不具备像传统标量小波这样的性质， 理论上近乎完美的多小波，在实际应用因不具备平衡性而遭受到诸 多批评。因此，多数多小波直接用于图像编码时需要对信号进行相 应预处理，即设计预滤波器 1 5 , 16 进行平衡化处理。而避免复杂的预 滤波的有效做法就是构造l e b r u n 和v e t t e r l i 提出的平衡多小波。 平衡多小波u ”定义： 设低通和高通滤波器组的分块t o e p l i t z 矩阵分别为： 饵 | l 刮 = i j + 豫瓯岛 肌g呵 d，d， 硕士学位论文 q 马q 凰 耳呸马h 4 h th ! h 3 卜 qggg 4 g i 呸gg 一 6 ig 2g 设信号= 2 - 【一，( _ 2 ) ”，( 一1 ) ”，o ”，1 n , 2 ”，r ，如果满足 f “。= “。，( n = 0 , 1 ，2 ，一，m 一1 ) ( 3 - 4 ) 则说该多小波是m 阶平衡的。 根据多小波的正交性质： l t k 7 【三 = l 妻 p k 7 = ， 可得r 工+ k = ，l l r = ，l k7 = 0 ，k l 7 = 0 ，k k 7 = i 。 由上面条件可以推出正交多小波肌阶平衡的充要条件： j l u ”= 2 - n u 疗：o ，珊一1 ( 3 5 ) 其中q 分别表示r r 单位矩阵和零矩阵。 3 2 具有对称滤波器组的正交平衡多小波的构造 本节考虑，= 2 的情形。此时，两个矩阵滤波器组 h k ) 和 g 。 中 实际上有四支滤波器。在以往的工作1 9 ，2 叩1 1 中，矩阵滤波器组 巩) 和 g 。) 实际上也具有某种形式的对称性，只是它们对应的四个滤波器 不具有标量双正交小波那样的对称性，而且即使他们的滤波器有类 似我们所述的对称性，却它不是平衡的，一旦平衡化处理，其对称 性也就丧失了。而且到目前为止，所设计的平衡小波的滤波器组大 都不具有标量小波滤波器组的对称性。因此，本节提出的滤波器的 对称性实际上就是指对应的四支滤波器具有标量双正交小波l7 j 那样 的对称性，即非零元素部分中心对称性或反对称性。 设矩阵滤波器组 风) 和 g 。 的长度都是l e n = p + 1 ，p 为正的偶 数。定义两个矩阵： s = e o l ： 矛n ，= ? ： 。 定义一个序列：融 = 岳，h 川，h ：，h 。h ，h ：， 这里h i , 五：，h 川，h ，为p 个实数。 具有对称或反对称滤波器组的多通道正交小波 再定义另一个序列： 僻) = 0 , 0 , t ，t p + ，t ：。t ，f ：，f 川， ， 1 竹 2 l e n 。这里f 。= ( 一1 ) - ”j h t ，i = l ，p ，“u 2 j ”是整除函数，值是 i 除以2 的商的整数部分，例如，i ：1 时值为0 ，i = 2 或3 时，值为1 ， i = 4 或5 时，值为2 。 这两个序列的非零元素实际上是对称的。现在，我们用这两个 序列构成 风 ，即令 耻隐针l i 2 ，r = l 的情形。到目前为止，对多进小波的研究已引起了 众多学者的高度关注。在3 进小波的研究中，具有代表性工作的有 c h u i 和l i a n l 2 2 j 、p e n g 2 4 j 等，其中p e n g 在文【2 4 中给出了3 一进紧支正 交小波系统完全参数化形式和代数结构，并构造了一些具有较小支 集的对称小波；在4 一进小波中，h a n l 2 3 1 和黄达人【