（基础心理学专业论文）小学生数学图式的形成机制与两种教学方案的对比的实验研究.pdf

摘要 皮亚杰的发生认识论蕴藏着丰富曲教育含义，对中小学数学教 学尤其具有指导意义。在皮亚杰看来，教学知识是运演的运演”； 数学知识的获得是主体在心理上建构某种结构的过程；在这一过程 中，问题或问题情境引起主体心理上的不平衡，新的平衡状态的到 来，是问题解决的过程，也是结构建构的过程。 另一方面，在现实的教学活动中，问题解决武的教学从来与系 统知识的学习相一致。布鲁纳所提倡的发现法，以及近二十年来在 英美等国中小学数学教学中被广泛运用的问题教学法，均不利于系 统知识的掌握。力刁 本研究试图就问题教学法对于小学生数学图武形成的适合性问 题进行初步探讨。本研究以小学生分数圈武的形成为具体内客，其 实证部分包括：1 关于分数图武的访谈；2 关于两种教学方案的对 比实验。研究结果表明： 1 。分数圈武是在数与敷的比较关系中，将标准量等分， 以 。量度”另一个数； 2 现行教材以讲解的方式试图。传授”一种“分一取”模式， 易于形成刻板的操作模式； 3 本研究所提出的新的教学方案，能促进学生内部圈式的形 成； 4 从分教圈式的形成过程来看，新图武的形成是改组原有图 武的过程，也是问题解决的过程。 关键询：圈武建构分数解避籍疑讲授法 a b s t r a c t t h e r ea r ea b u n d a n ts i g n i f c a n te d u c a t i o n a lm e a n i n g si n p i a g e t sg e n e t i ce p i s t e m o l o g y ，e s p e c i a l l yt o i n s t r u c t i o n o fm a t h e m a t i c si np r i m a r ys c h 0 0 1a n dm i d d l e s c h 0 0 1 f r o m p i a g e t 8p o i n t o fv i e w m a t h e m a t i c sk n o w l e d g ei s8 n o p e r a t i n go fo p e r a t i o na n dt h ea c q u i r e m e n to fm a t h e m a t i c s k n o w l e d g e i sap r o c e s so fc o n s t r u c t i o gs o r a ep s y c h o l o g i c a l s t r u c t u e r ；d u r i n gt h ep r o c e s s ，p r o b l e mo rp r o b l e ms i t u a t i o n c a u s e st h e s u b j e c ti n t oa st a t eo f p s y c h o l o g i c a l u n e q u ili b r i u m ；t h ea r r i v a l o fp s y c h o l o g i c a le q u i li b r i u mi s b o t hap r o c e d u r eo f p r o b l e m - s o l v i n g a n dap r o c e s so f c o n s t r u c t i o no ft h es t r u c t u r e o nt h eo t h e rh 越p r o b l e m - s o l v i n gi n s t r u c t i o nh a s h a r d l yb e e ni na c c o r d a n c ew i t h t h el e a r n i n go fs y s t e m a t i c k n o w l e d g ei nt h ep r e s e n ta c t i v i t i e so ft e a c h i n g d i s c o v e r y m e t h o dw h i c hw a ss u g g e s t e db yb r u n e r t o g e t h e rw i t h p r o b l e m - s o l v i n gi n s t r u c t i o nm e t h o dw h i c hh a s b e e n w i d e l y a p p ll e di nt h et e a c h i n g o fm a t h e m a ti c s i n p r i m a r y a n d s e c o n d a r ys c h o o l si na m e r i c aa n db r i t i s ha r eu n f i tf o rt h e m a s t e r i n go fs y s t e m a t i ck n o w l e d g e t h i sr e s e a r c ht r i e st os e e k t h ef i t n e s so ft h ea p p l i c a t i o no fp r o b l e m - s o l v i n gm e t h o dt oc o n s t r u c tt h es c h e m e o fm a t h e m a t i c sb ye x p l o r i n gt h ec o n s t r u c t i o np r o c e s so f s c h e m eo ff r a c t i o no fp u p i l t w o p a r t so fo b s e r v a t i o n w e r ei n v o l v e d ：1 e x p l o r i n gp u p i l7 9s c h e m eo ff r a c t i o nb y c li n i c 氇lm e t h o dl 幺c o m p a r a t i v ee x p e r i m e n t so f t w om e t h o d o fi n st r u c ti o n r e s u lt si n d i c a t e d ： 1 t h es c h e m eo ff r a c t i o ni s i nar e l a ti o n s h i po f c o = p a r i s i o nb e t w e e nt w on u m b e r s t h es t a n d a r dq u a n t i t yi s d i v i d e de q u a l l y ，a n di t i su s e dt om e a s u r ea n o t h e rn u m b e r 2 o r a lt e a c h i n gm e t h o di np r e s e n tt e x t b o o k so fp r i m a r ys c h o o lm a t h e m a ti c st h a t t r i e st ot e a c h 直m o d e lo f d i v i s i o n - t a k i n g ”e a s i l y l e a d st oas t i f fo p e r a t i o n a l m o d e l 3 an e ww a yo fi n s t r u c t i o nw a ss u g g e s t e db y u s i n g t h e s o l v i n go fp r o b l e mt oa c c e l e r a t e t h ec o n s t r u c t i o n o fi n n e r h 鲫 4 f r e mt h ec o n s t r u c t i o np r o c e d u r eo ff r a c t i o n , i ti s c l e a rt h a tc o n s t r u c t i o no fai l e ws c h e m ei sap r o c e d u r eo f r e o r g a n i z i n gt h ef o r m e rs c h e m e & 8w e lla st h ep r o c e d u r eo f t h es o l v i n go fp r o b l e m k e y w o r d s ： s c h e m eg d n s t r u c t i o nf r a c t i o n p r o b l e m - s o l v i n g o r a lt e a c h i n gm e t h o d 小学生数学图式的形成机制与两种教学方索的对比 的实验研究 第一部分理论背景与研究构想 皮亚杰研究几童心理上逻辑数理图式的建构过程，以阐速认识 的本质。他的理论具有丰富的“教育含义”；对于中小学数学教学 尤其具有指导意义。本文在这一部分试图对皮亚杰理论及其对教 育的影响( 特别是对中小学数学教学的影响) 作一简要分析与回顾。 并同时提出本文所要研究的问题。 一、皮亚杰的围式建勰论 皮亚杰以其独创性研究，建立了发生认识论体系+ 。他用发生 掌的方法。从事，丸童心理学的研究目的在于由此探讨认识论问 题。”1 其研究宗旨属于认识论范畴；研究的实证方面、也是其 研究的主体内客刚属于儿童心理学范畴。 皮亚杰曾这样概括他的理论，他是要“用一个将结构主义年口建 构主义紧密连结起来的理论”来说明。认识的获得”，心1 发生认 识论的中心问题是操讨结构的形成机制。 1 他的理论包括“结构” 孝“建构”两个相互关联的方面。具体而言，他用儿童心理上的、 标志着不同智力水平的逻辑数理图武的形成与发展过程，来解释认 识的本质。因此，图式建构的观点是发生认识论的核心所在；关于 图武建构的访谈研究也构成其实证研究曲主体内容。 那么，圈武建构理论究竟包括唾些具体内容? 本文拟从如下方 面进行探讨。 t 一7 何为。盈式” 发亚杰的图武概念源自康健哲学。在康德哲学中，。图式”是 辛皮亚杰泰人以“发生认识论”指称自己的理论；其理论包括“结构”和“建杓” 爵j 、方面，又鼓嚣为“结构主义”或。建构主义一：其理论划分出儿童认知发展薪段 被儿童心理学孽们袜荛。认知发展阶段理论”。 l 天斌的它“作为预先确立的条件”面“组织经验”。h 1 欧洲大 陆哲学从康德丹始转为以主体为轴心来研究认识论。 1 在“以 主体为轴心”这一点上皮亚杰与康德一脉相承；在圈式的来源问题 上，皮亚杰却抛弃了康德哲学的先验论。发亚杰的圈式概念是指主 体与坪境相互作用面。生成”的动作或心智活动的结构。无可否认， 存在由遗传两来的图武，但绝对的先验圈武则是不存在的。 具体丽言，“图式是指动作的结构或组织”m 1 是动作之中 普遍存在的，并且可以从一种情境转移到男一种情境的东西。” 1 圈式包括如下几方面涵义：一、操作性，它指主体实际的( 感知运 动阶段) 或心智的f 感知运动以后的阶段) 操作活动；二、协调性， 图武不是孤立的单个的动作，而是协调化了的动作；三、概括性， 图武是概括化的、模式化的活动。这里所谓的概括化，并不是从外 界客体中抽绎出什么东西，面是指主体动作模式对外幂情境的超越， 即以一定的模式对待发生了某种变化的情境。 与“圈式”相关联的还有。结构”、。运算”两个概念。“结 构”是。圈式”的同义语。在皮亚杰的著述中，这两个概念经常互 换使用，只是前者更多地用来指称个体拥有的全部智力操作体系， 后者更多地用来指称特定的智力操作模式。运算是达到守恒的图式 或结构。通过反演可逆与互反可逆“使整个体系中的某些特征保持 不变，”此时运算巳获得守恒。守恒概念可作为一个运算结构是 否完成的心理指标。”“8 】 ( = ) 围式形戚的机w 图式作为一种心智结构，其形成与发展体现在主体对环境的适 应过程中。适应通过同化和腰应两种机能面实现：将客体纳入已有 动作圈武叫同化；改变动作图式以容纳有“阻抗”作用的客体，叫 顺应。通过这两种机能的不问断的作用，心智结构不断地趋向于新 的平衡。那么，。平衡，究竟是怎样的一种状态? 皮亚杰指出“乃 是在把外物不断地同化于活动本身和这种同化的图式顺盛于事物本 睾。( ) p e l - a t i o a ”一词先后难“运算”、“运痕”两种译法，无宴质差异。概 忿”总是薹台着操作“匿式”，且操作露武又可内亿为鬣念，嚣此，“结构”，“阿 武”，。税念”三个鬣忿也可互换使用。 2 身之阔的一种平衡状态。”旧1 也就是说，一方面既不要以贫乏的 图武对客体作过份的两亿；另一方面也不要对外界客体非实质性的 变让作过份的顺应。简言之，即是以适当的图式有效地作用于环境。 新图式的形成，总是意味着原有图式的改组，也就是“烦应 发生的过程。这一过程发端于具有。阻抗”作用的情境。主体意识 到一个用原有图武无法解决的问题。如在液体守恒问题中，面对将 窄永槽( 底面积较小的水槽) 的水饲入宽水槽( 底面积较大的水槽) 的情境，儿童一会儿注意到水面交低这一维度，从而回答铖少了” 一会几注意到水面交竟这一维度，从而回答。增多了”。当儿童意 识到矛盾，就会主动寻求平衡。平衡的出现，也是新图式形成的过 程。而这又必定是在更高层次上重新组织与协调的过程。从。低” 推知。少”、从“宽”推知。多”，儿童进行的只是单维的操作。 当他能够在更高层次上对自身的这两方面动作进行协调时，才能意 识到因为。变宽了”所以“变低了”：“宽”补偿了。低”。在这 一转换与协调过程中，他终于意识到某种不变的因素，从而获得液 体守恒概念。 ( 三) “圈式”概念在皮亚杰墨论中的作用 皮亚杰在如下两种意义上使用圈武概念。 1 用以指称认知的主体方面囚蠢 上文巴论及，皮亚杰秉承康德的传统，以认识主体为轴心柬研 究认识论问题。皮亚杰认为认识活动必须以主体的动作为中介。他 将认识活动中主体的动作划分为两类( 简单动作与协调动作) 由 此出发，他还区分了两种不同的抽象( 经验抽象与反身抽象) 和两 种不同的经验( 物理经验与逻辑数理经验) 。h 0 1 两类动作、两种抽象并不是对等的。简单动作依赖于协调动作， 简单抽象依赖于反身抽象；后者分别是前者的前提条件。因为物理 经验总是。同化于数理逻辑结构中”，即使是最简单的物理经验， 如。两个物体重量的比较”也必绠“先建立一个关系”，n 也就 是简单抽象总是以逻辑数理圈式为先决条件。 可见，认知主体所具备的一定的图式( 即协调动作) 是认知赖 3 以发生的决定性条件，。图式”概念正是用来指称这一认知的主体 方面因素。 2 用以标识儿童不同智力发展水平 主体所能形成的协调动作( 即图式) 表明主体的智力发展水平。 也就是说，用以标识智力发展水平的，不是其他别的什么，而是主 体达到平衡状态的逻辑数理图武。 不同的发展阶段，儿童具有不同的图式。 韧生要儿只有遗传圈武。2 岁以前，儿童只能达到感知一运动 水平的平衡，其图武体现为实际动作的结构。莆运演阶段第一水平 ( 3 4 岁) 出现。前概念”和“酋关系”，这一阶段的第二水平( 6 _ 6 岁) ，出现“组成性功能”。从7 ，8 岁开始，。可逆”出现、“运 演”出现。从1 2 1 3 岁开始，运演摆脱现实的束缚，走向形式化， 反演可逆和互反可逆结合起来，而且在运算上融合成为一个整体， 产生四种变化形式，即“四变换群”。1 1 2 二、圈式建构理论对于数学教学的理论意义 皮亚杰研究了儿童认知发生发展过程，并由此解决了一系列认 识论问题。速使得他的理论“蕴藏着丰富的教育含义”。1 3 1 具体 从图武建构理论来看，皮亚杰更为关注的是儿童逻辑数理圈武的建 构过程，因而，其理论更适合子用来指导中小学数学教学。 下面我们从如下几方面讨论图武建构理论对于数学教学的理论 意义。 ( 一) 敛学知讽的来嚣与实质 发亚杰区分两种经验、两种抽象，同时也阐明了数学知识的来深， 馈学知识并不是从客体本身拙取自身的内容，”n 卅丽是对。加 木逻辑圃武与数学囤式同属于认知的主体方面因素，在这一种意义上，皮亚杰将 两种国式统称为“逻辑数理图武”。事实上，两省仍有差异。皮亚杰在教育科学 与儿童心理学中指出：。数学乃是逻辑学本身的直接煎伸。”( 簟4 5 页) 后者是 更为基本构东西，精者是后者的进一步发展。如果说“男生+ 女生= 学生”遮一转 换属于逻辑的范畴；那么“8 名男生+ 6 名女生t8 名学生”剐晨于鼓掌藏畴。 4 在这些客体上的那些动作，进行协调与抽象h ”，这种抽象被称为 反身抽象。它。总是在于对从早期形式中演变出来的东丙进行新的 调整”。也就是说，主体在一个更商的层次上，反过来对自身的动 作( 或运演) 进行协调。由于这种协调本身也是操作性的，这一过 程被称作“是对运演进行的种种运演。”h 创 皮来杰由此出发闹明数学知识的由来与实质：。全部数学都可 以按照结构的建梅来考虑，这种建构始终是完全开放的数学 卖体巴不是从我们内部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学 实体不再具有本体论的意义对这类实体进行的运演，反 过来又成为理论研究的对象”。h 也就是说，数学作为一种思维 活动( 或过程) 所面对的对象( 暑p 实体) 不过是可以予以叠加的“运滇 的运演”罢了。 加法是在数概念的基础上进行的。合”的运算，乘法是关于加 法( 加数相同时) 的运算，乘方是关于乘法的运算。比例是两个 乘法关系的等值；分配关兼是比铡的系列”等等。n 剐 ( = ) 数学知讽的个体心理发生 个体获得一定的数学知识，实际上是在心理上建构相应教学圈 式的过程。自然教作为算术或代数的基石，被有些学者奉为。上帝 的恿赐”。皮亚杰剐认为它仍然是主体建构的结果。自然敷。表现 为归类运演和序列化运演的溶合，”是这两种运演协调的结果。 归类运演是。把个别项的质抽出来，使所有的个别都成为警值 的。”表现在儿童的计数活动中，即是每次点向实物的动作都是一 般无差别的。这里存在一个问题，即是如何区别这些一般无差别的 动作? 同样是石子，作为类，“石子”与“石子”的并集仍然是 “石子”。具体到计数活动中即是儿童如何区分止于。3 ”与止于 “4 ”的动作? 最终作出区分的是系列运演的功能。将实物排成系列构成了 。在没有质的差别的情况下，唯一可能保留的差别。”从而使元素 5 。能够以重叠的类的方式排列起来：( i ) ( i 十i ) “i 十i 十【) o ”“】 也就是止于。3 ”的动作所对应神集合，类包含于止于。4 ”的动 作所对应的集合。为明析起见，可将计数活动圈示如下： 后商 l 二之 可见，儿童要获得一定的教学知识就是在心理上构成相应的数 学图式。“结构”只能由主体在心理上建构，而不能。从外部理解” 群脱离了一般曲归类运演，一个金称名词并不表明一个类，而是指 直觉到一堆东丙罢了。”【”1 有一年 观念认为主体不必在心理上建构相应的结构，就能“从 外部直接理解”一般概念。这种观念假定概念“独立存在于主 体思想之外”“1 。它与柏拉圈假定。免验王国”的存在没有甘么 两样。我们虽然能够报容易地指出柏拉图的谬误所在，但在具体的 教学中却谬谬犯类似的错误：让学生。从外部直接理解一。不考虑 学生内部操作过程的注入武教学犯了此类错误；。仅限于从外边进 行演示或仅限于对于由教师作出的完形进行解释，“3 的直观教学 也犯了此类错误。 ( 三) 。同曩”戚。阍基情境”在数学圈式形成中的作用 数学知识的获得是主体在心理上形成相应结构的过程。而结构 的形成总是发端于对问题情境的意识，并以问题的解决而哲告结束。 图式的发生发展是一个。平衡不平衡平衡一的过程。 。问题刀( 或。问题情境刀) 在图武形成过程申具有如下两方 面意义。首先，。问题”弓l 起不平衡，也就是主体无法以原有图武 来同化这一问题情境；其次，问题”促成新图武曲形成，主体面 对“问题”改组原有图式而形成新的图式；另一方面，“问题，也 是捡涸主体内部有关图武是否形成的工具 此外，从运算过程到对象化的知识，还存在一个概念化或形武 化的过程。概念化的显著特征是以。同时性的形式”轰征历时性的 实舔活动。呻朝 6 三、皮亚杰理论的早期传播墨其在教育实践中的运用 在具体分析皮亚杰的图武建构理论在畸，小学数学教学中的运用 之前，有丛要了解皮亚杰理论在世界范围内的传播及其在教育实践 中的运用。皮亚杰理论最早在世界范围内的传播，得盏于布鲁纳等 人在五六十年代所做的翻译、研究与宣传工作。五六十年代的美国， 。关于学习的材料，大部分从大自鼠的实验中收集得来。一为了寻 找课程改革的理论依据，人们从皮亚杰那里搿发现了一个智力发展 的普遍理论。”“1 作为学科结构运动的发动者与指导者，布鲁纳接受皮亚杰的影 响，在教学内容方面强调学科结构的掌握，在教学方法方面强 调发现教学。 关弹蝌结构学习某一学科应该一把它们在知识领域更广博的基 本结构中的脉络弄清楚。”1 掌握学科的基本结构，有利于。不 断地扩大和加深知识”睇引；。使获得的知识能在超越原来学习情 境的思维中运用”，即发生广泛的迁移；嗣时，组成“完满结构” 的知识也便于记忆。”1 美予笼睫学习布鲁纳认为课堂教学。应当使学生成为自主丽自动 的思想家”“用自已的头脑亲自获得知识舻2 “。他是在反对讲解 法的同时对发现法进行阐速的。他指出教师以搿陈述知识”的方式 进行讲解、并以学生能否。模仿教师所陈述的这些事实与方法”为 判准曲教学，是完全被动的。幅引发现学习是由教师提出问题，并 提供有关材料，让学生通过探索去发现知识，教师与学生“处于更 合作的状态”1 经过布鲁纳等人所作的研究与宣传工作，皮亚杰理论得以在世 界范围内广泛传播。近半个世纪以来，在心理学家中。对教育的影 响无有超过皮亚杰者。”坤他的许多观念广为教育界所接受，这 些观念包括结构的观念建构的观念、主动探索的观念引起冲突 的观念等。 这里有必要对布鲁纳所倡导的发现法进行进一步的分析。如果 7 说布鲁纳关于学科结构与学生内部认知结构的论述，尚属于观念的 层次；那么，他所提倡的发现法则是在课堂教学中具体可操作的。 关于这一以设要和解决“问题”为核心的发现法，我们注意到如下 情况。一方面它有益于促使学生积极主动地思考与探索；另一方面， 其。效率是很低的”，以致无法讲授系统的知识。哺引布鲁纳强调 发现的独创性，指出几童的发现与科学家的发现_ 都不过是把现象 重新组织或转换，使人能超越现泉再进行组合，从而获得新的领悟 丽巴。”“1 至于学生在课堂中的发现的特殊性，以及。什么步骤 和行为构成了发现法，”【“1 则言之甚少。 布鲁纳将皮亚杰所论述的关于网题的智力意义( 即弓i 起冲突促 进结构形成的意义) ，。发挥”成为一种教学意义( 促进圭动探索 从而发现知识) 。然而具体在对知识的发现与燕构过程的描述上， 布售纳与度亚杰之闽存在如下区别。布鲁纳认为，主体通过对现象 进行转换而获得知识，至于如何转换，布鲁纳未能象皮亚杰那样深 入到特定概念的内部结构。而在皮亚杰的理论中，探索、重组总是 关于其体图式的探索和重组。皮亚杰的分析总是细致入微的，深入 到圉式的内部结构。 四、图式建栅论在中小学教学教学中的运用 具体到图式建构理论在中小学数学数学哇，的运用，又包括两个方 面的情况。最早出现的是一种对内容的直接移植，即是将皮亚杰所 研究的内容( 有关概念或圈式) 直接搬进中小学课堂。另一方面则 是近二十年来问题教学法在英美等国中小学数学教学中的广泛运用。 ( 一) 内客的直接移植 较早被被移植到中小学课堂中的是有关守恒实验与序列运算等 f l i 客。美国学者柯普兰不满足子这一现状，试图研稍出。全面贯彻 皮亚杰研究成果的数学教学大纲。”1 而事实上，他不过只是移 植了更多的皮亚杰所研究过曲图武或概念) 而已，这些图式( 或 概念) 包括：基数、四则运算、比例、概率、拓朴结构等。 8 在这样的移植中。儿童面对有关崎境，能主动地探索从而形成 相关的图武( 或概念) 。也就是说，问题的解决与知识的获得两者 是相统一的，不存在分离现裳。但其所移植的内容与实际的数学教 学内容则相去甚远。因为皮亚杰对这些圈式( 或概念) 的研究，其 宗旨是要弄清儿童认知的发生发展；皮亚杰所关心的圈式是标志着 一定智力发展水平的图武。这些圈武可能燕实际的教学内容的一小 部分，但不可能是其全部。 这种移植都在一定的小范围内进行，由于以上问题的存在，这 样的尝试未能( 也不可能) 得到摧广。 ( 二) 问题教学法的蕾遍运用 问题教学法与建构主义教学理论两者相互关联，后者是前者的 理论基础。这里有必要首先了解建构主义的主要特征。 建构主义有。早制簿构主义”与。晓近建构主义 之分。早期 的建构主义理论即是皮亚杰的理论。晚近的建构主义仍以皮亚杰为 英先导，同时接受了其她学者 维果斯基等人) 的影响。建构主义 往往在界定自己与认知主义的区别的同时，阐明自己的特征。长期 以来。维为行为主义的对立面，结构主义理论与詹患加工理论被理 解为同一个学派。而事实上，两者之间一开始就存在着分歧与差异。 建构主义认为信崽加工理论仍带有经验主义的痕迹援设信息独立 于主体而存在) ，属于“认知主义”范畴。建构主义由此雨界定自 己与认知主义的区别。如果说行为主义完全不关心内部过程，认知 主义认为主体可直接接受现实，那么，建构主义则认为只有被建构、 现实才能被认识。r ”1 在对教学过程的理篇方面，认知主义认为学 生可以从教师的传授中获得同样的理解；而建构主义则认为个人的 世界是靠自己的心智所肆构的。妒引 建构主义特别强调问题解决在知识建构中的意义，速又突出地 体现在中小学数学教学中。 近二十年来，问题教学法在英美等国中小学数学教学中受到普 遍重视。1 9 8 0 年美国数掌教师协会在其纲领性文件关于行动的、坟 程中指出：“数学课程成当围绕问题解决来组织。一【3 8 11 9 7 8 9 年英国成立c o c k c r o f t 委最会，旨在对戥学课程、教擎进行评价并 提出相应的建议。1 9 8 2 年c o c k c r o f t 报告发表，这一报告建议 。各级水平的数学教学和学习都应包括问题解决。”伸引 不同的学者赋予问题解决”以不同的意义。有人认为数学教 学的目的就是要培养问题解决的能力；有人强调现实的( 或实际的) 问题情境，更利于促进学生利用各方面知识灵活地解决阍题i 有人 刚认为问题解决的宗旨是让学生积极地思维，而传统的套用例题就 能解答的问题以及答案唯一的问题易于便学生的思考随答案的出现 而终止，因此，应更多地设计非常规问题开放性问题。”1 为了 进一步明确这一方面的惰况，可分析其具体实例。以下是美国数学 课堂教学所采用的一个“问题”。” 如凄所示，工作流程线上放置5 一t - 机器人，一只工具籀直放在何娃，才能使 机器人取工具所花赘的时俩最少? ( 每十瓠嚣人取工具的欢擞相等) a墨 p e 这一问题解决的过程可简要归结如下： 1 通过尝试，将工具箍的握救方案区分为两类：在c 点与不在c 点t 2 计算两种平周方案机器人取工具所的距离的总和： 方案一( 在c 点) a b + b c + d c + e c - a e + b d 方案二 在c 赢之外的m 点) a m + b m + c m + d m + e m = a e + d c + g m 3 比较薪种方案方集二比方案一多出“c m 褥出结论只有在c 点费时才最步。 从所设计的问题情境丽吉，它是现实的问题，是实际生产中有 关流程线”问题；也是非常规问题，不是套用例题能解决的问题。 从问题的解决过程来看，它需要学生进行真正的数理逻辑思维：分 类的完备性( 。在c 点”与。不在c 点”梅成类的互补，涵盖所有 摆放方案) ，线段的组合( 加法的结合律) 并赣向使两种方案可比 较的方向进行组合与转换。这样的思维过程不是套用单一曲概念或 原理所能进行的。概吉之，1 问题是实际的，2 其解答过程是积极 的、探索性的，3 而且，问题也不是用单一的概念或碌理所能解答 的。 1 0 可见，在综合地运用所学知识、创造性地解决问题方面，英英 等国中小学数学教学所广泛采用的。问题解决”的方法展示出充分 的优势。但另一方面，那些搜运用的表现为系统的概念与原理的 知识最初怎样获得? 在这一方面，问题解决”的方法则显露出劣 势。 如何利用“问题解决”来促进基础知识的学习，至今仍很少有 人作深入的研究。有人提出应当过程”( 问题解决过程) 与。结 果”( 掌握知识) 并重。但如何并重”，仍未能浑入研究。“1 五、皮亚杰理论在我国每传播和研究概况与 我国数学教学心理学研究概况 此外，我们还有必要就如下两方面情况作一简要回顾。 一) 皮亚杰理论在我国的传播与研究溉况 我国对皮亚杰理论进行大规模的翻译、评介与研究，始于7 0 年 代末，至8 0 年代形成高潮。进行这方面工作的主要学者有朱智贤、 付统先、左任侠、卢；睿、王芜钿、周镐、吴福元、李其维、左梦 兰等。这方面工作包括，翻译：主要是从英语转译其著f f 及翻译美 荚等国学者研究皮亚杰的文献；评介：主要将其作为儿童心理学理 论介绍；验证性研究：包括关于守恒实验与传递幢实验的验证。 许多学者从发亚杰的文按中直接引伸出。教育”舍艾。也有学 者依据其理论研究学龄酋与小学几童教概念的形成，但尚未见到依 据其理论系统地研究数学教学心理者。 ( 二) 我国数拳教学心强学研究厩况 这方面较有影响的研究包括如下三个方面。 1 卢件衡等主持的“自学辅导教学实验”。他们以斯金纳的 程序教学为其理论基础，吸收优秀教师的教学经验，提出适当步 子”。当时知遒结果”等心理学愿则，并编写了自学辅导教材。 ”1 2 刘静和、何纪全等入主持的。现代小学敷学教学实验”。 其指导思想是。以1 为基础标准，揭示数、形和教量关系上的 1 1 部分与罄体关系为主线，重新构建现行教学大纲范围内的小学教学 知识结构。”“1 此项实验开始于1 9 8 5 年，部总关系”是其研究 的主线”。但从1 9 8 8 年起，何纪全转向研究数量之闾的比较关 系”。“ 3 孙昌炽等人主持的a 4 - 1 2 岁儿童数学认知结构的发展”课 题。他们有一组文章千! i 于心理发展与教育，标题为。认 知如工过程曲研究 或“图武形成的研究”。但从箕肉客来 看，他们所说的形成过程是指群体而言以不同年龄的儿童在一 定任务上的通过率为其指标) ，实则是寻求阶段的划分，未能涉及 个体内在的发生机制。c “， 综上可见，卢仲衡等人的研究以。程序教掌”为其理论背景； 刘静和等人的研究企图寻找统率小学敷学知识结构的。通则”；孙 昌炽等人的研究着眼于年龄阶段的置j 分。这些研究均未能深入研究 数学图式的个体发生机制，也未涉及问题教学法。 六、闻墨的提出与研究构想 ( 一j 问题的提出 嫁观上文。我们发现如下情况：从理论上来看，问题解决与数 学基本知识的掌握是一致的，医为全掷数学知识都不过只是结构建 构的结果，而结构的建构过程就是同意解决的过程；而从实际情况 来看，问题解决与数学基础知识的掌握又是相背离的，以问题解决 为其核心的方法有利于促使学生积极操索并综合地运用知识解决问 题，却不利于数学基础知识的掌握。 出现以上现象的“根深一何在? 一方面在度亚杰的研究中， 问题的解决与图式的建构是同一过程，但其图武却是标志儿童一定 发展水平的逻辑数理图武，而不是现实的数学教学内容。另一方面， 以问题解决为其棱心的教学方法，充分发掘“问题”曲教学意义， 但茚不是从数学基础知识的掌握出发的。可见，从皮亚杰理论到问 题教学法，一直缺乏从基础知识的掌握这一角度出发来考虑。问题 1 2 的解决”。本研究就是要寻求问题的解头与数学基础知识的掌握两 者之间的适合性。 这首先需要对数学基础知识有一个基本的了解。本研究具体选 定在“小学学段”进行，是出于如下考虑：系统的数学知识的学习 是从小学阶段开始的；而且，小学阶段所学习的教学知识是中学阶 段数学学习的基础，这方面的研究也应循若从小掌到中学的餍序。 小学熬学教学的基本内容可概逮如下： ，数概念：自然数、羹数、分数t 小鼓j ；位信：公倍鼓与公约数 f 基础知识与技能 运算： 加，藏乘、豫；比饲；运算 晃剡：筒品方程 ；f ，7饥何考j 步知识- ，筒单的加械问题、归一旧怠问题、平均数艘趣、福逼问题 应用题j o 如差问题，比詹目题，分娃好磨f 。f 呈问题j ，比锅问是 这些内容对于主嫩丽言，都表现心理上的某种转挟或操作。 自然数是整个小掌数学教学内容的基石，所有其他的数学知识。 都是在此基础上所进行的转挟。主体心理上的转换，是可以逆行的 动作。这些动作可以分为两类：反演可逆与互反可逆。h 7 1 前者是 直接对具体数量所进行的合与分，表现为合与分的提互逆行：将1 和2 相加得刭3 ，反过来，3 减2 还原为l ；后者是数与数之阐关 系的互反，表现为数与数之阍的比较与度量，9 比3 多6 ，反过来， 3 比9 少6 。这两类转换即 勾成小学数学教学内容的两条主线。 关于具体数量的合与分的转换，具体体现为四则运算。加是合 的操作、减是分的操作，乘除是每份数相同的情形下的合与分。以 这方面的转换为基础的应用题包括简单的加减问题。归一归总问题 平均数问题、相遇问题。 关于数与擞之间关系的转换，一方面体现为二数比较：比差、 比倍、比例；另一方丙也体现为数与数之阐的度量关系郎以一敷 1 3 去度量另一擞) ，这又带来教概念的扩展：自然教整教、倍数、 分数( 小敷) 。以这方面的转换为基础的应用题包括：比差问题、 比倍问题分数问题工程问题) 比侧问题。 位值表现为以有限的数字( o 一9 ) 构成无限的数名从而标示无 限的敷；运算规爰l | ”、。简易方程”和“公倍数公约擞”是更 高层面的转换，运算规则以加法和乘法运算为思考的对象，篱易方 程以等式( 恒等) 为愚考对象，公倍擞，公约教”则是对整数性质 的探讨。 此外，小学教学还包括少量的凡何初步知识，仅限于直观地辨 认图形以及边长面积等的计算，尚未构成真正意义上的几何图式。 经以上分析，小学数学的基本内容均表现为主体心理上的转换 与操作。这表明从理论上来看：1 对这些基本内容的掌握是 一个建构”的问题，而不是一个接受的问题；2 图式或概念的 建构又总是离不开问题的解决。 这正是本文所要研究的两个相互关联的方面。前者是关于小学 生数学图式形成的机制问题；后者是关于吴体教法的问题。这两个 方面的内在联系表现在：关于数掌图式形成机利的观念，直接影响 着教法的选择；而一定教法的成敷，也反映出相应的圈式形成机制 的观念的正确与否，也就是说关予图式形成机铡的研究与关于教法 的对比研究是相互关联的。而且，寻求问题解决与基础知识掌握两 者的适合性的过程，同时也是。消解”如下两方面错误的过程。一 种错误现象表现为将问题解决的方法只用于综合地运用知识解决 实际问题方面，这正是荚美等国中小学教学教学所表现出的情况， 虽然已认识到应该将问题解决与基础知识的掌握两者结合超来丽 实际上却缺乏深入的研究。另一种错误现象表现为，将教学基础知 识从外部传授”给学生，雨不是促进学生在心理上形成某种结构。 另一方面，寻求问题解决与数学基础知识的掌握两者的适合性， 可以有两种不同的研究