（理论物理专业论文）运动守恒量保持算法和牛顿核壳模型动力学研究.pdf

摘要 次要部分的哈密顿系统，因此采用t 田 国 k . r 和p 泊 b 州 te l 的假八阶辛积分器是较理 想的数值积分工具。与之相匹配的混沌识别指标最好选用wu x i n 等提出的两邻 近轨 道的 快 速功即 切。 v 指标。 数 值结果 表明: 这种方 法不 仅能 描述一些动力 学 参数的 变化导致系统从有序到混沌的 动力学性质变迁， 而且能够快速灵敏有效地 揭示相空间全局结构。 关键词:天体 力 学: 假辛算法; 后稳定化; 混沌; ly即 u n o v 指数; 快 速 指标;核壳模型 c 卜 均 5 ， asa 切 山 v 朗 如p b eno 功 e n o n inn o ul jn 灯 sy 引 匕 m s ， 以 即 1 盯5 别 国 . e 公 泊 t ur e s in cl u 山 。 吕 。 叮 扣 公涌山y ， 沈 巧 i ti v e 峋加d enceon 面ti a加n di ti o ns， 伍 e 的 dc ha 涌d 钾 团d d e te m 山 路 tri c ity lib asbeen inl欧e 劝 记inm 田 岁血lds. e s 拼 汤 心y奴 咖勿 of 比 韵， b as抚沈杭d el y pop ul arinc e l . 眨 alm ec 恤 画 c s . 丁 b 已 功 苗 n 加肋rstotrul y d e te ct 比 即s d 目 俪山此 比。 ice ofgoodn . 田 已 n 喇别 喇 山 侧 如助 d 翻 如 山 l e chao s 加 山 。 日 。 招 . 川也 叫少c l as s i 喇 玩 gh or der n 口 山 e ri a 目m e 比 以 卜乡 v e th e n 口 比 呛 ri a 目印 】 诵。 奴 丘 沙 别 义 u 晓 y，th 即 眼 石 山 of 山 石 五 d 已di s 滋 详 币 o n幻 山 以的 m ei o tri d s ic d 坦 加 以 。 七 币 c s ofd yl 团 川c syst erns ， 汛 玲 b asc o 理 允 坦 tsof.币o n，can . ot忱户 袱 祀 四 以 5 抑p l 伐 石 c 如 加 即 血rs ， 切 址 比can pr 已 别 翻 、 吧 触 . 叫 盯。 姐成 曰 吐阳 d 业 好 吐 甲 1 “ 石 c 川 n 姆 n 廿 e ， m 好r .ed y the d e fe ctsoit isre g 留 d edasan汕师v e m et 玩 月tos 闷y the 加 飞 让 泊 吐卿 曲颇v eevo l西on of h 朗 山 协 过 团 盯 劝 阅 叱 . h o er， sy m p 】 ec 石 “ 运 加 幼血招h o ld a 1 0 v 陀 沈a 。 口 团 陀 y addcan n d t 户 忿 蜡 rv e o th erin te 创山 ofm o 石 。 你佣 乒奴 斌e 乎 公ofe n er gy. ina d d j ti 叽 地即p li c 西on is场血曰toh 阴 山 t 创 面 an 钾 s t ems 口 玩、 ， . 胃ofth e 哭自 口 . ， b ga血、功 d 坛 劝“ 山 记 the 油 必 正 刀 山 on of 肚 压 淤 斌 1 目阅 斑 面 on addn 溯 叮、m 山 垃 肠 ld以 们 侧 石 on m 日 七 ed 倪 dl ed the post 5 翻 由 11 1 左 由 on 眼 涌uf( 沁 us edon and d e v e l o 声 月初d e lyatth e pr 。 曰 止t 七 e i d eaof b a 口孝 川 e 、功 . 比 阅 15伪 a t a七 习 di 石 0 . 目刀 切 口 州。 红功 创 五 冈 isu 份 沮勿匆里 v e伪 e 山 丘 改 . 往 目闪四 6 ons 勿如 由 昭a co ni 拍 l t e n n r e le 丫 匆 吐 to妙加 锐 的 . 坛 soth a t 山 e num 比 园sol u ti ons 卜 戈 o me 功 uch cl 。 盯 toth e 七 刀 e sol心ons . u ul 正 e b g ar te 、 m 曲喊 此 post的 心 江 比 at i on m et h( 劝isca 币 目 。 以asfo u o ， 店 : f 此 式a n 也 价 幼 。 目 的 l u ti on iso 知 阎 由 ed妙 劝 i v 吨 the 山 五 改 er lti aleq旧ti ons ofm o ti on 初tha c e 斑 lin 如d i 七 。 众 目n 切 口 州c 目姗已 岁 西喊 伪 . 乌a stab ili 劝 昭让 n 刀 站add 目to此 n 皿币公 目 叨 1 西ontoadjust it to此 斌e g 目s ur 加 c etodothe n e xt和 und of油 lte 争 西o n ，挑 仁 上 e adj让 st 曰 双 山 刀 颐。 公solution as 触 面石 aio o n di ti ons . ad c 枷 心 e dd iscuss l on on b a u m g at re 、沈 必 山 盛 币 叨. 叮 山 记胡 d c 创 邑 ，s post-目 泊 b il 止 如 onm 日 五 odisc a r n 目。 磁 to g etber初山a n 切 m e ri a 目 。 切 乒 口 劝 几t 五 e 刀 切 口 币闭 日 “ 切 旧 c y can 比访 。 。 以 月叨 d the 刀 灿e ri 。 习巾b ilj tycan be u n 体 o v ed by 加m b 面dg th e 勺 书 d i ti o . 目力 功 口 已 n 因 口 e 山 dd析the i th oofthe 七 四 0 引 ta b ili za 石 onm e th 伙 如as， 卫 几 山 名 the o pt 油alst 山 还 比 访 9 声 口 叨 以 改 ， 也 e 别 二 切 ra c y of阮 劝 山 正 刀 币 onofb aum 彭 时 e isn oteq ul v al ent toth a t of 奴 post劝 ab ilj 公 币 oning 即曰 幻 ， 助 d it isn o t ce 川 力 inw 址 c h one is此 m o r e a c c ur at e . 仆e引 以 b i 讼 葫on m 川 山 od m akesthe ri ght 五 n l ction of口 山 叮 已 n 司 加e g 西on 戏 lu cb a长赶鱿t m 切 限“ 肛 甲 肚 。 此 吐刀1 七 15】 ea dsto阮 伪扛 甲 l ex匆 ofpr o g 洒 mand 伪 加叫斌西。 珍 叭 coslon 此 。 伍 “h 助d l 伪 。 陷 15 此 trou b l e of恤诵 agtoc 玩 ” se阮 。 排 近 回的 山 正 幼 唱 p aram 的 比in五5 5 曰 上 姆 ， wet e c o n ” 刀 即 d to叹 the post的 由 ilj 公 币 姐邵 b e xn e . ho叭 弋 巩 城 众 b 。 以 dbe note dth 武 inco几 ip a n s i o n初th触 位西d 沉 园 加 加 幼如r 初th 加 的 山 u 讼 祖 佩 the st e p s 让 沁 ofthe post 沈 ab ilj 公 近 o n m e th edm 比 st d o t 忱枉 山 恤t 0 0 1 欺 朗 . 卫 七 s l des 奴 9 加d n 山 口 已 n 因 m 司 叻山， 阮 劝 心 y ofc b 均 s n ee ds邝 u 曲lein di ca 加 rs for 血记 。 州 币 。 时 i on of c b 均 5 .几e y 七 iv o l ve po份邢 涌ons ，lyapu 刀 lo v c 址 吐 以 币劝 co q 沁 n e nts (l c e s) an df 抽 t ly鲜 胭 的 vin di 口 如 “任 i l ) ， etc. e 陀 hof 也 姻 has itsad 加 以 ages即 d sh o 均 刀 m in ， . po5 以 为 ons can di s p l aythe p ba 嘴 红 玲 优劝 m 改 匹 e ofd 界 团 加 以 叮 雍叫 喇 凶 以 山 笋as an翩 叩 肠15 ， it ism o atv al i d o 川 y ， 击 即奴 双 山 口 b 盯ofdi m 。 ” 1 0 ”ofp ba阴即日 c e n ” n u 也 已 。 切 口 b 份ofco庄 电 ai nsisn ot 1 毗erth 即血比. f ora 盯 s t e mofm 的y di m er 面 o ns， 声 劝 即s l c e s 毗 a g 以 劝比。 i ce. ing 即 曰 川 ， it 切 山 esa v 恻 1 价 堪往 m o of。 目 c ul 如onino 川 ertoget a re li abl e v al ueof l c e . f 找 姆 s c 址 e ，s f l is毗 和 讲n ortol c esb 留 . 巴 笼也 启 y 畔 卿i d and 州画ti veto 记 .d 勿比如5 丘 创 口比 小以 w u etai . e 袱 .d 时血s l d e a an d p 门 因s edthe f u初th 七 即 。 . . 比 y traj。 时 o ri es如 时 以 记ofthe v 出 血 iti o 。 目 闪 w 山 加m 改 玩 川in2 0 06 0 b vi o usly 面5 初 己 i c 创 比 r is 玲 y totr 曰 at compli 份 山 刃d yn肚 苗 闭 sy st e 吐 . 玩the p n 冶 。 lt thesis， we 曲目 l point o uto th erm 创 ri csof血s in di ca 加 r恤d 比iil， we doth i n k th a t 让isa 忱tt e r i d ea to app ly u 五 5加 d i 。 时 o randp se udo址 gh o r d er s 扣 apl e 比c恤e gr 成 o rsto h 越 ni lto ul 汕sy st e 立 . ， w hi c h can be s p li t a d ” ncom 别 拍 。 吐阳d a s 功 al 】 erone . to 山叫 面s cl earl y，讹 。 。 刃 i d ern e wto 血 anco比 . sh e ll syst 已 住 ， 切 场 比伪过 d . 艾 幻 切 吐for m 留 ， ive c 加 刊 叨 峨 e ll ard 理 st s b e llsand 比 堪 5 帅也 dc e .iinty 沐 s ofs 仁 叮 化 在 田 助 。 . r 苗 5 k 运 d ofs y 雍ms 毗 血 】立 苗 血g c 斑 妃 s ofthe re 肠 眨 vi stic mod e lsw 坛 泊七 胃 。 的功 五 石 。 ofweakfi eld andslowm o ti on oft e stp 田 石 cl esin血 v . 口 朋 刃 nb 改 w e e d 奴 c 。 比 、 h 。 比 的 。 助d 奴 5 址u sa ti s 尔theytelo n g toa c 俪s ofh an i t o n 初tha p ru na 叮p art 助d a n ” 刀 。 了 one ， sowe 即 叩 】 。 y 也 e f u俪th， 胃 o n ea 比 y trajec 勿 ri esofwu et公 功 威 比比初山p 犯 以 匆ei 沙tho rd e r sy m p l e ctic in t e gr at o l n 切 口 erio alr es ul ts爪 唱 g e st 伪 滋itisv 。 了和w 州 间 to目 o p t 伪 stool todesc 滋 be not o uly the evo l 硒o nof d 卿imjc aifc 别 tu re s五 . m r 雌 回 ar m o ti o nto cbads俪th 此 v 硕西o nof s o r o e d 恻画因p aram e t ers， b utal sothe gl 。 回 敌 山 改 山 e ofp 加 阴sp ace for此 s y 川 贻 n . . k 叮wb r ds: ce le sti alm ec 址 画 cs; pseud osy 功 p l ec t l c inte gl at o ” ; post的 由 ili za 石 眠 c 恤。 5 ; 切即uno v c 址 的 以 而拓c ex pon e n ts ; 云 始 t lyapuno v in di 。 对 o rs ; 。 。 代 . s hell m o d e l s 学术论文独创声明 学位论文独创性声明 本 人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的 研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其 他 人已 经 发 表 或 撰写 过 的 研 究 成 果， 也 不包 含 为 获 得 遇一左塾 或 其 他 教 育 机 构的学 位或证书 而使用 过的 材料。 与我一同 工作的同 志对本研究所做的 任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 作 者 签 名 (手 写 ): 璐 辱男签 字 日 期 :洲年 月 丫日 学位论文版权使用授权书 本 学 位 论 文 作 者 完 全 了 解- 鱼 通主遭 有 关 保 留、 使 用 学 位 论 文 的 规 定 ， 有权保留并向 国家有关部门 或机构送交论文的复印 件和磁 盘， 允 许论文被查阅 和 借阅。 本人授权南昌大李可以 将学位 论文的 全部或 部分内 容编入有关数据库进 行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学 位 论 文 作 者 签 名 ( 手 写 ):未多 书 导 师 签 名 (手 写 唯滚 么 签 字 日 期 : 洲2 年了 月 形日 签 字 日 期 : 麟 。 7 年月， 乙 日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址: 电话 : 邮编 : 第一章绪论 第一章 绪论 混沌的观点打破经典力学所服从的决定论， 架起了决定论和随机论之间的桥 梁，是2 0 世纪发展起来的一门新兴学科。它在各个领域特别在天体力学界引起 了人们的广泛关注，取得了一系列的理论和应用成果。 1 . 1研究历史和现状 在1687年，牛顿在 自 然哲学的数学原理中提出牛顿三定律和万有引力 定律， 从此经典动力学的基本原理被建立， 之后的一段时间内 力学研究的主要内 容是: 根据牛顿运动定律求解所得到的运动方程， 给出各种条件下的特解。 例如， 要计算行星运动的轨道， 基本上可以 按照牛顿所给出 来的物理规律， 加上用数学 方法解运动方程就行了。海王星就是通过这种方式发现的 ( 18研) 。这也使人们 更加相信牛顿运动定律的正确无误， 认为只要给出初始条件位置和速度， 就可以 求出以 后 任何时 刻的 位置 和速度。 这实 际 体 现了l 翔 1 溉 决定 论观点. 紧 接着， 有一批人致力于寻求力学一般原理的更简洁的形式以 及不同条件下的一般原理， 这也是实际应用中各种不同的复杂情形， 如约束运动等的迫切需求。1 7 58 年， 拉格朗日的大型巨 著 分析力学 中用分析数学的方法解决力学问题。 这使得牛 顿力学一般原理用更抽象的形式表达出 来。 后来， 哈密顿在1 834 年提出 哈密顿 正则方程，1 843年他又用等同于牛顿定律的哈密顿原理描述力学运动规律。正 则方程可以通过正则变换获得方程的解， 但是母函数的选择往往是一个很大的困 难。 而哈密顿和雅可比导出的哈一 雅方程， 只要在合适的坐标系中实 现分离变量， 就能够彻底求解正则方程。 因为牛顿经典力学不仅成功地处理了 二体问题， 而且将天体运动与地球上物 体的运动统一起来，可以解释大量的物理现象， 所以， 一直以来， 在科学中占 据 主导地位。 但是在它的发展中也遇到了 一些很难解释的问 题， 如它无法 解决三体 问题， 早在20 世纪初， p 。 川 “ 沂 就意识到三体问 题有复杂的栅栏结构， 这是对 混沌认识的初步萌芽。1 9 63年美国 气象学家l 。 众 知 比在数值模拟中发现确定性系 统中表现出的随机性行为3 51 ， 也就是后来人们所谓的混沌现象。 紧接着法国 天 文学家h en o n 和heil es 口 2 在1 9 64年用计 算 机数值检验了 第三积分的 存 在性， 实质上是无意识地用数值方法检验了由50年代以 来逐步形成的k 人 m环定理。 这些发现打破了 牛顿经典力学的决定论， 使人们以 新的眼光看待问题。 直到1975 李天岩和约克在 周期3 意味着混沌 一文2 9中正式提出 用混沌 ( c 挂 拍 5 ) 一词 第一章绪论 表达这个现象， 混沌的研究才开始发展起来.19” 年第一次国际混沌会议在意 大利召开， 标志着混沌在全球科学界的真正诞生。 因为所涉及的问题的复杂性， 一般很难得到混沌运动系统的解， 所以 混沌自 诞生以来， 一直没有很大的发展。 直到20世纪60年代， 计算机的发展使得混沌 研究可以借助数值方法来研究， 从此， 混沌在数值方法的促进中不断发展。 为了 更准确地描述系统的动力学性质，人们对数值计算方法进行了不断的改进和创 新，而且建立了一些混沌的识别方法。 首先介绍数值方法的研究情况。 目 前在天体运动的数值模拟中比较流行的算 法有辛算 法 及稳定 化 和后稳 定化 方 法等。 辛算 法由r 刀 th 【 4 2 和我国 数 学家冯康 13 1 各自 独立提出， 之后日 本天文学家yosb i da63 构造了高阶辛积分器， 而s u z u k i 4 2 提出了 具有正 系数的 高阶 对 称和非对称的 辛积分器. wis do m和hol ll 少 n 【 4 9 在 1 991 年用j a c o b i 坐标将哈 密 顿分 解为一个k 印 ler主要部 分和行星间 相互 作用的 摄动部分且后者与前者相比有 量级，这样可使步长为了 的n 阶辛算法的哈密顿 函 数 截 断 误 差 精 确 到 o( “ ) ， 显 著 提 高 了 辛 方 法 精 度 和 计 算 效 率 . 紧 接 着 于1 9 % 年 50 消去哈密顿函数截断 误差中所含e 的 一次幕项， 称为辛校正， 使该截断误 差变为o( ez 砂 ) ， 又一次大 大 提高了 辛算法 之精 度。 在哈 密顿函 数具有这 类分 解 的 基 础上， c ha m b er等9 于2 00 0 年构 造了 假高 阶辛 积 分 器。 该 类n 阶 辛积分 器 在一步内仅由n+1 个lie 算子复合而成，比标准n 阶辛算法大幅度减少了li e 算 子的 数目 ， 但所得的 哈 密顿 截断 误差变为inax 和 ( 盯月 ) ， o( 扩 : 2 )。 从: 的 幂次来看， 该类算法本质上是二阶算法， 但如果误差主要由o( er ) 决定， 则变为n 阶方法， 否则 误差由o( 砂 尸) 决定. 即 使在这种情况下， 考虑到 很小， 其误差比 二阶辛 算法 误差o( “2 ) 应该大大降 低， 故亦取得较好的 数 值精度. 2 0 01年比kar 和 r o b u t e l 【 27 1 进一 步详细 讨论了 假辛算法. 辛算法能 够保持能 量长 期稳定， 但只适 合于 哈密顿系 统， 稳定化 方 法 和后稳定化方 法可 用于 任何系统. b aum g a rt e 的 稳 定化方法4，51是在微分方程中加入某一与运动不变量有关的控制项，而 n ac 。 叭40 和 c hint 7 所提出 的 后稳定化方 法是 在积分后的 数值解中 加入运动不 变量的控制项. 要想正确研究天体运动的动力学性质， 仅仅有精确的计算是不够的， 还要有 可靠的识别方法。 p of n c a r e 截面法通过观察截面上截点的分布情况判断轨道是否 混沌， 简单直观， 但宜适合于两自由度保守系统. 对高维系统，可以用表示相空 间中 两邻 近轨 道的 距离随时间 的 指数发散率的切a p unov指数.1 9 97年clau de f r o e s ch l e 提出 的 快 速lya p unov指标 1 4 能 够快速识 别混 沌 轨道. 2 0 00年froes cb le 和lega t 巧 1 对 快速ly叩 unov指标进一步改 进， 改 进后的 方法(fll) 不 仅可以 识 别混沌和有序轨道，还可以区分共振和非共振轨道.此外，还有 t ， 业，频谱分 第一章绪论 析 法 26， 41， 62 、 较小 排列 指标 44 、 0 一 1 测 试法 3 ， 1 81 等。 这些 方法都 各有优 缺点， 应根据具体问题选择合适的方法. 对于相对论模型应该以协变量定义混沌 指标. 2 0 03 年， 伍欲等 53 1 构造了 适合广义相对论的混沌识别方法 不变 lya p u n o v 指标。 依靠数值方法和混沌识别方法， 能够正确研究一些物理模型的混沌现象。 近 十年来比 较引人注意的一类模型是周围环绕的核壳模型: 由引力中心( 黑洞或中 子星) 及围绕其运动的环， 晕或盘构成。 这种周围环绕的附属物引力势常采用多 极矩展开表示， 用相对论描述这种核壳模型相当复杂。 1 9 97年此记 l i er和劝e ira 2 8 研究了kerr度规下具 有偶极晕的 试验粒 子的 混 沌现象. 他 们的 另一篇文章【 4 8 讨论了具有二、 四、 八极矩的核壳模型中 各个参数对粒子运动的影响， 详细比较 了 牛 顿 框 架和 广义 相 对论下的 不同， 发 现 广义 相对论下 混沌区的 范围明 显 大于牛 顿的情况， 而且指出 在扁圆壳模型中反对称的破坏增强了混沌行为， 而在扁长模 型中 却 使 得有序 行为 更明 显。 2 0 00年dem oura的文 章l 1 则 研究了由 核壳 模型 产生的引力场中运动的有质量粒子和零静止质量粒子的运动形态， 发现都有混沌 产生， 混沌强度依赖于与晕有关的参数， 而且零静止质量粒子的混沌没有有质量 粒子的 混沌强. 研究这类模型的还有 c 恤 。 n等 19， 2 0. 这些研究使人们对核 壳模型运动有了一个整体的 初步认识。 上面我们对混沌的研究历史及现状做了简要回顾。 主要从数值计算方法、 混 沌识别指 标 和具体模 型的 动 力学洞察三方 面开 展研究 工作。 前 两者都是 为 后者服 务的。 采用恰当的数值方法是为了避免数值方法引入的假混沌， 研究混沌识别指 标是为了避免坐标选择不当而引入的虚假混沌。 1 . 2本文的主要内容和创新点 本文介绍了数值方法和混沌识别指标以 及混沌产生的物理机制等背景知识， 主要对稳定化方法和后稳定化方法进行了比 较，然后研究了牛顿核一 壳模型的动 力学性质。下面对文章内容分别简述。 第二章简要介绍了哈密顿系统的各种解法。 可积哈密顿系统可以通过正则变 换找到所有运动积分求得分析解，或利用哈一 雅方程通过分离变量得到严格解。 大部分系统， 特别是不可积系统， 很难由分析方法求解， 因此数值方法成为研究 的主要工具。本章回顾了各种数值方法。首先介绍传统的数值方法:欧拉法和 r u n ge 一 k u tt a 口 义 ) 法及r unge . k 泊 tt a . f eh l be rg( r k 王 ) 方法. 欧 拉法 很简单， 是泰 勒 展开的 一级近似， 但是稍加更改就可以 得到保辛结构的辛算法。 在精度要求不高 时，四 阶rk方法是一种常用的 方法. 然而， 在高精度要求下， f eh l berg将两组 第一章绪论 rk 公式相互嵌套提出的 变步长 r k f方法被广泛采用。由 于这种方法得到的解更 接近于真实解， 常常作为参考解. 但是对长期计算， 传统数值方法由 于人工耗散 而引入的误差不可忽略. 所以 有必要研究运动守 恒量保持算法。 这类算法主要有 辛算法 及稳定 化方法 和 后 稳定 化方法。 显 辛 算法最先由r u th 【 4 2 提出 ， 由 低阶 辛 算法的一系列组合可以 构成精度更高的高阶辛积分器， 但在实算中因高阶方法组 合算子太多 往 往不采 用。 当 哈密顿系统能 够分解为h= 凡十 成， 1 的 形式时， h 。 和h : 之 间 存 在e 量 级 差 别 ， 使 得高 阶 辛 算 法 6 3 解 的 截 断 误 差 为 o( “卜 ， ) . 辛 校正 方法 50 消去此 误差中e 的 某次 幕项， ， 将数 值解的 误差 保留 到了o( 广: 叶 ， ) : 假高阶辛算法9 则消去了 误差中e 一次项中r 的某次幂， 将数值解误差保留至 max o(br叶 ， ) ， o( 扩 尸 ). 各 类辛 算法除能 量 外一 般不能 保持 其 他运动不变量， 而 且只 适合于 哈密顿系 统。 而b a u m g a rt e 的 微分 方程稳定 化14 ， 5 和n ac 。 城40砷 c 创 邑 7 提出 的后稳定 化方法可 用于 任何动力学系 统. 微分 方程稳定化方 法在原 微分方程中加入稳定项， 然后采用传统数值方法求解更改后的方程， 使数值解更 接近真实解. n ac 0 zy 40 的 后稳定化方法则是 先用传统数值积分方法求解运动微 分方程得到数值解， 再在数值解中加入稳定项使之校正到某积分曲面上。 在实际 计算中 微分方程稳定 化方 法 存在选择最佳稳 定 化参数的困 难， 而n aco城4 0 的 后 稳定化方法却可以避免这一问题。与此稳定效果相当的后稳定化方法还有 f uk 泌 b i m al l 6 和li u l 和li aox. h. 34 的 两种 标度因 子的 方法 等。 他们将数 值解 作用某个或某些标度因子，使作用后的解满足能量积分，从而达到目 的。 第三章从考察数值方法在什么情况下能够较好保持运动积分入手， 重新审视 和比较稳定化方法和后稳定化方法的数值效果， 验证两种方法的性能优劣， 给出 一些相关的新的建议和评论。 稳定化方法和后稳定化方法在经典算法的基础上更 正能量积分到不变流形上， 从而使得方法具有更高的精度和稳定性， 更适合于长 期定量计 算. 稳定 化 方法 最 佳稳定 参数y 不是 一个普 适常 数， 与 物理 模型 及动力 学参数， 积分器种类和步长等因素有关. 因而， 这种参数的选择带有很大的盲目 性， 全靠自己的经验和反复试探。 而后稳定化方法却可以 避免这个问 题， 计算效 率 也更高. 如果 传统数 值方 法能 够维持 q 的 精度为口 ( 尹 +)， 则后稳定 化方法可 达o(尸 p+ ，)【 1 ，7， 66 。 与 稳定化比 较， 后稳定 化在计 算效率 和 应用 方面的 优势是 明显的， 但稳定化方法取最佳稳定参数时两者在同等条件下稳定效果是否相当? 为了回答这个问 题， 我们利用r k 4 方法、 r k 4 方法+稳定化、 r k 4方法十后稳 定 化分 别作用于 二维k 印 l er问 题 和非 线 性二 维祸 合振子 两个 物理 模型来评 估稳 定化效 果. 二 维k 印 le r 问 题具 有分析解， 通过 误差比 较发现 后稳定 化比 稳定 化 效果要好. 该二维祸合振子虽然是也是可积系统， 但很难求出分析解。由于其运 动是拟周期的，这使得p o i n c are 截面上的相轨道是k a m环。通过对k a m环的 第一章绪论 比对， 发现与没有经过稳定化处理的经典积分器来比， 后稳定化不宜扩大步长， 而稳定化却可以适当扩大步长。 这也是两种稳定化方法相异之处。 该工作发表在 c 瓦 匕 e s e astron o m y and a s tr 0 p b ysi c s 2 0 0 7 ， 3 1 ， 4 5 . 第四章概述了混沌的基本性质以 及混沌产生的机制和通向混沌的道路等基 础知识。 回 顾了 几 种重要的 混 沌识 别 方法: p o in care 截面 法、 l y 叩 朋ov指数， 快 速l y a p u n o v 指标等，它们与合适的 数值方法想匹 配构成了我们认识混沌的主要 工具。 混沌是发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动， 它的主要特点是对初 始条件指数式的敏感依赖性， 也称之为蝴蝶效应。 对于满足k a m环定理的非退 化保守系统， 运动保持在不变环面上，自 然不会发生混沌。 然而k a m定理不成 立时， 微扰使得环面严重变形， 双曲点周围的同宿轨道和异宿轨道相互交叠形成 同宿缠绕和异宿缠绕。 这种同宿缠绕和异宿缠绕呈现十分复杂的结构， 它是一种 伸长和折叠的机制， 蕴涵着混沌的产生。 通向混沌的道路主要方式有三种:由倍 周期分岔， 切分岔和准周期进入混沌 7 2。 这使我们能够更加深刻地认识到混沌 的来源。 知道了混沌的基本规律和基本性质后， 人们根据混沌的性质建立了许多混沌 识别指标。 p o m c a r e 截面法通过对某一恰当截面上点的分布来判断轨道动力学行 为，简单直观， 但是很难处理相空间实际维数大于三的哈密顿系统. 和 ” p u n o v 指数， 快速切叩 姗 v 指标是 不依 赖于自 由 度的 识别方 法. 切叩 uno v 指数 表示 在 相空间中两邻近轨道的距离随时间的指数发散率， 但要得到某一极限值， 常需要 耗费 很长时 间. 与之相比， 快 速 切即 朋。 v指 标【 1 5 能 够快 速敏感地识 别 轨道动 力学 性 质， 尤 其是 两 邻 近轨 道 快 速 lyap un o v 指 标 58 ， 综 合了 快 速的 特点 和 处 理复杂问题的能力，值得推荐使用。 第五 章 应用假八阶辛 积分 器和两 邻近轨道 快速 l ” p uno v 指标探索了 牛 顿 核一 壳模型的动力学性质。 对于哈密顿系统， 辛算法能够以更改形式保持能量积分， 适合于哈 密顿系统 的 长期定 性 演化. 其中 ， l as k ar 【 2 刀已 经验证， 假八 阶辛算法能 够保持能量到 很 高的精度.由于牛顿近似下的核一 壳模型的哈密顿可以分解为一个主要部分和一 个次要部分， 因此适合选用假八阶辛算法， 与之相匹配的混沌识别指标选用两邻 近 轨 道 的 快 速切叩 u no v 指 标。 通过 数 值 实 验发 现， 快 速lyap unov 指 标 值 等 于 7 . 5 是系统从有序转变到混沌的临界值。 利用这一临界值， 我们首先考察了 相空 间某条直线上混沌和有序的分布。 进一步探测角动量l 、 能量e 和八极矩参数口 中某个动力学参数的改变对动力学性质的影响. 也找到了 其中 两个动力学参数临 界值之间的关系， 进而发现与这两个参数临界值连线两边的有序和混沌区域。 最 第一章绪论 后对 其 相空间 进行全局 扫 描， 用不同的 快速切即 助。 v 指标 值将有 序和混 沌区 域 区 别开 来。 结果表明 在相同 的动力学 参数值和初始条 件下， 用快 速切即 姗 v 指 标揭示的相空间全局性质与 po份截面所得的结果类似。 特别对三维动力系 统， 快 速助叩 如。 v 指 标依 然能 描述 其全局动力学结构， 然而p 。 截面却不 能. 该 工作将于2 007 年发 表 在c 由 改 姆 j o 切 m alofa 由 o n o m y an d a 史 ophysi cs 本文的创新点: ( 1)讨论了 微分方程稳定化和数值解的后稳定化的关系。 通过对许多非线性 系统的 大量计算， 比 较取最佳稳定参数的稳定化方法与后稳定化方法， 重新考察 了两者的性能优劣，揭示步长在一定范围内变化对两种方法的影响。 (2) 第一次 将假八 阶 辛算法与两邻近轨道的 快 速切即 咖 v 指标结合 起来， 对牛顿近似下黑洞引力中心与多极壳叠加的核壳模型进行数值模拟， 讨论了 这种 快 速切 即助训指标的 几 种用途. 根据f l i 的不同 值对轨 道 进行分 类， 从而 揭示 此模型的相空间全局结构。 第二章 哈密顿系统求解方法 第二章 哈密顿系统求解方法 2 . 1引言 在物理学中，人们所最熟悉的是线性系统，其动力学方程是用线性方程表 示的，即运动方程只含变量及其导数的一次项，如:无阻尼单摆， 线性谐振子， 等。 线性方程易于求出 解析解而且其解满足叠加原理， 我们更容易掌握。 然而真 实世界是非常复杂的， 其动力学规律往往需要用非线性方程来描述， 这样的方程 不仅含有变量及其导数的一次项， 而且还含有他们的高次项。 非线性方程大多数 没有解析解，但是对非线性系统的研究可以使我们更清楚的认识世界的真正本 质。 2 . 2可积哈密顿系统及分析解法 n 自 由 度的 动力学系 统可以 用n 个 广义坐 标q ， (i = 瑞 哟和n 个广义 动量 pi (i = 珍， n)描述其运动状态。由印 ， ， q ， ) 组成的zn 维空间 称为相空间。 w.k h an 山 to n在1 834 年建 立了 正则方 程6 刀 : 刁 万，己 万 qt =丁一 ， 药 =一下 尸 叩 四 t 1 = 1 ，2-: ，n( 2 ， 1 h ( p ， ， q ， ， 0 为哈密顿函数. 用正则方程描述的方程称为哈密顿系统。 对于n 自由 度哈密顿系统，如果其哈密顿一 雅可比方程可以分离为n个独立方程，每一方程 对应一个自由度，则称之为可积系统.刘维尔一 阿诺德定理指出:一个n自由度 哈密顿系统，当且仅当有 n个独立的彼此对合的孤立积分存在时，它才是可积 的。 所有线性系统和少部分非线性系统属于可积系统， 可积系统的哈密顿及其运 动是完全可以 给出分析解的。 若h中不显含时间， 则方程 ( 2 . 1) 描述的是自 治哈密顿系统。 若显含有时 间， 可以 通 过正则 扩充得到 新的 不显 含时间 的 哈密顿函 数【 5 1 . 如果存在一个变换: p ， ， q ， 峥去， 6 ， h 印， ， q ) = h ( 去 ， 0 ) 使得在新的 坐标系(j， e ) 中，h与0 ， 无关而只是去的函 数 第二章 哈密顿系统求解方法 h= h 认， 人， 人) 则9 ， 称为 循环坐标。 此时， 正 则方 程为 0 1 = = 。 (j， 人4 二 人) ( 2 . 2 ) =0 爵尝 去 ，0 ， 分别 称为角 度变量 和作用 变量。 这种正则 方程的 形式保持不变的 变 换称为 正 则 变 换 。 显 然， 变 换 后h 中 循 环 坐 标 e ， 的 出 现 意味 着 对 应 的 广 义 动量 去为 一 运 动 积 分。 如 果 有n 个 运 动 积 分去= 。 ， (i 二 1 必二 n)， 则 形 式(2 . 2)即 可 给 出 系 统的全部解析解。 以此看来， 求解可积哈密顿系统， 应该选择合适的广义变量进 行正则变换， 使得在新坐标系下能获得足够多的 运动积分。 下面给出四种不同形 式的 正 则 变换6 刀 : 首 先正 则 变换p ， ， ql峥凡9的 条 件是 艺饥叱一 君 dqt)+(h 一 均心 = du ( 2 . 3 ) 其中h 为变换后的哈密顿。口 u为恰当微分 ( 函数u的全微分) ，叫做母函数。 一、u可以 写为伪 ， q，t) 的函数，有 a u_日 u p =丁一巧 =一二万 心 口 1口 9 h一 h = 丝 次 ( 2 . 4 ) 二、u可以 写为伽， q，t) 的函数， 有 _a u刁 u 式 =一下 二 丁价 =一二 尸 口 必哪， t h一 h = 丝 次 三、u 可以 写为(q ， p，o 的函 数， 有 ( 2 . 5 ) a uoa u p， =二一，场 =丁二 四，例1 尸_ h = 丝 份 ( 2 . 6 ) 第二章 哈密顿系统求解方法 四 、 u 可以 写为伽， p，t) 的 函 数， 有 a u。日 u q l =一二 甲场 =二 不 ， 甲 矛口 巧 a u 打 打 = 份 ( 2 . 7 ) 若h中不显含t ，则方程 ( 2 ， 3 )没有透项，( 2 . 4 ) 、( 2 . 5 ) 、( 2 ， 6 ) 、( 2 . 7 ) 只有前两式. 可见，正则变换的关键是寻求合适的母函数u，母函数u选择恰当，循环 坐标就多， 求解简单。 但是合适的母函数往往难于求得。 然而一种特殊的正则变 换可以 把求母函数的问题转化为求一阶偏微分方程，从而彻底求解正则方程。 若一特殊正则变换使新变量君 ， 9表示的哈密顿h ， 为 0 ，则由 正则方程知 君 ， e全部 为 常数a ， 乡 ， (i = 玖二 n)。 选母函 数为5 (q ， p，t) ， 韶一、 . 万+ 打妙 ; q l ， q z q ， ; p i ， p z ， 几) =u 亡 万 则由 ( 2 . 6 ) 有 64 ， ( 2 . 8 ) 韶 ， . _ pt =二 犷 一 u=毕 ， 川 啊 淤 ( 2 . 9 ) 将 (2. 9) 代入 (2. 8) 就得到哈 一 雅方程 留_ _ ，留留韶 、 . 丁+月(t;ql， 乳 乳; 了一， 二 ， ” 二 尸 一 ) =u “四1四2卯。 ( 2 . 1 0 ) 只要由 哈 一 雅 方 程 (2， 1 0)解出5 ， 我 们就 可以由(2. 9)求p ， (i = 1 ，2 ， n)，由 as， . _ p =丁一( 1 = 石刃 认飞 j 求么. 而 且 哈 一 雅方 程(2 . 10 ) 这 样的 一 阶 偏 微分 方 程 可以 通 过 分离 变量 法 来 解. 这样就可以得出正则方程的全部积分。 需要指出的是， 方程 (2. 1 0) 能否真正实 现分离变量， 与所选的坐标密切相关。 常见的坐标( 球坐标， 抛物线坐标， 椭圆 坐标)以 及怎样构造一些可积系统详见w ux in的 博士论文 5 11 . 所以， 如果可 以 通过简单的正则变换得到循环坐标，就不需要解哈一 雅方程，这种情况同时可 以 用来判断系统是可积系统。 然而在许多 情况下很难通过变换出 现循环坐标， 甚 至哈一 雅方 程实施变量分离也不一定很顺利， 这种情况利用数值方法就变得便捷。 2 . 3传统数值算法及运动守恒量保持算法 不可积哈密顿系统没有分析解， 裙要借助数值方法来求解进行研究。 下面分 第二章 哈密顿系统求解方法 别介绍几种数值求解方法。 2 . 3 . 1传统数值方法 传统数值方法在精度要求不高时，可以采用简单低阶方法求出 方程数值解， 而且是我们进一步构造高精度算法的基础。 通常有欧拉法、 龙格库塔法 ( r k法) 等。 下面对 动力学 方 程y (x) = f(x， y ( x 刀， 分别简要 介 绍这两 种方法。 ( 1) 欧拉法 设h 为时间步长，由向 前差分公式 6 81 y ，( x ， ) .2 互 王 1 士 里2 二 匹 业， h 城气 ) = yl， 少 ，(x， ) = f (x， 另 ) ( 2 . 1 1 ) 可以 得到欧拉法的一般表达式: yl+i “ 另+ hf( xl ， y ， )( 2 . 1 2 ) 由 泰 勒 展 开 可 一 知 道 它 的 局部 截 断 误 差 为 : 尺= h z y 认)/ 2 + 口 伪 3 ) ， 也 就 是说， 此欧拉法具有一阶精度. ( 2 )r k法及r k f 法 rk法的一般形式为【 6 81: y t+l= y ， + 凡 凡+ 礼 凡+.二 + 礼k. ki= hf(x， 另 ) 凡= hf (x，+ a z h ， y， + p z ， ki) 凡= hf( x + a 3 h ， yl+ p ， 1 凡+ p 32 k 2 ) ( 2 . 1 3 ) k. = hf(x，十 “ 。 h， yt+ p o i ki+ 氏2 凡+.二 + 氏， 一 k 卜 1 ) 其中凡、 “ 。 、p 都是 常 数， 通常 选 取 这 些常 数 使 局 部 截断 误 差尽 可能小 一 些. 这种 方 法的 主 要 运 算 量在于k 的 计 算， 19 “年b u 比 h e r 给出 了 运 算 量与 可达到的最高精度阶数的关系6 91: 表格2 . irk法运算量与可达到的最高精度阶数的 关系 步 计 算 戈的 个 效 234567n之8 可 达到 的 t高 精 度 o(h 2 )0 ( h 3 )o(h ) 0 ( h 4 )0 ( h ， )0 ( h )0 ( h 一) 第二章 哈密顿系统求解方法 从这个关系来看， 精度要求不高时， 四阶r k法具有一定的优势， 所以 我们经常 使用，其经典形式可表示为: yl+ 1 二 ” + 告 (k， + 2 、 十 3二 + k. ) 凡= hf( 气 ， yl ) 凡 = hf(x，+ hl2， 为+ 凡/ 2) 凡 = 丫( xt+ h / 2 ， yl+ k : / 2) k. = 丫(x，+ h， y 。 + 凡) ( 2 . 1 4 ) f十!.ji!胜.