（概率论与数理统计专业论文）序贯概率比的讨论及其在质量控制中的应用.pdf

摘要 摘要 序贯概率比检验是一种简单实用的检验方法，在许多数据处理问题中都得 到了广泛的应用。在序贯概率比检验中，边界检验值的确定对于序贯概率比的 检验结果起着重要的作用。本文简单阐述了序贯概率比的原理，分析了第1 类错 误概率、第类错误概率以及边界检验值之间的关系，近似地计算了检验的平 均运行步长。已经被广泛应用于生产实践的质量控制图主要是用来监控生产过 程的状态正常与否，但是由于第1 类错误和第类错误的存在，在使用这些方法 的时候，很可能出现当前运行状态的误报，所以人们关心误报率的大小以及控 制图的灵敏度问题。其中，一个重要的参数就是控制图的平均运行步长。已经 有学者在这方面进行过不少研究，目前我们也有了多种计算a r l 值的方法，这 些方法有着它们各自的优势。有学者利用序贯概率比检验得到的c u s u m 控制 图a r l 的近似值算法是一种较为简便的方法。本文结合序贯概率比检验和质量 控制理论，进一步总结分析c u s u m 控制图的平均运行步长近似计算公式， 并 对e w m a 控制图的平均运行步长的近似计算公式进行了一定的探索，给出一个 简单的结论。 关键词：序贯概率比检验，质量控制图，平均运行步长，近似值 a b s t r a c t a b s t r a c t t h es e q u e n t i a lp r o b a b i l i t yr a t i ot e s tw h i c hi ss i m p l ea n dp r a c t i c a lt e s tm e t h o d h a v eb e i n ga d o p t e da n dw i d e l yu s e dt oa n a l y z ed a t e a b o u tt h es e q u e n t i a lp r o b a b i l i t y r a t i ot e s t ，s e l e c t i n gb o u n d a r yi sa ni m p o r t a n tt a s k ，w h i c hg r e a t l ye f f e c to nt h e c o n c l u s i o n t h ea r t i c l ee x p o u n d st h et h e o r e t i c sa n da n a l y z e st h er e l a t i o no ft h et y p e ie r r o r , t y p e e r r o ra n dt h eb o u n d a r y b yt h et i m ew eo b t a i nt h ea v e r a g eo fr u n l e n g t hn a m e l ya r l o ft h et e s t n ec o n t r o lc h a r t sw h i c hg r e a t l yu s e di np r a c t i c e u s u a l l ya r es i g ns h o w i n gt h er u no ft h ep r o d u c tl i n ei sn o r m a lo re x c e p t i o n a l a sa r e s u l to ft h et y p eie r r o r , t y p e e r r o r , i tm i g h ts e n daw r o n gs i g ns ot h a tw ew o u l d d e b u gt h ep r o g r a ma n dm i g h tc o s tu n n e c e s s a r ym o n e yo rt i m e t h e r e f o r ew eh a v et o p a ya t t e n t i o nt ot h ep r o b a b i l i t yo fs e n d i n gt h ew r o n gs i g n f o rw h i c ht h ea r l i sa n i m p o r t a n tp a r a m e t e r m a n ys c h o l a r sh a v ed o n el o t so fw o r ka n do b t a i n e ds e v e r a l m e t h o d si nc a l c u l a t i n gt h ea r l e a c hm e t h o dh a sm e i ra d v a n t a g e t h em e t h o dw h i c h i so b t a i n e db yt h es e q u e n t i a lp r o b a b i l i t ) rr a t i ot e s ti ss i m p l ef o rc a l c u l a t i n gt h ea r lo f t h ec u s u m t h ea r t i c l ee x p o u n d st h em e t h o db yt h es e q u e n t i a lp r o b a b i l i t yr a t i ot e s t a n dt h eq u a l i t yc o n t r o lt h e o r ya n dg i v e sam e t h o dt oa p p r o x i m a t e l yc a l c u l a t et h ea r l o f t h ee w m a k e y w o r d ：s e q u e n t i a lp r o b a b i l i t yr a t i ot e s t ，c o n t r o lc h a r t ，a v e r a g eo f r u nl e n g t h ， a p p r o x i m a t e v a l u e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：钿铂 y 缉i y j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ，。、+ “、y ”j y v + + - 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) i 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) l 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) “_ _ _ 一- v 一， 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：乒1 氙刍 州年| fri 第一章引言 第一章引言 随着人类社会生产力的高速发展，人们对产品的质量要求也不断地随之提 高。正如美国著名管理专家j m j u r a n 在1 9 9 4 年美国质量管理学会上所说，2 0 世纪将以“生产率的世纪 载入史册；2 1 世纪则是“质量的世纪 。如今，任何 行业的竞争最终都回归于质量的比拼。顾客对产品质量的看重，使得生产企业 不得不更加重视产品的生产过程监控，从而提高产品的质量以满足人们更高的 需求。 统计过程控制( s t a t i s t i c a lp r o c e s sc o n t r o l ，s p c ) 的引入正是为了对过程的 各个阶段进行监控，为质量管理提供信息和依据，从而改进和保证产品质量， 改善生产能力。统计过程控制技术是许多国际性企业广泛采用的质量管理和改 善的技术方法。它通过运用控制图对生产过程进行分析评价，根据反馈的信息 及时发现系统因素出现的征兆，并采取措施消除其影响，使过程维持在仅受随 机性因素影响的受控状态，以达到控制质量的目的。目前主要的并且使用较为 广泛的有三类，即s h e w h a r t 控制图、累加和控制图( c u s u m ) 和指数加权移动 平均控制图( e 州) 。使用这些方法对某个过程进行监控，当此过程超出受控 状态时发出报警。这里有个重要的问题，即检验是存在第1 类错误和第类错误 的，因此在使用这些方法的时候可能会出现把受控状态误报为失控状态，也可 能对于已处于失控状态的情况未能预报。这就不利于生产率的提高，也加大了 生产的成本，所以人们非常关心这些方法在受控状态时产生误报的时间长度， 以及在失控状态时能够及时预报的时间间隔，也就是需要研究这些方法的平均 运行步长( a v e r a g er u nl e n g t h ，即a r l ) 。习惯上用蛐表示在受控状态时产 生误报的时间长度，用a r l l 表示在失控状态时能够及时预报的时间间隔。 对于某个控制图的a i u 的计算，目前主要有以下三种方法：m a r k o v 链法、 f r e dh o l m 积分法以及m o n e tc a r l o 随机模拟法。这些方法能够得到较为精确的 a r l 的值，但是m a r k o v 链法和f r e dh o l m 积分法计算较为复杂，而m o n e tc a r l o 随机模拟法又主要依靠高性能的计算机，所以给他们的应用带来一定的操作困 难。本文将介绍一种基于序贯概率比检验的方法来计算a r l 的近似值，这种方 法在w o o d a l l 和a d a m s 的文章“t h es t a t i s t i c a ld e s i g no f c u s u mc h a r t s ”中已经 提及，并用来计算c u s u m 的a r l 近似值。我们将对这种方法进行详细的整理， 第一章引言 并且进行探索性的改进，以适应e w m a 的a r l 近似值的计算。虽然利用这种 方法得到a r l 的值精确度略差，但是公式简单，使用方便即是它的大特色。 本文将在第二章介绍序贯概率比检验的定义，并给出两个简单的例子作说 明，第三章将分别在简单假设和复杂假设情况下研究利用序贯概率比计算 ，曰 和e t ( ) 的近似值，第四章将简单地介绍方法的优点和缺点，第五章 会简单介绍计算a r l 的m a r k o v 链法、f r e dh o l m 积分法以及m o n e tc a r l o 随机 模拟法，并给出利用序贯概率比检验得到的c u s u m 以及e w m a 的近似值，第 六章将进行总结。 2 第二章定义 第二章定义 在n e y m a n p e a r s o nl e m m a 的简单假设检验中，设x 为随机变量，其概率密 度函数为厂。原假设风：= 五，对立假设h i ：f = z ，定义似然比为 z ( 功= z ( 功厶( 力，选取适当的常数，| ( ， o ) 。当，( 功，时，拒绝原假设；当 ，( x ) ，时，接受原假设。事实上，依据观测量x 和不大于某一显著性水平 口= 二p ( 力，) 的假设检验还应该有不小- - z - e , l ( 石) 广) 的功效( 其中异，暑分别为 在假设何。和且下的概率) 。( c f i c o xa n dh i n k l e y , 1 9 7 4 ，p 9 1 显著性水平、功效函 数) 序贯概率比检验中，如果得到的l ( x ) 较大，则拒绝原假设，如果得到的，( 曲 较小，则接受原假设，如果得到的z ( 石) 处于所希望的较大和较小值之间，则迸一 步采集数据进行判断。具体地说就是选取随机变量序列而，x 2 ，使用它们的联 合密度函数 p k 嘶，嗾 - - i n ，彘弦百坛n = 1 ，2 ，) 进行判断。 考虑简单假设风：以= f o 。，h 。：以= 石。， 令 l = z 。g l 一，) = z 。g l ，一，矗) j o 。g l ，一，毛) 。选取常数0 彳 b o o ( 一般选 取么 i b ) 和样本序列x 。，z 2 ，样本序列选取的个数( 即停止信号) 取决于 随机数， = 首? 扒对所箍缳功 眩- ， 如果 0 0 ，当如b 时，拒绝原假设：当，a 时，接受原假设。我们必 须关心这个检验过程是否确实能停止，即鼻 o o _ - 1o = o ，1 ) 。假设它确能停 止，那么p o n 召) 即是检验的显著性水平，置占) 就是检验的功效。此时， 3 第二章定义 还可以研究样本大小n 的分布b = 刀) 露= 1 , 2 ，及其期望量( ) ；f = 0 , 1 。此检 验在观测量x 。为独立同分布情况下更具优势，它比其他的序贯检验得到的 e i ( n l i = 0 , 1 要小。此结论已得到证明( f e r g u s o n ，1 9 6 7 ，p 3 6 5 ) 。下面介绍两个简 单并且有用的例子。 例1 设x i 石：，是独立同分布的，它们服从均值为方差为1 的正态分布， 检验h o ：= 盹，h i ：= l ( 不妨设o 1 ) ，似然比为 厶= 密叫珈砧) = e x p 础。一丢，z o ? 确2 ) ) ( 2 2 ) 其中矽g ) = ( 2 a - ) - 2e x p ( - 工2 2 ) ，s n = 窆。因此，停止信号( 2 1 ) 可以改写为 = 首个0 0 腔4 杀芸釜裂 汜3 ， 一 i不存在这样的刀 。7 其中，口= l o g 纠。一鳓) ，b = 1 0 9 纠。一心) ，此时，如果n b 剐 6 晓4 ， 例2 设x l 石：，是独立同分布的，它们服从两点分布乞k = 1 ) = p ， 0k = 一1 ) = q + g = 1 ) ，检验凰：夕= p o ，h l ，- p = p l ( 不妨设风 b 剐 6 其中6 = ( 1 。g b ) i 。g ( q 。p 0 1 ) 。 5 ( 2 6 ) 第三章计算足 曰) 和巨( ) 的近似值 第三章计算“曰) 和巨( ) 的近似值 第一节简单假设检验 继续使用第二章的定义和假设，并且假设鼻 o o = lo = o ，1 ) ，考虑以下 问题： ( a ) 口= 异 f b ) 和= 只“么) 与a , b 的关系； ( b ) e ( ) i = 0 , 1 与a ，b 的关系。 对于( a ) 的关系来说，较为简单的基本的方法是，设e 为咒维空间的一个 子空间，在曰。中对于j j = 1 , 2 ，l 一1 ，有4 候，磊) b ，而z 。慨，色) b 。 因此， = 甩，乙b ) = 戤1 ，一，毛) 吃) ，直接计算出 口= 异b ) = 1 蜀 = 以，厶b ) 2 军o ol 厶一蟛坛 = 苹l 等川六= 苹删；m 曰】 = 巨 z 了；0 曰 b 一1 毋矗召) = b 一1 ( 1 一) ( 注意z b - 1 ) ( 3 1 ) 同理有= ep 么) 彳异 f 么) = 4 ( 1 一口) ( 3 2 ) 式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 之所以不能成为等式，仅仅是因为当乙萑0 ，召) 时，它并 没有恰好达到边界。然而，如果忽略这个差异，并且把( 3 1 ) 和( 3 2 ) 近似地 看成等式，则有 口兰b 叫( 1 一) 兰a 0 一口) ( 3 3 ) 从( 3 3 ) 式可以粗略地解得口，的一个很简单的近似值： 6 第三章计算只p 曰) 和e ，( ) 的近似值 口兰坐侈冬彳旦!( 3 4 ) b a 3 b a 要研究的期望，需要假设观测量x 。是独立同分布的，那么 ，。= 兀以g 。) 五g 。) ) ，其中z 是五在简单假设日，o = o ，1 ) 下的概率密度函数。 k = l 上式取自然对数后得到独立同分布随机变量的一个和式 l o g = l o g f , ( x 。) k ) ) k = l 此时，停止信号可表示为+ = o om 对所糕n ，芋1 0 2 f t ：l lx 、j ，5 r r 7 目h u ，i a d 巨( ) 的近似值可以表示为( 参考w a l d 等式) ： e i o o g l ) = p i e i ( n ) 其中 ，= e 1 0 9 以g 。) f o ( x 。) ) ( 扛o ，1 ) 其中a = l o g a ，b = l o g b ( 3 5 ) 由获得( 3 3 ) 式的假设可以认为l o g 是一个取值为a 或b 的随机变量，则 有 e l o g 如) 兰a e , t 彳) + 6 只p b ) ( 3 6 ) 由( 3 4 ) 式可以得到( 3 6 ) 式的一个近似值。由( 3 4 ) 、( 3 5 ) 、( 3 6 ) 式可得 e , n 兰z l 一 4 p 一1 ) + b b ( 1 4 ) ) p a ) ( 3 7 ) 毛兰i 1 函( b 一1 ) + 6 ( 1 一么) ) ( b a ) ( 3 8 ) 注意o 0 l 。事实上，因为l o g x x 一1 当且仅当石= 1 时等号成立，所以 。= e o 1 。g z ( x 。) 厶b 。) ) 】= ，1 。g 以皓) 厶皓) 沉g p 善 ，以倍) 厶售) 一1 抗皓弦孝= z 售) 一厶皓) 蟛= 1 一i = 0 当且仅当厶和石是相同的密度函数时等号成立。同理可证一。 0 。由强大数定 律得 7 第三章计算只p b ) 和e ，( ) 的近似值 只* 。l o g , 一a i = 1 “= o ，n 。 ( 3 。9 ) 如果4jo ，b - - - o o ，那么在只条件下，首个f 。隹( 口，b ) 的近似时刻也就是 n t ；萑g ，6 ) 的时刻，在日。下，可用彰。来表示：e e h o 下，可用h k 。i 来表示。 这与( 3 7 ) 、( 3 8 ) 是渐近相容的。 下面介绍两个命题，主要是用来证明式( 3 5 ) 。 命题1 ( w a l d 等式) ：设y 。，y 2 ，是独立同分布的随机变量，均值为= e v 。， 设m 是整数值随机变量， 膨= 挖) 是由y l , y ：，y 。决定的随机事件( 不依赖于 厂m、 y 川，) ，并且假设e m k ) - - , z p m 露) = 删 、k = l k = lk = l mm m 对于一般的情况，记败= 赡一e y ；，其中口+ = m a x ( a ，o ) ，口一= - m i n ( 口，o ) ， k = lk = lk = 1 分别讨论即可。命题得证。 命题2 ( s t e i n 引理) 设y 。，y 2 ，是独立同分布的随机变量，且p = o ) l ， 设一 a b 0 , 0 p 以) 印”0 = 1 , 2 ，) 。事实上 e m ( k = 1 , 2 ，) 并且当名 l o g p _ 1 时，有e e a u 0 0 。 8 第三章计算鼻p v b ) 和巨( ) 的近似值 备注1 ：样本大小的期望的近似值式( 3 7 ) 、( 3 8 ) 可以用第一类和第二类 错误概率a ，来表示。从式( 3 3 ) 、( 3 5 ) 、( 3 6 ) 可得 耻”) l o 文半) 讹( 啬) e o n 兰p 十。g ( 半) 0 灿任 ) 要注意式( 3 1 ) 的计算过程对于许多情况都是很重要的一个结论。 设z 。，z ：，是任意一个随机变量序列，令占。表示由z 1 , z ：，z 。决定的随机变 量类，即对于】，f 。，当且仅当y = i ( z 。，z ：，z 。) 其中厂是某个b o r e l 函数。对 于一个随机事件么，记号a f 。意味着a 的示性函数l 属于占。取值为 1 ，2 ，佃) 的随机变量，如果对于所有的刀，有留= 刀) 巳，则r 被称为是停 止时间( 即停止信号) 。如果知道了z 1z ：，z 。的值，就- i d a 知道是否t = ，l 。随 机变量】，称为是停止信号t 的优先值，当】，满足条件 对所有的，l ，甄陶 乞 ( 3 1 2 ) 或者等价的写成。 厶。式( 3 1 2 ) 说明在时刻t ，如果知道了z 。，z ：，乃的 值，也就知道了】，的值。 命题3 ( w a l d 似然比恒等式) 设只，弓表示两个概率，假设对z ；，z ：，乙在 z ，r 条件下存在似然比厶s 。，对每一个l 占。，有 e 。化) = e o ( y n l 。) ( 3 1 3 ) 对于任意的停止信号r 和优先于r 的非负随机变量y ，则有 e l ( y ；丁 0 0 ) = e o ( y l r ；t 0 0 ) 事实上，如果y = ，彳，则 量0r 、留 o 。”= 民以；么n 留 ) ) 9 第三章计算只p b 和e j ( ) 的近似值 e l ( 】，；r p 来 代替简单假设。并且也想得出此时的功效函数以及样本大小与参数0 的函数及其 在o o ，b 的取值。先看一些简单的例子。 回想例2 中的对称情况，停止信号为( 2 6 ) 式，现用做复杂假设 风：p 了1 ，q ：p 吾。使得6 = i 。g b 1 。g ( q 。p i l ) 取整数，这时召没有一般性的损 耗。因为随机步长以跨度1 产生，且0 氏l = 6 ) = 1 ，因此这种情况下得到的近 似值与第一节是相同的。事实上，通过式( 3 3 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 或者备注1 ) 得 口= = 厶p = 6 ) = 1 ( 1 + b ) = 1 1 + ( g 。p 。) 6 】 e v o ( ) = - p 。i b ( 1 - 2 a ) 现在假设p 寺，但是p 风。因为( 2 6 ) 式没有明确的说必须是p o ，所 以它也可认为是原假设p 与对立假设1 一p 的序贯概率比检验，只是此时b 的取 值不同。也就是说( 2 6 ) 式可以写成 ，= 首个，j - 。，p ，最萑 ( ； 6 ) ，( 詈) 6 c 3 4 ) 上式形如，。芒陋一b 。) ，其中乙就是当p o = p ，p 。= g 的( 2 5 ) 式，b 。= q p ) 6 。 因此，恰当地应用第一节的近似值就可得出p i 1 的一般情况下的0p = 6 ) 和 e p ( ) ，即 o p = 6 ) = 1 缸+ ( g p ) 6 j ( 3 1 5 ) 0 ( ) = k p l b l 一2 乞p = 6 ) | ( 3 1 6 ) 并且可以通过对( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 取极限p 专号得到p = 号时的结果。 第三章计算鼻 ，曰) 和e i ( ) 的近似值 类似的可以讨论例1 ，但是需要注意此时的近似值不再是等式。考虑对称情 况得到的( 2 4 ) 式，注意此时( 3 1 ) 式变为口 0 ，有 p p 6 ) 0 ，有 = 首个，z - 1 n 从g 。) 厶g 。) ) 芒( a , b ) 并且由( 3 4 ) 式得 ：首个，z l n 扩x 。) 肜g 。) ) 诺c 4 q ，b 岛) ( 3 2 0 ) 器 兰 、7 3 口 1 一p 弓 第三章计算鼻 f 曰) 和e ( ) 的近似值 同理，对于1 9 l o 也可以得出结论，并且还可以解出e i ( ) 。 注意如果( 3 1 9 ) 式成立，当且仅当 制岛眦= 2 - ， 设z g ) = l o g 以( d f o ( d ，定义函数y p ) 为 e y ( 口) ：广e ( x 厂g 炳 ( 3 2 2 ) 一- - o o 注意上式积分收敛，并且两边同除以e 吵( 口) 得 p 嘶m 厂g 协= 1 可以看出 厶g ) = p b h ( 口厂g ) 定义出了一个指数分布族，并且存在b 0 ，当y ) = o 时，满足( 3 1 9 ) 和( 3 2 1 ) 式。事实上，b 的存在性可以通过对( 3 2 2 ) 式求导得出，即 y p ) = z g 珑g 协 y p ) = j 二【z g ) 】2 厶g ) 出一陟7 p 汗o 所以y p ) 是下凸函数。再有由( 3 妫式可知，当口= 0 时，吵p ) = 0 。所以y p ) 的图形一定是图3 1中的一种。并且如果1 9 l 存在，一定有 少7 ( o ) = z g ) ，g 皿= 巧z 0 。) o 。 1 4 第三章计算只p b 和e i ( ) 的近似值 y p ) l y7 ( o ) 0 。 9 v r 护 第四章序贯概率比的优势与不足 第四章序贯概率比的优势与不足 第一节序贯概率比的优势 对于观测量是独立i 司分布的二者选其一的简单1 段设，序贯概率比检验与其 他假设检验相比，在原假设和备则假设下都是需要样本较小的。 假设独立观测量x 。，x ：，是来自概率密度函数为厂的总体，它们的概率密度 函数不是厶就是石。并假设在观测量的概率密度函数为厶时，样本大小我们不 必考虑；而当概率密度函数为石时，每多消耗一个观测量，都将有一定的花费， 所以我们要尽快停止该过程，以拒绝原假设日。：f = f o 。关于原假设的停止时间 记为r ，如果丁 ，则拒绝h o 。即，要使得昂扩 ) 最小化，一般以第一类 错误概率口为界，同时巨( 丁) 也最小。考虑单边的序贯概率比检验，即停止信号 为： = 首2m 对所篙乞曰 ， 其中乙= 兀以g 。) 厶g 。) ) 。在( 3 1 ) 和( 2 7 ) 中，令么jo 则有： r v ) ( 5 8 ) 限制条件 e f b ( 5 9 ) 其中b 为给定的一个较大的常数。 下面讨论解决这个问题的方法。假设，x ：，x 。可观测。对于1 1 ，甩，原 假设风表示x i ，x ：，石的概率密度函数为厶，小的概率密度函数为 石，对立假设日。表示概率密度函数没有变化，则日，对h 。的对数似然比为 1 0 9 阮g 。) 厶g 。) 】。使得1 0 9 阮x k ) 厶k ) 】取最大值的v ( 1 v ，z ) 体现出 了这种变化的发生，即可取对数似然比统计量为 躐伍一瓦) = 蕞一哪m i ：n 。s k ( 5 1 0 ) 其中最：nl o g k g ，) 兀g ，) 】。当( 潞式的取值大于某个数时，即为停止信 ，= l 号，即 f = i n f n ：瓯一r a i s n 。彤6 j ( 5 1 1 ) 注意，为了更简便地计算上式，通常以第一个点为起始点，随着珂的增大，若瓦 小于等于起始点，则把l 点当作新的起始点，以后的计算从此点开始，以此类 推。即当爱= 雠m i ；n 。, 7 。，s 。+ ：- 一r a i n ，s k = 包吖一蔓) 一跳鼠+ 。一曩) 。 下面有几个重要的结论。首先，由( 5 1 0 ) 式可以看出，其取值在，一1 之后 必然不会小于 ，一1 之前，所以对于( 5 1 1 ) 式定义的f ，有 s u p e v ( r v + l i t 1 ，) = 巨f 。因此如果要估计( 5 8 ) 和( 5 9 ) ，就必须计算出 e v ( r ) ( v = o ，1 ) 。其次，f 可以定义为以下的序贯概率比检验，设 l = i n f l z ：最诺( o ，6 ) ) ( 5 1 2 ) 第五章a r l 的计算 如果瓦6 ，则f = l ，否则瓦 2 。r a s 叫i n s k ， o s 庀s l 并定义 2 = i n f 托：咒1 ，瓦+ 。一瓦。萑( o ，6 ) ) 如果瓦+ 2 一瓦6 ，贝t jr = l + 2 ，否则瓦+ 22 。掘r a i + i n 2 受， 显然有 其中 s 。 以此类推，有 以= i f n ：r t 1 ，瓦一+ 。一瓦诺( o ，6 ) j ( 5 1 3 ) t = n l + n 2 + 七n m ( 5 1 4 ) m = i n f 任：s n , + 斗坼一s “n , + + 以一6 ) ( 5 1 5 ) j l 6 + y d 一 6 + x 、，l 、 x r 、 一 n 1 n l + n 2 n + n 1 + n ，= t 图5 3 对于独立同分布的随机变量x 。，x ：，由命题1 和( 5 1 4 ) 式得 e r = e n i e m 由( 5 1 5 ) 式可以看出，必是无记忆性的几何分布，即e ( 必) = p 瓯6 ) 。则 有 e p ) = e ( 1 ) 尸瓯易) ( 5 1 6 ) 2 3 第五章a r l 的计算 对于( 5 1 6 ) 式，利用第二节的近似公式时，由于口= 0 ，会出现0 0 型，此 时可以用a _ 0 的极限求解，如洛必达法则等。根据( 3 4 ) 、( 3 7 ) 和( 3 8 ) 式 ( 注意口= 1 。g a ，b = l 。g b ，昂瓯6 ) = 口，互鼠6 ) = 1 一) ，可以得出： e o ( o - - 1 8 6 - b 一1 i l 。l e 。 ) = g 。6 + 6 1 ) ( 5 1 7 ) 其中鸬= e i 1 0 9 f l ( x , ) f o “) ) 】= f 缸o g 阮( 力五o ) 耽( 石) 出g = o ，1 ) 。 如果厶和z 属于单参数指数分布族，按照第三节所述，当x 1x ：，是独立同分布 时，记 d g ( x ) = e x p o z ( x ) 一少( p ) 泗( x ) ( 5 1 8 ) 任取原假设的均值为吼，对立假设的均值为q ，停止信号( 5 1 1 ) 可以表示为 i f = i n f b ：峨一跳蝇叫 ( 5 1 9 ) 其中= 统一o o ，b = a b 。由( 5 1 8 ) 得 n a h 岛一岛 龌= l o g 阮g 。) 厶g 。) 】= z l o g k ( x 。) f o ( x 。) 女= lk = l = 鼢燃= 鼢奴吒k ) 由式( 5 1 1 ) 有( 5 1 7 ) 的结果可知，式( 5 1 9 ) 也有类似结果 ) 兰i e x p 一1 ) a b 一( 一1 ) a b 一, i l 谚i = e x p ( 一1 ) a b 一( 一1 ) a b l i l ，l 。g 矗( 石) ( 工) 厶( x ) 出i = l e x p ( 一1 ) 6 ) 一( 一1 ) a b 一1 协1 0 9 z ) i f o ( x ) 厶( x ) d x l = i e ，币k 一1 ) 6 一( - 1 ) a b l l y ( q ) j ( 5 2 0 ) 对于c u s u m 控制表，考虑特殊情况z ( x ) = o + ( 一1 ) 2 ) 且扭( 功= 矽( x ) 出， 则z ( x ) = x ，对称情况下q = p ，吼= - 0 ，式( 6 1 3 ) 可化为 蜀p ) 兰f e x p ( - 2 功) + 2 劬一l i ( 2 9 2 ) ( 5 2 1 ) 第五章a r l 的计算 注意，直接用此结果得到的近似值不是很好，取b = b + 1 1 6 6 调整之后的近 似值会较为准确。 对于e w m a 控制表，观测量为乞= 以+ ( 1 - 2 ) z 扣l ，其中0 名 - - j 期间给我的帮助和支持。 最后，再次向各位辛勤耕耘的老师表示诚挚的谢意和深深的感谢。 参考文献 参考文献 【l 】m o n t g o m e r y ，d c ，i n t r o d u c t i o nt os t a t i s t i c a lq u a l i t yc o n t r o l ，3 ”e d ，j o h nw i l e y ，n e w y o r k ，2 0 0 1 【2 】 w o o d a u ，w h a n da d a m s ，b m ( 19 9 3 ) “t h es t a t i s t i c a ld e s i g no fc u s u m c h a r t s ”q u a l i t ye n g i n e e r i n g5 ，p p 5 5 9 - 5 7 0 【3 】h a w k i n s ，d m ( 1 9 9 2 ) “af a s ta c c u r a t ea p p r o x i m a t i o no fa v e r a g er u nl e n g t h so f c u s u mc o n t r o lc h a r t s ”j o u r n a lo f q u a l i t y t e c h n o l o g y3 5 ，p p 3 3 5 - 3 6 6 4 】h u n t e r ，j s ( 1 9 8 6 ) 1 t h ee x p o n e n t i a l l yw e i g h t e dm o v i n ga v e r a g e ”j o u r n a lo f q u a l i t y t e c h n o l o g y1 8 ，p p 2 0 3 - 2 1 0 5 l a i ，t l ( 2 0 01 ) “s e q u e n t i a la n a l y s i s ：s o m e c l a s s i c a lp r o b l e m sa n dn e w c h a l l e n g e s ”s t a t i s f i e as i n i c a11 ，l a p 3 0 3 - 3 5 0 【6 】s i e g m u n d ，d ，s e q u e n t i a la n a l y s i s ：t e s t sa n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e w y o r k ，1 9 8 5 【7 】g o e l a l ，w u s m d e t e r m i n a t i o no f a r la n dac o n t o u rn o m o g r a mf o rc u s u mc h a r t st o c o n t r o ln o r m a lm e a n j 】t e c h n om e t r i c s ，1 9 7 1 v 0 1 1 3 ( 2 ) ：2 2 1 2 3 0 8 】 b r o o k ，d a n de v a n s ，d aa na p p r o a c ht ot h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no fc u s u mr u n l e n g t h b i o m e t r i k a 1 9 7 2 v 0 1 5 9 ( 3 ) - 5 3 9 - 5 4 9 【9 】c h a m p ，w c a n dr i g d o n ，s e ac o m p a r i s o no ft h em a r k o vc h a i na n dt h ei n t e g r a l e q u a t i o na p p r o a c h e s f o r e v a l u a t i n g t h e r n n l e n g t h d i s t r i b u t i o no f q u a l i t y c o n t r o l c h a r t s c o m m u n i c a t i o n si ns t a t i s t i c s ：s i m u l a t i o na n dc o m p u t a t i o n 1 9 9 1 v 0 1 2 0 ( 1 ) ：1 9 1 2 0 4 1 0 】