（概率论与数理统计专业论文）￠—混合误差下部分线性模型的经验似然.pdf

矽一混合误差下部分线性模型的经验似然 二0 0 二级概率统计专业数理统计方向研究生 贺星星 导师王成名教授 摘要 经验似然是o w e n ( 1 9 8 8 ) 1 1 1 在完全样本下提出的一种非参数统计推断方法，它有类似 b o o t s t r a p 的抽样特性这一方法与经典的或现代的统计方法比较有很多突出的优点，如： 用经验似然方法构造置信区间具有域保持性，变换不变性，置信域的形状由数据自行决定， 以及b a r t l e t t 纠偏性和无需构造轴统计量等诸多优点正因为如此，这一方法引起了许多统 计学家的兴趣，他们将这一方法应用到多种统计模型，如线性模型，广义线性模型，部分线性 模型，偏度抽样模型，回归函数，分位数估计，m 一泛函，密度核估计，有偏样本，讨厌参 数，时间序列，条件分位数和条件密度等但所有这些都是在样本独立同分布的情形下加以讨 论的，k i t a m u r a ，k i m c h i ( 1 9 9 7 ) 【4 j 将经验似然应用到弱相依的情形，张军舰、王成名、王炜 忻( 1 9 9 9 ) 删分别在m 一相依、o t 一混台与一混台情形下，对经验似然进行了研究，得到了 类似于独立同分布时的结果 而部分线性模型是e n g l e e ta 1 ( 1 9 8 6 ) 1 6 j 在研究气候条件对电力需求影响这一实际问胚时 提出的这一统计分支在近年兴起，无论在实际应用上还是理论研究上，它都受到了许多学者 的关注同其它回归模型问题一样，人们对此课胚理论研究的兴趣主要集中在大样本性质上， 并自八十年代初以来取得了丰硕的研究成果：主要是在多种假设条件下研究卢渐近有效估计的 构造，卢加权最小二乘估计阮的渐近正态性，卢估计协方差函数的渐近性质，卢与口，。( g 的估计) 的最优强弱收敛速度等p 与g 的估计性质近两年来，我国统计学者在估计的渐近有 效性，m 估计的渐近正态性，参数分量估计渐近分布的b e r r y e s s e n 界限及其重对数律 等方面的研究上又得到了一些相当深刻的结果s h ij i a n ，l a u t a i s h i n g 7 等对此模型的经 验似然进行过讨论，但也是基于样本独立同分布时的情形本文将此模型推广到固定设计一 混合误差情形，并在此情形下讨论回归系数的经验似然比估计及其置信区域 考虑下面的部分线性模型 y = z7 卢+ 9 ( t ) + e ( 2 1 ) 这里( z ，t ) r p r ，t 的支撑集为有界闭集，不妨设为【o ，1 】，g 是定义于 o ，1 上的未知函 数，卢r p 是一未知待估的回归系数，y r 是因变量，e r 是不可观测的随机误差本文 l 中，我们假设( z 1 ，t 1 ) 7 ，( x 。，t n ) 7 为固定设计向量，9 1 ，一，为相应的观察值，6 1 ，n 为强平稳毋一混合实随机误差序列，混合速度咖( n ) 满足1 毋( n ) l0 ，墨1 口( i ) 0 ，e i e l l 4 = 肛4 o o ，对于i = l ，一，竹 要对部分线性模型应用经验似然方法，首先必须给出随机误差序列的近似值假定卢己 知，则模型( 21 ) 可简化为非参数回归模型y z 卢= g ( t ) + e ，从而目可按非参数情形来估 计在此，我们采用权函数方法来估计非参数部分9 ，即定义9 ( ) 的估计为 n 讹卢) = 。( t ) 一z ：卢) i = 1 其中 眦。( t ) ：1 i n ) 为非负权函数列令 i 。= z ；一暇u ( 。) q 巩2 i “z u ： 五= i 。磊 勘= 。一。( ) 易 讯) = ) 一w 锄( 屯) ( 勺) 厶= ：即：氐= ：硒： 1n1 n 磊= ：窭z 菇= ，臻 对1 曼i 曼n 假设岛为模型的真实参数，则残差估计为 吼= 玑一j ( 。) 协 i 。= 一暇u ( t 。) “j a 。= ：赫： k = i 邑爱 n 邑( 口0 ) = 们一z ：口0 一( t 。，口0 ) = 。一- k 。( t 。) 勺= 蟊一i z 阮 j = l 且e ( 肺) ) = 0 ，1 兰i n 因此，我们可把磊看作随机误差序列 6 ， ；n1 的随机估计； i ，和f 分别看作。，y ，的中心化值 现在我们通过经验似然原则来定义模型( 2 1 ) 的似然函数对任一p r p ，在约束条件 墨1 胁磊= 0 ，娶1 a = 1 ，n 0 ( 1 i n ) 下，定义卢的经验似然函数为 n l 。1 ( 口) = s u p1 1 耽 ( 22 ) p i ：p 2 i 。p ”i = 1 因此其最大经验似然估计可定义为磊= a r g m a x 3 ml 。l ) 且( 22 ) 的非参数( 1 0 9 ) 经验 似然比为 l r l ( 口0 ) = l o g l 。1 ( 3 0 ) 一l o g l 。l ( 卢) ( 2 3 ) 2 令 武( 口) ) 冬1 满足l 。1 ( _ 臼) = 兀：1 a ( 卢) ，其中卢彤，由定理1 的证明可知l ，。1 ( 声) 在 血( 声) = i 1 ，1 i n 且卢= ( 坠1 i 面：) 一1 警1 i 。吼处取得最大值 为了建立l r i ( 卢o ) 的理论，此模型需要加上一些必要假设z 对于0 0 ) ，则 一2 l r l ( 3 0 ) 型，z 协2 钟) - 1 z 3 n 一 一 ll | | 0u 暇 。同 。触 器 其中钨，a 为p 。p 阶矩阵，z n d o ，粕) ，g ( o ，a 3 ) 为p 维正态分布 因a o 与口2 均未知，按定理i 构造置信区域没有多大实际意义，故需对它进行改进为 此，我们利用分组经验似然构造新的经验似然比统计量，以使其极限分布不含未知参数 令h = 【n 。1 ，9 = h 嘲，使得n = g h ，其中0 a o ) ，则 一2 加2 ( 阮) 霉x 知) 其中x 函为自由度为p 的卡方分布 因此，由定理2 即可构造参数卢的置信区域亦即：对任意的0 a c a ) sd ，则陋) 竺伊f 妒：一2 l r 2 ( 卢) sc o , ，即为卢的置信度为( 1 一a ) 的 置信区域 上述用正态逼近方法得到的非参数似然比有两个优点：一是( n ) 无需事先假定其对称， 因而能很好地与其真实分布的形状相吻合；二是无须像非参数或半参数情形那样复杂地去估计 其渐近方差 关键词：固定设计，毋一混合误差，部分线性模型，经验似然，非参数似然比，权函数 4 e m p i r i c a ll i k e l i h o o df o rp a r t i a l l yl i n e a rm o d e l su n d e r 击一 m i x i n ge r r o r h ex i n g x i n g m a j o r ：p r o b a b i l i t yt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s g r a d e ：2 0 0 2 t u r t o r ：p r o f w a n gc h e n g m i n g a b s t r a c t e m p i r i c a ll i k e l i h o o di s ak i n do fn o n p a r a m e t e ri n f e r r i n gm e t h o dw h i c hw a si n t r o d u e e db yo w e n ( 1 9 8 8 ) 1i nf u l l s a m p l ea n di th a st h es i m i l a rf e a t u r et ob o o t s t r a p c o m p a e dw i t hc l a s s i c a lo rm o d e r ni n f e r r i n gm e t h o d ，i th a ss or n a l l yp r o j e c t i n gf a c i l i t i e st h a ti ta r o u s eg r e a ti n t e r e s t so fs t a t i s t i c i a n s t h e ya p p l yi tt om a n ys t a t i s t i cm o d e l s ，s u c ha sl i n e a rm o d e l ，g e n e r a l i z e dl i n e a rm o d e l ，p a r t i a ll i n e a rm o d e l ，b i a s e ds a m ， ：p l em o d e l lr e g r e s s i o nm o d e l ，q u a n t i l ee s t i m a t i o n ，m f u n c t i o n a l s ，d e n s i t yk e r n e le s ， t i m a t i o n ，b i a s e ds a m p l e ，n u i s a n c ep a r a m e t e r ，t i m es e r i e s ，c o n d i t i o n a lq u a n t i l ca n dc o n d i t i o n a ld e n s i t y b u tt h es a m p l e st h e yd i s c u s s e da l ei n d e p e n d e n c ei d e n t i t yd i s t r i b u t i o n k i t a m u r a ，k i m e h i ( 1 9 9 7 ) 4 1a p p l i e d i tt ow e a kd e p e n d e n c em o d e l ，z h a ，n gj u n j i a n ，w a n gc h e n g m i n g ，w a n gw e i x i n ( 1 9 9 9 ) 5 】i n v e s t i g a t ei tt om d e p e n d e n t ，一l n i x i n g a n d 西一m n i n ga n dg e tt h es i m i l a sr e s u l t st oi n d e p e n d e n c ei d e n t i t yd i s t r i b u t i o n t h ep a r t i a l l yl i n e a rm o d e lo r i g i n a t e df r o me n g l ee ta 1 ( 1 9 8 6 ) 6 】w h e nh es t u d y e dc l i m a t e se f f e c to ne l e c t r i c i t ya f t e r w a r d s ，i th a sr e c e i v e de x t e n s i v es t u d i e si nt h el i t e r a t u r e s t a t i s t i c i a n si n t e r e s t e dn l a i ni nl m g e - s a r n p l ef e a t u r e sj u s ta si no t h e rr e g r e s s i o nm o d e l a n dg e tm a n yu s e f u lr e s u l t sf r o m1 9 8 0 s f o re x a n l p l e s ，t h e ys t u d i e dh o wt oc o n s t r u c t 卢s a s y m p t o t i cv a l i de s t i m a t i o n ，风s ( 卢sw e i g h tl e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n ) a s y m p t o t i cn o r m a l i z a t i o n ，t h ea s y m p t o t i cf e a t u r eo f 卢se s t i m a b l ec o v a r i a n c cf u n c t i o n ，t h eo p t i m a ls t r o n g o rw e a kc o n v e r g e n c es p e e do f 卢a n d 如( 矿se s t i m a t i o n ) a n ds oo i li nt h e s et w oy e a r s ， s t a t i s t i c i a n si nc h i n ag e tf a rm o r ed e t a i l si ni t ，s u c ha se s t i m a t i o n sa s y m p t o t i ce f f e c t m e s t i m a t i o n sa s y m p t o t i cn o r m a l i z a t i o n ，b e r r y e s s e nt e r m i n u sf o ra s y m p t o t i cd i s - t r i b u t i o no fp a r a m e t e r se s t i m a t i o na n ds oo i l s h i j i a n ，l a u 、t a i s h i n g 7 l d i s e u s se m p i r - i c a ll i k e l i h o o di n t h i sm o d e l ，b u ta l lt h e s ed l ei n d e p e n d e n e ei d e n t i t yd i s t r i b u t i o n f o r d c p c n d c n ts a m p l e s ，i ti sc o m p l e x 5 i nt h i sp a p e r ，w ew i l lc o n s t r u c te m p i r i c a ll i k e l i h o o dc o n f i d e n c ei n t e r v a l so fp a r a m e t e r s f o rp a r t i a l l yl i n e a rm o d e lu n d e rf i x e d d e s i g nv e c t o r sa n d0 一m i x i n ge r r o r c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp a x t i a l l yl i n e a rm o d e l y = z7 口+ g ( t 1 + e ( 2 i ) w h e r e ( x t ) r v r ，t 0 ，l 】，gi s a l lu n k n o w nr e a l v a l u e df u n c t i o no n o ，1 】，声r 9i sa n u n k n o w np a r a m e t e r y ri sad e p e n d e n tv a r i a b l e e ri sa nu n o b s e r v a b l er a n d o m e r r o r v a r i a b l ei nt h ep a p e r ，l e t 旧1 ，t 1 ) ， ，( 。n ，如) b ct h ed e s i g nv e c t o r sa n dy l ，y nb e t h ec o r r e s p o n d i n go b s e r v a t i o n s l e tc 1 ，一，nb et h es t r o n gs t a b i l i z e d 口一m i x i n gr a n d o m e r r o rv a r i a b l e sa n dm i x i n gs p e e d 曲( n ) s a t i s f y1 三毋( 忆) i0 ，墨l 曲 ( i ) 0 ，e 蚓4 = m o 。，( i = 1 ，忆) t oa p p l yt h ee m p i r i c a li i k c l i h o o dm e t h o df o rt h ep a r t i a l l yf i n e a rm o d e l ，w eh a v et o g i v ea na p p r o x i m a t er a r l d o n e r r o rs e q u e n c eo u rb a s i ci d e ai s ：s u p p o s e 口i sk n o w n ，t h e n t h e m o d e l ( 2 1 1 i sr e d u c e d t oa nn o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n m o d e ly 一。p = g ( t ) + eh e n c e 9c a nb ee s t i m a t e da su s u a l h e r e ，w ea d o p tt h ew e i g h tf u n c t i o nm e t h o dt oe s t i m a t et h e n o n p a r a m e t r i cp a r t9 m o r ep r e c i s e l y ，g ( ) c a nb ee s t i m a t e db y n 讹卢) = ) 一z ：卢) w h e r ef w t ) ：l i n ) i sag r o u po fn o n n e g a t i v ew e i g h tf u n c t i o nl e t x i = h ( t i l + u ih ( t 。) = ( 屯) 一w w ( t o h ( t j ) j = l 饥= 玑一暇u ( “) 玑 i ，= u 。一w , , j ( h ) u o 阢。= ：薹u ；u ：a 。= ：薹z z z ； a n = ：薹。t 。：a n = ：耋。： 五= 掰； 磊。= ：五露5 思誉怯| |2 i 圣磊彰 f o r1si nl e t 岛b et h et r u ep a r a m e t e ro ft h em o d e l t h e n ，w eh a v ea na p p r o x i m a t e r e s i d u a la st i l ef o l l o w i n g 邑( 阮) = y 。一。：肪一o ( t 。，z o ) = 矗一w a t o e j = 亟一i i f l o 6 z 如 。洋 一 = 硒0 。芦 一z = z a ni m p o r t a n tf e a t u r eo f 邑i st h a t e ( g d 芦0 ) 1 = 0 ，1 i 曼n t h e r e f o r e ，i tc a nb et r e a t e da nar a n d o m s i e v ea p p r o x i m a t i o no ft h er a n d o me r r o rs e q u e n c e o f 岛) ：二1 n o t et h a t ，孟，雪a n d 亭a r cl o c a l l yc c n t e r i z e dq u a n t i t i e so fz ，e ，r e s p e c t i ”e l y n a w w ec a nd e f t n eal i k e l i h o o df u n c t i o na c c o r d i n gt ot h ee m p i r i c a ll i k e l i h o o dp r i n e i p l e f o ra n y 口掣，d e f i n et , h ee m p i r i c a lh k e l i h o o df u n c t i o no fpa n l ，。1 ( p ) = s u pi i p i ( 22 ) y 1 ，2 ”f “2 = l s u b j e c tt ot h er e s t r i c t i o n s ：坠l p i z l = 0 ，墨1 p l = l ，p i 0 ( 1 墨i 茎礼) a sa c 。n s e q u e n c e ，am a x i m u me m p i r i c a ll i k e l i h o o de s t i m a t o r ( m e l e ) c a nb ed e f i n e db y 阮= a r gm a x 口e 船l u l ( 卢) t h e r e f o r e ，an o n p m - a m e t e rl o g 。l i k e l i h o o d r a t i os t a t i s t i cb a s e do n ( 22 ) i sg i v e nb y l r l ( 阮) = l o g l 。l ( 肺) 一l o g l 。l ( 卢) ( 23 ) l e t i 。( 卢) ) 娶ls a t i s f i e d 三。l ( 卢) = i l l - lp 。( 口) f o r 口酽i tc a n b es h o w nl a t c rt h a tl n l ( f 1 ) i sm 黜x i m i z e da tp ；( 声) = ；, f o r1 墨i 礼a n d 声= ( e l l 孟。叠：) 一1 坠1 孟t 雪。 t oe s t a b l i s hat h e o r yf o rl r l ( 岛) ，s o m en e c e s s a r ya s s u m p t i o n sh a v et ob ei m p o s e d 0 1 7 1 t h e m o d e lf o r0 c o n ”) = o ( n ”) ，m 坐a x 。i 蚤暇勺( 1 ) 7 。问 瑟一 m 呸 z 嬲i i x d i l x d t 2 = o ( n o 、 = o f 扎1 l 詈 i 剖 o ) ，t h e n 2 l r l ( 口o ) 二号z 7 ( 仃2 4 i ) 一1 z w h e r ea 8 ，a ii sp pt i m e sm a t r i x ，z n d o ，a 8 ) ，；( o ，a 8 ) i spt i m e sn o r m a l i z e d d i s t r i b u t i o n a sw ed on o tk n o wa oa n dj 2 ，t h ea b o v er e s u l tc o u l dn o tb eu s e di np r a c t i c ew e w i l lu s et h eb l o c k w i s ee m p i r i c a ll i k e l i h o o dt oo v e r c o m et h i ss h o r t c o m i n go ft h eo r d i n a r y e m p i r i c a ll i k e l i h o o d l e th = p 产 ，g = 【n 嘲，a n dn = g h ( 0 乜 o ) ，t h e n 2 l r 2 ( f l o ) 卫x 乙 w h e r eg i sac h i 。s q u a r e dd i s t r i b u t i o nw i t hpd e g r e e so ff r e e d o m a sac o n s e q u e n c eo ft h et h e o r e m2 c o n f i d e n c er e g i o n sf b rt h ep a r a m e t e r 卢c a nb c c o n s t r u c t e d m o r ep r e c i s e l y f o ra n y0 c “) sa t h e n ，( n ) 竺 卢r v ：2 l r 2 ( f 1 ) 冬c d ) c o n s t i t u d e sac o n f i d e n c er e g i o nf o r 卢w i t h a s y m p t o t i cc o v e r a g e ( 1 一d ) t h e r ea , r et w oa d v a n t a g e so ft h ea b o v en o n p a r a r n e t r i el i k e l i h o o dr a t i oi n f e r e n c eo v e r t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t ya p p r o a c ht h ef i r s ti st h a tg ( a ) i sn o tp r e d e t e m i n e dt ob cs y m - m e t r i cs ot h a ti tc a nb e t t e rc o r r e s p o n dw i t ht h et r u es h a p eo ft h eu n d e r l y i n gd i s t r i b u t i o n t h es e c o n di st h a tt h e r ei sn on e e dt oe s t i m a t et h ea s y m p t o t i cv a r i a n c ew h i c hi sr a t h e r c o m p l i c a t e di nn o n p a r a m e t r i eo fs e m i p a r a m e t r i cs e t t i n g s k e yw o r d sa n dp h r a s e ：f i x e d d e s i g n ，一m i x i n ge r r o r ，p a r t i a l l yl i n e a rm o d e l ，e n l - p i r i c a ll i k e l i h o o d ，n o n p a r a m e t e rl i k e l i h o o dr a t i o ，s i e v ea p p r o x i m a t i o n ，w e i g h tf u n c t i o n s - 9 1 引意 经验戗然是o w e n ( 1 9 8 8 ) q 在完全样本下提出的一种非参数统计推断方法，它有类似 b o o t s t r a p 的抽样特蚀这一方法与经典的或现代的统计方法比较有很多突出的优点，如z 用经骏似然方法构造毁傣区间具有域保持性，变换不变性，置信域的形状由数据自行决定， l 薹致b a r t l e t t 纠镶搜秘无蠡梅造辘缀诗量等涟多健豢，歪霆兔帮戴，这一方法；i 藏7 诲多统 计学家的兴趣，他们将这一方法应用刹多种统计模型，如线性模型，广义线性模型，部分线性 模型，偏度抽样模型，回归函数，分位数估计，”一泛函，密度棱估计，有偏样本，讨厌参 数，时阀序列，条件分健数和条件密度簿。但所有这拨都是在榉本独晓瞬分布的情形下加默讨 论静，k i t a m u r a ，k i m c h i ( 1 9 9 7 ) 4 1 将经验 班然痘麓翻弱提藏躲侍形，张军怒、王袋名、王律 忻( 1 9 9 9 ) 1 5 】分别在m 一相依、n 混合与$ 一混合情形下，对经验似然进行了研究，得到丁 类似予独立同分布时的结果 蕊藤分线性模型楚e n g t e e ta t ( 1 9 8 6 ) 6 1 在磷巍气候条俘对电力霉求影响这一实际闻题 时撼出静。这一统计分支在近年兴起+ 茏沦在实簖瘦用上还是理论研究上，它都受到了许多学者 的关涟同其它回归模型问题一样，人们对此课题理论研究的兴趣主要集中在大样本性质上， 并岛八十年代初出来取得丁丰硕的研究成果；主要是在多种假设条件下研究卢渐近有效债计的 礴造，声趣投最枣二黎嵇诗磊戆激遥忑态建，多德谤秘方差丞数黪激避性爱，黟譬赫( 9 的估计) 的最忧强弱收敛速度等声与目的估计性质近两年来，我国貌计学者在估计的渐近有 效性，m 一估计的渐避正态性，参数分量估计渐近分布的b e r r y e s s e n 界限及其戴对数律 等方黼的研究上又褥到了一些相当深瓤孵结果s h i j i a n ，l a u t a i s h i n g 7 1 等对此模避的经 验叛熊避行进讨论，艇也是基予棒零独立鞫努帮对静耩澎。事文将魏模登接广弱匿定设计簪一 混合谡差情形，井猩此情形下讨论豳i 臼系数的经验似然比估计及其畿储区域 2 ，矮冬知谖溪塞要缝票 宠义1 称随机变量序列 1 曼n m 时，有毋( n ) = 0 ，则称 x 1 ，拖，咒t ) 为m 裙最。晏见，一耀婊实舔上赔眵一漏台懿一耪特殊情毽 1 n 定义2 称随机变量序列 五；1 1 曼n 0 0 ) 为强平稳的，若对任意自然数对( i ，) ，序列 ( 五+ 1 ，托+ 2 ，五十j ) 与( x 1 ，x 2 ，x j ) 有相同的分布，其中l j 札，1s is7 l j 定义3 定义l i 为e u c l i d e a n 范数；定义| | | l m 为矩阵范数，表示取矩阵中所有元索 绝对值的最大值。 由定义，设向量a = ( a l ，( t 2 ，n 。) ，( a i a j ) 为矩阵( n ) 中所有元素绝对值的最大 值，则有l i n 7 ir m = l a i a j l = i a l l a j isf l a l l 2 考虑下面的部分线性模型 y = z 卢+ g ( t ) + ( 2 1 ) 这里( x ，t ) r p r ，t 的支撑集为有界闭集，不妨设为【o ，1 ，g 是定义于 o 、1 上的未知函 数，卢r p 是一未知待估的回归系数，y r 是因变量，冗是不可观测的随机误差本文 中，我们假设( 。1 ，t 1 ) ，( z 。，t ，。) 7 为固定设计向量，g l ，鲰为相应的观察值，e l ，一，e 。 为强甲- 稳一混合实随机误差序列，混合速度( n ) 满足1 ( n ) l0 ，墨l i ( i ) 0 ，e e i l 4 = “4 。，对于i = 1 ，n 我们用z k f 表示向量z ：的 第f 分量，用a “表示矩阵a 的第k 行第f 列元，我们的目标是构造回归系数_ 臼的经验似然 比估计及其置信区域 要对部分线性模型应用经验似然方法，首先必须给出随机误差序列的近似值假定口己 知，则模型( 2 1 ) 可简化为非参数回归模型y 一。卢= 9 ( t ) + e ，从而g 可按非参数情形来估 计在此，我们采用权函数方法来估计非参数部分g ，即定义口( ) 的估计为 讹卢) = 。( t ) 渤一z ：卢) 其中 w “( t ) ：1 冬i n ) 为非负权函数列令 i 。= x i 一m u ( t 。) qi ；= i 。一w 么( o ) 奶甄= 玑一v j ( t i ) y j j = 1j = lj = l 。= h ( t 。) + 撕讯) = m ) 一w 锄( 如) h ( 0 )i ；= u 。一w ( 。) 码 j = lj = 1 u i = ：薹u z u ；a n = j 耋。t z ： a n j 薹i ；i ：a ，t ；：薹。；。 五= 勘f ：耋磊 磊= 器怯 1 1 2 i 五罨 对l i n 假设岛为模型的真实参数，则残差估计为 邑( 阮) = y i z ：岛一( 。阮) = 晶一 ，( 缸) 勺= 矾一2 ：岛 j = l 且e ( 函( 凤) ) = 0 ，1s i n 因此，我们可把邑看作随机误差序列 岛) 坠1 的随机估计； ，口和f 分别看作z ，y ，e 的中心化值 现在我们通过经验似然原则来定义模型( 21 ) 的似然函数对任一卢r p ，在约束条件 墨1 p i z i = 0 ，饕1 肼= 1 p 0 ( 1 i n ) 下，定义口的经验似然函数为 k l ( 卢) = s u p1 1 p i( 2 2 ) p l ，p 2 , 】p ”一 因此其最大经验似然估计可定义为风= m gn l a x f l l 。l ( 口) 且( 2 2 ) 的非参数( 1 0 9 ) 经验 似然比为 l r i ( 阮) = l o g l 。l ( 肺) 一l o gl 。1 ( 卢)( 23 ) 若 觑( _ 臼) ) ：1 满足l 。1 ( 卢) = n 坠1a ) ，其中口舻，由定理l 的证明可知l 。l ) 在 a ( 卢) = i 1 ，1 i n 且卢= ( 坠l i 。) 一1 墨1 i ；亟处取得最大值。 众所周知，在与w 订女s 理论相似的参数设置下，o w e n 的( 1 0 9 ) 经验似然比有渐近x 2 分布。因此，我们可以想象工r 1 ( 阮) 也会有渐近分布为了建立l r l ( 阮) 的理论，此模型需 要加上一些必要假设：对于0 a 1 ，有 a 1 ：权函数 - 。( ) 0 ：1 i 礼 满足 w a t d = 1 ， 1 i n 1 0 。 说明：j s h i s 对前四个条件的可行性进行了讨论实际上，假定0 = t ost lst 2 t 。st n + 1 二1 且m a x l 茎。茎。十1 一如一1 | = o ( n - 1 ) ，则权函数 仉。( t ) 0 ：1 兰i 兰n ) 1 2 可斑嶷魏下：若盎爝予t 翦第h 个最近邻，弼暇“( t ) = 笱1 ；甭捌取a 0 ) 一0 ，其中 1 竖# 篓，= 1 一“蔼最嚣一个焱 牛实疆上是娶球瓠锄茂；关予l 暂禁释均匀注，镑g 照，蕺 w ( 瓠) = 研锄 ) ( 1 i ， 曼礼) ，则有m a x l _ i _ ”i 饕1w j ( t d 8 j t 兰1 1 佴锄( 赴) 勺i = o f l ) 。 a 2 ： 1 m ( a x 蚓i = 口妒) 嘲i 2 一o ( “ t = l 嚣嘎砜( 鸟矧2 。( 1 ) 避靖；注意戮l 驿蠢晦) 砖弹( 鸯坠l 孛心纯戆搬投乎遗，a 2 枣为一遘誊条 串。 a 3 ：存在9 。，1 l 上某一函数 奶警l ，有。l h ( t j + u i ，对予1 曼i 兰，黎中h = ( a l 、鳓，；岛) 7 ，豫井”兰r n e 。x 1 i n | l 嘏”( f 1 ) 码| | = o ( n 一“) 强r a i nz i g ( 1 惫l 镕；) = n l i n e i g “= o ( 1 ) 谶褪，r a i n e i 9 袅拳矩阵懿簸小特链搬瑟霹魏f l 鼍整蓍 筝$ 程上誉熙豹缓麓。 a 4 ：g 寐 恕 器l 灌是蟹，1 】+ b 的一酚l i p s c h i t z 条转，赛帮，对爨毒静0 ”o 曼1 ， 存谯0 0 ) ，则 一2 五冀l ( 两) 二驾z 扩a ) 一1 z 其中蔗3 ，a 免p p 陵矩阵，z 一婶( o ，a s ) ，玛，( o ，墙 鸯p 缎疆寒分雍。 因a o 与口