（运筹学与控制论专业论文）椭圆型方程最优控制问题的发展.pdf

摘要 在本篇论文中，我们将椭圆型方程的最优控制理论进行总结它包括线性椭圆方程 的最优控制，非线性椭圆方程的最优控制，非线性椭圆方程最优控制的庞特里雅金原理， 和非线性椭圆方程最优控制的二阶条件这里，我们将主要的结论列出，以便读者对这一 问题有初步的了解 关键词：椭圆方程，最优控制，庞特里雅金最值原理，二阶最优条件 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls u m m a r i z et h eo p t i m a lc o t r o lp r o b l e m so fe l l i p “ce q u a t i o n s i i n c l u d e so p t i m a lc o n t r o lo fl i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，o p t i m a lc o n t r o lo fn o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s ，p o n t r y a g i n sp r i n c i p l ef b ro p t i m a lc o n t r o lo fn o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sa n d s e c o n do r d e rc o n d i t i o n sf o ro p t i m “c o n t r o lo fn o n l i n e a re 1 1 i p t i ce q u a t i o n s h e r e ，w e1 i s t t 1 1 em a i nr e s u l t s ，f o rt h er e a d e r sc a nh a v eap r e l i m i n a r yc o m p r e h e n s i o na b o u tt h i sp r o b i e m s k e y w o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ，o p t i m a lc o n t r o l ，p o n t r y a g i n sp r i n c i p l e ，s e c o n do r d e r c o n d i t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。也不包 含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：丑么鸯丞日期2 堡幺；幺乡d 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权 保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北 师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复 制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：逮指导教师签名学位论文作者签名：堑( ! l ! 圣_ 指导教师签名 日 期：狸驷日 期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 高旁 墨! ! 至：弘 电话： 邮编： 引言 最优控制理论是本世纪6 0 年代迅速发展的现代控制理论的主要内容之一，它研究和 解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优方案1 9 4 8 年，维纳等人发表控制论一关于 动物和机器中控制与通信的科学论文，引进信息，反馈和控制等概念。为虽优控制理论 的诞生和发展奠定了基础我国著名学者钱学森在1 9 5 4 年编著的工程控制论* 直接促进 了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中，具有开创性的研 究成果和开辟求解最优控制的新途径的工作，主要是美国著名学者贝尔曼的动态规划和 前苏联著名学者庞特里雅金的摄大值原理。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术 理论基础的代表性工作，还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最 优必要条件( 库恩一图克定理) 及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。 最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是：在满足定约束 条件r ，寻求最优控制规律( 或控制策略) ，使得系统在规定的性能指标( 目标函数) 下 具有最优值，即寻找一个容许的控制规律使动态系统( 受控对象) 从初始状态转移到某种 要求的终端状态，保证所规定的性能指标达到最小( 大) 值 自从檠巾参数系统的摄优控制理论建立后，人口j 期望把它推广到分布参数系统。前苏 联学者布特可夫斯基在讨论炉温控制时，首先把热传导方程的某种最优控制问题转化成庞 待里雅金讨论过的同题，开创了分布参数系统最优描! 制理论的研究在1 9 8 6 年，ec a s a s 首 先对一类线性椭圆型方程的最优控制进行了研究。在近三十年的时间里，人们对这一领 域的研究已取得显著的成效。本文的目的就是将其中主要的结果进行总结和归纳，从而 使读者对这一领域有一个初步和系统的了解。 使读者对这领域有一个初步和系统的了解。 第一章线性椭圆系统的最优控制 1 1 带有第一类边界条件的线性椭圆方程 1 9 8 6 年以前，许多关于最优控制理论的文献都是关于抛物型偏微分方程的，而关于 带有状态控制问题的椭圆型方程则非常少，可能是由于椭圆型方程在实际生活中的应用 并不广泛，另外一方面，它们又比抛物或双曲型最优控制问题简单，因此，它们只是作为 模型问题出现 关于带有状态限制的分布最优控制问题的最早的文献之一是由m o s s i o n 纂写的1 1 7 3 她 研究了一个双重的控制问题，但她并没有证明解( 即l a g r a n g e 算子) 的存在性因为函数 空间的选择与状态限制不相符这个算予的存在性十分有趣，因为它使得我们能证明最 优控制和状态的规律性结论，这一规律在决定逼近系统误差估计时十分有用b a r b u 和 p r e c u p a n u 1 8 ，l a s i e c k a 1 9 】得到了一些带有集状态限制的最优控制问题的l a g r a n g e 算子的 存在性。 1 0 8 6 年，e c a s a s 研究了一个简单的带有第一类边界条件的线性椭圆型方程的最优控 制问题这篇文献 1 】证明了l a g r a n g e 算子的存在性，这使得我们得到了最优控制的存在性 和最优条件它所采用的方法是凸分析的结果，而并没有引进双重控制问题。 其中 设ncr n 是有界开集，r 是n 的l i p s c h i t z 连续的边界 fa 掣= = u 1 材= o a = 一巩，( 。”岛。) + n o 蚶= l o o n ，n o ( z ) oa e ，z n o 玎在豆上是l i p s c h i t z 的( 1 i ，j n ) ( 1 1 ) ( 12 ) a 0 ，v 茁n ，v r “ 假设( l l ) ( 1 、2 ) 满足下面的条件： 铷铲( n ) ，口( u ) 日2 ( 0 ) ，且怕( ) | 1 日。( n ) 茎g l z ( n ) ，kcr “( n ) 是非空凸闭集 m ) = ；厶( 小) 啪) 2 咖+ ；厶以枷z ( p 1 ) 竹“n j ( u ) s t 工幻e c tu k ，i 掣( ；茁) i l ，v z q 定义映射t ：工2 ( n ) - 岛( q ) 把u _ + v ( u ) ，则t 是连续的 2 2 一 o j n 。f b = z g ( q ) i 恻i 。s 1 ) m ( n ) ：n 上所有实b o r e l 可测函数空间，并赋以范数叫 m ( n ) = ) 表示n 上的b o r e l 测度 h = h 2 ( q ) n 础( q ) ，j i j 1 日= j j i 。( n ) v z h 2 ( n ) ，a z 三2 ( f 2 ) 定理1 1 ：若存在k ，s t 丁日，耳 工2 ( q ) 有界或r o ，那么，( p 1 ) 有唯一的 最优解 定理1 2 ：若存在 。k ，s t u o b ，“是( p 1 ) 的一个解，则它的充分必要条件是：存 在“a ，( n ) ，p 三2 ( q ) ，可日，s a 可= u o 礼q 正p a z 如= 厶z 。一”。) 出+ 上z 咖 讹日 五脚= 粤厶卿 w b 厶加+ 叫( ”一“) 如2 o铷k 1 2 带有混合边界条件的线性椭圆方程 这筒文献【2 的状态限制很不同，特殊一点，我们允许限制在状态变量的梯度上。这榉 的限制经常出现在双曲型方程中我们将看到，它们将导致重要的和新的困难但作者 利用重要的t r a c e 定理g r e e n s 等式也得到了这类问题的最优控制的存在性和最优条件。至 此，人们对线性椭圆系统的最优控制的研究已经基本完善 令 一。姜，南扣“。 没。o 卢o ，0 2 + 口2 o ，磁芦( n ) = p 日2 ( n ) l ( 。+ 卢番旨) r = o ) a ：h ：，日( n ) - l 2 ( q ) ，则对v l 瑶口( q ) + ，存在唯一的g 工2 ( q ) ，s ( a + 妒，冒) = l ( 妒)，v 妒瑗，自( q ) f 1 3 ) u 是b a - t a c h 空间，且在h i l b e r t 空问v 上稠密，y + 是v 的共轭空间，则可以得到连续嵌入uc vc u + b l ( u ，峨，口( q ) + ) ，那么，v u u ，存在唯一的口弘( n ) ，s t ( a 妒，可) ： ， v 妒h ：，口( n ) )( 1 4 ) 置是矢量空间方程( 1 4 ) 在一定条件下可以化为 3 例如：若笠c 工2 ( q ) ， = ( 妒，t ) ，v 妒哦，口( n ) ，讹【，应用n a c e 定 理和g r e e n s 不等式，则( 1 4 ) 等价于 毒i ；老：。 饥n o 竹1 1 例如：若v l 2 ( q ) ， = 丘( 一。爨+ 如i r ) “打，v l p 职，口( q ) ，v u u ，应 用n a c e 定理和g r e e n s 不等式，则( 1 4 ) 等价于 f4 可= o la 即+ 卢老= u 打ln o nr 从上面两个例子可以看出：对于( 1 4 ) ，它可以表示控制变量在状态方程和控制变量 在边界的两类椭圆型方程 给定u u ，令y 是( 1 4 ) 的解令s u = ，则s 工( u ，l 2 ( q ) ) 另外，我们假 设s l ( 矿，z ) ，z 是一个b a n a c h 空间，s td ( n ) czc 工2 ( n ) 是连续嵌入。e 是h i l b e r t 空 间，q l ( z e ) ，9 e ，”o 我们用b a n a c h 空间w 的闭凸集w 么d 来描述状态限制，算 子d l ( z ，) ，控制限制通过dcu ，k d y 给出则我们可以写出这类椭圆最优 控制问题为： f p 2 1 ，i n i i q y 一雪l l 刍+ p l “l i 移 s u 幻e c 可z ，( 14 ) o 礼d “巩d n k d ，d g d 定理1 3 ：存在一个可分的b a n a c h 空间西，“圣+ = u ，s ( z ) c 西对姒r ，集 合姐 ，n dn dv l 移sa ) 在u 上有界，那么，若( 尸2 ) 有一个可行解，则( p 2 ) 有一个最优 解。 定理1 4 ：假设存在n k d n i n t 巩d ，时d s n i n t w 白，那么，u 是( p 2 ) 的最优解的充 分必要条件是：u 是可行解，且| u ：【，+ ， + w s f “k ( 2 p ( q s 一口) + d + ) 并 且下列条件成立： 四p = d 1 s u e = u d n u s u p # w w 口d 4 第二章非线性椭圆系统的最优控制 2 1 带有第一类边界条件的非线性椭圆方程 关于带有状态限制的“w j l l p o s e d ”系统已经有了一定的研究，凸分析的偏微分计算在 处理这一问题时是十分有用的对于非线性情形，b o n n a n s 和c a s a s 【2 0 2 2 】主薹用了c l a r k e 2 3 】的 结论，得到了最优系统l i o n s 研究的是不带有状态限制的非单调的椭圆系统【2 4 】，最优系 统通过逼近状态方程，然后求极限的方法得到最优条件。 这篇文献 3 研究的是一个带有状态限制的半线性椭圆方程的最优控制问题如果我 们没有非单调的假设，那么状态方程可能是不可解的或是有许多解这种形式的系统可 能会和分歧定理联系再一起，一些具体的例子可见c r a n d a u ，k a b i n o w i t z 【2 5 1 和l i o i 【2 4 】然 而，这篇文献只研究了一个模型问题，目的是获得最优控制的存在性和最优条件这篇文 献的新颖之处在于状态限制和“1 1 1 p o s e d ”系统的同时出现 设ncr “是有界开集，r 是q 的l i p s c h i t z 连续的边界 n a = 一如，( n “( z ) 如。g ) + 0 0 9 t j = l 考虑方程 fa 可+ 曲( 掣) = “ 1 = o i 札n o n r f 2 1 1 ( 22 ) 其巾， o l 2 ( q ) ，o o ( 茁) 0 e z n o ：j 在n 上是“p s c h i t z 的( 1 墨t jsn ) o 订矗岛o o 删2 ，o o o ，v f 舻，v z q 审：r _ r 是g 1 的 令kcl 2 ( q ) 是非空凸闭集，口2 ，n 是非负的，鼬扩( n ) 是给定的， ，( ，“) = ：五叭z ) 一蚴( 蚓4 如+ 譬五“2 ( 。) 出 z 是可分的b a n a c h 空间，bcz 是非空凸闭集，。j p 给定，y = h 2 ( n ) n h 3 ( n ) t ：岛( n ) + r m ，t ( y ) = r m 工：岛( n ) 叶z ，z 珏可= z 狮，= 二：蔗。 【p 3 】 m l nj ( 可，t 上) s “巧e c t t o ( 2 1 ) ( 2 2 ) u k ，掣y ，t = o ，工启 为了得到预期的结论，在这里，我们首先考虑下列逼近线性系统 fa 材= “+ u nq 1 可= o 。nr 控制变量( u ，u ) 铲( q ) l 2 ( n ) 五( v ，u ，u ) = j ( ，u ) + 去厶+ 妒( 训2 如+ 去咿g 一训2 + ；上( “一_ ) 2 如+ ；五+ 咖( 雷) ) 2 出 ( 只)m i n 以( 掣，“，u ) ，“，u l 2 ( n ) ，掣y ，工b 则可以得到上述系统的最优条件： 引理2 1 ：令( 玑西) 是( p 3 ) 的解，那么 ( 2 ) ( b ) 至少有一个解， ( 埘对( 只) 的每个解( 拈，“。，魄) ，v s 0 ， ( 谢) ( t ) = l ( ) + 曲2 ( t ) ，也( t ) 连续，i = 1 ，2 ，咖l ( t ) 是不减的，且存在g o ，5 t 那么，( p 3 ) 至少存在一个最优解 加( t ) l g ( 1 + ) 6 定理2 4 ：令( 矾面) 是( p 3 ) 的最优解，且o ( 如。) ( 可) nr ( t ) = ( o ) 那么，存韬印嚼，8 ( q ) ，v s o a f + ( 可) f = 面l 可一蛳l 。一2 ( 季一抛) + t + i 十工+ 乒 0 v z b 上( 芦+ 西可) ( ”一面) 如之。 咖k 2 2 带有第二类边界条件的非线性椭圆方程的边界控制 在前面所研究的问题中，大部分控制是分布在n 上，或是算子的系数其中，a b e r g e l 和t e m a m 2 6 研究了一些分布控制的无限制问题，得到了一些并不明显的最优条件，而 这些条件在问题被限制时则变的很普遍2 1 中所讨论的问题，控制也分布在5 1 上，带 有逐点状态限制的边界控制问题的最优条件被m a c k e n v o t h 2 7 所讨论，l u n 。v e f 2 8 讨论的 是l a p l a c e 算子和仅在一严格凸集q 上带有逐点限制的状态目标；在上述文献中，逼近状态 方程都没有讨论。因此，逼近状态目标的规律都没有得出，而这对于最优控制的规律性结 果又十分重要 这篇文献讨论的是带有状态限制的单调的半线性椭圆方程的最优控制问题方程包 含了n e u n a m 嚎件，而控制变量是在边界上文献的目的是证明最优解的存在性和最优条 件的规律性结果，这种类型的最优控制问题常与实际问题相联系，祥见b e n n u d e z ， m a r t i l l e z 2 9 刖lu 1 1 e v i l l e 2 8 】在这篇文献中，我们假设控制在空间( r ) 中， n l ，n l 任 取，它对得到最优条件和在研究逼近状态规律后推导出关于最优控制的规律性结果是必 要的。 设qc 且“是有界开集，1 1 是n 的l i p s c h i t z 连续的边界 考虑方程： v ( $ ) 指r 的外法单位向量 以g = 一如，( d j ( 。) 如，( 。) ) + 。o ( z ) g ( z ) t ，j = l n 口= o ，( z ) 以，( z ) 叶( z ) o i j g o ，1 【_ ) ，n o l ( q ) 7 f 23 1 ( 2 吐) 蓍时 臣 礼 饵 l ， u f ， ) 1 2 国u 毋j l p + ， 船弘 ，l酽 ， 垦这 j m o ，s o t j ) 6 白m 垮1 2 v r “，z n j = l o o 扣) o ，o e o q ，n o 0 西：r r a 1 ，庐( o ) = o ， 单调递增，kc ( r ) ：是非空闭凸集，x 是再的紧集，c 是g ( x ) 的非空的凸闭集，j ：l c ( r ) - + fo ，+ o 。 ，定义 j ( u ) = ；五帆( 。) 一抛( 圳2 出+ 警上m 刮。d m r ( z ) 驰2 ( n ) 给定，口( 1 ，+ 。) ，o ，g ：( r ) - h 1 ( q ) n g ( 丽) ，g ( “) = g 。是g 1 的， ( p 4 ) m i nj ( u ) ，s t 正幻e c t o ( 2 3 ) ( 2 4 ) ，u 耳，掣。e 令下面的假设有一个满足； ( h 1 ) 。 - c 三。( r ) 彳界，z n l ，口t ( 2 ) 0 ，盯t n 一1 定理2 5 ：在上述条件下，若( p 4 ) 有一个可行解，那么( p 4 ) 存在一个最优解若咖是线 性的，则最优解是唯一的 定理2 6 ：令可是( p 4 ) 的最优解，那么存在实数 o ，可h 1 ( n ) n g ( 豆) ，芦1 ，s ( n ) ，v s 0 = a ( 可掣d ) + 万n 厶”动苹s o 正( 芦+ 硼卯。酬“ 打t n o n r 打z n o n r 坛c 面) d m r ( z ) ov “k 8 西 饱嚼唑一y 舻 弘招 乍 a 弘a 巩 第三章 半线性椭圆系统的庞特里雅金最值原理 3 1 半线性椭圆方程的庞特里雅金最值原理 庞特里雅金的最值原理是最优控制理论发展进程中的里程碑人们在对非线性椭圆 方程的研究中，也十分希望可以把这一理论引申进来，得到相应于椭圆方程的庞特里雅 金的最值原理。但是，对于由退化或奇异性的拟线性偏微分方程所确定的系统，最大值 原理的研究遇到了一定的困难首先，对于这类系统，文献中所得到的最大值原理是非 常不完备的这里，所谓不完备是指利用所得到的最大值原理根本就很难得到最优控制， 因为有太多太多的控制满足这些条件其次，对于有些情形，甚至连这种很不完备的最 大值原理都未能得到但是，我们不能否认最大值原理对研究最优控制所做的贡献文 献【4 对半线性椭圆系统的庞特里雅金最值原理进行了讨论 设nc 即是有界开集，r 是n 的l i p s c l l i t z 连续的边界 fa y + 咖 。可( 茁) ，乱( 。) ) = o 1 可= o i n n o 礼工、 其中， a = 一巩，( n 。j ( z ) 以，( z ) ) l 】j = j 口“( 。) l o 。( n ) ，v i ，j = l ，- ，他 e z n v 几“ 令s 2 ，( 是b a n a c h 空间u 的凸闭集，咖，工：n r k 斗r ，满足 咖( z ，o ，t ) i m 1 ( 。) + q 1 | u f 3 1 1 ( 3 2 】 o ；( 。，可，“) ， 如( z ) + c f f u f l 叼l ( i ”f ) 【l ( 。，o ，) l m 3 ( z ) + q 忆l i i l ；( 。，乱) i 【 如( z ) + 岛i 【u i 】叼2 ( 1 1 ) ，。( q ) ，珑：r + - r + ，i = l ，r ，4 ，j = 1 ，2 ，( 可，t ) = l ( z ，掣( 。) ，u ( $ ) ) d j n ( p 5 ) m l nj ( 可，t ) ，s b j e c tt o ( 3 1 ) ( 3 2 ) ，u ( 露) k ，。e 。n h ( z ，u ，p ) = l ( ，t ) 一p 庐( z ，纠，珏) 定理3 1 ：设面是( 尸5 ) 的最优锯，v ”k 则 日( ，掘，西，船) 日( - ，。， ，船) 9 。 g 岛 口 j n 。f 定理3 2 ：设_ 是( p 5 ) 的最优解，若| q ocn ，下列条件之一成立： ( ) 铷k ，函数：。_ + ( 。，螗( $ ) ，u ) ，$ 寸i 毋( 茹，讥( $ ) ，u ) i ，。_ 工( ，掘，u ) 包含在n o 上 ( “) v z q o ，l ( $ ，临( 。) ，- ) ，( z ，啦( $ ) ，) 连续，则 日( ，蛆，西，船) 。囊凳日( ，掘，”，豫) 。e mq 3 2 稳定条件下的半线性椭圆方程的庞特里雅金最值原理 上一篇文献得到了单调的半线性椭圆方程的庞特里雅金原理，这里，我们将扩展这 一结论对与变分不等式相关的控制问题的最优条件的困难，可以见m i g n o t 3 1 1 m 1 9 n o t 的 工作，p u e l 3 2 和b a r b u 【3 3 ，z h e n 分x u 【3 4 】对变分不等式控制的状态限制问题获得了最优条 件。而b a n a n s 和t i b a 3 4 1 对半线性椭圆变分不等式的控制问题获得了庞特里雅金原理这 里，我们将得到带有状态限制控制问题的半线性椭圆方程的庞特里雅金原理 这篇文献 1 l 】中，我们利用e k e l a n d 8 原理，我们介绍了一系列没有状态限制的控制问 题这一问题的逼近解收敛于原始问题的最优控制我们利用上一篇文献中得到的结论， 得到了这一类问题的最优条件为了利用e k e l a n d s 原理，我们需要假设一些稳定条件， 我们将这些稳定条件分别称为弱稳定和强稳定在弱稳定条件下，我们得到了一种无限 制形式的最优条件，而在强稳定条件下，我们得到了庞特里雅金原理并且弱稳定条件 被c a s ”3 5 1 用来证明状态限制控制问题的数值逼近的收敛性 设nc 兄7 是有界开集，r 是n 的l i p s c h i t z 连续的边界cr m 是非空有界集，m2 1 ，：qxr r f 一= ，( z ，( z ) ，“( 茹) ) 1 掣= o 其中， 打2 n 1 1 ( 33 ) ( 3 4 1 a = 一如，( n ”( z ) 以。g ( z ) ) z j = 1 o l j g 。1 1 ( n j ，j g 0s t n 司( 。) 矗白兰g ( 6 ) 2 ，v r “，v z q 幻= l 忙l 吲0 1 l t 。嘉等 o j ( 州) 2 厶工( 啪( 。) ，“( 。) ) 出 ( p 6 )m i n j ( 掣，u ) ，s u 巧e dt d ，( 3 3 ) ( 3 4 ) ，t ) q ，g ( 茹，”( 。) ) s 占，v 茁n 存在a n ( q ) ，s n 2 ，m 2 l 1 ( n ) ，q 单调递增， f ，( 删川骂( 删，u ) f 尬( 。) 州川) 旧邶，删+ l 券( 酬，u ) l ( 。) + 删鲫 骞咧豆x r ) ，等邺) 。曲。、7 曲。“9 ” 定义：称( p 6 ) 是右弱稳定的，若l i 脚， i n f ( b ，) = i “( b ) 称( p d ) 是左弱稳定的，若l i m i n f ( b ，) = i n f ( 昂) 称( p d ) 是右强稳定的，若i n f ( 毋) 一i n f ( 岛，) r ( 一6 ) ，v 6 陋6 + e 称( p 6 ) 是左强稳定的，若i n f ( r ，) 一i n f ( r ) r ( 6 一) ，v 6 陋一e ，叫 定义：b 7 0 。，玩( 。，g ，“，p ) = a 厶( z ，可，“) + p ，( 。，可，札) 定理3 3 ：设西是( p 6 ) 的最优解，可是相应的状态，若( p 6 ) 弱右稳定，那么， j 再o ，f i 琚，( n ) ，v 盯 o ja 4 f = 鬈( z ，可( z ) ，豇( z ) ) + 西嚣( z ，可( z ) ，百( 。) ) + 舞( z ，f ( 。) ) 口 n n i 芦= oo n r ，、( z ( z ) 一9 ( z ，可( z ) ) ) d 口( 。) 5o ，v = ( 1 0 ( n ) ，。( z ) 占，v z n j n i h t ，k h 百( t ，可( z ) ，面( z ) ，f ( 。) ) sf 珐( $ 雾( z ) ，u ，芦( 。) ) n e 。q j n j 且若存在cn 是可测的，且下列假设之一成立： ( 2 ) v g ( n ) ，v u k ，函数：z 寸，( 。，( z ) ， ) ，tu l ( z ，9 ( z ) ，u ) 包含在q o 内 ( 乱) v z n o ，函数工，对第三个变量是连续的 那么， 如( 。，可( z ) ，西( z ) ，芦( z ) ) 2 恕如( z ，可( z ) ，”，芦( 叫) z n 定理3 4 ：设豇是( ，j ) 的最优解，可是相应的状态，若( p 6 ) 强墨i 稳定，那么 j 芦w 苫一( n ) ，v 仃 n 2 。 设q r n 是有界开集，r 是l 珀l i p s c h i t z 连续的边界 f + 妒( 芎) = u z n n 1f = o o n r ( 4 1 1 f 42 1 ( n ) ，s 2 + 。) ，妒( ”) ( u ) = 妒( ( ) ) ，。eu n 令g = ( q l ， ，吼) 带有模 l a i = a t + + 吼，。，= 嵩 l 矿m 。( n ) = l 5 ( n ) ld 7 掣3 ( n ) ，q1 墨r “) ”，= 悃4 忆 。曼训5 m 5 n 2 ( s = 2t ，n 曼3 ) ，则2 4 ( n ) cc ( - ) ，u _ + 掣。：f ( n ) 寸2 8 ( n ) 是c 2 的 “l s n ，u l s ( q ) ，刭。的导数z w 2 4 ( n ) n 嚼9 ( n ) 是下列线性方程的唯一解 “p m ，u l s ( q ) ，g 。的导数z 2 一( n ) n 耐+ 9 ( n ) 是下列线性方程的唯一解 f 一z + ( 札) z = ” 1z = o i n n o n r ( 玑“) = ；五( ( u ) 一r ( u ) ) 2 幽十警二u ( u ) 2 幽 1 3 r 工5 ( n ) ， o 给定，耳c ( n ) 是非空凸闭集，y = 2 ，5 ( n ) n 埘4 ( n ) ( p 7 ) 1 啦n ( u ，札) s u 巧e dt 。u 定理4 1 ：c ( q ) 有界或n 3 ，则( p 7 ) 至少有一个最优解 设r 1 ，5 ( q ) 是下列方程的唯一解： ， l 一p + 妒( 可u ) p = 掣。一r 饥n ip = o 0 n r g ( “) = uf ( u ) = o ) f ( t ，) 之 ( 可“， ) 一如p 。( 叫) ( 一掣。+ 妒( 铷) 一 ) ( u ) 咖 f ”( “) ( ，u ) = 如【u ( u ) 2 d u + ( 1 一p 。( u ) 矿( y 。( u ) ) ) 知( u ) 2 】d u 定理4 2 ：若u 是( p 7 ) 的最优解，k 是多面体，则u 满足二阶必要条件 ( u ) ( ，u ) ov u g ( u ) 定义：( i ) 二次增长条件 f ( ) f ) + o i l u 一“幢+ 。( i l u 一札幢) ，3 0 o ，v u k ( “) 二阶充分条件 f ”( “) ( u ， ) n 1 u l i ；，刍a o ，v u g ( u ) 定理4 3 ：假设n 3 ，k 是多面体，那么二次增长条件，二阶充分条件，二阶必要条件 是等价的 4 2 带有第二类边界条件的半线性椭圆方程最优控制的二阶条件 这里的两篇文献【1 3 】【1 4 】研究的是半线性椭圆方程支配的具有状态约束的最优控制问 题的二阶必要条件和二阶充分条件对于这类问题的一阶必要最优条件已经得到证明，而 且我们很容易就可以得到它们而在【3 8 】中只获得了没有状态限制的椭圆型方程的二阶充 分最优条件我们的目的是获得带有状态限制的椭圆型方程的二阶充分最优条件因此， 在下面的文献中，针对原系统，分别就逐点约束和集约束的控制和确定方程进行讨论前 1 4 一部分建立了局部最优性控制的二阶充分条件，扩展了文献 3 8 】的成果，同时还进一步研 究了后一部分有关二阶必要条件 其实，作者研究此问题的最初想法并非是带强制约束条件的最优控制问题，而是想 在任意维空间对具有普通峰值控制或状态约束的半线性椭圆方程支配的边界控制问题中 直接建立起二阶充分最优性条件然而，他们很快就遇到峰值状态约束所带来的让人难 以想象的困难，这些研究上的困难从某种角度上讲，说明由偏微分方程所支配的最优控 制问题的传统类型的二阶充分最优性条件存在一定的缺陷为了建立起任意区间上具有 峰值状态约束的控制问题的二阶充分最优性条件，他们不得不对为数进行限制，即先对 二维空间中的具有线性边界条件的控制问题进行研究从这篇文献可知，如果峰值状态 约束是定义在一个紧子集上，且其他的状态约束能充分光滑，并去掉非线性的限制，则任 意维的问题就可以得到解决这时，伴随状态属于三。( r ) 中，并且可以通过引入二阶最优 性条件的一些拓展形式来避免使用与控制问题有关的线性边界条件假设 设ncr n 是有界开集，r 是q 的l i p s c h i t z 连续的边界u l 。( r ) i 一g ( z ) + 可( z ) = o 打。q( 43 ) i 巩( z ) = 6 ( z ，( z ) ，“( z ) ) o n r ( 44 ) 其中，b ：r rx r _ r 对第一个变量可测，且满足： 南( 训，u ) o ，j 妒m 工( r ) ( p n 1 ) ，g m 0s t 1 6 ( ，o ，u ) l 茎妒( z ) o ，e 。r ，l u l m 。剽笳 胚g 圳舛m ，( u ) = ，( z ，可。( 茁) ) d 岱+ 9 ( 茁，可。( z ) ，u ( 。) ) d s ( 。) 其中，：n r _ r 关于第一个变量和是可测的，关于第二个变量是g 2 的 9 ：r r r _ r 关于第一个变量可测，局：g ( 豆) 叶r 是俨的， t ( 。“b 上o 。( r ) 、t ks t 岫。e z r ，( o ) l 1 ( n ) ，v m o ，| 母l 1 ( q ) ，s 秘蚓+ i 象训m 巾l 兰肌n 9 ( ，o ，o ) l 1 ( r ) ，v 且彳 o ，习砂弘工1 ( r ) ，s t 。；驯器池雌黼山脚巾酗 ( p 8 ) m i n ，( u ) ， 让。( z ) u ( 。) t 上6 ( 正) o e z r 玛( 纨) = o ，l j m l ， 玛( 可u ) o ，m l + 1 墨j m 1 5 1 漩g ：工。( r ) h 1 ( n ) n g u ) 以_ ) ”= 上 而瓮( 乳西) + 嘉( ，玩_ ) ) ”d s ( 。) 川_ ) ”2 = 五券“蛹如+ 上【_ 髻( 】孙) + 器“酾膈咧 + 2 上嘧蛊( 】删+ 蛊“删删跗) + ： - 象h 那) + 象“删妒酬 其中， i = g ( 面) ，钆日1 ( n ) ng ( 丽) ，= g ( 西) u ，而1 ，5 ( q ) ，s m l ，乃( 可) = o ，万 o 上眄是h 可，西) d s ( z ) o ，j m 1 ，乃( _ ) = o ，写= o l o i ，面( 茁) = u 。( z ) o r 面( z ) ：= u 6 ( ) n n dd ( z ) o ( z ) = o盯西( 。) = t 。( z ) 口n dd ( $ ) = o i oi ，西( 茹) = t 上6 ( 茁) 凸n dd ( ) = o m ) = 而) 裳( 蝴( 乩砸) ) + 鲁( 加( 吐砸) ) 厶雾“咖弛+ 上噶( i _ i _ ) + 雾“删m 鼬) + 2 上【_ 蛊( 删+ 蛊“刺删鼬) + 二【一瓢卵，喘“娜2 咧卅薹硼渊。 其中，g ( 豆) n 月1 ( n ) 是下列方程的解： f 一钆+ 钆：o仇n la u z = 器( ，可，面) z + 瓮( - ，可，面) 。nr 下面，我们来分析一下上述问题的二阶充分最优条件 l ( g ，“，妒，1 ，。+ ) = j ( “) 一n ( 一+ ) 妒如一二( 巩g 一6 ( m “) ) 妒4 sj nj r + b 乃阿) + j = l ll ”( 可，面，可，i ，z + ) = ov 可y ( f g ) l 。( 可，面，天，z + ) ( u 一面) ov d i o v k 其中f ( ) ，f ，z = r m z ，k = o ) k ，t ：l ，叶z ，r ( ”) = ( f ( 可) ，e ( 可) ) ，k ( z 1 ( 引) = o ) k ( e ( 可) ) ( r )t 7 ( 可) g ( 面) e ( 豇) 一k ( t ( 可) ) = z j r u 6 o ，s 阶充分最优条件成立， ( s s c ) l ”( 可，百x ，荨) 【u 2 ，u 2 6 | | u 2 i i i 。fr 1 其中u = ( g ，7 ) ( m ，面) ，u 一“i + u 2 ，“l = ( u 只u ) ，u 2 = b “叭是下面方程对 应的缌2 = 1 ，2 j 一虮十玑= o i n n l 巩t = b ”( ，可，面) 可i + b u ( ，可，西) “。 o 札r 可以得到u = u 1 + u 2 = ( 叭，u 1 ) + ( 可2 + u 2 ) 定理4 5 ：设可行解面一( 歹，西) 满足条件( 矗) ，一阶必要条件( f a ) ，和二阶充分最优条 件( s s e ) ，那么，存在常数p o ，67 ，o ，s 对于可行 件“= ( 口：u ) ，当一刮l * 。，o o 口( q ) ，r p ( + p ) ，p 给定，n o ( 茁) 0i n n ，：n r 2 _ r ：q 群- r ， 1 n 。+ m ，b ：1 ，p 。r ，g ：工o 。( q ) - + l p ( q ) ，g ( u ) = y “，q = 弓og im i n ，( u ) = j 矗工( z ，掣。( z ) ，u ( z ) ) d z ( 尸9 ) “n ( 。) “( 。) ( 。) z 印 。iq ( “) 一o ，1 j n 。 【g j ( u ) so ，n 。+ 1 5j 5 礼。+ 啦 q e = z nu 。( z ) 十西( 。) u b ( 。) 一) l ( u ， ) 定理4 6 ：( 二阶必要最优条件) 设- 是( p 9 ) 的最优解， e i o ，( 巧 ，。cl 。( n ) s “”巧c n ! 百，s tg ：( 面) 弓= 民j ，t ，j 如， 弓 z - + “满足j o ，礼。+ l jsn 。十n 。天，= 02 ，g j ( 百) o ， 万b 如 l o 。( q ) ，s t 卿巧c q e i ，s tg ：( 面) 弓= 如，i ，j 而， _ j 潜“满足弓o ，礼。+ 1 j n 。+ n ，瓦= 0e ，g ，( 西) o ，t o 给定，那么，存在( p 9 ) 的最优解西，当f f “一面f f p ( n ) o ， 巧) ，幽c l 。( 2 ) ，s u p p 可cn e i ，s tg ，( 前) 瓦= 6 玎，i ，j 如，那么，存在瓦，j = 1 ，n 。十啦，可 w ，9 ( q ) ，w 1 ，1 i “p j ) ，则下面的不等式成立： 貉蹴瞄酬。n n 。 定理4 o ：( 二阶充分条件) 设混( p 9 ) 的可行解，且满足上述条件， l o c ( n ) ，s t 。p p 巧cn ! 面，s tg ：( 西) 弓= 占 j ， ，j 如，j 瓦，j = 1 ， os t g 善( z ，可( z ) ，豇( 。) ，妒( ) ) un e z n n r l 嚣( 豇，i ) 2 o 鳄，l 2 ( n ) o ) 那么，存在e o ，d o ，( p 9 ) 的最优解西，当一刮p f n l o ， 丐b ，ocl o 。( s 2 ) ，3 啪巧c n ：i ，s g